Giáo trình quy hoạch tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN ThS N guyễn Đức Hiến Giáo trình Q U Y H O Ạ G H T U Y Ế N T ÍN H (BÀI TẬP ỨNG DỤNG CĨ LỜI GIẢI) NHÀ XUẤT BẢN THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG Hà Nội - 2009 LỜI NĨI ĐẦU Tốn Quy hoạch tun tính ứng đụng rộng rãi kinh tế, kỹ thuật nhiều lĩnh vực khác Bài tốn quy hoạch tuyến tính đa dạng như: lập kế hoạch sản xuất, kế hoạch vận chuyển hàng hóa, quy hoạch nơng trang, quy hoạch sử dụng đất, rừng, đầu tư tài chính, điều chế vận tải Mục tiêu tốn quy hoạch tuyến tính tìm phương án tối ưu mà đặt điều kiện định nhằm đạt lợi nhuận cao nhất, cni phí thấp nhất, sử dụng lao động họp lý nhất, sử dụng nguyên liệu nguồn tài nguyên khác để đạt hiệu cao Quy hoạch tuyến tính mơn học bắt buộc trường đại học thuộc khối ngành khoa học tự nhiên, sư phạm, kinh tế môn thi tuyên sau đại học khối ngành kinh tế Nội dưng 'Giáo trình Quy hoạch tuyến tính" gồm chương: C hương 1: Bài tốn quy hoạch tuyến tính tống qt mơ hình tốn học Chương 2: Phương pháp đơn hình Chương 3: Quy hoạch đối ngẫu Chương 4: Bài toán vận tải Chương 5: Bài toán luồng cực đại mạng Cuốn sách với nhũng nội dung quy hoạch tuyến tính cấu trúc đa dạng toán cách chuyển đổi sang cấu trúc tắc, chuẩn tắc tốn quy hoạch tuyến tính, cấu trúc tốn đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính, phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính trình bày sách với ví dụ minh họa, đặc biệt nhiều toán ứng dụng nhiều lĩnh vực khác giúp ích nhiều cho bạn sinh viên, nghiên cứu sinh nhà quản lý, nhà nghiên cứu kinh tế khoa học Cuốn sách biên soạn với tham khảo, cập nhật tài liệu chuân quốc tế, nhiều tài liệu nước với giúp đỡ đồng nghiệp, đặc biệt thầy Nguyễn Quảng, Lê Dũng Mưu, Phạm Ngọc Anh, Nguyễn Vũ Tiến Cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót; tác giả mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp bạn đọc Mọi góp ý xin gửi về: Nguyễn Đức Hiền, Bộ mơn Toán, Trường Đại học Duy Tân, TP Đà Nang TÁC GIA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC TỔNG QUÁT VÀ CAC MO HĨNH HOA TOẢN HOC 1.1 BAI TOAN QUY HOẠCH TOAN HỌC TO N G Q U Á T VÀ PHÂN LOẠI CÁC BÀI TỐN 1.1.1 Bài tốn tối ưu tổng qt Bài tốn tối ưu tơng qt tốn có dạng: Cực đại (cực tiếu) hóa hàm: f(x) —> max (min) ( 1) với điều kiện: gi(x) (< > =) bi, i=l,m ( 1.2 ) X e X c R" (1.3) cac hàm f(x), gi (x) ( i = \ j n ) hàm số; X biến số có n thành phần ( 1) gọi hàm mục tiêu (objective function) ( 1.2 ) gọi điều kiện ràng buộc (contraint conditions) - Tập hợp: D = {x e X\gi(x) (, =) b„ / = l,m } gọi miền phương án (alternative region) hay miền chấp nhận (feasilhe region) - Mỗi điểm X = (X 1,X2, ,X„) e D gọi phương án (alternative) hay lời giải chấp nhận (feasible solution) - Phương án X* e D dùng cho hàm mục tiêu đạt cực đại (hay cực tiểu), cụ là: f(x*) > f(x) Vx e D (đối với toán max) f(x*) < f(x) Vx e D (đối với toán min) Giáo trình Ouy hoạch tuyến t inh gọi phương án tối ưu (optimal alternative lời giải tối uuoptimal solution) Khi đó, giá trị f(x*) gọi giá trị tối ưu (o p tim a l value) tốn Ví dụ I: Bài tốn sau toán tối ưu: (1) Xị > 0; X, < 0; X, tuỳ ý x , + X; + X, < (2 ) X, + x, = XI + x , + x , > ( ) f ( x ) = 2X| + 18 X2 +17 \ —» m i n 1.1.2 Phân loại toán Căn vào tính chất hàm hàm mục tiêu điều kiện ràng buộc mà người ta phân loại tốn khác nhau: Quy hoạch tuyến tính (program m ing): toán tối ưu mà f(\i gj(x) hàm tuyến tính ( V/ = 1, m ) Quy hoạch p h ỉ tuyến (nonlinear program m ing-NLP): f(Xj có nhât hàm gi(x) phi tuyến cà hai trường hợp đá xảy Quy hoạch tham số (parametric program m ing): hệ số biểu thức hàm mục tiêu điều kiện ràng buộc phụ thuc'c vào tham số Quy hoạch động (dynamic programming)', đổi tượng xét cá: q trình có nhiều giai đoạn nói chung hay q trình phát triển theo thời gian Quy hoạch đa mục tiêu (multiobject program m ing): miền ràng buộc ta xét nhiều hàm mục tiêu khác Quy hoạch rời rạc (discrete programming)', miền D rci rạc Nếu biến nhận giá trị nguyên gọi quy hoạch nguyên (intege' programming) Chươmỉ l: Bài lốn quy hoạch tốn học lơng qi Tất loại toán gọi chung toán Ouv hoạch tốn học (hay íiọi phạm trù học-Operation Research) (Bạn đọc xem thêm troníỉ [3], [5] [6 ]) 1.2 GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUN TÍNH ĐƠN GIẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.2.1 Xây dựng mơ hình toán học cho số vấn đề thực tế Các bước thực để lập mơ hình tốn học cho vấn đề thực tế Bước 1: Tìm kiếm thơng tin gốc: Đây trình thu thập số liệu kinh tế - kỹ thuật Bước quan trọne tất bước sau dựa vào số liệu đê tính tốn Nó định tính xác kết thu Mỗi toán kinh tế cụ thể địi hỏi thơng tin gốc khác Bước 2: X ìỷ sơ liệu: Bước có thê chia thành hai giai đoạn (Ị) Lập mơ hình tốn: Từ số liệu u cầu mặt kinh tế - kỹ thuật, ta chuyển thành mơ hình tốn học Địi hỏi bước phải thiết lập xác đầy đù điều kiện tốn (2) Lựa chọn thuật tốn thích hợp vù giải tốn: Đây q trình tính tốn mơ hình tốn dựa vào thành tựu mà toán học đạt Kết bước lời giải để đưa giải pháp tối ưu mặt kinh tế Vì bước quan trọng B ước 3: Thông tin kết quá: Thực chất bước diễn giải thơng tin mặt tốn học thành thông tin mặt kinh tế Nghĩa là, dựa vào kết tính tốn có để nhà làm sách đưa định kinh tế 1.2.2 Mơt số mơ hình thưc tế • • 1.2.2.1 Bài toán lập k ế hoạch sản xuất: (Production planning problem) Bài tốn tơng qt: Trong chu kì sản xuất doanh nghiệp sử dụng m loại nhân tố sản xuất khác để sản xuất n loại sản phẩm khác E | E ; E n Giáo trình Ouy hoạch tun tính Tiêm vê nhân tô sản xuât doanh nghiệp có hạn cho bời véc-tơ b = (b| 2, , bm) 1• Biết để sản xuất đơn vị sản phẩm Ej (với ị = 1.2 n) cần chi phí hết a,j đơn vị nhân tố sán xuất thứ i (với i = 1.2 .m) lọi nhuận bán sản phẩm cho véc-tơ c = (C| c2, , c n)' Đật A - (ây)mn Vậy doanh nghiệp cần phải lập kế hoạch sán không bị động xuất đê tiềm nhân tố sản xuất thu lợinhuận lớn P hân tích: Gọi Xi, x xn số sản phẩm E|, E E„ (trong ke hoạch cần sản xuất) Theo đề ta có mơ hình tốn học sau: Tìm X = (xI, X?, , x„) thố mãn: x,> (7 = 1,« ) a n Xj + â|2 *2 + •••• + a i»*n - ,D1 < a 21x, + a 22 x + + a 2(ixn < b a mixi + a n,2 x2 +•••• + a „„,xn ^ b ,„ f(x) = C| X\ + C2 X2 + + c nx n- > max hay ta viết gọn dạng ma trận: X>0 , x > 2x, + X < V, + 3x: < f ( x ) = 2.V, + 3x: -> max ( 0 USD) 1.22.2 B ài toán vận tải (Transportation problem) Bài toán: Ta cần vận chuyển loại mặt hàng dó (chẳng hạn như: máy tínl linh kiện điện tử gạo, gồ, xi măng, xăng dầu, ) gồm có m trạm phá hàng Ả ị ,A Ả m vói lưựng hàng yêu cảu phái tương ứng ữ , 7: .am đơn vị hàng, n trạm thu hàng B ị B2 Bn với lượng hàng y êi cầu chuyến đến tương ứng bị ,b 2, ,bn đơn vị hàng ma trận cưcc phí vận chuyền (chi phí vận chuyển đơn vị hàng) c Cm\ Cml c 11111 10 Giáo trình Oiiy hoạch tuyến tín h Ớ C'(; ụ = \,m : j = 1,«) cước phí vận chuyển cho mồi n vị hàng ho chuvển từ trạm phát A đến trạm thu B Bài toán đặt với điều kiện: HI n (ỉ 4) (1.4) gọi điều kiện th u p h t tức là: tổng lượng h àn g phát đáp ứng đầy đủ cho tống lượng hàng thu (cung Cầu) Hãy lập kê hoạch vận chuyên hàng cho: - Các trạm phát (cung) hết lượng hàng có - Các trạm thu (cần) nhận đủ lượng hàng yêu cầu - Tổng chi phí vận chuyển nhỏ Plìăn tích: Gọi x n (/' = l,m ; j = \.n ) lượng hàng vận chuyển ưr A, đến B r Thây ràng x n > , V/ = \ m ; V/ = l ,/7 X > A, phát hàng cho B Ị ; cịn x v = A1 khơng phát hàng cho B Khi mơ hình tốn nói là: Tìm ma trận phàn phối vận chuyển hàng: x \n X -)Ị X-)2 x 2n viêtgọn = ( x iJ)mn thỏa mãn điều kiện sau: (1) Xy > , v / = l , w; v / = l , « y ' j x tị = a l (tổng lượng hàng phát từ trạm A,), / = 1, m 7= (1.5 ^ x ụ = bj (tổng lượng hàng chuyển đến trạm B ) / = 1, n m n O ) A X ) = ỵ ĩ , v , —> (tổng chi phí v c bé nhất) /= l 7=1 Chcơrìg 1: Bài lồn quy hoạch tốn học tơnạ qi Vi dụ 3: Ta cân vận chun máy tính từ cơng ty (trạm phút)' C |, Ci_ đên nơ tiêu thụ (trạm thu) T | ị T s ố lượng máy tính mồi cơng ty cần chun, nhu câu máy tính nơi tiêu thự cũnQ cước phí vận ch.ivển cho máy tính chuyên từ công ty C| đến nơi tiêu thụ Tị V/ = 1.2 V/ = 1.3) cho bảng sau: Hãy lập kế hoạch vận chuyển máy tính để: - Các công ty phải phân phối hết số máy tính có - Các nơi tiêu thụ nhận đủ số máy theo nhu cầu - Tổng cước phí vận chuyển thấp Giải: Gọi Xjj số máy tính vận chuyển từ cảng (Cj) đến nơi tiêu thụ (T ,)(/ = Ũ ý=ũ) Với điều kiện: X j j > (i = 1,2, j = 1,3) Số máy tính vận chuyển từ Ci đến nơi tiêu thụ là: X ì \ + X i2 + SỐ máy tính vận chuyển từ C đến nơi tiêu thụ là: X 2I + x 22 + x 23 SỐ máy tính vận chuyển đến tiêu thụ Ti từ cảng là: x n + x 2| Tổng sổ máy tính vận chuyển đến tiêu thụ T từ cảng là: x 12+ x 22 Phụ lục: Một sơ cìạivíĩ đê thi ( 'ao học mơn tốn kinh lê 169 Thời gian đáo hạn già thiết Các hình thức có rủi ro Đè hạn chế rủi ro doanh nhân A nhà tư vấn dầu tư hướng dẫn sau: - Không cho doanh nghiệp tư nhân vay 30% vỏn - S ố tiền mua trái phiếu phù khơng vượt số tiền đầu tư lĩnh vực - % số tiền đầu tư phải thuộc lĩnh vực tiết kiệm có kỳ hạn trái phiếu - Ty lệ tiết kiệm không kỳ hạn tiết kiệm có kỳ hạn khơng vượt q 1/3 - Số tiền mua đất không vượt 40% số vốn Doanh nhân A muốn đầu tư toàn số vốn Hãy lập mơ hình tốn tìm phương án đầu tư cho thu lợi nhuận tối đa (u cầu lập mơ hình, khơng giải toán) Giai: Câu 1: a) Thêm vào toán m ột ẩn phụ X(, ấn giả X7 giải tốn m rộng bàng phương pháp dơn hình ta có lời giải tối ưu tốn cho là: x °= (0, 27, 3, 0, 5), m inf = 13 b) Bài toán đối ngẫu toán cho là: u - 8y I I 25y2 + 20y.í —►max - y + 3y + 2y3 < yi < - 3yi + 5y < 2yI - 3y + y < - - 2y I + 2y + 4y < - y3 < Cặp ràng buộc đối ngẫu cặp toán đối ngẫu là: 2xi + X4 + X5 < 20 » y3 < Giảo trình Quy hoạch tuyến tính 170 Xi > - yi + 3y2 + 2y < x > yi < X3 > - 3y + y < x4 > 2yi - 3y + y < - x > - 2y + y + y < - C â u 2: Gọi X] X2, X3 , X4 , X5 số tiền (triệu đồng) đầu tư gửi tiết kiệm khơng kỳ hạn, gửi tiết kiệm có kỳ hạn,mua trái phiếu phủ, cho doanh nghiệp tư nhân vay mua đất phân lơ bán Khi m hình tốn học tốn tốn quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 0,04xi + 0,08x2 + 0,085x3 + 0,15X4 + 0,2x5 —* m ax Xi + X2 + X3 + X4 + X5 = 0 X4 < 600 Xi + X2 - X3 +X + X5 > X2 + X3 > 0 3xi - X2 < x < 800 X j > ; j = 1, 2, 3, 4, Bài : ĐÈ THI NĂM 2005 Câu 1: Cho toán quy hoạch tuyến tính sau đây: z = 4X| + X2 + 3x3-* max X] + X2 + X3 < 40 X] + X2 + x < 60 X| < 20 X j > 0; j = 1, 2, a) Giải tốn tìm phương án tối ưu b) V iết toán đối ngẫu toán Câu 2: Hãng hàng khơng Vietnam A irlines có nhu cầu vận chuyển 1500 hành khách 150 hàng hóa sân bay N ộ i B ài G iả sử có hai loại m áy bay sử dụng với khả vận chuyển m ỗi loại sau: f \ r Phụ lục: Một sô dạng đê thi Cao học mơn tốn kinh tê 171 - Máy bay loại A: Một máy bay chở 180 hành khách 40 hàng hóa với chi phí tương ứng 350 triệu đồng - Máy bay loại B: Một máy bay chở 200 hành khách 20 hàng hóa với chi phí tương ứng 320 triệu đồng Hãy lập mơ hình tốn tìm phương án sử dụng số máy bav loại cho thỏa mãn yêu cầu vận chuyển với tống chi phí (yêu cầu chi lập mơ hình, khơng giải tốn) Giải: Câu 1: a) Thêm vào toán ẩn phụ X4, X5, x giải phương pháp đơn hình ta có phương án tối un giá trị tối ưu toán là: x °= (20, 0, 20); m axf = 14 b) Bài toán đối ngẫu toán cho là: u = 40y + 60y2 + 20 y3 —> yi + y + y.3 > 2yi + y > yi + 2y > ýj> 0; j = 1, 2, C â u 2: Gọi Xi, X2 số máy bay A, B cần sử dụng mơ hình tốn học tốn tốn quy tuyến tính sau: f(x) = 350xi + 320x2 —> 180X1 + 0 X = 1500 40xi + x - 150 X i,x > B ài 9: Đ Ê T H I N Ă M 2006 C â u 1: Công ty Sơn Đồng Tâm sản xuất hai loại sơn sơn nhà sơn trời Nguyên liệu chủ yếu để sản xuất sơn gồm: - Nguyên liệu loại G với trữ lượng: 120 Giảo trình Quy hoạch luyến tính 172 - Nguyên liệu loại H với trừ lượng: 160 Đe sản xuất sơn nhà cần nguyên liệu G nguyên liệu loại H Để sản xuất sơn trời cần nguyên liệu G nguyên liệu loại H Qua nghiên cứu thị trường, phòng tiếp thị dự báo nhu cầu thị trường tuần sau: - Nhu cầu sơn nhà khơng lớn sơn ngồi trời - Nhu cầu lớn sơn nhà Giá bán cho dại lí 30 triệu đồng/tấn cho sơn nhà 38 triệu đồng/tấn cho sơn trời Yêu cầu: Hãy lập kế hoạch sản xuất đê công tv đạt doanh thu lớn (chi lập mơ hình, khơng giải tốn) Câu 2: Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau đây: z = 70X| + 40x2 + 16 x —> \ | + \ : + 3x;, > 12 \ | ' 3\2 ’ x ; j ó 9xị + 4X2 + 5x - 15 XI + X2 + x > 10 v : :j = ,2 ,3 Giải: Câu 1: Gọi XI, X2 số sơn (tấn) nhà trời cần sán xuất tuần Khi mơ hình tốn học tốn cho tốn quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 30xi + 38x2 —*• max 4X| + 3x2 - 120 X| + x < 160 Xi - X2 C âu 2: Bài toán đối ngầu toán cho là: u ~ 12 yI + v '2 + 15y;, + 10y4 max \ + V’2 + 9y:, + 1ÜV4 < 70 2y + y + y + y < 40 3y + 2y + y + y < 16 y i > ; i = 1.2, 3, Thêm vào toán đối ngẫu ẩn phụ y5, V(„ y-Ị ta tốn có dạng chuẩn giải tốn bàng phương pháp đơn hình Đến bảng đơn hình thứ ta có kết sau: yi y2 ys y4 ys ye y7 12 15 10 0 0 ys 38 -3 -1 -6 -2 ye 88/3 /3 2/3 -13/3 -2 / 12 yi 15/3 /3 5/3 8/3 0 /3 64 22 0 Do hệ số ước lượng ấn bảng đơn hình thứ khơng âm nên tốn đối ngẫu có phương án tối ưu giá trị tối un là: y °= (16/3,0, 0, 0), Umax = 64 Khi tốn cho có phương án tối ưu là: x° = ( A 5, A6, A7) = (0, 0, 4) Giá trị tối ưu toán cho là: z mm= 64 Bài 10: N Ă M 2009 C âu 1: Cho tốn quy hoạch tuyến tính (P): Tìm X = (a'i , A\, -V ) thoa mãn: 174 Giáo trình Quy hoạch tuyến tỉnh (1) x t > , Vỹ = 1,3 X, + 5x, + x ì < 30 (2)< x ] + x + 7xt + (3 ) / ( x ) = x X3 = + 3x, < 20 -X , + 3x, + x + 0 —> m in a) Giải toán (P) phương pháp đơn hình b) Lập tốn đối ngẫu tốn (P) tìm phương án tốn đối ngẫu thơng qua phương án tối ưu toán (P) c) Giả sử x° phương án tối ưu toán (P) Khi đó, x° có phải phương án tối ưu tốn (P) hay khơng? Vì sao? Trong trường hợp x° khơng nhất, tìm phương án tối ưu khác C â u 2: Một xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm ký hiệu A,B.C Định mức hao phí nguyên liệu, vốn, lào động (quy công) lợi nhuận thu tính cho đơn vị sản phẩm loại cho bảng sau: Sản phẩm (giờ công) 3 3 5 150 120 100 Vốn (kg) A B c Mức huy động tối đa Lào động Lợi nhuận (triệu đồng) Nguyên liệu (kg) Xí nghiệp sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho phạm vi số ngun liệu, vốn, cơng huy động được, xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Ngoài ra, để đảm bảo nhu cầu họp đồng kí phải sản xuất 10 đơn vị sản phẩm A Yêu cầu: a) Anh (chị) lập mơ hình tốn, khơng cần giải toán r \ f Phụ lục: M ột sơ dạng đê thi Cao học mơn tốn kinh tê 175 Chứng tỏ _v' = ( 20 20 ) phương án khơng suy b) biến tốn Câu 3: Cho tốn (P) Tìm x = ( x , , x 2, x , , x 4, x 5): (1)x,>o,y/ = ũ X I - X, + (2)< X = X + j ¿ x , - x + X + x = X, + X, - X, = ( ) / ( x ) = - x , - x + 3x , + x - > m in a) Chứng minh X = (2 , 0,0,4, 5) phương án cực biên toán b) Giải toán (P) phương pháp đơn hình c) Lập tốn đối ngẫu toán suy lời giải tốn đối ngẫu Giải: Câu 1: a) Chuyển toán dạng chuẩn tắc: Xác định ẩn phụ, ẩn giả ( l) x > ,V ý = Ĩ X1 (2) +5x,2 +4x,3 2xt + x2+ + X =30 x 3+ x =1 (M>0 lớn tùy ý) 7x, +2x, +3x, + x 5=20 (3) / (x) = - X , + 3x, + 2x} + 0x4+ Ox, + IVk6+ 2009 -> (Học viên làm theo X đóng vai trị ẩn giả với C5 = M , X , x làm ẩn phụ chấm tối đa Miễn ẩn thêm vào ràng buộc (2) phải ẩn giả) - Lập bảng đơn hình 176 Giáo trình Ouy hoạch tuyến linh - Xác định phần tử trục xoay phần tử hàng cột : - Điều chỉnh phương án bảng đơn hình tối ưu (cuối cùng) Hệ số ACB *4 -1 *1 x -1 0 *1 *2 *3 *4 *5 59/2 9/2 7/2 1/2 1/2 1/2 0 33/2 -3/2 -1/2 l 4017/2 - 7/2 -5/2 0 P/A A < , v y ; x = (đóng vai trị ẩn giả) Phương án tối ưu toán: ỵ° = ( , , ); / = / b) Lập toán đối ngẫu ( 1) y, < , V, e R , y , < 'y, + y + 7y } < - (2)< 5y, + y : + y , < y t + V, + V, < (3 ) ( p { y ) = 30^1 + V, + V, + 00 - ^ m a x Lý luận tốn đối ngẫu có nghiệm Dựa vào định lý độ lệch bù để thu y^ + 2y¡ + y : = - i y:= ^=0 c) * ^ „ = /2 ^=0 Phương án bảng đơn hình cuối có hệ số ước lượng ẩn không âm Phụ lục: Một số dạng đề thi Cao học mơn tốn kinh tế 177 Câu 2: a) Mơ hình tốn học tốn (1) „V, > , v / = ũ 2.V, + 3.V, + 3.V, < 50 ( 2) X, + 3„Y, + x , = 20 A‘ + 8-Y, + Xy X, > ẩ 00 10 (3) f ( x ) = 2.Y, + 3x + 5x, —> m ax Trong x r x 2, x ?lần lượt số đơn vị sản phẩm A, B, c sản xuất b) Thấy X thỏa (1) (2) ngồi cịn thỏa mãn ràng buộc chặt ràng buộc dấu x = 0, hai ràng buộc X* phương án không suy biến Câu 3: 1) Vì thỏa mãn ràng buộc chặt độc lập tuyến tính 2) Đ ưa tốn dạng chuẩn tắc: (I)x,>0,vy = ũ6 Xị - ( 2) X, + X, + 2x, - 3x2 + = x, + x5 = X, + X , - X, + X, = (3) /'( x ) = -3 x , - 2x, I 3x, + 4x, ‘I x M x > m in *« x2 X, 0 -2yf5 -1 1/S 0 1/£i -1 0 -8/5» -1 Hệ số -3 AC B *4 *3 0 P/A x5 Giáo trình Quy hoạch tuyến tính 178 A < o v / = 1,6 ẩn giả x = nên bảng đơn hình tối ưu PATU x*= (3,-,1,2,0) m in f =2 3) - Lập toán đối ngẫu ( 1) y i , y 2, y } e R y, + j + y < - -y, - + v:; < - ( ) \ y ]+ y 2- y 3