Xác định hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt sợi đồng phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN • • • B Á O C Á O N G H IỆ M T H U Đ Ể T À I K H O A H Ọ C C Ấ P Đ H Q G H N , M Ã s ố Q T 8 "XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DÃN NỞ NHIỆT CỦA COMPOSITE CỐT SỢI ĐỔNG PHƯƠNG" C h ủ n h iệ m Đ ề tà i: P G S T S K H N g u y ễ n Đ ìn h Đ ứ c ĐA'I HCC QUOC gia NỤi TRỤNG TẨMTHÒNG TINTHƯVIỆN ũũũũCC CC O O °- H N ội - 2008 BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỂ TÀI QT.08.68 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU: Á p d ụ n g phương pháp xấp xỉ thể tích xác định hệ số dãn nO nhiệt cho co m p o site polym e cố t sợi đồng phương m ối q u an hệ giải tích, phụ thuộc vào đặc trưng học, vật lý vật liệu thành phần cấu thành n ên com posite NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: - X ác đ ịn h hệ số dãn n nhiệt v ật liệu com posite cốt sợi đồng phư ơng th eo p h n g pháp xấp xỉ thể tích - T ín h to n b ằn g số hệ số dãn n n h iệt m ô đ u n hiệu dụng cho vật liệu co m p o site cố t sợi đồng p h n g ep o xy-thủy tinh Phân tích, so sánh k ế t q u ả đề tài với kết tính tác giả khác - X ác đ ịn h h ệ số d ãn n nhiệt cho com posite ba pha cốt sợi đồng p hư n g gia cư n g th êm hạt KẾT QUẢ CHÍNH: X ác đ ịnh hệ số dãn nở nhiệt cho com posite cốt sợi đồng phương theo phư ơng pháp xấp xỉ thể tích T ín h to án số so sánh kết n h ận với k ết q u ả tác g iả kh ác theo phương pháp xác đ ịn h k h ác, cho th độ tin cậy phư ơng p háp xấp xỉ thể tích tro n g học vật liệu com posite X ác địn h hệ số dãn nở nhiệt cho co m p o site b ap h a bao gồm pha n ền, sợi th êm hạt gia cường C ác k ế t q u ả tính toán n hận ch o th h t g ia cường có vai trị q u an trọ n g việc điều chỉnh tín h n ăn g lý h giá thành sản phẩm com posite X ác địn h m o d u l đàn hồi K cho com posite độn h t cầu rỗng T q u an việc áp dụng thành công phương p h áp xấp xỉ th ể tích m nh ó m tác giả thực h iện đề tài dùng để giải q u y ết m ột số toán tro n g họ c vật liệu com posite T rong q u trìn h thực h iện đề tài góp phần đào tạo NCS, học viên cao h ọ c đào tạo cử nhân Bổ sung nội dung giáo trình Cơ học vật liệu composite giảng dạy trường Đ H K H T N Đ H C N bậc đại học sau đại học MỤC LỤC M Ở Đ Ầ U I MỤC TIÊU CỬA ĐỀ TÀ I II NỘI DUNG, K ẾT QUẢ CHÍNH CỦA ĐỀ t i 10 11.1 XÁC Đ ỊN H HỆ s ố DÃN NỞ NHIỆT CHO CO M POSITE CỐT SỢI Đ Ồ N G PHƯƠNG 10 11.2 XÁC Đ ỊN H HỆ s ố DÃN NỞ NHIỆT CHO CO M POSITE BA PH A C ố T SỢl VÀ H Ạ T 18 III DANH M ỤC TÀI LIỆU THAM K H Ả O 32 IV CÁC BÀI BÁO ĐƯỢC CÔNG B ố 34 PHIÊÚ Đ Ả N G KÝ KẾT QUẢ ĐỀ T À I 35 SU M M A RY 39 MỞ ĐẦU V ật liệu composite vật liệu chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều thành phẩn khác nhau, nhằm mục đích tạo vật liệu có tính ưu việt hẳn vật liệu thành phần ban đầu [3] Những thành phần vật liệu com posite b aa gồm: thành phần cốt ( sợi, hạt, ) nhằm đảm bảo cho composite có tính học cần thiết, vật liệu (kết dính) đảm bảo cho liên kết làm việc hài hòa thành phần composite với Khả khai thác sử dụng vật liệu composite phụ thuộc trước hết vào đặc tính cơ, lý, hóa vật liệu thành phần, cấu trúc phân bố vật liệu cốt, độ bền vững liên kết cốt Những ưu điểm vật liệu composite so với vật liệu khác : - Độ bền học, vật lý cao, chí cao kim loại hợp kim, sử dụng bền so với vật liệu truyền thống - Tính chịu va đập tốt, có độ chống ăn mịn cao - Bền hố học cao, bền với điều kiện khí hậu, mơi trường - Do nhẹ nên dùng composite dễ thao tác, lắp đặt, thay - Tính ổn định kích thước, hình dáng kết cấu composite cao, đặc biệt com posite có ưu điểm vật liệu hình thành trình chế tạo kết cấu, thay đỏi cấu trúc hình học, phân bố vật liệu thành phẩn để tạo vật liệu có độ bền theo mong muốn Tùy theo đòi hỏi độ bền, độ cứng, nhiệt độ làm việc, điều kiện khai thác sử dụng, m lựa chọn vật liệu thành phần, kết cấu, tỷ lệ, công nghệ sản xuất phù hợp - Rất nhiều đòi hỏi khắt khe kỹ thuật đại ( siêu bền, siêu nhẹ, lại chịu nhiệt lên đến 300Q°C, ) có com posite đáp ứng nổi, vậy, vật liệu com posite giữ vai trò then chốt cách mạng vật liệu H iện Việt Nam, vật liệu composite sản xuất ứng dụng m ạnh mẽ Công nghệ vật liệu mới, có vật liệu composite nanocom posite coi ngành công nghệ cao mà ưu tiên phát triển Từ năm 1990, ngành khoa học composite quan tâm thúc đẩy Việt Nam Tuy nhiên lĩnh vực này, lại thu thành tựu đáng kể Một lĩnh vực coi thành công Việt Nam polyme composite Chúng ta thu kết khả quan việc chế tạo composite gốm sứ cách điện đạt tiêu chuẩn chất lượng quốc tế; nhà khoa học nước chế tạo nam châm đất có lượng từ siêu m ạnh (gấp khoảng 12 lần so với nam châm truyền thống) H iện Việt Nam bước đầu tiếp cận công nghệ chế tạo nanocomposite: polyme với hạt nano khoáng chế dùng làm vật liệu chống thấm; bước đầu chế tạo màng nano từ nanocom posite kim loại sở điện hố Chính vậy, việc nghiên cứu tính lý vật liệu kết cấu composite có ý nghĩa quan trọng M ỗi vật liệu thành phần có đặc trưng học vật lý riêng, khác nhau, tổng hợp chúng lại thành composite, cần phải xác định đặc trưng lý vật liệu tổ hợp phụ thuộc vào tham số vật liệu thành phần Việc xác định chúng theo phương pháp giải tích m ột trình phức tạp Đây công việc phức tạp Mục tiêu chủ yếu đề tài xác định hệ số dãn nở nhiệt composite cốt sợi đồng phương Những người tham gia thực đề tài: Chủ trì: PGS TSKH N guyễn Đình Đức Tham gia thực hiện: ThS NCS Hồng Văn Tùng HVCH.CN N guyễn Tiến Đắc CN Nguyễn Thị Thúy I MỤC TIÊU NGHIÊN c ứ u CỦA ĐỂ TÀI ứ n g xử dãn nở nhiệt quan trọng vật liệu com posite sử dụng kết hợp với vật liệu khác cần nối phần tử kết cấu với hệ số dãn nỡ nhiệt khác Thêm vào đó, việc xác định hệ số dãn nở nhiệt công việc quan trọng việc giải toán nhiệt đàn hối kết cấu composite Com posite cốt sợi đồng phương loại vật liệu đẳng hướng ngang có năm số đàn hồi độc lập hai hệ số dãn nỡ nhiệt độc lập: theo phương dọc trục theo phương ngang Bằng mơ hình trụ composite, Hashin xác định bốn năm số đàn hồi com posite đồng phương, trình bày sách Christensen [1] sau E:=VEí + ~ V ) E + 4F(1-K)( v, - v2)2^ [(1 - V) m2 /(*, Hr / 3)] + [V/J2 /(K2 + ju2/ 3)] + r V ( \ - V ) ( v ị - v 2)[ụ2 !{K2 + h J ) - ự /{Kt + ụ j ( 1) 3)] [ { \ - V) / i I{K, + ụ j ỹ ) ] + [Vụ 1/ ( K + / / , / 3)] + l V 1/[AT, - K ĩ+ (Mt - Mĩ) /3] + (1 - V) /(A2 + 4Mĩ / 3) ’ = ° ’ (3) Mlạ + ỵ) + Mĩọ - ỵ ) (4) /1Ì( ] - V ) + n 2{\ + V) Trong đó: Vị , v2 Hệ sổ Poisson pha sợi tương ứng K ị , K m ôđun khối pha sợi Ẵ,, Ầ2 hệ sô Lame sợi * El E Ea _ a l(ỉ + vi) - a ỉ Q + v1) Ị E'a - E ^ E ~ V ị - V ^ , (8) Rosen [8] a {- a 3(1 - (1/ K l) - ( l / K 2)_ E- ÍUJ_ M L 3 /( - C j • - a2 a ’ =a + to a\ = ã + (9) ( 10) í 11 U J_ Vanin [3] «0 = a ~ ( a E„ £ ,+ 8^ 2(v, -v X l-K X l + v,) - V + Vl + ( l - V ) U l +l ) v 2/ju, ( 11) ( 12) a ' = a + (a2 - a a)v'a ~ ( a -« ,)(! + vl) ——— Where a , a, N hững hệ so dãn nở nhiệt theo phương sợi phương trực giao với sợi ị , a hệ số dãn nở nhiệt pha sợi pha e ' M ôđun Young composite ỵ = - 4i/ - (Ả +3/Ấ.)/(Ả + /Ẩ ) trường họp biến dạng phang Eị, E2 M ôđun Young pha sợi, tương ứng Vị = V , V2 - \ - V đổi với trường hợp hai pha gạch ngang ký hiệu trung bình, ví dụ Ea - E\CL\V\ + E2a 2Vn and |— K/ K t + K2 ' Levin đưa m ột mối liên hệ tổng quát hệ số dãn nở nhiệt hiệu dụng môđun đàn hồi hiệu dụng môi trường hỗn tạp m ột báo tiếng Nga Áp dụng hệ thức tổng quát cho môi trường đẳng hướng ngang cho biểu thức (6) (7) Schapery thu hệ thức ( 8) sử đụng nguyên rý lượng cho vật liệu đồng phương Với việc sử dụng hàm lượng nguyên lý cực trị lý thuyết nhiệt đàn hồi, Rosen dẫn công thức (9), (10) Rosen đề xuất mơ hình trụ com posite, mơ hình phù hợp để xác định tính chất nhiệt đàn hồi môi trường đẳng hướng ngang [8, 10] Cũng cách tiếp cận lượng sử dụng phương pháp hàm biển phức cho toán nhiệt đàn hối phẳng, Vanin thu biểu thức hiệu dụng hệ số dãn Ĩ1Ở nhiệt ngang dọc trục , kết giới thiệu [3] Cách tiếp cận Vanin hoàn toàn độc lập với cách tiếp cận trước Bằng việc sử dụng mối liên hệ môđun đàn hồi cho [6], m ôđun đàn hồi môi trường đẳng hướng ngang [ 1], với m ột vài tính tốn đại sơ, ràng (i) N hững biểu thức Levin, Schapery, Rosen Vanin cho hệ số dãn nở nhiệt theo phương sợi tương đương, (ii) N hững biểu thức Levin, Rosen Vanin cho hệ số dãn nở nhiệt theo phương ngang tương đương Từ hệ thức (6) -ỉ- (12), hệ số dãn nở nhiệt hiệu dụng thu từ số đàn hồi hiệu dụng com posite cốt sợi đồng phương (l) + (5) M ục tiêu nghiên cứu chúng tơi thử dùng phương pháp xấp xỉ thể tích (phương pháp mới) để dẫn hai hệ số dãn nở nhiệt vật liệu com posite cốt sợi đồng phương Cách tiếp cận dựa việc sử dụng mơ hình trụ com posite hệ thức ứng suất-biến dạng lý thuyết nhiệt đàn hồi việc giải toán nhiệt đàn hồi phẳng Trên sở tìm kết nhận được, đề mục tiêu xem xét, xác định hệ số dãn nở nhiệt cho com posite ba pha bao gồm nền, sợi gia cường thêm hạt Com posite polym e ba pha với cấu trúc sợi hạt ứng dụng rộng rãi công nghiệp dân dụng nay, ngành công nghiệp sản xuất nhựa polym e phân lớp 64 N.D Due et al / VNU Journal o f Science, Mathematics - Physics 24 (2008) 57-65 Case 3: Let volume fraction o f the particle phase increase from to 0.6, volume fraction of the fibre phase Ẹị be constant and equal to 0.1 Similarly, we have data presented in table as the following T able The variance of thermal expansion coefficients of three-phase composite material belonging to volume fraction of the particle phase £1 ( “) 0.05 4.528 aA.( -6) 5.542 1 0 1 4.238 5.535 1 1 0.3 3.195 0.4 2.732 0.5 2.303 0.55 3.695 5.390 5.108 4.724 4.266 4.016 0 Fig Graph presenting the dependence of ừansverse thermal expansion coefficient a, on volume fraction of the particle phase when volume fraction of the fibre phase ệị is constant Fig Graph presenting the dependence of axial thermal expansion coefficient a a on volume fraction of the particle phase when volume fraction of the fibre phase is constant N.D Due e t a l / VNU Journal o f Science, Mathematics - Physics 24 (2008) 57-65 65 In case 2, letting volume fraction o f the particle phase be constant and increasing step by step volume fraction o f the fibre phase will reduce thermal expansion coefficients o f three-phase composite material This resembles case when letting volume fraction of the fibre phase be constant and increasing step by step volume fraction o f the particle phase W hen comparing these two cases, we realize that the result o f case is better It means that the more volume fraction of the particle phase we increase, the m ore thermal expansion coefficients o f three-phase composite material reduce Conclusions Based ơn the idea solving the problem of three-phase composite material through problems of known two - phase composite material, this paper has brought out a way in order to determine expressions o f thermal expansion coefficients of three-phase fiber composite material reinforced by spherical particles as functions o f elastic specificities o f constituents, thermal expansion coefficients of constituents, volume fractions o f fibre and particle constituent, For composite material o f epoxy resin matrix and glass fibre, three-phase composite is more heatproof than two - phase composite Calculated results of this material also indicate that when increasing volume fraction o f glass particle phase, three-phase composite is more heatproof than itself when increasing volume fraction o f glass fibre phase This is meaningful in manufacturing materials impervious to heat and reducing the prices o f products (because the cost of particles is cheaper than that o f fibres ) Acknowledgments Results o f the research presented in this paper have been performed according to the scientific research project QT-08-68 of Hanoi University o f Science - Vietnam National University and according to the project o f Vietnam - France Protocol for polyme composite material o f Vietnam National University, Hanoi, 2008 References [ 1] Nguyen Hoa Thinh, Nguyen Dinh Due, Composite materials - Mechanics and Technology, The publishing House of Science and Engineering, Hanoi, 2002 [2] Nguyen Dinh Due, Nguyen Le Hai, Determining mechanics constants o f three-phase composite material of spherical particles, The essay o f scientific master - Academy o f Military Engineering, 2006 [3] Nguyen Dinh Due, Hoang Van Tung, Determining the uniaxial modulus o f three-phase composite material of aligned fibres and spherical particles, Journal o f Science, Mathematics - Physics, VNU, Vol22, No 3, (2006) 12 [4] Dao Huy Bich, The theory o f elasticity, The publishing House of V ietnam National University, Hanoi, 2001 [5] Nguyen Dinh Due Nguyen Tien Dac, Determining the plane strain bulk modulus o f the composite material reinforced by aligned fibre, Journal o f Science, Mathematics - Physics, VNU, V ol 22, No 4, (2006) [6] Nguyen Dinh Due, Hoang Van Tung, Do Thanh Hang, An alternative method for determining the coefficient of thermal expansion o f composite material o f spherical particles, Vietnam journal o f mechanics, Vast, Vol29, No 1, (2007) 64 [7] Nguyen Dinh Due, Hoang Van Tung, An alternative method fo r determining thermal expansion coefficients fo r transversely isotropic aligned fibre composite, Proceedings of 8th National Conference on Mechanics, Hanoi, 12/2007 p 156-166 [8] R M Christensen, Mechanics o f Composite Materials, A W iley - Interscience Publication, 1979 The micromechanical approach method in mechanics of composite materials and some applications N g u y e n D in h D u c ^ \ H o an g V an T ung(2) w V ie tn am N atio n al U niversity, H an o i H an o i A rc h itectu ral U niversity, V ietnam 15th, Ju n e, 2008 A bstract Composite material is widely used in modern structures Many re­ searchers have been involved in studying, developing and applying this kind of material Composite material is an important kind of materials which have many applications in the life There exist many studying meth­ ods in order to obtain more knowledges about the properties of composites This report introduces about micromechanical approach method in mechan­ ics of composite materials and some applications in determining effective properties for composite materials Introduction Composite is a kind of material composed of two or more constituent materials in order to obtain a new material having advanced properties There are three kinds of composite materials are that particulate composite, fibrous composite and laminated composite A very important problem in investigating composite materials is that to determine mechanical and physical properties of composite such as elastic constants, the coefficients of thermal expansion and the coeffi­ cient of thermal conductivity Many researchers have attention in solving this problem There exist tw o basic approach m ethods in determ ining composite properties are that energy approach and mechanical approach method The energy method is done on basis of equivalence of energies stored in material constituents and in whole composite material The well known formular of Esenpy [1] in elastic­ ity theory about energy in heterogeneous bodies is effectively used for obtaining properties of composites according to method approach The energy methods are naturally more correct and reliable However, main disadvantage of this method is that methematical complexity, especially energy functions and funtionals Ac­ cording to the micromechanical approach, investigating composite is derived to consider a representative volume element The micromechanical method was ini­ tially suggested by Hasin and Rosen [1], then was completed by Vanin [2], The basic advantage of micromechanical method is mathematically simplicity when similiar models of mechanics can be utilized to give approximate properties of composite materials Two fundamental approximate models of micromechanical approach for spherical particulate composite and unidừectional fibre composite are introduced the lollowing The particulate composite materials The initial and common model for particulate composite is spherical particle re­ inforced composite materials [1, 2, 4J This material is composed of continuous matrix phase and spherical particles The matix material play important role in maintaining integrity, distributing stress and connecting constituents Whereas, spherical reinforced particles make material to be more stiff and strength We assume that particles are uniformly distributed in matrix phase such that the spherical particulate composite possesses periodicity Moreover, association be­ tween particle and matrix phases is imperfect, is that we neglect debonding be­ tween phases Then, according to mechanical approach, we give an approximate model for this kind of material Investigating this spherical particle composite is derived to studying a representative volume element that have form of a double sphere In particular, inner spherical core represent particle phase, while outer spherical shell represent matrix phase A such combination of spheres is referred to as a composite spheres model suggested by Hashin and Rosen [lj.Now we use this representative volume element to determine the effective thermal expansion coefficient for spherical particle reinforced composite agjgfỆỆÊỊế 'm ỉẾM ẫ ỉ ầ i m m m m tsm ầIRS Figure 1: The spherical particle reinforced composite material and approximation model of representative volume element 2.1 Governing Relations We assume that particle and matrix phases are made of isotropic homogeneous elastic materials, moreover, radii of particles are the same Consequently, present problem can be posed as follows Let us consider a heterogeneous sphere that core sphere (0 ^ r ^ a) and spheri­ cal shell (a ^ r < b) are homogeneous materials of properties (Ằi.ụ-i), (A2,jU2) , and thermal expansion coefficients ( a I ,a 2) , respectively It is supposed that the heterogeneous sphere is subjected to thermal loading is constant temperature change A T = T — To (To- initial temperature) At the same time, composite sphere is subjected to mechanical load is hydrostatic stress on the outer boundary P There exists a problem to determine the effective thermal expansion coeffi­ cient of composite as a function of coefficients and elastic moduli of constituent phases Some govering relations of proposed problem are given in spherical co­ ordinate system as follows [3] Because of symmetry, it is clear that the only non-zero displacement component is radius d isplacem ent ur M oreover, it is a function o f radius r UT = ur(r) , u0 = u,p = (1) By theory of thermoelasticity [3], we express the components of tress tensor in terms of displacements oTT — \ + 2fierr — (3A + 2/i)aAT, ơTr — Ơ — A6 + 2ụ,evtp — (3A + (2) Here — duT/d r + 2uv/r Putting (2) into equilibrium equation d(7 rr - J - dr + ~ ( rr r , - ơw ) = , (3 ) we obtain the following differential equation for Ur d 2u r ~dr* 2.2 dur + r lh _ Ur ~ ị = (4 ) S o lu tio n m eth o d As was mentioned above, the governing idea for solving recommended prob­ lem is that widenning results of Lame problem when consider the influence of temperature Firstly, we separately define the state of displacement and stress of particle and matrixphases of heterogeneous sphere.Thenwe define dis­ placement and stressfields of composite sphere.Bya factthatdisplacement on boundary of composite sphere is the same as that on boundary of matrix spherical shell, we obtain the objective of problem 2.2.1 P art of m atrix phase In part of matrix phase (a ^ r ^ b) the displacement and stress are in forms ti = A 2r + ậ , (5) ơg) = (3A2 + 2ụ,2)A - _ (3A2 + 2íí2)ữ2AT (6) Introduction of ơị? into boundary and surface conditions o ( 2) r=b = - P 2, ơị? = -p, (7) (in fact, p is interaction stress between two phases), we define integration con­ stants as well as displacement and stress in the matrix phase pa3 - p2b3 ~ a - b 3A2 + 2(12 ui2) — = 2.2.2 r+ (p - P2)a3b3 (Ò3 —a3)4fi2 r pa3 - p 2b3 | (p2 —p)a3b3 , , ox , , H -7^“^—~ -õ + (3A2 + 2ụ,2)Oi2^T b3 - a3 Ỏ3 —a3 r ( 8) (9) P art of particle phase In this part (0 ^ r ^ a) displacement and stress fields have form ( 10) = A\T , C7^ — (3Ai + 2/ii).(41 — (3Aị + 2/x1) a 1A T ( 11) By the continuity conditions of displacement and stress at interface r = a we obtain the following relation of Ai and interaction stress p - (K + 4/i2/ 3)p 2ồ3 + (3 /í2ị3 + 4ụ,2a3) K lai + 4/x2(63 - a3)K2a AT A, = (3K 2b3 + + 4M2(03 - a3) K (12) I (3/ Í + 4/x2)p2ỉ>3 - 12^ 2^ 2(ỉ>3 - a3)(a - cti)AT (3K 2b3 + Afi2a3) K i + 4/i2(è3 - a3)K where ifj = Aj + 2/ij/3 (i — 1, 2) ( 13) 2.2.3 Equivalent homogeneous sphere model Now we consider equivalent homogeneous sphere having radius r —b, properties (x,n) and thermal expansion coefficient a, such a sphere is referred to as a composite sphere Composite sphere is subjected to a hydrostatic stress p2 on boundary r = b and is subjected to constant temperature change AT Because the composite sphere is solid, solution form is similar to that of particle phase u*r = A*r , (14) Ơ*TT = (3A + 2ụ) A* - (3A + 2/i)ữAT (15) The displacement field is defined from boundary condition @ TT ' T—b as follows ur P2 + o A T r 3A 4- 2/i (16) In fact, the displacements of composite sphere and spherical matrix shell are the same, specifically u ( 2) (17) I r=b Putting equations (8) and (16) into equation (17) taking into account (13), we obtain the following equation Vi ( K + 4/i2/3) (K, - K 2)a3 - ( K - K 2) (Ki + 4fi2/3) b3 + + K K y f t K i + 4/i2)(a —Oi2){ci —b ) —K K i (3K2 + 4^2)(o' Oil)& A T = (18) Equation (18) is satisfied for arbitrary P 2, therefore, its coefficients must be zero Equating to zero the coefficient of P2 gives us relation K = K2+ (K, - K 2)Z + {Kỵ — K 2) {K ì + 4G2/ 3)""1 (1 —£) (19) which is the same as Hasin’s formula introduced in Christensen’s work [1] for determ ining the effective bulk m odulus o f com posite of spherical particles Then making the term independent of p2 to be zero, we obtain relation a - a + (