với các hàm thành phần pi của p là các hàm giá trị thực thông thường với một biến thực.. Mô tả một đường cong[r]
(1)Đồ họa máy tính
(2)Biểu diễn đối tượng cong
• Bằng tham số
(3)Tại lại dùng tham số?
l Các đường cong tham số linh hoạt l Chúng không cần phải hàm
– Đường cong có nhiều giá trị ứng với tọa độ x
l Số lượng tham số thường cho
thấy chiều vật thể
(4)Mô tả đường cong bề mặt
l Mơ hình hóa đối tượng cách
xác với sai số cho phép
(5)Bài toán xấp xỉ tổng quát
l Hàm g xấp xỉ tốt với tính chất sau:
1 Hàm g gần f theo tính chất
(6)Bài toán xấp xỉ tổng quát
l Cho tập cố định hàm φ1, φ2, …, φk,
tìm hệ số ci cho:
là phép tính xấp xỉ hàm f(x) Hàm φi thường gọi
hàm sở (basic function)
å
=
= k
i
i i x
c x
g
1
) ( )
(7)Xấp xỉ bình phương tối thiểu
l Hàm g(x, c1, c2, …, ck) mà tối thiểu
được gọi xấp xỉ bình phương tối thiểu
( ) å( )
=
-= s
j
k j
j
k f x g x c c c
c c
c E
1
2
1
(8)Một số ràng buộc
1 Những ràng buộc nội suy:
g(xj) = f(xj) với số điểm xj cố định
2 Kết hợp điều kiện (1) với điều kiện
về độ trơn, ví dụ điều kiện đạo hàm
g f đồng điểm xj
3 Các ràng buộc tính trực giao
(f - g) • φi = với i
(9)Đường cong tham số
với hàm thành phần pi p hàm giá trị thực thông thường với biến thực
)) (
), , (
), (
( )
( ,
] , [
: a b R p u p1 u p2 u p u
(10)Mô tả đường cong
l Điểm điều khiển:
– Là tập điểm ảnh hưởng đến hình dạng
của đường cong
l Knots:
– Các điểm nằm đường cong
l Đường cong nội suy (Interpolating
spline):
– Các đoạn cong qua điểm điều khiển
l Đường cong xấp xỉ (Approximating
spline):
– Các điểm điều khiển ảnh hưởng đến hình
(11)Phép nội suy Lagrange
l Bài toán:cho điểm (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn),
tìm đa thức p(x), để p(xi) = yi với i = 0, 1, …, n
l Đa thức Lagrange:
( ) ( ) j i j n i j j n n i n i x x x x x x x x L x L -P = = ¹
=0,
0 ,
, ; , , ,
( )x = ån yi Li n ( )x
(12)Phép nội suy Lagrange
l Hạn chế
- Bậc lớn n lớn
(13)Các đoạn cong
Chúng ta biểu diễn đường cong với độ dài
bằng chuỗi đoạn cong nối với
(14)Cubic Curves)
l Để đảm bảo tính liên tục C2 hàm phải có bậc
ít
l Đường cong cubic có bậc tự thay đổi thứ
l Sử dụng thức: x(t) có bậc n hàm t - y(t) z(t)
tương tự xử lý độc lập
l Có nghĩa là:
i n
i
i x
a t
x å
=
=
0
(15)Đường cong Hermite
l bậc tự do, để điều khiển tính liên tục C0
và C1 đầu
l Sử dụng đa thức để biểu diễn đường cong
l Xác định: x = X(t) theo giá trị x0, x0/, x1,
x1/
Bây giờ:
(16)Tìm hệ số Hermite
Thay t vào hai đầu:
x0 = X(0) = a0 x0/ = X/(0) = a
1
x1 = X(1) = a3 + a2 + a1 + a0 x1/ = X/(1) = 3a
3 + 2a2+ a1
Và lời giải là:
a0 = x0 a1 = x0/
a2 = -3x0 – 2x0/ + 3x
(17)Ma trận Hermite: MH
Đa thức kết biểu diễn qua dạng ma trận: X(t) = tTM
Hq ( q véc-tơ điều khiển)
[ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é -= / 1 / 0 0 0 1 3 2 ) ( x x x x t t t t X
(18)(19)Các hàm Hermite bản
x0 x1
x0/
Đồ thị cho thấy hình dạng bốn hàm (hay gọi
blending functions).
(20)Bài toán nội suy ghép đoạn Hermite
Cho ba (x0, y0, m0), (x1, y1, m1), , (xn, yn,
mn), tìm đa thức bậc ba pi(x), i = 0, 1, , n-1, để
pi(xi) = yi,
pi’(xi) = mi,
pi(xi+1) = yi+1,