Bài giảng Các tập hợp số

Đồng thời người học cần thấy được ý nghĩa của việc xây dựng t ập số tự nhiên, trên cơ sở giúp cho h ọ giảng dạy tốt hơn môn toán b ậc Tiểu học. 2.1[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

CÁC TẬP HỢP SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

CÁC TẬP HỢP SỐ

Người soạn: Lê Văn Thuận

LỜI NĨI ĐẦU

Hiện có nhiều giáo trình, tài liệu tham khảo viết lí thuyết tập hợp số Tuy nhiên, chưa có giáo trình thức viết tập hợp số dành cho sinh viên ngành giáo dục tiểu học; với phương thức đào tạo theo hệ thống tín có đặc thù riêng, địi hỏi thời gian sinh viên tự học nghiên cứu nhiều

Chúng biên soạn giảng “các tập hợp số” trên sởđề cương chi tiết, tham khảo tài liệu xếp cách có hệ thống, nhằm giúp người học dễ dàng tự học nghiên cứu Đây học phần chương trình đào tạo giáo viên tiểu học có trình độ cao đẳng

Bài giảng có thời lượng 30 tiết lớp, tín nội dung gồm chương: Chương 1: Cấu trúc đại số

Chương 2: Số tự nhiên

Chương 3: Tập số hữu tỉ tập số thực

Vì thời lượng gồm tín nên giảng khơng thể khai thác sâu hết số kiến thức, người học tham khảo thêm học phần [1] , [2], [3] [4] Lần giảng biên soạn với phương thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ; chắn khơng tránh khỏi thiếu sót định Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc

Chúng xin chân thành cảm ơn

Chương

CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Giúp sinh viên nắm vững cấu trúc về: nửa nhóm, nhóm, vành trường - Hình thành cho sinh viên ý tưởng để tiếp cận với toán học đại nhận thức sâu sắc cấu trúc đại số tập hợp số bậc Tiểu học

Kĩ năng:

- Kiểm tra “phép tốn” hai ngơi tập hợp

- Kiểm tra tập hợp với phép tốn là: nửa nhóm, nhóm, nhóm, vành trường

Thái độ:

- Sinh viên nắm vững khái niệm cấu trúc đại số tập hợp - Sinh viên có liên hệ thực tế với chương trình mơn tốn bậc Tiểu học

1.1 PHÉP TỐN HAI NGƠI 1.1.1 Khái niệm

Cho X tập khác rỗng Một phép tốn hai ngơi tập X ánh xạ T X: X X

( ; )a b aTb

Phần tử aTbX gọi cái hợp thành hay cịn gọi kết quả phép tốn T thực hai phần tử a b

Như phép tốn hai ngơi Ttrên tập X quy tắc đặt tương ứng cặp phần tử (a; b) thuộc XX phần tử xác định aTb thuộc X

Ví dụ 1.1:

1) Phép cộng thông thường số phép tốn hai ngơi tập:  số tự nhiên, tập  số nguyên, tập  số hữu tỉ tập  số thực

2) Phép nhân thơng thường số phép tốn hai tập  số tự nhiên… 3) Cho tập *

* * *

* :   ( ; ) * b

a b a ba phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên khác 0, còn gọi phép nâng lên

lũy thừa

4) Cho tập  số nguyên, phép trừ phép toán hai ngơi , quy tắc sau ánh xạ: :  

( ; )a b a b

Tuy nhiên, phép trừ khơng phải phép tốn hai ngơi tập hợp số tự nhiên  Vì ta có thuộc  4 

5) Cho X tập hơp P(X) tập tập X Các phép toán: hợp, giao hiệu hai tập hợp phép tốn hai ngơi tập P(X) Tức ta có ánh xạ sau:

Phép tốn hợp: : ( )P X P X( )P X( )

( ; )A B  AB

Phép toán giao: : ( )P X P X( )P X( )

( ; )A B  AB

Phép toán hiệu: \ : ( )P X P X( )P X( )

( ; )A B  A B\

6) Cho tập hợp X Hom(X, X) tập hợp ánh xạ từ X vào Phép lấy hợp thành hai ánh xạ phép tốn hai ngơi tập Hom(X, X)

Thật vậy, với hai ánh xạ f g từ X đến X Nên ta có ánh xạ: Hom X X( , )Hom X X( , )Hom X X( , )

( ; )f g  fg

7) Cho tập X 0,1, 2, ta có phép tốn hai xác định X sau: T X: X X

( ; )a b r

T

0

1

2

1.1.2 Các tính chất phép tốn hai ngơi

Định nghĩa 1.1 Cho T phép tốn hai ngơi tập X Ta nói phép tốn T có tính chất giao hoán với a, b thuộc X aTb = bTa

- Ta dễ nhận thấy phép tốn hai ngơi ví dụ 1), 2), 5), 7) Ví dụ 1.1 phép tốn có tính chất giao hốn

- Các phép tốn hai ngơi ví dụ 3), 4) khơng có tính chất giao hốn, ví dụ 6) khơng có tính chất giao hốn tập X có nhiều phần tử

Định nghĩa 1.2. Cho T phép tốn hai ngơi tập X Ta nói phép tốn T có tính chất kết hợp với a, b, c thuộc X (aTb)Tc = aT(bTc)

Ta dễ nhận thấy phép tốn hai ngơi ví dụ 1), 2), 5), 6), 7) ví dụ 1.1 phép tốn có tính chất kết hợp

Các phép tốn hai ngơi ví dụ 3), 4) ví dụ 1.1 phép tốn có tính chất kết hợp

1.1.3 Những phần tử đặc biệt

Định nghĩa 1.3. Cho T phép tốn hai ngơi tập X Phần tử eX gọi phần tử trung lập phép toán T với a thuộc X eTa = aTe = a Định lí 1.1. Nếu tập X có phần tử trung lập phép tốn T phần tử trung lập

là nhất Ví dụ 1.2:

1) Số phần tử trung lập phép cộng thông thường số tự nhiên (cũng phép cộng thông thường số nguyên, số hữu tỉ số thực)

2) Số phần tử trung lập phép nhân thông thường số tự nhiên (cũng phép cộng thông thường số nguyên, số hữu tỉ số thực)

4) Tập X phần tử trung lập phép toán giao tập hợp tập P(X) 5) Ánh xạ đồng idx:X X ; xx

là phần tử trung lập phép hợp thành ánh xạ tập Hom(X, X)

Định nghĩa 1.4. Cho X tập hợp với phép tốn hai ngơi T e phần tử trung lập X phép toán T; aX Phần tử bX gọi phần tử đối xứng a phép toán T bTa = aTb = e

Định lí 1.2 Cho X tập hợp với phép tốn hai ngơi T có tính chất kết hợp, có phần

tử trung lập e Nếu b '

blà hai phần tử đối xứng a '

b= b

+) Đối với phép cộng số tự nhiên có số có phần tử đối xứng phần tử đối xứng

+) Một cách tổng quát: Nếu e X phần tử trung lập phép tốn T e phần tử đối xứng

+) Đối với phép cộng số nguyên, phần tử acó phần tử đối xứng  a  +) Đối với phép nhân số hữu tỉ phần tử q, q khác có phần tử đối xứng

q

+) Đối với phép nhân ánh xạ tập Hom(X, X), song ánh f X: X có phần tử đối xứng

:

f X X (ánh xạ ngược f)

Chú ý: Trong thực tế, hai phép toán hai thường gặp phép cộng (+) phép nhân (x)

- Đối với phép cộng : Giả sử + phép tốn hai ngơi tập X hợp thành a + b gọi tổng a b Phần tử trung lập (nếu có) gọi phần tử khộng kí hiệu Nếu phép cộng có tính chất kết hợp phần tử aX có phần tử đối xứng b b xác định gọi phần tử đối a kí hiệu –a - Đối với phép nhân : Giả sử  phép toán hai ngơi tập X hợp thành a x b (còn viết ab a.b) gọi tích a b Phần tử trung lập (nếu có) gọi phần tử đợn vị kí hiệu e (hoặc khơng có nhầm lẫn với số) Nếu phép nhân có tính chất kết hợp phần tử aX có phần tử đối xứng b b xác định gọi phần tử nghịch đảo a kí hiệu

1.1.4 Phép toán cảm sinh

Định nghĩa 1.5. Cho T phép tốn hai ngơi X A tập khác rỗng X A gọi tập ổn định phép toán T với a, b thuộc A hợp thành aTb thuộc A Tức là: a b, AaTbA

Ví dụ 1.3:

1) Tập hợp số tự nhiên chẵn tập ổn định tập số tự nhiên phép toán cộng

2) Tập hợp số tự nhiên  tập ổn định tập số nguyên  phép cộng phép nhân Nhưng khơng ổn định phép trừ

3) Tập hợp số nguyên mà bội số nguyên m cho trước tập ổn định tập số nguyên phép cộng phép nhân

4) Tập số nguyên lẻ tập ổn định phép nhân số ngun; khơng ổn định phép cộng số nguyên

5) Tập S(X) song ánh từ tập X đến tập X tập ổn định Hom(X, X) phép nhân ánh xạ

Định nghĩa 1.6 Cho X tập hợp với phép toán hai T A tập ổn định X phép tốn T Khi ánh xạ:

T X: X X cảm sinh ánh xạ: T A A:   A ( ; )a b aTb ( ; )a b aTb

phép tốn hai ngơi A gọi phép toán cảm sinh phép tốn T tập hợp A

Ví dụ 1.4:

1) Phép cộng số tự nhiên chẵn phép toán cảm sinh phép cộng số tự nhiên

2) Phép cộng số nguyên mà bội số nguyên m cho trước phép toán cảm sinh phép cộng số nguyên

1.2 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 1.2.1 Nửa nhóm

Định nghĩa 1.7 Ta gọi nửa nhóm tập khác rỗng X với phép tốn hai ngơi T X có tính chất kết hợp Nếu nửa nhóm X có phần tử trung lập phép tốn T X gọi vị nhóm Nếu phép tốn T có tính chất giao hốn nửa nhóm X gọi nửa nhóm giao hốn

Như vậy, nửa nhóm cấu trúc đại số bao gồm tập hợp có phép tốn hai thỏa mãn tiên đề:a b c, , X aTb Tc, ( ) aT bTc( )

Để nửa nhóm ta viết (X, T) X tập nền, T kí hiệu phép tốn hai Trong nhiều trường hợp, không sợ nhầm lẫn ta viết X thay cho (X, T)

Ví dụ 1.5:

1) Tập hợp số tự nhiên  với phép cộng thông thường vị nhóm giao hốn, phần tử trung lập Và gọi vị nhóm cộng số tự nhiên

2) Vị nhóm cộng số nguyên (, +)  tập số nguyên, + phép cộng thông thường số Đó vị nhóm giao hốn

3) Vị nhóm nhân số tự nhiên (, ) 4) Vị nhóm nhân số nguyên (, )

5) Hom(X, X) tập ánh xạ từ X đến với phép hợp thành ánh xạ vị nhóm (nếu X có nhiều phần tử vị nhóm khơng giao hốn)

1.2.2 Nhóm

Định nghĩa 1.8 Ta gọi nhóm tập hợp X với phép tốn hai T thỏa mãn tiên đề sau:

(i) (X, T) nửa nhóm, tức a b c, , X aTb Tc, ( ) aT bTc( )

(ii) Trong X tồn phần tử trung lập e phép toán T, tức  e X cho

eTaaTea với aX

(iii) Mọi phần tử x thuộc X có phần tử đối xứng, nghĩa tồn ,

x X cho

, ,

Nếu phép tốn T có tính chất giao hốn nhóm X gọi nhóm giao hốn hay nhóm Aben

Nếu X tập hữu hạn, có n phần tử X gọi nhóm có cấp n Nếu X tập hợp vơ hạn X gọi nhóm có cấp vơ hạn

Nhận xét: Mọi nhóm X vị nhóm mà phần tử thuộc X có phần tử đối xứng X

Ví dụ 1.6:

1) Tập số nguiyên  với phép cộng nhóm Aben 2) Tập số hữu tỉ  với phép cộng nhóm Aben 3) Tập *

số hữu tỉ khác với phép nhân nhóm Aben

4) Tập S(X) tất song ánh từ X đến X nhóm với phép nhân ánh xạ Tính chất1.1: Cho X nhóm với phép tốn phép nhân, ta có:

1) Vì nhóm vị nhóm nên có đầy đủ tính chất vị nhóm 2) a b c, , X ab, acbc (luật giản ước bên trái)

và a b c, , X ba, cabc(luật giản ước bên phải)

3) Với a, b thuộc X, phương trình axb yab có nghiệm X

Định lí 1.3. Cho X nửa nhóm nhân X nhóm với a, b

thuộc X phương trình axb yab có nghiệm X. 1.2.3 Nhóm

Định nghĩa 1.9. Cho X nhóm A tập X ổn định phép toán X Nếu A với phép toán cảm sinh nhóm A gọi nhóm X

Chú ý: Nếu e phần tử trung lập X A nhóm X eA phần tử trung lập A

Định lí 1.4. Cho A tập nhóm X Khi ba tính chất sau tương đương với nhau:

(ii) Phần tử trung lập eA với a, b thuộc A, ta có abA

a A (iii) Phần tử trung lập eA với a, b thuộc A, ta có

ab A

Ví dụ 1.7:

1) Mọi nhóm cộng số nguyên  nhóm nhóm cộng số hữu tỉ



2) Tâp số nguyên chẵn 2 nhóm nhóm cộng số nguyên  3) Tâp số nguyên bội số nguyên m nhóm nhóm cộng số nguyên 

4) Tập A  1,1 nhóm nhóm nhân số hữu tỉ khác

5) Với nhóm X có hai nhóm X  e , e phần tử trung lập X

1.3 VÀNH VÀ TRƯỜNG

1.3.1 Định nghĩa vành trường

Định nghĩa 1.10. Ta gọi vành tập hợp X với hai phép toán cộng nhân thỏa mãn tiên đề sau:

(X, +) nhóm Aben (X, ) nửa nhóm

Có luật phân phối hai bên phép nhân phép cộng, tức với

, ,

a b cX Ta có: a b c(  )ab ac b c a ; (  ) ba ca

- Nếu phép nhân có tính chất giao hốn X gọi vành giao hoán

- Nếu X có phần tử trung lập phép nhân X gọi vành có đơn vị

Ví dụ 1.8:

1) Tập hợp số nguyên  với phép cộng nhân thơng thường vành giao hốn có đơn vị

3) Tập X 0,1, 2,3 với hai phép toán cộng nhân cho bảng sau vành giao hốn có đơn vị

Tính chất 1.2:

Cho X vành Theo định nghĩa (X, +) nhóm Aben nên có đầy đủ tính chất nhóm cộng giao hốn Cụ thể là:

1) Phần tử khơng nhóm X Ta kí hiệu gọi phần tử không vành X

2) Mỗi phần tử a thuộc X có phần tử đối – a

3) Với a thuộc X, phương trình x + a = b (và a + y = b) có nghiệm b – a

Ngoài ra, vành X cịn có tính chất sau: 4) Với a thuộc X, a0 = 0a =

5) Với a, b, c thuộc X ta có: a b c(  )ab ac

6) Với a, b thuộc X ta có: (a b) a(b) ab; (a)(b)ab

Định nghĩa 1.11 Cho X vành giao hoán, phần tử aX gọi ước

0

a tồn bX b, 0 cho ab =

Định lí 1.5. Cho X vành giao hốn Các khẳng định sau tương đương với

nhau:

(i) a b, X ab,  0 a0 b0

(ii) X ước 0.

(iii) a b c, , X a( 0 abac)bc

1.3.2 Miền nguyên

x 0 1 2 3

0 0 0

1

2 2

3

+ 0 1 2 3

0

1

2

Định nghĩa 1.12. Một vành giao hốn, có đơn vị khác thỏa mãn ba điều kiện tương đương định lí 1.5 gọi miền nguyên

Ví dụ 1.9:

1) Vành số nguyên  miền nguyên

2) Vành X ví dụ 1.8 khơng phải miền nguyên 1.3.4 Trường

Định nghĩa 1.13. Một vành giao hốn, có đơn vị khác phần tử khác khơng có nghịch đảo gọi trường

Nhận xét: Cho X vành giao hốn, có đơn vị khác X trường tập *

X phần tử khác X lập thành nhóm Aben Nhóm gọi nhóm nhân phần tử khác khơng trường X

Ví dụ 1.10:

1) Vành số hữu tỉ , vành số thực  trường 2) Tâp X 0,1, 2 với hai phép toán sau trường

3) Vành số nguyên  trường Định lí 1.6. Mọi trường miền nguyên Bài tập chương 1

1.1 Phép tốn hai ngơi

Cho  tập số tự nhiên,  tập số nguyên,  tập số hữu tỉ, 

tập số hữu tỉ dương

a) Phép toán bốn phép tính: cộng, trừ, nhân, chia phép tốn hai ngơi tập kể

+ 0 1 2

0 2

1

2

x 0 1 2

0 0

1

b) Trong trường hợp phép tốn hai ngơi, cho biết tính chất phần tử đặc biệt phép tốn

Cho tập hợp X 0,1, 2 Phép toán  cho bảng sau:



0

1

2

Hãy cho biết tính chất phép tốn  phần tử đặc biệt Cho tập hợp Y a b c, ,  Phép toán * cho bảng sau:

* a b c

a a a a

b b b b

c c c c

Hãy cho biết tính chất phép tốn * phần tử đặc biệt Cho *

tập số tự nhiên khác 0, phép toán T xác định sau: * * *

:

T    ( ; )a b ab

Phép tốn T có tính chất giao hốn, kết hợp khơng? Trong * có ph

ần tử trung lập không?

Chứng tỏ quy tắc cho tương ứng sau phép tốn hai ngơi Hãy tính chất phép tính đó:

a) x y*  x yxy với x, y thuộc  b) m n m2n với m, n thuộc 

c) a b a b ab với a, b thuộc \ 1 

a) Phép cộng số nguyên b) Phép nhân số nguyên

Các tập sau đây, tập ổn định phép cộng phân số: a) B a; ,a b ,

b



 

  a số lẻ, b0 b) C a a;

b b

  

 phân số thập phân  1.2 Nửa nhóm nhóm

Cho X tập số nguyên chia hết cho

a) Chứng minh X vị nhóm với phép cộng thông thường số

b) Chứng minh X nửa nhóm khơng phải mơt vị nhóm với phép nhân thơng thường số

Cho *

tập số tự nhiên khác Ta định nghĩa m n m n với

*

,

m n

a) Tìm: 21; 45; 55 b) Chứng minh *

vị nhóm giao hoán với phép toán  Giả sử X tập hợp tùy ý Xét phép toán hai ngôi:

* :X X

( ; )x y x y* x

Chứng minh X nửa nhóm với phép tốn hai ngơi Nửa nhóm có giao hốn, có đơn vị khơng?

Chứng minh tập hợp sau với phép tốn thơng thường lập thành nhóm: a) Tập hợp số thực có dạng a b 3, ,a bvới phép cộng

b) Tập hợp số thực có dạng 2

3, , ,

a b a b a b  với phép nhân

Cho tập hợp A0,1, 2 Chứng minh A nhóm Aben với phép tốn 



0

1

2

Chứng minh tập hợp số ngun  nhóm Aben với phép tốn sau:

1

a b a b , với a, b thuộc 

Cho X nhóm với đơn vị e Chứng minh

x e với xX X nhóm Aben

Giả sử a b hai phần tử nhóm X cho ab = ba Chứng minh

(ab)n a bn n với số tự nhiên n > Nếu a b hai phần tử cho 2

(ab) a b ta có suy ab = ba không? 1.3 Vành trường

Gọi X Y tập số nguyên chia hết cho Chứng minh X Y với hai phép toán cộng nhân thông thường vành giao hốn Các vành có đơn vị khơng?

Đặt C100 a:a chẵn, a 1} B100 a:a 100 Các tập C100 B100 với phép cộng phép nhân thơng thường có lập thành vành khơng? Giải thích sao?

Cho ( , , )   vành, với a b,  ta định nghĩa: a a ab ba Chứng minh phép tốn x thỏa mãn tính chất sau:

a) a a 0

b) a b  ( b)a

c) [(a b )c] [( b c )a] [( c a )b]0 Chứng minh vành X thỏa mãn

0

a  với a ab ba với

,

a b

0,1, , 1

k  k

 a b c với c dư phép chia a + b cho k; a b d với d dư phép chia ab cho k

Chứng minh (k, , )  với k2 trường k số nguyên tố

Chương

SỐ TỰ NHIÊN

MỤC TIÊU

Kiến thức: Trang bị cho người học kiến thức về: - Tập hợp tương đương số tập hợp

- Xây dựng tập số tự nhiên lí thuyết tập hợp

- Xây dựng phép toán cộng nhân tập số tự nhiên phép toán số

- Xây dựng quan hệ thứ tự tập số tự nhiên

- Nguyên lí quy nạp phương pháp chứng minh quy nạp - Biểu diễn số tự nhiên dấu hiệu chia hết

Kĩ năng:

- Giải toán tập số tự nhiên

- Vận dụng vào việc giảng dạy toán lớp bậc Tiểu học Thái độ:

Đậy phần mang tính lí thuyết liên quan nhiều nội dung mơn tốn bậc Tiểu học, người học cần khỏi biết số thơng thường Đồng thời người học cần thấy ý nghĩa việc xây dựng tập số tự nhiên, sở giúp cho họ giảng dạy tốt mơn tốn bậc Tiểu học

2.1 BẢN SỐ CỦA TẬP HỢP 2.1.1 Tập hợp tương đương

Định nghĩa 2.1 Cho hai tập hợp A B Ta nói A tương đương với B, kí hiệu

AB, tồn song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B Ví dụ 2.1:

1) Cho Aa b c, , ;B  , ,  Khi AB có song ánh

: , ; ;

f AB a b c

Thật vậy:

Đặt [AB] tập điểm cạnh AB; [AC] tập điểm cạnh AC Ta có song ánh f :[AB][AC]

xác định f(A) = A; f(B) = C x[AB]

mà x A x, B '

( )

f x x, '

[ ]

x  AC mà '

xx // BC Tính chất 2.1:

1) Với tập hợp A ánh xạ đồng idA:AA song ánh, nên ta có A A

2) Cho hai tập hợp A B, AB tức có song ánh f A: B Khi ánh xạ ngược

:

f BA song ánh nên suy B A

3) Cho ba tập hợp A, B, C, AB BC, tức có song ánh f A: B

:

g BC Khi gf A: C song ánh, suy AC

Vậy quan hệ  có ba tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu Do tính chất đối xứng quan hệ  nên, AB(hoặc B A) ta nói hai tập hợp A B tương đương

2.1.2 Định lí Cantor

Với hai tập hợp A B bất kì, xảy hai trường hợp sau:

1) Có đơn ánh từ tập A đến tập B.

2) Có đơn ánh từ tập B đến tập A.

Nếu hai trường hợp xảy có song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B Nhận xét: Cho hai tập hợp A B Nếu có đơn ánh f từ tập A đến tập B có song ánh từ A đến f(A) A tương đương với f(A) phận B Và ngược lại, A tương đương với phận '

B B có song ánh '

:

g AB

và g kéo dài thành đơn ánh '

g từ A đến B '

:

g AB

'

( )

ag a

A

B C

x

'

Vì vậy, định lí Cantor cịn phát biểu cách khác là:

Cho hai tập hợp A B bất kì, xảy hai trường hợp sau:

1) A tương đương với tập B.

2) B tương đương với tập A.

Nếu hai trường hợp xảy A tương đương với B 2.1.3 Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn

Định nghĩa 2.2. Tập hợp A gọi tập hợp hữu hạn A khơng tương đương với tập thực A

Một tập tập hợp hữu hạn gọi tập hợp vơ hạn Nói cách khác, tập hợp A gọi tập hợp vơ hạn nêu có tập thực A mà tương đương với A

Ví dụ 2.2:

1) Tập rỗng  tập hợp hữu hạn, vì khơng có tập thực

2) Tập  x tập hữu hạn,  x có tập thực tập rỗng , mà 

không tương đương với  x

3) Tập điểm đoạn AB (AB) tập vô hạn Thật vậy, gọi C trung điểm AB [AC][AB] [AC][AB], đồng thời [AC][AB] Định lí 2.1.

- Tập hợp tương đương với tập hữu hạn tập hữu hạn

- Tập tập hợp hữu hạn tập hữu hạn. 2.1.2 Bản số

2.1.2.1 Khái niệm số

Để mở rộng khái niệm “số” phần tử tập hợp hữu hạn Cantor đưa khái niệm số tập hợp để đặt trưng cho “số lượng” phần tử tập hợp