Ứng dụng phương pháp FDTD 2 chiều trong mô phỏng trường điện từ

Cơ sở lý thuyết và nội dung của phương pháp FDTD đã được trình bày chi tiết trong [4, 7], bài báo này tập trung vào nghiên cứu ứng dụng phương pháp FDTD để mô phỏng 2 chiề[r]

ứng dụng phương pháp fdtd chiều mơ trường điện từ NGUYỄN HUY HỒNG, NGUYỄN VĂN TRUNG, NGUYỄN THÙY LINH Túm tắt: Bài bỏo giới thiệu túm tắt việc ứng dụng phương phỏp sai phõn hữu hạn miền thời gian (Finite difference Time Domain - FDTD) hai chiều mụ trường điện từ với cỏc nội dung chớnh: Trỡnh bày túm tắt cỏc vấn đề rời rạc húa cỏc phương trỡnh Macxoen phương phỏp FDTD điều kiện biờn hấp thụ mụ chiều hay cũn gọi lớp hấp thụ (Perfect Matched Layer - PML); trờn sở đú tiến hành mụ chiều với mụ hỡnh súng điện từ phẳng đưa cỏc nhận xột từ kết mụ Cỏc chương trỡnh mụ thực trờn phần mềm Matlab kết mụ thu phự hợp với lý thuyết trường điện từ

Từ khóa: FDTD, Trường điện từ, Phương trình Macxoen, PML, Mô

1 MỞ ĐẦU

Phương pháp FDTD Kane Yee người Nhật giới thiệu vào năm 1966, phương pháp đưa nhằm mục đích giải trực tiếp số phương trình Macxoen môi trường miền không gian khác miền thời gian Trong phương pháp này, điện trường từ trường rời rạc hóa phép lấy vi phân phương trình Macxoen theo phương pháp sai phân trung tâm sau giá trị rời rạc chúng tính tốn máy tính

Trong phương pháp sử dụng để tính tốn số mơ trường điện từ phương pháp mô men, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp FDTD phương pháp FDTD sử dụng phổ biến cho phép giải số lượng lớn toán điện từ, đặc biệt toán liên quan đến vật thể có cấu trúc phức tạp (2D 3D) hay tốn có liên quan đến vật thể có kích thước so sánh với bước sóng toán yêu cầu miền tần số cần khảo sát lớn Với ưu điểm vậy, phương pháp FDTD công cụ mạnh mẽ hữu hiệu ứng dụng rộng rải giải toán phức tạp liên quan đến điện từ trường nhiều lĩnh vực thiết kế anten, kỹ thuật siêu cao tần, radar

Cơ sở lý thuyết nội dung phương pháp FDTD trình bày chi tiết [4, 7], báo tập trung vào nghiên cứu ứng dụng phương pháp FDTD để mơ chiều sóng điện từ phẳng trường hợp khơng có thiết lập lớp hấp thụ PML

2 RỜI RẠC HĨA PHƯƠNG TRÌNH MACXOEN VÀ LỚP HẤP THỤ 2.1 Rời rạc hóa phương trình Macxoen z

Trong mơ hai chiều ta chọn hai nhóm gồm vectơ sau để mô [6]: Trường từ ngang (TM), gồm thành phần E~z,Hx,Hy trường điện ngang (TE) gồm thành phần Hz,E~x,E~y Ta làm việc với trường TM Với trường TM, phương

trình Macxoen [1] tiến hành rời rạc hóa tương tự trường hợp mơ chiều phương pháp FDTD sau:

1/ 1/

0

( / 2, ) ( / 2, ) ( , / 2) ( , 1/ 2)

( , ) ( , )

(1)

n n n n

n n

y y x x

z z H i j H i j H i j H i j

D i j D i j

t   x y

      

  



   

    

1 1/ 1/

0

( , / 2) ( , / 2) ( , 1) ( , )

(2)

n n n n

x x z z

H i j H i j E i j E i j

t   y

  

    

 

1 1/2 1/2

0

( 1/ 2, ) ( 1/ 2, ) ( 1, ) ( , )

(3)

n n n n

y y z z

H i j H i j E i j E i j

t   x

     

 



 

ở đây, ta sử dụng điều kiện ổn định nghiệm mơ chiều [4, 7], là: tx/ c2 0, với c0 vận tốc ánh sáng chân không để đơn giản ta chọnyx.Các phương trình rời rạc hóa (1), (2), (3) sử dụng để viết mã mô FDTD chiều

2.2 Lớp hấp thụ

Giả sử ta mơ sóng điện từ phát từ nguồn điểm truyền khơng gian tự Sóng lan truyền xung quanh, đến biên vùng không gian mô bị phản xạ lại không ý biên, lúc ta khơng xác định đâu sóng thực đâu sóng phản xạ Đây lý phải xác lập điều kiện biên hấp thụ phương pháp FDTD

Một điều kiện biên hấp thụ hiệu linh hoạt mơ FDTD chiều tầng phối hợp trở kháng hay lớp hấp thụ (PML) Berenger xây dựng Ý tưởng để xây dựng nên PML là, sóng truyền từ mơi trường A sang mơi trường B hệ số phản xạ sóng phụ thuộc vào trở sóng hai mơi trường [2, 3, 6]:

CA CB CA CB

Z Z

R

Z Z

 



Trở sóng mơi trường lại phụ thuộc vào số điện môi độ từ thẩm môi trường theo công thức:

C

Z 





Nếu ta cho  thay đổi theo  cho trở sóng hai mơi trường ln không xảy tượng phản xạ mặt phân cách, hay hệ số phản xạ Tiếp theo ta tạo môi trường tổn hao cho sóng truyền vào bị suy giảm hồn toàn trước tới biên Điều thực coi   số phức phần ảo chúng thể suy giảm biết từ lý thuyết trường điện từ [2]

Sau vài phép biến đổi cách sử dụng thêm số   ảo, ký hiệu *

* *

, , Fx Fy

Fz  

 , hệ phương trình Macxoen [1] có dạng sau:

* *

0

( ) ( ) (4) ( ) '*( ) ( )

y x

z Fz Fz

z z

H H

i D x y c

x y

D E

  

   



  

   

 

 

 (5)

* *

0

( ) ( ) z (6)

x Fx Fx

E

i H x y c

y

     



* *

0

( ) ( ) z (7) y Fy Fy

E

i H x y c

x

    



Các số ảo F*và *F công thức phụ thuộc vào hai hướng x, y chúng không ảnh hưởng đến số thực môi trường Đây đại lượng phức chúng có dạng sau:

* *

0

;

Dm Hm

Fm Fm Fm Fm

i i

 

   

 

trong đó, Dm Hm tham số thỏa mãn điều kiện [6]:

0 0

Hm Dm D

  

     với

D

 độ dẫn điện môi trường xét; m = x y

Ta xây dựng PML theo phương x Sử dụng điều kiện ổn định nghiệm / / )

(tc0 x , phương trình (4) biến đổi thành:

1/ 1/

( , ) 3( ) ( , )

2( ).0.5 ( / 2, ) ( / 2, ) ( , / 2) ( , / 2) (8)

n n

z z

n n n n

y y x y

D i j gi i D i j

gi i H i j H i j H i j H i j

 

 

 

         

Các tham số gi2 gi3 có dạng sau:

0

1

( ) (9 )

1 ( ) / ( )

1 ( ) / ( )

3( ) (1 )

1 ( ) / ( )

D D D g i i

i t

i t

g i i

i t              

Ta biến đổi tương tự phương trình (7): 1/

1/

( / 2, ) 3( / 2) ( / 2, )

2( / 2).0.5 ( 1, ) ( , ) (11)

n n

y y

n n

z z

H i j fi i H i j

fi i E i j E i j

               đó, 0

2( / 2) (12)

1 ( / 2) / (2 )

1 ( / 2) / (2 )

3( / 2) (13)

1 ( / 2) / (2 )

D D D fi i i t i t fi i i t                   

Phương trình (6) biến đổi thành:

) / , ( ) ( ) / , ( ) / , ( ) ( ) / , ( ) / , ( / 0 / 0                        j i I t x rotE x t c j i H j i I t x x t c rotE x t c j i H j i H n Hx D n x n Hx D n x n x    

Ở đây, ta ký hiệu 

     T n n Hx x rotE j i I / ) / ,

( Do viết chương trình mơ

phương trình (6) thực thơng qua phương trình đây:

1/ 1/

1/ 1/

1 1/

( , ) ( , 1) (14)

( , / 2) ( , / 2) (15)

( , / 2) ( , / 2) 0.5 1( ) ( , / 2) (16)

n n

z z

n n

Hx Hx

n n n

x x Hx

rotE E i j E i j

I i j I i j rotE

H i j H i j rotE fi i I i j

                   đó, ( ) 1( )

D i t

fi i 



 

Giá trị biến thiên tham số sau [6]:

fi1(i) : (0 ÷ 0.333); gi2(i) : (1 ÷ 0.75); gi3(i) : (1 ÷ 0.5)

1/ 1/

( , ) 3( ) 3( ) ( )

2( ) 2( ).0.5 ( / 2, ) ( / 2, ) ( , / 2) ( , / 2) (17)

n n

z z

n n n n

y y x x

D i j gi i gj j D i

gi i gj j H i j H i j H i j H i j

 

 

 

         

và

1/2 1/

1/2 1/

( 1, ) ( , ) (18)

( / 2, ) ( / 2, ) (19)

n n

z z

n n

Hy Hy

rotE E i j E i j

I i j I i j rotE

 

 

  

   

1

1/

( / 2, ) 3( / 2) ( / 2, )

2( / 2).0.5 1( ) ( / 2, ) (20)

n n

y y

n Hy

H i j fi i H i j

fi i rotE fi j I i j





    

   

cuối cùng, Hx theo phương x có dạng sau:

1/2 1/2

1/2 1/2

1

1/2

( , ) ( , 1)

( , 1/ 2) ( , 1/ 2)

( , 1/ 2) 3( 1/ 2) ( , 1/ 2)

2( 1/ 2).0.5 1( ) ( , 1/ 2)

n n

z z

n n

Hx Hx

n n

x x

n Hx

rotE E i j E i j

I i j I i j rotE

H i j fj j H i j

fj j rotE fi i I i j

 

 





  

   

    

   

Kết hợp tính tốn theo phương x y, ta có đủ tham số mơi trường PML với giá trị biến thiên tham số sau [6]:

fi1(i) fj1(j): (0 ÷ 0.333); fi2(i), gi2(i), fj2(j) gj2(j) : (1 ÷ 0.75) fi3(i), gi3(i), fj3(j) gj(3) : (1 ÷ 0.5)

Lưu ý ta “tắt” mơi trường PML miền không gian khảo sát cách cho hai tham số fi1 fj1 tham số khác

3 MÔ PHỎNG SĨNG ĐIỆN TỪ PHẲNG 3.1 Mơ hình sóng điện từ phẳng

Mơ hình sóng phẳng thường sử dụng mô trường điện từ [4, 7] Nhiều tốn thực tế, ví dụ tính tốn diện tích phản xạ hiệu dụng radar , sử dụng mơ hình sóng phẳng Hơn nữa, khoảng cách xa cỡ chục lần bước sóng trường xạ hầu hết anten coi sóng phẳng [2, 3] Để mơ sóng phẳng chương trình FDTD chiều, không gian mô chia làm vùng: Vùng trường tổng hợp vùng trường tán xạ [6] Vùng trường tổng hợp vùng mà giá trị trường tổng hợp sóng tới sóng tán xạ từ vật thể đặt vùng Vùng trường tán xạ vùng mà giá trị trường sóng tán xạ từ vật thể đặt vùng trường tổng hợp Nếu vùng trường tổng hợp không đặt vật thể trường tổng hợp sóng tới, cịn trường tán xạ khơng tồn

Hình minh họa cho điều Sẽ có ma trận sóng tới chiều tạo sóng phẳng, điểm ma trận đóng vai trị nguồn trường Ez tạo điểm Khi sóng lan truyền hai phía khơng gian Vì PML thực tế khơng lý tưởng, nên trước sóng phẳng truyền đến lớp bị làm suy giảm để cho vào PML hồn tồn khơng xảy tượng phản xạ

Hình Vùng trường tổng hợp vùng trường tán xạ mô sóng phẳng

Minh họa hình cho thấy, điểm không gian mô chiều nằm vùng trường tổng hợp ngồi vùng đó, khơng có điểm nằm biên Do đó, có điểm vùng trường tổng hợp sử dụng điểm ngồi để tính giá trị điểm phải tính tốn lại ngược lại Đây ngun nhân phải có ma trận sóng tới, chứa giá trị cần thiết để tạo thay đổi

Có ba vị trí cần phải tính tốn lại là: - Giá trị Dz j = ja j = jb:

Dz(i, ja) = Dz(i, ja) + 0.5.Hxt( ja – 1/2);Dz(i, jb) = Dz(i, jb) - 0.5.Hxt( jb + 1/2)

- Giá trị Hx j = ja j = jb:

Hx(i, ja – 1/2) = Hx(i, ja – 1/2) + 0.5.Ezt( ja);Hx(i, jb + 1/2) = Hx(i, jb + 1/2) - 0.5.Ezt( jb)

- Giá trị Hy i = ia i = ib:

Hy(i – 1/2, j) = Hx(i– 1/2, j) - 0.5.Ezt( j); Hy(i + 1/2, j) = Hx(i+ 1/2, j) + 0.5.Ezt( j)

Với ja, jb ia, ib giới hạn vùng không gian mô theo trục y x; còn Et Ht ký hiệu thành phần sóng tới

3.2 Mơ chiều FDTD chưa thiết lập PML

Phần trình bày kết mô chiều xung Gauss truyền mơi trường khơng khí phương pháp FDTD chưa thiết lập PML

Hình Xung Gauss tạo

tâm không gian mơ T=10

Hình Xung lan truyền

Các hình đến hình thể kết với số bước thời gian T khác nhau, ta thấy xung bị phản xạ lại giao thoa với xung tới biên

3.3 Mô chiều FDTD có thiết lập PML

Phần trình bày kết mơ chiều xung hình sin có dạng:

) 10

1500 2

sin(  6dtT , chiều dài lớp PML thiết lập 20 lần kích thước cell, mơi trường khơng khí Kết mơ hình đến hình 10 với số bước thời gian T khác rằng, xung không bị phản xạ lại biên mà bị hấp thụ suy giảm vào lớp PML cuối bị triệt tiêu biên

Hình Xung bắt đầu truyền

đến biên T=64 Hình Hình ảnh xung bị giao thoa phản xạ không thiết lập PML T=100

Hình Xung truyền vào PML khơng bị Hình 10 Xung tiếp tục truyền vào Hình Xung tạo tâm

vùng không gian mô T=10

3.4 Mơ chiều FDTD sóng phẳng có thiết lập PML

Sóng phẳng chiều mơ phần có dạng:

) 10

400 2

sin(   6dtT , truyền khơng khí, lớp hấp thụ PML thiết lập với chiều dài 20 lần kích thước cell Kết hình 11 đến hình 14 với số bước thời gian T khác nhau, cho thấy sóng bắt đầu hình thành từ biên lan truyền đến biên kia, biên không bị phản xạ lại mà bị hấp thụ suy giảm vào lớp PML cuối bị triệt tiêu

4 KẾT LUẬN

Bài báo giới thiệu tóm tắt cách rời rạc hóa phương trình Macxoen cho mơ FDTD chiều, phương pháp thiết lập PML mơ hình mơ sóng phẳng đơn giản Việc thiết lập PML chủ yếu dựa vào tham số f g, cách lựa chọn giá trị chúng phụ thuộc vào tốn mơ cụ thể, việc thiết lập chiều dài lớp PML đóng vai trị quan trọng để cho sóng truyền biên khơng bị phản xạ lại Mơ hình sóng phẳng phương pháp FDTD chiều thực dựa thiết lập PML việc phân chia không gian mô làm vùng vùng trường tổng hợp vùng trường tán xạ Để tạo sóng phẳng khơng gian chiều ta đơn giản sử dụng ma trận sóng tới chiều Tất kết mô thực phần mềm Matlab minh họa cho việc trường điện từ lan truyền không gian chiều

Hình 11 Sóng bắt đầu hình thành từ biên T=20

Hình 12 Sóng tiếp tục lan truyền đến biên T=50

Hình 13 Sóng bị triệt tiêu đến biên T=120