Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PHẠM THỊ HOÀI MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN TỐI ƯU KHƠNG LỒI: THUẬT TỐN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PHẠM THỊ HOÀI MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN TỐI ƯU KHƠNG LỒI: THUẬT TỐN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán học Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CẢNH NAM GS TSKH LÊ THỊ HOÀI AN Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Bản luận án hồn thành Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Cảnh Nam GS TSKH Lê Thị Hồi An Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án trung thực chưa tác giả khác công bố Các đồng tác giả đồng ý với việc đưa kết công bố chung vào luận án Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Thay mặt tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Nguyễn Cảnh Nam Phạm Thị Hoài i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Cảnh Nam GS TSKH Lê Thị Hồi An Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Cô Thầy Cô ân cần hướng dẫn, bảo cho tác giả kiến thức chuyên môn, bước định hướng nghiên cứu truyền cho tác giả niềm đam mê nghiên cứu khoa học, ý thức tự học, tự tìm tịi gương cơng việc sống Những lời động viên, khích lệ Thầy Cô nguồn động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn trở ngại đường học tập nghiên cứu, tự tin bước tiếp đường chọn Trong q trình học tập nói chung thực luận án nói riêng, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ, dẫn tận tình lời khuyên quý báu GS Hoàng Tụy, GS TSKH Lê Dũng Mưu, PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim, GS TSKH Nguyễn Đông Yên, TS Tạ Anh Sơn, TS Trần Ngọc Thăng, TS Trần Đức Quỳnh, TS Lê Quang Thủy, TS Nguyễn Thị Bích Thủy, TS Nguyễn Quang Thuận Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức Cán bộ, Phòng Đào tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình làm việc, học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo tồn thể cán Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, giúp đỡ, tạo điều kiện để tác giả vừa hồn thành cơng tác vừa có thời gian học tập, hồn thành chương trình nghiên cứu sinh Trong trình thực luận án tác giả nhận hỗ trợ Quỹ Phát triển Khoa học Cơng nghệ Quốc gia (NAFOSTED) kinh phí tham gia báo cáo hội thảo khoa học quốc tế giúp đỡ tài trợ từ dự án GS TSKH Lê Thị Hoài An thời gian học tập phịng nghiên cứu khoa học máy tính ứng dụng, Đại học Lorraine, Cộng Hịa Pháp Ngồi tác giả nhận kinh phí tài trợ mua vật tư, dụng cụ, tài liệu từ chương trình học bổng 911 nước Tác giả trân trọng cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Đỗ Đức Thuận, TS Nguyễn Phương Thùy, TS Nguyễn Hải Sơn, TS Trịnh Ngọc Hải Thầy Cô anh chị em đồng nghiệp Xêmina Lý thuyết tối ưu ứng dụng Xêmina Bài toán cân bằng, toán điểm bất động vấn đề liên quan, Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội, dành cho tác giả hội học tập trao đổi chuyên môn ý kiến đóng góp quý báu giúp cho tác giả hiểu sâu sắc ii vấn đề nghiên cứu Cuối tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt gửi tới người thân yêu gia đình bạn bè tác giả - người đã, hậu phương vững chắc, cho tác giả nguồn cổ vũ động viên tinh thần lớn lao để tác giả hồn thành cơng việc, học tập, nghiên cứu nói chung việc viết luận án nói riêng iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC BẢNG vi viii DANH MỤC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tối ưu DC 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Thuật toán DCA 1.2 Tối ưu đơn điệu 1.2.1 Một số khái niệm 1.2.2 Thuật toán giải toán tối ưu đơn điệu Chương THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHƠNG LỒI TRONG VIỄN THƠNG 2.1 Thuật tốn giải tốn phân bổ tài ngun cho mạng khơng dây OFDMA/TDD 2.1.1 Mơ tả tốn 2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với tốn (RAP) 2.1.3 Thuật tốn tồn cục giải tốn phân bổ tài ngun cho mạng khơng dây OFDMA/TDD (RAP) 2.1.4 Kết tính tốn thử nghiệm 2.2 Thuật toán giải toán lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến 2.2.1 Mơ tả tốn 2.2.2 Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương với tốn (SCEP) 2.2.3 Thuật tốn tồn cục nhánh-giảm-cận (BRB) giải tốn (SCEP) 2.2.4 Kết tính toán thử nghiệm 6 12 13 13 18 25 25 26 29 32 35 36 37 38 42 49 Chương THUẬT TỐN TRÊN KHƠNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC 57 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 58 iv 3.2 3.3 Thuật tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 3.2.1 Biểu diễn miền tìm kiếm toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) 3.2.2 Thuật tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) 3.2.3 Kết tính tốn thử nghiệm Thuật toán giải toán tối ưu tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 3.3.1 Mơ tả tốn 3.3.2 Thuật tốn tồn cục giải toán (P ) 3.3.3 Kết tính toán thử nghiệm 60 64 68 69 77 78 79 85 KẾT LUẬN CHUNG 89 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 v DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT x ∈ Rn x, y ∈ Rn , x ≤ y x, y ∈ Rn , x ≤ y x, y ∈ Rn , x < y Rn+ u = x ∨ y, x, y ∈ Rn v = x ∧ y, x, y ∈ Rn ei [a, b], a, b ∈ Rn (a, b], a, b ∈ Rn [a, b), a, b ∈ Rn #S clG V (P ) véc-tơ không với số chiều phù hợp x = (x1 , , xn )T , xi ∈ R, i = 1, , n xi ≤ yi , i = 1, , n ∃i ∈ {1, , n} : xi > yi , xi < yi , i = 1, , n {x ∈ Rn | x ≥ 0} ui = max{xi , yi }, i = 1, , n vi = min{xi , yi }, i = 1, , n véc-tơ đơn vị thứ i Rn , tức là, eii = 1, eij = 0, ∀j = i {x ∈ Rn | a ≤ x ≤ b} {x ∈ Rn | a < x ≤ b} {x ∈ Rn | a ≤ x < b} số phần tử tập S bao đóng tập G tập đỉnh tập P vi BB Branch and Bound Thuật toán nhánh cận BRB Branch-Reduce-Bound Thuật toán nhánh-giảm-cận DC Difference of two Convex functions Hiệu hai hàm lồi DCA DC Algorithm Thuật toán hiệu hai hàm lồi DMO Discrete Monotonic Optimization Tối ưu đơn điệu rời rạc FDMA Frequency Division Multiple Access Đa truy nhập phân chia theo tần số MO Monotonic Optimization Tối ưu đơn điệu OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access Đa truy nhập phân chia theo tần số trực giao SCEP Sensor Cover Energy Problem Bài toán lượng phủ cảm biến TDD Time Division Duplexing Song công phân chia theo thời gian TDMA Time Division Multiple Access Đa truy nhập phân chia theo thời gian t.ư tương ứng v.đ.k với điều kiện vii DANH MỤC BẢNG 2.1 2.2 2.3 Kết giải toán (RAP) Thuật toán 2.2 Thuật toán 2.3 36 Kết áp dụng Thuật toán 2.4, 2.5, 2.6 cho toán (SCEP) 50 Kết áp dụng Thuật toán 2.5 cho toán (SCEP) 51 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Dữ liệu Ví dụ 3.1 [69] Kết tính tốn theo Thuật toán 3.1- RA Kết tính tốn theo Thuật toán 3.1- RE Kết tính tốn theo Thuật toán 3.1- NEWVERTEX Kết tính tốn theo Thuật tốn 3.1 với thủ tục cập nhật tìm kiếm cách quản lí khác Kết tính tốn thử nghiệm Thuật toán 3.2 Kết so sánh Thuật toán 3.3 Thuật toán 3.4 3.6 3.7 viii miền 59 73 74 75 76 86 87 d¯ = m j=1 v µj ∈Vj αµj ej + λM (y M − v ) ∈ Rm + , suy y ∈ S Y ⊂ S (iv) Cuối ta chứng minh khẳng định V (Y ) = S = V (convY ) ∩ Y Trước hết ta v k ∈ conv({v , v , , v l } \ {v k }) + Rm + , với k ∈ {1, 2, , l} Thật vậy, giả sử ngược lại v k = u+β, u tổ hợp lồi {v , v , , v l } \ {v k } k j k M β ∈ Rm + Chú ý rằng, với j ∈ {1, , m}, v + (yj − vj )e ∈ conv(Y ) yjM > vjk tồn số tj > cho v k + tej ∈ convY với ≤ t ≤ tj Vì convY lồi nên m conv( {v k + tej |0 ≤ t ≤ tj }) ⊂ convY j=1 Đặt v := v k + λβ, tồn λ > thỏa m v ∈ conv( {v k + tej |0 ≤ t ≤ tj }), j=1 tức v ∈ convY , v k = V (convY ) λ λ+1 u + λ+1 v, điều trái với v k ∈ Từ (iii) (iv) ta kết luận V (Y ) = S = V (convY ) ∩ Y Định lí chứng minh Chú ý 3.3 Do convY = conv(V (convY )) biết nhiều trường hợp tập V (convY ) nhỏ tập Y nhiều nên với Thuật tốn 3.2 ta thay Y V (convY ) Để tìm V (convY ) ta sử dụng thuật toán biết chẳng hạn thuật tốn Quickhull [77] Cuối cùng, chúng tơi đề xuất thuật tốn giải tồn cục tốn (P ) trường hợp hàm ϕ đơn điệu tăng tựa lõm Y Thuật tốn 3.3: Giải tồn cục toán (P ) Bước Dùng thuật toán biết để tính V (convY ), chẳng hạn thuật tốn Quickhull [77] Bước Áp dụng Thuật toán 3.2 với Y := V (convY ) tính tập đỉnh V (Y ) bao Edgeworth-Pareto Y 84 Bước Tính giá trị hàm mục tiêu ϕ điểm V (Y ) để tìm y ∗ ∈ argmin{ϕ(y) | y ∈ V (Y )} Khi y ∗ nghiệm tối ưu toán (OP ) giá trị x∗ thỏa mãn f (x∗ ) = y ∗ nghiệm tối ưu tồn cục tốn (P ) 3.3.3 Kết tính tốn thử nghiệm Chúng tơi lập trình thử nghiệm thuật tốn Matlab phiên R2012a, máy tính cá nhân với cấu hình RAM 8G, Intel core i7 2.26 GHz hệ điều hành Win7-64bit Để tính tập đỉnh bao lồi Y sử dụng lệnh "convhulln" Matlab ("convhulln" thiết kế dựa thuật toán Quickhull [77]) Dữ liệu toán sinh ngẫu nhiên theo sơ đồ sau • f (x) = Cx, ma trận C ∈ {0, 1}m×n sinh ngẫu nhiên • X chứa p (p ∈ N) véc-tơ Rn , viết dạng ma trận cấp p × n Các phần tử X sinh ngẫu nhiên đoạn [0, 1000] • Hàm ϕ có dạng ϕ1 (y) = min{B (y)T z | z ∈ {0, 1}n , aT z ≤ b} ϕ2 (y) = min{B (y)T z | z ∈ {0, 1}n , aT z ≤ b}, a ∈ Rm véc-tơ nguyên sinh ngẫu nhiên đoạn [0, 1000], b = m B k (y) : Rm → Rn , k = 1, cho công i=1 thức αi Bi1 (y) = Πnj=1 yj j , αji ≥ 0, yj ≥ 0, i = 1, , n; j = 1, , m n Bi2 (y) αji log(yj + 1), αji ≥ 0, yj ≥ 0, i = 1, , n; j = 1, , m = j=1 Rõ ràng ϕ1 ϕ2 hàm đơn điệu tăng tựa lõm theo y Như ta áp dụng Thuật toán 3.3 để giải toán (P ) Chúng tơi tính ϕ điểm y cách sử dụng CVX 2.1 kèm theo Gurobi Solver 6.0 (academic version at http://cvxr.com/cvx/ and http://www.gurobi.com/) cho việc giải toán quy hoạch nguyên 85 Thuật toán 3.2 Thuật toán 3.3 thử nghiệm cho trường hợp p = 106 , p = 105 m = 2, 3, 4, Các hệ số {αji }i=1, ,n j=1, ,m sinh ngẫu nhiên đoạn [0, 1], [0, 0.5] [0, 0.25] theo thứ tự với n = 20, n = 50 n = 100 Với cỡ tốn chúng tơi chạy cho 10 ví dụ sinh ngẫu nhiên lấy kết trung bình cho 10 ví dụ Kí hiệu #S số phần tử trung bình tập S cho 10 ví dụ, S V (convY ), V (Y ) YN Chúng so sánh Thuật tốn 3.3 với cách làm trực tiếp - tính YN từ tập Y sau tính giá trị hàm mục tiêu tất điểm YN để thu nghiệm tối ưu toán (Thuật tốn 3.4) Cách tính YN từ tập Y tương tự [69, Thuật toán 8.1, trang 209] Chi tiết Thuật tốn 3.4 sau Thuật tốn 3.4: Giải tồn cục toán (P ) cách làm trực tiếp Bước 1: Tính YN =MinY từ tập Y biết theo thuật toán biết (chẳng hạn, [69, Thuật toán 8.1, trang 209]) Bước 2: Tính giá trị hàm mục tiêu ϕ điểm YN để tìm y ∗ ∈ argmin{ϕ(y) | y ∈ YN } nghiệm tối ưu toán (OP ) Điểm x∗ ∈ X thỏa mãn f (x∗ ) = y ∗ nghiệm tối ưu tồn cục tốn (P ) Bảng 3.6: Kết tính tốn thử nghiệm Thuật toán 3.2 m n 20 50 100 20 50 100 20 50 100 20 50 100 #V (convY ) 17.4 15.3 15.7 80.8 77.7 72.2 301 256.3 231.8 853.3 658.7 621.8 p = 105 #V (Y ) 3.6 3.6 3.8 9.1 9.4 7.2 18.6 12.5 13.3 23.2 21.8 19.8 CPU(s) 0.0952 0.1092 0.1544 0.117 0.1778 0.2059 0.1763 0.1981 0.2262 0.5772 0.4586 0.4352 86 #V (convY ) 20.2 17.6 17.7 111.8 94 87.9 450.9 356.5 307.2 1477.6 1060 967.2 p = 106 #V (Y ) 4.3 3.9 3.8 9.9 8.9 9.5 18.4 15.7 15.3 38 25.8 24.7 CPU(s) 0.7972 0.9313 1.3775 0.9859 1.0889 1.3806 1.2511 1.2293 1.4087 2.5943 2.3228 2.5225 Bảng 3.7: Kết so sánh Thuật toán 3.3 Thuật toán 3.4 p m 105 106 n 20 50 100 20 50 100 20 50 100 20 50 100 20 50 100 20 50 100 20 50 100 20 50 100 #V (convY ) 17.4 15.3 15.7 80.8 77.7 72.2 301 256.3 231.8 853.3 658.7 621.8 20.2 17.6 17.7 111.8 94 87.9 450.9 356.5 307.2 1477.6 1060 967.2 #V (Y ) 3.6 3.6 3.8 9.1 9.4 7.2 18.6 12.5 13.3 23.2 21.8 19.8 4.3 3.9 3.8 9.9 8.9 9.5 18.4 15.7 15.3 38 25.8 24.7 #YN 8.1 6.2 6.7 25.8 24.4 15.8 55.4 40.4 40.7 73.3 74.7 71.7 8.4 6.9 7.4 23.9 26.4 27.9 61.2 61 64.3 153.5 96.3 104.9 ϕ1 -CPU(s) Thuật toán 3.3 Thuật toán 3.4 0.4961 1.5647 0.5148 1.4305 0.5476 1.2355 0.883 3.4382 1.0436 3.705 0.9079 3.3524 1.7628 8.2446 1.3073 8.1417 1.3666 6.1527 2.6767 17.6843 2.5085 16.0198 2.028 10.1697 1.1716 6.4912 1.2527 7.5161 1.7004 5.2385 1.8548 14.1774 1.9812 17.6796 2.3057 19.8917 2.8532 57.0823 2.4617 41.3278 2.6411 42.4744 5.694 119.2986 4.6691 90.2169 4.6597 79.9053 ϕ2 -CPU(s) Thuật toán 3.3 Thuật toán 3.4 0.4118 1.4945 0.4212 1.3884 0.468 1.2168 0.8268 3.4164 0.9204 3.6379 0.8315 3.2885 1.702 8.1838 1.1778 7.9202 1.2558 5.9187 2.4476 17.0915 2.3478 15.8404 1.989 10.0543 1.1794 6.4319 1.2698 7.5161 1.7098 5.1886 1.8174 14.11654 1.8751 17.5361 2.1887 19.848 2.6676 56.8982 2.4461 41.0922 2.6005 42.2607 5.577 119.26276 4.4164 90.1218 4.4725 79.7103 Từ kết số thu ta rút số nhận xét sau • Thuật tốn 3.2 tính tập đỉnh bao Edgeworth-Pareto toán tối ưu đa mục tiêu hiệu trường hợp số lượng điểm tập ràng buộc 106 số lượng hàm mục tiêu • Thuật tốn 3.3 sử dụng bao Edgeworth-Pareto giải toán tối ưu hàm tựa lõm, đơn điệu tăng tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc hiệu Thuật toán 3.4 tập ràng buộc rời rạc có số lượng điểm lớn việc tính giá trị hàm mục tiêu điểm đòi hỏi nhiều thời gian tính tốn Kết luận Chương luận án nghiên cứu thuật toán giải hai toán tối ưu không lồi tối ưu đa mục tiêu rời rạc • Bài tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc - Sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc - Chúng đề xuất thủ tục cập nhật miền tìm kiếm sử dụng cho lược đồ chung GM để tìm tồn tập giá trị hữu hiệu 87 - Nghiên cứu ảnh hưởng việc quản lí tốn lưu suốt q trình tìm kiếm thơng qua việc khảo sát lược đồ chung GM với bốn cách quản lí khác - Thuật tốn đề xuất lập trình so sánh với thuật tốn biết cho nhiều ví dụ có sẵn sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ toán từ nhỏ đến lớn Kết số cho thấy hiệu lược đồ chung GM phụ thuộc lớp toán cần giải, thủ tục cập nhật miền tìm kiếm cách quản lí tốn lưu • Bài tốn tối ưu tập hữu hiệu - Chúng tơi xét lớp toán tối ưu tập hữu hiệu với hàm mục tiêu đơn điệu tăng tựa lõm, miền ràng buộc tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc - Chúng tơi đề xuất thuật tốn tính tồn tập đỉnh bao EdgeworthPareto không gian ảnh sử dụng kết cho việc đề xuất thuật toán tồn cục giải tốn tối ưu tập hữu hiệu xét - Tính hiệu thuật tốn đề xuất thể thơng qua việc lập trình thử nghiệm cho nhiều ví dụ sinh ngẫu nhiên với nhiều cỡ toán khác 88 KẾT LUẬN CHUNG Những đóng góp luận án Luận án nghiên cứu thuật toán giải số tốn tối ưu khơng lồi có nhiều ứng dụng thực tế, cụ thể là: Đối với toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD, xây dựng mơ hình tốn học cho tốn dạng tốn quy hoạch tuyến tính nhị phân Sau đó, sử dụng tiếp cận liên tục (kĩ thuật hàm phạt) toán đưa dạng tốn tối ưu DC Cuối chúng tơi đề xuất thuật tốn tồn cục nhánh cận kết hợp DCA để giải toán Đối với toán lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến, chúng tơi xuất phát từ mơ hình tốn tối ưu khơng lồi liên tục khó (với ràng buộc không lồi), đề xuất Astorino Miglionico [39] Bằng cách khai thác tính chất từ cấu trúc đơn điệu tốn, chúng tơi đề xuất ba thuật toán giải toán trên, bao gồm: thuật tốn tìm nghiệm địa phương, thuật tốn toàn cục dựa lược đồ nhánh-giảm-cận cổ điển thuật toán cải tiến thuật toán nhánhgiảm-cận cổ điển Trong đó, thuật tốn tồn cục thu sau toán gốc đưa toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương Đối với tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu cho toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, đề xuất thủ tục cập nhật miền tìm kiếm dùng cho lược đồ GM để tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Ngồi ra, chúng tơi cịn nghiên cứu ảnh hưởng việc quản lí tốn lưu suốt q trình tìm kiếm thơng qua việc khảo sát lược đồ GM với số cách quản lí khác Đối với toán tối ưu tập hữu hiệu, chúng tơi xét lớp tốn dạng với hàm mục tiêu không giảm tựa lõm, miền ràng buộc tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc với ràng buộc cho tập hữu hạn điểm Chúng đề xuất thuật tốn tính tồn tập đỉnh bao Edgeworth-Pareto không gian ảnh sử dụng kết cho việc đề xuất thuật tốn tồn cục giải toán Tất thuật toán đề xuất luận án lập trình thử nghiệm so sánh với phương pháp khác nhiều liệu sinh ngẫu nhiên có sẵn Kết số tổng hợp, phân tích kĩ lưỡng cho thấy tính hiệu ý nghĩa việc đề xuất thuật toán 89 Hướng nghiên cứu Tiếp tục triển khai tìm hiểu toán xuất phát từ vấn đề thực tế nghiên cứu xây dựng mơ hình toán học thuật toán phương pháp giải cho tốn 90 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] N.C Nam, P.T Hoai (2017), "A continuous DC programming approach for resource allocation in OFDMA/TDD wireless networks", Computers & Operations Research, Vol 82, pp 95-101 (ISI) [2] P.T Hoai, L.T.H An, N.C Nam (2017), "An exact approach for solving the supplier selection problem in multi-service outsourcing", in: Conference Proceedings of IESM 2017 (The 7th International Conference on Industrial Engineering and Systems Management Saarbrăucken, Germany, October 11-13, 2017), pp 541-546 [3] P.T Hoai, H Tuy (2018), "Monotonic optimization for sensor cover energy problem", Optimization Letters, Vol 12 (7), pp 1569–1587 (ISI) [4] P.T Hoai, L.D Muu, T.N Thang (2018), "Optimization over the efficient set of multiple objective discrete programs using the Edgeworth-Pareto hull in outcome space", Pacific Journal of Optimization, Vol 14 (4), pp 581–594 (ISI) [5] P.T Hoai, L.T.H An, N.C Nam (2020), "Half-open polyblock for the representation of the search region in multiobjective optimization problems: its application and a computational aspects", accepted for publication in 4OR-A Quarterly Journal of Operations Research (ISI) 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Tuy (1964), "Concave programming under linear contraints", Soviet Math Dokl., Vol 5, pp 1437-1440 [2] H Tuy (2016), "Convex Analysis and Global Optimization", the second edition, Springer International Publishing AG Switzerland [3] L.T.H An, P.D Tao (2018), "DC programming and DCA: thirty years of developments", Math Program., Ser B, Vol 169 (1), pp 5-68 [4] L.T.H An, P.D Tao (2001), "A continuous approach for globally solving linearly constrained quadratic zero-one programming problems", Optimization, Vol 50, pp 93-120 [5] H.P Benson (1998), "An outer approximation algorithm for generating all efficient extreme points in the outcome set of a multiple objective linear programming problem", J Global Optim., Vol 13, pp 1-24 [6] I Das, J.E Dennis (1998), "Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems", SIAM J Optim., Vol 8, pp 631-657 [7] Y.Y Haimes, L.S Lasdon, D.A Wismer (1971), "On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization", IEEE Trans Syst Man Cyber., Vol 1, pp 296-297 [8] P.L Yu (1985), "Multiple-criteria decision making: Concepts, techniques and extensions", Plenum Press, New York [9] A Ben-Tal (1980), "Characterization of Pareto and lexicographic optimal solutions", Lecture Notes in Eco and Math Sys., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Vol 177, pp 1-11 [10] R.E Steuer (1986), "Multiple criteria optimization: Theory, computation and application", Wiley, New York [11] M Laumanns, L Thiele, E Zitzler (2006), "An efficient, adaptive parameter variation scheme for metaheuristics based on the epsilon-constraint method", Eur J Oper Res., Vol 169(3), pp 932-942 92 [12] T Ralphs, M Saltzman, M.M Wiecek (2006), An improved algorithm for solving biobjective integer programs, Ann Oper Res., Vol 147, pp 43-70 [13] K Dăachert, K Klamroth (2015), "A linear bound on the number of scalarizations needed to solve discrete tricriteria optimization problems", J Glob Optim., Vol 61(4), pp 643-676 [14] C Dhaenens, J Lemesre, E.G Talbi (2010), "K-PPM: A new exact method to solve multiobjective combinatorial optimization problems", Eur J Oper Res., Vol 200(1), pp 45-53 [15] J Lemesre, C Dhaenens, E.G Talbi (2007), "Parallel partitioning method (PPM): A new exact method to solve bi-objective problems", Comput Oper Res., Vol 34(8), pp 2450-2462 [16] J Sylva, A Crema (2004), "A method for finding the set of non-dominated vectors for multiple objective integer linear programs", Eur J Oper Res., Vol 158(1), pp 46-55 [17] B Lokman, M Kăoksalan (2013), "Finding all nondominated points of multiobjective integer programs", J Glob Optim., Vol 57(2), pp 347-365 ă [18] M Ozlen, M Azizoglu (2009), "Multi-objective integer programming: a general approach for generating all non-dominated solutions", Eur J Oper Res., Vol 199, pp 25-35 [19] W Zhang, M Reimann (2014), "A simple augmented ε-constraint method for multi-objective mathematical integer programming problems", Eur J Oper Res., Vol 234(1), pp 15-24 [20] G Mavrotas (2009), "Effective implementation of the ε-constraint method in multiobjective mathematical programming problems", Appl Math Comput., Vol 213(2), pp 455-465 [21] G Mavrotas, K Florios (2013), "An improved version of the augmented εconstraint method (AUGMECON2) for finding the exact Pareto set in multiobjective integer programming problems", Appl Math Comput., Vol 219(18), pp 9652-9669 [22] G Kirlik, S Sayın (2014), "A new algorithm for generating all nondominated points of multiobjective discrete optimization problems", Eur J Oper Res., Vol 232, pp 479-488 93 [23] K Dăachert, K Klamroth, R Lacour D Vanderpotten (2017), "Efficient computation of the search region in multi-objective optimization", Eur J Oper Res., Vol 160, pp 841-855 [24] K Klamroth, R Lacour, D Vanderpooten (2015), "On the representation of the search region in multi-objective optimization", Eur J Oper Res., Vol 245, pp 767-778 [25] A Przybylski, X Gandibleuc, M Ehrgott (2009), "A two phase method for multi-objective integer programming and its application to the assignment problem with three objectives", Discrete Optimization, Vol 7, pp 149-165 [26] J Philip (1972), "Algorithms for vector maximization problem", Math Prog., Vol 2, pp 85-106 [27] H.P Benson (1984), "Optimization over the efficient set", J Math Anal Appl., Vol 98, pp 562-580 [28] H.P Benson (1991), "An all-linear programming relaxation algorithm for optimizing over the efficient set", J Glob Optim., Vol 1, pp 84-104 [29] L.T.H An, L.D Muu, P.D Tao (1996), "Numerical solution for optimization over the efficient set by d.c optimization algorithms", Vol 19(3), Oper Res Lett., pp 117-128 [30] S Bolintineanu (1993), "Minimization of a quasi-concave function over an efficient set", Math Prog., Vol 61, pp 89-110 [31] H Bonnel, J Collonge (2013), "Stochastic optimization over a Pareto set associated with a stochastic multiobjective optimization problem", J Optim Theory & Appl., Vol 162 (2), pp 405-427 [32] J.P Dauer, T Fosnaugh (1995), "Optimization over the efficient set", , J Glob Optim., Vol 7, pp 261-277 [33] J Făulăop (1994), "A cutting plane algorithm for linear optimization over the efficient set", in: Generalized Convexity, Lecture notes in Economics and Mathematical System, Vol 405, pp 374-385, Springer-Verlag, Berlin [34] R Horst, N.V Thoai, Y Yamamoto, D Zenke (2007), "On optimization over the efficien set of linear multicriteria programming", J Optim Theory Appl., Vol 134, pp 433-443 [35] N.T.B Kim, L.D Muu (2002), "On the projection of the efficient set and potential application", Optim., Vol 51, pp 401-421 94 [36] H.Q Tuyen, L.D Muu (2001), "Biconvex programming approach to optimization over the weakly efficient set of a multiple objective affine fractional programming problem", Oper Res Lett., Vol 28, pp 81-92 [37] P.T Thach, H Konno, D Yokoda (1996), "Dual approach to optimization on the set of Pareto-optimal solutions", J Optim Theo Appl., Vol 88, pp 869-707 [38] L.D Muu and L.Q Thuy (2011), "Smooth optimization algorithms for optimizing over the Pareto efficient set and their application to Minmax flow problems", Vietnam Journal of Mathematics, Vol 39 (1), pp 31-48 [39] A Astorino, G Miglionico (2016), "Optimizing sensor cover energy via DC programming", Optim Lett., Vol 10 (2), pp 355-368 [40] P.D Tao, L.T.H An (1997), "Convex analysis approach to DC programming: theory, algorithms and applications", Acta Math Vietnam., Vol 22(1), pp 289355, Dedicated to Hoang Tuy on the occasion of his seventieth birthday [41] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển (2014), "Giáo trình giải tích lồi ứng dụng", Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [42] H Tuy, M Minoux, N.T.H Phuong (2006), "Discrete monotonic optimization with application to a discrete location problem", SIAM J Optim., Vol 17, pp 78-97 [43] H Tuy (2000), "Monotonic optimization: Problems and solution approaches", SIAM J Optim., Vol 11, pp 464-494 [44] Hoàng Tụy (2006), "Lí thuyết tối ưu", Bài giảng lớp cao học Viện Toán học [45] L.T.H An, P.D Tao, L.D Muu (1999), "Exact penalty in d.c programming", Vietnam Journal of Mathematics, Vol 27(2), pp 169-178 [46] L.T.H An, P.D Tao (2005), "The DC (Difference of convex functions) programming and DCA revisited with DC models of real world nonconvex optimization problems", Ann Oper Res., Vol 133, pp 23- 46 [47] L.T.H An, P.D Tao (2014), "DC programming in communication systems: challenging problems and methods, Vietnam J Comput Sci., Vol 1, pp 15-28 [48] T Ali-Yahiya, A.L Beylot, G Pujolle (2010), "Downlink resource allocation strategies for ofdma based mobile wimax", Telecommunication Systems, Vol 44, pp 29-37 95 [49] E.B Rodrigues, F Casadevall (2011), "Control of the trade-off between resource efficiency and user fairness in wireless networks using utility-based adaptive resource allocation", IEEE Communications Magazine, Vol 49, pp 90-98 [50] A Bacioccola, C Cicconett, L Lenzini, E Mingozzi, A Erta (2007), "A downlink data region allocation algorithm for ieee 802.16e ofdma", in: Proc 6th Int Conf Information, Communications and Signal Processing, pp 1-5 [51] T Wand, H Feng, B Hu (2008), "Two-dimensional resource allocation for ofdma system", in: Proc IEEE Int Conf Communications Workshop,Beijing, China, pp 1-5 [52] C Cicconetti, L Lenzini, A Lodi, S Martello, E Mingozzi, M Monaci (2014), "Efficient two-dimensional data allocation in ieee 802.16 ofdma", IEEE/ACM Transactions on Networking, Vol 22 (5), pp 1645-1658 [53] E Rodrigues, F Casadevall, P Sroka, M Moretti, G Dainelli (2009), "Resource allocation and packet scheduling in ofdma-based cellular networks", in: Proc 4th International Conference on Cognitive Radio Oriented Wireless Networks and Communications, pp 1-6 [54] N.C Nam, P.T Hoai, T.V Huy (2015), "DC Programming and DCA approach for resource allocation aptimization in OFDMA/TDD wireless networks", Springer International Publishing Switzerland 2015, H.A Le Thi et al (eds.), Advanced Computational Methods for Knowledge Engineering, Advances in Intelligent Systems and Computing, 358, DOI: 10.1007/978-3-31917996-4_5 [55] L.T.H An, P.D Tao (2002), "DC Programming: Theory, Algorithms and Applications The State of the Art", 26 pages Proceedings of The First International Workshop on Global Constrained Optimization and Constraint Satisfaction (Cocos’ 02)", Valbonne-Sophia Antipolis, France [56] R Horst and H Tuy (1993), "Global Optimization: Deterministic Approaches", the second edition, Springer, Berlin, New York [57] N.T.B Kim (2014), "Các phương pháp tối ưu: lí thuyết thuật tốn", Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội [58] P.D Tao, N.C Nam, L.T.H An (2009), "DC Programming and DCA for globally solving the value-at-risk", Comput Manag Sci., Vol 6(4), pp 477-501 96 [59] P.D Tao, N.C Nam, L.T.H An (2010), "An efficient combined DCA and B&B using DC/SDP relaxation for globally solving binary quadratic programs", J Glob Optim., Vol 48(4), pp 595-632 [60] J Yick, B Mukherjee, D Ghosal (2008), "Wireless sensor network survey", Comput Netw., Vol 52, pp 2292-2330 [61] R Mulligan (2010), "Coverage in wireless sensor networks: a survey", Netw Protoc Algorithms, Vol 2, pp 27–53 [62] A Alfieri, A Bianco, P Brandimarte, C.F Chiasserini (2007), "Maximizing system lifetime in wireless sensor networks", Eur J Oper Res., Vol 181, pp 390402 [63] N Bartolini, T Calamoneri, T La Porta, C Petrioli, S Silvestri (2012), "Sensor activation and radius adaptation (SARA) in heterogeneous sensor networks", ACM Trans Sensor Netw (TOSN), Vol 8(3), aricle 24, 34 pages, https://doi.org/10.1145/2240092.2240098 [64] M Cardei, D Du (2005), "Improving wireless sensor network lifetime through poweraware organization", Wirel Netw., Vol 11, pp 333-340 [65] M Cardei, J Wu (2006), "Energy-efficient coverage problems in wireless adhoc sensor networks", Comput Commun., Vol 29, pp 413-420 [66] M Cardei, L Mingming, M.O Pervaiz (2005), "Maximum network lifetime in wireless sensor networks with adjustable sensing ranges", In: Proceedings of the IEEE International Conference on Wireless and Mobile Computing, Networking and Communications (WiMob), Vol 3, pp 438-445 [67] R Cerulli, R De Donato, A Raiconi (2012), "Exact and heuristic methods to maximize network lifetime in wireless sensor networks with adjustable sensing ranges", Eur J Oper Res., Vol 220, pp 58-66 [68] Z Zhou, S.R Das, H Gupta (2009), "Variable radii connected sensor cover in sensor networks", ACM Trans Sensor Netw., Vol 5, pp 8-36 [69] M Ehrgott (2005), "Multicriteria Optimization", Springer, Berlin [70] D Klein, E Hannan (1982), "An algorithm for the multiple objective integer linear programming problem", Eur J Oper Res., Vol 9(4), pp 378-385 ă [71] M Ozlen, B.A Burton, C.A.G MacRae (2014), "Multi-objective integer programming: an improved recursive algorithm", J Optim Theory Appl., Vol 160(2), pp 470-482 97 [72] B Feng, Z.P Fan, Y Li (2011), "A decision method for supplier selection in multi-service outsourcing", Int J Production Economics, Vol 132, pp 240-250 [73] A.I Pospelov (2016), "Haussdorf methods for approximating the convex Edgeworth-Pareto hull in integer problems with monotone objectives", Comput Math & Math Phys., Vol 56, pp 1388-1401 [74] R.V Efremov (2015), "Convergence of Haussdorf approximation method for the Edgeworth-Pareto hull of a compact set", Comput Math and Math Phys., Vol 25, pp 1171-1178 [75] M Ehrgott, X Gandibleux, A Przybylski (2016), "Exact Methods for MultiObjective Combinatorial Optimisation", Inter Series in Oper Res & Manag Sci., Vol 233, pp 817-850 [76] A.I Pospelov (2009), "Approximating the Convex Edgeworth Pareto Hull in Integer Multi objective Problems with Monotone Criteria", Comput Math & Math Phys., Vol 49 (10), pp 1686-1699 [77] C.B Barber, D.P Dobkin, H.T Huhdanpaa (1996), "The Quickhull Algorithm for Convex Hulls", ACM Transactions on Mathematical Software, Vol 22(4), pp 469-483 98 ... y , y nghiệm tối ưu toán tối ưu lồi sau max x, y x∈C Bài toán tối ưu DC đối ngẫu DC Bài tốn tối ưu DC (hay cịn gọi toán tối ưu hiệu hai hàm lồi) lớp toán quan trọng tối ưu không lồi nghiên cứu... 25]) Một tốn tối ưu khơng lồi liên quan chặt chẽ với toán tối ưu đa mục tiêu Bài toán tối ưu tập hữu hiệu (hay Bài tốn tối ưu tập Pareto) Đó toán tối ưu hàm số tập nghiệm hữu hiệu XE toán tối ưu. .. bày số kết liên quan đến hai toán tiêu biểu tối ưu không lồi tối ưu DC tối ưu đơn điệu Cụ thể là: • Với tốn tối ưu DC, khái niệm quan trọng tối ưu nói chung tối ưu DC nói riêng như: hàm lồi thường,