Tư liệu dạy học vật lí 7

TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. TÝnh[r]

Phần 1.

Thể tích khối đa diƯn

A Lý thut

1 Kh¸i niƯm thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn (Sgk hh 12) Các công thức tính thể tích khối đa diện

a) ThĨ tÝch khèi hép ch÷ nhËt

V = abc víi a, b, c lµ kÝch thíc cđa khèi hộp ch÷ nhËt b) ThĨ tÝch cđa khèi chãp

V=

3 Sđáy h ; h: Chiều cao khối chóp

c) ThĨ tÝch khối lăng trụ

V= Sỏy h ; h: Chiều cao khối lăng trụ

B C¸c dạng tập

Dạng Tính thể tích khối đa diện

*Ph ơng pháp: Để tính thể tích khối đa diện ta có thể:

+áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích

+Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính đợc

+Bổ sung thêm bên khối đa diện để đợc khối đa diện tính thể tích cơng thức phần bù vào tính đợc thể tớch

*Các tập

1)Về thể tích khèi chãp

+Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính tốn chiều cao, diện tích đáy áp dụng công thức :V=

3 Sđáy h

Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trờng hợp sau:

a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o

b) AB = a, SA = l

c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy α giải:

a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ SO ⊥(ABC)

SABC =

2 a

a√3

2 =

a2

√3

∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o

⇒ SA = AB = SB = a C

S

A

B O a

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3 a √

3

2 )

2 = a2−a2

3= 3a

2

⇒ SO = a √2

3

VËy VSABC = S∆ABC SO =

1

a2

√3

4 a √

2

3 √l

2

−a

2

3

b) Tơng tự câu a đáp số:

VSABC = 13 a

2

√3

4 √l

2 −a

2

3

c)

Gäi O tâm ABC Gọi A trung điểm BC

DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α Tam giác vuông SOA có:

SO2 = l2 - OA2 = l2 -

9 AA’2

Tam giác vuông SOA có:

sin =SO 3AA '

⇒SO=1

3AA ' sin α (2)

Tõ (1) (2) ta cã:

9AA 'sin

2 α+4

9AA ' sin α=l

2

O B

A'

A C

a

 AA’2(sin2 α + 4) = 9l2

 AA '= 3l

√sin2α+4 S∆ABC =

2AA ' BC=

3l

√sin2α+ 4

3 l

√3√sin2α +4=

3√3l2 2(sin2α+4)

SO=1

3 3 l

√sin2α+4 sin α=

l sin α

√sin2α+4 ⇒VSABC =

3 S∆ABC SO =

√3

l2sin α

(sin2α +4 ).√sin2α+4

Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông

A, AB = a, AC = a 3 Hình chiếu vuông góc A (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC theo a?

-Gäi H lµ trung ®iĨm BC ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt) -Ta cã S∆ABC =

2AB AC= 2a

2

√3

-V× A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH Tam giác vuông AHA có:

AH2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 -

4 (a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a √3

B H C

2a

a a C' A'

⇒VA’ABC =

1

3 S∆ABC A’H = 13.12a2√3 a3=a

2

2

Bài Hình chãp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có

AB = BC =a B trung điểm SB C’ chân đờng cao hạ từ A ∆SAC

a) tÝnh VSABC

b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’ Gi¶i

a)

S∆ABC =

2BA BC= 2a

2 ; SA =a

⇒ VSABC =

3 S∆ABC SA =

6 a3

a

C A

a a

B' C'

B

b) ∆SAB cã AB = SA = a SAB cân A AB SB B’S = B’B

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA

⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC

C¸ch

AB '=1

2SB=

1 2√2 a

2

= a

V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’ SC = √SA2+AC2=√3 a

SC'=SA

2

SC =

a

√3

B’C’2 = SB’2 - SC’2 = a

2

6 ⇒ B ' C '=

a

6

⇒S∆AB’C’ =

2AB ' B ' C '=

a

√2

a

√6=

a2

4√3

⇒V∆AB’C’ =

3

a2

24

a

3=

a3

36

C¸ch 2

3

' '

2 3

a

SB SC

SB  SC a 

3

' ' ' ' ' 1

' ' '

6 6 36

3 SAB C

SABC

a

V SA SB SC a

SA B C

V SA SB SC a   V  a

Bài Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung điểm

BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC

Gi¶i DƠ thÊy

(SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD ∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC DB = DC

∆SAB cã cos α = ABSB (1) BC ⊥ AD

BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD

a B

A C

D S

Tam giác vuông SB cã sinβ = BDSB (2) Tõ (1) (2) ⇒ AB

cos α = BD sin β=√

AB2− a2 sin β ⇒

AB2 cos2α =

AB2−a2

sin β

⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB =

√cos2α − sin1 2β a

cos α

S∆SAB =BD.AD =

2

2 2

sin cos sin cos . . cos cos sin cos sin

SA = AB tan α = a sin α

√cos2α −sin2β

⇒ VSABC =

3 SA.S∆ABC =

1

a sin α

√cos2α −sin2β

a2sin β

√cos2α −sin2β =

a3sin α cos β

3√cos2α − sin2β

Bài Cho hình vng ABCD cạnh a nửa đờng thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD)

và phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp BAMNC

Giải Gọi I giao điểm AC BD

Ta có BD AC

(vì ABCD hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) ⇒ BI ⊥ (AMNC) BI = BD

2 =

a√2

x

n

A

D C

m

B M

N

Diện tích hình thang AMNC S = (AM+CN)

2 AC=

(m+n)a√2

VAMNC =

3 SAMNC BI=

1

(m+n)a√2

2

a√2

2 =

a2

6 (m+n)

*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao đáy.

Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:

-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đờng cao tâm đờng trịn ngoại tiếp đáy

-Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng đáy có đ-ờng cao mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đđ-ờng cao tâm đờng trịn nội tiếp đáy

-Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vng góc với đáy đờng cao hình chóp đờng cao mặt bên mặt chéo

-Nếu có đờng thẳng vng góc với mặt đáy khối chóp đ-ờng cao khối chóp song song nằm trờn với đđ-ờng thẳng

*Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = α, cạnh bên nghiêng đáy góc α Tính VSABC

Gi¶i

A S

C B

H a

- Gọi H hình chiếu S lªn (ABC)

- Vì cạnh bên nghiêng đáy ⇒ H tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

- Ta cã: ∆ABC = 12AB AC sin α

mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = a

√1 −cos α

⇒ S∆ABC =

2AB

2

sin α=1

a2

2 sin α

1− cos α=

a2

4 cos

α

2

HA = R = BC

2 sin α=

a

2 sin

Tan giác vuông có tan α = SHAH ⇒ SH = 2 sin αa tan α=2 cos αa ⇒VSABC =

3SΔ ABC SH=

1

a2

4 cot

α

2

a

2 cos α=

a3cotα

2 24 cos α

Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = √3 góc

A B

C O

D

-H¹ SO ⊥ (ABCD)

- Vì khối chóp có bên nghiêng đáy ⇒ O tâm đờng tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật {O} = AC ∩ BD - Đặt AC = BD =x

Ta cã ShcnABCD =

2 AC.BD.sin60o = x

2

.√3 =√

3 x

2

=√3 ⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân S SO = 12AC=1 ⇒ VSABCD =

3√3 1=

√3

Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o. a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng

b) TÝnh VSABC

Gi¶i

a)

H B A

S

C a

¿

SA=SB ASB=60o

¿{

¿

⇒ AB = a

-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(-

2 ) =3a2

b) H¹ SH ⊥ (ABC)

V× SA = SB = SL HA = HB = HC H trung điểm AC ABC vuông B

Tam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = a

2

4 ⇒SH= a2

BH = AC

2 =

a√3

(Hoặc ∆SAC nửa tam giác ⇒ SH = SA2 =a

2 )

⇒VSABC =

3SΔ ABC SH=

1

1

2AB BC SH=

6a a√2

a

√2=

a3√2

12

Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o.

∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh = √3 Tính th tớch chúp SABCD

Đáp số: VSABCD = √6

4

Bài 10: SABCD có đáy hình thang vng A D, ∆SAD cạnh =

2a,

BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD Giải

2a 3a

C D

H K

- H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

- Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh đợc H tâm đờng trịn nội tiếp đáy

- Gäi K lµ hình chiếu H lên AD - Ta có HK = AD

2 =a

- Tam giác vuông SHK cã HK = a SK = 2 a√3

2 =a√3 (vì ∆SAD đều)

V× ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a ⇒SABCD =

(AB+CD) AD

2 =

5 a a

2 =5 a

2

⇒VSABCD =

3SABCD.SH=

1 35 a

2

a√2=5 a3√2

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a √3 , (SAB) (ABCD) M, N trung điểm AB, BC Tính

VSBMDN

Giải S

A D

C H

B M

N

∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA =

4 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN =

2 S⋄ABCD =

2 2a.2a = 2a2

∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 SAB vuông S

SH2= SA2+

1 SB2=

1

a2+

1 3 a2=

4

3 a2 ⇒ SH =

a√3

⇒VSBMDN =

1

3 S⋄BMDN.SH = 32 a

2.a√3

2 =

a3

√3

Bài 12: SABCD có ⋄ABCD hình thang với AB = BC = CD = 12 AD ∆SBD vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = 8a, SD = 15a

TÝnh VSABCD

S

H

15a 8a

A D

C B

-Trong SBD kẻ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD) -Tam giác vuông SBD cã

SH2=

1 SH2+

1 SD2 hay

SH2=

1 64 a2+

1 225 a2 hay SH=√14400

289 .a= 120 17 a

-V× h×nh thang cã AB = BC = CD =

2 AD ⇒ ^A= ^D = 60o, B = C = 120o

-∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a ∆CBD cã BD2 =2BC2(1+

2 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 17

√3a

S∆BCD =

2BC

2

sin 120o=1

289

3 a

2

.√3

2 =

289√3 a2 12

S⋄ABCD = 3S∆BCD = 289√3 a

2

12

⇒VSABCD =

3 S⋄ABCD.SH = 13

289√3 a2

12

120 a

17 = 170 √3 a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, ∆SCD cân S

n»m mỈt ph¼ng  (ABCD) ∆SAB cã SA = a, ASB = nằm

mặt phẳng lập với (SCD) mét gãc α TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD

S

A D

C K

B

H

Trong ∆SCD h¹ SH CD

Vì SCD cân S

H trung điểm CD SH CD

(SCD) (ABCD

⇒ SH  (ABCD)

Gäi K lµ trung ®iĨm AB Ta cã HK  AB

AB SH (v× SH  (ABD))

⇒AB  (SKH) ⇒ AB SK SAB cân S

Dễ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α

∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin SHK vuông H có SH =SK.cos = acos2 α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα

= 2a2sin2αcosα ⇒V

SABCD =

1

3 SH SABCD=

2 3a

3sin2 α

Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông B, SA b (ABC) ACB =60o,

BC = a, SA = a 3 , M trung điểm SB TÝnh thĨ tÝch MABC

Gi¶i

H

C A

B

a M

C¸ch

SA b (ABC)

V× M trung ®iĨm SB H- trung ®iĨm MH=

2SA=

a√3

S∆ABC =

2AB BC=

2a tan 60

o

.a=1 2a

2

√3

VMABC =

3SΔ ABC MH=13.12a

√3.a√3

2 =

a3

4

C¸ch VMABC VASABC

=SM SB =

1

2 VMABC =

1 2VSABC mµ VSABC =

3 SA.S∆ABC = 3a√3

1 2a

2

√3=1 2a

3

√6

⇒Vmabc =

4a

3

Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD hình vuông tâm O, SA (ABCD),

AB = a, SA = a √2 H, K lần lợt hình chiếu vuông góc cđa A trªn SB, SD Chøng minh r»ng: SC  (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK.

Giải

A

C O

H

K a

a

N F E

B

D

a

2

S

y

x

AH  SB (gt) (1)

BC  AB (vì ABCD hình vuông)

BC SA (vì SA  (ABCD))

⇒BC  (SAB) BC  AH (2)

Tõ (1) (2) ⇒AH  (SBC ⇒AH  SC (3)

Chøng minh t¬ng tù ta cã: SC  AK (4)

Tõ (3) (4) ⇒ SC  (AKH)

Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN E ⇒ OE (AHK)

V× OA = OC; OE//CN OE =

2 CN

Tam giác vuông SAD có

AK2=

1 AS2+

1

AD2 ⇒ AK =

AS AD √AS2+AD2=

a√2 a √3 a2 =a√

2

DÔ thÊy AH = a2

3

AKH cân A Dễ thấy ∆SBD cã SKSD=KH

BD mµ SK =

2 2 2

3

2 a

SA  AK  a  a 

SD = a √3

⇒ KHBD= 2 a

√3 a√3= 3=

SF SO

HK =

3 BD = 3a√2

OF =

3 SO ⇒

OF SF =

1

∆SAC cã : OA = OC ⇒ OESN=OF

SF =

2 ⇒OE =

2 SN =

2 a

S∆AHK =

2 KH √AK2−HK

2

4 = 2 a2

√2

⇒ V = 13OE SΔ AHK=¿ a

3

√2 27

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a √2 ) , O(2 a

,2 a

, 0) ∆SKA  ∆ SAD ⇒ SK

SA= SA

SD ⇒ SK= 2 a

√3

⇒K(0,

2 3a ,

2

a )

∆ABS cã AS2=SB SH ⇒ SH= 2 a √3

⇒H(

2 3a,0,

2

a ) Ta cã ⃗AH=(2

3a , 0,

⃗AK=(0,2 3a ,

a√2 )

⃗AO=(a 2,

a

2,0)

[ ⃗AH ,⃗AK ] =( − 2√2 a

2

9 ,

−2√2a2

9 ,

4 a2

9 )

⇒ VOAHK=

1

6 |[ ⃗AH ,⃗AK ] ⃗AO |= √ 27 a

3

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a √2 , SA = a, SA  (ABCD) M, N lần lợt trung điểm AD SC {I} = BM ∩

AC TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp ANIB

Gi¶i

a K

O C

D

A a

a

N

I B

SA (ABCD)

Gäi {O} = AC ∩ BD

Trong ∆SAC cã ON // SA

⇒ON  (ABCD) ⇒ NO  (AIB)

Ta cã NO =

2SA=

a

2

TÝnh SAIB = ?

ABD só I trọng tâm ⇒S∆ABI =

3 S∆ABO =

1

4 S⋄ABCD =

3 a.a √2 =

a2√2

6

⇒ SANIB =

1

3 NO.S∆AIB =

a

2

a2

√2

6 =

a3

√2 36

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,

(SAD) (ABCD), ∆SAD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm SB, BC, CD

TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp CMNP

A

C N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E trung điểm AD (CNP) (ABCD) SE AD

(SAD)  (ABCD)

⇒SE  (ABCD)

- Gọi F hình chiếu M lên (ABCD) ⇒ MF // SE DÔ thÊy F ∈ EB F trung điểm EB

Ta có MF =

2 SE =

a√3

2 =

a√3

S∆CNP =

4SΔCBD=

1

8SABCD=

1 8a

2

VCMNP =

2 S∆NCP.MF = 13 8a

2

.a√3

4 =

a3√3 96

Nhận xét: dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 18: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính đáy

bằng chiều cao a Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O’ lấy B cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Gi¶i

B

A

A' O'

O

Kẻ đờng sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H hình chiếu B A’D

Ta cã BH  A’D

BH  A’A

⇒ BH  (AOO’A’)

⇒BH đờng cao tứ diện BAOO’ SAOO’ = a

2

2 , A’B = √AB

2− AA '2

=a√3

∆A’BD vuông B ⇒ BD=a ∆O’BD ⇒ BH= a√3

2 ⇒VBAOO’ =

3BH SAOO’ = a

2

√3 12

Bµi 19: Cho hình chóp có ABCD hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;

SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a√3

3 .

(BCM) ∩ SD ={ N} TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.BCMN

Gi¶i

S

A

D

C B

N M

H

Ta cã SAB=600

SAB vuông A có AM = a3

3 , AB = a ⇒ ABM = 300

Kẻ SH⊥ BM SH đơng cao hình chóp S.BCMN ta có SH=SB sin 300 = a

BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ SMSA =MN

AD ⇒MN =

AD SM

SA =

4 a

⇒SBCMN =

2(MN+BC) BM=

10 a2 3√3

⇒VSBCMN =

1

3SH SBCMN = 10√3 a

3

27

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lợt trung điểm SA SD Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính thể tích hình chóp S.BCNM

Giải

A D

S H

M N

Ta cã BC//AD ,BC=

2AD ,MN//AD , MN=

2AD ⇒BC = MN , BC// MN

(1)

BC ⊥AB BC ⊥SA

⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã BCNM hình chữ nhật Kẻ SH BM thỡ SH (BCNM) ⇒Vsbcnm=

1

3 SBCNM.SH=

1

3 BC.NM.SH= a

3

3

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a;

AA1 = a √2 M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Híng dÉn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = a3√2

12

+Có thể dùng phơng pháp toạ độ

Bµi 22: Tø diƯn ABCD có AB = x có cạnh lại

a.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn

Gi¶i

H C

B

C

D

C¸ch 1:

Gọi H Hình chiếu D lên (ABC) DA = DC = DB = ⇒ H tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ trung điểm AB

S∆ABC =

2CC' AB= 2√4 −

x2

4 x=

4√4 − x

2 x

HC = R∆ABC =

x

2 sin C=

x

4 sinC cos

C

2

= x

4 x 2√1 −

x2

4

=

4 x2

Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 1−

4 − x2=

3 − x2 4 − x2 ⇒ HD = √3− x

2

4 − x2 ⇒VABCD =

2

2

1 1

3 4 4 12

x x

ABC x

S HD x x  x





   

C¸ch 2:

B

A

D M

C'

Gäi M trung điểm CD CD ABM

VABCD = 2VCBMA =

3 CM.S∆ABC =

1

2 SΔ ABM

S∆ABM =

2 MC’.AB =

x

2¿

2

¿

√3 ¿

2

+¿ ¿

1 2x √¿

VABCD =

3

x

4√3 − x

2

=

12 √3 − x

2

x

b)

SACD= √3

4 ⇒ d(B,(ACD))=

3 VABCD

SACD

=

√3√3 − x

2

x

c)

VABCD =

2

2

1 1

12 3 x x 12 x2x 8

DÊu “=” x¶y ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x =

√3

2 vµ thĨ tÝch lín nhÊt lµ

1

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA

vng góc với mặt đáy ABCD SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ

SH vng góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối lớn

GI¶I

C A

S

M D

B

H

Ta cã BM  SH (gt)

BM  SA (V× SA ( ABCD)

⇒BM  AH

SABM =

Mµ SABM =

2 AH.BM ⇒ AH=

a2

BM=

a2

√a2+x2

∆SAH vu«ng ë A cã SH= √SA2+AH2=√h2+ a

2

√a2+x2

∆BAH vu«ng ë H cã BH= √AB2− AH2

=√a2− a

4

a2

+x2= ax

√a2

+x2

SABH =

2 AH.BH =

a3x

√a2

+x2

VSABH =

3SABH SA=16 a

xh √a2+x2

1

a3xh ax =

1 12 a

2h DÊu b»ng x¶y a=x tøc M trïng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc

với đáy ABC SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt gúc ACM bng

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vu«ng gãc víi SH TÝnh thĨ tÝch khèi tø diện SAKI

Đáp số a)Vmax= a

3

12 b)VSAKI =

a3sin α

24(1+sin2α)

Cã thĨ tÝnh thĨ tÝch khèi ®a diƯn nhê việc chia thành các khối nhỏ bổ sung thêm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi AB = CD

=a, AC = BD = b, AD = BC = c TÝnh thĨ tÝch ABCD

Gi¶i

H C P

Q

R B

+Dùng ∆PQR cho B, C, D lần lợt trung điểm PQ, QR, PR +S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB =

⇒ S∆BCD =

4 S∆PQR

AD = BC = PR D trung điểm PR ⇒AR  AP

T¬ng tù AP b AQ, AQ b AR VAPQR =

4 S∆PQRAR

Bµi 26: VABCD =

6 AD.BC.MN.Sin α Trong ABCD tứ diện có MN

độ dài đoạn vng góc chung cặp cạnh đối AD CB, α =(AD, BC)

Híng dÉn: Dùng hình hộp ngoại tiếp t diện

Bi 27: Cho hình chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam

diện α AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Gi¶i

C A

B S

E

F

a

-DÔ thÊy∆ SAB, CAB tâm giác cân S C -Gọi E trung điểm AB AB b SE

AB b CE ⇒AB b (SCE) ⇒VSABC = VASEC + VBSEC =

1

3 S∆SEC.(AE+BE) =

3 S∆SEC.AB

TÝnh S∆SEC = ?

∆SEC cân E ES = EC (SAB = ACB (g.c.g)) Gọi F trung điểm SC EF b SC

SBC cân B BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g)) FS = FC

Tam giác vuông EBC có CE =

2 tan

Tam giác vuông FBC có BC = √CE

2+EB2 2

cos cos 2cos

( )

a

a EB

  

  

Sin α

2 = FC

BC ⇒ FC = BC sin

α

2 =

a

2 cos α sin

2

Tam giác vuông EFC cã EF2 = EC2 - FC2 =

sin2α −sin2α

2

a2

4 tan

2 α −

a2sin2α

2 cos2α =

a2

4 cos2α ¿ S∆SEC =

2 EF.SC = EF.FC = 2 cos αa √sin2α − sin2α2.2 cosαa sinα2

= a

2 cos2α sin α

2.√sin

2

α −sin2α

2

VSABC = a 3

12 cos2α sin

α 2.√sin

2

α −sin2α

một số tập giải PP toạ độ vỚi việc chọn hệ toạ độ dễ dàng

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC = 4, BD = 2,

AC cắt BD O SO (ABCD), SA = 2 2 Gọi M trung điểm SC,

(ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Giải Cách 1:

B

O C

D A

S

M N

⇒MN // CD ⇒ N lµ trung ®iĨm SD VSABCD =

2 SABCD.SO =

2 AC.BD.SO =

24 2√2=8√2

VSABN VSABD

=SN

SD=

1

2 ⇒ VSABN =

2 SSABD =

8√2

2 = √2

VSBMN VSBCD

=SM SC

SN SD=

1

1 2=

1

4 ⇒ VSBMN =

1

4 SSBCD =

8√2

2 = √2

⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = √2 Cách 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ

O S

A

C D

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

DÔ thÊy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; √2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; √2 )

Do (ABM) ∩ (SCD) = MN AB // CD

⇒MN//CD

⇒N lµ trung ®iÓm SD ⇒N(0; - 12 ; √2 )

⃗

SA = (2; 0; -2 √2 ); ⃗SM = (-1; 0; - √2 ); ⃗SB = (0; 1; -2 √2 );

⃗

SN = (0; -

2 ; - √2 )

[ ⃗SA , ⃗SM ] = (0; 4 √2 ; 0)

VSABM =

6 [ ⃗SA , ⃗SM ].SB = 2√2

3

VSAMN =

6 [ ⃗SA , ⃗SM ].SN = √

VSABMN = VSABM + VSAMN = √2

a)TÝnh thĨ tÝch A’C’BD

b)Gäi M lµ trung ®iĨm CC’TÝnh thĨ tÝch MA’BD

gi¶i

C B'

D' C'

A'

A

D

B x

y

a

b c

M

a) C¸ch 1:

ThĨ tÝch cđa khèi hép ABCDA’B’C’D’ lµ V = abc VC’CDB =

3CC' SΔ BCD=

1 3c

1 2ab=

1 6abc=

1

6 V

T¬ng tù ta cã: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ =

6 V

⇒VA’C’DB = V - 61 V = 13 V= 13 abc

Cách 2: dùng phơng pháp toạ độ

Chọn hệ toạ độ Axyz nh hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)

⃗DB = (a; -b; 0); ⃗DC ' = (a; 0; c); ⃗DA ' = (0; -b;c); [ ⃗DB , ⃗DC ' ] = (-bc; -ac; ab)

VA’C’DB =

6 |[ ⃗DB , ⃗DC ' ] ⃗DA ' | =

3 abc

b) Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C(a;b;c)

M trung điểm CC nên M(a;b; c

2 )

⃗BD=(− a; b ;0) , ⃗BM(0 ;b ;c

2) , ⃗BA'=(− a ;0 ;c )

[ ⃗BD ,⃗BM ]= (bc ;

ac

2 ;− ab)

VBDA’M =

6 |[ ⃗BD , ⃗BM ] ⃗BA ' | =

3 2abc=

1

4 abc

2) VỊ thĨ tÝch khối lăng tr

Bi Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác đều, cạnh a A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lăng

trơ ABCA’B’C’

Gi¶i

B

A

C C' B'

A'

O a

Gọi O tâm ABC OA = OB = OC A’A = A’B = A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

AO OA (vì AO (ABC)

Trong tam giác vuông A’OA cã OA’ = OA tan 600 = a

Vì ∆ABC cạnh a nên S∆ABC = √3 a

2

4 ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =

a3√3

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú ỏy ABC l mt tam giỏc

vuông A, AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích khối

lăng trụ

Giải

C C' A'

A

B B'

DƠ thÊy AB (ACC’A’) nªn (BC’, (ACC’ A)) = ACB = 300

ABC vuông A có C^ =600, AC=b nên BC=2b AB= 3 b.

vì AB (ACCA) nên AB b AC

ABC vuông A có AC = AB

tan 300=3 b

ACC vuông C có (CC)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2

⇒CC’ = √2 b =AA’ S∆ABC =

1

CA.CBsin6oo =

√3 b2

⇒VABCA’B’C’ = SABC.AA = b3 Bài 3

Dạng 2: tỉ số thể tích

A/ Phơng pháp: Giả sử mặt phẳng chia khối đa diện thành hai khối có thể

tích V1 V2 Để tính k = V1 V2

ta cã thÓ: -TÝnh trùc tiÕp V1, V2 b»ng c«ng thøc ⇒ k

-TÝnh V2 (hoặc V2) công thức tính thể tích khối Thể

tích V2 (hoặc V1) k

Ta có kết sau:

+Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích tỉ số hai đ-ờng cao tơng ứng

+Hai khối chóp có độ dài đờng cao tỉ số thể tích tỉ số hai diện tích đáy

+ VSABC VSA ' B ' C '

=SA SB.SC SA ' SB' SC '

C A

B B'

C' A'

(chỉ cho khối chóp tam giác (tứ diện))

Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC.

mặt phẳng (P) chứa AM //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích hai phần

Gi¶i

C

B O A

S

D

M

B' I D'

-Gäi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM ⇒ I ∈ (P)

BD ⊂ (SBD) BD // (P)

⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD

VSMB ' D' VSCBD

=SM SC

SB ' CSB

SD' SD =

1

SI SO

SI SO=

1

2

2 3=

2

9 (vì I trọng tâm ∆SAC)

VSMB ' D' VSCBD

=SA' SA

SB' SB

SD' SD =1

2

2 3=

2

mµ VSABD = VSCBD =

2 VSABCD

VSMB ' D'

1 2V

+VSAB ' D ' 2V

=2 9+

4 9=

2 3⇒

VSAB' MD ' VSABCD

=1 3⇒

VSAB ' MD' VABCDD ' MB '

=1

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy hình vuông, SA  (ABCD) (SC, (SAB))

= α Mắp phẳng (P) qua A vng góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

KÝ hiƯu K1 = VSMAQN

V2 = V - V1

Gäi O = AC ∩ BD ∆SAC kỴ AN SC

E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P) v× (P) SC

mµ BD  SC

BD  AC

BD  SA

⇒ BD  (SAC)

BD ⊂ (SAC)

S

D

C O B

A N M

Q E

⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB  AB (gt)

CB  SA (v× SA  (ABCD))

⇒CB  (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = α

V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB V 1

V = VSANQ VSACB

=SN SC

SQ SB

Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN SN = SA

2

SC

Tam gi¸c vu«ng SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = SA

2

SB SA2

SB SC¿

2

V1 V =

SA2 SC2

SA2 SB2 =¿

BC AB (gt)

BC SA (v× SA (ABCD))

BC SB

Tam giác vuông SBC: cos α = SBSC ⇒ SC = SBcos α

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα

cos α − sin α¿2=1− sin α

SB2(1− tan α)

SB.SA cos α

¿2=¿

V1 V =¿

V1 V =

V1 V − V1

= V (1 −sin α) V (1−1+ sin2 α)=

Bài 3: SABCD hình chóp tứ giác cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua

AB  (SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ú.

Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a M trung điểm CD,

N l trung điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần (MNB’) chia hình lập phơng

Gi¶i

D

A

B

Q M

C'

B' D'

A' P

E

C

Gợi ý:

Gọi V1, V2 tơng ứng thể tích phần phần dới thiết diện ta cã:

V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)

§Ĩ ý: ED’ = a, FC = a

3 , PD’ = 2 a

3 , CQ =

a

4

Tính đợc V1 = 55 a

3

144

V2 = V- V1 = a3 - 55 a

3

144 =

89 a3

144 ⇒

V1 V2

=55 89

Bµi 5: Cho tø diƯn SABC lÊy M, N thuéc c¹nh SA, SB cho SM

MA=

1 , SN

NB=2 MỈt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số

thể tích hai phần

A' C A B E M N F

Dễ thấy thiết diện hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

VSCEF V = CF CA CE CB= 3= VSFME VSFEA =SM SE SE SA= SM SA = VSFEA V = SFEA SABC

=SFEA SCEA

.SCEA SABC =FA CA CE CB=

⇒ VSFME V = 9= 27 V VSMNE VSABE =SM SA SN SB= VSABE V = SABE SABC

=SABE SCEA

.SCEA

SABC =EB CE CE CB=

⇒VSABE =

2

27 V ⇒ V1 =

2

9 V +

4

27 V +

2

27 V =

4 V V1 V2 =4

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên

đều a M, N, E lần lợt trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo

B'

C'

C

B A

A' E

M

N A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2 tơng ứng thể tích phần phần dới thiÕt diÖn, ta cã

V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

So sánh phần tơng ứng ta có V1 = V2 ⇒

V1 V2

=

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC  BD, ox  (ABCD) LÊy

S Ox, S O Mặt phẳng qua AC vuông góc (SAD) chia hình chóp

thnh hai phn Tính tỉ số thể tích hai phần

Dạng Phơng pháp thể tích : Chứng minh đẳng thc, bt ng

thứC,khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

dựa vào thể tích.

Bài 1: SABC cã SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o TÝnh D(A,(SBC))

Gi¶i

B A

S

C

M 3a

S∆ABC =

2 AB.BC.sin120o =

2 a a.√3

4 = a

3 √3

SSABC =

3 S∆ABC SA=

a2.

√3 a

3 = a

3 √3

KỴ SM BC

BC SA (v× SA  (ABC))

⇒BC  AM ⇒ AM = a √3

∆SAM vu«ng t¹i A cã SM = √3 a S∆SBC = SM.BC = √3 a2

d(A, (SBC)) = 3 VSABC

SΔ SBC

=3 a

3 √3 2√3 a2=

3 a

Bài 2: SABC có đáy ABC tam giác cạnh a √3 , SA  (ABC), SA =2a.

`TÝnh d(A, (SBC))

Gi¶i

B A

S

C M

a 2a

S∆ABC =

2 a√3 a√3 sin60o = 3 a

2

2

√3

2 =

3√3 a2

4

VSABC =

3 SA.S∆ABC = √3 a

3

2 Gäi M lµ trung ®iÓm BC

AM  BC

BC SA ⇒BC  SM

AM = a√3 √3

2 =

3 a

SAM vuông A cã SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 +

4 a2 = 25

4 a2 ⇒ SM =

2 a

S∆SBC =

2 SM.BC = 5√3

2 a

d(A, (SBC)) = 3 VSABC SΔ SBC

= √3

2 a

3

5√3 a

2

=3

5 a

Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = TÝnh d(A, (BCD)) ?

Gi¶i

C A

B D

4

5

M

Dễ thấy ABC vuông A S∆ABC =

2 AB.AC = VDABC =

1

3 S∆ABC.DA =

8

∆DAC cã DC = √2 ∆DAB cã DB =

∆DBC cã BC = BD = DBC cân B, gọi M trung điểm DC ⇒BM 

DC

BM = √25− 8=√17 S∆DBC =

2 BM.DC =

2 √17 √2 = √34

d(A, (DBC)) = 3 VDABC SΔ DBC

=12

√34 a

Bµi 4: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b, cạnh lại c

TÝnh d(A, (BCD))

A N

B

C

D M

a

ACD = BCD Gọi M trung điểm CD ⇒AM = BM, DC  (ABM)

Gäi N trung điểm AB MN AB

MN2 = BM2 - BN2 = c2 + b2

4 −

a2

4 = 4 c2

+b2− a2

S∆AMN = a 2.√

4 c2+b2− a2

2 =

a 4√4 c

2

+b2− a2

VABCD = VBCMA =

3 CM.S(∆ABM) =

b

2

a

4√4 c

2

+b2− a2=ab 12√4 c

2

+b2− a2

V∆BCD = BM.CD =

2√c

2

+b

2

4 b =

b

4 √4 c2+b2

d(A, (BCD)) = 3 VABCB SΔ BCD =

ab √4 c

2

+b2−a2

b

4.√4 c

2

+b2

=a√4 c

2

+b2− a2 4 c2+b2

Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD cã AB = CD = x cạnh lại 1.

a) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD theo x b)TÝnh d(A, (BCD))

Tơng tự

Đáp sè: VABCD = x

2

6

d(A, (BCD)) = x √

4+x2= 2 x √4+x2

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a √5

và BAC = 120o Gọi m trung điểm cđa c¹nh CC

Chøng minh r»ng MB  MA1 tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng

(A1BM)

B

A

C

2a

y x

z

M

C1

A1

B1

Đa hệ trục toạ độ A1xyz vng góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục

A1Z híngtheo ⃗A1A

Trơc A1y híng theo ⃗A1C1 Trơc A1x t¹o víi trơc Oy gãc 90o vµ n»m

trong MP (A1B1C1)

Toạ độ điểm: A1(0 ; 0; 0), B1( a√3

2 ;−

a

2;0¿ , C1(0; 2a; 0)

A(0 ; 0; 2a √5 ), B( a√3

2 ;−

a

2;2a √5¿ , C(0; 2a; 2a √5 )

M(0; 2a; a √5 )

⃗BM ( −a√3

2 ;

5 a

2 ; -a √5 )

⃗A

1M (0; 2a; a √5 ), ⃗AB ( a√3

2 ;−

a

2; 0) ⃗BM ⃗A

1M = 0+5a2 - 5a2 = (BM  MA1 )

ThÓ tÝch khèi chãp AA1BM b»ng V =

6 | ⃗AB [ ⃗BM ,⃗A1M ]|

⃗BM ⃗A1M

= 52a -a √5

3

a



-a √5

3

a



52a 2a a √5 ; a √5 ; 2a = (9 a2√5

2 ; a2

√15 ; − a

2 √3)

⇒VAA1BM =

1 6|

a√3

9 a2√5

2 −

a

2

a2√15 +0|=

S∆BMA1 =

1

6 BM.A1M = 3a2 Khoảng cách từ A tíi (BMA1)

b»ng

h =

3 V

S = a√5

3

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm tam giác ABC, đờng thẳng

qua M // víi OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB lần lợt t¹i A1, B1, C1

Chøng minh r»ng: MA1

OA +

MB1

OB +

MC1

OC =1

Gi¶i

H

B

C A

O

K A1

M

Nối M với đỉnh O,A,B,C Khi VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1= VMOAB VOABC

+VMOBC

VOABC

+VMOCA

VOABC XÐt VMOAB

VOABC

KỴ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK ∆OAH ∾ A1MK ⇒

OA MA1=

AH MK

VMOBC VOABC

=MK

AH =

MA1

OA

T¬ng tù ta cã VMOAB

VOABC

=MC1 OC

VMOCA VOABC

=MB1 OB

VËy MA1

OA +

MB1

OB +

MC1

OC =1

Bài 8: Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đờng thẳng MA,

Chøng minh r»ng MA1

AA1

+MB1 BB1

+MC1 CC1

+MD1 DD1

=1

Gi¶i

M

H K A1

A

B

C

D

Nối M với bốn đỉnh tứ diện ABCD ta có: V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

1= VMBCD V +

VMACD V +

VMABD V +

VMABC V XÐt VMBCD

V

Gọi H, K lần lợt hình chiếu cđa A, M lªn (BCD) ⇒ MK//AH ⇒

MK AH =

MA1 AA1

VMBCD V =

MK

AH =

MA1 AA1 T¬ng tù: VMACD

V = MB1 BB1

; VMABD

V = MC1 CC1

; VMABC

V = MD1 DD1

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy các

®iĨm A1, B1, C1 cho

SA1

SA =

2 ;

SB1

SB =

1 ;

SC1

SC =

1

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD D1 Chứng minh

SD1

SD =

2

S A B C D C1 D1 A1 B1

Ta cã VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = V

2

VSA1B1C1

VSABC= SA1 SA SB1 SB SC1 SC =

9 (1)

VSA1D1C1

VSADC= SA1 SA SD1 SD SC1 SC = SD1

SD (2)

Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc VSA1B1C1D1

1 2V =1 9+ SD1 SD

T¬ng tù: VSA1B1D1

VSABD= SA1 SA SB1 SB SD1 SD = SD1 SD (4)

VSB1C1D1

VSBCD= SB1 SB SC1 SC SD1 SD = SD1 SD (5)

Cộng vế với vế (4) (5) ta đợc VSA1B1C1D1

1 2V =1 SD1 SD

Tõ (3) vµ (6) ta cã

2 SD1 SD = 9+ SD1

SD ⇒

SD1 SD = PhÇn 2.

ThĨ tÝch khèi cÇu, khèi trơ, khèi nãn

-ThĨ tÝch khèi cÇu (Sgk HH12 – Trang 44) -ThĨ tÝch khèi trơ (Sgk HH12 – Trang 50) -ThĨ tÝch khèi nón (Sgk HH12 Trang 56)

2/Các công thức:

a)ThĨ tÝch khèi cÇu V =

3πR

3

, R: bán kính mặt cầu b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)ThÓ tÝch khèi nãn V =

3 Sỏy.h , h: chiu cao B/.Bi tp

ở chủ yếu tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào công thức

Bi 1: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh bằng

a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ

Gi¶i

a

C

C' O

O'

A1

A1'

B' B I

A'

-Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’

-Gäi I trung điểm OO IA = IB =IC = IA = IB = IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

-Bán kính mặt cầu R = IA Tam giác vuông AOI có: AO =

3AA1=

2

a√3

2 =

a√3

OI =

2OO '=

2AA '=

b

2

⇒AI2 = OA2+OI2 = a

2

3 +

b2

4= 7 a2

12 ⇒ AI =

a√7 2√3

V=

3πR

3

=4 3π

a3

8 3√

7 3=

a3π 28

72 √ 3=

7 πa3

18 √ 3=

√21 a3

54

AI2 = 4 a

2+3 b2

12 ⇒ AI=√

4 a2+3 b2

V=

3

3 2 2

4 2

3R 3 8.3 3(4a 3 )b 18 3.(4a 3 )b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy

mét gãc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Giải

a O S

M

D C

B A

I

Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO trục cña ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gäi M trung điểm SA

Trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

OIMA từ giác nội tiÕp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SM SASO Víi AO = a√2

2 , AS = AO cos 30o=

2

√3

a√2

2 =

a√2

√3 , SO = SA sin30

o =

a

√6

⇒SI = a

√6a√

a

√6

= a √2

3 ⇒ VMcÇu = 3πa

32

3√ 3=

8 9√

2 3a

3

Các tập xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, hỏi

thªm thĨ tích mặt cầu

Bi 3: Cho hỡnh tr cú đáy tâm đờng tròn tâm O O’ tứ giác ABCD là

hình vng nội tiếp đờng tròn tâm O AA’, BB’ đờng sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o Tính

thĨ tÝch khèi trơ

A' B'

B

A

D C

¿

AD⊥ DC

A ' D⊥ DC

¿{

¿

⇒ADA’ góc (A’B’CD) đáy Do đó: ADA’ = 60o

OAD vuông cân nên AD = OA = R √2

∆ADA’ cã h = AA’ = ADtan60o = R √6

V = R2h = R3 6

Bài 4: Bên hình trụ có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B

thuộc đờng tròn đáy thứ C, D thuộc đờng trịn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tích

khèi trơ

Gi¶i

A J

B M'

C' D

O'

O

Gọi I, J trung điểm AB vµ CD

Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ ttrung điểm M OO’ MIO = 45o góc mặt (ABCD) với đáy, đó:

O’I = a

2√2 ; R = √

a2

8 + a2

4=√ 3 a2

h = 2OM = a

√2

VËy V = R2h = 

3

3 3 . 2

3

8 . 2 16

a

a a  

Bài 5: Một hình trụ có diện tích tồn phần S = 6 Xác định kích thớc của

khối trụ để thể tích khối trụ lớn

Gi¶i

STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6

⇔R(h+R) = ⇔ Rh + R2 =

V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R

V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R =

Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax ⇔R = vµ h =

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đờng tròn đáy cung α

và (P) tạo với đáy góc β Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a Tính thể tích khối nón

Gi¶i

O

A E

B S

M

Gäi E lµ trung ®iÓm AB ta cã OES= β ; AOB= α VÏ OM (SAB) th× SOM= ta cã:

SO= a

cos β vµ OE=

a

sin β

Bán kính đáy R=OA=

OE cosα

2

= a

sin β cosα

ThÓ tÝch khèi nãn lµ:V=

3

2

1

3 3sin .cos .cos

2

a

R h 





 

Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đờng cao SO = h, bán kính đáy = R M ∈ SO

đờng tròn (C)

1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) 2.Tìm x để thể tích lớn nhát

Gi¶i S

(C) M

O

Ta cã SM

SO =

R' R ⇔

h− x h =

R' R ⇔ R

'

=R

h(h − x ) ThÓ tÝch khèi nãn V=

h − x¿2 x=1

3π

R2 h2(x

3

− hx2+h2x)

3πR

' 2 SM=1

3π

R2 h2¿ V’=

3π

R2 h2[3 x

2

− hx+h2],

V’ = ⇔ x=h

3

¿

x=h

¿ ¿ ¿ ¿

x= h (lo¹i)

Dùa vào bảng biến thiên ta có: V Max x =

h

3

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích ton phn bng

2 Với x hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn V

Giải

Ta có Stp=Sxq+2Sđ= 2 xy+2 πx2=2 π (xy+ x2)

Theo gi¶ thiÕt ta cã 2 (xy+x2)=2

⇔xy+x2 =1 ⇔ y = 1 − x

2

Khi V = x2y = x(1-x 2) = - x 3+ x

Khảo sát hàm số với x (0,1) ta đợc giá trị lớn V=

2 π

3√3⇔ x=

√3

Bài 9: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O.Trên đờng trịn

đó lấy điểm A cố định điểm M di động.Biết AOM= α ,nhị diện cạnh AM có số đo β khoảng cách t O đến (SAM) a

TÝnh thĨ tÝch khèi nãn theo a, α, β

Gi¶i

Gọi I trung điểm AM SAM cân nên SI AM

OAM cân nên OI AM

(SOI) AM nên SOI góc phẳng nhị diện cạnh AM SIO =

Kẻ OH  (SAM)

(SOI)  (SAM)

⇒ H ∈ SI vµ OH = a Ta cã OI=

OH sin β=

a

sin β ;OM= OI cosα

2

= a

cosα 2sin β

;SO=IO tan β= a

cos β

V=

2

2

2 2

1

3 cos cos .sin 3sin .cos cos

2

a a a

SO OM  

 

   

 

Bài 10: Cho mặt cầu đờng kính AB=2R Gọi I điểm AB cho AI=h.

Một mặt phẳng vng góc với AB I cắt mặt cầu theo đờng trịn (C) +Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy (C)

+Xác định vị trí điểm I để thể tích đạt giá trị lớn

Gi¶i

B O I

F E

Gọi EFlà đờng kính cua (C) ta có :

IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = √h(2 R− h)

ThĨ tÝch cÇn tÝnh lµ:V=

3πr

2 h=πh

2

V’ =

4 Rh −3 h2

π

3¿

, V’ =

4

R h

 

Vmax ⇔h=4 R

3 hay AI = 4 R

3