Bài giảng hệ thống tuyến tính ii

Hệ thống tuyến tính II Thời gian: 60 tiết Giảng viên: Ths.Lê Trung Dũng Bộ môn: Kỹ thuật điện Khoa: Năng lượng Email: dung80@gmail.com Giáo trình: Tín hiệu hệ thống tuyến tính – Bm Kỹ thuật điện, ĐHTL G E Carlson, Signal and Linear Systems Analysis, 2nd Edition, (John Wiley, 1998) Lý thuyết điều khiển tuyến tính – Nguyễn Dỗn Phước Đường link: http://cid-aef65ac247949ece.skydrive.live.com/browse.aspx/Public http://www.4shared.com/dir/JGO4-kbV/He_thong_tuyen_tinh.html Hệ thống tuyến tính II Phần I Ơn tập hệ thống tuyến tính Chương Hệ thống điều khiển có phản hồi Chương Tính ổn định hệ thống Phần II Tín hiệu hệ thống không liên tục Chương Mô tả tín hiệu khơng liên tục miền thời gian Chương Phân tích hệ thống khơng liên tục miền thời gian Chương Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Chương Phân tích hệ thống không liên tục miền tần số Chương Phân tích hệ thống khơng liên tục sử dụng phép biến đổi Z Chương Hiện thực hóa hệ thống không liên tục học không liên tục Chương Phép biến đổi Fourier rời rạc Chương – Hệ thống điều khiển có phản hồi Phương trình vi phân Hàm truyền đạt sơ đồ khối Phương pháp sơ đồ khối Khảo sát miền thời gian Khảo sát miền tần số Mục lục Chương 1.1 Phương trình vi phân Mơ tả hệ thống hệ phương trình vi phân Tổng quát: d n xR d n −1 xR d xR an + an −1 n −1 + + a1 + a0 xR = dt n dt dt d m xV d m −1 xV d xV bm + bm−1 m −1 + + b1 + b0 xV m dt dt dt Trong m ≤ n, XV tín hiệu vào XR tín hiệu hệ thống Mục lục Chương (1.1) Chương 1.2 Hàm truyền đạt sơ đồ khối Hàm truyền đạt: Hàm truyền đạt, ký hiệu G(p) định nghĩa tỷ số ảnh Laplace tín hiệu đầu ảnh Laplace tín hiệu đầu vào với điều kiện ban đầu bị triệt tiêu Chuyển phương trình vi phân (1.1) sang dạng ảnh Laplace ta được: (a p n n + an −1 p n −1 + + a1 p1 + a0 p ) X R ( p) = ( bm p m + bm−1 p m −1 + + b1 p1 + b0 p ) X V ( p ) (1.2) Vậy hàm truyền đạt định nghĩa: m m −1 X R ( p) ( bm p + bm −1 p + + b1 p + b0 p ) G ( p) = = X V ( p) ( an p n + an −1 p n −1 + + a1 p1 + a0 p ) (1.3) Đại lượng đầu xác định qua hàm truyền đạt: X R ( p) = G ( p ) X V ( p ) Sơ đồ khối Mục lục Chương (1.4) Chương 1.3 Phương pháp sơ đồ khối Quy tắc biến đổi sơ đồ khối: Mục lục Chương Chương 1.4 Khảo sát động học miền thời gian x 1.4.1 Khảo sát động học Khảo sát động học hệ thống khảo sát quan hệ biến đổi theo thời gian tín hiệu vào hệ thống 1.4.2 Tín hiệu mẫu t Bước nhảy đơn vị x A Tín hiệu bước nhảy đơn vị: Mơ tả tốn học: 1(t) = với t < = với t ≥ B Tín hiệu xung đơn vị: +∞ δ(t) = với t ≠ = ∞ với t = Mơ tả tốn học: t Xung đơn vị x ∫ δ(t )dt = −∞ C Tín hiệu dốc đơn vị: Mơ tả tốn học: x(t) = với t < = t với t ≥ 0 D Tín hiệu điều hịa: Mơ tả tốn học: t Tín hiệu dốc đơn vị x x(t) =sin( ωt+ϕ) j ( ωt + φ ) x(t) = e t E Tín hiệu bất kì: biểu diễn qua 1(t) δ(t) Tín hiệu điều hịa Mục lục Chương Chương 1.4 Khảo sát động học miền thời gian 1.4.3 Đáp ứng với bước nhảy xung đơn vị Với bước nhảy đơn vị: Đáp ứng hệ thống với kích thích bước nhảy đơn vị gọi hàm độ, h(t) Với xung đơn vị: Đáp ứng hệ thống với kích thích xung đơn vị gọi hàm trọng lượng, g(t) 1.4.4 Xác định hàm độ hàm trọng lượng từ hàm truyền đạt Giả sử hệ thống có hàm truyền đạt G(p) ảnh Laplace đáp ứng đầu xác định: XR(p) = G(p).XV(p) Như với đầu vào xung đơn vị bước nhảy đơn vị ảnh Laplace đầu vào có dạng: XV(p) = 1/p với đầu vào bước nhảy đơn vị XV(p) = với đầu vào xung đơn vị Ảnh Laplace đầu có dạng: H(p) = G(p)/p hàm độ G(p) hàm trọng lượng Biến đổi Laplace ngược ta hàm độ hàm truyền đạt miền thời gian  G ( p)  h(t ) = L−1    p  Mục lục g (t ) = L−1 {G ( p)} Chương Chương 1.5 Khảo sát động học miền tần số 1.5.1 Đáp ứng điều hịa Với hệ thống tuyến tính kích thích hàm điều hịa, chế độ xác lập đáp ứng hệ thống hàm điều hòa có tần số, nhiên có sai khác biên độ góc pha Mơ tả tốn học: Xv(t) = XVsin(ωt) Dạng số phức: X V = X V e jωt Xr (t) = XRsin(ωt+ϕ) X R = X R e j ( ωt + φ ) 1.5.2 Hàm truyền đạt tần số: Tỷ số biểu diễn phức tín hiệu vào hệ thống chế độ xác lập tín hiệu vào hàm điều hòa G ( jω) = XR XV = X R e j ( ωt +φ ) X V e jωt = XR e jφ XV G ( jω) = A(ω)e jφ = P(ω) + jQ(ω) X& R bm ( jω)m + bm−1 ( jω)m −1 + + b1 ( jω)1 + b0 G ( jω) = = X& V an ( jω) n + an−1 ( jω)n −1 + + a1 ( jω)1 + a0 Có thể rút quy tắc xác định hàm truyền đạt tần số từ hàm truyền đạt thay p hàm truyền đạt jω Mục lục Chương Chương 1.5 Khảo sát động học miền tần số jQ( ) 1.5.3 Đặc tính tần số biên độ - pha Biểu diễn hàm truyền đạt tần số G(jω) = P(ω) + jQ(∞) mặt phẳng phức với tần số biến thiên từ - ∞ tới +∞ ta đặc tính tần số biên độ - pha Đặc tính tần số biên độ - pha gồm nhánh đối xứng qua trục thực nên thường biểu diễn nhánh ứng với dải biến thiên tần số từ đến +∞ k Đặc tính tần số biên độ - pha 1.5.4 Đặc tính tần số logarith – biểu đồ bode Nếu biểu diễn hàm truyền đạt theo dạng A(ω)e jφ( ω) với L(dB) = 20lgA( ω) ϕ(ω) hệ trục tọa độ có tần số chia theo thang logarith ta đặc tính tần số logarith hay gọi biểu đồ bode Biểu đồ bode gồm: Trục hoành chia theo thang logarith cho phép biểu diễn khoảng tần số rộng mà không chi tiết quan trọng Trục tung chia để biểu diễn L(dB) ϕ(ω) Mục lục →∞ Chương P( ) Chương – Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số • Chuỗi Fourier khơng liên tục phổ tín hiệu tuần hồn Mơ tả tín hiệu khoảng theo chuỗi Fourier Mục lục Chương Chương – Mô tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Chuỗi Fourier khơng liên tục phổ tín hiệu tuần hồn Mơ tả chuỗi fourier rời rạc tín hiệu tuần hồn • • Nếu tín hiệu tuần hồn theo chu kì N0: khoảng khai triển chu kỳ chuỗi Fourier rời rạc với tín hiệu khoảng thời gian chu kì Nếu N0 lẻ Nếu N0 chẵn Mục lục Chương Chương – Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Chuỗi Fourier không liên tục phổ tín hiệu tuần hồn Phổ biên độ pha tín hiệu tuần hồn • • Các hệ số Xm có tính chất tuần hồn x[n] tuần hồn Mục lục Chương Chương – Mơ tả tín hiệu không liên tục miền tần số Chuỗi Fourier khơng liên tục phổ tín hiệu tuần hồn Phổ biên độ pha tín hiệu tuần hồn • • Tính tốn phổ tín hiệu tuần hồn, trễ Phổ biên độ khơng thay đổi Phổ pha dịch đoạn Mục lục Chương Chương – Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Xây dựng phép biến đổi Fourier rời rạc Chuỗi x[n] • • Nc Xm = x [ n ] e− j 2π mr1n ∑ N1 n =− Nc Phổ xp[n] tuần hoàn xác định từ Xm (xp[n] chuỗi mở rộng x[n]) • Ví dụ với Nc = Mục lục Chương Chương – Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Xây dựng phép biến đổi Fourier rời rạc Phép biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu x[n] phụ thuộc tần số f • X d ( f ) = X N ( fT ) = ∞ ∑ x [ nT ]e − j 2π nfT n =−∞ • Phép biến đổi Fourier rời rạc –fs < f < fs khoảng phổ tín hiệu Mục lục Chương Chương – Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Các định lý phép biến đổi Fourier Tuyến tính ax [ nT ] + by [ nT ] ↔ aX d ( f ) + bYd ( f ) Thay đổi thang đo: x[nT] không phụ thuộc vào T x [ nT ] ↔ X d ( f ) Nghịch đảo thời gian x [ nT ] ↔ X d ( f ) x* [ nT ] ↔ X *d ( f ) Chuyển dịch thời gian x [ nT ] ↔ X d ( f ) x [ −nT ] ↔ X d ( − f ) Liên hợp phức x [ nT ] ↔ X d ( f ) x [ nT / a ] ↔ X d ( f / a ) Chuyển vị tần x [ nT ] ↔ X d ( f ) Mục lục x ( n − n1 ) T  ↔ X d ( f ) e − j 2π n1 fT e j 2π nf0T x [ nT ] ↔ X d ( f − f ) Chương Chương – Mơ tả tín hiệu khơng liên tục miền tần số Các định lý phép biến đổi Fourier Điều biến x [ nT ] ↔ X d ( f ) Lấy tổng ∑ x [iT ] ↔ i =−∞ Xd ( f ) (1 − e − j 2π fT )+ fs X d ( 0) ∞ ∑ δ ( f − mf s ) m =−∞ Tích chập x [ nT ] ↔ X d ( f ) y [ nT ] ↔ Yd ( f ) 11 x [ nT ] − x ( n − 1) T  ↔ (1 − e − j 2π fT ) X d ( f ) n x [ nT ] ↔ X d ( f ) 10 1 X d ( f − f0 ) + X d ( f + f0 ) 2 Vi phân theo thời gian x [ nT ] ↔ X d ( f ) x [ nT ] cos [ 2π nf 0T ] ↔ x [ nT ] * y [ nT ] ↔ X d ( f ) * Yd ( f ) Tính nhân x [ nT ] ↔ X d ( f ) y [ nT ] ↔ Yd ( f ) Mục lục x [ nT ] y [ nT ] ↔ fs ∫ f s /2 − f s /2 X d (α ) Yd ( f − α ) dα Chương Chương – Phân tích hệ thống không liên tục miền tần số Đáp ứng tần số hệ thống Xác định đáp ứng tần số Mục lục Chương Chương – Phân tích hệ thống khơng liên tục miền tần số Đáp ứng tần số hệ thống • • Định nghĩa: Đáp ứng tần số hệ thống hàm Hd(f) tần số thỏa mãn nhân với phổ tín hiệu vào Xd(f) phổ đáp ứng trạng thái không Yd(f) Hàm định nghĩa khoảng tần số -fs/2 ≤ f ≤ fs/2 H d ( f ) = Yd ( f ) / X d ( f ) Nếu biến đổi cách chia cho tần số lấy mẫu, fs = 1/T Khi ta có đáp ứng tần số chuẩn hóa H N (r ) = YN (r ) / X N (r ) = H d (rf s ) Mục lục Chương Chương – Phân tích hệ thống không liên tục miền tần số Đáp ứng tần số hệ thống Đặc điểm đáp ứng tần số • • • Đáp ứng tần số hệ thống rời rạc hàm tuần hoàn có tần số với tần số lấy mẫu hệ thống Đáp ứng tần số hệ thống biến đổi Fourier rời rạc đáp ứng xung đơn vị hệ thống Mục lục Chương Chương – Phân tích hệ thống khơng liên tục miền tần số Đáp ứng tần số hệ thống Mục lục Chương Chương – Phân tích hệ thống khơng liên tục miền tần số Đáp ứng tần số hệ thống • Băng thơng hệ thống rời rạc βd hiệu tần số lớn tần số nhỏ khoảng ≤ f ≤ fs/2 mà đó, đáp ứng biên độ Hd(f) lớn α lần giá trị cực đại |Hd(f)|max Hệ số α số cho trước Mục lục Chương Chương – Phân tích hệ thống không liên tục miền tần số Xác định đáp ứng tần số • Xác định từ phương trình sai phân k l y[nT ] + ∑ y[( n − i )T ] = ∑ bi y[(n − i )T ] i =0 k i =0 l Yd ( f ) + ∑ e − j 2π ifT Yd ( f ) = ∑ bi e − j 2π ifT X d ( f ) i =1 i =0 k Yd ( f )[1 + ∑ e − j 2π ifT i =1 l ] = X d ( f )∑ bi e − j 2π ifT i =0  l  H d ( f ) = Yd ( f ) / X d ( f ) =  ∑ bi e − j 2π ifT   i =0  Mục lục k  − j 2π ifT  + a e  ∑ i   i =1  Chương Chương – Phân tích hệ thống khơng liên tục miền tần số Xác định đáp ứng tần số • Xác định từ mơ tả hệ thống Wd ( f ) = X d ( f ) + 0.7e − j 2π fT Wd ( f ) Yd ( f ) = 0.5Wd ( f ) + 0.2e − j 2π fT Wd ( f ) Wd ( f ) = X d ( f ) / (1 − 0.7e − j 2π fT ) Yd ( f ) 0.5 + 0.2e − j 2π fT Hd ( f ) = = Xd ( f ) − 0.7e − j 2π fT Mục lục Chương .. .Hệ thống tuyến tính II Phần I Ơn tập hệ thống tuyến tính Chương Hệ thống điều khiển có phản hồi Chương Tính ổn định hệ thống Phần II Tín hiệu hệ thống khơng liên tục Chương... -0,5p+5 Chương – Tính ổn định hệ thống 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Routh 2.2.1 Điều kiện cần để hệ thống ổn định Điều kiện cần để hệ thống tuyến tính ổn định hệ số phương trình đặc tính dấu đại... – Phân tích hệ thống khơng liên tục miền thời gian Lời giải phương trình hệ thống Lời giải truy hồi phương trình hệ thống Đáp ứng xung đơn vị hệ thống Đáp ứng không hệ thống Phép tính chập Mục