Tư liệu dạy bài Thương vợ 2

phụ thuộc vào số tự nhiên như sau: phụ thuộc vào số tự nhiên như sau: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.?. Kiểm tra bài cũ.[r]

Daklak

1./ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 1./ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC: TOÁN HỌC:

Với n = , , , , P(n) , Q(n) hay sai? Với n = , , , , P(n) , Q(n) hay sai?

( ) :"3n 100"

P n  n ( ) :"2n "

Q n  n

Xét hai mệnh đề chứa biến Xét hai mệnh đề chứa biến

và

và với nvới n N* N* Với n

Với n N* P(n) , Q(n) hay sai? N* P(n) , Q(n) hay sai?

Phương pháp chứng minh mệnh đề Phương pháp chứng minh mệnh đề

phụ thuộc vào số tự nhiên sau: phụ thuộc vào số tự nhiên sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự

nhiên n = k ≥ 1(gọi giả thiết quy

nạp) ,chứng minh với n = k +

Phương pháp phương pháp quy nạp

Tính: + =

1 + + =

1 + + + = ………

 3 2 1 2 2 2 3 2 4  1 5 3 1 1 7 5 3

1  



 



 

7

1

1

Kết HĐ1:

1 5 (2 1) n

Cho A

Cho Ann = 13 = 13nn – –

Khi A

Khi A11 , A , A22 , A , A33 , A , A44 có chia hết cho có chia hết cho khơng?

khơng?

Dự đốn A

Dự đốn Ann có chia hết cho với n có chia hết cho với n 

 N* không? N* không?

A

A11 = 13 = 1311 – – chia hết cho 6chia hết cho

A

A22 = 13 = 1322– – chia hết cho 6chia hết cho

A

A33 = 13 = 1333 – – chia hết cho 6chia hết cho

A

A44 = 13 = 1344 – – chia hết cho 6chia hết cho

……… ………

Dự đoán: A

Dự đốn: Ann = 13 = 13nn – có chia hết cho hay – có chia hết cho hay

không? không?

(13n 1) 6

n

a

a22 – b – b22 = =

a

a33 – b – b33 = =

a

a44 – b – b44 = =

………

………..

Dự đoán: a

Dự đoán: ann – b – bnn = =

với n với n N* n N* n ≥ 2≥ 2

a

a22 – b – b22 = (a – b)(a + b) = (a – b)(a + b)

a

a33 – b – b33 = (a – b)(a = (a – b)(a22 + ab + b + ab + b22))

a

a44 – b – b44 = (a = (a22 – b – b22)(a)(a22 + b + b22))

= (a – b)(a + b)(a= (a – b)(a + b)(a22 + b + b22))

= (a – b)(a= (a – b)(a33 + a + a22b + abb + ab2 + b+ b33))

Dự đoán: a

Dự đoán: ann – b – bnn = =

1 2

( )( )

n n n n n n

a b a b a  a b ab  b

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: Chứng minh với số Chứng minh với số nguyên dương n

nguyên dương n ≥ ≥ thì:2 thì:

1 2

( )( )

n n n n n n

a b a b a  a b a b  b

      

Ví dụ 2: Chứng minh với

số nguyên dương n thì:

13n 1

n

A   chia hết cho

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Chứng minh với số Chứng minh với số nguyên dương n thì:

nguyên dương n thì:

2 1 5    (2n  1) n

Nhóm 2

Nhóm 3 Nhóm1

Bước 1:

Bước 1: Khi n = 1, vế trái 1,vế phải Khi n = 1, vế trái 1,vế phải Vậy hệ thức (1)

Vậy hệ thức (1) Bước 2:

Bước 2: Đặt vế trái S Đặt vế trái Snn

Ta chứng minh (1) với n = k +1 , tức là:

1 5 (2 1)

n

S      n 

Giả sử đẳng thức với

Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 1, tức là:

1 5 (2 1)

k

S      k  k

2 1 5 (2 1) [2(k+1)-1] ( 1)

k

Thật ,ta có: Thật ,ta có:

Vậy đẳng thức (1) với n

Vậy đẳng thức (1) với n N* N*

1 [2(k+1)-1]

k k

S  S 

2 2 1

k k

  

2

Bước 1: Khi n = Bước 1: Khi n =

Đặt

Đặt 13n 1 n

A  

Bước 2: Giả sử với

Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :

1 12 6

A  

Vậy hệ thức (2) Vậy hệ thức (2)

(13k 1) 6

k

A   

Ta chứng minh (2) với n = k +1 , tức là:

1

1 (13 1) 6

k k

A 

   

Thật ,ta có: Thật ,ta có:

Vậy đẳng thức (2) Vậy đẳng thức (2)

1 6

k

A  

1

(13k 13 ) (13k k 1)

   

2.13k Ak

  2.13 6 6 k k A     

Vì: nênnên

1 13 1

k k

Khi n = , vế trái

Khi n = , vế trái a2  b2

2

(a b a b a b )(   )

1 2

( )( )

k k k k k k

a b a b a  a b ab  b 

      

vế phải vế phải

Giả sử đẳng thức (3) với

Giả sử đẳng thức (3) với n = k ≥ 1.Tức là: Tức là: Vậy đẳng thức (3) n =

Vậy đẳng thức (3) n =

Ta phải chứng minh (3) với n = k + 1, Ta phải chứng minh (3) với n = k + 1,

tức là: tức là:

1 ( )( 1 )

k k k k k k

a  b  a b a a b ab  b

      

Thật ,ta có: Thật ,ta có:

1

k k

a  b 



1

k k k k

a  a b a b b 

   

( ) ( )

k k k

a a b b a b

   

1 2

(a b a b a) k ( k a bk abk bk )

 

        

1

(a b a a b)( k k abk bk )

     

1 5 

1 12  

1 10 22   

Củng cố: Quan sát

1 7    (3n  2)  (3 1)

2

n n 

Kiểm tra cũ

Kiểm tra cũ

Hãy nêu phương pháp chứng

Hãy nêu phương pháp chứng

minh quy nạp toán học ?

Phương pháp chứng minh quy nạp Phương pháp chứng minh quy nạp

toán học thực sau: toán học thực sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự

nhiên n = k ≥ 1(gọi giả thiết quy

nạp) ,chứng minh với n = k +

Phương pháp phương pháp quy nạp

Chứng minh với n

Chứng minh với nN* ta có đẳng thức:N* ta có đẳng thức:

2 2 ( 1)(2 1)

1 2 3

6

n n n

n  

    

Bước 1:

Bước 1: Khi n = 1, vế trái Khi n = 1, vế trái 12 ,vế phải ,vế phải

bằng Vậy hệ thức (1)

bằng Vậy hệ thức (1)

Bước 2:

Bước 2: Đặt vế trái S Đặt vế trái Snn

2 2

1 2 3

n

S      n

2 2 ( 1)(2 1)

1

6 k

k k k

S     k   

Giả sử đẳng thức với

Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 1, tức là:

2 2 ( 1)( 2)(2 3)

1 3 ( 1)

6

k k k

k   

    

Ta chứng minh (1) với n = k +1 , tức là:

Thật ,ta có: Thật ,ta có:

Vậy đẳng thức (1) với n

Vậy đẳng thức (1) với n N* N*

2

1 (k+1)

k k

S  S 

( 1)(2 1)

(k+1) 6

k k  k 

 

( 1)( 2)(2 3)

6

k  k  k 

Chứng minh với n

Chứng minh với n  N* , ta c N* , ta có :ó :

4n 15n  1 chia hết cho 3chia hết cho

Bước 1: Khi n = Bước 1: Khi n =

Đặt

Đặt An 4n 15n  1

Bước 2: Giả sử với

Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :

1 18 3

A  

Vậy hệ thức (2) Vậy hệ thức (2)

(4k 15 1) 3

k

A   k  

Ta chứng minh (2) với n = k +1 , tức là:

1

1 (4 15( 1) 1) 3 k

k

A  k

     

Thật ,ta có: Thật ,ta có:

Vậy đẳng thức (2) Vậy đẳng thức (2)

1 3

k

A  

4(4k 15k 1) 9(5k 2)     

4.Ak 9(5k 2)

  

9(5 2) 3 3 k k A      

Vì: nênnên

1

1 4 15( 1) 1

k k

A  k

Chứng minh với số tự nhiên

Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có bất đẳng thức sau:

3n  3n 1

Bước 1: Khi n = 2, vế trái 9,vế phải

Bước 1: Khi n = 2, vế trái 9,vế phải

bằng Vậy bất đẳng thức (3)

bằng Vậy bất đẳng thức (3)

Ta chứng minh (1) với n = k +1 , tức là:

Giả sử bất đẳng thức với

Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ 1, tức là: Bước 2:

Bước 2:

3k  3k 1

1

3k  3(k 1) 1

  

Thật ,ta có: Thật ,ta có:

Vậy đẳng thức (3) với n

Vậy đẳng thức (3) với n N* N*

1

3k  3.3k 3(3k 1) 3(k 1) 1

     

đúng với k

Cho tổng: Cho tổng:

1 1 1

1.2 2.3 ( 1)

n

S

n n

   



 với n với n  N* N*

a Tính S1, S2 , S3

b Dự đốn cơng thức tính tổng Sn và chứng minh quy nạp

1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 1

n

n S

n n n n

      

  



1 1

1.2  1

1 1

2.3 2 

1 1

3.4  3

1 1

( 1)

n n  n  n 

 Phân tích:

Dự đoán:

Củng cố tập nhà:

Chứng minh với n  N* ta có:

2 3 3 ( 1)

1

4

n n

n 

   

2

2 2 (4 1)

1 (2 1)

3

n n

n 

    

2 + + + …+ 2n = n(n +1) a