• Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân theo định luật Bragg... Kiểm chứng thực nghiệm 4.[r]
(1)Cơ sở
Cơ Học Lượng Tử Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung
1 Lưỡng tính sóng-hạt vật chất Phương trình Schrưdinger
3 Hạt giếng vô hạn chiều Hệ thức bất định Heisenberg
5 Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm (STM)
1 Lưỡng tính sóng hạt vật chất a Giả thuyết De Broglie
b Ví dụ
c Kiểm chứng d Ứng dụng
e Bản chất sóng vật chất
f Bài tập
Louis De Broglie 1892-1987
1a Giả thuyết De Broglie • Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt
• Các hạt vật chất phải có lưỡng tính sóng-hạt?
• De Broglie, 1923 − hạt vật chất sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie) hạt có động lượng p là:
(2)1b Ví dụ • Voi Dumbo khối lượng
1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s có bước sóng De Broglie bao nhiêu?
• Bước sóng q nhỏ để quan sát
34
38
6,626 10
6,626 10
10 10
h J s
m
p kg m s
λ = = × − ⋅ = × −
×
1b Ví dụ
• Bước sóng De Broglie hạt bụi khối lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s
• Bước sóng q nhỏ để quan sát
• Các hạt vĩ mơ khơng thể rõ tính sóng
34
23
6,626 10
3,313 10
10 0,020
h J s
m
p kg m s
λ − −
−
× ⋅
= = = ×
×
1b Ví dụ
• Một electron mạch điện hay ngun tử có động trung bình vào khoảng eV, có bước sóng De Broglie bằng:
• Bước sóng vào cỡ kích thước ngun tử nên quan sát
• Các hạt vi mơ thể rõ tính sóng
( ) ( )
34
31 19
9
6,626 10
2 2 9,11 10 1,6 10
10 10Å
h J s
mK kg J
m
λ −
− −
−
× ⋅
= =
× ⋅ × ⋅
= =
1c Kiểm chứng thực nghiệm
• Davisson Germer, 1927: electron nhiễu xạ tinh thể Nickel giống tia X
• Nhiễu xạ electron tinh thể tuân theo định luật Bragg
(3)1c Kiểm chứng thực nghiệm
• G P Thomson, 1927: electron nhiễu xạ màng mỏng kim loại, tạo vân tròn tương tự tia X nhiễu xạ bột đa tinh thể
Electron Tia X
1c Kiểm chứng thực nghiệm
• Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron hai khe
1c Kiểm chứng thực nghiệm
• Sóng dừng electron bề mặt đồng, ảnh chụp Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center)
1d Ứng dụng sóng De Broglie
• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến triệu lần
(4)1e Bản chất sóng De Broglie − • Giao thoa sóng electron hệ hai khe:
100 electrons 3000 electrons
70 000 electrons
Nơi hạt đến nhiều nơi có cường độ sóng lớn
Càng nhiều hạt, quy luật sóng rõ
1e Bản chất sóng De Broglie − • Max Born, 1928: sóng vật chất làsóng xác suất • Bình phương biên độ hàm sóng vị trí
tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt
• Gọi Ψ(x,y,z) hàm sóng vật chất vị trí (x,y,z) hạt, dV thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt thể tích
dV là:
• |Ψ(x,y,z)|2 mật độ xác suất hạt (x,y,z)
( )2
, ,
dP = Ψ x y z dV
1e Bản chất sóng De Broglie − • Ψ(x,y,z) số phức, nên ta cịn có:
• Xác suất tìm thấy hạt tồn khơng gian
V, hạt tồn tại, phải đơn vị, đó:
• Đó điều kiện chuẩn hóa hàm sóng vật chất
( )2 *
, ,
x y z
Ψ = Ψ ⋅Ψ
( )2
, ,
V
x y z dV
Ψ =
∫
1f Bài tập • Hình bên cho thấy sóng
dừng lò vi ba, màu xám nơi sóng điện từ khơng, cịn màu trắng đen nơi sóng cực đại
(5)1f Bài tập • Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ
lệ với bình phương biên độ sóng vật chất (sóng điện từ photon)
• Biên độ sóng cực đại A C,
• mật độ photon cực đại A C
1f Bài tập
Hàm sóng hạt bị “giam” khoảng từ đến L Asin(πx/L), A số Xác suất tìm thấy hạt vị trí sau lớn nhất?
(a) L/4 (b) L/2 (c) 3L/4 (d) L
1f Trả lời tập • Mật độ xác suất:
• w = A2sin2(πx/L) • Cực trị w
cho bởi:
• sin(πx/L)cos(πx/L) =
• πx/L = 0, π/2, π • x = 0, L/2, L
• w cực đại ứng với x =
L/2
• Câu trả lời (b)
L/2
Hàm sóng
Mật độ xác suất
1f Bài tập
Bước sóng De Broglie electron tăng tốc không vận tốc đầu hiệu điện U
bằng:
(a) (b)
(c) (d)
2 e
h
m eU e
h m eU
2
2 e
h
m eU e
(6)1f Trả lời tập
• Động electron sau tăng tốc:
• Suy động lượng:
• Vậy bước sóng De Broglie là:
• Câu trả lời (a)
2
2 e
p
K eU
m
= =
2 e
p= m eU
2 e
h m eU
λ =
2 Phương trình Schrưdinger a Phương trình
Schrưdinger tổng qt b Phương trình
Schrưdinger dừng c Hàm sóng hạt tự
Erwin Schrưdinger 1887-1961
2a Phương trình Schrưdinger tổng qt • Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) hạt khối lượng m,
chuyển động trường
U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrưdinger tổng qt:
• ħ = h/2π, Δ Laplacian:
2
2
i U
t m
∂Ψ = − ∆+ Ψ∂
ℏ
ℏ i= −1
2 2
2 2
x y z
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
2b Phương trình Schrưdinger dừng • Khi U không phụ thuộc vào thời gian
thì nghiệm phương trình Schrưdinger viết dạng:
• với E lượng hạt, Φ(x,y,z) hàm sóng dừng, thỏa phương trình Schrưdinger dừng:
( , , , ) ( , , )
E i t
x y z t e− x y z
Ψ = ℏ Φ
2
2m U E
− ∆ + Φ = Φ
ℏ
( )
2
2
0
m
E U
∆Φ + − Φ =
(7)2c Hàm sóng hạt tự −
• Phương trình Schrưdinger dừng hạt tự chuyển động theo dọc trục x:
• với E động hạt Phương trình có nghiệm tổng quát là:
2
2
2
0
m E x
∂ Φ + Φ = ∂ ℏ
ikx ikx
Ae Be−
Φ = + k= 2mE2 = p
ℏ ℏ
2c Hàm sóng hạt tự − • Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất:
• sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần số góc ω, vectơ sóng k, bước sóng phù hợp với giả thuyết De Broglie:
( )
E p i
i t i x Et px
e− Ae Ae− −
Ψ = ℏ ⋅ ℏ = ℏ
( )
i t kx
Ae− ω −
Ψ = ω = E k= p
ℏ ℏ
2 h
k p
π
λ = =
3 Hạt giếng vô hạn chiều
a Giếng vô hạn chiều b Năng lượng bị lượng tử hóa c Hàm sóng
d Bài tập
3a Giếng vơ hạn chiều • Hạt chuyển động
giếng vơ hạn chiều xác định :
• a độ rộng giếng
0 0,
x a
U
x x a
< <
=
∞ ≤ ≥
0 a
U → ∞