ĐỒN QUỲNH HÌNH HỌC VI PHÂN V - (Ợ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC - 2000 - r ề ^ G D -00 194/165-00 Mà số : 7K279M0 LỊI N Ĩ I Đ Ầ U Giáo trĩnh Hĩnh học vi phản giáo trĩnh v'ê hình học vi phản cổ điển (lí thuyết vầ dường vă mặt không gian Euclid hai, ba cỉiiều), đồng thời mó đâu lí thuyết đa tạp khả vi tạp Riemann Chương Ị nhìn lại phép tinh giải tích tộtp mỏ khơng gian Eucíid quan diểni ứng dụng vào nghiên cứu hình học, nhăn mạnh đạo hàm hàm sổ theo vectơ tiếp xúc, ảnh xạ tiếp xúc cùa ảnh xạ khả vi, trường vectơ dạng vi phân (vả có để ý phần tách bạch cáu trúc afin cáu trúc kỉĩông gian vectơ E" vói Chương l ĩ trình bày li thuyết dường chương l ĩ l trink bày li thuyết ĩìiật E^ Do kiến thức thường trang bi cho sinh viên khoa Thán " Lỷ trường Đại học sư phạm, Đại học khoa học tụ nềiién vầ ỏ mức dộ nhát dinh cho sinh viền trường Dại học kỉ thuật Trong hai chương có nêu địnỉĩ nghia tương đổi cần thận vầ dường, m ặt uà có bước dàu giới thiệu khái niệm da tạp m ột chiêu, hai chiều E" (Tuy nhiên, giáo trình khơng d ặ t nặng vào nghiên cứu chi tiết ván đê liên quan dến ”kỉ d ị ” đường, mặt, v.v ) Chương r v đe cãp ềiìnỉi học nội mặt (các khải niệm v'ê mặt E'^ bát biến qua vi pkôi dàng cự mặt đó) niỏ rộng it nhiầu cho da tạp Riemann hai cỉiiều, chủ yếu dè cập dến cung trác dịa, độ cong Gauss chương dược kết thúc định lí Gauss-Bonnet Dể dơn giàn tính tốn vấn dề dược trình bày trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn với việc sử dụng dạng vi phân Trong chương cố nêu ví dụ dáng đ ể ý (dặc biệt sinh viên trường Đại học sư phạm) mơ hình Poincaré cùa hình học Lobatchevski phàng Một giáo trình giản yếu vầ lí thuyết đường m ặt coi gồm chương I (trình bày đơn giản, coi ơn tập vẽ "Giải tích”), chương //, ỈU va phằn chương IV Chương V giói thiệu da tạp khả vi đ a tạp Riemann Phản dành cho sinh viên muốn mô rộng tầm hiểu biết CỚ€ ván đè đè cập mỏ rộng, làm xác khải niệm dã trình bày chương trưóc Tuy có nhiầu tính chát (đặc biệt phần ”đa tạp khả vi'*)đã không chứng minh d'ăy dù sách dã có gàng nêu ý nghỉa ván đề ưà cố nhiầu ví dụ cụ thể Trong phần ”đa tạp Riemann"y phủn lón kết đầu chứng minh chủ yếu đè cộp đến cung trác địa, ánh xạ mủ Exp, trường ưacobi, độ cong tiết diện đa tạp Riemann da tạp Riemann có dộ cong tiết diện hàng So sảnh vói giảo trình Hình học ui phân đá xuát năm 1989 tác giả (và Nhà xuát Giáo dục), sách có nhiều thay đổi : thêm hản chương V, thêm nhiêu lời hướng dản giải tập, số điêu dã dược dơn giản hóa, xác hóa, sáp xép ỉạỉ Tầc giả hy vọng sách giúp ích cho giáo viên, sinh ưiên khoa Toán - Lý trường Dại học sư phạm, Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học kỉ thuật cà giáo viển trường Cao đàng sư phạm, cảc trường Trung học Phổ thông Tảc giả chăn thành cùni on PTS Trăn Phưong Dung dă biẽn tập, dồng thời đá giúp tác già khắc phục nhiều sơ suát bién soạn giáo trình Tháng 6/1999 T ác giả PHÉP TÍNH GlẤl TÍCH TRONG KHƠNG GIAN EUCLID E” VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA E" Chưưng §1 ĐẠ O H À M C Ủ A H À M V E C T O Phấn chủ yếu nhác lại số điéu đơn sơ vế đạo hàm hàm vectơ trình bày giáo trỉnh "Giải tích", nói số kí hiệu dùng sách 1.1 vectơ E" khơng gian Euclid n chiểu Tích vơ hướng hai ^ kí hiệu a ^ chuẩn a kí hiệu 1« 11» — a a = a E" không gian Euclid n chiéu tức không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclid n chiểu E" Khoảng cách hai điểm p, q thuộc IIpq II Mục tiêu afin họ (O, p 02, e^), o G E" gốc tọa độ, (6 p e^, e^) sở E" Điểm p G E" cd tọa độ (x*, x^, x") đổi với mục tiêu cd nghĩa ià n Op = ^ x'eị Các hàm số X*, x^, x" E" gọi i=1 hàm tọa dơ Cung kí hiệu mục tỉơu (hẹ tọa độ) afìn đố Ox*x^ x" Khi sờ (ep 02, trực chuẩn, tức (i, j = 1, 2, Xì) ta hệ tọa độ Descartes vuống góc Khi đd p có tọa độ (x^, x^, x^), q có tọa độ (y^, y^, y'^) khoảng cách p, q Sau chọn hệ tọa độ Descartes vng góc E" thỉ cd th ể vói với cơng thức khoảng cách vừa viết u tập hợp tùy ý (sau thường tập hay R^), ánh xạ X : u ^ E" hàm vectơ (xác định u, giá trị E'^) Chọn sở (ep thỉ cho X tương đương với cho n hàm sô x' Khi u = J khoảng R, cho hàm vectơ X : J t —> Xịt) thỉ đạo hàm X t (nếu có) Ai-h-0 n Nếu X(t) = ^ x'(t) 6ị (trong sở (6 p e^, , e^) ! E^) thỉ x*(t) = ^ (x')’(t)ej Nếu X khả vi (tức có đạo hàm X’) X hàm X’(t) = 0, Vt G J (cũng viết ? = õ) 1.3 Với hàm vectơ X, Y xác định tập ư, giá trị E^, với hàm số Ã" 6/2 Ã" "à dạng (ớ* e Q*(U), i = 1, 2, k + /) [HƯỚNG DẨN : Cho tác động hai v ế vào (Op Ơ2 , = > ự’; ; dx'k A dx'l A dx '2 A A dx'k : ^ ỹ: < Ì:ị < i,: < - ãã> V^ôk)); (p E u ; a j, a 2, cc^ E TpU) làmột ánh xạ R “ tuyến tính, r bào tổn tích ngồi dạng vi phân, f* giao hốn với vi phân ngồi cịn có thêm ánh xạ khả vi g : V —» w (tập mở E^) thỉ (g o f)* = f* o g* §5 ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ 5.1 Đạo hàm trường vectơ dọc cung tham 5.1.ỉ Định nghĩa : Cho cung tham sổ p : số ỏt ♦ p{t) cho trường vectơ X dọc p ; X xác định hàm vectơ X : J E", X(t) = X(t)), xét trưịng vectơ dọc t X ’(t) = (/^(t), x*(t.)), gọi đạo hàni X dọc p E" Đôi để làm rõ biến số t, người D DX ^ X hay Sau ta kí hiệu trường vectơ X’ dọc p dó tiếp tục xét trường vectơ (X’)’ D^X doc p mà ta kí hiệu X’* ( hay — Cho ánh xạ (khả vi) A: I o khoảng J thi rổ ràng với t p J, s v.v » A(s) = t, từ khoảng I trường vectơ X dọc p \ i E", ta có trường vectơ X Ằ dọc cung tham số o Ả : I —► 55 ỎĂ D ( X o A ) ds , D X " ds ( dt ) DX dt DXdt ^ dt ’ mà người ta viết không thật cấn thận (công thức suy từ công thức đổi biến sô cùa hàm vectơ biến số) Trường vectơ X dọc cung tham sổ f E", t ♦ p{t), gọi trường vectơ song song dọc p hàm vectơ tương ứng X : J —► hàm Vậy X song song dọc p D X -3— = dt 5,1.2 X, Y trường vectơ dọc cung tham số p : J -* E", t »-+ p{t),
)H, mà dx“(Ej) = Ì= I suy (C~ ')Hdxj j= Từ dớ^ = d(C~*)Ị' A dxJ, j = ỵ = (C-l )fdCj A cuH A Ớ!Ì = J = ( C- Í ) j dx/ ; n h n g ij/=l từ ỵ (C-I)fc‘ = ỗ\ suy i= l ỵ + Ỷ d (c-')fc; i = I I; (C -l)fd C j = ; i = A = j= - 1; d (c-> )fcj A (c-V /d x^ = i.j/ = = - X d ( C - > ) f j A dx^ ự=l = - ^ (dC" ‘)j= A dxi = - dớ*' j= i _ Ta cịn cd cơng thức sau gọi ià phương trình cáu trúc thứ hai E" trường mục tiêu {Uj} ; n dwJ = - A cưh k= ri II Thực vậy, aJ = (C“ *)ị,dCỊ' nên J = ỵ ^ d(C-*)ị A d ‘ k= k= n H k= 62 n A = (C"'y,dC', A (C-')|^dC[" = /.k.nỉ = - : d (C -'y ,c í m (C-')Ị;^dC| A /.k.m = - d (c -'y ,< , A dCP’ = - ^ k /,m = d (c -'y ^ A dc|^ = - dw { I 5,3 J Ví dụ 1) {U } trường mục tiêu song song tập mở u c rõ ràng (O = (cưj) ma trận (0 ) (mọi dạng vi phân ojị = ) Ngược lại cư = (o>j) = (0) ma trận dạng liên kết E" trường mục tiêu {Uị} tập mở liên thơng cung c E" Dưị = 0, trường vectơ Uị trường vectơ song song, {Uj} trường mục tiêu song song Xét trường mục tiêu tọa độ cực {ư p U } với tọa độ cực (r, (r > , < y> < jr) \ Ox'*' Uj = cos^Eị + sin^E Ư = “ sìii 9?Eị + cosy?E2, {Ej, E } trường mục tiêu song song ứng với hệ tọa độ Descartes vng góc tương ứng với tọa độ cực đđ Như thế, c = từ đd co = C“ ^dC = cos
