Khi C di chuyển trên đường tròn tâm o, D luôn cách B một khoản cố định một khoảng không đổi. Vậy D nằm trên đường tròn tâm B bán kính AB[r]
(1)UBND HUYỆN NAM ĐÔNG PHÒNG GIÁO DỤC
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI SỐ BÁO DANH BẬC THCS NĂM HỌC 2006 -2007
MƠN THI: Tốn LỚP: 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1:(4 điểm). Giải hệ phương trình:
x2 - 4y = 1 y2 - 6x= -14
Câu 2:(4 điểm). Toạ độ đỉnh tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8), C(-6;-2)
Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC. Câu 3:(3 điểm). Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1) + m - 1
a) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn 3x1-4x2 = 11
b) Chứng minh phương trình khơng có hai nghiệm số dương.
Câu 4:(2 điểm). Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 3x + 2y = 3
Câu 5:(7 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẻ sợi dây AC bất kì.
Trên tia AC lấy điểm D cho: AD = 2AC.
a) Xác định vị trí điểm C để BD tiếp tuyến đường trịn tâm O.
b) Tìm tập hợp tất điểm D C di chuyển đường tròn tâm O.
(2)UBND HUYỆN NAM ĐÔNG PHÒNG GIÁO DỤC
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN - LỚP: 9 KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS
NĂM HỌC: 2006 - 2007
Câu Nội dung – Yêu cầu Điểm
1 (4đ)
x2 - 4y = (1)
y2 - 6x= -14 (2)
Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: x2 + y2 - 6x - 4y = - 13
1,0 <=> x2 - 6x + + y2-4y + = 0
<=> (x - 3)2 + (y - 2)2 = 0 2,0
x - = x = y - = y =
Vậy hệ PT có nghiệm nhất: x = y =
1,0
2 (4đ)
-PT đường thẳng qua hai điểm là: y = ax + b 0,25 -Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên:
= 2a + b => a =2,5 ; b =
-2 = -2a + b Vậy YAB = 2,5x -3
0,75 -Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên:
= 2a + b => a =0,5 ; b =
-2 = -6a + b Vậy YAC = 0,5x +
0,75 -Đường trung tuyến BM: Gọi M trung điểm AC toạ độ
M(-2;0) PT trung tuyến BM là: x = -2
-Gọi N trung điểm AB toạ độ N (0;-3)
0,75 -Vậy PT đường trung tuyến CN là: y = -1/6x-3 0,5 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC toạ độ giao điểm CN
và BM, tức nghiệm hệ y=−1
6 x −3 Giải hệ ta có: x = -2
x = y = -3/8
Vậy toạ độ trọng tâm G(-2; -8/3)
(3)3 (3đ)
Ta có Δ = (2m - 1)2 - 4.2(m-1) = 4m2 - 12m + = (2m - 3)20 với
mọi giá trị m Vậy PT cho luôn có nghiệm 1,0 Theo định lí Viét ta có: x1- x2 =1−2m
2 (1) x1x2 = m−1
2 (2) Muốn có 3x1- 4x2= 11 (3)
Giải hệ PT (1) (3) ta x1 =13−4m
7 x2 =
−19−6m 14
1,0 Thế vào PT (2) ta 8m2 - 17m - 66 = 0
Giải PT ta được: m1= -2; m2 = 33/8
Để hai nghiệm PT số dương phải có: x1+ x2 > 1−2m
2 >0 m < 1/2 <=> <=>
x1x2 > m−1
2 >0 m >
Hệ bất PT vô nghiệm Vậy khơng có giá trị m thoả mãn điều kiện đề
1,0
4 (2đ)
3x + 2y = <=> y = 3−23x=2−2x+x −1
2 1,0
Đặt x −2
=t=t¿ nguyên) =>x=2t+1 y=2-2(2t+1)+t
Y = -3t 0,75
Vậy ngiệm nguyên Pt là: x= 2t +
Y= - 3t t∈Z 0,25
5 (7đ) a) b) D A D’ 0,5
Δ ABD có BCAD (Góc ACB = 1v góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn 0,5
Mặt khác C trung điểm AD (vì D nằm tia AC AD = 2AC)
Nên BC trung tuyến củaΔ ABD Vậy Δ ABD tam giác cân Nên ∠A=∠D
1,0 Muốn BD tiếp tuyến đường trịn tâm O thì∠ABD = 90o =>
∠A=45o Góc A góc nội tiếp chắn cung BC, số đo của cung BC= 90o.
Vậy điểm C trung điểm cung AB
(4)Thuận: Theo CM ΔABD tam giác cân nên BD = AB, mà AB không đổi Khi C di chuyển đường trịn tâm o, D ln cách B khoản cố định khoảng không đổi Vậy D nằm đường trịn tâm B bán kính AB
2,0
Đảo: Lấy điểm D’ nằm đường trịn tâm B bán kính AB Nối D’ với A, B ΔABD’ tam giác cân AB=AD’(bán kính đường trịn tâm B bán kính AB), AD Cắt đường trịn tâm O C’, ta có BCAD’ nên C’ trung điểm đoạn thẳng AD’ hay AD’ = 2AC’
1,75