Tập lồi yếu và tối ưu hóa trên tập lồi yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -o0o NGUYỄN THỊ LINH CHI TẬP LỒI YẾU VÀ TỐI ƯU HOÁ TRÊN TẬP LỒI YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Mục lục……………………………………………………………… Mở đầu Chương CÁC TẬP LỒI YẾU VÀ LỒI MẠNH 1.1 Các định nghĩa trực tiếp đối ngẫu 1.2 Tính chất đoạn lồi mạnh 1.3 Tính chất tập lồi yếu 37 1.4 Tính liên thông địa phƣơng tập lồi yếu theo nghĩa Vial 45 Chương CÁC HÀM LỒI YẾU, MẠNH VÀ TỐI ƢU HOÁ TRÊN TẬP LỒI YẾU 2.1 Các hàm lồi yếu, lồi mạnh 53 2.2 Cực tiểu hàm lồi mạnh tập lồi yếu 61 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Giải tích lồi đóng vai trị quan trọng tốn học ứng dụng đặc biệt lí thuyết tối ƣu hố Nhiều lớp hàm lồi suy rộng đƣợc nghiên cứu để giải nhiều vấn đề đƣợc đặt lí thuyết toán cực trị N.V Ephimov S.B Schetkin ( 1959 ) đƣa khái niệm tập  - lồi mà sau [1] G.E Ivanov gọi tập lồi yếu với số R > J.P Vial (1982 ) đƣa khái niệm tập lồi yếu mà [1] gọi tập lồi yếu theo nghĩa Vial Lớp tập lồi mạnh đƣợc B.T Poliak ( 1983 ) đƣa vào nghiên cứu [4] E.S Polovinkin – M.V Balasov nghiên cứu [3] Các nghiên cứu tập hàm lồi yếu mạnh với nhiều ứng dụng đƣợc trình bày cách hệ thống sách chuyên khảo G.E Ivanov [1] Luận văn trình bày nghiên cứu tập lồi yếu theo nghĩa Vial Ephimov – Schetkin, tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, hàm lồi yếu lồi mạnh với số áp dụng tính chất nghiệm tốn cực tiểu hàm lồi mạnh tập lồi yếu Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng trình bày tính chất tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, tập lồi yếu theo nghĩa Vial Ephimov – Schetkin mối quan hệ chúng Kết khơng gian Hilbert, tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với số R > lồi Cịn tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với số R > khơng thiết lồi mà đóng Một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với số R > liên thơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng trình bày số kết hàm lồi yếu , lồi mạnh tính chất điểm cực tiểu toán cực tiểu hàm lồi mạnh tập lồi yếu theo nghĩa Vial Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp Cao học Tốn K16 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Nguyễn Thị Linh Chi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC TẬP LỒI YẾU VÀ LỒI MẠNH Chƣơng trình bày tính chất tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, tập lồi yếu theo nghĩa Vial Ephimov – Schetkin mối quan hệ chúng Chú ý tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với số R> lồi, tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với số R > khơng thiết lồi mà đóng 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA TRỰC TIẾP VÀ ĐỐI NGẪU Định nghĩa1.1.1 Tập hợp A khơng gian tuyến tính gọi tập lồi với hai điểm x0 , x1  A ,  x0 ; x1    x1  1    x0 :   0;1  A Định nghĩa đƣợc gọi định nghĩa trực tiếp tập lồi Giả sử E không gian vectơ tôpô E * khơng gian đối ngẫu tơpơ E Kí hiệu p, x giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục p  E* x  E hay tích vô hƣớng p x trƣờng hợp E không gian Euclide Định lý1.1.1 ( [1] ) Tập A không gian lồi địa phương E lồi đóng tồn họ nửa không gian S   x  E : p , x  c  cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A   S ,  A1 p  E* , c R , số α chạy tập tuỳ ý A1 Nếu tập A có dạng tƣơng giao nửa khơng gian ta nói A thoả mãn định nghĩa đối ngẫu tập lồi Định lý 1.1.1 khẳng định với tập hợp đóng khơng gian lồi địa phƣơng định nghĩa trực tiếp đối ngẫu tập lồi tƣơng đƣơng Sau ta khảo sát định nghĩa trực tiếp đối ngẫu tập lồi mạnh lồi yếu Định nghĩa1.1.2 Cho R  vectơ a không gian định chuẩn E Ký hiệu B R  a  hình cầu đóng tâm a bán kính R BR (a) =  x  E : x  a  R Kí hiệu BR BR (0) (hình cầu đóng tâm O bán kính R) Định nghĩa1.1.3 Tập hợp A không gian định chuẩn E gọi lồi mạnh với số R > , tồn tập khác rỗng A1  E cho: A   B R a aA1 R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên A ahttp://www.lrc-tnu.edu.vn x0 DR  x0 , x1  x1 Định nghĩa1.1.4 Giả sử không gian định chuẩn E cho hai điểm x0 , x1 , cho số R x1  x0 Tập hợp  DR ( x0 , x1 )  B R (a) aE: x0 , x1B R ( a ) gọi đoạn lồi mạnh Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa 1.1.3, 1.1.4 suy tập hợp DR  x0 , x1  lồi mạnh với số R Điều giải thích ta gọi “đoạn lồi mạnh” Định lý1.1.2 ( [3] ) Giả sử không gian Hilbert H cho tập đóng A số R > Các khẳng định sau tương đương: (i) Tập hợp A lồi mạnh với số R (ii) Với x0 , x1  A x1  x0  2R DR  x0 , x1   A Tƣơng tự định nghĩa trực tiếp đối ngẫu tập hợp lồi điều kiện (ii) định lý 1.1.2 gọi “ trực tiếp ”, cịn định nghĩa 1.1.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn định nghĩa “ đối ngẫu ” Định lý 1.1.2 thiết lập tƣơng đƣơng định nghĩa trực tiếp đối ngẫu tập lồi mạnh Định nghĩa1.1.5 Tập hợp A không gian định chuẩn gọi lồi yếu theo nghĩa Vial với số R > 0, với x0 , x1  A mà  x1  x0  2R x  A  DR  x0 x1  không trùng với điểm x0 , x1 Giả sử không gian định chuẩn cho hai điểm x0 , x1 cho số R x1  x0 Cùng với đoạn lồi mạnh DR  x0 , x1  ta định nghĩa đoạn lồi mạnh khơng có điểm mút  DR  x0 , x1   DR  x0 , x1  \  x0 , x1 Nhận xét 1.1.2 Tập hợp A không gian định chuẩn lồi yếu theo nghĩa Vial với số R với hai điểm x0 , x1  A cho   x1  x0  2R A  D R  x0 , x1    Kí hiệu: int A, clA, A, Ac lần lƣợt phần trong, bao đóng, biên, phần bù tập hợp A N.V Ephimov S.B Schetkin đƣa khái niệm tập “A - lồi” Các tập hợp gọi lồi yếu theo Ephimov - Schetkin Định nghĩa1.1.6 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập hợp A không gian định chuẩn E gọi lồi yếu theo nghĩa Ephimov - Schetkin với số R > tồn tập hợp khác rỗng A1  E cho A    int B R  a   c aA1 Tƣơng tự với định nghĩa trực tiếp đối ngẫu tập lồi lồi mạnh ta gọi định nghĩa Vial trực tiếp định nghĩa Ephimov - Schetkin định nghĩa lồi yếu đối ngẫu A Hình Hình minh hoạ tập hợp lồi yếu theo Vial theo Ephimov - Schetkin Sau ta khơng gian Hilbert H , tính đóng tính lồi yếu theo nghĩa Vial tập A  H kéo theo tính lồi yếu theo Ephimov - Schetkin A nhƣng điều ngƣợc lại không 1.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐOẠN LỒI MẠNH Mệnh đề 1.2.1 Giả sử không gian định chuẩn E cho điểm x 0, x1, y0, y1 cho x1  x0  2R y0 , y1  DR  x0, x1 Khi đó, DR  y0 , y1   DR  x0 , x1  Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lấy x  DR  y0 , y1  Giả sử a  E cho, x0 , x1 B R  a  Vì y0 , y1  DR  x0 , x1  , y0 , y1 B R  a  nên Từ điều kiện x  DR  y0 , y1  suy x B R  a  Vì vậy, x  aE:x0 , x1B R  a  B R  a   DR  x0 , x1   Mệnh đề 1.2.2 Trong không gian Euclide E cho hai điểm x 0, x1 Giả sử R x1  x0 Khi đó, x x  DR  x0 , x1   B R     Chứng minh Giả sử vectơ a  E cho x0 , x1 B R  a  Khi đó, x0  a  R, x1  a  R Vì vậy, R  x1  x0  x1  a  x0  a  x1  a, x0  a 2  x1  a  x0  a  x0  x1  2a  R  x0  x1  2a 2 Do đó, x0  x1  2a  , tức a  2 x0  x1 Vì vậy, DR  x0 , x1   x x  B R a  B R   a: x0 , x1B R  a      Định nghĩa1.2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... LỒI YẾU, MẠNH VÀ TỐI ƢU HOÁ TRÊN TẬP LỒI YẾU 2.1 Các hàm lồi yếu, lồi mạnh 53 2.2 Cực tiểu hàm lồi mạnh tập lồi yếu 61 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Số hóa. .. Schetkin hàm lồi mạnh, yếu với số tính chất điểm cực tiểu toán cực tiểu hàm lồi mạnh tập lồi yếu theo nghĩa Vial Rõ ràng tập lồi mạnh lồi Kết tập lồi lồi yếu theo nghĩa Vial, tập đóng lồi yếu theo... 0;1  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương II CÁC HÀM LỒI YẾU, MẠNH VÀ TỐI ƯU HÓA TRÊN TẬP LỒI YẾU Chƣơng trình bày số kết hàm lồi yếu, lồi mạnh