Đang tải... (xem toàn văn)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó.( phần I hoặc phần II). I)Theo chương trình chuẩn.[r]
(1) SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) Mơn: Tốn Lớp: 12
Thời gian làm : 120 phút
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( điểm) Câu (3,5 điểm)
Cho hàm số : y = − x +
2 x + (C )
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị
với trục Ox
(C ) tại giao điểm (C )
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị
trục Oy
(C ) , trục Ox và
d) Xác định m để đường thẳng
điểm phân biệt
Câu (1,5 điểm)
Tính tích phân : π
(d ) : y = x + 2m cắt đồ thị (C ) tại hai
2
a) I= cos x.sin xdx
Câu (2 điểm)
1
b) J= (
0
x x 3 + )
2
dx
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 0) , B(0 ; ; 0) , C(0 ; ; 3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm B, C song song với đường thẳng OA
b) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng(ABC)
B.PHẦN RIÊNG : ( điểm)
Học sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó.( phần I phần II)
I)Theo chương trình chuẩn
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số :
y = − x 3 − 3x 2 +
2) Xác định m để hàm số
điểm cực tiểu
trên đoạn [-3;2]
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m +
có điểm cực đại 3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua hai điểm
x = - t
A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ) có tâm I thuộc đường thẳng (d): y = 3t
z = + 6t
II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số :
y = x 2 + x + đoạn [-3;2]
2) Xác định m để hàm số
xác định
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m +
đồng biến tập 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua ba điểm A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ), C(0 ; ; -1) có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + =
(2)1 Đáp án :
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( điểm) Câu (3,5 điểm)
Cho hàm số : y = − x +
2 x + (C )
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) của hàm số
Tập xác định : R \ {− 1}
2 0,25 đ
Sự biến thiên
chiều biến thiên : y' = −
(2 x + 1) 2
− < 0, ∀x ≠
2 −
0,25 đ −
Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; )
2
Hàm số khơng có cực trị
và ( ;+∞) 0,25 đ
Tiệm cận : Lim y = Lim − x + − =
x →±∞ x→±∞ x +
Lim y = −∞ Lim y = +∞ 0,25 đ
−1− −1 +
x → x→
2
Đường thẳng
Đường thẳng Bảng biến thiên
2 −
y = tiệm cận ngang
2 −
x = tiệm cận đứng 0,25 đ
2
x - ∞ y’ y -1/2
-1/2 + ∞
− −
+ ∞
−∞ -1/2
0,25 đ
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( ; ), cắt trục Ox tại điểm ( ; )
Vẽ đồ thị
Lưu ý: Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị
0,5 đ
b)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị
với trục Ox
Giao điểm với trục Ox : ( ; )
(C ) tại giao điểm (C )
−
y’(2) =
5
Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm ( ; ) :
− −
y − = ( x − 2) ⇔ y = x + 0,5 đ
5 5
c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị
Oy
Giao điểm với trục Ox : ( ; )
(3)0
1
⇔
2
x x
2
Giao điểm với trục Oy : ( ; )
− x +
Vì y = ≥ với
2 x + x ∈ [0 ; 2] nên diện tích hình phẳng cần tìm :
− x +
− / −
S =
0 2x +
dx = (
2 + 2 x + 1 )dx = ( 2 x + Ln x + )
4
S = − + Ln5
4 ( đvdt) 0,5 đ
d)Xác định m để đường thẳng
điểm phân biệt
(d ) : y = x + 2m cắt đồ thị (C ) tại hai
Hoành độ giao điểm (d ) và đồ thị ( C ) thỏa phương trình :
− x + = x + 2m ( x ≠ − )
2 x +
2 x
2
+ 4mx + x + 2m − = ⇔
2(
−
) − 2m − + 2m − ≠
x 2 + (2m
+ 1) x + m − = − − ≠
x 2 + (2m + 1) x + m − = có ∆ = 4m 2 + > , ∀m
Vậy với m đường thẳng ( d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt
0,5 đ Câu (1,5 điểm)
Tính tích phân : π
2
a) I= cos x.sin xdx
Đặt u = cos x du = − sin xdx 0,25 đ
Ta có : x =
π u = x =
2
0
u =
Vậy I = u 2 (−du) = (− u ) = 0,5 đ
1 3
1 2
b) J= (
)
x 3 + dx = 0
dx
( x 3 + 1)
Đặt u = x 3 + du = 3x 2
dx 0,25 đ
Ta có : x =
x =
2
u = u =
Vậy J= du = − = − + = 0,5 đ
Câu (2 điểm)
1 3u 3u 1 6
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 0) , B(0 ; ; 0) , C(0 ; ; 3)
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm B, C song song với đường thẳng OA
(4)
OA = (1 ; ; 0)
Mp(P) qua BC song song với OA nên có vectơ pháp tuyến :
n = (0 ; 3; ) 0,5 đ
Mp(P) qua điểm B(0 ; ; 0), có vectơ pháp tuyến
n = (0 ; 3; ) nên có phương trình :
(y – 2)3 + 2z = ⇔ 3y + 2z – = 0,5đ
b)Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng(ABC)
Phương trình mp(ABC) : x + y + z = ⇔ x + y + z − =
1
0,25 đ
Đường thẳng OH vng góc với mp(ABC) nên có vecto phương vecto pháp tuyến mp(ABC) : ( ; ; )
x = 6t
Phương trình tham số đường thẳng OH: y = 3t
z = 2t 0,5 đ
H giao điểm OH mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :
x = 6t y = 3t
z = 2t
6x + 3y + 2z - =
Giải hệ ta H ( 36 ; 18 ; 12 ) 0,25 đ
49 49 49 B.PHẦN RIÊNG : ( điểm)
I)Theo chương trình chuẩn
1) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y = − x 3 − 3x 2 +
y = −x 3 − 3x 2 + xác định liên tục R
y' = −3x 2 − 6x
y' = ⇔ x = 0; x = −2
( thuộc đoạn [ - ; ] ) Xét trên đoạn [-3;2]:
Ta có y(-3) = ; y(-2) = ; y(0) = ; y(2) = - 16
Vậy giá trị lớn hàm số , đạt x = -3 x = giá trị nhỏ hàm số -16 đạt x =2
0,5 đ
0,5 đ
2) Xác định m để hàm số
điểm cực tiểu
y = x 3 + (m + 2) x 2
− 2mx + m + có điểm cực đại Hàm số xác định có tập xác định R
(5)y' = 3x 2
+ 2(m + 2) x − 2m
y' = ⇔ 3x 2 + 2(m + 2) x − 2m = (1)
∆' = (m + 2) 2 + 6m = m 2 + 10m +
0,5 đ
Để hàm số có cực đại cực tiểu (1) phải có hai nghiệm phân biệt :
∆' > ⇔ m < −5 − 21 v m > −5 + 21 0,5 đ
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua hai điểm
x = - t
A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ) có tâm I thuộc đường thẳng (d): y = 3t
z = + 6t
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I mặt cầu thuộc mặt trung trực AB
Trung điểm AB : K (0 ; ; )
→
Vecto AB = (4 ; − ; 2)
Phương trình mp trung trực AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 =
⇔ 2x − 2y + z + =
Ta có I giao điểm đường thẳng ( d ) mp trung trực AB nên tọa độ tâm I thỏa :
x = − t y = 3t
z = + 6t
2x − 2y + z + =
Giải hệ ta I ( − ; 21 ; 22) 0,5 đ
2
Bán kính mặt cầu (S) : IB =
2
(− − 2)
+ ( 21) + 19
= 967
2 2
3
Phương trình mặt cầu ( S ) ( x + ) 2 + ( y − 2
2 )
2 + ( z − 22) 2 = 967
2 0,5 đ
II)Theo chương trình nâng cao 1) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :
y = x 2 + x + đoạn [-3;2] Ta có tập xác định hàm sô R Hàm số liên tục R
y' = x + x 2 + x +
y' = ⇔ x = −1 ∈ [−3; ]
0,5 đ
Ta có y(-3) = ; y(-1) =2 ; y(2) = 13
Vậy giá trị lớn hàm số 13 , đạt x =
và giá trị nhỏ hàm số đạt x = -1 0,5 đ
2) Xác định m để hàm số
xác định
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + đồng biến tập
Hàm số xác định có tập xác định R
(6)y' = 3x 2
+ 2(m + 2) x − 2m
y' = ⇔ 3x 2 + 2(m + 2) x − 2m = (1)
∆' = (m + 2) 2 + 6m = m 2 + 10m +
0,5 đ
Để hàm số đồng biến tập xác định (1) phải có nghiệm kép vơ nghiệm ( hệ số a y’ số dương)
∆' ≤ ⇔ −5 − 21 ≤ m ≤ −5 + 21 0,5 đ
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) qua ba điểm A(-2 ; ; 1), B(2 ; ; ), C(0 ; ; -1) có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + =
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I mặt cầu thuộc mặt trung trực AB
Trung điểm AB : K (0 ; ; )
→
Vecto AB = (4 ; − ; 2)
Phương trình mp trung trực AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 =
⇔ 2x − 2y + z + = ( )
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I mặt cầu thuộc mặt trung trực BC
Trung điểm BC : J (1 ; ; )
→
Vecto BC = (−2 ; ; − 4)
Phương trình mp trung trực BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) =
⇔ −x + y − z + =
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + = (3)
(2) Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( ) , ( ) , ( ) Giải hệ ta
I( -1 ; ; 2) 0,5 đ
Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = 11
Vậy phương trình mặt cầu ( S ): ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2) 2