ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 kì 2 cát LINH đáp án

1/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê TRƯỜNG THCS CÁT LINH NĂM HỌC 2017 – 2018 NỘI DUNG ƠN TẬP HỌC KÌ II KHỔI – MƠN: TỐN A Kiến thức cần nhớ I Đại số Khái niệm: PT bậc hai ẩn, hệ hai PT bậc hai ẩn nghiệm nó, hệ PT tương đương Cách giải hệ PT phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ Tính chất hàm số y  ax  a   Đồ thị hàm số y  ax  a   PT bậc hai ẩn: Đn, công thức nghiệm, công thức nghiêm thu gọn Hệ thức Vi – ét ứng dụng Giải toán cách lập PT II Hình học: Định nghĩa góc tâm, số đo cung Định nghĩa, tính chất, hệ quả: góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Định nghĩa đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp đa giác Xácđịnh tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đều, hình vng, lục giác Các cơng thức tính cách tính: - Độ dài đường trịn, cung trịn - Diện tích hình trịn, hình quạt trịn, hình viên phân, hình vành khăn - Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu B Bài tập: Dạng 1: Phương trình, hệ phương trình Bài Giải phương trình hệ phương trình sau: ( x  1)( y  1)  xy  a)  ( x  3)( y  3)  xy  2(3x  2)   5(3 y  2) b)  4(3x  2)  7(3 y  2)  2 Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 2/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628   x   y 1   d)      y  x   3 x   y   c)   2 x   y   y  27  y  5x     x f)   x   y  y  5x  2( x  y )  3( x  y )  e)  x  y  x  y 1  g) x  2 x   Toán học đam mê h) x  3x   i) x3  3x2  x  Hướng dẫn giải ( x  1)( y  1)  xy   xy  x  y   xy   x  y  x      ( x  3)( y  3)  xy   xy  3x  y   xy  3x  y  12 y  a) Vậy ( x; y)  (2; 2) nghiệm hệ phương trình 43  x  2(3x  2)   5(3 y  2) 6 x    15 y  10 6 x  15 y  18  51 b)     x y x y x y              4(3 2) 7(3 2) 12 21 14 12 21     y  44  51   43 44  Vậy ( x; y )   ;  nghiệm hệ phương trình  51 51   3 x   y   c)  (*)     x y   Đặt u  x 1 v y3 ( u, v  ) 3u  2v  u  TM   (*)   2u  v  v  TM  Ta có: u  x 1   x 1   x  v y    y    y  2 Vậy ( x; y)  (2; 2) nghiệm hệ phương trình Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 3/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628   x   y 1   d)  (*)   3  y  x  Toán học đam mê  u  x  Đặt  ( u, v  ) v  y 1  u  3v  u  TM   (*)   4u  v  v  TM    x    x  1 x2 Ta có: v   y 1   y  y 1 u Vậy ( x; y)  (1;1) nghiệm hệ phương trình 2( x  y )  3( x  y )  (*) e)  x  y  x  y 1  x y Đặt ( u, v  ) v x y u  u 2 TM   2u  3v     16   (*)   v u 4u  2v    v  TM  4u  2v      x  y  16 (1) x  y 16 Ta có: 1   x y 8 v (2) x y u 20  x  3x  y  16  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   x  y  y    Vậy ( x; y )  ( 20 ;  ) nghiệm hệ phương trình 3 Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 4/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê y  27  y  5x 5   2x  4(2 y  x)  5.12  3( y  27)  12.2 x  f)   7( x  1)  21y  3(6 y  x)  x   y  y  5x   14  x  21 x y     61   22 x  y  7  y  245  61 Vậy ( x; y )  ( 14 245 ; ) nghiệm hệ phương trình 61 61 g) x  2 x      b2  4ac  2   4.1.1    Phương trình có nghiệm phân biệt x1  b   2    2  2a x2  b   2    2  2a Vậy phương trình x  2 x   có nghiệm x1  2  2; x2  2  h) x  3x   (*) Đặt t  x (t  0) (*)  t  3t     b  4ac   3  4.1.2    Phương trình có nghiệm phân biệt Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 5/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 t1  b      TM  2a t2  b      TM  2a Tốn học đam mê Ta có: t  x  x   x  1 x2   x   Vậy phương trình x  3x   có nghiệm x  1; x   x  i) x3  3x  x   x( x  3x  2)     x  3x   (*) Giải phương trình (*) ta có:   b  4ac   3  4.1.2    Phương trình có nghiệm phân biệt x1  b     1 2a x2  b     2 2a Vậy phương trình x3  3x2  x  có nghiệm x1  1; x2  2; x3  Bài Cho phương trình ẩn x : (m  4) x  2mx  m   a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình: có nghiệm? Có nghiệm phân biệt? Vơ nghiệm? Có nghiệm kép? d) Khi phương trình có nghiệm x1 , x2 : - Hãy tính A  x12  x22 theo m - Tìm m để A  a) Giải phương trình m  Hướng dẫn giải Khi m  ta được: (5  4) x  2.5 x     x  10 x   Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 6/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê   b  4ac   10   4.1.3  88   Phương trình có nghiệm phân biệt  b   10  88    22  x1  2a   b   10  88    22  x2  2a  Vậy m  phương trình x  10 x   có nghiệm x1   22; x2   22 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại Thay x  vào phương trình (*) ta được: (m  4)  2    2m  m     2 m  10  m  30  20 Theo Viet ta có: x1  x2    b  30  20 10  40   a 31 30  20  Mà x1   x2  10  40 10   2 31 31 c) Tìm m để phương trình: có nghiệm? Có nghiệm phân biệt? Vơ nghiệm? Có nghiệm kép?  (m  4) x  2mx  m    '  b '2  ac   m   (m  4)  2   m2  2m  Để phương trình có nghiệm m   a  m       '   m  2m   m  2; m  4 Vậy để phương trình có nghiệm m  2; m  4; m   (m  4) x  2mx  m    '  b '2  ac   m   (m  4)  2   m2  2m  Để phương trình có nghiệm phân biệt Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 7/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê m   a  m       '   m  2m   m  2; m  4 Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt m  2; m  4; m   (m  4) x  2mx  m    '  b '2  ac   m   (m  4)  2   m2  2m  Để phương trình vơ nghiệm m   a  m      '  m  2m   4  m  Vậy để phương trình vơ nghiệm 4  m   (m  4) x  2mx  m    '  b '2  ac   m   (m  4)  2   m2  2m  Để phương trình có nghiệm kép m   a  m       '   m  2m   m  4; m  Vậy để phương trình có nghiệm kép m  2; m  4 d) Khi phương trình có nghiệm x1 , x2 :  Hãy tính A  x12  x22 theo m Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (m  4) x  2mx  m   Theo định lý Viet ta có: 2m b x1  x2   a m4 c m2 x1.x2   a m4 Theo đề ta có: m  2m2  12m  16  2m  A  x12  x22   x1  x2   x1.x2      m4 m2  8m  16  m4  Tìm m để A  Để A   2m  12m  16   2m  12m  16  m  8m  16 m  8m  16 Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 8/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê  m2  20m  32   m1  10  33   m2  10  33 Vậy với m1  10  33; m2  10  33 A = Bài Cho phương trình: x  2(m  1)  m  (1) ( m tham số) a) Cmr: Với m , phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu? Phương trình (1) có hai nghiệm dương? c) Cm biểu thức M  x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 ) không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x1  x2  e) Tính GTNN A  x12  x22 1 ; x1 x2 Hướng dẫn giải f) Lập phương trình bậc hai có nghiệm Phương trình x   m  1 x  m  (1) ( m tham số) x   m  1 x  m   a) CMR: Với m , phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   b'2  ac    m  1   m     m  2m   m    m2  m  1     m  2.m     4   19 19    m    2 4  0 Lớp Toán cô Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 9/5 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê Mà a    phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu? Phương trình (1) có hai nghiệm dương 1) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  a.c    m    m4 Vậy m  phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 2) Phương trình (1) có hai nghiệm dương a 1 Do nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt   0m  x1  x2   m  1 Áp dụng định lý viet, ta có:   x1 x2  m  Phương trình cho có nghiệm phân biệt  x1  x2  m  1 2  m  1     m4 m   m   x1 x2  Vậy m  phương trình cho có nghiệm dương c) CM biểu thức M  x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 ) không phụ thuộc m Do a   nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt     0m  x1  x2   m  1 Áp dụng định lý viet, ta có:   x1 x2  m  M  x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 ) M  x1  x1 x2  x2  x1 x2 M   x1  x2   x1 x2 M   m  1   m   M  2m   2m  M  10 Vậy M = 10 không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x1  x2  Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 10/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Do a 1   0m Tốn học đam mê nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt  x1  x2   m  1 Áp dụng định lý viet, ta có:   x1 x2  m  Vì x1  x2   x2   x1 Thay x2   x1 vào x1  x2   m  1 ta  x1  x2   m  1  x1   x1  2m    x1  2m   x1  2m   x2   2(2m  3)  x2   4m   x2  4m  Thay x1  2m  3, x2  4m  vào x1 x2  m  ta x1 x2  m   (2m  3)(4m  1)  m   8m  2m  12m   m    8m  13m   m1  13  201 13  201 ; m2  16 16 13  201 13  201 thỏa mãn yêu cầu toán ; m2  16 16 e) Tính GTNN A  x12  x22 a 1 Do nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt   0m  x1  x2   m  1 Áp dụng định lý viet, ta có:   x1 x2  m  Vậy m1  Để: Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 42/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê Tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn  O   BAC  BHC  180o  BHC  90o  BAC  ACH  CHB  HBA  90o  ABHO hình chữ nhật Mặt khác AB  AC  ABHO hình vng  AH  BC   H  AO Vậy H  AO OA  OH O  Bài 34 Cho nửa đường tròn  O, R  , đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường trịn Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM I Tiếp tuyến nửa đường tròn A cắt BH K Nối AH cắt BM E a) Chứng minh tam giác BAE cân b) Chứng minh KH KB  KE ; c) Đường trịn tâm B, bán kính BA cắt AM N Chứng minh tứ giác BIEN nội tiếp d) Tìm vị trí M để MKA  900 Hướng dẫn giải a) AH  HM  B1  B2 AHB  900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 43/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628  BH  AE Toán học đam mê Do BAE cân B b)ÁP dụng hệ thức lượng AKB vng A Có: KH KB  KA2 Mà tam giác BAE cân B, BH  AE  BH trung trực AE  KE  KA Do đó: KH KB  KE c) Do: BA =BE  E  ( B; BA)  ANE  ABE  ENI  EBI Suy ra: Tứ giác BIEN nội tiếp d) Hạ MC  AB Ta có: MKA  900 nên MKAC hình chữ nhật Suy ra: MK = AC Lại có: MK //AB  MKB  B1 ( so le trong)  MKB  B2  MKB cân M  MK  BM  BM  AC Đặt: MB  x(0  x  2R)  AC  x  BC  R  x Có tam giác MAB vng M, nên: Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 44/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê MB  BC.BA  x  (2 R  x).2 R  x  Rx  R  ( x  R)  5R  x  R (  1) Vậy: BM  R( 1) Bài 34.1 Cho nửa đường tròn  O, R  , đường kính AB Gọi C điểm cung AB Điểm M thuộc cung AC Hạ MH  AB , AC cắt MH K; MB cắt AC E Hạ EI  AB I a) b) c) d) Chứng minh tứ giác BHKC AMEI tứ giác nội tiếp Chứng minh AK AC  AM Cho R = 5cm, tính giá trị tổng S  AE AC  BE.BM Cmr M chuyển động cung AC tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải a)Ta có: KCB  KHB  900 Nên tứ giác CBKH nội tiếp Tương tự tứ giác AMEI nội tiếp b)Xét ∆AHK ∆ACB có: KAH : chung AHK  ACB  900 Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 45/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628  ∆AHK ~ ∆ACB (g – g) Toán học đam mê AH AK  AC AB  AK AC  AH AB (1)  Xét ∆AMB vuông M có: MH  AB  AH AB  AM (2) Từ (1) (2): AK AC  AM c) Xét BIE BMA có: EBI : chung BIE  BMA  900  BIE ~ BMA BI BE  BM BA  BI BA  BE.BM (1)  Xét AIE ACB có: EAI : chung AIE  ACB  900  AIE ~ ACB AI AE  AC BA  AI BA  AE AC (2)  Từ (1) (2) suy ra: AE AC  BE.BM  BI BA  AI AB  AB  100(cm2 ) Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 46/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê d) Vì tứ giác AMEI nội tiếp nên: MIE  MAE Vì tứ giác BCEI nội tiếp nên: CIE  CBE Mặt khác: MAC  MBC  MOC  MIC  MOC Nên: tứ giác OIMC nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC qua hai điểm cố định O C Do tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MIC thuộc đường trung trực OC cố định Bài 34.2 Cho nửa đường tròn  O, R  , đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax By C, D a) b) c) d) Chứng minh tam giác COD vuông Chứng minh CD  AC  BD AM BM cắt OC OD E, F Tứ giác DEMF hình gì? Vì sao? Gọi I giao điểm OM EF Khi M thay đổi nửa đường trịn  O, R  điểm I chuyển động đường nào? Hướng dẫn giải Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 47/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê y x D M C F E I A O B a) Chứng minh tam giác COD vuông CM CA hai tiếp tuyến đường trịn (O) nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác AOM DM DB hai tiếp tuyến đường trịn (O) nên ta có OD tia phân giác BOM Nên theo tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù ta có OC  OD Suy COD vuông O b) Chứng minh CD  AC  BD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có CA  CM , DB  DM Do CA  BD  CM  DM  CD Vậy CD  AC  BD c) Tứ giác DMEF hình gì? Vì sao? Ta có OD  OC (câu a) Lại có, CA  CM (cm trên), OA  OC (bk) nên C, O nằm đường trung trực AM Suy AM  OC Do AM//OD nên tứ giác DMEF hình thang Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 48/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê d) Khi M thay đổi nửa đường trịn (O) điểm I chuyển động đường nào? Ta có EMF  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Vì EMF  MEO  EOF  900 nên tứ giác MEOF hình chữ nhật Do I trung điểm OM suy OI  1 OM = AB không đổi Mà O điểm cố định nên M thay đổi nửa đường tròn (O) I chuyển động nửa đường trịn (O) bán kính AB Bài 35 Cho tam giác ABC vng C Vẽ đường trịn tâm O đường kính AC cắt AB D Gọi M điểm cung nhỏ CD Nối AM cắt BC N Nối DM cắt BC E Tia phân giác góc MAD cắt BC I, cắt MD K a) Chứng minh tứ giác BDMN nội tiếp b) Chứng minh tam giác EIK cân c) Chứng minh MN AB  MC.NB Hướng dẫn giải P C E M O N I K A D B a) Chứng minh BDMN nội tiếp Ta có ACD  AMD (cùng chắn cung AD) (1) Mà ADC  900 ; ACB  900 nên ACD  ABC (cùng phụ với góc CAB ) (2) Từ (1) (2) suy AMD  ABC nên BDMN tứ giác nội tiếp Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 49/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê b) Chứng minh tam giác EIK cân Ta có EIK  IBA  IAB (tính chất góc ngồi tam giác) EKI  KMA  KAM (tính chất góc ngồi tam giác) Mà theo gt có KAM  KAD , theo chứng minh câu a) có KMA  IBA nên suy EIK  EKI Vậy tam giác EIK cân E c) Chứng minh MN.AB  MC.NB Kẻ đường thẳng qua B vng góc vơi AB cắt đường thẳng AN P Do M điểm cung nhỏ CD nên MD  MC suy MCA  PAB Mà CB tiếp tuyến đường tròn (O) nên MCN  MAC (cùng chắn cung CM) Vậy nên MCN  PAB (3) Lại có CMN  PBA  900 (4) Từ (3) (4) suy AMN ∽ ABP (g.g)  CM AB  (5) P  CNM MN BP Do P  PNB (  CNM)  PBN cân B  BP  BN (6) Từ (5) (6) suy CM AB   MN.AB  CM.NB (đpcm) MN NB Bài 35.1 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn  O, R  Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I trung điểm BC Nối A với I cắt OH G a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp b) Tính độ dài đoạn EF ABC  600 BC = 20cm c) Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC d) Cmr A chuyển động cung lớn BC cho tam giác BAC có góc nhọn đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF ln qua điểm cố định Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác BCEF có: BFC  BEC  90  Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm I bán Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 50/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Tốn học đam mê kính IB A b) Xét tam giác vng ABE có: BAE  60 (gt)  AE  (t/c tam giác vuông) AB Vì ABE ∽ A C F  g.g   AE AB  AF AC Xét AEF ABC có:  AE AB  AF AC  cmt   A chung  EF AE   BC AB E O G F     AEF ∽ A B C  g.g    BC 20  EF    10cm 2 H B D C I K c) Gọi K giao điểm AO đường trịn (O) Vì BK HC   AB BH KC   AC  nên tứ giác BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC (gt), suy I trung điểm HK Xét AHK có: O trung điểm AK I trung điểm HK  OI đường trung bình AHK  Vì AH OI  AH OI   BC   GAH ∽ GIO  Xét ABC có: AI đường trung tuyến, mà  AG AH AG   , mà A, G, I thẳng hàng   GI IO AI AG  nên G trọng tâm tam giác ABC AI  d) Vì tứ giác AEHF nội tiếp AEH  AFH  90  FEH  FAH (cùng chắn cung FH) (1) Xét EBC vng có: EI trung tuyến  IE  IB  IEB cân  HEI  HBI Mà DAC  HBI (cùng phụ ACB )  HEI  DAC (2) Cộng hai vế (1) (2), ta có: FEH  HEI  FAH  DAC  FEI  BAC (3) Chứng minh tương tự câu b), ta có tứ giác ACDF nội tiếp  FDC  BAC  180 (4) Từ (3) (4)  FDC  FEI  180  Tứ giác FEID nội tiếp  Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF ln qua điểm I cố định Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 51/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê Bài 35.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O, R  Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK  AM K Đương thẳng BK cắt CM E a) Chứng minh điểm A, B, H, K thuộc đường tròn; b) Chứng minh tam giác MBE cân M c) Tia BE cắt đường tròn  O, R  N  N  B  Tính độ dài cung nhỏ MN theo R d) Tìm vị trí M để tam giác BME có chu vi lớn Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác ABHK có: AHB  AKB  90  Tứ giác ABHK tứ giác nội tiếp E Vậy điểm A, B, H, K thuộc đường tròn A b) Vì tứ giác ABCM nội tiếp đường trịn (O) N  AMB  ACB  60   AMC  180  ABC  180  60  120 K (1) O Ta có: KMC  KME  180 (t/c kề bù) M  KME  180  KMC  180  120  60 (2) B H C Từ (1) (2)  KMB  KME D  MK tia phân giác BME Xét MBE có: MK vừa đường cao (gt), vừa đường phân giác (cmt)  MBE cân M c) Xét tam giác vng BKM có: MBK  BMK  90 (t/c tam giác vuông)  MBK  90  BMK  90  60  30 hay MBN  30  MON  2MBN  2.30  60 (t/c góc tâm) Vậy độ dài cung nhỏ MN: l MN  R.MON R.60 R   180 180 d) Xét tam giác vng BKM có: sin BMK   BK  BM.sin BMK  BM.sin 60  BK (hệ thức lượng tam giác vuông) BM BM Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hồi Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 52/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê Ta có: Chu vi BME  BM  ME  BE  2BM  2BK   BM    BM   BM  BK    BM      Vậy chu vi BME lớn BM lớn  BM đường kính Bài 36 Cho đường tròn tâm O Điểm A cố định ngồi đường trịn  O  Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn  O  hai điểm B C ( B nằm A C ) Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với  O  M, N Gọi I trung điểm BC Đường thẳng qua B song song với MA cắt MN E a) b) c) d) Chứng minh AM  AB AC Chứng minh tứ giác OMAN IMAN nội tiếp Chứng minh IE//MC Khi d quay quanh A trọng tâm G tam giác ABC chạy đường nào? Hướng dẫn giải a) Chứng minh AM  AB AC Ta có: AMB  ACM ( chắn cung MB) Nên :  AMB M ACM  g.g  AM AB   AM  AB AC AC AM A O E b) Chứng minh tứ giác OMAN IMAN nội tiếp B I C Ta có: I trung điểm BC  OI  BC N  AMO  ANO  AIO   90o  ,nên điểm I , M , N thuộc đường tròn đường kính AO M Vậy tứ giác OMAN IMAN nội tiếp c) Chứng minh IE / / MC Ta có : AM / / BE A E Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT B 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội N O I C 53/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê  AMN  BEN (đồng vị) Mà tứ giác AMIN nội tiếp  AMN  BIN (cùng chắn AN )  BEN  BIN  BEIN nội tiếp  BIE  BNE  BCM  IE / / MC d) Khi d quay quanh A trọng tâm G MBC chạy đường ? M Gọi K trung điểm AO  K cố định Mà IK  MK  Dựng GJ J AO (Không đổi) IK  J  IK  K MJ JG MG Khi    MK KI MI  MJ  O A G B I C 2 MK  OA;JG  KI  OA 3 3 N Mà M, K cố định nên J cố định; JG  OA   Vậy G chuyển động đường tròn  J ; OA    Bài 37 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  P điểm cung AB (phần không chứa điểm C, D) Hai dây PC PD cắt dây AB E, F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài cắt K CMR: a) b) c) d) CID  CKD Tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn IK//AB PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác FAD K I P N A F B E C M O' Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội D O 54/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Hướng dẫn giải Toán học đam mê a) Chứng minh : CID  CKD Ta có: P điểm cung AB  IDP  KCP ( Hai góc nt chắn hai cung nhau)  CID  CKD b) C/m: Tứ giác CDFE nội tiếp Ta có: BEC  sđ BC  sđ AP sđ BC  sđ BP   sđ PC  PDC 2  Tứ giác CDFE nội tiếp c) C/m : IK song song AB Từ câu a) ta c/m CID  CKD , nên tứ giác IKCD nội tiếp  KIC  PDC ( chắn cung KC) ; mà : PDC  BEC ( C/m câu b) )  KIC  BEC ; hai góc vị trí đồng vị, nên IK EB hay IK AB d) PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp FAD Gọi M, N trung điểm AD AF Dựng trung trực đoạn AD, À cắt O’  O ' tâm đường trịn ngoại tiếp ADF Ta có : PAB  ADP (hai góc nt chắn hai cung nhau) ADP  AMN (đồng vị, MN / / DF ) AMN  AO ' N (tứ giác AMO ' N nội tiếp)  PAB  AO ' N  PAO '  90o  PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp FAD Bài 38 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  O, R  Gọi D, E tiếp điểm AB, AC Tia OA cắt đường tròn  O  I Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hồi Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội 55/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 Toán học đam mê a) Chứng minh ADOE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiêp tứ giác ADOE c) Tính độ dài cung nhỏ DE đường trịn  O  d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng AD, AE cung nhỏ DE nói Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Ta có: ADO  AEO  90o  90o  180o  tứ giác ADOE nội tiếp b) Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADOE Ta có: A ADO  AEC  ch  cgv  I  DAO  EAO  BAC  30o D E DOA  EOA  90o  30o  60o O Xét ODI có : OD  OI  R ; DOI  60  ID  R o Tương tự : IE  R Xét ADI , có : IAD  IDA  30o  IA  ID  R B Vậy IA  IO  ID  IE  R , nên I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ADOE c) Tính độ dài cung nhỏ DE đường tròn  O  Ta có: sđ DE  DOE  120o Áp dụng công thức: lDE   R.120 180  2 R d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng AD, AE cung nhỏ DE nói Gọi S1;S2 diện tích tứ giác AODE diện tích hình quạt DOE (chứa cung nhỏ DE ) Ta có: S1  2.S AOD  OD AD  OD OA2  OD  3R Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Toán THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hồi Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội C 56/ 56 Giáo viên: Nguyễn Thu Hà 0904.843.628 S2  Toán học đam mê  R 120   R 360 Vậy diện tích cần tìm là:   S  S1  S2     R  đvdt  3  Lớp Tốn Hà – Bồi dưỡng kiến thức nâng cao Tốn THCS, THPT 1) Xóm Giếng – An Hạ - An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội 2) Chung cư CT5A Văn Khê – Hà Đông – Hà Nội ... Hà 090 4.843. 628 Toán học đam mê A  x 12  x 22 A   x 12  x1 x2  x 22   x1 x2 A   x1  x2   x1 x2 A   m  1   m   A   m  2m  1  2m  A  4m  8m   2m  A  4m  6m  12 9? ??... x2 )  m x 12  x1  m x2  x2   m  x 12  x2    x1  x2   m  x 12  x2    x1  x2     x1  x2     x1  x2   16  x 12  x2  x1 x2  16   x1  x2   x1 x2  16  x1  x2... m4 c m? ?2 x1.x2   a m4 Theo đề ta có: m  2m2  12m  16  2m  A  x 12  x 22   x1  x2   x1.x2      m4 m2  8m  16  m4  Tìm m để A  Để A   2m  12m  16   2m  12m  16