A numerical model for the simulation of wave dynamics in the surf zone and near coastal structures

VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 160‐169  A numerical model for the simulation of wave dynamics   in the surf zone and near coastal structures  Vu Thanh Ca*  Center for Marine and Ocean-Atmosphere Interaction Research, Vietnam Institute of Meteorology, Hydrology and Environment Received 07 March 2007  Abstract. This paper describes a numerical model for the simulation of near shore wave dynamics  and bottom topography change. In this part, the nearshore wave dynamics is simulated by solving  the  depth  integrated  Boussinesq  approximation  equations  for  nearshore  wave  transformation  together with continuity equation with a Crank‐Nicholson scheme. The wave runup on beaches is  simulated by a scheme, similar to the Volume Of Fluid (VOF) technique. The wave energy loss due  to  wave  breaking  and  shear  generated  turbulence  is  simulated  by  a  k − ε   model,  in  which  the  turbulence  kinetic  energy  (TKE)  generation  is  assumed  as  the  sum  of  those  respectively  due  to  wave breaking and horizontal and vertical shear.  The verification of the numerical model against data obtained from various indoor experiments  reveals  that  the  model  is  capable  of  simulating  the  wave  dynamics,  turbulence  and  bottom  topography  change  under  wave  actions.  The  simulation  of  turbulence  in  the  surf  zone  and  near  coastal structures enable the model realistically simulates the contribution of suspended sediment  transport into the bed topography change.  Keywords: Wave dynamics; Wave runup; Wave energy; Surf zone; Boussinessq model.  1. Introduction1  Nadaoka  [9]  found  by  indoor  experiments that during wave breaking, large  vortices  were  formed  and  rapidly  extended  both  vertically  and  horizontally.  Ting  and  Kirby  [15‐17]  by  conducting  experiments  with different wave conditions found that the  advective  and  diffusive  transports  of  TKE  play  a  major  role  in  the  distribution  of  turbulence,  especially  under  plunging  breaker.  They  also  found  that  under  spilling  breakers  (the  breaking  of  relatively  steep  waves on a gentle slope), the time variation of  TKE  was  relatively  small,  and  the  time  average  transport  of  TKE  was  directed  offshore.  Under  plunging  breakers  (the  breaking  of  less  steep  waves  on  a  gentle  slope),  there  was  a  large  time  variation  of  Extensive  researches  on  the  wave  dynamics,  sediment  transport  and  bottom  topography  change  in  the  nearshore  area,  especially in the surf zone [1‐5, 7, 9, 12, 14‐17]  have  elucidated  various  aspects  of  coastal  processes,  such  as  the  dynamics  of  wave  breaking,  characteristics  of  turbulence  in  the  surf  zone,  structure  of  the  undertow,  the  development of bottom boundary layer under  breaking waves, the rate of bed load transport,  uptake of bed material for suspension, settling  rate of suspended sediment etc.  _ * Tel.: 84‐913212455.     E‐mail: vuca@vkttv.edu.vn  160  160 Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  TKE,  and  its  time  averaged  transport  is  directed on‐shore.   For  situations  with  negligible  alongshore  sediment  transport,  the  status  of  a  beach  depends  on  the  cross‐shore  transport  of  sediment, which is closely related with wave  conditions.  If  the  shoreward  transport  of  sediment  by  incoming  waves  exceeds  the  offshore  transport  of  sediment  by  retreating  waves  and  the  undertow,  there  will  be  a  net  onshore  transport  of  sediment,  resulting  in  beach  accretion.  Otherwise,  the  beach  is  in  equilibrium state or eroded.   During  a  storm,  turbulence  generated  by  the breaking of a relatively short wind wave  has  not  been  significantly  dissipated  when  a  new wave arrives and breaks. Thus, the time  variation  of  TKE  is  relatively  small,  and  the  combination  of  wave‐induced  flow  and  undertow may transport TKE and suspended  sediment  offshore.  This  results  in  the  offshore‐directed  transport  of  sand  during  storm  and  the  associated  beach  erosion.  On  the  other  hand,  post  storms,  turbulence  generated  by  the  breaking  of  a  long  period  ‐  small  amplitude  swell  has  significantly  dissipated  when  the  wave  retreats.  Thus,  there is a large time variation of TKE, and the  peaks  in  turbulence  intensity  and  suspended  sediment  concentration  coincide  with  incoming  waves.  Accordingly,  onshore  transport of TKE and suspended sediment by  incoming  waves  exceeds  the  offshore  transport  by  retreating  waves  and  the  undertow.  This  results  in  a  net  onshore  transport  of  suspended  sediments  and  helps  explaining  the  onshore‐directed  transport  of  sediment  during  calm  weather  and  the  consequent post storm beach recovery.   Schaffer  [14]  and  Madsen  [7]  developed  models  for  the  simulation  of  the  nearshore  wave  dynamics  based  on  Boussinesq  approximation  equations.  The  wave  energy  loss  due  to  breaking  is  simulated  by  employing  a  surface  roller  model.  Due  to  the  instability  of  the  numerical  code  resulting  from  the  treatment  of  the  surface  roller  wave  energy  loss,  Schaffer  [14]  had  to  use  a  smoothing technique to stabilize the solution.  Rakha et al [12, 13] presented a quasi‐2D  and  a  quasi‐3D  phase  resolving  hydrodynamic  and  sediment  transport  models.  In  these  models,  the  horizontal  transport  of  TKE,  and  the  associated  transport  of  suspended  sediment  are  neglected. However, as discussed previously,  results  of  Nadaoka  et  al  [9]  and  Ting  and  Kirby [16] show that the horizontal transport  of TKE in the surf zone is very important and  should  not  be  neglected.  Thus,  without  accounting  for  this,  it  is not  easy  to  simulate  the  beach  erosion  during  storm  and  the  consequent recovery after the storm.  Nadaoka and Ono [10] presented a depth‐  integrated  k‐model  where  the  TKE  production  rate  was  evaluated  with  a  Rankine eddy model. In this model, the TKE  dissipation  rate  and  the  eddy  viscosity  was  evaluated  by  employing  an  empirical  length  scale.  The  model  had  not  been  verified  against experimental data. Also, wave runup  on beach, which is mainly responsible for the  erosion  of  foreshore  during  storms,  is  not  simulated in this model.  Regarding  all  the  above  mentioned  facts,  the  purpose  of  this  study  is  to  develop  a  numerical  model  that  can  simulate  the  nearshore  wave  dynamics,  including  wave  breaking  and  wave  runup,  the  generation,  transport and dissipation of TKE.  2.  Governing  equations  of  the  numerical  model for nearshore wave dynamics  In  this  study,  the  near‐shore  wave  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  dynamics  are  simulated  by  solution  of  two‐ dimensional  depth  integrated  Boussinesq  approximation  equations,  including  bottom  friction  and  wave  energy  loss  due  to  wave  breaking  and  shear.  The  main  equations  of  the numerical model are written as:  ∂q x ∂q y ∂η + + =        ∂x ∂y ∂t          (1)  ∂q x ∂ ⎛ q x2 ⎞ ∂ ⎛ q x q y ⎞ ∂η ⎟ + gd + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ∂t ∂x ⎝ d ⎠ ∂y ⎝ d ⎟⎠ ∂x h3 ⎡ ∂ ⎛ qx ⎞ ∂ ⎛ q y ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ +       (2)  ⎢ ⎜ ⎟+ ⎢⎣ ∂x ∂t ⎝ h ⎠ ∂x∂y∂t ⎜⎝ h ⎟⎠⎥⎦ ∂ 3q y ⎞ h ⎛ ∂ 3q ⎟ − M bx + f c Qq x = − ⎜ 2x + ⎜ ⎝ ∂x ∂t ∂x∂y∂t ⎟⎠ d2 ∂q y ∂ ⎛ q x q y ⎞ ∂ ⎛ q 2y ⎞ ∂η ⎟ + ⎜ ⎟ + gd + ⎜⎜ ∂t ∂x ⎝ d ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ d ⎟⎠ ∂y h3 ⎡ ∂ ⎛ q y ⎞ ∂ ⎛ q x ⎞⎤ ⎜ ⎟     (3)  + + ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎣⎢ ∂y ∂t ⎜⎝ h ⎟⎠ ∂x∂y∂t ⎝ h ⎠⎦⎥ ⎛ ∂ 3q y ∂ q x ⎞⎟ f ⎜ + − M by + c2 Qq y = ⎜ ∂y ∂t ∂x∂y∂t ⎟ d ⎝ ⎠ where  q x   and  q y   are  respectively  the  depth  − h2 integrated  flow  discharges  in  x  and  y  directions;  η   is  the  water  surface  elevation;  d  is the instantaneous water depth;  h  is the  still  water  depth;  f c   is  the  bed  friction  coefficient;  Q   is  the  total  discharge,  defined  as  Q = q x2 + q 2y ;  and  M bx   and  M by   represent  the  wave  energy  loss  due  to  breaking,  evaluated  by  introducing  an  eddy  viscosity  and expressed as:  ∂(q x / d ) ⎤ ∂ ⎡ ∂(q x / d ) ⎤ ∂ ⎡ + df Dν t df Dν t ∂x ⎢⎣ ∂x ⎥⎦ ∂y ⎢⎣ ∂y ⎥⎦  (4)  ∂ qy / d ⎤ ∂ ⎡ ∂ qy / d ⎤ ∂ ⎡ = ⎢df Dν t ⎥+ ⎢df Dν t ⎥ ∂x ⎣ ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ M bx = M by ( ) ( ) In Eq. (4),  ν t  is the eddy viscosity; and  f D   is  an  empirical  coefficient,  determined  based  on the calibration of the numerical model.   161 When  waves  are  breaking  on  beach,  a  part  of  the  lost  wave  energy  is  transformed  into  turbulence  energy.  At  the  beginning  of  the  wave  breaking  process,  the  turbulence  is  confined into a small portion of the breaking  wave  crest,  the  surface  roller;  after  that,  turbulence  eddies  rapidly  expand  in  vertical  and  horizontal  directions  [9,  15‐17].  The  turbulence  under  wave  breaking  is  very  complex and fully three‐dimensional. Thus, a  3D model is required for a proper simulation  of turbulence  processes  here.  However,  such  a  model  would  require  an  excessive  computational  time  and  at  the  moment  is  not  suitable  for  a  practical  application.  On  the  other hand, based on results of Nadaoka et al  [9], Ting and Kirby [15‐17], it can be estimated  that  in  the  surf  zone,  the  time  scale  for  turbulence  energy  transport  in  the  vertical  direction  is  much  shorter  than  that  in  the  horizontal directions. Thus, the simulation of  the  transport  of  TKE  in  the  horizontal  direction  is  more  important  than  that  in  the  vertical  direction.  Therefore,  in  the  present  study,  the  TKE  is  assumed  uniformly  distributed in the whole water depth, and the  depth‐integrated  equations  for  the  production,  transport  and  dissipation  of  the  TKE and its dissipation rate read:  ∂k ∂uk ∂vk + + = Pr − ε ∂t ∂x ∂y         (5)  ∂ ⎡ dν t ∂(k / d ) ⎤ ∂ ⎡ dν t ∂(k / d ) ⎤ + ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥, ∂x ⎣ σ t ∂x ⎦ ∂y ⎣ σ t ∂y ⎦ ∂ε ∂uε ∂vε ∂ ⎡ dν ∂ (ε / d ) ⎤ + + = ⎢ t ⎥ ∂t ∂x ∂y ∂x ⎣ σ ε ∂x ⎦          (6)  ∂ ⎡ dν t ∂ (ε / d ) ⎤ ε + ⎢ ⎥ + (C1ε Pr − C 2ε ε ) ∂y ⎣ σ ε ∂y ⎦ k where  k   and  ε   are  respectively  the  depth  integrated  TKE  and  its  dissipation  rate;  u   and  v   are  respectively  phase‐depth  averaged flow velocities in x and y directions;  σ t ,  σ ε ,  C1ε ,  C2ε   are  closure  coefficients.  In  162 Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  Eq. (6),  Pr  is the TKE production rate, which  is  assumed  as  a  summation  of  the  TKE  production  due  to  bottom  friction  Prb ,  horizontal  shear  Prs   and  wave  breaking  Prw   as:  Pr = Prb + Prs + Prw                   (7)  With known values of  k  and  ε , the eddy  viscosity is evaluated as:  ν t = Cε k / (dε ) ,                   (8)  where  Cε (= 0.09)  is constant.  The  scheme  for  the  simulation  of  wave  runup  and  rundown  on  the  beach  is  explained  in  the  next  section.  By  employing  this  scheme,  the  present  model  can  simulate  the  wave  setup,  set  down  on  the  beach,  and  the erosion of foreshore during storm events.  3.  Boundary  and  initial  conditions  and  numerical scheme   3.1. Boundary and initial conditions  It  is  possible  to  use  a  weekly  wave  reflected  boundary  condition  such  as  the  Summerfeld  radiation  condition  at  the  offshore  boundary  to  let  reflected  waves  freely going out of the computational region.  However,  this  linear  wave  theory  based  boundary  condition,  when  applied  in  combination  with  a  nonlinear  wave  model,  does  not  ensure  mass  conservation  and  may  lead  to  an  accumulation  or  lost  of  water  inside the computational region. Thus, in this  study, water surface elevation under waves is  given at the offshore boundary.   Wave‐absorbing  zones  are  introduced  at  the  lateral  boundaries  to  minimize  wave  reflection.  The  bed  friction  coefficient  f c   in  these  zones  is  assumed  constant  within  first  five meshes from the lateral boundaries, and  then  increases  linearly  with  the  distances  from the boundaries towards the ends of the  wave absorbing zones. Finally, at the ends of  the  wave  absorbing  zones,  the  Summerfeld  radiation  condition  for  long  waves  are  introduced to let remaining waves going out  of  the  computational  region.  A  free  slip  boundary  condition  is  applied  at  surfaces  of  the coastal structures.   Zero  gradients  of  k   and  ε   are  assumed  at  the  offshore,  lateral  boundaries  and  at  surfaces of coastal structures.  A  scheme  similar  to  that  of  Hibberd  and  Peregrine  [5]  is  used  to  compute  the  wave  runup on the beach. A sketch of the scheme is  shown  in  Fig.  1.  In  this  scheme,  when  the  shore  is  approached,  all  the  dispersion  terms  in  Eqs.  (2)  and  (3)  are  turned  off.  Additionally,  a  cell  side  wetted  function,  defined  as  the  wetted  portion  over  the  total  length  of  a  cell  side,  and  a  cell  wetted  area  function,  defined  as  the  wetted  portion  over  the  total  cell  area  are  introduced  to  account  for  the  fact  that  water  flows  only  in  wetted  parts  of  the  cells  on  the  instantaneous  shoreline.  Then,  the  continuity  equation  (Eq.  1)  and  momentum  equations  (Eqs.  2  and  3)  can be derived by a method similar to Vu et  al [19] and become:   ∂f q ∂f q ∂Sη   y x + x y + =0  (9)  ∂x ∂y ∂t ∂q x ∂ ⎛ Sq x2 ⎞ ∂ ⎛ Sq x q y ⎞ ⎜ ⎟+ ⎟ ⎜ + S ∂x ⎜⎝ d ⎟⎠ S ∂y ⎜⎝ d ⎟⎠ ∂t ∂ (q x / d ) ⎤ ∂η ∂ ⎡ − dν t S   ∂x ⎥⎦ ∂x S ∂x ⎢⎣ ∂ (q x / d ) ⎤ f c ∂ ⎡ dν t S + Qq x = 0, − S ∂y ⎢⎣ ∂y ⎥⎦ d   + gd   (10)  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  ⎞ ∂ ⎛⎜ Sq y ⎞⎟ ⎟⎟ + ∂t ⎠ S ∂y ⎜⎝ d ⎟⎠ ∂ qy / d ⎤ ∂η ∂ ⎡ + gd −   ⎢dν t S ⎥ ∂y S ∂x ⎣ ∂x ⎦ ∂ qy / d ⎤ fc ∂ ⎡ Qq y = − ⎢ dν t S ⎥+ ∂y ⎦ d S ∂y ⎣ ∂q y + ∂ ⎛ Sq y q x ⎜ S ∂x ⎜⎝ d ( ( ) (11)  ) where  f x  and  f y  are respectively the cell side  wetted  functions  corresponding  to  x   and  y   directions,  and  S   is  the  cell  area  wetted  function.    Fig. 1. The coordinate system and method for the  evaluation of a wetting and drying boundary.  The  procedure  for  determining  the  cell  side  wetted  function  and  the  cell  area  wetted  function  in  the  numerical  scheme  will  be  discussed in the next section.  A still water is assumed at the beginning  of  the  computation.  With  this,  all  variables  are set equal to zero initially.  3.2. Numerical scheme  Equations  (1‐3)  and  (5‐6)  are  integrated  numerically  on  a  spatially  staggered  grid  system,  where  components  of  the  flow  discharge  are  evaluated  at  surfaces,  and  bed  elevation,  k   and  ε   are  evaluated  at  the  centers of control volumes. The sketch of the  coordinates  and  computational  mesh  is  shown in Fig. 1. As it will be discussed later,  163 in the present scheme, the water level inside  a cell is evaluated at the center of the wetted  area  inside  the  cell.  A  second  order  accurate  Crank‐Nicholson scheme is employed for the  time  discretization  for  all  equations,  and  a  central  differencing  scheme  is  employed  for  spatial  discretization  of  Eqs.  (1)  to  (3).  The  spatial  disretization  for  advection  terms  of  Eqs.  (5)  and  (6),  governing  the  transport,  diffusion,  generation  and  dissipation  of  k   and  ε ,  follows  the  third  order  accurate  QUICK  scheme,  and  that  for  the  diffusion  terms  follows  the  central  differencing  scheme.  As  the  discretization  scheme  is  implicit,  an  iterative  scheme  similar  to  the  SIMPLE  scheme  of  Patankar  [11]  is  employed.  At  the  beginning  of  a  new  time  step,  the  computation  of  the  flow  discharges  requires  the  still  unknown  water  level  and  eddy  viscosity.  Thus,  at  first,  the  water  level  at each new time step is assumed equal to the  value at the previous time step. Then, Eqs. (2)  and (3) are solved to get the flow discharges  in  x  and  y  directions,  respectively.  The  new  values of the flow discharges are substituted  into  the  continuity  equation  to  compute  the  new  water  level.  Also,  with  the  new  water  level,  the  thickness  of  the  surface  roller  is  evaluated.  Then,  Eqs.  (5)  and  (6)  are  integrated to get  k  and  ε , and consequently  the  new  coefficient  of  eddy  viscosity.  All  newly  obtained  water  level,  flow  discharges  and  coefficient  of  eddy  viscosity  are  substituted  back  into  Eqs.  (2)  and  (3)  to  compute  the  new  components  of  the  flow  discharge.  The  procedure  is  repeated  until  converged solutions are reached.  The  wetted  periphery  inside  a  computational  mesh  at  the  intersection  between the water surface and the beach, the  cell  side  wetted  function  and  the  cell  area  wetted  function  at  each  time  step  are  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  164 evaluated  explicitly  based  on  the  water  level,  bed  elevation  and  the  bed  slope  in  two  directions. The procedure for this is shown in  Fig. 1. The bed elevations at cell corners (such  as points A, B, C and D in Fig. 1) are evaluated  as  the  average  value  of  the  bed  elevation  at  four  adjacent  points.  For  example,  the  bed  elevation at point C in this figure is evaluated  as:  bc = bi , j + bi , j +1 + bi +1, j +1 + bi +1, j ,                 (12)  where bc is the bed elevation at point C, and  bi,j, bi,j+1, bi+1,j+1  and  bi+1,j  are  respectively  the  bed  elevations  at  the  center  of  cells  (i,j), (i,j+1), (i+1,j+1) and (i+1,j).  The  water  level  at  a  cell  side  is  averaged  from  the  water  levels  at  two  adjacent  cells.  For  example,  the  water  level  on  the  side  BC  of cell i,j in Fig. 1 is evaluated as:  ηbc = ηi , j + ηi , j +1 ,         (13)  where  ηbc ,  ηi , j   and  ηi , j +1   are  respectively  water  levels  at  the  cell  side  BC,  and  in  the  cells (i,j) and (i,j+1).  If  one  of  adjacent  cells  to  a  cell  side  is  completely  dry  (with  the  value  of  the  area  wetted  function  equal  to  zero),  the  average  water  level  at  the  cell  side  is  assumed  equal  to the water level at the wetted cell. Based on  the  bed  elevation  at  its  two  ends  and  the  average  water  level  on  a  cell  side,  the  intersected  point  between  the  water  surface  and  the  cell  side,  and  the  wetted  portion  of  the  side  are  determined.  When  the  average  water level on the cell side is higher than the  bed  elevation  at  its  two  ends,  the  side  is  considered totally submerged into the water,  and  the  corresponding  value  of  the  cell  side  wetted function is 1. For other cases, value of  the  cell  side  wetted  function  equals  to  the  ratio of the length of the wetted portion over  the total length of the cell side. After getting  all the wetted points on four sides of the cell,  the  wetted  periphery  and  the  wetted  area  inside  a  cell  are  determined  by  connecting  two  adjacent  wetted  points  with  a  straight  line.  This  wetted  periphery  is  shown  by  the  dotted line in Fig. 1. The wetted area in cell i,j  in  this  figure  is  the  portion  of  the  cell  from  the  dotted  line  to  offshore.  The  wetted  periphery  and  area  inside  the  cell  are  kept  constant for a time step.  4. Model verification  4.1.  Wave  transformation  and  characteristics  of  turbulence  due  to  wave  breaking  on  a  natural  beach  To  verify  the  accuracy  of  the  numerical  model  on  the  simulation  of  the  wave  transformation  on  a  natural  beach,  existing  experimental data on the wave dynamics in  the  nearshore  area  obtained  by  Ting  and  Kirby  [15‐17]  are  used.  The  experiments  were  carried  out  in  a  two‐dimensional  wave  flume of 40m long, 0.6m wide and 1.0m deep.  A  plywood  false  bottom was  installed  in  the  flume  to  create  a  uniform  slope  of  1  on  35.  Regular  waves  with  heights  and  periods  equal to 12.7cm, 2s and 8.7cm, 5s are used as  incoming  waves  respectively  for  spilling  breaker and plunging breaker experiments.  Fig.  2  shows  the  sketch  of  the  Ting  and  Kirby [15‐17] experiments. Computation was  carried  out  with  the  same  conditions  of  the  experiments.  The  critical  water  surface  slope  for  a  broken  wave  to  be  recovered  φ0  is  set  equal to 60, according to Madsen et al [7].  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  Wave generator fD = a + b 0.38m 35   Fig. 2. Experiments by Ting and Kirby [15‐17].  As  cited  by  various  authors  [2,  4],  when  waves  are  breaking,  a  major  part  of  the  lost  wave  energy  is  dissipated  directly  in  the  shear layer beneath the surface roller, and only  a minor part of it is transformed into turbulent  energy.  Thus,  a  turbulence  model  may  underestimate  the  wave  energy  lost  due  to  breaking.  To  account  for  this,  an  empirical  coefficient  f D   was  introduced  in  Eq.  4.  Calibrations were carried out to find the best  value of this coefficient. Vu et al [18] found a  constant  value  of  1.5  for  this  coefficient  for  their one‐dimensional model. However, their  computational  results  show  that  the  coefficient  does  not  provide  adequate  wave  energy  dissipation,  and  the  computed  wave  heights  after  breaking  is  significantly  larger  than the observed ones.  As mentioned previously, wave breaking  happens with a sudden loss of wave energy.  This  in  a  numerical  model  can  be  simulated  by  a  sudden  increase  in  the  “energy  dissipation  coefficient”  f D   As  the  breaking  wave progresses onshore, the growth of TKE  may accompany an increase in the coefficient.  On  the  other  hand,  turbulence  length  scale,  and  the  corresponding  turbulence  intensity  decrease  with  water  depth,  leading  to  a  decrease  in  the  coefficient.  Thus,  in  this  study,  the  coefficient  is  assumed  suddenly  increases  at  the  breaking  point,  then  gradually  increases  towards  the  shore,  and  then decreases with the decrease in the water  depth in the following form:  ⎛ hm ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ h ⎟ ,  ⎝ mb ⎠      (14)  where  a  and  b  are  constants,  to  be  determined  from  calibration;  x  and  xb  are  respectively  the  coordinates  in  the  on‐ offshore  direction  at  the  point  under  consideration and the breaking point;  hm  and  hmb  are the corresponding mean water depths  at the respective points.   Fig. 3 shows the comparison between on‐ offshore distributions of time averaged mean  water  surface  elevation,  minimum  water  surface  elevation,  maximum  water  surface  elevation,  and  wave  height  for  the  spilling  breaker,  computed  by  the  model  (with  f D   evaluated  following  Eq.  (14),  a = 0.05   and  b = ),  and  observed  by  Ting  and  Kirby  [15,  16].   0.2 Height (m) 0.4m x − xb hmb 165 Bed Comp Etaav Comp Etamax Comp Etamin Comp Waveh Obs Wavh Obs Etaav Obs Etamax Obs Etamin 0.1 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 10 11 12 13 Horizontal Distance (m) Fig. 3. Comparison between observed and computed  time averaged wave height, highest, lowest and  mean water surface elevation for spilling breaker.  Experimental data from Ting and Kirby [15, 16].  It can be seen in Fig. 3 that the model can  accurately  predict  the  wave  breaking  point  and  provides  adequate  wave  energy  dissipation  after  breaking.  The  maximum,  minimum and mean water levels at all points  in  the  computational  region  are  also  predicted  by  the  model  with  good  accuracy.  The  general  satisfactory  agreement  between  computed  and  observed  data  shown  in  the  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  figure  suggests  that  the  model  can  simulate  nearshore  wave  processes,  such  as  wave  energy  loss  due  to  breaking,  wave  setup,  setdown etc. with acceptable accuracy.  Figures  (4)  to  (7)  respectively  show  the  time  variation  of  ensemble  averaged  (phase‐ averaged)  non‐dimensional  water  surface  elevation,  depth‐averaged  horizontal  flow  velocity, TKE, and advective transport rate of  TKE,  computed  by  the  model  and  observed  by  Ting  and  Kirby  [15,  16]  at  (x − xb ) / hmb = 7.642  The time t in the figures is  non‐dimensionalized  by  wave  period  T.  For  convenient,  the  same  coordinate  system  in  Ting  and  Kirby  [15‐17]  is  employed  in  this  study.  The  computed  time  variation  of  ensemble‐averaged  water  surface  elevation  fluctuation,  non‐dimensionalized  by  local  mean water depth hm (equal the sum of local  still  water  depth  and  mean  water  surface  fluctuation  η ),  shown  in  Fig.  4  agrees  very  well  with  observed  between  computed  variation  of  phase  horizontal  flow  dimensionalized  by  data.  The  agreement  and  observed  time  and  depth‐averaged  velocity,  non‐ the  local  long‐wave  commonly  known  that  just  after  wave  breaking,  turbulence  is  concentrated  only  inside  the  surface  roller,  and  flow  in  the  region  below  remains  irrotational.  Thus,  a  depth‐integrated  model  for  the  generation,  transport  and  dissipation  of  TKE  cannot  be  considered  as  a  good  approximation  for  this  situation.  However,  despite  of  all  inadequate  assumptions  and  approximations,  order  of  TKE predicted by the model, shown in Fig. 6,  agrees well with the observed one. Regarding  difficulties in predicting the TKE under wave  breaking  with  a  numerical  model,  it  can  be  said that the numerical model can predict the  TKE  and  its  advective  transport  with  satisfactory accuracy.  0.5 0.4 0.3 (ζ -)/h 166 0.2 0.1 -0.1 -0.2 celerity  c  (defined  as  c = g (hm + H ) ,  with  H  0.4 0.6 0.8 t/T Fig. 4. Computed and observed phase‐averaged  water surface elevation at (x‐xb)/hb=7.462. Spilling  breaker.  0.4 0.3 0.2 /c as  the  deepwater  wave  height)  also  agrees  satisfactorily  with  observed  data.  The  agreement  between  computed  and  observed  phase  and  depth‐averaged  non‐dimensional  TKE  and  its  advective  transport  is  less  satisfactory  than  that  of  the  water  level  or  flow  velocity.  It  must  be  noted  that  the  computation  of  TKE  employs  a  depth‐ integrated  k − ε  model, which involves many  approximation  assumptions  and  may  not  accurately  predict  the  TKE  production,  transport  and  dissipation  under  a  complex  situation  such  as  wave  breaking.  Among  all,  the weakest point of this model might be the  depth‐integrated  approximation.  It  is  0.2 0.1 -0.1 -0.2   0.2 0.4 0.6 t /T 0.8 Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  Fig. 5. Computed and observed phase‐depth  averaged horizontal flow velocity   at (x-xb)/hb=7.462. Spilling breaker.  - k/c (X10 3) 1.5 The  agreement  between  computed  and  observed advective transports of TKE, shown  in Fig. 7, is better than that for the TKE itself.  Results  of  Ting  and  Kirby  [15,  16]  show  that  there  is  a  tendency  of  offshore  (negative)  transport  of  TKE.  The  computational  results  by  the  present  model  also  reveals  the  same  tendency;  however,  as  shown  in  Fig.  8,  the  residual  advective  offshore  transport  of  TKE  evaluated  by  the  numerical  model  is  significantly smaller than the observed one.  From  the  general  agreement  between  computed  and  observed  values  of  various  wave  characteristics,  it  can  be  remarked  that  the  numerical  model  can  simulate  wave  transformation  in  the  nearshore  region  with  an acceptable accuracy.  0.006 0.005 k /c 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t /T Fig. 6. Computed and observed phase‐depth  averaged relative turbulent intensity   at (x-xb)/hb=7.462. Spilling breaker.  167 1.2 0.5 -0.5 -1 0.2 0.4    0.6 0.8 t /T Fig. 7. Computed and observed phase‐depth  averaged relative advective transport rate of TKE   in the horizontal direction at (x-xb)/hb=7.462.   Spilling breaker.   4.2. Wave runup on beach  To  verify  the  accuracy  of  the  simulation  by the present numerical model on the wave  runup  on  beach,  experimental  data  of  Mase  and Kobayashi [8] are used. The sketch of the  experiment is shown in Fig. 10. As shown in  the  figure,  the  experiments  were  carried  out  in  a  wave  flume  with  the  length  of  27  m,  depth  of  0.75  m  and  width  of  0.50  m.  An  irregular  wave  generator  is  installed  at  one  end of the wave flume. At the other end is a  model  beach  with  a  foreshore  slope  of  1/20.  The  water  depth  in  front  of  the  slope  is  set  constant and equal to 0.47 m. The wave runup  on  the  beach  is  recorded  by  a  wave  meter.  Wave  groups  used  in  the  experiments  are  expressed as:  η 1 = cos[2π (1 + δ ) ft ] + cos[2π (1 − δ ) ft ]    (15)  η max 2 = cos(2πδft )cos(2πft ), where  η max  is the amplitude of the incoming  waves,  f   is  the  wave  frequency,  and  ∆   is  the  variation  in  the  relative  wave  frequency.  During  the  experiments,  η max was  taken  as  5  cm.  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  168 Water Surface Elevation (m) 0.05 turbulence  generated  by  wave  breaking  and  shear.  As  the  model  is  a  depth‐integrated,  two‐dimensional in the horizontal directions,  the  computational  time  is  relatively  short.  Thus,  the  application  of  the  model  for  simulation  of  wave  transformation  in  the  field,  especially  in  the  vicinity  coastal  structures  and  inside  harbours  is  very  promising.  0.025 - 0.025 - 0.05 10 15 Time (sec) 20 25 Fig. 8. Computed and observed wave runup height.  T = 2.5 s, ∆ = 0.1.  Fig.  8  shows  an  example  of  comparison  between  observed  and  computed  wave  runup  for  different  wave  periods.  It  can  be  seen  in  the  figures  that  the  computed  wave  runup  heights  agree  very  satisfactorily  with  the observed values.  The  computational  results  (not  shown)  also  reveal  that  short  period  waves  are  dissipated  much  more  rapidly  on  the  beach  compared  with  long  period  waves.  The  very  satisfactory  agreement  between  computed  and  observed  wave  runup  heights  reveals  that  the  numerical  model  can  accurately  simulate wave runup on beaches.  The  model  is  also  verified  for  its  applicability  of  computing  waves  near  coastal structures.  5. Conclusions  A  numerical  model  has  been  developed  for  the  simulation  of  the  wave  dynamics  in  the  near  shore  area  and  in  the  vicinity  of  coastal  structures.  It  has  been  found  that  the  numerical  model  can  satisfactorily  simulate  the  wave  transformation,  including  wave  breaking,  wave  runup  on  the  beach,  and  References  [1] D.  Cox,  N.  Kobayashi,  Kinematic  undertow  model with logarithmic boundary layer, Journal  of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering  123/6 (1997) 354.  [2] W.R. Dally, C.A. Brown, A modeling investigation  of  the  breaking  wave  roller  with  application  to  cross‐shore  currents,  Journal  of  Geophysical  Research 100 (1995) 24873.  [3] A.G. Davies, J.S. Ribberink, A. Temperville, J.A.  Zyserman,  Comparisons  between  sediment  transport  models  and  observations  made  in  wave  and  current  flows  above  plane  beds,  Coastal Engineering 31 (1997) 163.  [4] R.  Deigaard,  Mathematical  modelling  of  waves  in the surf zone, Prog. Report ISVA 69 (1989) 47.  [5] S.  Hibberd,  H.D.  Peregrine,  Surf  and  runup  on  beach: A uniform bore, Journal of Fluid Mechanics  95 (1979) 323.  [6] C.W. Hirt, Nichols, Volume of fluid method for  the  dynamics  of  free  boundaries,  Journal  of  Computational Physics 39 (1981) 201.  [7] P.A.  Madsen,  O.R.  Sorensen,  H.A.  Schaffer,   Surf  zone  dynamics  simulated  by  a  Boussinesq  type model. Part 1: Model description and cross‐ shore  motion  of  regular  waves,  Coastal  Engineering 33 (1997) 255.  [8] H.  Mase,  N.  Kobayashi,  Low  frequency  swash  oscillation,  Journal  of  Japan  Society  of  Civil  Engineers II‐22/461 (1993) 49.  [9] K.  Nadaoka,  M.  Hino,  Y.  Koyano,  Structure  of  the  turbulent  flow  field  under  breaking  waves  in  the  surf  zone,  Journal  of  Fluid  Mechanics  204  (1989) 359.  Vu Thanh Ca / VNU Journal of Science, Earth Sciences 23 (2007) 159‐168  [10] K.  Nadaoka,  O.  Ono,  Time‐Dependent  Depth‐ Integrated  Turbulence  Closure  Modeling  of  Breaking  Waves,  Coastal  Engineering  ACSE  (1998) 86.  [11] S.V. Patankar, Numerical  Heat  Transfer  and  Fluid  Flow, Hemisphere Publ. Co., London, 1980.  [12] K.A.  Rakha,  R.  Deigaard,  I.  Broker,  A  phase  resolving cross shore sediment transport model  for  beach  profile  evolution,  Coastal  Engineering  31 (1997) 231.  [13] K.A.  Rakha,  A  quasi‐3D  phase‐resolving  hydrodynamic  and  sediment  transport  model,  Coastal Engineering 34 (1998) 277.  [14] H.A.  Schaffer,  P.A.  Madsen,  R.  Deigaard,  A  Boussinesq  model  for  waves  breaking  in  shallow water, Coastal Engineering 20 (1993) 185.  [15] F.C.K. Ting, J.T. Kirby, Observation of undertow      [16] [17] [18] [19] 169 and  turbulence  in  laboratory  surf  zone,  Coastal  Engineering 24 (1994) 51.  F.C.K.  Ting,  J.T.  Kirby,  Dynamics  of  surf  zone  turbulence in a strong plunging breaker, Coastal  Engineering 24 (1995) 177.  F.C.K.  Ting,  J.T.  Kirby,  Dynamics  of  surf  zone  turbulence  in  a  spilling  breaker,  Coastal  Engineering 27 (1996) 131.  Vu  Thanh  Ca,  K.  Tanimoto,  Y.  Yamamoto,  Numerical simulation of wave breaking by a k‐ε  model,  Proceedings  of  Coastal  Engineering,  JSCE  47 (2000) 176.  Vu  Thanh  Ca,  Y.  Ashie,  T.  Asaeda,  A  k‐ ε turbulence  closure  model  for  the  atmospheric  boundary  layer  including  urban  canopy,  Boundary‐Layer Meteorology 102 (2002) 459.  ... the? ? wave? ? dynamics? ? in? ? the? ? near? ? shore  area  and? ? in? ? the? ? vicinity  of? ? coastal? ? structures.   It  has  been  found  that  the? ? numerical? ? model? ? can  satisfactorily  simulate  the? ? wave? ? transformation, ... to  wave? ? breaking  on  a? ? natural  beach  To  verify  the? ? accuracy  of? ? the? ? numerical? ? model? ? on  the? ? simulation? ? of? ? the? ? wave? ? transformation  on  a? ? natural  beach,  existing  experimental data on? ?the? ?wave? ?dynamics? ?in? ?... develop  a? ? numerical? ? model? ? that  can  simulate  the? ? nearshore  wave? ? dynamics,   including  wave? ? breaking  and? ? wave? ? runup,  the? ? generation,  transport? ?and? ?dissipation? ?of? ?TKE.  2.  Governing