Đang tải... (xem toàn văn)
PHEÙP TÍNH TÍCH PHAÂN HAØM MOÄT BIEÁN.. Baøi toaùn tìm dieän tích.[r]
(1)Bài giảng Toán 1 Giảng viên Nguyễn Anh Thi
(2)Chương
(3)(4)Ta có tổng Rieman: Rn=f(x1)∆(x) +f(x2)∆(x) +· · ·+f(xn)∆(x)
Khi ta có diện tích A= lim
(5)Thay lấy giá trị củaftại đầu mút xi trên, ta chọn
tại điểm bất kỳx∗i ∈[xi−1,xi].Ta có diện tích
A= lim
n→+∞[f(x ∗
(6)Định nghóa tích phân
Định nghóa
Choflà hàm xác định đoạn[a,b], ta chia đoạn[a,b]thànhn khoảng với độ rộng∆(x) = (b−a)/n Gọi
a=x0<x1 <x2<· · ·<xn=b đầu mút khoảng
con Trên khoảng ta lấyx∗i ∈[xi−1,xi] Thìtích phân (xác định) củaftừa đếnb định nghĩa là:
Z b
a
f(x)dx= lim
n→∞
n
X
i=1
f(x∗i)∆(x)
nếu tồn
(7)Các tính chất tích phân
Mệnh đề
Cho f,g khả tích trên[a,b], k∈Rkhi đó: Rb
a[f(x) +kg(x)]dx=
Rb
a f(x)dx+k
Rb
a g(x)dx
2 Nếu c∈(a,b) thì f khả tích khoảng[a,c]và
[c,b], đó: Z b
a
f(x)dx=
Z c
a
f(x)dx+
Z b
c
f(x)dx
3 Neáu f(x)≥0,∀x∈[a,b]thìRb
a f(x)dx≥0.Suy nếu
f(x)≥g(x),∀x∈[a,b]thì Z b
a
f(x)dx≥ Z b
a
g(x)dx
4 Hàm|f|khả tích vàRb
a |f(x)|dx≥ |
Rb
a f(x)dx| Định lý
(8)Các tính chất tích phân
Định lý (Định lý vi tích phân 1)
Cho f liên tục đoạn[a,b], đặt: F(x) =Raxf(t)dt,(a≤x≤b) Thì F liên tục trên[a,b], khả vi trên(a,b) và F0(x) =f(x)
Định lý (Định lý vi tích phân 2, Cơng thức Newton-Leibnitz)
Cho f liên tục trên[a,b], thì: Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
Trong F nguyên hàm f, nghĩa F0(x) =f(x).
Ví dụ
TínhRπ4
(9)Nguyên hàm
I F gọi lànguyên hàm fnếuF0 =f.
I Định lý phép tính vi tích phân khẳng định tồn nguyên hàm hàm liên tục
I NếuFlà ngun hàm fthì nguyên hàmG fđều có dạngG(x) =F(x) +C.
I Tập nguyên hàm fđược ký hiệu là: Z
f(x)dx
(10)Một số nguyên haøm
1 R
xadx= xaa+1+1 +C, với a6=−1
2 R dx
x =ln|x|+C R
exdx=ex+C R
axdx= lnaxa+C
5 R
sinxdx=−cosx+C
6 R
cosxdx=sinx+C
7 R dx
cos2x =tanx+C
8 R dx
sin2x =−cotx+C
9 R √dx
1−x2 =arcsinx+C
10 R √dx
a2−x2 =arcsin(
x
a) +C, a>0 11 R dx
1+x2 =arctanx+C
12 R dx
a2+x2 =
1
aarctan( x