Bài tập Ôn cuối năm

Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét [r]

MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP

Lời nói đầu:

Trong q trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta nhận thấy học sinh ngại chứng minh hình học Cũng học sinh cịn yếu kiến thức mơn.Hơn giáo viên thường bí tập nhằm rèn luyện kỹ năng, đặc biệt luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời học sinh học sinh có hồn cảnh gia đình cịn nghèo học sinh yếu kỹ vận dụng chữa vài tập mà thôi

Do để học sinh chủ động q trình làm bài,các tập trong tài liệu có tính cất gợi ý phương án chứng minh chưa phải giải hoàn hảo

Bên cạnh để có tập riêng giáo viên,người giáo viên cần biết biến đổi tập tài liệu cho phù hợp với đối tượng học sinh

Tài liệu sưu tầm sách thống kê phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép hình thức mà khơng có trí tác giả

Bài 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N

1 Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: góc DEA=ACB

3 Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA

phân giác góc MAN Chứng tỏ: AM2=AE.AB Giợi ý:

y A

x

N E D

M O

B C

Ta phaûi c/m xy//DE

Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB=

1sđ cung AB Mà sđ ACB=

2

1sđ AB góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) xAB=AED hay xy//DE

4.C/m OA laø phân giác góc MAN

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA đường trung trực MN.(Đường kính vng góc với dây)AMN cân A AO phân giác góc MAN

5.C/m :AM2=AE.AB

Do AMN cân A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung nhau);góc MAB chung

MAE ∽ BAM

MA AE AB MA

  MA2=AE.AB



1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D E làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng

2.C/m góc DEA=ACB

Do BECD ntDMB+DCB=2v Maø DEB+AED=2v

AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy (Hình 1)

Baøi 2:

Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC.Gọi M trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ I

1.Tứ giác ADBE hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp

3.C/m B;I;C thẳng hàng MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý:

D

I

A M O B O’ C

E

3.C/m B;I;E thaúng hàng

Do AEBD hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI BE vng góc với DC B;I;E thẳng hàng

C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; EID vuông IMI đường trung tuyến tam giác vuông DEI MI=MD

C/m MC.DB=MI.DC

chứng minh MCI∽ DCB (góc C chung;BDI=IMB chắn cung MI DMBI nội tiếp)

5.C/m MI tiếp tuyến (O’)

-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn cung MB) BDE cân B góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp góc

MEB=MCI (cùng chắn cung MI)

Từ suy góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vậy MI O’I I nằm đường tròn (O’) MI tiếp tuyến (O’) 1.Do MA=MB ABDE M nên ta có DM=ME ADBE hình bình hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình thoi 2.C/m DMBI nội tiếp

BC đường kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc

DMB=1v(gt)

 Baøi 3:

Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) E.Cmr:MR phân giác góc AED C/m CA phân giác góc BCS

Gợi ý:

D S A M

O

B E C

AEM=MED

4.C/m CA phân giác góc BCS -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngồi tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắn cung DS) Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA Vậy góc ADB=SCAđpcm



1.C/m ABCD nội tiếp: C/m A D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng 2.C/m ME phân giác góc AED

Hãy c/m AMEB nội tiếp

Góc ABM=AEM( chắn cung AM)

Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD)

Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD)

Baøi 4:

Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC.Dựng đường trịn tâm O đường kính MC;đường trịn cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME phân giác góc AED C/m: Góc ASM=ACD

4 Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý:

A

S D M

B E C

ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)

Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)

Do MC đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD Góc MEA=MEDđpcm

3.C/m góc ASM=ACD

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngồi tam giác SMD)

Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD

Vậy Góc A SM=ACD

4.C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy

Gọi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) AC cắt BD MM trực tâm tam giác KBCKM đường cao thứ nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm



1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: Góc MDC=BDC=1v Từ suy A vad D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng…

2.C/m ME phân giác góc AED

Do ABCD nội tiếp nên

Baøi 5:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AB<AC nội tiếp đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DEAC

4 Gọi M trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF Gợi ý:

A

N E O I

B D M C

F

A’

1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E làm với hai đầu đoạn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA A’CA đồng dạng

3/ C/m DEAC

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy góc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Mà góc ACA’=1v nên DEAC

4/C/m MD=ME=MF

Gọi N trung điểm AB.Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DEAC MNDE (Đường kính qua trung điểm dây…)MN đường trung trực DE ME=MD

 Gọi I trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình) A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C)

Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI đường trung trực DFMD=MF Vậy MD=ME=MF

Baøi 6:

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC.P trung điểm AB;Q trung điểm FE

1/C/m MFEC nội tiếp 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ 4/C/m goùc PQM=90o Giaûi:

A M F

P

B E C

Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM) Góc ABM=FEM.(1)

Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung FE).Góc AMB=FME.(2)

Từ (1)và(2) suy :EFM∽ABM đpcm 3/C/m AMP∽FMQ

Ta coù EFM∽ABM (theo c/m treân)

MF AM FE

AB

 maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) 

FM AM FQ

AP MF

AM FQ

AP   

2

2 góc PAM=MFQ (suy từ EFM∽ABM)

Vậy: AMP∽FMQ 4/C/m góc:PQM=90o

Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc AFM=1vMQP=1v(đpcm)



1/C/m MFEC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…)

Baøi 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn

2 C/m BFC vng cân F tâm đường trịn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường tròn ngoại tiếp BCD.Có nhận xét I F

A

B O C

F I

D

G E

Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh hình vuông ABED).BFE=E FD BF=FDBF=FC=FD.đpcm

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vuông cân F Cung BF=FC=90o sđgóc GBF=

1 Sđ cung BF=

2

1.90o=45o.(Góc tiếp tuyến BG dây BF)

Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp

4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vng cân FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng C/m G nằm trên… :Do

GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC FG nằn đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m I F

1/C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I trung điểm GC

2/C/mBFC vuông cân: Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông) Góc BCF=45o

Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)đpcm C/m F tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.ta C/m F cách đỉnh B;C;D Do BFC vuông cân nên BC=FC

Baøi 8:

Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m BDCO nội tiếp C/m: DC2=DE.DF C/m:DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

A

F O I B C E

D

Ta có: sđgóc BAC=

1sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC=

2

1sđcungBC (2)

Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vng góc với dây cung EFI trung điểmEF

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)

2/C/m:DC2=DE.DF

Xét hai tam giác:DEC DCF có góc D chung

SđgócECD=

1sđ cung EC(Góc tiếp tuyến dây)

Sđ góc E FC=

1sđ cung EC(Góc nội tiếp)góc ECD=DFC

Baøi 9:

Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây cung MN vng góc với AB H.Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn C/m:NQ.NA=NH.NM

3 C/m Mn phân giác góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn

Giải:Có hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau C/m hình 9-a

M

P A I H B Q O

N

1/ C/m:A,Q,H,M nằm đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vng

-Tổng hai góc đối 2/C/m: NQ.NA=NH.NM

Xét hai vng NQM NAH đồng dạng

3/C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ AB I.C/m tam giác MIB cân M  Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm

4/ xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta có 2SMAN=MQ.AN

2SMBN=MP.BN

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2

MN

AB =AB.MN

Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn MN lớn nhấtMN đường kính Hình 9a

M điểm cung AB Bài 10:

Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm đường trịn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A

2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn

3/ Chứng tỏ : BC2= Rr

4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải:

B E

C N F O A I

AEBEO đường trung trực AB hay OEAB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…

3/C/m BC2=4Rr

Ta có tứ giác FANE có góc vng(Cmt)FANE hình vngOEI vng E EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu)

Mà AH=

BC vaø OA=R;AI=r 

4

2

BC RrBC2=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuông SBCIO=OBICBC

S=(rR) rR

1/C/m ABC vuông: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC=

2

1BC.ABC vng A

2/C/m A;E;N;F nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO phân giác tam giác cân

 Baøi 11:

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm đoạn OB).Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I

1 C/m OMHI nội tiếp Tính góc OMI

3 Từ O vẽ đường vng góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Giải:

A

O M B H

K I

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o OKH vuông cân KOH=KH

4/Tập hợp điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi M di động K nằm đường tròn đường kính OB

Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B K điểm cung AB.Vậy quỹ tích điểm K

4

1đường trịn đường kính OB



1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính góc OMI

Do OBAI;AHAB(gt) OBAH=M Nên M trực tâm tam giác ABI IM đường cao thứ IMAB

góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vng góc)

Mà  vng OAB có OA=OB OAB vng cân O góc OBA=45ogóc OMI=45o 3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngồi OHB)

Bài 12:

Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E

1 C/m AM phân giác góc CMD C/m EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4 Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.C/m NI//CD Chứng minh N tâm đường trèon nội tiếp CIM

Giaûi:

C

N M A F O B

I D

AMB+EFB=2vñpcm 3/C/m AC2=AE.AM

C/m hai ACE∽AMC (A chung;góc ACD=AMD chắn cung AD AMD=CMA cmt ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn cung nhau) hay NMI=NBIM B làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc nhauMNIB nội tiếpNMB+NIM=2v mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD

5/Chứng tỏ N tâm đường tròn nội tiếp ICM

Ta phải C/m N giao điểm đường phân giác CIM  Theo c/m ta có MN phân giác CMI

 Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN) Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội tiếpCAN=CIN(cùng chắn cung CN)CIN=NIMIN phân giác CIM Vậy N tâm đường tròn……

1/C/m AM phân giác góc CMD Do ABCD AB phân giác tam giác cân COD. COA=AOD Các góc tâm AOC AOD nên cung bị chắn cung AC=ADcác góc nội tiếp chắn cung nhau.Vậy CMA=AMD

2/C/m EFBM nội tiếp

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Baøi 13:

Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE.Gọi H trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE.C/m AB2=AI.AH BH cắt (O) K.C/m AE//CK

B E H

I D

O A

K C

1/C/m:A;B;O;C;H nằm đường trịn: H trung điểm EBOHED(đường kính qua trung điểm dây …)AHO=1v Mà

OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C nằm đường trịn đường kính OA

2/C/m HA phân giác góc BHC

Do AB;AC tiếp tuyến cắt BAO=OAC vaø AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC

COA=BOH CHA=AHBñpcm

3/Xét hai tam giác ABH AIB (có A chung CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ABH∽AIBđpcm

4/C/m AE//CK

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) sđ BKC=

1Sđ cungBC(góc nội tiếp) Sđ BCA=

2

1sđ cung BC(góc tt dây)

BHA=BKCCK//AB

Baøi 14:

Cho (O) đường kính AB=2R;xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự M;N

1 Cmr:MCDN nội tiếp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN.Cmr:AOIH hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào?

M C A O B K

D

H I

N

MNIHMN IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vng góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường cách I

Do H trung điểm MNAhlà trung tuyến vuông AMNANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD

Gọi K giao điểm AH DO ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông KAHCD mà OICDOI//AH AHIO hình bình hành

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH hình bình hành IH=AO=R khơng đổiCD quay xung quanh O I nằm đường thẳng // với xy cách xy khoảng R

1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân OOCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)góc ACD=ANM Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội tiếp

2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m ACD∽ANM 3/C/m AOIH hình bình hành

Q Baøi 15:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi D điểm cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG vng góc với cạnh AB;BC;AC.Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q;ED cắt (O) M.C/m HA.DP=PA.DE

3 C/m:QM=AB

4 C/m DE.DG=DF.DH

5 C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn) A

H

P O

G B F C

E

M D

4/C/m: DE.DG=DF.DH

Xét hai tam giác DEH DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1) Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3) FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)

Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6) Từ (2);(4) BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7) Từ (6)và (7)EDH∽FDG

DG DH DF

ED

 đpcm 5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

Do ABCD nội tiếpBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpEDG+EAG=2v EDG=BDC mà EDG=EDB+BDG BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳng hàng



1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE

Xét hai tam giác vuông đồng dạng: HAP EPD (Có HPA=EPD đđ) 3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDPHAB=HDM Mà sđHAB=

2

1sđ cung AB; SñHDM=

2

1sñ cung QM cung AM=QMAB=QM

Baøi 16:

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I trung điểm BC;qua I kẻ IKBC(K nằm BC).Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA=AK

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp đường trịn tâm O C/m góc BMC=2ACB

3 Chứng tỏ BC2=2AC.KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC nội tiếp

N

M

A K

B I C

KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC

Xét  vuông ACB ICK có C chungACB∽ICK 

CK CB IC AC

 IC=

BC 

CK BC BC AC



ñpcm 4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngồi IAC) IAC Cân IIAC=ICA

AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngồi tam giác MNA) Do MNA cân M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)IAC=MNA MAN=IAC(đ đ)… 5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C làm thành với hai đầu…)



1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m)

2/C/m BMC=2ACB ABMK vaø

MA=AK(gt)BMK cân BBMA=AKB Mà AKB=KBC+KCB (Góc ngồi tam giac KBC)

Do I trung điểm BC KIBC(gt)

Baøi 17:

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động nửa đường tròn.Tia phân giác ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K hình chiếu M lên AC AB

1 C/m:MOBK nội tiếp

2 Tứ giác CKMH hình vng C/m H;O;K thẳng hàng

4 Gọi giao điểm HKvà CM I.Khi C di động nửa đường trịn I chạy đường nào?

C H

A O B I

P Q K

M

2/C/m CHMK hình vuông:

Do  vng HCM có góc 45o nên CHM vuông cân H HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v CHMK hình chữ nhật có hai cạnh kề CHMK hình vng

3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I giao điểm HK MC;do MHCK hình vngHKMC trung điểm I MC.Do I trung điểm MCOIMC(đường kính qua trung điểm dây…)

Vậy HIMC;OIMC KIMCH;O;I thẳng hàng

4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm đường trịn đường kính OM

-Giới hạn:Khi CB IQ;Khi CA IP.Vậy C di động nửa đường trịn (O) I chạy cung trịn PHQ đường trịn đường kính OM

 Hình 17

1/C/m:BOMK nội tiếp: Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

CM tia phân giác góc BCAACM=MCB=45o cungAM=MB=90o

Bài 18:

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác góc ACD,từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói

1/Chứng minhAHDC nt đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm bán kính theo a

2/HB cắt AD I cắt AC M;HC cắt DB N.Chứng tỏ HB=HC Và AB.AC=BH.BI

3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường cắt HC K cắt (O) J.Chứng minh HOKD nt

Xét hai HCAABI có A=H=1v ABH=ACH(cùng chắn cung AH)

HCA∽ABI 

BI AC AB HC

 mà HB=HCđpcm 3/Gọi tiếp tuyến H (O) Hx

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân OOHAD OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)

Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay điểm B;C làm với hai đầu đoạn MN góc MNCB nội

tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC)

NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx 4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH=

2

AD maø cung AD=BC

cung BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ đường kính HDJ= 1v Góc HJD=ACH(cùng chắn cung nhau)OJK=OCKCJ làm với hai đầu đoạn OK góc nhauOKCJ nội tiếp KOC=KJC (cùng chắn cung KC);KJC=DAC(cùng chắn cung DC)KOC=DACOK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp



x A B

M

H I O J N K

H

I M

A O B

Baøi 19:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M điểm cung BC.Kẻ đường cao CH tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác góc COM

3 Gọi giao điểm OH với BC I.MI cắt (O) D.Cmr:CDBM hình thang cân

4 BM cắt OH N.Chứng minh BNI AMC đồng dạng,từ suy ra: BN.MC=IN.MA

C N D

Sñ CMA=

2

1sđcung AC=45o.CHM vuông cân M

C/m OH phân giác góc COM:Do CHM vng cân HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm 3/C/m:CDBM thang cân:

Do OCM cân O có OH phân giácOH đường trung trực CM mà IOHICM cân IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM) IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân IIDB=IBD MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên CDB=MBDCDBM thang cân

4/C/m BNI AMC đồng dạng:

Do OH đường trung trực CM NOH CN=NM

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc CMH=45oNHM=45oMNH vng cân M CHMN hình vng INB=CMA=45o

Do CMBD thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM…

và CAM=CBM(cùng chắn cung CM) INB=CMA ñpcm

1/C/m AOHC nội tiếp: (học sinh tự chứng minh)

2/C/mCHM vuông cân:

Do OCAB trại trung điểm OCung

K O D N Baøi 20:

Cho  ABC nội tiếp (O;R).Trên cnạh AB AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN

1 Chứng tỏ OMN cân C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E.C/m BC2+DC2=3R2

4 Đường thẳng CE AB cắt F.Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO kéo dài cắt BC J.C/m BI qua trung điểm AJ

F

A I E M

B J C

AOC=120oAOE=60oAOE tam giác có ADOEOD=ED=

2

R

p dụng Pitago ta có:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)

Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R

2

R +CD2-CD2=3R2.

4/Gọi K giao điểm BI với AJ

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)có B=60oBFC=30o

BC=

2

1BF maø AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) AJBCAI//BC có A trung

điểm BFI trung điểm CF Hay FI=IC Do AK//FI.p dụng hệ Talét BFI có:

BI BK EI

AK 

Do KJ//CI.p dụng hệ Talét BIC có:

BI BK CJ KJ



Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)



1/C/m OMN caân:

Do ABC tam giác nội tiếp (O)AO BO phân giác ABC

OAN=OBM=30o; OA=OB=R vaø

BM=AN(gt)OMB=ONA

OM=ON OMN cân O 2/C/m OMAN nội tiếp:

do OBM=ONA(cmt)BMO=ANO mà BMO+AMO=2vANO+AMO=2v

AMON nội tiếp 3/C/m BC2+DC2=3R2

Do BO phân giác đều BOAC hay

BOD vuông D.Aùp dụng hệ thức Pitago ta có:

BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2=

=BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1)

Mà OB=R.AOC cân O có OAC=30o.

I

Baøi 21:

Cho ABC (A=1v)nội tiếp đường tròn tâm (O).Gọi M trung điểm cạnh AC.Đường trịn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D

1 C/m ABNM nội tiếp CN.AB=AC.MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB E.C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND

A

M D

B O N C E

Hay BDDC Qua điểm D có hai đường thẳng BD DM vng góc với DCB;M;D thẳng hàng

C/m OM tiếp tuyến (I):Ta có MO đường trung bình ABC (vì M;O trung điểm AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO tiếp tuyến đường tròn tâm I

3/C/m BMOE hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I trung điểm MC;O trung điểm BCOI đường trung bình MBCOI//BM hay

OE//BMBMOE hình bình hành 4/C/m MN phân giác góc AND:

Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM) MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD) ANM=MNDđpcm

 1/

C/m ABNM nội tiếp: (dùng tổng hai góc đối) C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vuông ABC NMC đồng dạng

2/C/m B;M;D thẳng hàng Ta có MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD  DC BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O)

Baøi 22:

Cho hình vng ABCD có cạnh a.Gọi I điểm đường chéo AC.Qua I kẻ đường thẳng song song với AB;BC,các đường cắt

AB;BC;CD;DA P;Q;N;M C/m INCQ hình vng Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F.C/m MFIN nội tiếp đường tròn.Xác định tâm

4 Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích theo a C/m MFIE nội tiếp

A M D F

E P I N B Q C

Hay NQACNQ//DB

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vng)MFI=1v;MIN=1v(gt) hai điểm F;I làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp

Tâm đường trịn giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN 4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP laø hình thang có PN=MQMNQP thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 1S

AMIP+ 1S

MDNI+ 1S

NIQC+ 1S

PIQB =

2 1S

ABCD=

2 1a2 5/C/m MFIE nội tiếp:

Ta có tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI nội tiếp

1/C/m INCQ hình vng: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN NC=IQ=PD NIC vng N có ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vng)NIC vng cân N INCQ hình vng

2/C/m:NQ//DB:

E

I H

 Baøi 23:

Cho hình vng ABCD,N trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC E.BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ BEN vuông cân

3 C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC IE F vng

5 C/m FIE tam giác vuoâng

Q B A

M

D N C

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

BIMN Mà ENBM(cmt)BI EN hai đường cao BMNGiao điểm EN BI trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng

Do H trực tâm BMNMHBN(1)

MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v mà

MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2) Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng

4/C/m BI=BC: Xét 2vng BCN BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI

*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) ECB=45oEIB=45o

Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN

vuông cân)HIF=45o  Từvà EIF=1v đpcm

5/ * C/mBM đường trung trực QH:Do AI=BC=AB(gt cmt)ABI cân B.Hai vng ABM BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân B có BM phân giác BM đường trung trực QH

1/C/m MDNE nội tiếp

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông)

MEN+MDN=2vđpcm 2/C/m BEN vuông cân: NEB vuông(cmt) Do CBNE nội tiếp

ENB=BCE(cùng chắn cung BE) mà BCE=45o(t/c

hv)ENB=45ođpcm

3/C/m MF qua trực tâm H

BMN

*C/mMQBN thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội tiếpMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o

MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)

 QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o

MNB=QBNMQBN thang cân

Baøi 24:

Cho ABC có góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM vng góc với AB;AC.Gọi J giao điểm AH MK

1 C/m AMHK nội tiếp C/m JA.JH=JK.JM

3 Từ C kẻ tia Cxvới AC Cx cắt AH kéo dài D.Vẽ HI;HN vng góc với DB DC Cmr : HKM=HCN

4 C/m M;N;I;K nằm đường tròn

A

J M K

B H C I

N

D

Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH)

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN

4/C/m: M;N;I;K nằm đường tròn

Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)

Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

1/C/m AMHK nội tiếp: Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xét hai tam giác:JAM JHK có: AJM=KJH (đđ).Do AKHM nt HAM=HKM( chắn cung HM) JAM∽JKH đpcm

Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)

Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K nằm đường tròn

I

Baøi 25:

Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E;Trung tuyến AM ABC cắt DE I

1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O đường tròn C?m AMDE

4 C/m AHOM hình bình hành

A

E

B H M C

D

O

BDE=BCEHai điểm D;C làm với hai đầu đoạn thẳng BE… Xác định tâm O:O giao điểm hai đường trung trực BE BC 3/C/m:AMDE:

Do M trung điểm BCAM=MC=MB=

BC MAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE

Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v AMED 4/C/m AHOM hình bình hành:

Do O tâm đường tròn ngoại tiếp BECDOM đường trung trực BC OMBCOM//AH

Do H trung điểm DE(DE đường kính đường trịn tâm H)OHDE mà AMDEAM//OHAHOM hình bình hành



1/C/m D;H;E thẳng hàng: Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm H)DE đường kính D;E;H thẳng hàng 2/C/m BDCE nội tiếp: HAD cân H(vì

HD=HA=bán kính đt tâm H)HAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)

E F

M Baøi 26:

Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH.Gọi K điểm dối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC.E;F giao điểm KI với AB AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI=AK

3 C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn C/m CE;BF đường cao ABC

5 Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC

I A

K

B H C

2/C/m AI=AK:

Theo chứng minh ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB đường trung trực KHAH=AK AI=AK(=AH)

3/C/m A;E;H;C;I nằm đường tròn: DoEABvà ABlà trung trực KHEK=EH;EA

chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân A(theo c/m AK=AI)

AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I cùng nằm đường tròn ký hiệu (C)

Theo cmt A;I;CV;H nằm đường trịn(C’)  (C) (C’) trùng có chung điểm A;H;I không thẳng hàng)

4/C/m:CE;BF đường cao ABC

Do AEHCI nằm đường tròn có AIC=1vAC đường kính.AEC=1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE đường cao ABC.Chứng minh tương tự ta có BF đường cao…

5/Gọi M giao điểmAH EC.Ta C/m M giao điểm đường phân giác HFE EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF) HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

1/C/m AICH nội tiếp: Do I đx với H qua ACAC trung trực HIAI=AH HC=IC;AC chung AHC=AIC(ccc) AHC=AIC mà AHC=1v(gt)AIC=1v AIC+AHC=2v AICH nội tiếp Hình 26

EHM=MHF

C/m tương tự có EC phân giác FHEđpcm

Bài 27:

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O).Gọi M điểm cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC tia BA lấy AD=AC

1 C/m: BAC=2BKC

2 C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm đường tròn Gọi giao điểm DC với (O) I.C/m B;O;I thẳng hàng C/m DI=BI

D

A

I K M

B C

AD=AC(gt)ADC cân AADC=ACDBAC=2BDC

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp Xác định tâm:Do AB=AC=ADA trung điểm BD trung tuyến CA=

2

1 BDBCD vuông C

.Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD vuông K có trung tuyến KAKA=

2 1BD

AD=AB=AC=AK A tâm đường trịn… 3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI đường kính B;O;I thẳng hàng

4/C/mBI=DI:

Cách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường trịn)hay AIDB,có A trung điểmAI đường trung trực BDIBD cân IID=BI

1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ngồi MKC)

Mà

MK=MC(gt)MKC cân MMKC=MCK BMC=2BKC

BAC=2BKC

2/C/mBCKD noäi tiếp: Ta có

BAC=ADC+ACD(góc ngồi ADC) mà

M N

 O

Cách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân

DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân Iđpcm Bài 28:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I điểm cung AB(Cung AB khơng chứa điểm C;D).IC ID cắt AB M;N

1 C/m D;M;N;C nằm đường tròn C/m NA.NB=NI.NC

3 DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E.C/m:EF//AB

4 C/m :IA2=IM.ID

E F I B A

D C

IAB=ICB(cuøng chắn cung BI)

INA=BNC(đ đ)NAI∽NCBđpcm 3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung IA=IB) hay EDF=ECF hai điểm D C làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp

 EFD=ECD(cùng chắn cung ED),maø ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB 4/C/m: IA2=IM.ID

AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung nhau) ñpcm



1/C/m D;M;N;C nằm đường trịn

Sđ IMB=

1sñcung(IB+AD) Sñ NCD=

2

1Sñ cungDI

Mà cung IB=IAIMB=NCD IMB=NCD

Ta lại có IMN+DMN=2v

NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp 2/Xét 2NBC NAI có:

E C

Baøi 29:

Cho hình vng ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vng góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F.Kẻ trung tuyến AI AEF,AI kéo dài cắt CD K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI G

1 C/m AECF nội tiếp C/m: AF2=KF.CF

3 C/m:EGFK hình thoi

4 Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi CKE có giá trị không đổi Gọi giao điểm EF với AD J.C/m:GJJK

Giaûi:

F

A J D G

I K

B

3/C/m: EGFK hình thoi -Do AK đường trung trực FEGFE cân G

GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vng góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI đường trung trực GKGI=IK,mà I F=IEGFKE hình thoi

4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông

cân)ADF=ABE BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK C/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi

5/C/m IJJK:

Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình vng) JIK=45oJIK vng vân IJI=IK,mà IK=GI

1/C/m AECF nội tiếp: FAE=DCE=1v(gt)

 AECF nội tiếp 2/C/m: AF2=KF.CF

Do AECF nội tiếp

DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45o

(Tính chất hình vuông)

FEA=45oFAE vuông

cân A có FI=IEAIFE

FAK=45o

FKA=ACF=45o.Vaø KFA

chung

FKA∽FCA



FA FK FC FA

 ñpcm

 O M H

N I C

G

JI=IK=GI=

2

1GKGJK vuông J hay GJJK.

Baøi 30:

Cho ABC.Gọi H trực tâm tam giác.Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

1 C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O So sánh BAH OAC

3 CH cắt OD E.C/m AB.AE=AH.AC

4.Gọi giao điểm AI OH G.C/m G trọng tâm ABC

A

Q

B

Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm đường trịnAD đường kính.Vậy O trung điểm AD

2/So sánh BAH OAC:

BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( BHCD hình bình hành) QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC

3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xét hai tam giác ABH ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)ABH∽ACEđpcm

4/C/m G trọng tâm ABC.ta phải cm G giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ=

3 1AI

Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo định lý Ta Lét AGH D

1/c/m:ABDC nội tiếp: Gọi đường cao ABC AN;BM;CN Do

AQH+HMA=2vAQHM nội tiếpBAC+QHM=2v mà QHM=BHC(đ đ) BHC=CDB(2 góc đối hình bình hành)

BAC+CDB=2VABDC nội tiếp

 O  AG GI AH

OI  .Do I trung điểm HDO trung điểm AD

2 

AH

OI (T/c đường trung bình)   AG GI AH OI GI=

1AG Hay GI=

3

1AIG trọng tâm ABC

 Baøi 31:

Cho (O0 cung AB=90o.C điểm tuỳ ý cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ ABC cắt H.BK cắt (O) N;AH cắt (O) M.BM AN gặp D

1 C/m:B;K;C;J nằm đường tròn c/m: BI.KC=HI.KB

3 C/m:MN đường kính (O) C/m ACBD hình bình hành C/m:OC//DH

N

D A M

K B C I J

H

Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH tam giác vuông

cân.Ta lại có:

AMD=MAB+ABM(góc ngồi tam giác MAB).Mà sđMAB=

2

1 sñMB

Bài có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí C.Cách c/m tương tự

1/C/m B;K;C;J cuøng naỉm tređn mt đường tròn -Sử dúng toơng hai góc đoẫi -Sử dúng hai góc làm với hai đaău đốn thẳng mt góc vuođng

2/C/m: BI.KC=HI.KB Xét hai tam giác vuông BIH BKC có IBH=KBC(đ đ) đpcm

3/ C/m MN đường kính (O)

Do cung

E

 O

SđABM=

2

1sđAM cung MA+AM=AB=90o.AMD=45o AMD=BMH(đ đ)

BMI=45oBIM vuông cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN

là đường kính (O) 5/C/m OH//DH

Do MN đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) mà CAN =45o

MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc tâm MOC chắn cung

MC=90oMOC=90oOCMN

Do DBNH;HADN;AH DB cắt MM trực tâm DNH

MNDHOC//DH

 Baøi 32:

Cho hình vng ABCD.Gọi N điểm CD cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E

1 C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm ME NF Q.MN cắt (O) P.C/m B;Q;P thẳng hàng

4 Chứng tỏ ME//PC BP=BC C/m FPE tam giác vuông

A B F

M

Q

P

D N C

FME=45o MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o MABE nội tiếp

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vng)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt NFBMQ trực tâm BMNBQMN(1)

Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay BPMN(2) 1/c/m:BFN vng cân: ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45o (tính chất hình vng) ANB=45o

Mà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)

K

Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng 4/C/m MF//PC

Do MFN=MEN=1vMFEN nội tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF) Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF (O)

FEM=FCPME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP MEBNCPBN.Đường kính MN vng góc với dây CPBN đường trung trực CP hay BCP cân BBC=BP

5/C/m FPE vuông:

Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm

 Baøi 33:

Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB.AB CD cắt E.BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K

1 Cm: CB phân giác góc ACE c/m:AQEC nội tiếp

3 C/m:KA.KC=KB.KD C/m:QE//AD

Q

E B A C O D

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A C làm với hai đầu đoạn QE…đpcm

3/C/m: KA.KC=KB.KD

1/C/m CB phân giác góc ACE: Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD Do AB=AC(gt)BAD cân BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA (Cùng chắn cung AB)BCE=BCA đpcm

2/C/m AQEC nội tiếp: Ta có sđ QAB=

2

1SđAB(góc tiếp tuyến dây)

C/m KAB∽KDC 4/C/m:QE//AD:

Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) mà QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD

Baøi 34:

Cho (O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B C cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE CF cắt (O) M N.Dựng hình bình hành AECD

1 C/m:D nằm đường thẳng BF C/m ADCF nội tiếp

3 C/m: CF.CN=CE.CM C/m:MN//AC

5 Gọi giao điểm AF với MN I.Cmr:DF qua trung điểm NI C

D

B

E N J A O I

F

M

hai điểm F C làm với đầu đoạn AD…đpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM ta c/m CEF∽CNM

4/C/m:MN//AC

Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE hình bình hành DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN AC//MN

5/C/m:DF qua trung điểm NI:Gọi giao điểm NI với FE J Do NI//AC(vì MN//AB)

NJ//CB,theo hệ talét

BC NJ FB JE

 Tương tự IJ//AB

AB JI FB

JF 

MaØ AB=AC(gt)JI=NJ

1/C/m:D nằm đường thẳng BF

Do ADCE laø hình bình

hànhDE AC hai đường chéo.Do B trung điểm AC B trung điểm DE hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng D nằm BF 2/C/m ADCF nội tiếp:

Do ADCf hình bình hành DCA=CAE(so le)

Sđ CAE=

1Cung AE(góc tt dây) mà EFA=sđ

P I

J B

Baøi 35:

Cho (O;R) đường kính AB;CD vng góc với nhau.Gọi M điểm cung nhỏ CB

1 C/m:ACBD laø hình vuông

2 AM cắt CD ;CB P I.Gọi J giao điểm DM AB.C/m IB.IC=IA.IM

3 Chứng tỏ IJ//PD IJ phân giác góc CJM Tính diện tích AID theo R

C

M

A O

D

IMJ=IBJ=45oM B làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp IJB+IMB=2v mà IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Mà PDAB(gt) IJ//PD

 C/m IJ phân giác góc CMJ:

-Vi IJAB hay AJI=1v ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp

 IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM)

-Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM)

 IJC= IJMđpcm

4/Tính diện tích AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vng) có ICB khoảng cách từ đến AD CA.Ta lại có IAD CAD chung đáy đường cao

SIAD=SCAD.Maø SACD=

SABCD. SIAD=

SABCD.SABCD=

1 AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc)SABCD=

2

12R.2R=2R2S

IAD=R2 Hình 35

1/C/m:ACBD hình vuông:

Vì O trung điểm AB;CD nên ACBD hình bình hành

Mà AC=BD(đường kính) ACDB (gt)hình bình hành ACBD hình vng

2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xét IAC IBM có CIA=MIB(đ đ) IAC=IBM(cùng chắn cung CM)

IAC∽IBMđpcm 3/C/m IJ//PD

Do ACBD hình vuông CBO=45o Và cung AC=CB=BD=DA

Baøi 37:

Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N

1 C/m:  OHO’ laø tam giác vuông C/m:HB.HO’=HA.HO

3 C/m: HOO’∽HBA

4 C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp C/m AMN vuông cân

A

M O O’ N

B H C

Phân giác hai góc trênOBH=O’AH OHB=O’HA=45o HBO∽HAO’ (1)

' H O

OH HA

HB  ñpcm 3/c/m HOO’∽HBA

Từ (1)

' HO

HO HA

HB  

HB HO HA

HO'  (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO HO’ HOO’tỉ lệ với cặp cạnh HBA góc xen BHA=O’HO=1v HOO’∽HBA

4/C/m:BMOH nt:Do  HOO’∽HBAO’OH=ABH mà O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vđpcm

C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’∽HBA(cmt) hai tam giác vngHBA HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’ ∽HACOO’H=ACH.Mà OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v đpcm 5/C/m AMN vuông cân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v mà

AMO+OMB=2vAMO=OHB mà OHB=45oAMO=45o.Do AMN vng A có AMO=45o.AMN vng cân A

Hình 36

1/C/m:OHO’ vuông:

Do AHB=1v O tâm đường tròn nội tiếp AHBO giao điểm ba đường phân giác tam giácAHO=OHB=45o

Tương tự AHO’=O’HC=45o O’HO=45o+45o=90o hay O’HO vuông H 2/C/m: HB.HO’=HA.HO Do ABC vuông A

I O B Baøi 37:

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường tròn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1 C/m:AIMD nội tiếp C?m CM.CA=CI.CD C/m ND=NC

4 Cb cắt AD E.C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp EIM

5 Giả sử C trung điểm IK.Tính CD theo R D

N

M K

E C A

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC cân NNC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v NCM=NMC

NDM=NMDNMD cân NND=NMNC=ND(đpcm)

4/C/m C tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C giao điểm đường phân giác EMI (xem câu 35)

5/Tính CD theo R:

Do KI trung trực AOAKO cân KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO  đềuKI=

2 R CI=KC= KI =

R .Aùp duïng PiTaGo tam giác vuông ACI có:CA=

4

16 2

2

2 R R R

AI

CI     CIA∽BMA( hai tam

giác vuông có góc CAI chung)

MA IA BA

CA  MA=

AC AI

AB = 2R. 

4 : R R Hình 37

1/C/m AIMD nội tiếp: Sử dụng hai điểm I;M làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD C/m hai CMD CAI đồng dạng

3/C/m CD=NC: sñNAM=

2

1sđ cung AM (góc tt dây) sđMAB=

2

=

7

4R MC=AM-AC= 28

7

9R áp dụng hệ thức câu 2CD=

3 3R 

Baøi 38:

Cho ABC.Gọi P điểm nằm tam giác cho góc

PBA=PAC.Gọi H K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC

1 C/m AHPK nội tiếp C/m HB.KP=HP.KC

3 Gọi D;E;F trung điểm PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F

A

H K P

D E

B F C

tuyến  vng HBPHD=DPDH=FE C/m tương tự có:DF=EK

4/C/m đường trung trực HK qua F

Ta phải C/m EF đường trung trực HK.Hay cần c/m FK=FH Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngồi tam giác cân ABP) Tương tự KEP=2ACP

Maø ABP=ACD(gt)

Do PEFD laø hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)

Từ (1) (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH đpcm

Hình 38

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng tổng hai góc đối)

2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai  vuông HPB KPC đồng dạng

3/C/m HD=FE:

Do FE//DO DF//EP (FE FD đường trung bình PBC)DPEF hình bình hành.DP=FE.Do D trung điểm BPDH trung



Baøi 39:

Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG vng góc với AD;DB;AB

1 C/m DEFC nội tiếp C/m:CF2=EF.GF

3 Gọi O giao điểm AC DB.Kẻ OICD.Cmr: OI qua trung điểm AG

4 Chứng tỏ EOFG nội tiếp

A G B E

F O

D J I C

1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F làm với hai đầu đoạn thẳng CD)

2/C/m: CF2=EF.GF: Xét ECF CGF có:

-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE

-Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội tiếp FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm 3/C/m Oi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm đường tròn tâm O đường kính AC J Do AG//CJ CGAGAGCJ hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên I trung điểm CJ(đường kính  với dây…)đpcm

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt (O)AOG=2GCE (góc nt nửa góc tâm chắn cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối hbh)EOG=2.ADC(1)

Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn  vuông EDC)();Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o

-GBC().Từ ()và()EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)

Từ (1) (2)EOG=EFGEOFG nt

Baøi 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các đường thẳng AO cắt (O) C D;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) E F

1 C/m:C;B;F thẳng hàng C/m CDEF nội tiếp Chứng tỏ DA.FE=DC.EA

4 C/m A tâm đường tròn nội tiếp BDE

5 Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’)

D E

A O

I O’ C

B

F

1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D làm với hai đầu đoạn CF… đpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA Hai  vuông DAC EAF có DAC=EAF(đ đ)  DAC ∽ø EAFđpcm

4/C/m A tâm đường trịn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A giao điểm đường phân giác DBE (Xem cách c/m 35 câu 3)

5/Để DE tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là:

Nếu DE tiếp tuyến chung ODDE O’EDE.Vì OA=OD AOD cân OODA=OAD.Tương tự O’AE cân O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ) ODO’=OEO’D E làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE tt (O)

(O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ hình chữ nhật DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A

Vậy để DE tt chung hai đường trịn hai đường trịn có bán kính nhau.(hai đường tròn nhau)

 Baøi 41:

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E F.Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O).Gọi H trung điểm EF

1 Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K.C/m:

OI.OA=OH.OK=R2

3 Khi A di động xy I di động đường nào? C/m KE KF hai tiếp tyuến (O)

B

O

I F y H

E

A C

K

OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H nằm đường trịn đường kính AO 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ABO vng B có BI đường cao.p dung hệ thức lượng tam giác vng ta có:OB2=OI.OA ;mà OB=R.OI.OA=R2.(1)

Xét hai  vuông OHA OIK có IOH chung.AHO∽KIO

OI OH OK

OA

 OI.OA=OH.OK (2)

Từ (1) (2)đpcm

4/C/m KE KF hai tt đuờng tịn (O) Hình 41

1/

C/m:A;B;C;H;O nằm đường trịn: Ta có

ABO=ACO(tính chất tiếp

-Xét hai EKO EHO.Do OH.OK=R2=OE2

OK OE OE

OH  vaø EOH chung EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE mà OHE=1vOEK=1v hay OEEK điểm E nằm (O)EK tt (O)

-c/m

 Baøi 42:

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D.Qua A kẻ AE AF vuông góc với BN CM.Các đường thẳng AE AF cắt BC I;K

1 C/m AFDE nội tiếp C/m: AB.NC=BN.AB C/m FE//BC

4 Chứng tỏ ADIC nội tiếp Chú ý toán AB>AC

A

N F E M D

K

B I C

1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D giao điểm đường phân giác BN CM củaABN 

AN AB DN

BD  (1)

Do CD phân giác cuûa  CBN

CN BC DN

BD

I

Từ (1) (2) 

AN AB CN

BC  ñpcm 3/c/M fe//bc:

Do BE phân giác ABI BEAIBE đường trung trực AI.Tương tự CF phân giác ACK CFAKCF đường trung trực AK E F trung điểm AI AK FE đường trung bình AKIFE//KI hay EF//BC

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF ntDAE=DFE(cùng chắn cung DE) Do FE//BCEFD=DCI(so le)

 Baøi 43:

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường tròn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC.Hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

1 Chứng tỏ D nằm BC

2 Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC

3 C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng

4 Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o Tính diện tích tam giác AMC

A

O N O’

B D E C M

-Tính DB: Theo PiTaGo  vng ABC có: BC= AC2 AB2  152 202 25.Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC có: AD.BC=AB.ACAD=20.15:25=12

DAI=DCIADIC nội tiếp

1/Chứng tỏ:D nằm đường thẳng BC:Do

ADB=1v;ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn) ADB+ADC=2v D;B;C thẳng hàng

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE AMC.Có ADE=1v(cmt) AMC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn).Do cung MC=DB(gt)DAE=MAC(2 góc nt chắn cung nhau)

DAE∽MAC

AC AE MC DE MA DA 

 (1)Ñpcm 3/C/m:AN=NE:

Do BAAO’(ABC Vuông A)BA tt (O’)sđBAE=

2

1sñ AM

SñAED=sñ

2

1 (MC+AD) maø cung MC=DM

cung MC+AD=AM

 AED =BAC BAE cân B mà BMAENA=NE

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON đường TB ABEON//BE OO’//BE

O;N;O’ thẳng hàng

4/Do OO’//BC cung MC=MD O’MBCO’MOO’NO’M vng O’ có O’I trung tuyến INO’ cân IIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);OAN cân

OONA=OANOAI=IO’OOAO’I ntOAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v OIO’=1v 5/ Tính diện tích AMC.Ta có SAMC=

2

1AM.MC Ta có BD=

9  BC AB DC=16 Ta laïi coù DA2=CD.BD=16.9AD=12;BE=AB=15DE=15-9=6AE=

5

2  

DE AD

Từ(1) tính AM;MC tính S



Baøi 44:

Trên (O;R),ta đặt theo chiều,kể từ điểm A cung AB=60o, cung BC=90o

cung CD=120o

1 C/m ABCD hình thang cân Chứng tỏ ACDB

3 Tính cạnh đường chéo ABCD

4 Goïi M;N trung điểm cạnh DC AB.Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q.C/m MN phân giác góc PMQ

P

A J N K B Q I O D M

C E

1/C/m:ABCD hình thang cân:Do cung BC=90o BAC=45o (góc nt

bằng nửa cung bị chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o

AD=90o ACD=45o

BAC=ACD=45o.AB//CD

Vì cung DAB=150o.Cung ABC

=150o. BCD=CDA ABCD

thang cân 2/C/mACDB:

Gọi I giao điểm AC

Do cung BC=90o BOC=90oBOC vuông cân OBC=AD=R

2Do cung CD=120o

DOC=120o.Keû OKCDDOK=60osin 60o= OD DK DK= R

CD=2DK=R

-Tính AC:Do AIB vng cân I2IC2=AB2IA=AB

2 = 2 R

Tương tự IC=

2 R

; AC = DB=IA+IC = 2 ) (

2 R R

R 

 

4/PN cắt CD E;MQ cắt AB I;PM cắt AB taïi J Do JN//ME 

PE PN ME

JN



Do AN//DE 

PE PN DE AN



Do NI//ME 

QE NQ ME

NI



NB//ME 

QE NQ DE NB 

NI=NJ.Mà MNAB(tc thang cân)JMI cân ởp MMN phân giác… 

Baøi45:

Cho  ABC có cạnh a.Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vng góc với DB.Trên Dx lấy điểm E cho ED=DB(D E nằm hai phía đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC Gọi O trung điểm EB

1 C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác theo a

2 Kéo dài FE phía F,cắt (D) M.EC cắt (O) N.C/m EBMC thang cân.Tính diện tích

3 c/m EC phân giác góc DAC C/m FD đường trung trực MB Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng

E A

N O 

D

B F C M

1/Do ABC tam giác có D giao điểm đường phân giác góc A BBD=DA=DC mà DB=DEA;B;E;C cách DAEBC nt (D)

Tính DB.p dụng cơng thức tính bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác

ta coù: DB= o  AB o 

n Sin

AB

60 sin 180

2

3 a

Do góc EDB=EFB=1vEDFB nội tiếp đường trịn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go tam giác vng EDB có:EB2=2ED2=2.(

3 a )2 EB=

3

a OE=

6 a

2/C/m EBMC thang cân:

Góc EDB=90o góc tâm (D) chắn cung EBCung EB=90ogóc ECN=45o.EFC vng cân FFEC=45oMBC=45o(=MEC=45o)

EFC=CBM=45oBM//EC.Ta có FBM vuông cân FBC=EM EBMC thang cân

Do EBMC thang cân có hai đường chéo vng gócSEBMC=

1BC.EM (BC=EM=a)SEBMC=

2 1a2

3/C/m EC phân giác góc DCA: Ta coù ACB=60o;ECB=45oACE=15o

4/C/m FD đường trung trực MB:

Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45oBEF=DEC vaø

DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng chắn cung BF) NED=NBD(cùng chắn cung ND)NBD=BDFBN//DF mà BNEC(góc nt chắn nửa đuờng trịn (O) DF EC.Do DC//BM(vì BMCE hình thang cân)DFBM nhưmg BFM vng cân FFD đường trung trực MB

5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chắn cung DB) ENB=90o(cmt);ENA góc ngồi ANCENA=NAC+CAN=45o

ENA+ENB+BND=180oA;N;D thẳng hàng 6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:S

Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB S(O)=.OE2=.(

6

a )2=

6

2

a S

2 1(O)=

12

2

a

S quaït EBD= o o BD 360 90   = 12 6 2 

 a a

       

SEBD= 1DB2=

6

2

a

Sviên phân=S quạt EBD - SEDB=

12 2 a -6 a = 12 ) (

2  

a

 S =

12 2 a -12 ) (

2  

a = a  Baøi 46:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E

1 C/m BD laø phân giác góc ABC OD//AB C/m ADEF nội tiếp

3 Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB

D E I

F A

F A

B O C

Hay OD phân giác  cân AOCODAC Vì BAC góc nt chắn nửa đường tròn BAAC 2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp 3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA=

2

1 sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD=

1 sđ cung DC (góc

giữa tt dây)

Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD phân giác ICE.Nhưng CDDB (góc nt chắn nửa đt)CD vừa đường cao,vừa phân giác ICEICE cân CIC=CE

*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC chắn cung DC) 4/Tự c/m:



Baøi47:

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EFAD F

1 C/m:ABEF nt

Hình 47

OD//BA

ADB=AFE

1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do cung

AD=DC(gt)ABD= DBC(hai góc nt chắn hai cung

2 Chứng tỏ DE.DB=DF.DA

3 C/m:I tâm đường tròn nội tiếp CJD

4 Gọi I giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC

C B

E

I M

A F O D

Gọi M trung điểm ED

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM trung tuyến tam giác vuông FEDFM=EM=MD=

2

1EDCác tam giác FEM;MFD cân MMFD=MDF EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)

Vì CA phân giác góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt MDF=ACF BMF=BCFBCMF nội tiếp

*Ta có BFM∽BIC FBM=CBI(BD phân giác FBC-cmt) BMF=BCI(cmt) 

BC BM BI

BF  BF.BC=BM.BI

* IFM∽IBC BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn cung CM)

IM IC FI IB

 IC.IF=IM.IB  Lấy trừ vế theo vế

 BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2 

Hình 47

1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA FDE có góc D chung

BDA∽FDEđpcm 3/C/m IE tâm đường tròn ngoại tiếp FBC:

Xem câu 35

 ÂO B

Baøi 48:

Cho (O) đường kính AB;P điểm di động cung AB cho PA<PB Dựng hình vng APQR vào phía đường trịn.Tia PR cắt (O) C

1 C/m ACB vuông cân

2 Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J.C/m điểm J;A;Q;B nằm đường tròn

3 Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP RR

I P

J Q

A R

C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP

Ta cần chứng minh CIJ∽QPJ AIC=APC(cùng chắn cung AC) APC=JPQ=45oJIC=QPJ

Hơn PCI=IAP( chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ 4/

 Hình 48

1/ C/mABC vuông cân:

Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR hvuông có PC đường chéo PC pg góc APB cung AC=CB dây AC=CB ABC vuông cân

2/C/m JANQ nội tiếp: Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQPAJ=QPJ  góc PAJ=PQJ maø JAB=PAJ vaø PQJ+JQB=2v

Baøi 49:

Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường trịn lấy điểm M cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tt Ax By D C

1 Chứng tỏ ADMO nội tiếp Chứng tỏ AD.BC=R2

3 Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh:AMFN hình thang cân

4 Xác định vị trí M nửa đường trịn để DE=EF F

C E

M D

N A O B

1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối 2/C/m: AD.BC=R2

C/m:DOC vng O: Theo tính chất hai tt cắt ta có ADO=MDO

MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v

AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v

Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng DOC có OM đường cao ta có:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) OM=R đpcm

3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM OD đường trung trực AM hay DOAM Vì FAON;NMFO(t/c tt) FA cắt MN D

D trực tâm FNODOFN.Vậy AM//FN

Vì OAM cân OOAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO AMO=NFO

FNO=NFO FNAM thang caân

4/Do DE=FE nên EM trung tuyến  vng FDMED=EM. Vì DMA=DAM DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vEDM=DEM hay EDM cân D hay DM=DE.Từ

và EDM  ODM=60oAOM=60o.Vậy M nằm vị trí cho cung

AM=1/3 nửa đường trịn



Bài 50:

Cho hình vng ABCD,E điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K

1 Chứng minh:BHCD nt Tính góc CHK

3 C/m KC.KD=KH.KB

4 Khi E di động BC H di động đường nào?

A D

B E C H

K

KCB KHD đồng dạng

4/Do BHD=1v không đổi E di chuyển BC H di động đường trịn đường kính DB

1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H C làm với hai đầu đoạn thẳng DB…)

2/Tính góc CHK:

Do BDCE nt DBC=DHK(cùng chắn cung DC) mà DBC=45o (tính chất hình

vuông)DHC=45o mà DHK=1v(gt)CHK=45o 3/C/m KC.KD=KH.KB

