Bài giảng Vật lý 2: Chương 6 - Lê Quang Nguyên

• Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân theo định luật Bragg... Kiểm chứng thực nghiệm 4.[r]

Cơ sở

Cơ Học Lượng Tử

Lê Quang Nguyên

www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com

Nội dung

1 Lưỡng tính sóng-hạt vật chất Phương trình Schrưdinger

3 Hạt giếng vô hạn chiều Hệ thức bất định Heisenberg

5 Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm (STM)

1 Lưỡng tính sóng hạt vật chất

a Giả thuyết De Broglie

b Ví dụ

c Kiểm chứng d Ứng dụng

e Bản chất sóng vật chất

f Bài tập

Louis De Broglie 1892-1987

1a Giả thuyết De Broglie

• Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt

• Các hạt vật chất phải có lưỡng tính sóng-hạt?

• De Broglie, 1923 − hạt vật chất sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie) hạt có động lượng p là:

1b Ví dụ

• Voi Dumbo khối lượng

1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s có bước sóng De Broglie bao nhiêu?

• Bước sóng q nhỏ để quan sát

34

38

6,626 10

6,626 10

10 10

h J s

m

p kg m s

λ

= = × − ⋅ = × −

×

1b Ví dụ

• Bước sóng De Broglie hạt bụi khối lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s

• Bước sóng q nhỏ để quan sát

• Các hạt vĩ mơ khơng thể rõ tính sóng

34

23

6,626 10

3,313 10

10 0,020

h J s

m

p kg m s

λ

− −

−

× ⋅

= = = ×

×

1b Ví dụ

• Một electron mạch điện hay ngun tử có động trung bình vào khoảng eV, có bước sóng De Broglie bằng:

• Bước sóng vào cỡ kích thước ngun tử nên quan sát

• Các hạt vi mơ thể rõ tính sóng

(

) (

)

34

31 19

9

6,626 10

2 2 9,11 10 1,6 10

10 10Å

h J s

mK kg J

m

λ

−

− −

−

× ⋅

= =

× ⋅ × ⋅

= =

1c Kiểm chứng thực nghiệm

• Davisson Germer, 1927: electron nhiễu xạ tinh thể Nickel giống tia X

• Nhiễu xạ electron tinh thể tuân theo định luật Bragg

1c Kiểm chứng thực nghiệm

• G P Thomson, 1927: electron nhiễu xạ màng mỏng kim loại, tạo vân tròn tương tự tia X nhiễu xạ bột đa tinh thể

Electron

Tia X

1c Kiểm chứng thực nghiệm

• Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron hai khe

1c Kiểm chứng thực nghiệm

• Sóng dừng electron bề mặt đồng, ảnh chụp Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center)

1d Ứng dụng sóng De Broglie

• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến triệu lần

1e Bản chất sóng De Broglie −

• Giao thoa sóng electron hệ hai khe:

100 electrons 3000 electrons

70 000 electrons

Nơi hạt đến nhiều nơi có cường độ sóng lớn

Càng nhiều hạt, quy luật sóng rõ

1e Bản chất sóng De Broglie −

• Max Born, 1928: sóng vật chất làsóng xác suất • Bình phương biên độ hàm sóng vị trí

tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt

• Gọi Ψ(x,y,z) hàm sóng vật chất vị trí (x,y,z) hạt, dV thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt thể tích

dV là:

• |Ψ(x,y,z)|2 mật độ xác suất hạt (x,y,z)

(

)

2

, ,

dP = Ψ x y z dV

1e Bản chất sóng De Broglie −

• Ψ(x,y,z) số phức, nên ta cịn có:

• Xác suất tìm thấy hạt tồn khơng gian

V, hạt tồn tại, phải đơn vị, đó:

• Đó điều kiện chuẩn hóa hàm sóng vật chất

(

)

2 *

, ,

x y z

Ψ = Ψ ⋅Ψ

(

)

2

, ,

V

x y z dV

Ψ =

∫

1f Bài tập

• Hình bên cho thấy sóng

dừng lò vi ba, màu xám nơi sóng điện từ khơng, cịn màu trắng đen nơi sóng cực đại

1f Bài tập

• Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ

lệ với bình phương biên độ sóng vật chất (sóng điện từ photon)

• Biên độ sóng cực đại A C,

• mật độ photon cực đại A C

1f Bài tập

Hàm sóng hạt bị “giam” khoảng từ đến L Asin(πx/L), A số Xác suất tìm thấy hạt vị trí sau lớn nhất?

(a) L/4 (b) L/2 (c) 3L/4 (d) L

1f Trả lời tập

• Mật độ xác suất:

• w = A2sin2(πx/L) • Cực trị w

cho bởi:

• sin(πx/L)cos(πx/L) =

• πx/L = 0, π/2, π • x = 0, L/2, L

• w cực đại ứng với x =

L/2

• Câu trả lời (b)

L/2

Hàm sóng

Mật độ xác suất

1f Bài tập

Bước sóng De Broglie electron tăng tốc không vận tốc đầu hiệu điện U

bằng:

(a) (b)

(c) (d)

2 e

h

m eU e

h m eU

2

2 e

h

m eU e

1f Trả lời tập

• Động electron sau tăng tốc:

• Suy động lượng:

• Vậy bước sóng De Broglie là:

• Câu trả lời (a)

2

2 e

p

K eU

m

= =

2 e

p= m eU

2 e

h m eU

λ

=

2 Phương trình Schrưdinger

a Phương trình

Schrưdinger tổng qt b Phương trình

Schrưdinger dừng c Hàm sóng hạt tự

Erwin Schrưdinger 1887-1961

2a Phương trình Schrưdinger tổng qt

• Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) hạt khối lượng m,

chuyển động trường

U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrưdinger tổng qt:

• ħ = h/2π, Δ Laplacian:

2

2

i

U

t

m





∂Ψ = − ∆+ Ψ

∂









ℏ

ℏ

i

= −

1

2 2

2 2

x y z

∂ ∂ ∂

∆ = + +

∂ ∂ ∂

2b Phương trình Schrưdinger dừng

• Khi U không phụ thuộc vào thời gian

thì nghiệm phương trình Schrưdinger viết dạng:

• với E lượng hạt, Φ(x,y,z) hàm sóng dừng, thỏa phương trình Schrưdinger dừng:

(

, , ,

)

(

, ,

)

E i t

x y z t e− x y z

Ψ = ℏ Φ

2

2

m

U

E





−

∆ +

Φ = Φ









ℏ

(

)

2

2

0

m

E U

∆Φ + − Φ =

2c Hàm sóng hạt tự −

• Phương trình Schrưdinger dừng hạt tự chuyển động theo dọc trục x:

• với E động hạt Phương trình có nghiệm tổng quát là:

2

2

2

0

m E x

∂ Φ + Φ = ∂ ℏ

ikx ikx

Ae

Be

−

Φ =

+

k= 2mE2 = p

ℏ ℏ

2c Hàm sóng hạt tự −

• Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất:

• sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần số góc ω, vectơ sóng k, bước sóng phù hợp với giả thuyết De Broglie:

( )

E p i

i t i x Et px

e− Ae Ae− −

Ψ = ℏ ⋅ ℏ = ℏ

( )

i t kx

Ae

− ω −

Ψ =

ω

=

E

k

=

p

ℏ

ℏ

2

h

k

p

π

λ

=

=

3 Hạt giếng vô hạn chiều

a Giếng vô hạn chiều b Năng lượng bị lượng tử hóa c Hàm sóng

d Bài tập

3a Giếng vơ hạn chiều

• Hạt chuyển động

giếng vơ hạn chiều xác định :

• a độ rộng giếng

0 0,

x a

U

x x a

< < 

=

∞ ≤ ≥

 0 a

U → ∞