Phương pháp khoảng cách trong phân tích thống kê mẫu điểm không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ TUYẾT THANH PHƢƠNG PHÁP KHOẢNG CÁCH TRONG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MẪU ĐIỂM KHƠNG GIAN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐÀO HỮU HỒ Hà Nội, Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ TUYẾT THANH PHƢƠNG PHÁP KHOẢNG CÁCH TRONG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MẪU ĐIỂM KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐÀO HỮU HỒ Hà Nội, Năm 2013 MỞ ĐẦU Q trình điểm khơng gian phát triển mạnh mẽ từ thập niên 60 – 70 – 80 kỷ trước nhà khoa học khơng ngừng quan tâm Ngồi ý nghĩa khoa học rõ ràng sáng sủa, trình điểm khơng gian cịn có nhiều ứng dụng Nhiều tượng thực tiễn gặp q trình điểm khơng gian Do ngồi việc nghiên cứu lý thuyết q trình điểm khơng gian, nhà khoa học quan tâm tới tốn phân tích thống kê q trình điểm khơng gian Nghĩa ta nhận biết q trình điểm khơng gian ta gặp thực tế q trình điểm khơng gian nào, chúng có tính chất gì,… Cụ thể hơn: có mẫu ảnh tượng Liệu mẫu ảnh có tính ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn hay khơng, q trình điểm khơng gian xét có phải q trình Poisson hay khơng Để trả lời câu hỏi ngồi phương pháp mang tính hàn lâm truyền thống, từ thập niên 80 – 90 kỷ 20, với phát triển mạnh mẽ tin học, phương pháp nghiên cứu xuất nghiên cứu thống kê toán học mơ q trình điểm khơng gian mà ta quan tâm, sau ta xét vài đặc trưng q trình So sánh đặc trưng q trình mơ với đặc trưng mẫu ảnh ta có, thấy chúng phù hợp với nhau, ta kết luận mẫu ảnh ta xét Các đặc trưng nhắc đến trên, luận văn khoảng cách: khoảng cách biến cố, khoảng cách từ biến cố tới biến cố gần nhất, khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất, số trung bình khoảng cách nhỏ t biến cố cố định Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn “Phƣơng pháp khoảng cách phân tích thống kê mẫu điểm khơng gian”, gồm ba chương: Chương 1: Q trình điểm khơng gian: Các khái niệm kết I Chương giới thiệu số khái niệm mẫu điểm khơng gian, đặc biệt tính ngẫu nhiên khơng gian hoàn toàn số đặc trưng cấp 1, cấp q trình điểm khơng gian Chương 2: Các phương pháp khoảng cách Chương luận văn giới thiệu đến kết lý thuyết trình điểm không gian Cụ thể hàm phân phối khoảng cách trình điểm Poisson Đó hàm phân phối khoảng cách biến cố, khoảng cách lân cận gần nhất, khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất, ước lượng tính chất cấp Chương 3: Phân tích mẫu ảnh máy tính Trong chương này, luận văn xây dựng chương trình để xử lý mẫu ảnh cho Mỗi mẫu ảnh xử lý dựa bốn tiêu chuẩn liên quan tới bốn khoảng cách biến cố Dựa kết nhận sử dụng phần mềm xây dựng chương này, chúng tơi phân tích đưa đến kết luận tính ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn ba mẫu ảnh điển hình: mẫu ngẫu nhiên, mẫu kết tập, mẫu có quy tắc Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh II MỤC LỤC Lời mở đầu I Lời cảm ơn III Chƣơng 1: Q trình điểm khơng gian: Các khái niệm …………… 1.1 Mẫu điểm không gian……………………………………………………………… 1.2 Tính ngẫu nhiêu khơng gian hồn tồn (tính CSR)………………………………… 1.3 Tiêu chuẩn Monte Carlo…………………………………………………………… 1.4 Q trình điểm khơng gian………………………………………………………… 1.4.1 Q trình đơn biến………………………………………………………………… 1.4.2 Quá trình Poisson nhất……………………………………………………… Chƣơng 2: Các phƣơng pháp khoảng cách………………………………………… 10 2.1 Khoảng cách biến cố……………………………………………… 10 2.2 Khoảng cách lân cận gần nhất……………………………………………… 13 2.3 Khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất……………………………………… 14 2.4 Ước lượng tính chất cấp hai: ước lượng hàm K(t)………………………………… 15 Chƣơng 3: Phân tích mẫu ảnh máy tính……………………………………… 19 3.1 Lập trình xử lý hàm H(t)…………………………………………………… 19 3.2 Lập trình xử lý hàm G(t)…………………………………………………… 30 3.3 Lập trình xử lý hàm F(t)…………………………………………………………… 39 3.4 Lập trình xử lý hàm K(t)…………………………………………………… 48 3.5 Phân tích xử lý ba mẫu ảnh cụ thể………………………………………………… 54 Kết luận ……………………………………………………………………………… 62 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………… 63 IV CHƢƠNG1: Q TRÌNH ĐIỂM KHƠNG GIAN: CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Mẫu điểm không gian Trong nghiên cứu thống kê thường gặp tình mà liệu cho dạng tập điểm, phân bố ngẫu nhiên miền không gian, chẳng hạn ảnh chụp từ cao cho ta vị trí khu rừng, vị trí tổ chim, vị trí nhân tế bào phần mô nhỏ, … vv Chúng ta gọi tập mẫu điểm không gian coi vị trí phần tử biến cố để phân biệt chúng với điểm tùy ý khác miền nói đến Sau ta xem xét số ví dụ cụ thể mẫu điểm không gian 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 S… 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 Hình 1.1: Vị trí 65 thơng đen Nhật Bản Hình 1.1, Numata đưa (xem [12]),thể vị trí 65 thơng đen Nhật Bản hình vng với cạnh 5,7m 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 S… 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 Hình 1.2: Vị trí 62 gỗ đỏ Hình 1.2, Strauss đưa ra(xem [14]), thể vị trí 62 gỗ đỏ hình vng với cạnh 23m Nhận thấy hai mơ hình có khác biệt rõ rệt Hình 1.1 thể cấu trúc khơng rõ ràng xem mơ hình ngẫu nhiên hồn tồn Trong hình 1.2, việc mọc thành cụm cách rõ rệt gỗ đỏ Chúng ta miêu tả mẫu điểm giống hình 1.2 mẫu kết tập 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 S 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Hình 1.3: Vị trí nhân 42 tế bào sinh học 1.2 Hình 1.3, Ripley đưa (xem [14]), lại mẫu điểm khác, thể nhân 42 tế bào sinh học Sự phân bố nhân tế bào có quy tắc Qua ví dụ ta hình thành phân loại mẫu điểm khơng gian sau: mẫu có quy tắc, mẫu ngẫu nhiên, mẫu kết tập Ta giả sử miền xét đến miền phẳng khơng gian hai chiều Nhưng ngun tắc ta mở rộng cho khơng gian khác 1.2 Tính ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn (tính CSR) Trước hết ta nêu định nghĩa tính ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn (Complete Spatial Randomness: CSR).Đó tính độc lập tứ phía Nghĩa số biến cố mẫu điểm rơi vào k tập Borel rời lập nên k biến ngẫu nhiên độc lập (xem [15]) Giả thiết tính ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn khẳng định rằng: i) Số biến cố miền phẳng A với diện tích A , tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình λ A ii ) Cho n biến cố Xi miền A Xi xem mẫu ngẫu nhiên độc lập cỡ n có phân phối A Trong i) số λ cường độ số trung bình biến cố đơn vị diện tích Theo i), tính chất CSR thỏa mãn cường độ biến cố không thay đổi mức cho phép Theo ii), tính CSR thỏa mãn khơng có ảnh hưởng lẫn biến cố Nghĩa tính độc lập ii) bị vi phạm tồn biến cố X khuyến khích hạn chế tồn biến cố khác lân cận X Hình 1.4: 100 biến cố hình vng đơn vị Hình 1.4 cho ta mẫu điểm ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn 100 biến cố đơn vị diện tích Những hình ảnh ấn tượng kết tập khơng có Cũng cần lưu ý tới giống bề với hình 1.1 Ta quan tâm đến tính CSR cho ta ý tưởng chuẩn hóa, điều tưởng chừng khơng thể đạt thực tế, trở thành tiện lợi cho xấp xỉ Hầu hết phân tích bắt đầu với việc kiểm tra tính CSR, có ưu điểm sau: - Một mẫu thỏa mãn tính CSR khơng bác bỏ ưu điểm phương pháp phân tích thống kê thức - Các tiêu chuẩn dùng công cụ để khám phá tập số liệu để bác bỏ tính CSR - Tính CSR tác động phân chia giả thiết để phân biệt mẫu điểm có quy tắc mẫu điểm kết tập 1.3 Tiêu chuẩn Monte Carlo Ngay mơ hình ngẫu nhiên đơn giản mẫu ảnh khơng gian dẫn đến phân phối lý thuyết khó, để kiểm định mơ hình số liệu người ta sử dụng rộng rãi tiêu chuẩn Monte Carlo (xem [6]) Tiêu chuẩn dùng để đánh giá tính CSR mẫu điểm khơng gian Nội dung tiêu chuẩn sau: Ta xét thống kê U + Giả sử u1 giá trị quan sát U từ mẫu điểm cho + Giả sử ui ( i = 2, …, s ) giá trị tương ứng U sinh mẫu ngẫu nhiên độc lập,thỏa mãn giả thiết H (giả thiết H luận văn tính CSR) + Giả sử u( j ) giá trị lớn thứ j số ui , i = 1,2,…, s Khi với giả thiết H ta có: P(u1  u ( j ) )  , j = 1,2,…, s s Nếu u1 xếp vào vị trí lớn thứ k cao ta bác bỏ giả thiết H Thực ta nhận tiêu chuẩn phía với mức ý nghĩa k s Ta giả thiết giá trị ui khác nhau, hạng (hay vị trí) u1 dãy u i là rõ ràng Hope (xem [9])đã cho số ví dụ để tổn thất lực lượng nhận từ tiêu chuẩn Monte Carlo nhỏ, giá trị s khơng thiết phải lớn Với tiêu chuẩn phía mức ý nghĩa thơng thường 5% s = 100 đủ Tổn thất lực lượng liên quan đến nghiên cứu Mairiott “ vùng giới hạn mờ “(xem [10])mà xuất giá trị u1 có ý nghĩa phương pháp kiểm tra cổ điển khơng có ý nghĩa phương pháp kiểm tra Monte Carlo ngược lại Giả sử hàm phân phối U với giả thiết H F(u) Đối với tiêu chuẩn phía 5% với s = 20k ta có  s  1 1  F (u1 r F (u1 )s 1r (1.1) r   P(bác bỏ H/ u1)    Ta có F (u1 )  P(U  u1 ) , ta biết u1 có thứ hạng lớn thứ k cao giả thiết H bị bác bỏ Như với s – giá trị ui (i = 2, … , s) có r giá trị lớn u1 có s – r – giá trị nhỏ u1 Theo công thức xác suất Bernoulli ta nhận công thức (1.1) Với phương pháp kiểm tra cổ điển s → ∞ , P(bác bỏ H/ u1) tiến tới tương ứng với F(u1) lớn nhỏ 0,95 1.4 Q trình điểm khơng gian Một q trình điểm khơng gian cấu ngẫu nhiên mà sinh tập hợp đếm biến cố xi mặt phẳng Chúng ta làm việc với q trình dừng đẳng hướng Tính dừng q trình có nghĩa tất tính chất trình bất biến phép tịnh tiến, cịn tính đẳng hướng nghĩa tính chất trình bất biến phép quay Các phương pháp thống kê mẫu điểm không gian, thường liên quan đến việc so sánh mơ tả tóm tắt thực nghiệm liệu mơ tả tóm tắt lý thuyết tương ứng mơ hình q trình điểm Điều dẫn tới việc xây dựng tiêu chuẩn tính ngẫu nhiên khơng gian hồn tồn liên quan đến việc so sánh dạng phân phối lý thuyết khoảng x,y:array[1 maxn] of real; i,j,n,z,k:integer; t,m,q,p,l:real; fi:text; Procedure InitGraphics; Var Gd,Gm:integer; Begin Gd:=Detect; InitGraph(Gd, Gm, ' '); If GraphResultGrOK Then Halt(1); End; (*====================================*) Procedure Vehetruc(XO,YO,Dx1,Dx2,Dy1,Dy2:Integer); Begin Line(XO-Dx1, YO, XO+Dx2, YO); {Truc hoanh} Line(XO+Dx2-5, YO-5, XO+Dx2, YO); Line(XO+Dx2-5, YO+5, XO+Dx2, YO); Line(XO, YO-Dy2, XO, YO+Dy1); {Truc tung} Line(XO, YO-Dy2, XO-5, YO-Dy2+5); Line(XO, YO-Dy2, XO+5, YO-Dy2+5); Outtextxy(XO-15,YO-Dy2,'y'); Outtextxy(XO+Dx2-15,YO+5,'x'); Outtextxy(XO-10,YO+5,'O'); End; (*===================================================*) Function min(a,b:real):real; Begin If(a>b) or (a=b) then min:= b 49 else min:= a; End; (*===================================================*) Function arccos(a:real):real; Var b:real; Begin If abs(a)>1 then writeln('ham arcos khong xac dinh') else if a=0 then arccos:= (pi/2) else begin b:=sqrt((1/sqr(a))-1); arccos:= arctan(b); end; End; (*===================================================*) Procedure Nhap1; { Nhập liệu ảnh mẫu ban đầu} Var i : Integer; Begin Assign(fi,tfi); Reset(fi); Readln(fi,n); For i:= to n readln (fi,x[i],y[i]); Close(fi); End; (*===================================================*) Procedure SinhNN; { Sinh cac diem ngau nhien} Var 50 i : Integer; Begin Randomize; For i:=1 to n Begin x[i]:=random(1001)/1000; y[i]:=random(1001)/1000; end; end; (*===================================================*) Function Kt(t:real): Real; Var w,u,s,d1,d2,u1,u2 : real; i,k: integer; Begin w:=0; For i:=1 to n Begin For k:=1 to n Begin u:= sqrt(sqr(x[i]-x[k])+sqr(y[i]-y[k])); if (u=0) or (u>t) then s:=0 else begin d1:= 1-x[i]; d1:= min(x[i],d1); d2:= 1-y[i]; d2:= min(y[i],d2); if u