Bài tập lớp 11: Phép dời hình và phép đồng dạng

c) Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa BC vaø troïng taâm G cuûa ABC. OA OD OM ON. Moät ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi AB taïi moät ñieåm C ôû ngoaøi ñöôøng troøn. Moät ñieåm M chaïy tre[r]

CHƯƠNG I:

PHÉP DỜI HÌNH VAØ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I Phép tịnh tiến

 Tv: M  M  MM'v

 

 Tv(M) = M, Tv(N) = N  M N' 'MN

 

 Tv: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' '

x x a

y y b

  



  

II Phép đối xứng trục

 Ñd: M  M  M M0 'M M0

 

(M0 hình chiếu M d)  Đd(M) = M  Ñd(M) = M

 Đd(M) = M, Đd(N) = N  MN = MN  ĐOx: M(x; y)  M(x; y) Khi đó:

' ' x x y y     

ĐOy: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' ' x x y y     

III Phép đối xứng tâm

 ÑI: M  M  IM'IM

                           

 ÑI(M) = M  ÑI(M) = M

 ÑI(M) = M, ÑI(N) = N  M N' 'MN

 

 Cho I(a; b) ĐI: M(x; y)  M(x; y) Khi đó:

' '

x a x

y b y

  



 



Đặc biệt: ĐO: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' ' x x y y     

IV Pheùp quay

 Q(I,): M  M 

' ( ;IMIM IMIM')

 



 

 Q(I,)(M) = M, Q(I,)(N) = N  MN = MN

 Q(I,)(d) = d Khi đó:





, '



2 neáu d d neáu                

 Q(O,900): M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' ' x y y x     

Q(O,–900): M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' ' x y y x     

V Phép vị tự

 V(I,k): M  M  IM'k IM

 

(k  0)  V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N  M N' 'k MN

                           

 Cho I(a; b) V(I,k): M(x; y)  M(x; y) Khi đó:

' (1 )

' (1 )

x kx k a

y ky k b

   



  



Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ABC thành ABC biến trọng tâm, trực

tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các

1. Cho hai điểm cố định B, C đường tròn (O) điểm A thay đổi đường trịn Tìm quĩ tích trực tâm H ABC

HD: Vẽ đường kính BB Xét phép tịnh tiến theo v B C '





Quĩ tích điểm H đường tròn (O) ảnh của

(O) qua phép tịnh tiến đó.

2. Cho đường trịn (O; R), đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi Tiếp tuyến với đường tròn (O) B cắt AC E, AD F Tìm tập hợp trực tâm tam giác CEF DEF

HD: Gọi H trực tâm CEF, K trực tâm DEF Xét phép tịnh tiến theo vectơ v BA





Tập hợp các điểm H vàK đường tròn (O) ảnh (O) qua phép tịnh tiến (trừ hai điểm A A' với AA'BA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

3. Cho tứ giác lồi ABCD điểm M xác định AB DM  

CBM CDM  Chứng minh:

 

ACD BCM .

HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ AB.

4. Cho tứ giác ABCD có A = 600, B = 1500, D = 900, AB = 6 3, CD = 12 Tính độ dài cạnh AD và BC

HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BA BC = 6, AD = 6

5. Cho ABC Dựng hình vng BCDE phía ngồi tam giác Từ D E dựng đường vng góc với AB, AC Chứng minh hai đường vng góc với đường cao AH ABC đồng qui

HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BE



, ABC AED.

6. Tìm ảnh điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến Tv trường hợp sau: a) v = (1; 1) b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2)

7. Cho điểm A(1; 4) Tìm toạ độ điểm B cho A T B v( ) trường hợp sau: a) v



2; 3





b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2)

8. Tìm toạ độ vectơ v cho T Mv

 

M/ trường hợp sau:

a) M(10; 1), M’(3; 8) b) M(5; 2), M(4; 3)c) M(–1; 2), M(4; 5)

d) M(0; 0), M(–3; 4) c) M(5; –2), M(2; 6) f) M(2; 3), M(4; –5)

9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x  y + = Tìm phương trình đường thẳng (d’) ảnh (d) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau:

a) v



4; 3





b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

10. Trong mpOxy, cho đường trịn (C):



x1



2



y2



2 4 Tìm phương trình đường tròn (C) ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau:

a) v



4; 3





b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 11. Trong mpOxy, cho Elip (E):

2

1

x y

 

Tìm phương trình elip (E) ảnh (E) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau:

a) v



4; 3





12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):

2

1 16

x y

 

Tìm phương trình Hypebol (H) ảnh (H) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau:

a) v



4; 3





b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y2 = 16x Tìm phương trình Parabol (P) ảnh (P) qua phép tịnh tiến theo v trường hợp sau:

a) v



4; 3





b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

14. Cho đường thẳng d: x + 2y – = vectơ v = (2; m) Tìm m để phép tịnh tiến Tv biến d thành chính

II PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O) điểm A thay đổi đường trịn Tìm quĩ tích trực tâm H ABC

HD: Gọi H giao điểm thứ hai đường thẳng AH với (O) Xét phép đối xứng trục BC Quĩ tích

điểm H đường trịn (O) ảnh (O) qua phép ĐBC.

2. Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía d Tìm d điểm M cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ

HD: Gọi A = Đd(A) M giao điểm AB d.

3. Cho ABC với trực tâm H

a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính b) Gọi O1, O2, O3 tâm đường trịn nói Chứng minh đường trịn qua điểm O1, O2, O3 có bán kính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

4. Cho góc nhọn xOy điểm A thuộc miền góc Tìm điểm B  Ox, C  Oy cho chu vi ABC bé nhaát

HD: Xét phép đối xứng trục: ĐOx(A) = A1; ĐOy(A) = A2 B, C giao điểm A1A2 với cạnh Ox, Oy.

5. Cho ABC có góc nhọn điểm M chạy cạnh BC Giả sử ĐAB(M) = M1, ĐAC(M) = M2 Tìm vị trí M cạnh BC để đoạn thẳng M1M2 có độ dài ngắn

HD: M chân đường cao vẽ từ A ABC.

6. Cho ABC cân đỉnh A Điểm M chạy BC Kẻ MD  AB, ME  AC Gọi D = ĐBC(D) Tính

 '

BD M chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

HD: BD M ' = 1v; MD + ME = BH

7. Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) 8. Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) 9. Tìm ảnh điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y =

10. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:

a) x – = b) y – = c) 2x + y – = d) x + y – = 11. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:

a) x – = b) y – = c) 2x + y – = d) x + y – = 12. Tìm ảnh đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 13. Tìm ảnh đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4

a) 16 x +y =

b) x2 + 4y2 = 1 c) 9x2 + 16y2 = 144 15. Tìm ảnh hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):

a)

2

1 16

x y

- =

b) x2 – 4y2 = 1 c) 9x2 – 25y2 = 225 16. Tìm ảnh parabol sau qua phép đối xứng trục Ox:

a) y2 = 2x b) x2 = 2y c) y = x2 17. Tìm ảnh parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:

a) y2 = 2x b) x2 = 2y c) y = x2

III PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định điểm A thay đổi Gọi H trực tâm ABC H điểm cho HBHC hình bình hành Chứng minh H nằm đường tròn (O) Từ suy quĩ tích điểm H

HD: Gọi I trung điểm BC ĐI(H) = H  Quĩ tích điểm H đường trịn (O) ảnh (O) qua phép ĐI.

2. Điểm M thuộc miền tứ giác lồi ABCD Gọi A, B, C, D điểm đối xứng M qua trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành

3. Cho đường tròn (O, R) dây cố định AB = R Điểm M chạy cung lớn AB thoả mãn MAB có góc nhọn, có H trực tâm AH BH cắt (O) theo thứ tự A B AB cắt AB N

a) Chứng minh AB đường kính đường trịn (O, R) b) Tứ giác AMBN hình bình hành

c) HN có độ dài khơng đổi M chạy

d) HN cắt AB I Tìm tập hợp điểm I M chạy

HD: a) A BB' ' = 1v b) AM //AN, BM // AN c) HN = BA = 2R

d) Gọi J trung điểm AB ĐJ(M) = N, ĐJ(O) = O OIO ' = 1v  Tập hợp điểm I đường tròn

đường kính OO

4. Một đường thẳng qua tâm O hình bình hành ABCD cắt cạnh DC, AB P Q Chứng minh rẳng giao điểm đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với đường chéo hình bình hành đỉnh hình bình hành

HD: Xét phép ĐO.

5. Tìm ảnh điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với: a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)

6. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):

a) 2x – y = b) x + y + = c) 2x + y – = d) y = e) x = –1 7. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):

a) 2x – y = b) x + y + = c) 2x + y – = d) y = e) x = –1 8. Tìm ảnh đường trịn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 9. Tìm ảnh elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2):

a)

2

1 16

x y

+ =

a)

2

1

16

x - y =

b) x2 – 4y2 = 1 c) 9x2 – 25y2 = 225 11. Tìm ảnh parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):

a) y2 = 2x b) x2 = 2y c) y = x2 IV PHEÙP QUAY

1. Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác BAE CAF vuông cân A Gọi I, M, J theo thứ tự trung điểm EB, BC, CF Chứng minh IMJ vuông cân

HD: Xeùt pheùp quay Q(A,900).

2. Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABEF ACIK Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM vng góc vơi FK AM =

1 FK.

HD: Gọi D = Đ(A)(B) Xét pheùp quay Q(A,900).

3. Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng tam giác ABE BCF nằm phía so với đường thẳng AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AF, CE Chứng minh BMN

HD: Xeùt pheùp quay Q(B,600).

4. Cho ABC Lấy cạnh tam giác làm cạnh, dựng phía ngồi tam giác tam giác ABC1, CAB1, CAB1 Chứng minh đoạn thẳng AA1, BB1, CC1

HD: Xét phép quay Q(A,600), Q(B,600).

5. Cho ABC tâm O Trên cạnh AB, AC đặt đoạn thẳng AD, AE cho AD + AE = AB Chứng minh OD = OE DOE = 1200.

HD: Xeùt phép quay Q(O,1200).

6. Cho hình vng ABCD điểm M cạnh AB Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB AD E F CM cắt AD N Chứng minh rằng:

a) CM + CN = EF b) 2

1 1

CM CN AB

HD: Xeùt pheùp quay Q(C,900).

7. Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACIJ cho C D nằm khác phía với AB Chứng minh giao điểm BI CD nằm đường cao AH ABC

HD: Lấy tia đối AH đoạn AK = BC Gọi O tâm hình vng ACIJ Xét phép quay Q(O,900)

 IB  CK Tương tự CD  BK.

8. Tìm ảnh điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc  với:

a)  = 900 b)  = –900 c)  = 1800

9. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 900:

a) 2x – y = b) x + y + = c) 2x + y – = d) y = e) x = –1 10. Tìm ảnh đường trịn sau qua phép quay tâm O góc 900:

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 V PHÉP VỊ TỰ

1. Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng GH 2GO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H.

2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, cịn đỉnh A chạy đường trịn (O) Tìm quĩ tích trọng tâm G ABC

HD: Gọi I trung điểm BC Xét phép vị tự ( , )I 13

V

thay đổi (O) Đường thẳng CQ cắt PA PB M N a) Chứng minh Q trung điểm CM, N trung điểm CQ b) Tìm quĩ tích M N đường kính PQ thay đổi

HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình. b) Xét phép vị tự V(C,2)(Q) = M;

1 ( , )

2

C V

(Q) = N.

4. Cho đường tròn (O, R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Từ điểm M d, kẻ tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O)

a) Chứng minh PQ qua điểm cố định

b) Tìm tập hợp trung điểm K PQ, tâm O đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H MPQ HD: a) Kẻ OI  d, OI cắt PQ N OI ON r 

 

 N cố định b) Tập hợp điểm K đường trịn (O1) đường kính NO Tập hợp điểm O đường trung trực đoạn OI

Tập hợp điểm H đường tròn (O2) = V(O,2)

5. Cho điểm A ngồi đường trịn (O, R) đường kính MN quay xung quanh tâm O AM AN cắt đường tròn (O) B C

a) Chứng minh đường trịn (AMN) ln qua điểm cố định khác A b) Chứng minh BC qua điểm cố định

c) Tìm tập hợp trung điểm I BC trọng tâm G ABC HD: a) AO cắt (AMN) D OA OD OM ON  R2

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 D cố định b) AO cắt BC E AE AD AO  2 R2

 

 E cố định c) Tập hợp điểm I đường tròn (O1) đường kính EO Tập hợp điểm G đường tròn (O2) =

2 ( , )

3

A V

(O1)

6. Cho đường trịn (O, R), đường kính AB Một đường thẳng d vng góc với AB điểm C ngồi đường trịn Một điểm M chạy đường trịn AM cắt d D, CM cắt (O) N, BD cắt (O) E a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Tứ giác CDNE hình gì?

c) Tìm tập hợp trọng tâm G MAC

HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD  CDNE hình thang. c) Gọi I trung điểm AC Kẻ GK // MO Tập hợp điểm G đường tròn (K,

R

) ảnh đường tròn (O, R) qua phép

1 ( , )

3

I V

7. Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), 8. Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k =

1

2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0)

9. Phép vi tự tâm I tỉ số k=

biến điểm M thành M’ Tìm toạ độ điểm I trường hợp sau: a) M(4; 6) M’(–3; 5) b) M(2; 3) M(6; 1) c) M(–1; 4) M(–3; –6)

10. Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’ Tìm k trường hợp sau:

a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1) b) I(1; 2), M(0; 4) M(2; 0) c) I(2; –1), M(–1; 2), M(–2; 3) 11. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:

a) x + 2y – = b) x – 2y + = c) y – = d) x + =

a) k = b) k = c) k = – d) k = – e) k =

2 f) k =



13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1: x – 2y + = 2: x – 2y + = điểm I(2; 1) Tìm tỉ số k để phép vị tự V(I,k) biến 1 thành 2

14. Tìm ảnh đường trịn sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2: a) (x- 1)2 + -(y 5)2 =4 b) (x+2)2 + +(y 1)2 =9 c) x2 + y2 = 4

15. Tìm ảnh đường trịn (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trường hợp sau:

a) k = b) k = c) k = – d) k = – e) k =

2 f) k =



16. Xét phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = biến đường trịn (C) thành (C) Tìm phương trình đường trịn (C) biết phương trình đường trịn (C) là:

a) (x- 1)2 + -(y 5)2 =4 b) (x+2)2 + +(y 1)2 =9 c) x2 +y2 =1 OÂN TẬP CHƯƠNG I

1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố định, đường chéo AC = a khơng đổi Chứng minh A di động điểm B di động đường tròn xác định

2. Cho điểm A, B cố định thuộc đường tròn (C) cho trước M điểm di động (C) không trùng với A B Dựng hình bình hành AMBN CMR tập hợp điểm N đường tròn

3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C chạy nửa đường trịn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng CBEF Chứng minh điểm E chạy nửa đường trịn cố định 4. Cho hình vng ABCD có tâm I Trên tia BC lấy điểm E cho BE = AI

a) Xác định phép dời hình biến A thành B, I thành E b) Dựng ảnh hình vng ABCD qua phép dời hình

5. Cho đtrịn (O; R) (O; R) Xác định tâm vị tự đường tròn R = 2R OO = 2R 6. Cho v = (–2; 1), đường thẳng d: 2x – 3y + = 0, d1: 2x – 3y – =

a) Viết phương trình đường thẳng d = Tv(d).

b) Tìm toạ độ vectơ u vng góc với phương d cho d1 = Tu 

(d)

7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – = Tìm (C) = Tv(C) với v = (–2; 5).

8. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – = đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – = 0. a) Tìm ảnh M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox

b) Tìm ảnh d (C) qua phép đối xứng tâm M

9. Tìm điểm M đường thẳng d: x – y + = cho MA + MB ngắn với A(0; –2), B(1; –1) 10. Viết ptrình đường trịn ảnh đường trịn tâm A(–2; 3) bán kính qua phép đối xứng tâm, biết:

a) Tâm đối xứng gốc toạ độ O b) Tâm đối xứng điểm I(–4; 2)

11. Cho đường thẳng d: x + y – = Viết phương trình đường thẳng d ảnh đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay , với:

a)  = 900 b)  = 400.

12. Cho v = (3; 1) đường thẳng d: y = 2x Tìm ảnh d qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc 900 phép tịnh tiến theo vectơ v.

13. Cho đường thẳng d: y = 2 Viết phương trình đường thẳng d ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k =

1

14. Cho đường tròn (C): (x – 2) + (y – 1) = Viết phương trình đường tròn (C) ảnh (C) qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = – phép đối xứng qua trục Oy