Hãy tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) với các trục tọa độ. Trong một phòng có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có số ghế như nhau. Cho nửa đường tròn đường kính A[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHỊNG
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THƠNG THCS Mơn thi : Toán - Năm học 1999 - 2000
Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao đề) A Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn câu sau :
Câu :
a) Hãy viết định nghĩa bậc hai số học số a ≥ Tính: b) Hãy viết định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng
Câu :
a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc hai ẩn số
b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng”
B Bài toán : (8 điểm) Bắt buộc cho học sinh
Bài : (2 điểm) a) Cho :
Tính M + N M x N
b) Tìm tập xác định hàm số :
c) Cho đường thẳng (d) có phưng trình Hãy tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với trục tọa độ
Bài : (2 điểm)
Trong phịng có 288 ghế xếp thành dãy, dãy có số ghế Nếu ta bớt dãy dãy cịn lại thêm ghế vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi ghế) Hỏi phịng có dãy ghế dãy có ghế ?
Bài : (4 điểm)
Cho nửa đường trịn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F
a) Chứng minh ΔABE vuông cân b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF
c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
d) Cho điểm C di động nửa đường tròn (C khác A B) D di động cung CB (D khác C B) Chứng minh:
(2)KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003
Mơn Tốn - Dành cho lớp chun tự nhiên
Thời gian làm 150 phút Bài I (3,0 điểm)
Cho biểu thức :
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên
Bài II (3,0 điểm)
1) Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình :
x2 - (2m - 3)x + - m =
Tìm giá trị m để x12 + x22 + 3x1.x2 ( x1 + x2)đạt giá trị lớn
2) Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = a2003 b2003
Chứng minh phương trình : x2 + 2x + ab = có hai nghiệm hữu tỉ
Bài III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o Tính tỉ số BC/AB
2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA, OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn C Tính góc ACD
Bài IV (1,0 điểm)
(3)KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ (THCS)
TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2002 - 2003
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút Bài : (4 điểm)
Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + =
a) Định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| =
Bài : (5 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình sau :
Bài : (3 điểm)
a) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh : b) Cho x ≥ , y ≥ Chứng minh :
Bài : (3 điểm)
Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn
Bài : (2 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng lưu động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ
Bài : (3 điểm)
(4)KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THÁI BÌNH
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2001-2002 A Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề :
Đề thứ :
a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Cho ví dụ b) Giải phương trình : x2 - 2x - =
Đề thứ hai :
Nêu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận cho trường hợp xảy
B Bài toán bắt buộc (8 điểm)
Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tính giá trị K c) Tìm giá trị a cho K <
Bài : (2 điểm)
Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình cho m =
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm
Bài : (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By E F
a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b) AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ?
c) Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH
(5)ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH
* Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài (2 điểm)
Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b) Rút gọn biểu thức K
c) Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị ngun ?
Bài 2 (2 điểm)
Cho hàm số : y = x + m (D)
Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2
Bài 3 (3 điểm)
a) Giải tốn cách lập phương trình :
Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật
b) Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F
a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp
b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình ? Tại ?
c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB,
ADC Chứng minh r2 = r
(6)ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ
* Môn : Tốn * Khóa thi : 2001 - 2002 * Thời gian : 120 phút A Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn hai đề sau :
Đề :
Nêu điều kiện để có nghĩa
áp dụng : Tìm giá trị x để bậc hai sau có nghĩa :
Đề :
Chứng minh : Đường kính vng góc với dây cung chia dây cung hai phần
B Toán : (8 điểm)
Bài : (3 điểm) a) Tính :
b) Rút gọn biểu thức :
c) Xác định hệ số a b hàm số y = ax + b, biết đồ thị qua hai điểm A (1 ; 3) B (2 ; 1)
Bài : (1,5 điểm)
Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng
kích thước cm diện tích tăng 48 cm2
Bài : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O Kẻ hai đường kính AA’ BB’ đường trịn
a) Chứng minh ABA’B’ hình chữ nhật
(7)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN TP HỒ CHÍ MINH
* Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút Bài : (3 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x +
b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12
Bài : (4 điểm)
a) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz
b) Rút gọn phân thức :
Bài : (4 điểm)
Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2 Chứng minh A >
Bài : (3 điểm)
Tìm số dư phép chia biểu thức :
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12
Bài : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
a) Chứng minh AE = AB
(8)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU
TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUN (BẮC NINH)
* Mơn : Tốn * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài : (2 điểm)
Xét biểu thức :
1) Rút gọn y Tìm x để y =
2) Giả sử x > Chứng minh : y - |y| = 3) Tìm giá trị nhỏ y ?
Bài : (2 điểm)
Giải hệ phương trình :
Bài : (2 điểm)
Cho hình vng có cạnh 1, tìm số lớn điểm đặt vào hình vng (kể cạnh) cho khơng có điểm số điểm có khoảng cách bé 1/2 đơn vị
Bài : (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm điểm M cố định đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vng góc với nhau, đường cắt đường tròn nhỏ A khác M, đường cắt đường tròn lớn B C Khi cho hai đường thẳng quay quanh M vuông góc với nhau, chứng minh :
1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi
2) Trọng tâm tam giác ABC điểm cố định
Bài : (2 điểm)
1) Chứng minh tích số ngun dương liên tiếp khơng thể số phương
(9)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2002 - 2003
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút Bài : (3 điểm)
Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x +
Bài : (3 điểm)
Chứng minh đẳng thức :
với a, b trái dấu
Bài : (3 điểm) Rút gọn :
Bài : (3 điểm)
Trong hình chữ nhật có chu vi p, hình chữ nhật có diện tích lớn ? Tính diện tích
Bài : (4 điểm)
Cho đường trịn (O ; R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN B C
Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB hình thang cân b) MA MB = R2
c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN P Q Chứng minh : BP.CQ = BC2/4
Bài : (4 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) B đường tròn (O) Gọi N điểm di động (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O))
(10)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH
* Mơn thi : Tốn * Khố thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài : (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
1) Rút gọn B
2) Tìm giá trị x để B > 3) Tìm giá trị x để B = -
Bài : (2,5 điểm)
Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + = (1)
1) Giải phương trình với m =
2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn :
S = x12 + x22 = 13
Bài : (2 điểm)
Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng họp khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy
Bài : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Đường kính AC đường trịn (O) cắt đường trịn (O’) điểm thứ hai E Đường kính AD đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F
1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng tứ giác OO’EF nội tiếp
(11)ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY
* Mơn : Tốn (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm)
Cho biểu thức :
với x ≥ ; x ≠ 1) Rút gọn P
2) Tìm x cho P <
Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = Tìm m để phương trình cho
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 2003
Bài : (2 điểm)
Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước) ca nô dời bến A để xuôi dịng sơng Ca nơ xi dịng 144 km quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cịn cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước
Bài : (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D
1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ΔMNK cân
3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI
4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường trịn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định
Bài : (1 điểm)
Cho a, b, c số bất kì, khác thỏa mãn : ac + bc + 3ab ≤
(12)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH)
* Mơn : Tốn (chun) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + x - = Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái
dấu Gọi x1 nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức :
Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :
Tìm giá trị nhỏ lớn P ≤ x ≤
Bài : (2 điểm)
a) Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho a2 + b2 + c2 = 2007.
b) Chứng minh không tồn số hữu tỉ x, y, z cho x2 + y2 + z2 + x + 3y
+ 5z + =
Bài : (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường cao AH Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH đường trịn (O) lấy điểm M khác A Trên tiếp tuyến M đường tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD = BE = BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N
a/ Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp
b/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE đường tròn (O) tiếp xúc với
Bài : (2 điểm)
Có n điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng tô màu xanh, đỏ vàng Biết có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ đoạn màu vàng ; khơng có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ ba màu khơng có tam giác tạo đoạn thẳng nối có ba cạnh màu
a/ Chứng minh không tồn ba đoạn thẳng màu xuất phát từ điểm
(13)ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
* Mơn thi : Tốn (chun) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 - 2004 Câu :
1) Chứng minh : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = ln có
nghiệm với a, b 2) Giải hệ phương trình :
Câu :
1) Với số nguyên dương n, đặt an = 22n + - 2n + + ; bn = 22n + + 2n + +
Chứng minh với n, an.bn chia hết cho an + bn khơng chia hết cho
2) Tìm tất ba số nguyên dương đôi khác cho tích chúng tổng chúng
Câu : Cho ΔABC vng A, có đường cao AA1 Hạ A1H vng góc với AB,
A1K vuông govd với AC Đặt A1B = x, A1C = y
1) Gọi r r’ bán kính đường trịn nội tiếp ABC AHK Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn tỉ số
2) Chứng minh tứ giác BHKC nội tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn theo x, y
Câu :
1) Cho đường tròn (C) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi, qua A không qua O cắt (C) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O 2) Cho đường tròn (C) tâm O đường thẳng (D) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (D) Đường trịn đường kính IO cắt (C) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định
Câu :
1) Cho bảng vuông x ô Trên hình vng này, ban đầu người ta ghi số số cách tùy ý (mỗi ô số) Với phép biến đổi bảng, cho phép chọn hàng cột hàng cột chọn, đổi đồng thời số thành số 1, số thành số Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi vậy, ta khơng thể đưa bảng ban đầu bảng gồm tồn số
(14)ĐỀ THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG
* Mơn thi : Tốn (chun) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (1,5 điểm)
Cho hai số dương a b Xét tập hợp T bao gồm số có dạng : T = {ax + by, x > ; y > ; x + y = 1}
Chứng minh số : thuộc tập T
Bài : (2,0 điểm)
Cho ΔABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp ΔABC với cạnh AB, AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) ΔABC đường thẳng DE đồng quy
Bài : (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a số nguyên dương
Bài : (1,0 điểm)
Tìm đa thức f(x) g(x) với hệ số nguyên cho :
Bài : (1,5 điểm)
Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + số nguyên tố
Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm x
1 x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n -
x2n)/(x1 - x2) (n số tự nhiên) Tìm giá trị a b cho đẳng thức : un + 1un + -
unun + = (-1)n với số tự nhiên n,
(15)ĐỀ THI GIẢI LÊ Q ĐƠN
QUẬN TÂN BÌNH - TP HỒ CHÍ MINH
* Mơn thi : Toán lớp * Thời gian : 90 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (3 điểm)
Tìm số nguyên x biết : a) - < 5x/13 < b) 1/(2x - 4) = 2/28
Bài : (3 điểm)
1) Một dưa hấu nặng 2/7 khối lượng 2,5 kg Hỏi dưa hấu nặng kg ?
2) Cho a thuộc Z Hỏi số x = a/3 + a2/3 + a6/3 có phải số ngun khơng ? Vì
sao ?
Bài : (4 điểm)
1) Trong hình vẽ sau :
a Có tam giác có cạnh EF ?
b Có tất góc có đỉnh E, kể
c Nếu biết số đo góc BDC = 60o tia DE có phải tia phân giác góc EDF
khơng ? Vì ?
2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau :
Hãy vẽ điểm : A, B, C, M, N, P, Q, R, S hình phải thỏa mãn tất điều kiện sau :
a) A, P, Q thẳng hàng b) A, M, N thẳng hàng c) R, M, C thẳng hàng d) A, P, R thẳng hàng e) M, C, S thẳng hàng
f) A, B, S thẳng hàng g) B, C, Q thẳng hàng h) B, C, N thẳng hàng
(16)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN YÊN LẠC - TỈNH VĨNH PHÚC
* Mơn thi : Tốn * Thời gian :150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Câu : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8)
a) Rút gọn A
b) Tìm a ẻ Z để A số nguyên
Câu : (2,5 điểm)
a) Cho a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c = Tính a2 + b2 + c2
b) Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn : a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) =
Chứng minh ba số a, b, c phải có số âm, số dương
Câu : (2 điểm)
Giải phương trình : a) |x + 1| = |x(x + 1)|
b) x2 + / x2 + y2 + / y2 =
Câu : (1 điểm)
Tổng số tự nhiên chữ số 2359 Tìm số tự nhiên
Câu : (2,5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F điểm đối xứng qua AB, AC H
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng
b) Chứng minh BEFC hình thang Có thể tìm vị trí H để BEFC trở thành hình thang vng, hình bình hành, hình chữ nhật không ?
(17)ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH QUẬN - TP HỒ CHÍ MINH
* Mơn thi : Tốn lớp * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm)
Tìm x biết :
Bài : (3 điểm) Tính :
a) A = + - - + + - - + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003 b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1) (1/121 - 1)
Bài : (4 điểm)
a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30
b) Tìm hai số nguyên dương cho : tổng, hiệu (số lớn trừ số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) hai số cộng lại 38
Bài : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vng cân B, có trung tuyến BM Gọi D điểm thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vng góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD) Chứng minh :
a) BH = CK
b) Tam giác MHK vuông cân
Bài : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 20o, BC = cm Trên AB dựng điểm D
(18)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH NAM ĐỊNH
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài :
Rút gọn biểu thức :
Bài :
Gọi a b hai nghiệm phương trình bậc hai x2 - x - = Chứng minh
các biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 R = a2001 + b2001 + a2003 +
b2003 số nguyên chia hết cho
Bài :
Cho hệ phương trình (x, y ẩn số) :
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm m cho hệ phương trình (1) có nghiệm
Bài :
Cho hai vịng trịn (C1) (C2) tiếp xúc ngồi với T Hai vòng tròn
nằm vòng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tương ứng M N Tiếp tuyến
chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt (C1) điểm thứ hai A MN cắt
(C1) điểm thứ hai B PN cắt (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ
hai C
Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp
Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng qui
Bài :
(19)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THỊ XÃ HÀ ĐÔNG HÀ TÂY
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm)
a) Tính : b) Tìm x biết :
Bài :(3 điểm) So sánh :
Bài : (2 điểm) Chứng minh số hợp số
Bài :(4 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia số kẹo đựng gói Gói thứ có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 Hồng Lan nhận gói số kẹo hồng gấp hai số kẹo Lan Tính số kẹo nhận bạn
Bài : (6 điểm) Cho điểm O đường thẳng xy, nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 90o.
a) Vẽ tia Om, On tia phân giác góc xOz zOy Tính góc mOn ?
b) Tính số đo góc nhọn hình số đo góc mOy 35o.
(20)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH THÁI BÌNH
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (4 điểm)
Cho dãy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25, …
1) Tính tổng 2003 số hạng dãy 2) Viết số hạng tổng quát thứ n dãy cho
Bài : (4 điểm)
Tìm x thỏa mãn :
1) 2003 - |x - 2003| = x 2) |2x - 3| + |2x + 4| =
Bài : (3 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số sau : y = |1 - |1 - x||
Bài : (3 điểm)
Tìm cặp số nguyên (x ; y), cho :
2x - 5y + 5xy = 14
Bài : (6 điểm)
Cho DABC có tia phân giác góc B C cắt I, đường phân giác góc B C cắt K Gọi E giao điểm đường thẳng BI KC
1) Tính Đ BIC, Đ BEC , Đ BKC góc A = 60o
(21)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài :
Tìm số có chữ số , biết đem số nhân với trừ 1004 kết nhận số có chữ số viết chữ số số ban đầu theo thứ tự ngược lại
Bài :
a) Phân tích đa thức : x4 - 30x2 + 31x - 30 thành nhân tử.
b) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0.
Bài :
Cho m2 + n2 = a2 + b2 = 1.
Chứng minh -1 am + bn
Bài :
Cho tam giác ABC có Đ B = Đ C = 70o ; đường cao AH Các điểm E F theo thứ
tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho Đ ABE = Đ CBE = 30o Gọi M trung
điểm AB
(22)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH BẮC NINH
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (2,5 điểm)
1) Tìm số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x2 + 3y = 3026.
2) Tìm số nguyên x ; y thỏa mãn :
Bài : (3,5 điểm)
1) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt lớn m : x2 + x + m =
2) Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4x.|x| + (a - 7)x + =
3) Tìm x thỏa mãn :
Bài : (3 điểm)
Cho đường trịn tâm O bán kính R dây AB cố định trương cung 120o Lấy C
thay đổi cung lớn AB (C không trùng A B) ; M cung nhỏ AB (M không trùng A B) Hạ ME, MF thứ tự vng góc với AC BC
1) Cho M cố định, chứng minh EF qua điểm cố định C thay đổi 2) Cho M cố định, chứng minh giá trị không thay đổi C thay đổi
3) Khi M thay đổi, hạ MK vng góc với AB Hãy xác định vị trí M cho đạt giá trị nhỏ
Bài : (1 điểm)
Cho tam giác ABC Lấy điểm M tam giác cho MA = ; MB = (cùng đơn vị đo độ dài với cạnh tam giác) ; góc AMC = 15o (tia CM nằm hai
(23)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TINH BẮC GIANG
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Câu : (4 điểm)
a) Tìm phân số tối giản lớn mà chia phân số cho phân số ta kết số tự nhiên
b) Cho a số nguyên có dạng : a = 3b + Hỏi a nhận giá trị giá trị sau ? Tại ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537
Câu : (6 điểm) 1) Cho : A = - + - + + 99 - 100
a) Tính A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ?
c) A có ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
2) Cho A = + + 22 + 23 + 24 + + 22001 + 22002 B = 22003 So sánh A B.
3) Tìm số nguyên tố P để P + ; P + ; P + 12 ; P + 14 số nguyên tố
Câu : (4 điểm)
Có bình, đổ đầy nước vào bình thứ rót hết lượng nước vào bình cịn lại, ta thấy : Nếu bình thứ hai đầy bình thứ ba 1/3 dung tích Nếu bình thứ ba đầy bình thứ hai 1/2 dung tích Tính dung tích bình, biết tổng dung tích ba bình 180 lít
Câu : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm
a) Tính độ dài BM
b) Biết Đ BAM = 800, Đ BAC = 600
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = cm
Câu : (2 điểm)
(24)ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TP HỒ CHÍ MINH
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 I Lí thuyết : (2 điểm)
Chọn hai câu sau :
1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số
áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình sau : a) 3x - y =
b) 2x + 0y =
2) Phát biểu chứng minh định lí liên hệ số đo góc nội tiếp đường tròn với số đo cung bị chắn (chỉ chứng minh trường hợp tâm đường tròn nằm cạnh góc nội tiếp)
II Các toán : (8 điểm)
Bắt buộc
Bài : (1 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình : a) 4x4 - 5x2 - =
b)
Bài : (1,5 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) đường thẳng (D) : y = 2x + hệ
trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính
Bài : (1 điểm)
Tuổi nghề 25 công nhân cho sau : 10
2 4 7 14
Hãy xếp số liệu dạng bảng phân phối thực nghiệm gồm cột : giá trị biến lượng, tần số, tần suất
Bài : (1 điểm)
Thu gọn biểu thức sau :
(25)Cho đường tròn (O) có bán kính R điểm S ngồi đường tròn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S N (đường thẳng a không qua tâm O)
a) Chứng minh SO vuông góc với AB
b) Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt điểm E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh OI.OE = R2.
d) Cho biết SO = 2R MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THỊ XÃ HÀ ĐÔNG, HÀ TÂY
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài : (5 điểm)
Thực phép tính :
Bài : (3 điểm)
a) Cho a/b = c/d , chứng minh : ab/cd = (a + b)2/(c + d)2
b) Tìm số có chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với ; ;
Bài : (5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : A = |x - 1| + |x - 2| ; (x thuộc Q)
b) Tìm giá trị nguyên y để biểu thức B = (42 - y)/(y - 15) có giá trị nguyên nhỏ
Bài : (5 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D
a) Chứng minh : BE = CD AD = AE
b) Gọi I giao điểm BE CD, AI cắt BC M Chứng minh tam giác MAB, MAC tam giác cân
c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường cắt BC K H Chứng minh : KH = KC
Bài : (2 điểm)
Cho DABC có AB > AC Đ A = α Đường thẳng qua A vng góc với phân
giác góc A cắt đường thẳng BC M cho BM = BA + AC Tính số đo Đ B Đ
C ?
(26)* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài :(2 điểm) Cho hệ phương trình :
1) Giải hệ phương trình (1) a =
2) Với giá trị a hệ (1) có nghiệm
Bài :(2 điểm)
Cho biểu thức :
với x > x ≠ 1) Rút gọn biểu thức A
2) Chứng minh < A <
Bài :(2 điểm)
Cho phương trình : (m - 1)x2 + 2mx + m - = (*)
1) Giải phương trình (*) m =
2) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Bài :(3 điểm)
Từ điểm M ngồi đường trịn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) đường thẳng qua M cắt đường tròn C D Goi I trung điểm CD Goi E, F, K giao đường thẳng AB với đường thẳng MO, MD, OI
1) Chứng minh R2 = OE.OM = OI.OK
2) Chứng minh điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn
3) Khi cung CAD nhỏ cung CBD Chứng minh số đo góc DEC lần góc DBC
Bài :(2 điểm)
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
(27)ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ THÀNH PHỐ HÀ NỘI
* Mơn : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 A Lí thuyết (2 điểm)
Thí sinh chọn hai đề sau :
Đề 1. Phát biểu viết dạng tổng quát quy tắc khai phương tích áp dụng tính :
Đề 2. Định nghĩa đường trịn Chứng minh đường kính dây cung lớn đường tròn
B Bài tập bắt buộc (8 điểm)
Bài : (2,5 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = -1
c) Tìm m để với giá trị x > ta có :
Bài : (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình :
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?
Bài : (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
(28)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
* Mơn : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = 3/2.x2
1) Hãy tính : 2) Các điểm :
có thuộc đồ thị hàm số khơng ?
Bài : (2,5 điểm) Giải phương trình : 1) 1/(x - 4) + 1/(x + 4) = 1/3 2) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4)
Bài : (1,0 điểm)
Cho phương trình 2x2 - 5x + =
Tính :
(x1, x2 hai nghiệm phương trình)
Bài : (3,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai
đường trịn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm
thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2)
thứ tự C, D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I 1) Chứng minh IA vuông góc với CD
2) Chứng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
3) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF
(29)ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS TỈNH BẮC GIANG
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 A Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn hai đề sau :
Đề : Nêu quy tắc nhân thức bậc hai áp dụng tính :
Đề : Chứng minh định lí : “Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến”
B Bài tập : (8 điểm) Bắt buộc
Bài : (2 điểm)
a) Thực phép tính :
b) Giải hệ phương trình :
Bài : (2 điểm)
Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai 2/5 Tính vận tốc ơtơ ?
Bài : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E nửa đường trịn đường kính CH cắt AC F Chứng minh :
a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật
b) EF tiếp tuyến chung hai đường trịn đường kính BH CH c) Tứ giác BCFE nội tiếp
Bài : (1 điểm)
(30)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH BẮC GIANG
* Mơn thi : Tốn * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài : (2 điểm)
a) Tính :
b) Giải hệ phương trình :
Bài : (2 điểm) Cho biểu thức :
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài : (2 điểm)
Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ
Bài : (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ => tứ giác AMHK nội tiếp
b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2
Bài : (1 điểm)
Cho hai số a b khác thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) =
]
(31)Bài 1 : (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2) Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A :
Bài : (2,5 điểm)
1) Chứng tỏ phương trình x2 - 4x + = có hai nghiệm phân biệt x 1, x2
Lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 x22
2) Tìm m để phương trình x2 - 2mx + 2m - = có hai nghiệm dấu Khi
hai nghiệm dấu âm hay dấu dương ?
Bài : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Đường tiếp tuyến với (O’) vẽ từ A cắt (O) điểm M ; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O’) N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
1) Chứng minh tứ giác OAO’I hình bình hành ;
2) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O’ nằm đường tròn ; 3) Chứng minh BP = BA
Bài : (2 điểm)
1) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh :
2) Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC (M ≠ B, M ≠ C) ; vẽ MD vng góc với AB ME vng góc với AC (D Є AB ; E Є AC) Xác định vị trí M để diện tích tam giác MDE lớn
* Mơn thi : Tốn (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (1,5 điểm)
Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn : a + b + c = 2003 ba số a, b, c phải có số 2003
Bài 2 : (1,5 điểm)
(32)1) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
2) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, x3, chứng minh :
Bài 3 : (2,5 điểm) 1) Giải phương trình :
2) Giải hệ phương trình :
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O ; R) dây cung A điểm cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, tia BH cắt AC E, tia CH cắt AB F
1) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AH, D trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh đường thẳng ID đường trung trực đoạn thẳng EF
2) Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF theo R 3) Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC cho
Bài 5 : (1 điểm)
(33)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTTH NGUYỄN TRÃI,
HẢI DƯƠNG Bài : (2,5 điểm)
Giải phương trình
Bài : (2,5 điểm)
Cho phương trình : x2 - 5mx - 4m = 0, có hai nghiệm phân biệt x
1 x2
1) Chứng minh :
x1<SUP2< sup> + 5mx2 - 4m >
2) Xác định giá trị m để biểu thức
đạt giá trị nhỏ
Bài : (2,0 điểm)
Tìm giá trị m để hai phương trình : x2 + x + m - = x2 + (m - 2)x + =
có nghiệm chung
Bài : (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đường tròn, từ M kẻ MH vng góc với AB (H Є AB), gọi E F hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt dây AB D 1) Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn
(34)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG Câu : (4 điểm)
a) Thu gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nhỏ
Câu : (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình :
Câu : (2 điểm) Phân tích thành nhân tử : A = x4 - 5x3 + 10x +
áp dụng : Giải phương trình :
Câu : (2 điểm) Cho hai phương trình :
ax2 + bx + c = (1), a ≠ mx2 + nx + p = (2), m ≠
Chứng minh hai phương trình vơ nghiệm phương trình sau ln có nghiệm :
(an - bm)x2 + 2(ap - mc)x + bp - nc =
Câu : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB điểm D, cắt AC điểm E (D E khác điểm A)
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng
b) Chứng minh MAE = DAE MA vng góc với DE
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường trịn tâm O Tứ giác AMOH hình ?
d) Cho ACB = 30o AH = a Tính diện tích tam giác HEC theo a
Câu : (2 điểm) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD cạnh đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD
(35)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN
TRƯỜNG ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI
* Mơn thi : Tốn (vịng 2) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005
* Câu : Giải phương trình :
* Câu : Giải hệ phương trình :
* Câu : Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
trong x, y số thực lớn
* Câu : Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng 1) Tìm tất vị trí điểm M cho :
2) Xét điểm M nằm đường chéo AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số OB/CN có giá trị khơng đổi M di chuyển đường chéo AC
3) Với giả thiết M nằm đường chéo AC, xét đường trịn (S1) (S2) có
đường kính tương ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S1) (S2) tiếp xúc
với (S2) P Q Chứng minh đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1)
* Câu : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số ngun lớn khơng vượt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2, , xn, xác định
bởi công thức :
Hỏi 200 số {x0, x1, x2, , x199} có số khác ? (cho biết :
(36)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU
ĐHQG TP HỒ CHÍ MINH
* Mơn thi : Tốn AB * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005
* Câu :(2 điểm)
a) Giải phương trình :
b) Định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x 1, x2
sao cho x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền
bằng
* Câu : (2 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điền kiện : a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
a) Tính a + b + c biết ab + bc + ca =
b) Chứng minh c ≥ a , c ≥ b c ≥ a + b
* Câu : (2 điểm)
Cùng thời điểm, ô tô XA xuất phát từ thành phố A hướng thành
phố B khác XB xuất phát từ thành phố B hướng thành phố A
Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi gặp lần đầu điểm cách A 20km Cả hai xe sau đến B A tương ứng, quay trở lại chúng gặp lần thứ hai điểm C Biết thời gian xe XB từ C đến B
10 phút thời gian hai lần gặp Hãy tính vận tốc ô tô
* Câu : (3 điểm)
Gọi I, O tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp (C) tam giác nhọn ABC Tia AI cắt đường tròn (C) K (K ≠ A) J điểm đối xứng I qua K Gọi P Q điểm đối xứng I O qua BC
a) Chứng minh tam giác IBJ vng B b) Tính góc BAC Q thuộc (C)
c) Chứng minh Q thuộc (C) P thuộc (C)
* Câu : (1 điểm)
(37)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU
TRẦN PHÚ, HẢI PHỊNG
* Mơn thi : Tốn (chun) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005
Bài : (2,0 điểm) Cho biểu thức :
1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) ; 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <
Bài : (2,0 điểm) 1) Cho phương trình :
a) Giải phương trình m = 2/3
b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn
x1 + 2x2 = 16
2) Giải phương trình :
Bài : (2,0 điểm)
1) Cho x ; y hai số thực thỏa mãn x2 + 4y2 =
Chứng minh
2) Cho phân số :
(38)Bài : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt P Q Tiếp tuyến
chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (O1) A, tiếp xúc với (O2) B
Tiếp tuyến (O1) P cắt (O2) điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt
đường thẳng BD R Hãy chứng minh :
1) Bốn điểm A, B, Q, R thuộc đường tròn ; 2) Tam giác BPR cân ;
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB
(39)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA
TP HỒ CHÍ MINH
*Mơn thi : Tốn (vịng 2) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005
Câu : Cho phương trình x2 + px + = có hai nghiệm phân biệt a
1 ; a2
phương trình x2 + qx + = có hai nghiệm phân biệt b
1 ; b2 Chứng minh : (a1 -
b1)(a2 - b1)(a1 + b2</SUB<)(A1 + b2) = q2 - p2
Câu : Cho số a ; b ; c ; x ; y ; z thỏa mãn x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by ; x + y + z ≠ Chứng minh :
Câu :
a) Tìm x ; y thỏa mãn 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x - 2y + = b) Cho số dương x ; y ; z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = Chứng minh :
Câu : Chứng minh khơng thể có số ngun x ; y thỏa mãn phương trình : x3 - y3 = 1993
Câu : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Đường tròn tâm O1 tiếp xúc với đường tròn (O) M, tiếp xúc với hai cạnh AB, AC L K Gọi E giao điểm thứ hai MK với đường tròn (O)
a) Chứng minh ME tia phân giác góc AMC
b) Tia phân giác Mx góc BMC cắt LK I Chứng minh bốn điểm M, I, K, C thuộc đường tròn
c) Chứng minh CI tia phân giác góc BCA
Câu : Cho tam giác ABC có đường phân giác AD với D thuộc đoạn BC cho BD = a CD = b (a > b) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Tính AE theo a b
(40)Môn Toán lớp 6
(Thời gian : 90 phút)
o Bài : (5,5 điểm) 1) Cho biểu thức
a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2) Tìm x biết :
a) x chia hết cho 12 ; x chia hết cho 25 ; x chia hết cho 30 ; ≤ x ≤ 500 b) (3x - 24).73 = 2.74
c) |x - 5| = 16 + 2.(-3)
3) Bạn Đức đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức sử dụng tất chữ số ? Trong chữ số sử dụng có chữ số ?
o Bài : (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho AM = BN So sánh độ dài đoạn thẳng BM AN
o Bài : (2,5 điểm) Cho XOY = 100oVẽ tia phân giác Oz XOY ; Vẽ tia
Ot nằm XOY cho YOT = 25o
1) Chứng tỏ tia Ot nằm hai tia Oz, Oy 2) Tính số đo ZOT
3) Chứng tỏ Ot tia phân giác ZOY Mơn Tốn lớp 7
(Thời gian : 90 phút)
o Bài : (3 điểm) a) Tính
b) Biết 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính S = 23 + 43 + 63 + + 203
c) Tính giá trị A biết x = 1/2, y số nguyên âm lớn
nhất
(41)o Bài : (1 điểm) Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ đồng cỏ nửa thời gian đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ chạy đoạn đường qua đầm lầy hay vận tốc thỏ chạy đoạn đường qua đồng cỏ lớn lớn lần ?
o Bài : (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh : a) ∆ ABE = ∆ ADC
b) BMC = 120o
o Bài : (3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm
a) Tam giác ABC tam giác ? Chứng minh điều
b) Trên tia HC, lấy HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh : AE = AB
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XẤ HÀ ĐƠNG, HÀ TÂY Mơn Tốn lớp (2003 - 2004)
(42)o Bài :(4 điểm) Cho đa thức : f(x) = 2x5 - 4x3 + x2 - 2x +
g(x) = x5 - 2x4 + x2 - 5x +
h(x) = x4 + 4x3 + 3x2 - 8x +
a) Tính M(x) = f(x) - 2g(x) + h(x) b) Tính giá trị M(x) :
c) Có giá trị x để M(x) = ?
o Bài :(4 điểm)
a) Tìm số a, b, c biết : 3a = 2b ; 5b = 7c 3a + 5c - 7b = 60 b) Tìm x biết : |2x - 3| - x = |2 - x|
o Bài :(4 điểm) Tìm giá trị nguyên m, n để biểu thức : a) có giá trị lớn
b) có giá trị nguyên nhỏ
o Bài : (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC, AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC người ta kẻ đường vng góc vớ iđường phân giác
A đường thẳng cắt đường thẳng AB, AC D E
a) Chứng minh : BD = CE b) Tính AD BD theo b, c
o Bài : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A, A = 100o, D điểm thuộc
miền tam giác ABC cho DBC = 10o, DCB =20o Tính ADB
Mơn Tốn lớp (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
(43)a) Rút gọn A
b) Tìm A để x = 6013 c) Tìm x để A < d) Tìm x để A nguyên
o Bài :(3 điểm)
Cho A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3
a) Rút gọn A
b) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên
o Bài :(4 điểm)
Sau loạt bắn đạn thật chiến sĩ Hùng, Dũng, Cường (mỗi người bắn viên), người báo bia cho biết có ba điểm khác 8, 9, 10 thông báo : a) Hùng đạt điểm 10
b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cường không đạt điểm
Đồng thời cho biết thông báo có thơng báo đúng, cho biết kết điểm bắn người
o Bài : (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Lần lượt dựng AB, AC, bên tam giác ABC tam giác vuông cân ABD D, ACE E
a) Chứng minh điểm E, A, D thẳng hàng
b) Gọi trung điểm BC I, chứng minh tam giác DIE vng c) Tính diện tích tứ giác BDEC
d) Đường thẳng ED cắt đường thẳng CB K Tính tỉ số sau theo b c : img src="Images/22dethi6.gif">
o Bài : (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD, M điểm CD (khác C, D)
Chứng minh MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kí hiệu max {CA + CB ; DA + DB} giá trị lớn giá trị CA + CB ; DA + DB)
(44)Mơn : Tốn (Thời gian : 150 phút)
Câu : (3 điểm) Cho hệ phương trình với tham số a :
a) Giải hệ phương trình a = -2
b) Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình có hai nghiệm
Câu : (2 điểm)
a) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức :
A = -z2 + z(y + 1) + xy
b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB CD có độ dài) nội tiếp đường trịn bán kính Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn bán kính r
Câu : (2 điểm)
Tìm tất số nguyên dương n cho phương trình 499(1997n + 1) = x2 + x có
nghiệm nguyên
Câu :(3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông (AC BC) Đường trịn (O) đường kính CD cắt hai
cạnh AC BC E F (D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng BE với đường tròn (O), hai đường thẳng AC MF cắt K, giao điểm đường thẳng EF BK P
a) Chứng minh bốn điểm B, M, F P thuộc đường tròn
b) Giả sử ba điểm D, M P thẳng hàng Tính số đo góc tam giác ABC
c) Giả sử ba điểm D, M P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vng góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP
(45)Mơn : Tốn (Thời gian : 90 phút)
Bài : (2 điểm)
Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x4 - x2 + 2x +
Bài : (2 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình :
Bài : (2 điểm)
Cho số dương a, b, c thỏa mãn chứng minh
Bài : (2 điểm)
Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm đoạn AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đường tròn (O) (E, F hai tiếp điểm) Gọi I giao điểm AB EF Qua C kẻ cát tuyến cắt đường trịn (O) M N (M nằm C N) Chứng minh :
a) Bốn điểm O, I, M, N nằm đường tròn b) AIM = BIN
Bài : (2 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính BC điểm A thuộc đường trịn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác AHB, AHC Đường thẳng IK cắt AB, AC M N Chứng minh (SAMN : diện tích tam giác AMN, SABC : diện tích tam giác
ABC)
(46)Mơn tốn lớp 7(Thời gian : 120 phút)
Bài : (4 điểm)
Giải phương trình
Bài :(4 điểm)
Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh :
Bài :(4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình : (2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105
Bài :(3 điểm)
Ba bạn A, B, C chơi cỗ gồm quân Trên quân có viết số tự nhiên (các số khác lớn 0) Mỗi người phát quân nhận số kẹo số viết quân Sau quân thu lại, xáo trộn phát lại Sau hai lần chơi, A nhận 20 kẹo, B nhận 10 kẹo, C nhận kẹo Hỏi số ghi quân ? Biết số lớn viết quân lớn
Bài :(5 điểm) Cho tam giác ABC cân A, A = C = 80oTừ B C kẻ
đường thẳng cắt cạnh đối diện tương ứng D E cho CBD = 60o
BCE = 50o Tính
BDE
(47)Mơn tốn lớp (Thời gian : 120 phút
Bài : (4 điểm) Giải phương trình
Bài : (4 điểm) Tìm x để hàm số y = x/(x + 2004)2 có giá trị lớn
Bài : (4 điểm) Cho phương trình
Với giá trị a phương trình có nghiệm khơng nhỏ ?
Bài : (4 điểm)
Từ điểm O thuộc miền hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với đỉnh hình thang đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Chứng minh từ đoạn thẳng nhận được, dựng tứ giác nội tiếp hình thang (mỗi đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cân)
Bài : (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi Ib, Ic theo thứ
tự độ dài đường phân giác góc B góc C Chứng minh b > c Ib < Ic</SưUB>
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
Mơn Tốn lớp (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút)
(48)Giải phương trình :
|xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| =
Bài : (2,5 điểm)
Hai phương trình :
x2 + (a - 1)x + = ; x2 + (b + 1)x + c = có nghiệm chung, đồng thời hai phương
trình : x2 + x + a - = x2 + cx + b + = có nghiệm chung
Tính giá trị biểu thức 2004a/(b + c)
Bài : (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn tâm O1 tâm O2 cắt A, B Đường thẳng O1A cắt
đường tròn tâm O2 D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 C
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 M cắt
đường tròn tâm O2 N
Chứng minh :
1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm đường tròn 2) BC + BD = MN
Bài : (2,0 điểm) Tìm số thực x y thỏa mãn x2 + y2 = x + y số
nguyên
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN
(49)Bài : (6 điểm)
1) Chứng minh :
là số nguyên
2) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho :
với n số nguyên lớn
Bài : (6 điểm)
1) Giải phương trình :
2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 đường thẳng (d) : y = 1/2 x +
a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi A, B giao điểm (P) (d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn
c) Tìm điểm N trục hoành cho NA + NB ngắn
Bài : (8 điểm)
1) Cho đường trịn tâm O dây cung BC khơng qua tâm O Một điểm A chuyển động đường tròn (A khác B, C) Gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đường vng góc hạ từ M xuống đường thẳng AB Chứng tỏ H nằm đường tròn cố định
2) Cho đường tròn (O, R) (O’, R’) với R’ > R, cắt điểm A, B Tia OA cắt đường tròn (O’) C tia O’A cắt đường tròn (O) D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC BE
(50)Đề 1 Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số nghiệm Hãy tìm nghiệm chung hai phương trình : x + 4y = x - 3y = -4
Đề 2 Phát biểu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Chứng minh định lí trường hợp hai cạnh góc cắt đường trịn
B- Bài tập bắt buộc : (8 điểm) Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P, biết c) Tìm giá trị x thỏa mãn :
Bài 2 : (2 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình : Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc ? Bài : (3,5 điểm) Cho đường trịn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN
d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F
Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS
(51)Lí thuyết : (2 điểm)
Chọn hai câu sau :
1/ Phát biểu chứng minh định lí Vi-ét (hệ thức Vi-ét) phần thuận Áp dụng : Cho phương trình 7x2 + 31x - 24 =
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính x1
+ x2 + x1.x2
2/ Viết cơng thức tính độ dài đường trịn, cung trịn (có ghi kí hiệu cơng thức)
Áp dụng : Tính độ dài cung 90o đường trịn đường kính 6dm
Bài tập bắt buộc : (8 điểm)
Bài 1 : (1 điểm) Giải phương trình hệ phương trình :
Bài 2 : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : đường thẳng (D) : y = 3x
một hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính
Bài 3 : (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 7/4 chiều rộng có diện tích 1792m2 Tính chu vi khu vườn
Bài 4 : (1 điểm) Thu gọn biểu thức sau :
Bài 5 : (3,5 điểm) Trên đường tròn (O, R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C ; AE cắt BM D
a) Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b) Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA
c) Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn (O) cắt điểm nằm đường thẳng CD
d) Cho biết Tính diện tích tam giác ABC theo R
(52)Thời gian 120 phút
Lí thuyết (2 điểm) -
Phần tự chọn Thí sinh chọn hai câu sau :
Câu : (2 điểm)
1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số
2) áp dụng : Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc hai ẩn số ? Hãy xác định hệ số phương trình
a) 2x + = ; b) x2 + 2x - = ; c) x - 2x3 = ; d) -2x2 + 5x =
Câu : (2 điểm)
1) Phát biểu định nghĩa góc nội tiếp
2) áp dụng : Trong hình vẽ đây, góc nội tiếp (Học sinh vẽ lại hình làm bài)
Bài tốn (8 điểm) -
Phần bắt buộc Thí sinh phải làm toán sau :
Bài : (2,0 điểm)
Tính :
Bài :(2,0 điểm)
Cho phương trình : x2 + 2x - m = 0, với m tham số thực
1) Giải phương trình m = 15
2) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép
Bài :(1,5 điểm)
1) Vẽ đồ thị (d1) hàm số y = 2x -
2) Xác định hàm số y = 3x + b biết đồ thị (d2) cắt trục tung điểm có tọa độ (0 ; 3) Cho biết vị trí tương đối (d1) (d2)
Bài : (2,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O có đường kính BC Trên cung BC lấy điểm A cho AB nhỏ AC, từ O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AD D
1) Chứng minh tứ giác ABOD nội tiếp đường tròn 2) Khi BC = 10 cm, , tính AC
(53)Thời gian 150 phút
Câu : (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức :
b) Giải hệ phương trình :
Câu : (2,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 + 4mx + 3m2 + 2m - =
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Xác định giá trị tham số m để phương trình nhận x = nghiệm
Câu : (1,75 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình
Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng 5m, diện tích 300m2 Tính chiều dài chiều rộng khu vườn
Câu : (3 điểm)
Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh :
a) Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn
b) Các điểm P, N, O, H nằm đường tròn c) Tam giác PQO cân
d) PM2 = PE.PF
e) PHM = PHN Câu : (0,75 điểm)