Một thuật toán phần tử hữu hạn mờ cải tiến trong phân tích tĩnh kết cấu

Vì vậy, đối với đáp ứng kết cấu là chuyển vị mờ, thuật toán đề xuất tính toán trên mô hình đa thức bậc 2 đầy đủ.. Thông thường hay gặp trường hợp các kết quả tính toán nội lực mờ[r]

(1)

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG

MỘT THUẬT TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN MỜ CẢI TIẾN TRONG PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU

TS NGUYỄN HÙNG TUẤN

Trường Đại học Thủy lợi

GS.TS LÊ XUÂN HUỲNH

Trường Đại học Xây dựng

Tóm tắt: Bài báo đề xuất thuật toán

phần tử hữu hạn mờ phân tích tĩnh kết cấu Thuật toán đề xuất dựa sở phương pháp mặt đáp ứng, với kết hợp hai mơ hình xấp xỉ là: mơ hình hồi quy đa thức bậc hai đầy đủ, mơ hình hồi quy đa thức bậc hai không đầy đủ, lựa chọn hợp lý kết tính tốn hai mơ hình xấp xỉ Các kết tính tốn kết cấu dàn cho thấy hiệu thuật toán đề xuất

Abstract: This paper proposes a fuzzy finite element analysis of structural statics.The proposed algorithm is based on the response surface method, with the combination of two surrogate models: a complete quadratic polynomial regression model, a none-complete quadratic polynomial regression model, and the resonable choosing of the results based on these two models Numerical results on truss structure verify the effectiveness of the proposed algorithm

1 Đặt vấn đề

Thuật toán PTHH mờ (fuzzy finite element algorithm) kết hợp kỹ thuật phương pháp PTHH phép toán lý thuyết tập mờ [1], [2], để xác định đáp ứng kết cấu trường hợp tham số đầu vào không chắn cho dạng số mờ Trong hướng tiếp cận để đưa thuật toán PTHH mờ, việc ứng dụng phương pháp mặt đáp ứng RSM [3], [4] lý thuyết xác suất - thống kê toán học xem thuận tiện cả, sử dụng kết phương pháp PTHH tất định giảm khối lượng tính tốn Ý tưởng phương pháp thay đáp ứng thực kết cấu hàm xấp xỉ thay thế, sau đáp ứng mờ kết cấu xác định thông qua hàm xấp xỉ Trong [5], đề xuất thuật tốn PTHH mờ phân tích tĩnh kết cấu hệ thanh, với đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ Thuật toán đề xuất lựa chọn hàm chuyển vị hàm thay mơ hình hồi quy đa thức bậc không đầy đủ (sau gọi mơ hình

hồi quy đa thức bậc khuyết), sử dụng phương pháp chuyển đổi (transformation method) [6], với số lượng tổ hợp sử dụng phép đạo hàm, để xác định đáp ứng mờ kết cấu chuyển vị nút Tuy nhiên, thuật tốn khơng phù hợp xác định nội lực mờ kết cấu, hàm nội lực thường hàm phức tạp (phân thức, đa thức bậc cao) hàm chuyển vị Ngoài ra, nguyên tắc, đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ, mơ hình hồi quy đa thức bậc khuyết đơn giản tổng quát so với mơ hình đa thức bậc đầy đủ Để khắc phục vấn đề nêu trên, báo đề xuất thuật toán PTHH mờ xác định đáp ứng chuyển vị nội lực mờ kết cấu hệ Thuật toán đề xuất xây dựng sở thuật toán [5], với cải tiến hợp lý việc lựa chọn mơ hình hồi quy xử lý kết đầu đáp ứng kết cấu Thơng qua ví dụ minh họa, so sánh với kết theo thuật toán [5] kết xem "chuẩn" theo thuật tốn tối ưu hóa mức  [7], cho thấy hiệu thuật toán đề xuất

2 Thuật tốn phân tích mờ kết cấu

Thuật tốn gồm có nội dung, theo trình tự sau

2.1 Xác định biến mờ chuẩn mơ hình thay

Theo [3], sử dụng biến chuẩn mơ hình thay làm giảm sai số làm trịn số tính tốn hệ số hồi quy Trong [5], sở nguyên lý thông tin không đầy đủ (insufficient reason) [810], thiết lập công thức xác định biến mờ chuẩn X~iđối với biến mờ gốc số mờ tam giác cân x~i = (a,l,l)LR ta xác định biến chuẩn theo công thức sau:

l/3 a x

X i

i



 (1) Với phép đổi biến trên, từ biến mờ gốc ban đầu

i

x

~ = (a, l, l)

LR, chuyển sang biến mờ chuẩn Xi

(2)

có miền xác định khác nhau, chuyển thành biến chuẩn có miền xác định Mặc dù thực sở chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên tương đương, nhiên xem biến mờ chuẩn kết phép biến đổi hình học từ biến mờ gốc ban đầu, vận dụng tương tự khái niệm biến chuẩn lý thuyết thống kê toán học Thuật tốn đề xuất thực khơng gian biến mờ chuẩn, khơng gây sai lệch chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên (với tham số đầu vào) ngược lại, từ đại lượng ngẫu nhiên quay trở lại đại lượng mờ (với đầu đáp ứng kết cấu) q trình tính tốn

2.2 Lựa chọn mơ hình thay (mơ hình mặt đáp ứng)

Trong lý thuyết thống kê, số mơ hình thay thường sử dụng là: mơ hình hồi quy đa thức (polynomial regression model PRG), mơ hình Kringing (Kringing model KRG), hàm sở hướng tâm (radial basis functions RBF) Trong mơ hình này, mơ hình hồi quy đa thức thường sử dụng để xây dựng hàm mặt đáp ứng đơn giản thuận tiện tính tốn Trong [5], chúng tơi sử dụng mơ hình hồi quy đa thức bậc khuyết làm mơ hình thay Tuy nhiên, đề cập trên, đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ, mơ hình hồi quy đa thức bậc đầy đủ mang tính tổng qt Do đó, bên cạnh việc sử dụng mơ hình hồi quy đa thức bậc khuyết, thuật tốn đề xuất sử dụng mơ hình hồi quy đa thức bậc hai đầy đủ đối với biến mờ chuẩn làm mơ hình thay thế, cho đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ:

n n-1 n

2

o i i ij i j ii i

i i 1, i j i

y( ) a a X a X X a X

   

    

X (2)

Với việc sử dụng biến chuẩn, ao xác định theo phương trình: y(X=0) = ao (3)

Các hệ số lại (2) xác định theo phương pháp bình phương tối thiểu

2.3 Thiết kế mẫu thử

Khi sử dụng phương pháp mặt đáp ứng, có ba thiết kế mẫu thử thường sử dụng thực tế tính tốn: mẫu siêu lập phương Latin (Latin hypercube sampling), mẫu mặt trung tâm lập phương (face - centered cube design), mẫu Box- Behnken ( Box - Behnken design) Trong mẫu thử trên, mẫu mặt trung tâm lập phương mẫu Box - Behnken thường sử dụng Tuy nhiên, có số lượng biến đầu vào, thiết kế mẫu Box - Behnken thường có số lượng điểm đáp ứng (số lượng tổ hợp phương án đầu vào toán PTHH tất định) mẫu mặt trung tâm lập phương Do đó, thuật tốn đề xuất, sử dụng thiết kế mẫu Box- Behnken Thiết kế mẫu Box - Behnken với biến số đầu vào thể hình 1, ký hiệu 1 ½ độ dài khoảng biến thiên biến

(3)

2.5 Xác định đáp ứng mờ kết cấu

Để xác định đáp ứng mờ kết cấu, cần giải toán quy hoạch phi tuyến lát cắt  tham số mờ đầu vào Trong đó, hàm mục tiêu cần tối ưu khơng thể biểu diễn dạng hàm Để giải vấn đề này, thuật toán đề xuất sử dụng thuật giải di truyền GA (genetic algorithm) [11], thuật toán thuộc nhóm thuật tốn tối ưu theo quần thể, Matlab 7.12 Các thuật toán tối ưu theo quần thể khác, thuật tốn tối ưu hóa bầy đàn PSO (particle swam optimization), thuật tốn tiến hóa vi phân DE (differential evolution), xem công cụ hữu hiệu để giải toán quy hoạch phi tuyến Sau trình bày cụ thể cải tiến thuật tốn đề xuất để nâng cao độ xác việc xác định đáp ứng kết cấu, hai trường hợp: đáp ứng chuyển vị mờ, đáp ứng nội lực mờ

2.5.1 Đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ

Trong thuật toán đề xuất, chuyển vị mờ xác định trực tiếp sở giải toán quy hoạch phi tuyến hàm thay Do đó, hàm thay theo mơ hình đa thức bậc đầy đủ mang tính tổng qt có độ xác hàm thay theo mơ hình đa thức bậc khuyết Vì vậy, đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ, thuật tốn đề xuất tính tốn mơ hình đa thức bậc đầy đủ

2.5.2 Đáp ứng kết cấu nội lực mờ

Nội lực mờ xác định thông qua chuyển vị mờ theo công thức: Re = Ke ue - Fe Do nội lực xác định theo chuyển vị mờ nên độ xác nội lực nói chung độ xác chuyển vị Do đó, để nâng cao độ xác nội lực mờ, báo đề xuất thuật tốn tính tốn nội lực mờ sở kết hợp hai mơ hình chuyển vị mờ, là:

mơ hình đa thức bậc hai đầy đủ và, mơ hình đa thức bậc hai khuyết Thơng thường hay gặp trường hợp kết tính tốn nội lực mờ có độ rộng lớn nhiều so với thực tế [12] Để khắc phục vấn đề này, thuật toán đề xuất xác định nội lực mờ kết cấu sở phép giao kết tính tốn nội lực mờ kết cấu theo hai mơ hình chuyển vị mờ nêu trên:

) ; min(

) ; max(

max , max , max

min , ,

  

S S S

 

(5) đó: Smin , Smax - biên dưới, biên nội lực mờ kết cấu lát cắt  theo thuật toán đề xuất;

S1,min , S1,max - biên dưới, biên nội lực mờ kết cấu lát cắt  theo mô hình hồi quy đa thức bậc đầy đủ;

S2,min , S2,max - biên dưới, biên nội lực mờ kết cấu lát cắt  theo mô hình hồi quy đa thức bậc khuyết

Cơng thức (5) cho kết tính tốn nội lực mờ kết cấu miền hẹp hai phương án sử dụng cho mơ hình thay (đa thức bậc đầy đủ, đa thức bậc khuyết) Về ý nghĩa tốn học, cơng thức (5) phép giao hai tập mờ A B, theo lý thuyết tập mờ [1] Theo [1], xét độ thuộc tập A, B AB, phần tử xi X có độ thuộc nhỏ thuộc tập AB Vì vậy, việc sử dụng (5) thu hẹp bề rộng số mờ đầu (nội lực mờ kết cấu) lát cắt , nghĩa cho kết tính tốn nội lực có độ xác cao Ví dụ minh họa cho thấy rõ điều

2.6 Trình tự tính tốn

Các bước tính tốn thể hình

(4)

Hình 2.Trình tự tính tốn

3 Ví dụ minh họa

Hình 3.Ví dụ minh họa

Xét hệ dàn phẳng hình Mơ đun đàn hồi

E~, lực P~1, P~2, P~3, P~4 số mờ tam giác cân: E~= (200,20,20)LR GPa;

~

P= (200,20,20)LR kN; P~2=(100,10,10)LR kN;

3 ~

P=(100,10,10)LR kN; ~

P=(90,9,9)LR kN

Yêu cầu: xác định chuyển vị nội lực mờ dàn

Thực tính tốn theo thuật toán đề xuất, kết chuyển vị mờ theo phương ngang ui (i - số thứ tự nút) phương đứng v, nội lực mờ N (k - số

thứ tự phần tử) lát cắt  = thể bảng 1, bảng 2, bảng

Để kiểm tra độ tin cậy hiệu thuật toán đề xuất, tính tốn theo mơ hình đa thức bậc đầy đủ, đa thức bậc khuyết, sử dụng thuật toán tối ưu hóa mức  [7] làm chuẩn để so sánh Kết tính tốn lát cắt  = thể bảng 1, bảng 2, bảng

Để thấy rõ hiệu thuật tốn đề xuất, thực tính tốn lát cắt  số mờ theo - Xác định biến mờ chuẩn theo công thức (1)

- Thiết kế mẫu thử theo theo phương án Box -Behnken Nhập liệu mờ đầu vào: tải trọng tác động, đặc trưng lý vật liệu, đặc trưng hình học cấu kiện

Giải toán theo phương pháp PTHH với đầu vào tất định tất mẫu thử để xác định giá trị đại lượng đưa vào tính tốn hồi quy

- Lựa chọn hai mơ hình thay thế: mơ hình hồi quy đa thức bậc đầy đủ, mơ hình hồi quy đa thức bậc khuyết

- Xác định hệ số hồi quy mơ hình thay theo phương án chọn mẫu

- Tính tốn sai lệch chọn lựa phương án theo công thức (4) - Đưa hàm mặt đáp ứng cho hai mơ hình

Xác định đáp ứng kết cấu theo thuật giải di truyền GA : - Đáp ứng kết cấu chuyển vị mờ : tính tốn mơ hình hồi quy đa thức bậc đầy đủ;

-Đáp ứng kết cấu nội lực mờ: tính tốn hai mơ hình, lựa chọn kết theo công thức (5)

1

2

3

4

5

(5)

đủ, mơ hình đa thức bậc khuyết, so sánh với kết sử dụng thuật toán tối ưu hóa mức , thuật tốn xem "chuẩn" tính tốn đáp ứng mờ kết cấu Trong khuôn khổ báo, kết nội lực mờ N5, N8, N9, N11, N13, N14,

N6 thể hình 4, hình 5, hình 6, hình 7, hình 8, hình 9, hình 10 Sai lệch bề rộng khoảng IE tính tốn theo [5] lớn lực dọc mờ N6, sai lệch tương ứng AENmin, AENmax tương ứng thể bảng

Bảng 1.Chuyển vị ngang mờ ui lát cắt  =

Nút Chuyển vị ui lát cắt  = theo thuật toán đề xuất (m)

Chuyển vị ui lát cắt  = theo thuật toán tối ưu hóa mức  (m)

Chuyển vị ui lát cắt  = theo mơ hình đa thức bậc không đầy

đủ (m) [0.0049, 0.0074] [0.0049, 0.0074] [0.0049, 0.0073] [0.0241, 0.0359] [0.0241, 0.0360] [0.0238, 0.0356] [0.0143, 0.0213] [0.0142, 0.0212] [0.0141, 0.0210] [0.0138, 0.0205] [0.0138, 0.0206] [0.0137, 0.0205] [0.0219, 0.0326] [0.0219, 0.0327] [0.0216, 0.0324] [0.0049, 0.0073] [0.0049, 0.0073] [0.0048, 0.0071] [0.0258, 0.0386] [0.0260, 0.0388] [0.0256, 0.0384]

Bảng 2.Chuyển vị đứng mờ vi lát cắt  =

Nút Chuyển vị ui lát cắt  = theo thuật toán đề xuất (m)

Chuyển vị ui lát cắt  = theo thuật tốn tối ưu hóa mức  (m)

Chuyển vị ui lát cắt  = theo mơ hình đa thức bậc không đầy

đủ (m) [-0.0531, -0.0357] [-0.0532, -0.0356] [-0.0526, -0.0352] [-0.0497, -0.0334] [-0.0498, -0.0334] [-0.0493, -0.0330] [-0.0696, -0.0467] [-0.0697, -0.0467] [-0.0691, -0.0462] [-0.0725, -0.0486] [-0.0726, -0.0486] [-0.0719, -0.0480] [-0.0526, -0.0352] [-0.0527, -0.0353] [-0.0522, -0.0350] [-0.0487, -0.0327] [-0.0483, -0.0323] [-0.0488, -0.0327]

Bảng Nội lực mờ Nk lát cắt  =

Phần tử

Nội lực Nk thuật toán đề xuất (kN)

Nội lực Nk theo thuật tốn tối ưu hóa mức  (kN)

Nội lực Nk theo mơ hình đa thức bậc không đầy

đủ (kN)

Nội lực Nk theo mơ hình đa thức bậc

đầy đủ (kN) [237.6590, 294.7679] [240.7502, 294.2500] [237.6590, 297.6747] [237.0211, 294.7679] [-283.1009, -220.6933] [-282.4892, -219.5570] [-285.6969, -217.0131] [-283.1009, -220.6933] [108.1996, 136.9573] [106.8525, 135.2341] [108.1996, 136.9573] [106.1712, 140.5507] [-353.2004, -285.9976] [-356.3524, -291.5612] [-357.4883, -285.9976] [-353.2004, -285.4696] [-42.4439, -18.2228] [-40.8200, -18.6994] [-42.4439, -17.7423] [-45.3479, -18.2228] [66.1074, 96.8557] [66.5070, 93.1767] [66.1074, 96.8557] [65.5117, 99.7069] [260.5507, 321.7632] [259.6898, 317.3976] [259.0372, 322.0624] [260.5507, 321.7632] [52.4304, 70.7781] [54.3166, 71.5866] [52.4304, 70.7781] [47.8632, 73.1307] [234.6004, 290.3413] [237.9677, 290.8491] [231.2762, 290.3413] [234.6004, 290.6610] 10 [-336.0867, -275.4615] [-333.4009, -272.7833] [-338.8939, -272.3661] [-336.0867, -275.4615] 11 [-72.9843, -50.4060] [-70.3276, -48.2071] [-74.2031, -50.4060] [-72.9843, -48.7626] 12 [99.0911, 128.0751] [100.6391, 127.3088] [97.4675, 128.3993] [99.0911, 128.0751] 13 [125.4396, 156.6791] [127.7177, 156.0991] [125.4396, 157.3266] [124.6475, 156.6791] 14 [196.4112, 241.8909] [200.2503, 244.7500] [196.4112, 247.0991] [192.9208, 241.8909] 15 [-346.6271, -285.6186] [-346.1288, -283.1965] [-346.6271, -279.5870] [-347.3970, -285.6186]

Bảng 4.Lực dọc mờ N6(kN)

Lát cắt  Thuật toán đề xuất

Thuật tốn tối ưu hóa

mức  Sai lệch

AENmin(%)

Sai lệch AENmax(%)

Sai lệch IE(%) N6min (kN) N6max (kN) N6min (kN) N6max (kN)

0.0000 66.1074 96.8557 66.5070 93.1767 0.60 3.95

15.29 0.2000 68.3722 92.4415 69.1739 90.5097 1.16 2.13

(6)

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 N5 M e m b e rs h ip f u n c ti o n PA PA OA OA QC QC NQC NQC

45 50 55 60 65 70 75

230 240 250 260 270 280 290

-75 -70 -65 -60 -55 -50 -45

120 125 130 135 140 145 150 155 160

190 200 210 220 230 240 250

65 70 75 80 85 90 95 100

Hình 4.Nội lực mờ N5 (kN) Hình 5.Nội lực mờ N8 (kN)

Hình 6.Nội lực mờ N9(kN) Hình 7.Nội lực mờ N11(kN)

(7)

PA - thuật toán đề xuất ; OA - thuật toán tối ưu hóa mức ; QC - sử dụng mơ hình đa thức bậc đầy đủ; NQC - sử dụng mơ hình đa thức bậc khuyết

Thơng qua ví dụ minh họa trên, nhận thấy số đặc điểm sau thuật toán đề xuất:

- Thuật tốn đề xuất cho kết tính tốn sát với kết lấy làm chuẩn [7] có sai lệch bé phương án tính tốn, cho tất chuyển vị nút nội lực phần tử;

- Các sai lệch bề rộng khoảng IE, sai lệch AENmin AENmax tính tốn theo [5] tương đối nhỏ Sai lệch bề rộng khoảng IE lớn 15.29% lực dọc mờ N6 Tuy nhiên, sai lệch AENmin AENmax tương ứng tương đối nhỏ ( 0.60% 3.95%) Do đó, trường hợp này, đảm bảo độ xác theo u cầu tính tốn

4 Kết luận

Bài báo đề xuất thuật tốn phần tử hữu hạn mờ phân tích tĩnh kết cấu, sở cải tiến thuật toán có tác giả [5] Với lựa chọn hợp lý kết tính tốn theo hai mơ hình thay hàm chuyển vị mờ là: mơ hình đa thức bậc đầy đủ, mơ hình đa thức bậc khuyết Cơ sở toán học lựa chọn sử dụng kết phép giao tập mờ tính tốn từ hai mơ hình thay Thuật toán đề xuất làm tăng độ xác kết tính tốn nội lực mờ kết cấu qua ví dụ kiểm chứng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 B.Bouchon, Meunier, Hồ Thuần, Đặng Thanh Hà (2007), Logic mờ ứng dụng,Nhà Xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội

2 Dubois D., Prade H (1980), Fuzzy Sets and Systems,

Academic Press, NewYork

3 Mason R.L., Guns R.F and Hess J.L (2003), Statistical Design and Analysis of Experiment: With Applications to Engineering and Science, Second Editor, John Wiley & Sons

4 Queipo N.V., Haftka R.T., Shyy W., Goel T., Vaidyanathan R., Tucker P.K (2005), "Surrogate – based analysis and optimizaton", Progress in Aerospace Sciences 41, pp 1- 28

5 Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh (2013), "Một thuật toán phần tử hữu hạn mờ phân tích tĩnh hệ có tham số khơng chắn", Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Hồ Chí Minh - 9/11/2013

6 Hanss M (2005), Applied fuzzy arithmetic - An introduction with engineering applications, Berlin Springer

7 Möller B , Beer M (2004), Fuzzy Randomness – Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics, Springer, Dresden

8 Dubois D., Prade H., Sandri S (1993), On Possibility/Probability Transformations, Proceedings of Fourth IFSA Conference

9 Dubois D., Foulloy L., Mauris G and Prade H (2004), "Probability – Possibility Transformations, Triangular Fuzzy Sets, and Probabilistic Inequalities",, Reliable

Computing 10, pp.273-297, Kluwer Academic Publishers, Printed Netherlands

10 Dubois D.(2006), "Possibility Theory and Staticstical Reasoning", Computational Statistics & Data Analysis 51, pp 47 - 59

11 Michalewics Z (1995), Genetic Algorithms + Data Structures =Evolution Programs,Springer.

12 Rama Rao M.V , Mullen R.L., Muhanna R.L (2011), A new interval finite element formulation with the same accuracy in primary and derived variables, Int J.Reliability and Safety Vol.5, Nos.3/4

Ngày nhận bài: 6/02/2017