vi sao nuoc bi o nhiem

Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc P kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn.. Tæ chøc[r]

Ngày soạn

: 18/09/09

Ngày dạy

: 22/09/09

Chủ đề <t1>

A/Mơc tiªu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa tính chất bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh số bất đẳng thức bản. Kĩ

- Rèn luyện kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tÝnh cÈn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ơn tập lại định nghĩa tính chất bất đẳng thức C/Tiến trình dạy

I

Tæ chøc

II

Kiểm tra cũ

- HS1: Thế bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

- HS2: Nêu tính chất bất đẳng thức ? Cho ví dụ minh họa ? III

Bài mới

A – LÝ thuyÕt

1) Định nghĩa bất đẳng thức.

a nhỏ b, kí hiệu a < b, a – b < a lín h¬n b, kÝ hiƯu lµ a > b, nÕu a – b >

a nhỏ b, kÝ hiƯu lµ a  b, nÕu a - b a lớn b, kí hiƯu lµ a  b, nÕu a - b  0.

 VÝ dô:

VD1: 7 5 7 v× ( 7 5) ( 7  6) 1

VD2:

1 1 3  3 4 v×

1 1

0

3 4

   

    

   

   

VD3: a2 + < a2 + v× (a2 + 1) - (a2 + 2) = -1 < 0

2) Các tính chất BĐT.

+ TÝnh chÊt 1: a > b  b < a

+ TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c  a > c + TÝnh chÊt 3: a > b  a + c > b + c

+ TÝnh chÊt 4: a > b, c > d  a + c > b + d a > b, c < d  a - c > b - d

+ TÝnh chÊt 5: a> b, c > 0 ac > bc ; a> b, <0 ac < bc + TÝnh chÊt 6: a > b 0, c > d0  ac > bd

+ TÝnh chÊt 7: a > b >  an > bn víi mäi n N*; a > b  an > bn (n lỴ)

3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi :

Víi sè d¬ng a , b ta cã : a+b

2 ≥√ab Dấu đẳng thức xảy : a = b

b, Bất đẳng thức Bunhiacơpxki :

Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu đẳng thức xảy <=> a

x=

b y

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : |a|+|b|≥|a+b|

Dấu đẳng thức xảy : ab B – Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1 Phơng pháp : Dùng định nghĩa

 Ph¬ng ph¸p chøng minh A > B :

- Bíc 1: XÐt hiƯu A – B

- Bíc 2: Chøng minh A – B >

- Lu ý : A2 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A =

 Bµi tËp:

*) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

a b

ab



 



 

 

Bài làm : (Bất đẳng thức Cơsi)

XÐt hiƯu

2 2 2

a b a 2ab b 4ab

ab

2

   

 

 

 

 

2

a b



 

  

 

VËy:

2

a b

ab



 



 

  dÊu “=” x¶y a = b.

*) Bài tập 2: Chứng minh với số a, b, x, y ta có (a2 b )(x2 2y )2 (axby)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)

Bµi lµm :

XÐt hiÖu (a2 b )(x2 2y ) (ax2  by)2

= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - b2y2 – 2byax

= (ay – bx)2  0

VËy: (a2 b )(x2 y )2 (axby)2

dÊu “=” x¶y ay = bx hay

a b

x  y

*) Bµi tËp 3: Cho a, b, c, d số thực Chứng minh rằng: a2 b2c2 d2 e2 a(b c de)

Bµi lµm :

=

2 2

2 2

a a a a

ab b ac c ad d ae e

4 4

       

          

       

       

       

=

2 2

a a a a

b c d e

2 2

       

       

       

       

VËy: a2 b2 c2 d2e2 a(b c de)

dÊu “=” x¶y

a b c d e

2

   

*) Bµi tËp 4: Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)

Bµi lµm :

Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)

= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z

= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)

= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2

Do (x - 1)2 víi mäi x

(y - 1)2 víi mäi y

(z - 1)2 víi mäi z

=> H víi mäi x, y, z

Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z

DÊu b»ng x¶y <=> x = y = z =

*) Bài tập 5: Chứng minh với x, y ta có : x4 + y4  xy3 + x3y

Bµi lµm :

XÐt hiÖu : x4 + y4 – ( xy3 + x3y ) = ( x4 – xy3 ) + ( y4 – x3y )

= x( x3 – y3 ) + y( y3 – x3 ) = ( x – y )( x3 – y3 )

= ( x – y )2( x2 + xy + y2 ) = ( x – y )2





2

x y y

2

 

 

 

   0

Vậy bất đẳng thức cho Dấu “ = “ xảy x = y *) Bi 6:

Cho số dơng a , b thoả mÃn điều kiện a + b = Chøng minh r»ng : ( +

1

a )( +

b )  (1)

Bµi lµm : Ta cã ( a +

1

a .)( b +

b )   ab + a + b +  ab ( v× a,b > )

 a + b +  ab   ab   ab ( v× a + b = )  ( a + b )2  ab  ( a – b )2  (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, phép biến đổi tơng đơng Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xảy dấu đẳng thức a = b

a

2

+b2

2 ≥

(

a+b

2

)

2

Híng dÉn:

XÐt hiƯu : H = a

2

+b2

2 −

(

a+b

2

)

2

= 2(a

2

+b2)−(a2+2 ab+b2)

= a − b¿

2≥0

1 4(2a

2

+2b2−a2− b2−2 ab)=1

4¿

Víi mäi a, b DÊu '' = '' x¶y a = b

*******************************

Ngµy soạn

: 20/09/09

Ngày dạy

: 23/09/09

Ch <t2>

A/Mơc tiªu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa tính chất bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng tính chất bất đẳng thức để chứng minh số bất đẳng thức cơ bản.

Kĩ

- Rốn luyn k nng biến đổi rèn luyện khả t toán học thông qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tÝnh cÈn thËn xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa tính chất bất đẳng thức C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

- HS1: Viết tính chất bất đẳng thức ? Giải tập 46/SBT - HS2: Giải tập (tit trc)

- HS3: Giải tập 45/SBT

III

Bµi míi

2 Phơng pháp : Dùng tính chất bất đẳng thức

*) Bµi tËp : Cho hai số x, y thoả mÃn điều kiÖn x + y = Chøng minh x4 + y42

Bµi lµm :

- Ta cã: (x2 – y2)2  (víi mäi x, y)

 x4 + y4  2x2y2

 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1)

dÊu “=” x¶y x = y hc x = - y

- Mặt khác, ta có: (x y)2 (víi mäi x, y)

 x2 + y2  2xy

 2(x2 + y2) (x + y)2

 x2 + y2 2 (2) (v× x + y = 2)

dÊu “=” x¶y x = y

- Tõ (1) (2) x4+y42 dấu= xảy x = y = 1.

*) Bµi tËp : Chøng minh r»ng

2 2

a b c a b c

4

     

Bµi lµm :

Ta cã:

2

2

1

a a a

2

 

    

 

 

2

2

1

b b b

2

 

    

 

 

2

2

1

c c c

2

 

    

 

 

Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta đợc:

2 2

a b c a b c

4 4

       

2 2

a b c a b c

4

      

dÊu “=” x¶y a = b = c =

1



*) Bµi tËp : Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi lµm :

Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab

Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b

Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do < a, b, c, d <1 nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c

=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)

=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d

*) Bµi tËp : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a

Do < a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã :

(1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b

=> + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b

T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a

=> 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a

*) Bài tập : Từ bất đẳng thức





a b 0

, chứng minh bất đẳng thức sau :

+)





2 2

a b a b

2

  

+)





2

ab 4ab

+)





2 a b ab

2

 

+)





2

1 (a, b 0 ) 4ab

a b

 

 +) 1a  1b  a4b (a, b0 )

+)

2

ab 2(a b ) (a, b0 ) (BĐT Bu-nhi-a-côp-xki)

+) ab2 ab (a, b0 ) (BĐT cô-si)

*) Hc sinh t luyn lớp tập sau: *) Bài tập : Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m) b) b(b + a) ab

c) a(a – b)  b(a – b)

d)

c

c 12

*) Bài tập : Cho sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng Chøng minh r»ng (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

*) Bài tập : Chứng minh bất đẳng thức: a) (x + y + z)2  3(xy + yz + xz)

b) c

c

 

*) Bµi tËp : Cho a, b hai số thoả mÃn ®iỊu kiƯn a + b = 2. Chøng minh r»ng a4 + b4  a3 + b3.

*) Bµi tËp 10 : Cho hai sè x, y tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x + y = Chøng minh: a) x2 + y2

1



b)

1

8  x4 + y4

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

- Làm tiếp tập t n 10

Ngày soạn

: 22/09/09

Ngày dạy

: 03/10/09

Ch <t3>

A/Mơc tiªu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức phơng pháp biến đổi tơng đơng dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

KÜ

- Rốn luyn k nng bin i rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tÝnh cÈn thËn vµ chÝnh xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò - GV:

- HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

- HS1: Giải tập 10 câu a

- HS2: Giải tập 10 câu b - HS2: Giải bµi tËp 9

3 Phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng

- Quá trình chuyển từ bất đẳng thức sang bất đẳng thức tơng đơng gọi phép biến đổi tơng đơng

- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh

- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , bất đẳng thức bất đẳng thức

Ta có sơ đồ : A > B  A1 > B1  A2 > B2…  An > Bn

*) Bµi tËp :

Cho a, b hai số dơng có tổng Chøng minh r»ng :

a+1+

1

b+1≥

4 Gi¶i:

Dùng phép biến đổi tơng đơng

3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)  4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  4ab +  4ab  (a + b)2 4ab

Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh *) Bài tập :

Cho a, b, c lµ số dơng thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3

Gi¶i:

Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 =

[(a+b)+c]2≥4(a+b)c

=> 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc

=> a + b abc T¬ng tù : b + c abc c + a abc

=> (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3

*) Bµi tËp :

Chứng minh bất đẳng thức : a

3

+b3

2 ≥

(

a+b

2

)

3

; a > ; b > Giải :

Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > ; b > => a + b > a

3

+b3

2 ≥

(

a+b

2

)

3



(

a+2b

)

.(a2−ab+b2)≥

(

a+b

2

)

(

a+b

2

)

2

 a2 - ab + b2

(

a+b

2

)

2

 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2

 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2) 





a b 0

Bất đẳng thức cuối ; suy : a

3

+b3

2 ≥

(

a+b

2

)

3

DÊu “=” x¶y  a = b *) Bµi tËp :

Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab

Ta cã : a3 + b3 + ab

2 <=> a3 + b3 + ab -

2

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -

2

<=> a2 + b2 -

2 V× a + b = <=> 2a2 + 2b2 - 0

<=> 2a2 + 2(1-a)2 - ( v× b = a -1 )

<=> 4a2 - 4a + 0

<=> ( 2a - )2 0

Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab

2 DÊu '' = '' x¶y a = b =

2 *) Bµi tËp :

Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a

√b−√a √b −

b

√a

Gi¶i :

Dùng phép biến đổi tơng đơng : a

√b−√a √b −

b

√a

 ( a√a+b√b¿−√ab(√a+√b) 

√b¿3

√a¿3+¿−√ab(√a+√b)≥0

¿ ¿

 (√a+√b)(a −√ab+b)−√ab(√a+√b)≥0

 (√a+√b)(a −2√ab+b)≥0



2 ( a  b )( a  b ) 0

Bất đẳng thức cuối ; suy : a

√b−√a √b −

b

√a

*) Bµi tËp :

Cho số dơng a , b thoả mÃn điều kiÖn a + b = Chøng minh r»ng : ( +

1

a )( +

b )  (1)

Gi¶i:

Ta cã ( a +

1

a .)( b +

b )   ab + a + b +  ab ( v× a,b > )

 a + b +  ab   ab ( v× a + b = )

 ( a + b )2  ab  ( a – b )2  (2)

Bất đẳng thức (2) phép biến đổi tơng đơng bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xảy dấu đẳng thức  a = b

4 Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức quan trọng quen thuộc

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh , - Một số hệ từ bất đẳng thức : x2 + y2 2xy

Víi a, b > , a

b+ b a≥2

*) Bài tập :

Giả sử a, b, c số dơng , chứng minh r»ng:

√

a

b+c+

√

b c+a+

√

c a+b>2

Giải

áp dụng B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) 2

√

a(b+c) 

√

a

b+c≥ 2a a+b+c

Tơng tự ta thu đợc :

√

b

c+a≥

2b

a+b+c ,

√

c a+b≥

2c a+b+c

Dấu ba BĐT đồng thời xảy , có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c số dơng )

Từ suy :

√

a b+c+

√

b c+a+

√

c a+b>2

*) Bµi tËp :

Cho x , y số thực dơng tho¶ m·n :

x2 + y2 = x

√

1− y2

+y

√

1− x2

Chøng minh r»ng : 3x + 4y Gi¶i :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :

(x2 + y2)2 = ( x

√

1− y2+y

√

1− x2 )2 (0x1 ; 0y1)

(x2 + y2)(1 - y2 + - x2)

=> x2 + y2 1

Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25

=> 3x + 4y

Đẳng thức xảy

2

x y

0 x 1,0 y y x

3



  



   

 

 

 

{

x=3

5

y=4

5

*) Bµi tËp :

Cho a, b, c ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, √a+b+√b+c+√c+a ≤√6

b, √a+1+√b+1+√c+1<3,5

Giải

a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã :

(√a+b 1+√b+c.1+√c+a 1)≤(1+1+1)

[

(√a+b)2+(√b+c)2+(√c+a)2

]

=>





2

=> √a+b+√b+c+√c+a ≤√6 DÊu '' = '' x¶y : a = b = c =

3 b, áp dụng bất đẳng thức Cơsi , ta có :





(a 1) a

a a 1

2

 

     

T¬ng tù : √b+1≤b

2+1 ; √c+1≤

c

2+1 Cộng vế bất đẳng thức ta đợc : √a+1+√b+1+√c+1≤a+b+c

2 +3=3,5

Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = Vậy : √a+1+√b+1+√c+1<3,5

*) Bài tập 10 :

Cho số dơng a , b , c thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng :

a+

1

b+

1

c9

Giải :

Theo cô - si ta cã :

a b 2

b  a  víi a , b > 0

Ta cã :

a+

1

b+

1

c=¿ (

1

a+

1

b+

1

c) = (

1

a+

1

b+

1

c) (a + b + c)

= 1+a

b+

a c+

b a+1+

b c+

c

a+

c b+1

= 3+(a

b+ b a)+( b c+ c b)+( c a+ a

c)≥ + + + =

=>

a+

1

b+

1

c≥9

DÊu ''='' x¶y : a = b = c = *) Bµi tËp 11:

Cho x , y > Chøng minh r»ng :

x+

1

y≥

4

x+y

Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : x+y ≥2√xy , chia hai vế cho xy >

x+

1

y

2

xy , nhân hai vế với x + y ta cã => (x + y)( 1x+1

y )

2

√xy (x+y) =

√xy xy =

=>

x+

1

y

4

x+y

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại tập chữa - Giải tập từ 12 đến 15

Cho a, b  ; c  0; Chøng minh r»ng: A = a + b + a + c + b + c 

c b a

Híng dÉn:

A = a + b + b + c + a + c

c c a a b b

A =

(

a + c

)

+

(

b + c

)

+

(

a + b

)



c a c b b a

(Lu ý: a, b  0; c  0; )

 a + c  2; b + c  2;

a

+ b  2;

c a c b b a

*) Bµi tËp 13:

Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng: A = (a + b)

2

+ (a + c)

2

+ (b + c)

2

 4(a + b + c)

c b a

Híng dÉn:

áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có



a b



2



a b



2

4c .4c 4(a b)

c c

 

   

T¬ng tù: (a + c)2

+ 4b  (a + c) b

(b + c)2

+ 4a  (b + c) a

Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh *) Bài tập 14:

Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng:

A = (a + b) + (a + c) + (b + c) 

c b a

(a + b)

= (a + b)

c c (a + b)

víi a, b , c  cã c (a + b)



(a + b + c)

(theo c« - si)

 dÊu "="  c = a + b c (a + b ) a + b + c

a + b

 (a + b) dÊu "="  c = a + b c (a + b ) a + b + c

T¬ng tù:

c + a

 2(c + a) dÊu "="  b = c + a b (c + a ) a + b + c

b + c

 2(b + c) dÊu "="  a = b + c a (b + c ) a + b + c

cộng vế bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh

Chú ý: Trong dấu "=" khơng xảy

a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nªn a + b + c = (trái với giả thiết a, b, c > 0) *) Bµi tËp 15:

Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng:

D = (a + b) + (a + c) + (b + c) 

c b a

Híng dÉn: Ta cã:

D2 = (a + b) + (a + c) + (b + c)

c b a

+ 2.

(

(a+b) (b+c) + (a + b)(b+c) + (c+a)(b + c)

)

bc ac ab

áp dụng kết toán 12, ta có





a + b

+ a + c + b + c  dÊu "="  a = b = c

c b a

mặt khác ta lại có:

(a + b)(c + a)  a + bc (a + b)(b + c)  b + ac

(b + c)(a + c)  c + ab (theo Bu –nhi – a- c«p – xki) D2 + 2

(

a + bc

+ b + ac + c + ab

)

bc ac ab

 D2 + + +2 + 2

(

a + b + c

)

bc ac ab

mµ a + b + c 

bc ac ab

(theo c« - si)

 D2  12 +  D2 18  D  2

DÊu "=" x¶y vµ chØ khi: a = b = c

*******************************

Ngày soạn : 02/10/09

Ngày dạy : 06/10/09

Chủ đề <t4>

A/Mơc tiªu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức phơng pháp sử dụng bất đẳng thức ba cạnh tam giác

KÜ năng

- Rốn luyn k nng bin i v rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- Rèn luyện tính cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò - GV: Thớc, compa, ªke

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết bất đẳng thức ba cạnh của tam giác tam giác ABC

- HS2:

Víi x, y > CMR:

1

x  y  xy DÊu “=” x¶y  x = y

III

Bµi míi

5 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức ba cạnh tam giác a , b, c độ dài ba cạnh tam giác  a < b + c (1)

b < a + c (2) c < a + b (3)

Từ bất đẳng thức tổng ba cạnh tam giác ta suy đợc bất đẳng thức hiệu hai cạnh

a < b + c (1) a b c(4) b < a + c (2) b c a(5) c < a + b (3) c a b(6) *) Bµi tËp 1:

Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh  ) Chứng minh :

p − a+

1

p −b+

1

p − c≥2 (

1

a+

1

b+

1

c)

Giải:

Trớc hết ta chứng minh toán : Víi x, y > Chøng minh r»ng

1

x  y  xy DÊu “=” x¶y  x = y

Ta cã : p - a = b+c − a >0 T¬ng tù : p - b > ; p - c >

áp dụng toán trªn ta cã:

p − a+

1

p −b≥

4

(p − a)+(p −b)=

4

c

T¬ng tù :

p − b+

1

p −c≥

4

a

p − a+

1

p −c≥

4

b

=> 2(

p − a+

1

p − c+

1

p − c)≥4(

1

a+

1

b+

1

c)

=> điều phải chứng minh

*) Bµi tËp 2:

Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)  abc

Gi¶i:

Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết

2 2

0 ( )

b c a a  b c a

2 2

0 ( )

c a  b b  c a b

2 2

0 ( )

a b  c c  a b c

Từ



 

 



2 ( )2 ( )2 ( )2 2

      

a b c b c a c a b a b c

 (a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b) a b c2 2

 (a + b - c)2(b + c - a)2(c + a - b)2a b c2 2

 (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)abc

Vì a, b, c, ba cạnh tam giác nên a + b - c >0

b + c - a >0

c + a - b >0 vµ abc >

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh *) Bài tập 3:

Cho ®iĨm M n»m tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: MA + MB + MC >

 

AB AC BC

2

Gi¶i:

Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

MA + MB > AB MA + MC > AC MB + MC > BC

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải ba bất đẳng thức lại ta có: 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

MA + MB + MC >

 

AB AC BC

2 ( ®pcm)

*) Bài tập 4:

Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AM < AB+AC

2 Gi¶i:

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Dễ dàng chứng minh đợc

AMB =DMC (c.g.c)

 CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1) Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có: AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )

M

C B

 AC + AB > 2AM

 AM < AB+AC

2 (điều phải chứng minh) *) Bài tập 5:

Cho điểm I nằm tam giác ABC Chøng minh r»ng: BI + IC < BA + AC Giải:

Kéo dài BI cắt AC t¹i K

Xét AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)  BI + IK < AB + AK  BI < AB + AK - IK (1) Xét KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)

 IC < IK + (AC – AK) (2) Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế ph¶i cđa (1) víi (2) ta cã: BI + IC < AB + AK – IK + IK + AC – AK  BI + IC < AB + AC (®pcm)

*)Nhằm khắc sâu bất đẳng thức tam giác q trình bồi dỡng tơi cho em làm tập có tính nâng cao hơn:

*) Bµi tËp 6:

Cho gãc xOy, Oz tia phân giác góc xOy Từ điểm M n»m gãc xOz vÏ MH vu«ng gãc víi Ox ( H thuéc Ox ), vÏ MK vu«ng gãc víi Oy( K thuéc Oy )

Chøng minh: MH < MK Giải:

Gọi A giao ®iĨm cđa MK víi Oz VÏ AB Ox ( B thuéc Ox ) Nèi B víi M

XÐt KOA vuông K BOA vuông B có: OA cạnh chung

BOA KOA (Oz tia phân giác)

Do Δ KOA = Δ BOA( cạnh huyền – góc nhọn )

 AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )

Xột AMB cú BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác) Do BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK

Mặt khác MH < BM (Quan hệ đờng xiên đờng vng góc) Suy MH < MK (Điều phải chứng minh)

*) Bài tập 7:

Cho tam giác ABC có AB > AC, AD tia phân giác BAC ( D BC).M điểm nằm đoạn thẳng AD Chøng minh: MB – MC < AB – AC

Giải:

Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC v× AB > AC nên E nằm A B suy AE + EB = AB

 EB = AB – AE = AB – AC xÐt Δ AEM ACM có: AE = AC (cách vẽ)

EAM CAM (AD tia phân giác Â) AM cạnh chung

Do ú Δ AEM = Δ ACM (c.g.c) Suy ME = MC (hai cạnh tơng ứng)

V× MC = ME, EB = AB - AC

Do MB – MC < AB – AC (điều phải chứng minh) *) Bài tập 8:

Cho tam giác ABC, gọi a, b, c lần lợt độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Gi¶i:

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b - c > => c(a + b - c) > (1) b + c - a > => a(b +c - a) > (2) a + c - b > => b(a + c - b) > (3)

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải bất đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc: c(a + b - c) + a(b +c - a) + b(a + c - b) >

=> ac + bc - c2 + ab + ac - a2 + ab + bc - b2 > 0

=> 2(ab + bc + ca) - (a2 + b2 + c2) > 0

 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 (điều phải chứng minh)

*) Bài tập 9:

Chứng minh nếu: a = y + z ; b = z + x ; c = x + y a, b, c độ dài cạnh tam giác ( x, y, z lớn hn 0)

Giải:

Theo ta có: a = y + z

b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =

2(a+b+c) c = x + y

Suy x = b+c − a

2 ; y =

a+c −b

2 ; z =

a+b − c

2 V× x, y, z > => b+c − a

2 > ;

a+c −b

2 > ;

a+b − c

2 > => a, b, c thoả mãn độ dài cạnh tam giác

*) Bµi tËp 10:

Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn a + b + c = Chứng minh: ab + bc + ac > abc +

Gi¶i:

Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác Suy : a + b > c

b + c > a a + c > b mµ a + b + c =

suy a < ; b < ; c < => (a - 1)(b - 1)(c - 1) <

 (ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - <  abc + ( a + b + c) - < ab + ac + bc v× a + b + c =

=> abc + < ab + ac + bc (điều phải chứng minh) IV

Hớng dẫn nhà

- Xem lại chữa

- Nếu khơng làm hết tập lớp GV hớng dẫn để HS về nhà làm

Ngày soạn

: 04/10/09

Ngày dạy

: 08/10/09

Chủ đề <t5>

A/Mơc tiªu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức phơng pháp phản chứng, phơng pháp đổi biến, dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiên, phơng pháp quy np toỏn hc

Kĩ năng

- Rốn luyện kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tính cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò - GV:

- HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

II

KiĨm tra bµi cị

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết bất đẳng thức ba cạnh của tam giác tam giác ABC

- HS2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1

III

Bài mới

6 Phơng pháp : Chứng minh phản chứng

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vô lý

- Điều vơ lý trái với giả thiết , điều trái ngợc , từ suy đẳng thức cần chứng minh

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với điều + Phủ định suy hai điều trái ngợc + Phủ định suy kết luận

*) Bµi tËp 1:

Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh ; có bất đẳng thức sau sai : 2a(1 - b) >

8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i:

Giả sử ngợc lại bốn bất đẳng thức Nhân về, ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) >

=>



 

 

 



1 a(1 a ) b(1 b) c(1 c) d(1 d )

256

    

(1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :

√

a(1−a)≤a+1− a

2 =

1

2 => a(1 - a) T¬ng tù : b(1 - b)

4 c(1 - c)

4 d(1 - d)

Nhân bất đẳng thức ; ta có :



 

 

 



1 a(1 a ) b(1 b) c(1 c ) d(1 d )

256

    

(2) Từ (1) (2) suy vô lý

Điều vơ lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai *) Bài tập 2:

Chứng minh khơng có số dơng a, b, c thoả mãn ba bất đẳng thức sau :

a+1

b<2 ; b+

1

c<2 ; c+

1

a<2

Gi¶i

Giả sử tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức : a+1

b<2 ; b+

1

c<2 ; c+

1

a<2

Cộng theo vế bất đẳng thức ta đợc : a+1

b+b+

1

c+c+

1

a<6

 (a+1

a)+(b+

1

b)+(c+

1

c)<6 (1)

Vì a, b, c > nên ta có :

1

a

a

 

;

1

b

b

 

;

1

c

c

 

(theo c«-si) =>

1 1

a b c

a b c

     

Điều mâu thuẫn với (1)

Vy không tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức nói => đpcm *) Bài tập 3:

Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b

Gi¶ sư : a + b > => (a + b )3 >

=> a3 + b3 + 3ab(a + b) >

=> + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = )

=> ab(a + b) >

=> ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = )

Chia hai vế cho số dơng a + b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => > (a - b)2 Vô lý

VËy : a + b 7 Phơng pháp : §æi biÕn sè

- Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa toán cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán biết cách giải

*) Bµi tËp 1:

Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a

b+c+

b c+a+

c b+a

3 Giải:

Đặt : b + c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = x+y+z

2 => a = y+z − x

2 , b =

z+x − y

2 , c =

x+y − z

2 Khi :

VT = a

b+c+

b c+a+

c

b+a =

y+z − x

2x +

z+x − y

2y +

x+y − z

2z

= 2(

y

x+

x y)+

1 2(

z

x+

x z)+

1 2(

z

y+

y z)−

3

2≥1+1+1− 2=

3 *) Bµi tËp 2:

Cho a, b, c > ; a + b + c Chøng minh r»ng :

a2

+2 bc+

1

b2

+2 ca+

1

c2

+2ab≥9

Gi¶i :

Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z

Khi : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab

= (a + b + c)2 1

Bài toán trở thµnh : Cho x, y, z > , x + y + z Chøng minh r»ng :

x+

1

y+

1

z≥9

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)(

x+

1

y+

1

=>

9

1 1

x  y  z  xyz

Mµ : < x + y + z nªn suy

x+

1

y+

1

z≥9

8 Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa số tự nhiên *) Bài tập : Cho a > b > CMR:

1996 1996 1996 1996 a b a b   > 1995 1995 1995 1995 a b a b   Gi¶i :

Để chứng minh bất đẳng thức , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau: Nếu a > b > m,n hai số tự nhiên mà m>n

m m n n

m m n n

a b a b

a b a b

  

  (1)

Thật ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh (1) 

2

m m m n n n

m m n n

a b b a b b

a b a b

    

 



1-2 2

1

m n m n

m m n n m m n n

b b b b

a b   a b   a b   a b

m n

m n m n

m m n n

m m n n

m m n n

b b

b b b b

a b a b

a b a b

b b b b

        1 1 m n m n a a b b  

  1

m n m n a a b b     ( ) ( ) m n m n m n

a a a a

b b b b

   

(2)

Bất đẳng thức (2) ln a > b > nên

a

b  vµ m > n

=> bất đẳng thức (1) áp dụng bất đẳng thức trung gian

m m n n

m m n n

a b a b

a b a b

  

  víi a > b > vµ m > n

Nên m =1996, n =1995 bất đẳng thức phải chứng minh 1996 1996 1996 1996 a b a b   > 1995 1995 1995 1995 a b a b

9 Phơng pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học

- Kin thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n  n0 phơng pháp

quy n¹p toán học , ta tiến hành :

+ Kim tra bất đẳng thức với n = n0

+ Giả sử bất đẳng thức với n = k (k  n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n  n0

2n > 2n + (*)

Gi¶i :

+ Với n = , ta có : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) đúng

víi n =

+ Giả sử (*) với n = k (k N ; k 3) , tức : 2k > 2k +

+ Ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + (k N ; k 3)

hay : 2k+1 > 2k + (**)

- ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo gi¶ thiÕt quy n¹p )

: 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( Vì : 2k - > 0)

Vậy (**) với k

+ KÕt luËn : 2n > 2n + víi mäi sè nguyªn dơng n

*) Bài tập 2: Chøng minh r»ng :

2

5

2n −1 2n

1

√3n+1 (*) (n lµ sè nguyên dơng )

Giải :

+ Víi n = , ta cã : VT = VP =

2 Vậy (*) với n =

+ Giả sử (*) với n = k (kN)ta có : 12 43 56 2k −2k1

√3k+1

Ta cần chứng minh (*) với n = k + Tức là:

2

5

2k −1 2k

2k+1

2(k+1)≤

1

√

3(k+1)+1

Ta cã:

3

5

2k −1 2k

2k+1

2(k+1)≤

1

√3k+1

2k+1

2(k+1)

Do cần chứng minh :

√3k+1

2k+1

2(k+1)

1

√

3(k+1)+1 (**) (t/c b¾c cÇu)

Dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2

 12k3 + 28k2 + 19k + 12k3 + 28k2 + 20k +4

 k (đúng) => (**) với k Vậy (*) với số nguyên dơng n

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

- GV giới thiệu thêm số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khác nh phơng pháp làm trội, tam thức bậc hai,… ứng dụng của bất đẳng thức để giải dạng toán khác Đề nghị học sinh tìm hiểu thêm sách tham khảo sau bồi dỡng tiếp có điều kiện thời gian.

Ngày soạn : 10/11/09

Ngày dạy : 13/11/09

Chủ đề

Bất đẳng thức cực trị đại số

Buổi

Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị biểu thức

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhỏ nhất biểu thức đại số

Kĩ

- Rốn kh nng sỏng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ

- Học sinh tích cực giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

II

KiĨm tra bµi cị

III

Bµi míi

I - Các phơng pháp

Phng phỏp 1: ỏp dng trực tiếp bất đẳng thức

*) Bµi tËp 1: Cho x > vµ y > tháa m·n ®iỊu kiƯn

1 1

x y Tìm giá

trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = x  y . H

íng dÉn : V× x > y > nên

1 0; 0; x 0; y 0

x  y

Vận dụng BĐT cô-si cho hai sè d¬ng

1 ;

x y tìm đợc xy 4

TiÕp tơc vËn dơng BĐT cô-si cho hai số dơng x y Ta cã: A  x  y 2 x y 2 4

DÊu “=” x¶y  x = y = VËy Min A =  x = y = 4

Phơng pháp 2: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó.

*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn biểu thøc A = 3x 5  3x

H

íng dÉn : §KX§:

5 x

3  

Ta cã



 





 







2

A  3x 5  3x 2 3x 3x  2 3x 3x   4

DÊu “=” x¶y  x = 2

VËy Max A2 = => Max A =  x = 2

cïng mét sè kh¸c 0

*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn biểu thøc

x A 5x   H

íng dÉn : §KX§: x9





x .3 x 3

x 3

A

5x 5x 5x 30

  



   

DÊu “=” x¶y  x = 18 VËy Max A =

1

30  x = 18

Phơng pháp 4: Biến đổi biểu thức cho thành tổng các biểu thức cho tích chúng s.

1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau

*) Bài tập 4: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc

4 3x 16 A x   H

íng dÉn :

4

4

3 3

3x 16 16 x.x.x.16

A x x x

x x x



      

DÊu “=” x¶y  x = 2 VËy Min A =  x = 2

2) Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với một hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo của một hạng tử khác có biểu thức cho (có thể sai khác một hằng số)

*) Bµi tËp 5: Cho

9x

0 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =

2 x x

  



H

íng dÉn :

9x 9x x 9x x

A =

2 x x x x x x

 

      

  

DÊu “=” x¶y  x =

1

VËy Min A =  x =

1

Phơng pháp 5: Thêm hạng tử vào biểu thức cho

*) Bài tập 6: Cho ba số dơng x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y + z = Tìm

giá trị nhỏ biểu thøc

2

2 y

x z

P

y z z x x y

  

  

H

ớng dẫn : áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dơng

2 y z x vµ

y z

 

Ta cã

2 y z

x + x

y z

  

T¬ng tù :

2

y z x

+ y

z x

 

 vµ

2 x y

z + z

x y

Cộng vế với vế ba bất đẳng ta đợc P1

DÊu “=” x¶y  x = y = z =

2

VËy Min P =  x = y = z =

2

II – Lun tËp

*) Bµi tËp 7: Cho x > vµ y > vµ x + y = 2a (a > 0) Tìm giá trÞ nhá nhÊt

cđa biĨu thøc A =

1

x  y

H

íng dÉn :

2 x y

xy a xy a

2



   

=>

x y 2a 2

A

xy a a



  

DÊu “=” x¶y  x = y = a VËy Min A =

2

a  x = y = a

*) Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A  x 5  23 x

H

íng dÉn : §KX§: 5 x 23 Max A2 = 36  Max A =  x = 14

*) Bµi tËp 9: Cho x + y = 15, tìm giá trị nhỏ giá trị lớn của

biểu thức B x  y 3 H

íng dÉn : §KX§: x4; y3



 





 



2

B  x 4y 2  x y 3  8 x y 3  8 B

DÊu “=” x¶y  x – = hc y - = 0

NÕu x = y = 11 y = x = 12 (v× x + y = 15)

B MinB  (khi vµ chØ x = 4; y = 11 hc x = 12 ; y = 3)

Max B2 = 16 => Max B = (khi vµ chØ x = 8; y = 7)

*) Bài tập 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

2x 6x A

2x

 



(x > 0) H

íng dÉn :

5

A x 10

2x

    

DÊu “=” x¶y 

1

x 10

2



VËy Min A = 10  

1

x 10

2



IV

Híng dÉn vỊ nhµ

Xem lại chữa, giải tập sau: Cho a, b, x số d -ơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức



x a x

 

b



P

x

Ngày soạn

: 10/11/09

Ngày dạy

: 14/11/09

Ch

Bất đẳng thức cực trị đại số

Buæi

LuyÖn tËp

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức - si để tìm giá trị lớn nhất nhỏ biểu thức đại s

Kĩ

- Rốn kh nng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ

- Học sinh tích cực giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

II

Kiểm tra cũ

- HS1: Giải tập cho tiết trớc

Cho a, b, x số dơng Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc



x a x

 

b



P

x

 



KQ:









2

ab ab

P x (a b) x a b a b

x x

        

Min P =





2 a  b

 x = ab

- HS2: Cho x0 , tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

x 2x 17 Q

2( x 1)

 





KQ:



x 1



2 16 x 1 8 x 1 8

Q

2( x 1) x x

   

    

  

Min Q =  x = 3

III

Bµi míi

*) Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc

x x 34 M

x

 





H

íng dÉn : §KX§: x0



x 3



2 25

25

M x 25 10

x x

 

     

 

Min M = 10  x =

*) Bµi tËp 2: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

x 2000 N

x

 

H

íng dÉn :

2 2000 1000 1000 3 1000 1000

N x x x 3.100 300

x x x x x

       

*) Bµi tËp 3: Cho x > vµ y > 0; x + y 6 Tìm giá trị nhỏ biểu

thøc

16 12

P 5x 3y

x y

   

H

íng dÉn :







12



16 12 16

P x y 3x y 12 3x y 32

x y x y

 

          

 

Min P = 32  x = vµ y = 4

*) Bµi tËp 4: Cho x > y xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc

2

x 1,2xy y Q x y     H

íng dÉn :



x y



2 3,2xy 16

Q x y 16

x y x y

 

     

 

Min Q = (khi vµ chØ x = vµ y = x = - y = - 5)

*) Bµi tËp 5: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức

25 A 4x x    H

íng dÉn :





25





25

A x 4 x 24

x x

       

 

Min A = 24  x = 3,5

*) Bµi tËp 6: Cho < x <1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3

B

1 x x

 

H

ớng dẫn : Đặt

4 b(1 x )

3 3ax

B c

1 x x x x



    

 

Sử dụng phơng pháp đồng hệ số ta tìm đợc a = b = 1; c = 7 Vậy









2 x

3x

B

1 x x



    

 (theo c«-si)

Min B =





2 2

 x =





2 

*) Bµi tËp 7: Cho x, y, z > tháa m·n ®iỊu kiÖn x + y + z = a

a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc B = x2 y2 z2 H

íng dÉn : a)

2 2 2 2

x y y z z x

xy ; yz ;zx (theo c«-si)

2 2

  

  

=>









2 2

xyyz zx x y z  xyz  xyyzzx

=> A

2 a

3



Max A =

2 a

3  x = y = z = a

b)













2

2 2

B  (xy + yz +zx ) max  xy + yz +zx =

2 a

3 (theo c©u a)

Khi Min B =

2

a x y z a

3    

*) Bµi tËp 8: Cho x, y, z số dơng thỏa mÃn điều kiện x + y + z 12

Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc

y

x z

P

y z x

  

H

íng dÉn :

2

2

2 x y z 2x y 2y z 2z x P

y z x z x y

     

2 2

4

x y x y x x y.z

x z 4 4x

y  z  z   yz 

T¬ng tù

2

y y z y z

x 4y

z  x  x  

;

2

z x z x

z y 4z

x  y  y  

Do P2 36 => P 6 Min P=  x = y = z = 4

*) Bµi tËp 9: Cho x, y, z số dơng thỏa mÃn điều kiện x + y + z = a

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc Q =









a a a

1 1

x y z

 

    

 

H

íng dÉn :

2

2 x yz x yz x x y z

a

x x x x



  

   

T¬ng tù:

2

2 y xz y xz y y x z

a

y y y y

        ; 4 z yx a

1

z z

 

Nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta có





4

4 64 xyz

Q 64

xyz

 

Min Q = 64  x = y = z =

a

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại tập chữa - Giải tập sau:

*) Bµi tËp 10 :

Cho a, b, c lµ số dơng thỏa mÃn điều kiện a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc



 

 





 

 



1 a b c A

1 a b c

  



  

H

íng dÉn :

ab   c 1 a   b c 0 T¬ng tù – b > vµ – c > 0

T¬ng tù : 1b2



1 a c ;1 c

 





 2



1 a 1

 

 b



Suy



 

 





 

 





 

 



2 2

1 a 1 b c 8 a 1 b c 8 a 1  b c

VËy

1 A Min A = <=> a = b = c =

3

*******************************

Ngày soạn

: 01/12/09

Ngày d¹y

: 05/12/09

Chủ đề

Hàm số bậc nhất

Buổi

Hàm số bậc - định nghĩa tính chất

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Củng cố định nghĩa tính chất hàm số bậc nhất Kĩ

- Rèn kĩ áp dụng kiến thức vào giải tập Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: Thớc - HS: Thớc

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

II

Kiểm tra cũ

III

Bài mới

Phần I : Lí thuyết

1)

Khái niệm hàm số (khái niệm chung).

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với mỗi giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số.

*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + ; *) Chó ý:

Khi đại lợng x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi thì y đợc gọi hàm hằng.

*) Ví dụ: Các hàm y = 2; y = - 4; y = 7; .

2)

C¸c cách thờng dùng cho hàm số

a) Hàm số cho bảng.

b) Hàm số cho bëi c«ng thøc.

- Hàm hằng: hàm có cơng thức y = m (trong x biến, m )

3)

Khái niệm hàm đồng biến hàm nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x) xác định với x  .

a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên hàm số y = f(x) đợc gọi hàm đồng biến.

(hàm số y = f(x) gọi đồng biến khoảng với mọi x1 , x2 khoảng cho x1 < x2 f(x1)< f(x2) ).

b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm đi hàm số y = f(x) đợc gọi hàm nghịch biến (hàm số y = f(x) gọi nghịch biến khoảng với x1 , x2

trong khoảng cho x1 < x2 f(x1)> f(x2)).

4)

Dấu hiệu nhận biết hàm ng bin v hm

nghịch biến.

Hàm bậc nhÊt sè y = ax + b (a0).

- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến .

- NÕu a < hàm số y = ax + b nghịch biến .

Phần II : Bài tËp

Bµi tËp 1:

Cho hµm sè y =





2

2k x 1  kx(2x 1) 5x víi tham sè k   

a) Chøng tá hµm sè nµy lµ hµm sè bËc nhÊt

b) Với giá trị k hàm số hàm số đồng biến ? là hàm số nghịch biến ?

Híng dÉn:

a) Biến đổi đa dạng y 5(1 k )x 2k Hàm số hàm số bậc a 0

b) k < => hàm số đồng biến ; k >1 => hàm số nghịch biến Bài tập 2:

Xác định k để hàm số









2

yk( x  3)  k 1 x 2

là hàm số bậc Lúc hàm số đồng biến hay nghịch biến?

Híng dÉn:

Biến đổi đa dạng y



2k x







4 2k



x 13k4

Hµm sè nµy lµ hµm sè bËc nhÊt 

2k

k 2k

  

 



 



Ta có hàm số y = 5x + 30 , đồng biến 

Bµi tËp 3:

Cho hàm số f(x) = mx - g(x) =





2

m 1 x5

(m 0) Chøng minh r»ng:

a) Hàm số f(x) + g(x) hàm số bậc đồng biến b) Hàm số f(x) - g(x) hàm số bậc nghịch biến

Hớng dẫn: Học sinh cần tính tổng hiệu hai hàm số sau đó xét dấu hệ số a trờng hợp

Bµi tËp 4:

Cho hµm sè y =







 



2

m  x  2mn 5m n x 3

Với m = ? n = ? hàm số hàm số bậc nhất, nghịch biến ?

Híng dÉn:

§K:



 





 



2 m 2

m

n 5m n 2m n 5m n 2m

    





 

  

   

 

Bµi tËp 5:

Cho hµm sè f(x) = 3x2 1 Chøng tá r»ng f(x+1)- f(x) lµ mét hµm sè bËc nhÊt

Híng dÉn:

Ta cã f(x + 1) =





2

3 x 1 1

Từ tính f(x+1)- f(x) = 6x + 3 Bài tập 6: Cho hàm số y = f(x) biết f(x - 1) = 3x - 5

Chøng tá r»ng hµm sè y = f(x) lµ mét hµm sè bËc nhÊt

Híng dÉn: f(x - 1) = 3x - => f(x - 1) = 3(x - 1) - => f(x) = 3x - lµ mét hµm sè bËc nhÊt

Bµi tËp 6:

Cho hµm sè f(x) = ax5 bx3 cx 5 (a, b, c lµ h»ng sè) Cho biÕt f(- 3) = 208 TÝnh f(3) = ?

Híng dÉn:

f(- 3) =













5

a 3 b 3 c 3 

f(3) =

 

 

 

5

a b c 

f(3) + f(- 3) = -10 Mµ f(- 3) = 208 => f(3) = - 218

Bµi tËp 7: Chøng minh công thức tính khoảng cách d hai điểm A(x1 ; y1 ) vµ B(x2 ; y2 ) lµ d =









2

2 x  x  y y

Hớng dẫn: - Khoảng cách hai điểm x1 x2 Ox

x x

- Khoảng cách hai điểm y1 y2 Oy

y  y

- Theo Py-ta-go tam giác ABC => đpcm

B

y2 y1

x2

x1 x

y

c a

o

Bài tập 8: Hãy xác định dạng tam giác ABC tính diện tích tam giác biết rằng:

a) A(3 ; - 1), B(- ; - 3), C(2 ; - 4) b) A(- ; 2), B(0 ; 3), C(1 ; 1)

Hớng dẫn: a) Tính khoảng cách chứng minh tam giác ABC vng cân Diện tích: CA.CB 52  (đơn vị diện tích)

b) Tính khoảng cách chứng minh tam giác ABC vng cân Diện tích: 2,5 (đơn vị diện tích)

Bµi tËp 9:

Xác định hàm số f(x) biết f(x + 1) = x2  2x3

Híng dÉn: Ph©n tÝch f(x + 1) = (x + 1)2 - 4(x+1) + 6

=> f(x) = x2  4x6 Bµi tËp 10:

Cho hµm sè f(x) = ax4  bx2 x3 (a, b lµ h»ng sè)

Cho biÕt f(2) = 17 TÝnh f(- 2)

Hớng dẫn: Tính f(2) - f(-2) = Tính đợc f(-2) = 13

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

- Ôn lại cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a khác 0)

*******************************

x y

O

x = m

m

Ngày dạy

: 07/12/09

Ch

Hm s bậc nhất

Buổi

đồ thị hàm số

–

vị trí tơng đối hai đờng thẳng

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc củng cố tính chất đồ thị hàm số y = ax (a0) y =

ax + b (a0), vị trí tơng đối hai đờng thẳng, cách tính góc tạo đờng

th¼ng y = ax + b (a0) vµ trơc Ox

- Học sinh áp dụng kiến thức học giải đợc tập liên quan Kĩ

- Rèn khả t duy, lập luận, trình bày Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động học tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: Thíc, m¸y tÝnh bá tói - HS: Thíc, m¸y tính bỏ túi C/Tiến trình dạy

I

Tổ chøc

II

Kiểm tra cũ

- HS1: Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a0)

- HS2: Nêu cách tính góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox III

Bài mới

PhÇn I : LÝ thuyÕt

1) Khái niệm đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.

*) Chú ý: Dạng đồ thị:

a) Hµm h»ng.

Đồ thị hàm y = m (trong x biến, m )

là đờng thẳng song song với trục Ox.

Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đờng thẳng ln song song

víi trơc Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax (a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp

các điểm) ln qua gốc toạ độ, đờng thẳng y = ax nằm góc phần t thứ I thứ III a > 0; đờng thẳng y = ax nằm góc phần t thứ II và thứ IV a < 0

x y

O

O Xx Yy

Y y =

ax (v íi a

< 0) (I) x > 0, y > (II)

x < 0, y >

(III)

x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)

O Xx Yy

Yy =

ax ( víi a

> 0)

(I) x > 0, y > (II)

x < 0, y >

(III)

x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)

c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0) l mt ng thng (hỡnh nh tp

hợp điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (

b a , 0).

O Xx Yy

Y y =

ax + b (v

íi a < 0) (I) x > 0, y > (II)

x < 0, y >

(III)

x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)

O Xx Yy

Yy = ax +

b (v íi a >

0) (I) x > 0, y > (II)

x < 0, y >

(III)

x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)

2) Khoảng cách hai điểm mặt phẳng tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)



1



2



1



2

AB x  x  y  y

M(x ; y) trung điểm AB 

1 2

x x y y

x ; y

2

 

 

3) Hai điểm đối xứng với mặt phẳng tọa độ A đối xứng với B qua trục hoành  x1 x y = - y2

A đối xứng với B qua trục tung  x1 x y = y2

A đối xứng với B qua gốc O  x1  x y = - y2

A đối xứng với B qua đờng thẳng y = x  x1 y y = x2

A đối xứng với B qua đờng thẳng y = - x  x1  y y = - x2

4) Điểm thuộc không thuộc đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) điểm M (x0 ; y0)

Nếu y0 = f(x0) M (x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)

Nếu y0  f(x0) M (x0 ; y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x)

5) Vị trí tơng đối hai đờng thẳng

Hai đờng thẳng y = ax + b (a0) y = a’x + b’ (a'0)

+ Trïng nÕu a = a’, b = b’.

+ Song song víi nÕu a = a’, bb’.

+ Cắt a a’ Hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình ax + b = a’x + b’ (gọi phơng trình hồnh độ giao điểm)

6) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) trục Ox

Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a0) cắt trục Ox điểm A.

Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) góc tạo tia Ax và

tia AT (với T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).

- Nếu a > góc  tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc

tính theo cơng thức nh sau: tg a (cần chứng minh đợc dùng). Khi  nhọn

- Nếu a < góc  tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc

tÝnh theo c«ng thøc nh sau:

 1800   với tg a (cần chứng minh đợc dùng)

Khi  tù

PhÇn II – Bµi tËp

Bài 1: Cho A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) hai điểm nằm đờng thẳng

y = xb Chøng minh r»ng : AB = 2|x2 - x1|

HD :

Tríc hÕt tÝnh y2 – y1 =



1



3 x  x



1



2



1



2



1



2 AB  x  x  y  y  x  x 2 x  x

Bài 2: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị cắt trục tung tại

điểm P có tung độ – ; cắt trục hồnh điểm Q có hồnh độ bằng 3

HD : 1 1

a y x

3

   

Bµi 3: Cho A(0 ; 5); B(- ; 0); C(1 ; 1); M(- 4,5 ; - 2,5).

a) CMR ba điểm A, B, M thẳng hàng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính diện tích tam gi¸c ABC

HD : a) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B: y = x 53 

Tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số y = x 53  => Ba điểm A, B, M thẳng hàng

A

T



x y

O (a > 0)

A T



x y

O (a < 0)

Tọa độ điểm C không thỏa mãn hàm số y = x 53  => Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính khoảng cách AB, BC, AC chứng minh tam giác ABC vuông C (định lí đảo Py-ta-go) => Diện tích 8,5(đvdt)

Bài 4: Cho đờng thẳng (d): y = (m - 2)x – m + 4

CMR với giá trị m đờng thẳng (d) ln qua một điểm cố định

HD : Điểm cố định (1 ; 2)

Bài 5: Cho đờng thẳng (d): y = mx – 2(m + 2) với m 0

(d’): y = (2m - 3)x + (m2 - 1) víi m

3



1 Chứng minh với giá trị m, hai đờng thẳng (d) và (d’) trùng nhau

2 Tìm giá trị m để : a) (d) // (d’)

b) (d) vµ (d) cắt nhau

c) (d) (d) vuông góc víi nhau

HD : 1 Xét tung độ gốc :

2

m  12(m2)(m 1) 20

Phơng trình vơ nghiệm nên khơng tìm đợc m thỏa mãn 2 a) (d) // (d’)  m = 3

b) (d) vµ (d’) cắt m 3

c) (d) (d) vuông góc với

1 m m =

2



Bài 6: Cho đờng thẳng

(d1): y = - 2x + 3

(d2): y = - 2x + m

(d3): y =

1 x 

Không vẽ đờng thẳng trên, cho biết đờng thẳng này có vị trí nh ?

HD : (d1)//(d2) nÕu m  vµ (d1)  (d2) nÕu m = 3

(d1)  (d3) vµ (d2)  (d3)

Bµi 7:

Cho đờng thẳng (d):





1 y 2m x (2m 3) víi m

2

    

(d’): y(m 1)x m với m 1 Tìm giá trị m để:

a) (d) c¾t (d’) b) (d) // (d’) c) (d)  (d’)

HD :

a)

1

m 2;m ;m

2



  

b) m = -2

c) m = hc m =

1

Bài 8: Cho điểm A(3 ; 2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A

HD :

Trớc hết lập phơng trình đờng thẳng OA đợc

2

y x

3



Đờng thẳng (d) có dạng y = ax + b (d) vu«ng gãc víi OA => a =

3



Ta cã hµm sè y =  x b2  (d) ®i qua A (3 ; 2) => b =

13

Phơng trình (d): y =

3 x 13

2

 

Gọi  góc tạo đờng thẳng (d) trục Ox =>  123 41'0

Bài 9: Cho ba đờng thẳng (d1): y = - 3x (d2): y = 2x + 5 (d3): y = x + 4

CMR ba đờng thẳng đồng quy

HD : Tìm giao điểm M (d1) (d2) lµ M(- ; 3)

Tọa độ điểm M thỏa mãn y = x + nên M thuộc (d3) Vậy ba đờng

thẳng đồng quy

Bài 10: Tìm giá trị m để ba đờng thẳng sau đồng quy

(d1): y = x - 4 (d2): y = - 2x - (d3): y = mx + 2

HD : T¬ng tự nh tập ta có giao điểm (d1) (d2) M(1; - 3)

(d3) qua M  m = - 5

Bài 11: Tính diện tích hình giới hạn đờng thẳng

(d1):

1

y x

3



(d2): y = - 3x (d3): y = - x + 4

HD :

Bµi 12:

HD :

- Vẽ đồ thị ba hàm số, mặt phẳng tọa độ - Xác định điểm A (3 ; 1), B(- ; 6)

- Ta thÊy (d1) vuông góc với (d2) => Tam giác OAB vuông O





2

2 2

1

SAOB OA.OB 10

2

     

(đvdt)

Cho hàm số y = (m - 1).x - m -

a) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến. b) Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số qua điểm A (3; 5) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với mọi giá trị m.

a) Để hàm số y = (m - 1).x - m - 3 luôn nghịch biến với mọi giá trị x m - <  m <

Vậy với m < hàm số y = (m - 1).x - m - 3 lu«n nghịch biến với giá trị x.

b) Để đồ thị hàm số y = (m - 1).x - m - 3 qua điểm A (3; 5) Ta có : = (m - 1).3 - m -

 3m - - 2m - =

 m = 11

Vậy với m = 11 đồ thị hàm số y = (m - 1).x - m - 3 qua điểm A

c) Giả sử đồ thị hàm số y = (m - 1).x - m - 3 luôn qua 1 điểm cố định M (x0; y0) với giá trị m

 y0 = (m - 1)x0 - m - (víi m)  y0 = mx0 - x0 - 2m - (víi m)  ( mx0 - 2m) + ( x0 + y0 + 3) = (víi m)  m(x0 - 2) + ( x0 + y0 + 3) = (víi m)

 0         x x y  0      x y

Vậy đồ thị hàm số y = (m - 1).x - m - 3 luôn qua điểm cố định M (x0 = 2; y0 = - 2) với giá trị m

d) Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y = (m - 1).x - m - 3 với các trục toạ độ là:

Cho x =  y = - 2m -  M (0; -2m - 3) Oy  OM =-2m - = 2m +

Cho y =  x =

2m +3

m -  N

2m +3 ;0 m -

 

 

 Ox  ON =

2m +3 m -

Diện tích tam giác MON là: S OMN =

1

2OM ON =

1 2m +3

2m +

2 m -

 S =



2m +3



2

1

2 m -

Để diện tích OMN



2m +3



2

1

2 m - =







2

2m +3 4.2 m -

 4m212m 9 m -



2

2

4 12 8

4 12 8

     

    

m m m

m m m



2

2

4 17

4 20

m m m m         

- Giải hai phơng trình ta tìm đợc điều kiện m

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hàm số cho luôn qua mt im c nh

*******************************

Ngày soạn : 04/12/09

Ngày dạy : 08/12/09

Ch

Hm số bậc nhất

Bi

Lun tËp <T1>

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Củng cố khắc sâu kiến thức hàm số bậc nhất

- Nâng cao phát triển thêm kiến thức hàm số bậc nhất Kĩ

- Rèn kĩ áp dụng kiến thức vào giải tập - Rèn kĩ suy luận, trình bày giải

Thỏi

- Học sinh có ý thức tự giác, tích cực việc ôn luyện để chuẩn bị cho đợt thi HSG chớnh thc

B/Chuẩn bị thầy trß - GV: Thíc

- HS: Thíc

C/TiÕn trình dạy

I

Tổ chức

II

KiĨm tra bµi cị

- HS1: Giải tập cho (câu a) nhà buổi học trớc - HS2: Giải tập cho (câu b) nhà buổi học trớc

III

Bµi míi

Bài 1: Cho ba đờng thẳng :

(d1):





2

y  m  xm  víi m1

(d2): y = x + 1

(d3): y = - x + 3

a) CMR m thay đổi (d1) qua điểm cố định

b) CMR nÕu (d1)//(d3) th× (d1)  (d2)

c) Xác định m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy

HD: a) Điểm cố định (- ; - 4)

b) (d1)//(d3) => Tìm đợc m = Khi (d1): y = - x – 5, ta dễ dàng

chứng minh đợc (d1)  (d2)

c) m = 2

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A (x ; y) x = m + 2; y

= 3m – với mR Tìm tập hợp điểm A

HD: x = m + => m = x – => y = 3x – VËy tËp hợp điểm A là

ng thng y = 3x – 7

Bài 3: Cho điểm A(0 ; - 1) B (- ; 3) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

HD: - Lập phơng trình đờng thẳng AB đợc : y = - x – 1

- Gäi M lµ trung ®iĨm AB => M(- ; 1)

- Vì (d) đờng trung trực AB => (d) vng góc với AB => (d) có dạng: y = x + m

- Vì (d) qua M nên tìm đợc m = Phơng trình (d) là: y = x + Gọi  góc tạo đờng thẳng (d) với trục Ox - Tính đợc  = 450

(GV yêu cầu HS vẽ đồ thị hàm số để quan sát)

Bµi 4:

Cho hai điểm A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) víi x1 x , y2 y2 Chøng

minh đờng thẳng y = ax + b qua A B thì:

1

2

y y x x

y y x x

 



 

HD: Vì hai điểm A, B thuộc đờng thẳng y = ax + b nên ta thay tọa độ của hai điểm A, B vào hàm số Từ tính : y y1 a( x x )1 (1)

Vµ y2  y1 a( x2  x )1 (2)

- Tõ (1) vµ (2) ta suy

1

2

y y x x

y y x x

 



 

Bài 5: Cho đờng thẳng y = mx + m – (m tham số) (1)

a) Chứng minh đờng thẳng (1) qua điểm cố định với giá trị m

b) Tính giá trị m để đờng thẳng (1) tạo với trục tọa độ một tam giác có diện tích 2

HD: a) Điểm cố định N(- ; - 1)

b) Gọi A giao điểm đồ thị với trục tung, ta có OA =|m – 1| Gọi B giao điểm đồ thị với trục hồnh, ta có OB =

1 m m







2

AOB

m

S OA.OB 4

m



    

- Giải phơng trình ta tìm đợc m = - 1; m = 3 2

- Có ba đờng thẳng qua N tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích là:

 m = - 1, ta có đờng thẳng y = - x – 2

 m = 32 , ta có đờng thẳng y =



3 2 x

 

 2



 m = 3 2 , ta có đờng thẳng y =



3 2 x

 

 2



Bài 6: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng sau ln i qua vi mi

giá trị m

a) y = (m - 2)x + 3 b) y = mx + (m + 2) c) y = (m – 1)x+(2m - 1)

HD: a) (0 ; 3) b) (- ; 2) c) (- ; 1)

Bài 7: Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + 11 Đờng thẳng d’ đối

xứng với đờng thẳng d qua trục hoành là: A) y = - 2x + 11 B) y = - 2x – 11

HD: Điểm đối xứng với điểm (x ; y) qua trục hoành điểm (x ; - y) Xét y = 2x + 11 thay y – y ta đợc y = - 2x – 11 Vậy chọn (B)

Bài 8: Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d’ đối

xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là: A) y = x 22  B) y = x - 2

C) y = x 22  D) y = - 2x - 4

HD: Điểm đối xứng với điểm (x ; y) qua đờng thẳng y = x điểm (y ; x) Xét y = 2x – 4, thay x y thay y x ta có y = x 22  Vậy ta chọn (C)

Bài 9: Xác định đờng thẳng qua hai điểm A B, biết rằng:

a) A(- ; 0), B(0 ; 1) b) A(1 ; 4), B(3 ; 0) c) A(- ; 2), B(1 ; 5) d) A(2 ; - 33), B(-1 ; 18)

HD:

a) y = x 12  b) y = - 2x + 6 c) y = x + 4 d) y = - 17x + 1

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại dà chữa - Giải tập sau:

*) Bài tập 1: Cho đờng thẳng

(d1): y 4mx



m víi m 



0 (d2):





2

y  3m 1 xm 

a) CMR m thay đổi đờng thẳng (d1) ln qua điểm A cố

định; đờng thẳng (d2) qua điểm B cố định

b) Tính khoảng cách AB c) m = ? (d1)//(d2)

d) m = ? (d1) cắt (d2) Tìm tọa độ giao điểm m = 2

KÕt qu¶: a) A(

1

4 ; - 5), B(

13 ;

3

 

) b) AB =

1 113 12

c) m = hc m =

1

d)

1 m 1,m

3

 

Với m = giao điểm (d1) vµ (d2) lµ M(-1,4 ; -18,2)

*) Bµi tËp 2:

a) Cho ®iĨm A(0 ; - 5), B(1 ; - 2), C(2 ; 1), D(2,5 ; 2,5) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

b) Tìm x cho ba điểm A(x ; 14), B(-5 ; 20), C(7 ; - 16) th¼ng hàng

Ngày soạn

: 12/01/10

Ngày dạy :

16/01/10

Ch

Hm số bậc nhất

Bi

Lun tËp <T2>

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Củng cố khắc sâu kiến thức hàm số bậc nhất

- Nâng cao phát triển thêm kiến thức hàm số bậc nhất Kĩ

- Rèn kĩ áp dụng kiến thức vào giải tập - Rèn kĩ suy luận, trình bày giải

Thỏi

- Học sinh có ý thức tự giác, tích cực việc ôn luyện để chuẩn bị cho đợt thi HSG chớnh thc

B/Chuẩn bị thầy trß - GV: Thíc

- HS: Thíc

C/TiÕn trình dạy

I

Tổ chức

- HS1: Giải tập cho tiết trớc - HS2: Giải tập cho tiết trớc

III

Bµi míi

Bài 1: Chứng minh đờng thẳng không qua gốc tọa độ,

cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, cắt trục tung tại điểm có tung độ b đờng thẳng có phơng trình

y

x 1

a  b 

HD: Đờng thẳng cần xác định có phơng trình dạng y = mx + n

Đờng thẳng qua hai điểm (0 ; b) (a ; 0) nên ta xác định đợc m, n rút phơng trình trên

Bài 2: Xác định số nguyên a, b cho đờng thẳng y = ax + b đi

qua điểm A (4 ; 3), cắt trục tung điểm có tung độ số nguyên dơng, cắt trục hoành điểm có hồnh độ số ngun dơng

HD: - Đờng thẳng có giao điểm với Ox nên a khác 0

- Giao điểm với Oy (0 ; b), víi Ox lµ (

b ;0 a



)

- Theo đề b

b a



số nguyên dơng a số nguyên

- Điểm (4 ; 3) thuộc đờng thẳng nên 3 = 4a + b =>

b 4

a a

  

Sè a phải ớc Do b

b a



các số nguyên dơng nên a phải số nguyên âm, tìm đợc a  



1; 3



- Với a = - 1, ta có đờng thẳng y = - x + 7 - Với a = - 3, ta có đờng thẳng

y = - 3x + 15

Bài 3: Cho đờng thẳng y = (m - 2)x + 2 (d)

a) Chứng minh đờng thẳng d qua điểm cố định với giá trị m

b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng d 1

c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng d có giá trị lớn nhất.

HD: a) Điểm cố định (0 ; 2)

b) Gọi A, B theo thứ tự giao điểm đ-ờng thẳng d với trục hoành trục tung Ta tính đợc OA =

2

2 m , OB = 2

Gọi OH khoảng cách từ O đến AB, ta có

2 2

1 1

OH OA OB

 

=

2

m 4m

MỈt kh¸c OH = <=> m2 - 4m + = 4

<=>

m

m

  



  

 =>

y x y x

  



  



c) OH lớn <=> m2  4m 5 nhỏ <=> m = Khi đ-ờng thẳng y = OH = 2

Bài 4: Cho điểm A(7 ; 2), B(2 ; 8), C(8 ; 4) Xác định đờng thẳng d

đi qua A cho điểm B, C nằm hai phía d cách đều d

HD: Gọi đờng thẳng (d)

y = ax + b Điểm A(7 ; 2) thuộc d nên = 7a + b (1)

- Đờng thẳng qua B //Ox cắt d M, đờng thẳng qua C và //Ox cắt d N Gọi BH , CK đờng vng góc kẻ từ B, C đến d Ta có BH = CK <=> BM = CN

Đặt BM = CN = m Tọa độ M(2 + m ; 8) N(8 - m ; 4) M thuộc d nên

8 = a(2 +m) + b (2) N thuéc d nªn

4 = a(8 - m) + b (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) => a = - 2, b = 16 m = Đờng thẳng d là y = - 2x + 6

Bài 5: Tìm hệ số a > cho đờng thẳng y = ax - , y = 1, y = và

trơc tung t¹o thành hình thang có diện tích 8

HD: Kí hiệu ABCD hình thang cần tìm diện tích nh hình vẽ Ta tính đợc C( ;5a )

D( ;1a ), BC =

6

a , AD = a

Ta cã SABCD =

=>

6

( ).4 : a

a  a   

§êng thẳng cần tìm y = 2x - 1

Bài 6: Xác định hệ số a b để đờng thẳng y = ax + b cắt trục tung tại

điểm có tung độ - song song với đờng thẳng OA, trong đó O gốc tọa độ, A ( ; 1)

HD:

Đờng thẳng OA có phơng trình y =

1 x

2 nªn a =

2 Ta

tìm đợc b = - (vì đờng thẳng y = ax + b cắt trục tung điểm có tung độ - 2)

Bài 7: Xác định đờng thẳng qua O song song với đờng thẳng AB

HD:

a) x = 0 b) y = 32 x



Bài 8: Cho ba điểm A(- ; 6) , B(- ; 4) C(1 ; 1) Tìm ta nh D

của hình bình hành ABCD

HD: Lập phơng trình đờng thẳng AB, BC

Lập phơng trình đờng thẳng qua A song song với BC (d1)

Lập phơng trình đờng thẳng qua C song song với AB (d2)

T×m giao ®iĨm D cđa (d1) vµ (d2) => D(4 ; 3)

*) Cách khác: Tìm trung điểm M AC => D ?

Bài 9: Cho bốn điểm A(1 ; 4), B(3 ; 5), C(6 ; 4) vµ D(2 ; 2) Tứ giác

ABCD hình ?

HD: ABCD hình thang vuông Chứng minh AB//CD vµ AB  AD

Bµi 10:

Tìm hệ số góc đờng thẳng

y

x 1

3  

HD:

KÕt qu¶:

2



Bài 11: Chứng minh đờng thẳng qua điểm A (x1 ; y1) có hệ

góc a đờng có phơng trình y - y1 = a(x - x1)

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

*******************************

Ngày soạn

: 12/01/10

Ngày dạy :

17/01/10

Chủ đề

Hàm số bậc nhất

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thc

- Củng cố khắc sâu kiến thức hàm số bậc nhất

- Nâng cao phát triển thêm kiến thức hàm số bậc nhất Kĩ

- Rèn kĩ áp dụng kiến thức vào giải tập - Rèn kĩ suy luận, trình bày giải

Thái độ

- Học sinh có ý thức tự giác, tích cực việc ơn luyện để chuẩn bị cho đợt thi HSG thức

B/ChuÈn bị thầy trò - GV: Thớc

- HS: Thớc

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

III

Bµi míi

Bài 1: Cho đờng thẳng (m - 2)x + (m - 1)y = (m tham số) (1) a) CMR đờng thẳng (1) qua điểm cố định với giá trị tham số

b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đờng thẳng (1) lớn nhất

HD: a) Điểm cố định (- ; 1)

b) Giải tơng tự tập (tiÕt tríc)

Kết quả: Khoảng cách từ O đến đờng thẳng (1) lớn bằng

2 <=> m =

Bài 2: Tìm điểm thuộc đờng thẳng 3x - 5y = có tọa độ số nguyên nằm dải song song tạo hai đờng thẳng y = 10 v y = 20

HD: Cần tìm số nguyên x, y thỏa mÃn hai điều kiện

3x 5y (1) 10 y 20 (2)

 

 

  

- Trớc hết tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1), ta cã kÕt qu¶: (5k +1 ; 3k - 1) với kZ

Ta cần có điều kiện





103k 1 20k 4;5;6;7

, từ tìm đợc cặp GT ngun Có bốn điểm thỏa mãn đề A(21 ; 11), B(26 ; 14), C(31 ; 17) và D(36 ; 20)

Bài 3: Đờng thẳng ax + by = (a > 0, b > 0) tạo với trục tọa độ một tam giác có diện tích Tìm tích a.b = ?

HD: Gọi A, B giao điểm đờng thẳng với trục Ox, Oy Tính đợc OA =

6

a , OB =

Bài 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy , lấy điểm A, B cho A(1 ; 1) và B(9 ; 1) Viết phơng trình đờng thẳng d vng góc với AB và chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích

HD: - Gọi H giao điểm AB Oy - Ta tính đợc diện tích tam giác OAB (đvdt)

- Gäi giao ®iĨm cđa d víi AB, OB, Ox theo thø tù lµ C, D, K

- Đặt OK = a (0 < a < 9), ta cã : CB = HB - HC = - a

- Đờng thẳng OB có phơng trình

1

y x

9



, từ tìm đợc tọa độ

cña D (a ;

a

9 ) => DC = a

9



vµ





2

BCD

9 a

S CB.CD

2 18



 

- Do





2

BCD OAB

9 a

S S nªn

2 18



 

- Tìm đợc a = 15 (loại) a = (nhận) => Đờng thẳng cần tìm x = 3

Bài 5: Tìm điểm nằm đờng thẳng 8x + 9y = - 79 , có hồnh độ và tung độ số ngun nằm bên góc vng phần t thứ III

HD: Ta tìm nghiệm nguyên âm phơng trình 8x + 9y = - 79 Rút x từ phơng trình đầu đợc x = - y - 10 +

1 y

Đặt

1 y

= k (kZ) => y = 1- 8k vµ x = 9k - 11

Giải điều kiện x < y < ta đợc

1 k 1

8   => k = (kZ)

Cã nhÊt điểm (-2 ; - 7)

Bi 6: Cho hai điểm A B có tọa độ A(3 ; 17) B(33 ; 193) a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Có điểm thuộc đoạn thẳng AB có hồnh độ và tung độ số nguyên

HD:

a) (AB):

88

y x

15

b) Cần tìm nghiệm nguyên phơng trình mà 3 x 33

Trớc hết tìm nghiệm nguyên phơng trình, có kết dạng (15k + ; 88k + 17) Do 315k 3 33 nên k

=> k có ba giá trị 0; ; Tơng ứng có ba điểm nguyên

Bài 7:

Cho hàm số y = f(x) = ax4  bx2 x3( a , b lµ h»ng sè) Cho biÕt f(2) = TÝnh f(-2)

Tríc hÕt tÝnh f(2) - f(-2) = => f(- ) = 13

Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A, B, C có tọa độ A(0 ; 4), B (3 ; 4) C(3 ; 0) Hãy tìm hệ số a cho đờng thẳng y = ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần, diện tích chứa điểm A gấp đơi diện tích chứa điểm C

Bµi 9:

Cho hàm số y = x2 2x 1  x2  2x 1 a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Dùng đồ thị tìm Min y Max y = ?

HD: a) y = |x + 1| - |x - 1|

Lập bảng xét dấu vẽ đồ thị khoảng b) Nhìn đồ thị , ta

thÊy

Min y = - <=> x 1

Max y = <=> x  1

Bài 10: Cho điểm A(1 ; 4) B(3 ; 1) Xác định đờng thẳng y = ax sao cho A B nằm hai phía đờng thẳng cách đ-ờng thẳng đó.

HD: Kí hiệu đờng thẳng phảI tìm d Gọi AH và BK khoảng cách từ A B đến d Đờng thẳng qua A //Ox cắt d tại điểm M ( ;4a ) Đờng thẳng qua B và //Ox cắt d điểm N ( ;1a )

Ta cã AH = BK  AM = NB



4 1 3

a    a => a =

4 =>(d): y = x

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

Bài tập : Cho đờng thẳng (m + 2)x - my = - (m tham số) a) Tìm điểm cố định mà đờng thẳng qua Kết (

1 ;

2

 

) b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc O đến đờng thẳng lớn

nhÊt KÕt qu¶: Max =

2

m

2  

Bài tập : Vẽ đồ thị hàm số y = x2  4x4  x2 4x4 dùng đồ thị tìm giá trị lớn nhỏ y

KÕt qu¶: Min y = -  x 2 vµ Max y =  x2

Bài tập : Cho điểm A(2 ; 8) B(4 ; 2) Xác định đờng thẳng y = ax cho A B nằm hai phía đờng thẳng cách đờng thẳng đó.

*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào ng link ny - http://quanghieu030778.violet.vn/

Ngày soạn

: 15/01/10

Ngày dạy

: 18/01/10

Ch

H phng trỡnh

Buổi

Hệ hai phơng trình bậc hai Èn

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Củng cố khắc sâu kiến thức hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

- Nâng cao phát triển thêm kiến thức hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Kĩ

- Rốn kh t duy, phân tích tốn tìm hớng giải, trình bày , Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động ơn tập kiến thức giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cò

- HS1: Nêu định nghĩa hệ hai phơng trình bậc hai ẩn, khái niệm nghiệm tập nghiệm ? Thế hai hệ phơng trình t-ơng đt-ơng ?

- HS2: Nêu quy tắc cộng quy tắc để giải hệ phơng trình III

Bài mới

PhÇn I. Lý thut:

1. Định nghĩa (SGK/9)

2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiƯm (SGK/9)

Điều kiện để hệ có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.

ax by c

a' x b' y c '

 

 

 

 (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu

a b c

a' b ' c ' + HƯ v« nghiÖm nÕu

a b c

a' b ' c ' + HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu

a b

a' b'

+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm ab’ – a’b = 0

ax by c a' x b ' y c '

 

 

 



a) Phơng pháp cộng đại số.

+ NÕu cã

ax by c

ax b ' y c '

                 

(b b ')y c c ' ax b ' y c '

+ NÕu cã

ax by c

ax b ' y c '

 

 

 

 

(b b ')y c c ' ax b ' y c '

  

 

 



+ NÕu cã

ax by c

k.ax b ' y c '

              

k.ax kby kc

k.ax b ' y c '  (kb b ')y k.c c '

ax by c

  

 

 



b) Phơng pháp thế.

ax by c

a' x b' y c '

        a c y x b b

a' x b ' y c '                             a c y x b b a c

a ' x b ' x c '

b b

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc áp dụng phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho hệ phơng trình chứa ẩn mẫu, dới dấu bậc hai.)

Phần II. Bài tập:

Bài 1:

Cho hệ phơng trình với tham số a:

(a 1)x y a x (a 1)y

   

 

  



a) Gi¶i hƯ víi a = 2

b) Giải biện luận hệ phơng tr×nh

c) Tìm giá trị ngun a để hệ phơng trình có nghiệm ngun

d) Tìm giá trị nguyên a để nghiệm hệ phơng trình thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.

HD:

a) (

5 ; 4 )

b) KÕt qu¶:

NÕu a0 th× hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) = (

2

2 a ; a

a a

 

) Nếu a = hệ vô nghiệm

c) (x ; y) = (

2

2 a ; a

a a

 

) = ( 2

a 1 ; a a   )

Điều kiện cần : a2 phải ớc => a = hc a = - 1

d) x + y = + 2

1 2 (a 0)

a a

Đặt z =

1 a

=> Tính đợc x + y =





2

7

1 z

4 8

  

VËy (x + y) =

7

8 <=> z =



, tøc lµ : a = - 4

Bài 2: Tìm số nguyên a, b, c thỏa mÃn hai phơng trình 2a + 3b = vµ 3a + 4c = 1

HD:

Tìm cách biểu diễn c theo b, ta có : c =

9b 16 b 2 b

8

   

b c số nguyên <=>

b

8 số nguyên

Đặt b = 8k (k Z) => c = 9k – 2, a = - 12k + 3

Các số nguyên a, b, c phải tìm có dạng:

a = - 12k + 3, b = 8k, c = 9k – (k Z)

Bài 3: Giải hệ phơng trình với ẩn x, y, z tham số a, b, c khác đôi một

2

2

2

a x ay z (1) b x by z (1) c x cy z (1)

               

HD: Lấy (1) – (2) ta đợc (a + b)x + y = (vì a – b 0) (4)

Lấy (2) – (3) ta đợc (b + c)x + y = (vì b – c 0) (5)

Lấy (4) – (5) ta đợc (a - c)x = Do a khác c nên x = => y = z = Vậy nghiệm hệ (0; 0; 5)

Bµi 4 Giải hệ phơng trình sau:

a)

x x 1

y y 12

x x 2

y 12 y

             b)

x 2 y x y 1

           

HD: a) (144 ; 36) b) Rút |y - 1| từ phơng trình dới thay vào phơng trình ta giải đợc hệ phơng trình Nghiệm là (- ; 3) (- ; - 1)

Bài 5: Tìm giá trị a để hai hệ phơng trình sau tơng đơng

2x 3y ax 3y

vµ

3x y x y

   

 

 

   

 

HD: Giải hệ phơng trình đầu ta đợc nghiệm (1 ; 2) Thay vào hệ phơng trình sau ta đợc a = 4

Bài 6: Tìm giá trị m để nghiệm hệ phơng trình sau các

sè d¬ng

x y mx y

       HD:

NghiÖm hệ phơng trình (

5 ; 2m

m m



Giải điều kiện x > y > => - < m <

3

Bài 7: Chứng minh tam giác tạo ba đờng thẳng y = 3x – 2, y =

1 x

3

 

, y = - 2x + lµ tam giác vuông cân.

Bi 8: Tỡm cỏc giỏ trị m để hệ phơng trình sau vơ nghiệm, vơ số

nghiƯm

2(m 1)x (m 2)y m (m 1)x my 3m

    

 

   



HD: Điều kiện cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm:ab’ – a’b = 0.

Giải điều kiện ta đợc m = m = - 1 Với m = 2, hệ vơ nghiệm

Víi m = - 1, hƯ v« sè nghiƯm d¹ng (x ; - 4) víi x thc R

Bài 9:

Cho hệ phơng trình

mx 2y

3x (m 1)y

 

 

  



a) Gi¶i hƯ víi m = 3

b) Giải biện luận hệ theo m

c) Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ số nguyên

HD: a) (1 ; - 1) b)

1

m m -3 hệ có nghiệm ( ; ) m 2 m

 

m = hệ vô nghiệm

m = - hệ vô số nghiÖm (

3x x;

2



) víi xR c) m = - th× hệ vô số nghiệm nguyên (

3x x;

2



) víi xZ, x lỴ m2 m-3 hệ có nghiệm nguyên m - lµ íc cđa

=> m = m = Khi nghiệm nguyên (1 ; - 1) và (- ; 1)

KÕt luËn : m = 3, m = hệ có nghiệm nguyên

Bài 10:

Cho hệ phơng trình

x my m mx y 3m

  

 

a) Giải biÖn luËn hÖ theo m

b) Trong trờng hợp hệ có nghiệm nhất, tìm giá trị của m để tích xy nhỏ nhất.

HD:

a) Víi m 1 hƯ cã nghiƯm nhÊt (

3m ; m

m m

 

  )

m = hệ vô số nghiệm dạng (x ; - x) víi xR m = - hƯ v« nghiƯm

b) Víi m 1 th× : x.y =









2

2

3m 2m 4m 1 1

m m

    

 

Bµi 11:

Cho hƯ phơng trình

(m 1)x y 3m x (m 1)y m

   

 

  



a) Gi¶i vµ biƯn ln hƯ theo m

b) Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ phơng trình là số nguyên

c) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm dơng nhất

HD:

a)

3m m m 0,m hÖ cã nghiÖm nhÊt ( ; )

m m

 

 

m = hƯ v« nghiƯm

m = hƯ v« sè nghiƯm (x ; - x) víi xR

b) m 0,m 2 hƯ cã nghiƯmnguyªn nÕu m lµ íc cđa 2 => m  



1;1; 2;2



m = - th× nghiƯm (5 ; 3) m = nghiệm (1 ; - 1)

m = - th× nghiệm (4 ; 2), với m = nghiƯm lµ (x ; - x) víi xR

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

- Ôn tập kiến thức học chuẩn bị cho đợt thi HSG chớnh thc

*******************************

Ngày soạn

: 16/01/10

Ngày dạy

: 19/01/10

Ch

H phng trình

Bi

Lun tËp

(tiÕt 1)

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Cñng cố khắc sâu kiến thức hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

- Nâng cao phát triển thêm kiến thức hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn Học sinh biết cách giải hệ ba phơng trình ba ẩn số

Kĩ

- Rốn kh nng t duy, phân tích tốn tìm hớng giải, trình bày , Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động ôn tập kiến thức giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

III

Bµi míi

4x 4y 2z x 4y z

  

 

  



a) Biểu thị x y theo z

b) Tìm A vµ max A biÕt A = x + y - z

HD:

a)

3 z z

x , y

4

 

 

b) Do x 0, y0, z 0 (đề bài), kết hợp với câu a ta tìm đợc điều

kiƯn cđa z lµ 0 z

Biểu thị A theo Z ta đợc A =

5 4z



A nhỏ <=> z lớn <=> z = Khi x = 0, y =

5 , A

4

 

A lớn <=> z nhỏ <=> z = Khi x =

3

4 , y =

5 ,A

Bài 2: Tìm số nguyên a, b, c thỏa mÃn hệ phơng trình

2a 3b 3a 4c

 

 

 



HD: Khử a ta đợc 9b + 8c = Tìm nghiệm nguyên phơng trình trên ta đợc b = 8k + c = - 9k – (k nguyên) => a = - 12k - 2

Bài 3: Giải hệ phơng trình sau:

a)

x y z 11 2x y z 3x 2y z 14

              b)

x y z t x y z t x y z t 12 x y z t 16

                      

HD: a) (0 ; ; 8) b) (10 ; - 4; - ; 0)

Bài 4: Giải hệ phơng tr×nh sau:

a)

x y z 12 ax 5y 4z 46 5x ay 3z 38

            

 b)

2 ax y z a

x ay z 3a (a lµ tham sè ) x y az

                HD:

a) Víi a2,a5 hƯ cã nghiƯm lµ (

2 ; ;12 a a 5 )

Víi a = hƯ v« sè nghiƯm , víi a = hệ vô nghiệm b) Với a2,a1 hệ có nghiệm (

2

a a ; 2a ; 1

a a

   

  )

Víi a = - hƯ v« sè nghiƯm, víi a = hệ vô nghiệm

Bài 5: Giải hệ phơng trình sau:

(a b)( x y ) cz a b

( b c )( y z ) ax b c (a, b, c lµ tham sè vµ a + b + c ) (a c )( x z ) by c a

                    

phơng trình (

c b ; a c ; b a a b c a b c a b c

  

  )

Bài 6: Giải hệ phơng trình sau:

a)

ax by cz bx cy az cx ay bz

            

 b)

ax by cz a b c bx cy az a b c cx ay bz a b c

                   

HD: a) Cộng vế ba phơng trình chia cho a + b + c đợc

x + y + z = Thay z = - (x + y) vào hai phơng trình đầu ta cã:

2

(a c) x ( b c )(a c )y ( b a )( b c )x ( b c )( c a )y

               

Cộng vế ta đợc









2

a c ( b a ) b c x

      

 

 

Mµ









2

a c ( b a ) b c 

=













2 2

1 a b b c c a 0

2

       

 

 

Nªn x = VËy nghiƯm lµ (0 ; ; 0)

b) ViÕt hƯ díi d¹ng:





































a x b y c z b x c y a z c x a y b z

                      

Đặt x – = X, y – = Y, z – = Z Giải nh câu a ta đợc X = Y = Z = 0, ta có nghiệm (1 ; ; 1)

Bµi 7:

Giải hệ phơng trình sau:

2

2

2

x xy xz y yz xy z xz yz

                HD:

Cộng vế phơng trình đợc





2

xyz 9

Với x + y + z = ta tìm đợc (

2 ;1; 3 )

Với x + y + z = - ta tìm đợc (

2 ; 1;

3

  

)

Bài 8: Tìm trục tung điểm có tung độ số nguyên, cho nếu qua điểm ta dựng đờng vng góc với trục tung đờng vng góc cắt đờng thẳng x + 2y = (d) 2x – 3y = (d’) tại điểm có tung độ số nguyên.

HD: Giả sử đờng thẳng y = a cắt d d’

theo thứ tự điểm có hồnh độ là b c Cần tìm số nguyên a,

b, c cho

b 2a 2c 3a

 

 

 



Bài 9: Tìm trục hồnh điểm có hoành độ số nguyên cho nếu qua điểm ta dựng đờng vng góc với trục hồnh đ-ờng vng góc cắt ba đđ-ờng thẳng sau điểm có tọa độ là số nguyên

x – 2y = (d1) , x – 3y = (d2) , x - 5y = - (d3)

HD: Giả sử đờng thẳng x = a cắt đ-ờng thẳng (d1) , (d2) , (d3) các

điểm có tung độ theo thứ tự b, c, d Ta cần tìm số nguyên a, b, c,

d cho

a 2b a 3c a 5d

 

 

 



  



Muèn vËy ta tìm số nguyên a cho a chia cho th× d 1 (1) a chia cho th× d 2 (2) a chia cho th× d 3 (3)

BCNN(2,3,5) = 30 Đặt a = 30k + r với k, r nguyên < r < 30 Tõ (3) ta cã r 



3;8;13;18;23;28



Do (1) nên r số lẻ , r 



3;13;23



Do (2) nên r chia d => r = 23

Vậy a = 30k + 23 (k ngun) Từ ta tìm đợc b, c, d theo k và b, c, d số ngun

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

*******************************

*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link ny - http://quanghieu030778.violet.vn/

Ngày soạn

: 12/11/09

Ngày d¹y

: 16/11/09

Chủ đề

Các loại Phơng trình

Buổi Phơng trình bậc nhất, phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn mẫu, Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc hệ thống lại cách giải loại phơng trình (phơng trình bậc nhất, phơng trình chứa ẩn mẫu, phơng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i)

Kĩ năng

Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

II

KiĨm tra bµi cị

III

Bµi míi

A Phơng trình bậc nhất

I Lí thuyết

- Phơng trình bậc phơng trình cã d¹ng ax + b = (a0)

- Phơng trình có nghiệm x =

b a



- Chó ý: NÕu ph¬ng trình chứa tham số ta chuyển dạng Ax = B và xét trờng hợp sau:

Nếu A 0 phơng trình có nghiệm x =

B A



 NÕu A = , B 0 phơng trình trở thành 0.x = B => v« nghiƯm

 NÕu A = 0, B = phơng trình vô số nghiệm

II Bài tập

*) Bài tập : Giải phơng trình sau (với m n tham sè)

a) 2x + m = 0 b) (-2m - 1)x – = 0 c) (m - 1)x – 6m = 0 d) (- 4m + 1)x – 2m = m - 2 e) (m - 1)x + n = 2 H

íng dÉn :

e) Ta cã: (m - 1) = – n

 NÕu m – 0 <=> m 1, phơng trình có nghiệm nhất

2 n x

m

 



 Nếu m = , phơng trình cho có dạng 0.x = – n (*)

 Nếu – n 0 <=> n 2, phơng trình (*) vơ nghiệm

ph-ơng trình cho vô nghiệm

 Nếu – n = <=> n = 2, phơng trình có dạng 0.x = 0, phơng trình (*) vơ số nghiệm phơng trình cho vơ số nghiệm

KÕt luËn:

 m 1,  n R => phơng trình có nghiệm

2 n x

m

 



m = 1, n 2 => phơng trình vô nghiÖm

 m = 1, n = => phơng trình vô số nghiệm

- Các câu khác học sinh làm tơng tự, GV cho HS tự luyện lớp

B Phơng trình tích

I - Lí thuyết

- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0

- Trình bày gän : A(x).B(x) = <=>

A( x ) B( x )

 

 



II – Bµi tËp

*) Bài tập 1: Giải phơng trình sau:

a)









2

1 3x  5x2 b)

2x 9x 7x 60

H

íng dÉn :

a) Chuyển vế đổi dấu, dùng đẳng thức đa phơng trình tích

- KQ: S =





3 ;

2

 

b) Biến đổi phơng trình dạng



x2 x

 

3 2x 1

 





0

- VËy S =





1 3; 2;

2

 

*) Bµi tập 2: Giải phơng trình sau:

a)

















3 3

3 x x x x x x

               

     

b)



 







2

x x 2 x  10 72

c) (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40

d)





2 2

(2x 3x 1)  2x 3x3 240

H

íng dÉn :

a) Sử dụng toán phụ, a + b + c = th× a3 b3 c3 3abc

KQ: S =



11; 4;3



b)



 







2

x x2 x  10 72

<=>





2

( x  ) x 10 72

Đặt tx ( t2 ), phơng trình trở thành t2 14t 32 0 <=> t = 16

KQ: S =



4;4



*) Cách khác : Đặt y = x2 7

c) KQ: S =

6;0

d) Đặt y 2x2 3x 1 => S =





5 ; 2; ;1  

C Phơng trình chứa ẩn mẫu

I - Lí thuyết

- Giải phơng trình chứa Èn ë mÉu ta thùc hiƯn theo bíc:  Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình

Bc 2: Quy đồng mẫu hai vế phơng trình khử mẫu  Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc

 Bớc 4: (kết luận) Trong giá trị ẩn tìm đợc bớc 3, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phơng trình cho, giá trị x khơng thuộc ĐKXĐ nghiệm ngoại lai (loại đi)

*) Bài tập 1: Giải phơng trình sau:

a)





2

1 x 4x 32x 0

4 x 12x 3 16x

   

  

b)

6

1 3x

x x 1 x       H

íng dÉn : a) §KX§:

1 x

2

, đa phơng trình dạng 26x + = 0 KQ: x =

3 26



b) x = 1, 8

*) Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

a)

x

x 3 x x     

b) 2 2

1 1 1

8 x 5x x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30

   

       

c)





2

9

1

x x

2 x

x

    

H

íng dÉn : a) x = 3

b)



 



2

x 5x6 x2 x3

=>



 



1 1

x x x x

x 5x

  

 

 

 

Tơng tự trờng hợp lại KQ: x = x = - 10

D – Phơng trình chứa dấu giá trị tuyt i

I - Lí thuyết

- Định nghÜa:

A nÕu A A

A nÕu A <

 

 

- Các dạng phơng trình f ( x )  0 f ( x )0

 f ( x ) K( K 0 )f ( x )k 

f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )

 

  

 

Hay









2

f ( x ) g( x )  f ( x )  g( x ) , đa phơng trình tích

 f ( x ) g( x ) <=>

f ( x ) f ( x ) g( x )

f ( x ) f ( x ) g( x )

              

 hc <=>

g( x ) f ( x ) g( x )

g( x ) f ( x ) g( x )

Hc <=>

g( x )

f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )

 



 



Hc <=>









2

g( x )

f ( x ) g( x )

 

 

 



- Chó ý:

2

A A

; A A vµ A  B AB A  B

II – Bµi tËp

*) Bµi tËp 1: Giải phơng trình sau

a) x  x 1 10 b) 2x 2x  2 3 x  x H

íng dÉn : a) LËp b¶ng

x -1

x 1 - x - x + x+1

x 1 - x + - x + x -

x 1  x 1 10 - 2x = 10 = 10 = 10 210 2x = 10

- Khi 1 x 1: Phơng trình vô nghiệm

- Khi x < -1 phơng trình có nghiệm x = - 5 - Khi x > phơng trình cã nghiÖm x = 5 - VËy S =



5;5



b) S = 

*) Bµi tËp 2: Giải phơng trình sau

a) x2 2x 1 25 b) x2 6x9  4x2  4x 1 H

ớng dẫn : Đa dạng phơng trình chứa dấu giá trị truyệt đối a) S =



24;26



b) S =



 32 ;4



IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại cỏc bi ó cha

- Giải tập sau: Giải phơng trình sau a) 5 x 2x b) x 1  2x 3 KQ: a) S =



31 ;0,5





b) S =





8 ; 3

Ngày soạn

: 15/11/09

Ngày dạy

: 19/11/09

Chủ đề

Các loại Phơng trình

Buổi Phơng trình vô tỉ

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc học cách giải dạng phơng trình vơ tỉ giải thành thạo số dạng phơng trình đó

Kĩ năng

- Rốn k nng gii phng trình vơ tỉ Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

II

KiĨm tra bµi cị

- HS1:

Giải phơng trình 5 x  2x (đã cho tiết trớc) - HS2:

Giải phơng trình x 1  2x 3 (đã cho tiết trớc) III

Bài mới

E Phơng trình vô tỉ

1 Dạng 1:

2

f ( x ) A( A 0 )f ( x )A (víi f(x) lµ mét ®a thøc)

- Chú ý: Nếu f(x) không đa thức mà biểu thức chứa biến ở mẫu cần phải đặt điều kiện xác định phơng trình

*)Lu ý chung : Hầu hết giải phơng trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phơng trình điều kiện tơng đơng Nếu khơng thử lại trực tiếp.

a) 4x 5 2 b)

2x 2 x

 



H

íng dẫn :

a) Bình phơng hai vế

b) §KX§:

2x 0 x

x 3

x

x 2

 

  

 

 



 

  

 

- Bình phơng hai vế tìm đợc

1 x

2

(t/m ĐKXĐ)

2 Dạng 2:





g( x )

f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )

 

 

Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh: √x −5 = x - (1) Giải

Phơng trình (1)

2 x (2)

x ( x ) (3)

 

 

  



Giải phơng trình (3) : x - = x2 -14x + 49  x2 -15x + 54 = 0

 (x - 6)(x - 9) = => x = x = 9 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = thoả mãn Vậy phơng trình cho có nghiệm : x = 9 Ví dụ 2: Giải phơng trình: √x+5 = - x (1)

Giải

Phơng trình (1)  - x   x (2) x + = (1 - x)2 x2 - 3x - = (3)

- Gi¶i phơng trình (3) : (x + 1)(x - 4) = => x = -1 hc x = 4 - §èi chiÕu víi §K (2) ta thÊy x = -1 thoả mÃn

- Vậy x = -1 nghiệm phơng trình (1).

3 Dạng 3:

f ( x ) f ( x ) g( x ) g( x )

f ( x ) g( x )

 



  

 



Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:

a) 3x 1 2 2 x b) 2x 1 3 5 x H

íng dÉn :

a) Phơng trình cho 

3x 1

x

2 x x

x 3x 4x

 

  

 

 

    

 

     



b) T¬ng tù: x =

46 11

+ = g(x) (1). Sơ đồ cách giải.

- T×m điều kiện có nghĩa phơng trình:

f(x) 0

g(x)  0 (2).

h(x)  0

- Víi ®iỊu kiện (2) hai vế phơng trình không âm nên ta bình phơng hai vế, ta có:

f ( x ).h( x ) =

2 ¿¿ g(x) - (x) - h(x) ¿ (3)

- Phơng trình (3) có điều kiện mới:

¿

¿ g(x)2 - f(x) - h(x) ¿  (4)

- Bình phơng hai vế phơng trình (3) đợc phơng trình bit cỏch gii.

- Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) điều kiện (4) kết luận. Ví dụ 1: Giải phơng trình: x+3 + 1 x = (1)

Giải

- Điều kiÖn cã nghÜa: x +   x  -  -  x  (*) - x  x  1

- Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta có: x + + - x + 2 √x+3 . √1− x = <=> √x+3 . √1− x =

=> x = hc x = -

- Cả giá trị - thoả mãn ĐK (*)

- Vậy phơng trình cho có hai nghiệm : x1 = - x2 =

VÝ dô : Giải phơng trình: x+3 = - √x −2

<=> √x+3 + √x −2 = (1)

Giải

Điều kiện : x +  < => x  - <=> x  (*) x –  x 2

- Với điều kiện (*) bình phơng hai vế phơng trình (1) ta có : 2x + + √x+3 . √x −2 = 25

 √x+3 . √x −2 = 24 - 2x

<=> √x+3 . √x −2 = 12 - x (2)

- Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x   x  12 (**) - Bình phơng hai vế (2) ta có:

(x + 3)(x - 2) = (12 - x)2  x2 + x - = 144 - 24x + x2

 25 x = 150

 x = thoả mÃn điều kiện (*) (**) - Vậy nghiệm phơng trình x = 6.

+ = (1)

Dạng khác dạng vế phải nên cách giải tơng tự nh dạng 4. Ví dụ 1: Giải phơng trình

√x+1 = √12− x + √x 7 (1) Giải:

Điều kiện: x +  0 12 - x  

x -  0

Với điều kiện (*) phơng trình (1) có hai vế khơng âm nên ta bình phơng hai vế, ta đợc : ( √x+1 )2 = ( √12− x + √x −7 )2

 x + = 12 - x + x - + 2. √12− x . √x −7  √12− x . √x −7 = x - (2)

Với (*) hai vế phơng trình (2) khơng âm ta bình phơng hai vế của (2) ta đợc:

Ph¬ng tr×nh (2) < (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16

 5x2 - 84x + 352 = (3)

Ta cã : ' = 1764 - 1760 = >  = 2

Phơng trình (3) có hai nghiệm: x1 = 8,8 ; x2 = thoả mãn ĐK (*)

Vậy phơng trình cho có nghiệm : x1 = 8,8 ; x2 = 8

Ví dụ : Giải phơng tr×nh

√5x −1 - √3x −2 = √x −1 (1) Giải

Điều kiện: 5x - x 

5

3x -  <=> x

3 <=> x  (*)

x -  x 

- Phơng trình (1) có dạng : 5x 1 = √3x −2 + √x −1

- Với ĐK (*) bình phơng vế phơng trình (1) ta có : 5x - = x - + 3x - + 2 √3x −2 . √x −1

<=> x + = 2. √3x −2 . √x −1

- Với x  hai vế phơng trình khơng âm , bình phơng vế của phơng trình ta đợc:

(x + 2)2 = 4.(x - 1)(3x - 2)  x2 + 4x + = 12x2 - 20x +

<=> 11x2 - 24x + = 0

<=> (x - 2)(11x - 2) = <=> x = hc x =

11

- Theo ĐK (*) phơng trình có nghiệm x = 2 - VËy x = lµ nghiƯm phơng trình

IV

Hớng dẫn nhà

- Xem lại lớp

- Giải phơng trình sau:

a) x 1  x (x = 3) b) x2  2x 1 25 (S =



24;26



)

*******************************

Ngày soạn

: 18/11/09

Ngày dạy

: 23/11/09

Chủ đề

Các loại Phơng trình

Buổi Phơng trình vô tỉ (tiếp)

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh tiếp tục đợc học cách giải dạng phơng trình vô tỉ giải thành thạo số dạng phơng trỡnh ú

Kĩ năng

- Rốn k nng giải phơng trình vơ tỉ Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động giải tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chức

- HS1: Giải phơng trình x 1  x (KQ: x = 3)

- HS2:

Giải phơng trình x2 2x 1 25 (KQ: S =



24;26



) III

Bµi míi

6 D¹ng 6:

+ = + (1)

*) Sơ đồ lời giải:

§iỊu kiƯn: f(x)  0; h(x)  0, g(x)  0; k(x) 0 Bình phơng hai vế ta có:

f(x) + h(x) + = g(x) + k(x) + 2

- Tïy theo tõng bµi mµ ta có phơng pháp giải

Ví dụ : Giải phơng trình

x+1 + √x+10 = √x+2 + √x+5 (1)

Giải Điều kiện:

x + 0 x -

x + 10 0 <=> x - 10 <=> x - (*) x + 0 x - 2

x + 0 x - 5

Bình phơng vế phơng trình (1) ta có :

x + + x +10 + √x+1 √x+10 = x + + x + + 2 √x+2 . √x+5

<=> + √x+1 . √x+10 = √x+2 . √x+5

Víi §K : x -1 hai vế phơng trình không âm tiếp tục bình phơng ta có :

+ (x + 1)(x + 10) + 4 √x+1 . √x+10 = (x + 2)(x + 5)

<=> + x2 + 11x + 10 + 4

√x+1 . √x+10 = x2 + 7x + 10

<=> - x - = x+1 . x+10 (2)

Phơng trình (2) cã §K: x -1 (**)

Tõ (*) vµ (**) ta cã x = -1 lµ nghiệm phơng trình

7 Dạng 7:

+ + n = g(x) (1)

Sơ đồ cách giải.

§iỊu kiƯn: f(x), h(x)  0.

Đặt t= + (t 0) => t2 = f(x) + h(x) + từ ta giải tiếp => =  t2 - f(x)

- h(x):

Ta biến đổi phơng trình (1) phơng trình ẩn t, sau tìm t => x = ? Ví dụ : Giải phơng trình

Giải

Điều kiện : x + 1 0

- x 0 <=> -1 x 3 (*)

Đặt t = x+1 + √3− x ( t > 0) , ta cã : t2 = x + + 3- x+ 2 √x+1 . √3− x

=> 2 √x+1 . √3− x = t2 - (**) Khi phơng trình (1) có dạng:

2t - ( t2 - ) =  t2 - 2t =  t( t - 2) = 0 (2)

Phơng trình (2) có hai nghiƯm lµ t1 = 0; t2 = 2.

NghiƯm t = thoả mÃn ĐK : t > 0

Khi t = theo (**), ta cã : 2 √x+1 . √3− x = 22 - 4

<=> √x+1 . √3− x = = > x = -1 hc x = 3

Cả nghiệm thoả mãn điều kiện (*) Vậy phơng trình có nghiệm x = -1 v x = 3

Bài tập tổng hợp

*) Bài tập 1: Giải phơng trình sau

√x −1 - √5x −1 = 3x 2 (1)

Giải

Điều kiện: x 1 (*)

Chuyển vế phơng trình (1), ta cã : √x −1 = √5x −1 + √3x −2

Bình phơng vế phơng trình ta đợc:

x - = 5x - + 3x - + √5x −1 . √3x −2  - 7x = 2 √5x −1 . √3x −2 (2) Phơng trình (2) có ĐK: - x   x

2

7 (**)

Kết hợp điều kiện (*) (**) => phơng trình vô nghiệm

*) Bài tập 2: Giải phơng trình sau

x2

+2x+1 +

√

x2−6x+9 = (1)

Giải

Phơng trình (1)

x+1¿2 ¿

x −3¿2 ¿ ¿ ¿

√¿

⇔|x+1|+|x −3|=4 (2)

1) ¿

x+1≥0

x −3≥0

⇔

¿x ≥−1

x ≥3

⇔x ≥3

¿{

¿

(*)

PT (2) cã d¹ng x + + x - =  x = tho¶ m·n (*)

2) ¿

x+1<0

x −3>0

⇔

¿x<−1

x>3

{

(không xảy ra)

3)

¿

x+1>0

x −3<0

⇔

¿x>−1

x<3

⇔−1<x<3

¿{

¿

(**)

PT (2) cã d¹ng x + + - x =  0x = 0 PT có vô số nghiệm tho¶ m·n (**)

4) ¿

x+1≤0

x −3<0

⇔

¿x ≤ −1

x<3

⇔x ≤−1

¿{

¿

(***)

Phơng trình (2) có dạng: - x - - x + =  - 2x =  x = -1, thoả mãn ĐK (***) Kết hợp nghiệm => phơng trình cho có nghiệm -1 x 3

*) Bài tập 3: Giải phơng tr×nh

√

x+6 √x −9 +

√

x −6 √x −9 = x+623 (1)

Gi¶i

§K: x - 0 <=> x (*)

6.(

√

(t+3)2 + t −3¿

2 ¿

√¿

) = t2 + +23 <=> 6.( |t+3| + |t −3| ) = t2+ 32

<=> t2- 12t + 32 = (t ) (2)

t2- = (0 t 3) (3)

Giải phơng trình (2) ta đợc nghiệm phơng trình t = t = + Nếu t = => x = 82 + = 73

+ NÕu t = => x = 42 + = 25

Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm phơng trình : t =

=> x = 22+ = 13

Vậy phơng trình cho có nghiệm : x = 73 ; x = 25 ; x = 13

*) Bài tập 4: Giải phơng trình

√

x+3+4√x −1 +

√

x+8−6√x −1=5 (1)

Giải Điều kiện: x

Phơng trình (1)

x −1+4√x −1+4 +

√

x −1−2 3√x −1+9 = 5.



√x −1+2¿2 ¿

√x −1−3¿2 ¿ ¿ ¿

√¿

 √x −1 + + |√x −1−3| = (do x )

 |√x 13|=3x 1

Vì VT không âm nên ta cã: - √x −1≥0⇔√x −1≤3⇔0≤ x −1≤9 ⇔1≤ x ≤10

Kết hợp ĐK ta thấy 1≤ x ≤10 nghiệm phơng trình cho

*) Bài tập 5: Giải phơng trình

x+2x 1+

x 2x 1=2 (1)

Giải

Điều kiƯn: x  1

Ta biến đổi phơng trình (1) dạng:

√

x −1+2√x −1+1+

√

x −1−2√x −1+1=2



√x −1+1¿2 ¿

√x −1−1¿2 ¿ ¿ ¿

√¿

 |√x −1+1|+|1−√x −1|=2

LËp luËn tơng tự nh ta có nghiệm phơng trình lµ  x  2.

*) Bµi tËp : Giải phơng trình

x −2+√2x −5+

√

x+2+3√2x −5=7√2 (1)

Gi¶i §iỊu kiƯn: x  5/2

Biến đổi phơng trình (1) :

√

2(x −2+√2x −5)+

√

2(x+2+3√2x −5)=14 (2)

Đặt : 2x 5 = y  2x - = y2  2x = y2+5

Phơng trình (2) có dạng:

y2+2y+1+

y2+6y+9=14

y+1¿

2 ¿

√¿

+ y+3¿ ¿

√¿

<=>  y+ 1 +  y + 3 = 14 y  nên phơng trình có dạng : y+ + y + = 14 <=> 2y +4 = 14

<=> 2y = 10

<=> y = (thoả mÃn điều kiện y  0) VËy √2x −5 =

Với điều kiện : x  5/2 , vế phơng trình khơng âm bình ph-ơng vế ta có: 2x - = 25

<=> x = 30

<=> x = 15 ( tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x 

2 )

Kết luận: Phơng trình cho có nghiệm x = 15.

*) Bµi tËp : Giải phơng trình

x2 +

x23x+5 = 3x + (1)

Giải Phơng tr×nh (1)  x2 - 3x - +

√

x2−3x+5 =

 x2 - 3x + +

√

x2−3x+5 - 12 = (2)

§iỊu kiƯn: x  R

§Ỉt

√

x2−3x+5 = t ( t  ) => x2 - 3x + = t2 (*)

Phơng trình (2) có dạng : t2 + t - 12 = 0

 = 49 >  = 7

Vậy phơng trình có hai nghiệm: t1 = ; t2 = - 4

V× t nên t = thoả mÃn

Theo (*) ta cã : x2 - 3x + =  x2 - 3x - = <=> (x+1)(x-4) =

VËy nghiệm phơng trình là: x = -1 ; x = 4.

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

*******************************

Ngày soạn : 10/10/09

Ngày dạy : 17/10/09

Chủ đề

Rút gọn tính giá trị biểu thức

Bi

C¸c phÐp tÝnh thức

A/Mục tiêu

Hc xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thc

- Thực thành thạo phép tính thức Kĩ

- Rốn kĩ biến đổi, rút gọn trình bày

- Rèn luyện khả t duy, sáng tạo, linh hoạt học sinh Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động B/Chuẩn bị thầy trị

- GV:

- HS: Ơn tập công thức biến đổi thức bậc hai C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

- u cầu HS viết công thức tổng quát biến đổi thức bậc hai III

Bài mới

I - LÝ thuyÕt

- Các công thức biến đổi thức 1)

2 A A

2) AB  A B ( víi A 0 vµ B 0)

3)

A

A (víi A 0 vµ B > 0)

B  B 

4)

2

A B A B (víi B0)

5) A B  A B (víi A2 0 vµ B0)

2

A B  A B (víi A < vµ B 0)

6)

A AB (víi AB 0 vµ B 0)

B  B  

7)

A B

A (víi B > 0) B

B

8)





2

C A B

C (víi A 0 vµ A B )

A B A B

  

 



9)





C A B

C (víi A 0 , B 0 vµ A B)

A B

A B

   

 



II – Bµi tËp vËn dơng

*) Bµi tËp 1: TÝnh M = 4  4 H

íng dÉn:

C¸ch 1:

2

8 7 7

4

2 2

 

   

    

 

T¬ng tù

2

4

2

  

  

 

Từ tìm đợc M =

7 2

2 2

 

  

Cách 2: Tính M2 , sau tính M

C¸ch 3: Sử dụng công thức phức tạp

2

A A B A A B

A B

2

   

  

*) Bµi tËp 2: Rót gän biĨu thøc M =

7

7

  



H

ớng dẫn: Tơng tự tập ta tÝnh M2 = => M = (M > 0)

*) Bài tập 3: Cho hai số có tổng 19 có hiệu Tìm tích của hai số đó

H

íng dÉn:

Gi¶ sư hai sè cã tỉng b»ng 19 vµ cã hiƯu b»ng lµ a vµ b, ta cã a + b = 19 vµ a - b = .

Ta tìm đợc a =

19



vµ b =

19

2



Thùc hiÖn a.b = 3

*) Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau a) A = 2 3 42

c) C = 3



10 

 

3



H

íng dÉn:









a ) 2 3 2

6 3

        

      

b) T¬ng tù B = 1 c) T¬ng tù : C = 8

*) Bµi tËp 5: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau a) A = 13 6 4 4

b)B = 31 6 5 3 3 5 3 3 5 H

íng dÉn:

a) A =





2

13 6 42   13 6 1  19 6 3 1

b) Tríc hÕt tÝnh 3 3 5 3 3 5

=

9 3 5   6 5

 

=> B = 31 6 5 . 6 5

31 31 959

   

*) Bµi tËp 6: Tính giá trị biểu thức A = 15a2 8a 15 16 víi a =

3

5 

H

íng dÉn:

Tríc hÕt thu gän biĨu thøc A = a 15  TÝnh a =

8 15 15

Từ tìm đợc A =

8 15

15 4

15    

*) Bµi tËp 7: TÝnh c¸c tỉng sau a) A =

1

1 2 99 100

 

  

b) B =

1

1 5 2001 2005

 

H

íng dÉn:

a) Trục thức mẫu số hạng, tính đợc A = -1 + 100 9 b) Trục thức mẫu số hạng, tính đợc B =

2005

*) Bài tập 8: Tính tổng sau Cho A =

1

1 2 120 121

  

  

Vµ B =

1

1 35

  

Chøng minh : A < B H

íng dÉn:

Để tính A ta trục thức mẫu số hạng khử liên tiếp đợc A = 10

Để tính B ta biến đổi nh biểu thức A phơng pháp “làm giảm”





2 2

B

2 2 35

2 2

B

1 2 3 35 35

1 1

B 2( )

1 2 3 35 36

B 2( 35 34 36 35 )

B 10

    

    

   

    

   

          

  

VËy A < B

*) Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng





2 2

1 1 1

a b a b

a b a b

    

 

¸p dơng tÝnh M =

2

2

999 999

1 999

1000 1000

  

H

íng dÉn:

Bình phơng hai vế ta đợc đpcm, áp dụng tính M nh sau:









2

2 2

999

1 1

M 999

1000

999 999

999

1 1

M 999

999 1000 1000 999 999

M 999 1000

1000 1000

 

 

   

  

 

   

    

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa - Giải tập sau: *) Bài tập 10:

Rót gän biĨu thøc A = (4 15 )( 10  ) 4 15 H







 

 



A 15 15 15

8 15 16 15 5

    

       

*) Bµi tËp 11: Chøng minh r»ng:

A = 82 10 5  8 102   10 H

íng dÉn:

Sư dụng công thức phức tạp

2

A A B A A B

A B

2

   

  









2

A 40 8 40

8 64 40 8 64 40

A ( )

2

8 64 40 8 64 40

( )

2

8 24

A 2 12

2

10 10

     

     

 

     

 

 

 

   

   

*******************************

Ngày soạn

: 18/10/09

Ngày dạy

: 24/10/09 Chủ đề

Rút gọn tính giá trị biểu thc

Buổi

Rút gọn biểu thức chứa thøc bËc hai

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Vận dụng kiến thức học để giải tập tổng hợp Kĩ

- Rèn kĩ biến đổi, rút gọn trình bày

- Rèn luyện khả t duy, sáng tạo, linh hoạt học sinh Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động - có ý thức tự giác học tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tæ chøc

II

Kiểm tra cũ

- HS1: Giải tập 10 tiết trớc

- HS2: Giải tập 11 tiết trớc III

Bài mới

I - LÝ thuyÕt

Để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ta làm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có)

- §a bít thõa sè dấu (nếu có) - Trục thức mÉu (nÕu cã)

- Thực phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự biết để làm xuất thức đồng dạng

- Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng)

II – Bµi tËp

*) Bài tập : (đề thi HSG năm học 2004 - 2005)

Cho biÓu thøc B =

2

x x x x

x x x x

 



   

a) Rút gọn biểu thức A = 1 Bx 1 với 0 x b) Tìm x để A < 2

H

íng dÉn:

a) Víi x 0 =>





2

3

1

x x x

2 4

      

Vµ





2

3

1

x x x

2 4

      

Vậy để B có nghĩa x 0



 

 

 











2

2

2

x x x x x x x x

B

x x

2 x x x

2 x x x

B x ( x )

      



 

  

 

 

A =





2

1 2 x x 1  1 x   1 x 

V× 0 x 1 => x 1 nên A = x

Tóm lại A = x (0 x 1)

b) A <  x <  x < 4, kết hợp với điều kiện ta có 0 x

*) Bµi tËp 2: Cho biĨu thøc P =





2 x

x x x

x x x x



   

   

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P với x = 14 5 c) T×m GTNN cđa P

H

íng dÉn:

a) Tríc hÕt chóng ta tìm ĐKXĐ: x0, x9

Khi ú : P =



 

 





 



2

x x x x x

x x

x x

     

 



 

b)





2

x 14 6    x    3

P =

58 11



c)

x x 9

P x x

x x x x

  

        

   

=> P2  24 DÊu “=” x¶y 

9

x x

x

   



VËy P =  x = 4 *) Bµi tËp 3: Cho biĨu thøc

x

x

1

P

x x x 2 x 2x x

     

      

     

   

a) Rót gọn P

b) Tính giá trị P với x = 3 2 H

ớng dẫn: Nhân tử thứ không nên quy đồng mẫu mà ta cần trục căn thức mẫu, nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, từ ta thu đợc kết nhanh chóng đỡ phải tính tốn phức tạp

a) §KX§: x 1, x2, x 3













x x

x x x x

P

1 x x 2 x

    

     

  

 

 









x 2 x

P x

x

x x

     









b)x 2 x

2

1

P

2

      

 

   

 

*) Bµi tËp 4: Cho biÓu thøc

2x x 2x x x x

1

P :

1 x

1 x x x x

       

     

    

 

   

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P víi x = 7 3 c) Chøng minh P > 1

H

íng dÉn:

a) §KX§: x 0, x1







 





 





 





 





























 









 



2 x x x x x

x x

P :

x x x x x x x

x x

2 x x

P :

1 x x x

x x

2 x 1 x

P : x

1 x x x

x x

2 x 1 x x x x

P : x

x x x x x

1 x x x

2 x

P

2 x x x

                                                                                          

1 x x

x

 

b)





2

x 7  2  x  2

Thay số ta tìm đợc P = 3

c)

1 x x 1

P x x 1

x x x

 

        

Do P1, dấu “=” xảy 

1 x

x



 x = 1 Nhng x = không thỏa mÃn ĐKXĐ Vậy P > 1



 

 

 

 

 



y

x z

P

x y x z y z y x z x z y

  

     

H

íng dÉn:

Ta quy đồng với mẫu thức chung



x  y

 

y  z

 

z  x



Kết quả: P = 1

Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị biến *) Bài tập 6: Cho biÓu thøc

x

1 P

x x x x



  

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa P H

íng dÉn:

a) §KX§: x 0, x9

MÉu thøc chung



x 2

 

x  3



, kÕt qu¶ : P =

x x

 

b) P= +

2 x 2

Pmax 

2

x 2 max  ( x 2)min  x = 0

Lúc Max P = 2

*) Bµi tËp 7: Cho biÓu thøc

P =

x y x y x y 2xy

:

1 xy

1 xy xy

       

     

      

 

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P với x =

2

c) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa P H

íng dÉn:

a) ĐKXĐ: x 0, y0, xy1 Kết quả: P =

2 x x 1

b) x =

2

2 =







Từ ta tính đợc P =

6 13



c) Ta cã: x + 1=> P =

2 x x 1 (theo c« - si) x x



 

 

DÊu “=” x¶y  x = vµ y 1, y 0

VËy max P =  x = vµ y 1, y 0

y

x z

P

xy x yz y zx z

  

     

BiÕt xyz = 4, tÝnh P H

íng dÉn:

ĐKXĐ: x, y, z 0 Kết hợp với xyz = ta đợc x, y, z > xyz 2

Nhân tử mẫu hạng tử thứ hai với x , thay mẫu hạng tử thứ ba xyz ta đợc





xy

x z

P

xy x 2 xy x z x xy

   

     

VËy P =

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa - Giải tập sau:

*) Bµi tËp : Cho biĨu thøc

2

1 x x 1

A

x

1 x x 1 x 1 x x

   

 

 

     

     

  

 

a) Tìm điều kiện để A xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Tính giá trị A

1

x hc x

2



 

H

íng dÉn:

a) §KX§: 1 x 1, x 0

b) Với nhân tử thứ ta rút gọn số hạng thứ hai, sau quy đồng nhân tử thứ nhất, cuối ta thu đợc kết

2

1 x x

A

x x x

 

    

 

 

 

XÐt hai trêng hỵp: TH1: 1 x

2

2 2

1 x x 1 x

A

x x x x

   

        

  



   

   

TH2: 0x1 T¬ng tù A = - 1

1

c )x A

2

x A

2

  



   

Ngày soạn

: 19/10/09

Ngày dạy

: 24/10//09 Chủ đề

Rút gọn tính giá trị biểu thức

Buổi

Rút gọn biểu thức chứa thức bËc hai

(tiÕp)

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Thực thành thạo việc rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Vận dụng kiến thức học để giải tập tổng hợp, chứng minh đẳng thức, …

KÜ

- Rốn k nng bin i, rỳt gọn trình bày

- Rèn luyện khả t duy, sáng tạo, linh hoạt học sinh Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động - có ý thức tự giác học tập B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tổ chøc

II

Kiểm tra cũ

- HS1: Giải tập câu a cho tiết trớc

- HS2: Giải tập câu b cho tiết trớc - HS3: Giải tập câu c cho tiết trớc III

Bài mới

*) Bài tập 10 : Cho biểu thức

D =



 



1 x

x : x :

x x x

 

   

 

a) Tìm điều kiện x để biểu thức D xác định b) Rút gọn D

c) Khi x = 6 20 th× D = ?

d) Tìm giá trị nguyên x cho D có giá trị nguyên H

a) Biểu thức D xác định 

x 0, x x

1

x

x             

  <=> x 0, x 1, x2

b)



 







2

2

x x 1 x 1 x 2 x 4x 4 x 1 x

D : :

x x x x x 2x x

x x                           

c) x = 6 20 =





2

5 1  1

=> D =

5

5

  



  

d) D =

x 1

x x

  

 

D số nguyên

4

x2 số nguyên Muốn x + phải lµ íc cđa 4,

cuối ta tìm đợc giá trị x - 3; - 1; - 4; - 6 *) Bài tập 11 : Cho biểu thức

x x

F :

x x 1 x x x x 1

   

     

    

   

   

a) Rót gän biĨu thøc F

b) Tìm F = ? x = 42 c) Tìm x = ? để F > 1

H

íng dÉn:

a)ViÕt l¹i biĨu thøc









x x

F :

x x 1 x 1 x 1

                       

BiÓu thøc cã nghÜa









x 0, x 0, x x

1 0

x x x

               

 , tìm đợc

x x     

Rót gän biĨu thøc F =

x x x

  

b) x = 42 =





2 1

c) F > 

x x x

 

 >  

x 0

x

 

Vì x0 nên x + > VËy ta cÇn cã x - > <=> x > Tóm lại x > F > 1

*) Bµi tËp 12 : Cho biÓu thøc

3

3

x y x x y y

1 1

A :

x y

x y x y x y xy

     

  

   

 

   

  

a) Tìm điều kiện để A xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Cho xy = 16 Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất H

íng dÉn:

a) §K: x > 0, y > 0





2

1 1 1

b)

x y x y

x y x y xy

x y

x xy y

xy xy

 

       

  

 



 

 













3

3

x y x y

x y x x y y x y

xy x y xy

x y xy

 

   

 

 

=> A =



x y



2 xy x y

xy x y xy

 

 

c) xy = 16 => A =

2 xy

x y 16

1 (theo c«-si)

16 16 16



  

Min A = x  y  1 x  y *) Bài tập 13 : Rút gọn biểu thức sau:

a) A =

3

a b a b

ab víi a > b > a b

a b

 

 

  



  

 



2



x x x x

b)B x : x x víi x > vµ x

1 x x

     

          

     

 

H

íng dÉn:



 

 













 







2 2

2

2

b)Rút gọn biểu thức ngoặc tr ớc

B x x x 1 x : x 1

1 x x 2

1 x x                      

*) Bài tập 14 : Chứng minh đẳng thức sau

a)

x

1 : 1 x víi x 0,x 1

x x x x x

                            b)

a b a b b b a

a

a ab ab a ab a ab

 

  

    

 

    

víi ab,a0, b0 H

íng dÉn: a) Rót gän

1

x x x x



    = x 1  x 1

=> A =





x x

x x : x

x

  

    



b) Rót gän

b b

a ab a ab



  =

2 b a b













a b 1

B

a a b a a b

a b a

B

a a

a a b

          

*) Bµi tËp 15 : Chøng minh

a)

2

3

a ab b . a a a 0 víi a,b > 0

a b b a b b



  

 

b)





a 1 b 1

ab 4ab : ab víi a, b >

b a b a a b ab

 

      

 

 

c)

3 a b . a b a víi a, b > vµ a b a

a b 9a 2 b a a 25b

   

  

H

íng dÉn:

a) VT =





4

a a b

ab a a

b .

a b b a b



 

=

a b a

a a a VP

b a



    

 (®pcm)

b) Rút gọn ngoặc thứ ta khử mẫu biểu thức lấy căn, sau cm



 











3 a b a b

3a ab ab 2b a

c )VT VP

a a

a 3a 2b 25ab a 3a 2b ab

 

  

    

   

- Yêu cầu HS tự luyện lớp tập sau *) Bài tập 16 : Chứng minh đẳng thức





2 2

4

2 2

2

2

a x a x a a

a ) víi a > x

x x

a x a x

5 6

b)

3

x x y y

c ) xy : x y víi x, y > vµ x y

x y

  

  

  

     

 

   

   

 

   

  

     

  

 

*) Bµi tËp 17 :

Cho biĨu thøc B = 2 2 2

a 1 a : b

a b a b a a b

 

 

 

 

     

a) Rót gän biĨu thøc B b) TÝnh B nÕu

a

b 

H

íng dÉn:

a) KÕt qu¶: B = 2

a b a b

 

b) B =

5

víi b >

5 vµ B =

5

víi b <



IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

*******************************

Buổi

Trả khảo sát chọn HSG đợt I

A/Mơc tiªu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh làm khảo sát chọn HSG đợt I Kĩ

- Rèn kĩ trình bày Thái độ

- HS thấy đợc cịn thiếu sót làm thi rút kinh nghiệm kì thi tới

B/Chn bÞ cđa thầy trò

- GV: bi v hng dẫn chấm khảo sát chọn HSG đợt I - HS: Đề khảo sát chọn HSG đợt I, thớc, máy tính bỏ túi C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

III

Bµi míi

khảo sát chọn HSG đợt I (năm học 2009 - 2010)

Thêi gian: 150 C©u (1 điểm)

Phân tích thành nhân tử











3 3

a b c  b c a  c a b

Híng dÉn:

C¸ch 1: Theo HD chấm phòng GD huyện Gia lộc

Cách 2: Hớng dẫn HS nhân phá ngoặc phân tích thành nhân tử

Câu (2 điểm)

a) Tìm sè tù nhiªn n tháa m·n



 



3 n

1

1.2 2.3 n n 3 n 5

 

   

   

b) Rót gän: P = 2

1

1 2 2009 2 2009 1

  

    

Híng dÉn:

a) Theo HD chÊm cđa phßng GD hun Gia léc

b) Theo HD chÊm cđa phßng GD huyện Gia lộc, nhng sửa lại kết

2

P 2009  

Câu (2 điểm)

a) Chứng minh phân số sau tối giản 12n 13 (n sè nguyªn)30n 32

 

b) Chứng minh số sau số phơng : 16; 1156; (số có đợc cách chèn số 15 vào số đứng trớc) Hớng dẫn:

a) C¸ch 1: Theo HD chÊm phòng GD huyện Gia lộc

Cách 2: Gäi d = ¦CLN (12n + 13 ; 30n + 32) víi dN, d1

=> 12n + 13 d 30n + 32 d hay 5(12n +13) d 2(30n + 32) d Hay 60n + 65 d 60n + 64 d Do (60n + 65) - (60n + 64) d Hay d  d = 1

b) Theo HD chÊm phòng GD huyện Gia lộc

Câu (2 ®iĨm)

Một tơ từ A tới B, có ba đoạn đờng: Lên dốc, đờng xuống dốc; lại từ B trở A đờng cũ, thảy 41 phút Biết lên dốc xe với vận tốc 40 km/h; đờng với vận tốc 50 km/h; xuống dốc với vận tốc 60km/h độ dài quãng đờng từ A tới B 90 km Tính độ dài quãng đờng ?

Híng dÉn: Theo HD chÊm cđa phßng GD hun Gia léc

Câu (2 điểm)

Cho t giỏc li ABCD M điểm bất kí AB Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC N; Qua M kẻ đờng thẳng song song với BD cắt AD Q Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt CD P

a) Chøng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Chứng minh MN.BD + MQ.AC = AC.BD

c) Tìm vị trí M cho diện tích hình bình hành MNPQ lín nhÊt a) Theo gi¶ thiÕt



MN / / AC

MN / / PQ (*) PQ / / AC 

- Theo định lí Ta_lét MN//AC =>

BM BN (1) AM  CN

QP//AC =>

DQ DP (2) AQ  CP

QM//BD =>

DQ BM (3) AQ  AM

- Tõ (1), (2), (3) =>

BN DP

CN  CP

- Theo định lí Ta_lét đảo áp dụng vào tam giác DCP

=> PN//BD mµ QM//BD (gt) => PN//QM (**)

- Tõ (*) vµ (**) => MNPQ lµ HBH

q

p

n m

d

c

b a

b) Theo HD chÊm cña phßng GD hun Gia léc c) Theo HD chÊm cđa phòng GD huyện Gia lộc

Câu (2 điểm)

Có hay không số nguyên liên tiếp mà tổng bình phơng chúng là số phơng ?

Hớng dẫn: Theo HD chấm phòng GD hun Gia léc

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa

Ngày soạn

: 02/11//09

Ngày dạy

: 06/11//09 Chủ đề

Rút gọn tính giá trị biểu thức

Bi

Rót gän biĨu thøc chøa thức bậc ba

A/Mục tiêu

Hc xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Vận dụng định nghĩa tính chất bậc ba số để rút gọn biểu thức chứa thức bậc ba, giải phơng trỡnh cha cn bc ba

Kĩ

- Rèn kĩ biến đổi, chứng minh, trình bày Thái độ

- Học sinh tích cực, chủ động B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tæ chøc

II

Kiểm tra cũ

- HS1: Nêu định nghĩa bậc ba số a ?

- HS2: Nêu tính chất bËc ba III

Bµi míi

I – LÝ thut

- Cho x R ;





3

3

a  x x  a a

- Mỗi số thực a có bậc ba - Nếu a > 3 a 0

- NÕu a = th× 3 a 0 - NÕu a < th× 3 a 0 b) TÝnh chÊt:

 a < b  a 3 b

 ab 3 a b 

3

3 a

a ( b 0 )

b  b 

c) Các phép biến đổi bậc ba  A3 B 3 A B3

 A B3 A3 B 

3

3 A AB (B 0 )

B  B 



3 3 3

A AB B

1 ( A B )

A B

A B



 

 





d) Các đẳng thức











3 3

ab a b 3ab ab











3 3

a b a  b  3ab a b









 

 



3 3

abc a b c 3 ab ac bc

II – Bµi tËp vËn dơng

*) Bµi tËp 1: TÝnh x = 3 17 38  17  38

H

íng dÉn :

C¸ch 1:





3 17 385 30 12 5 8 2





3 17  385  30 12 5  8 

Tìm đợc x = 4

C¸ch 2: TÝnh



 





 



3 3

x 17 38  17  38  17 38 17  38 x









3

2 x 3x 76

x x 4x 19 x

   

    

*) Bµi tËp : TÝnh

a)  16 83 16

b) 3

2

3



  

c) Cho x = 3

2

2  2 ; y = 3

6

2

Tính giá trị biÓu thøc

xy P

x y

 

d) Cho x =

3

3

8 64 12 20

57

  



H

íng dÉn : a) 4

b) Trục thức mẫu , đáp số 3 c) Trục thức mẫu, đáp số x =

3

3 3

4 ; y ;P

2



   

d) x =

3

3

3

8

57

  



*) Bài tập : Tính giá trị biểu thức sau:

a) x3 13 3 13 b) x = 3 2  

c) x = 3 182 33125 3 182 33125 H

íng dÉn :

a) TÝnh x3 =



 



3

5 13  5 13 3 13 13 x









3

x 9x 10 x x x 10 x

          

b) T¬ng tù : x = 1 c) T¬ng tù : x = 7

*) Bµi tËp : Cho A = 20 20 20   20

B =

3 3

24 24 24   24

Chøng minh r»ng < A + B < T×m



AB



H

A  20 20 20   20  20 20 20   20 5 5

3 3 3 3

B 24 24 24   24  24 24 24   24 3 3

Do A + B < Mặt khác A + B > 20 3 24 4,42,87 Vậy < A + B <



AB



7

*) Bµi tËp : Cho A =

3 3

60 60 60   60

Chøng minh r»ng < A < 4 T×m

 

A H

íng dÉn :

A =

3 3 3 3

60 60 60   60  60 60 60 60 4

Mặt khác A > 3 27 3 VËy < A < vµ

 

A 3

*) Bµi tËp : Cho

3 3 1 1 1

ax by cz vµ

x y z

    

Chøng minh r»ng

2 2

3 ax by cz a b c

    

H

íng dÉn :

Gọi VT T, vế phải P Ta cã:

3

3 3 3

3

3

3

by

ax cz ax ax ax

T

x y z x y z

1 1

ax x a

x y z

     

 

     

 

=>

3 a T x



T¬ng tù

3 T b

y



;

3 c T z



1 1

VËy P = T( ) = T x  y  z

*) Bµi tập : Giải phơng trình

a)

3 1

x x x

3



  

b)

3 8

x 2x 4x



  

H

íng dÉn :





3









3 3

3

1

a )x x x 2x x 2x x x x

3

x

2

  

              

 



b) T¬ng tù :





3

3

3

8

x 2x 4x 4x x x

3 1 4



       



a) 3 x2 3 x 2 3 5x

b)









3

2 2

3

2 x2  x  x 

H

íng dÉn :

a) Lập phơng hai vế ta đợc phơng trình





3

5x  20xx  x 0;

b) Đặt 3 x2 a 3 x b, đợc phơng trình



2a b a

 

b



2a b

a b

 

    



 KÕt qu¶ : S =





14



*) Bài tập : Giải phơng trình 3 x 5 3 2x 1  3x2 2

H

ớng dẫn :

Đặt 3 x 5 a ; 3 2x 1 b vµ  3x2 c

Do a3 b3 c3 8 Mặt khác a + b + c = - hay





2

abc 8

VËy





3 3



 

 



a b

a b c a b c a b b c a c b c

a c

 

 

            



  



KÕt qu¶: x



2; 3; 3,5 



IV

Híng dÉn vỊ nhµ

*) Bài tập 10 : Cho A =



ab b

 

c c

 

a



, a, b, c số dơng

tháa m·n abc = Chøng minh r»ng A + 3(abc ) H

íng dÉn :



2

 

2

 

2







A 1  a b a c  b ab c  c ac b  2abc 1

Do abc = nªn



2

 

2

 

2



A 1  a b a c 1   b ab c 1  c ac b 1

áp dụng bất đẳng thức cô_si ta có

2

a b a c 1  3a

2

b ab c 1 3b

2

c ac b 1 3c

Céng vÕ víi vÕ ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh DÊu "" x¶y  a = b = c = 1

*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn/

Ngày soạn

: 08/11//09

Ngày dạy

: 12/11/09 Chủ đề

Rút gọn tính giá trị biểu thức

Buổi

Một số dạng toán liên quan đến bậc hai

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết chứng minh biểu thức số hu t, so sỏnh hai s

Kĩ

- Rèn kĩ chứng minh, so sánh Thái độ

- Häc sinh tù gi¸c häc tËp

B/Chuẩn bị thầy trò - GV:

- HS:

C/Tiến trình dạy

I

Tỉ chøc

II

KiĨm tra bµi cị

III

Bài mới

Dạng 1: Chứng minh biểu thức số hữu tỉ

*) Bài tập 1: Cho a, b, c số hữu tỉ khác vµ a = b + c

Chøng minh r»ng: 2

1 1

a b c

 

lµ mét sè h÷u tØ H

íng dÉn:

Ta cã





2 2

1 1 1 2( 1 )

a b c ab ac bc

a b c

       

=>









2

2 2

c b a

1 1 1 2 1

a b c abc a b c

a b c

 

        

=

1 1

Do a, b, c số hữu tỉ khác nên

1 1

a  b  c số hữu tỉ

*) Bi 2: Cho a, b, c ba số hữu tỉ khác đôi Chứng minh rằng:

A =













2 2

1 1

a b b c c a

 



số hữu tỉ H

ớng dẫn:

Tơng tự tập 1: Đặt b a x; b c y; c a z => x, y, z 0 vµ x = y + z





2





2





2 2

1 1 1 1 1

A

x y z

x y z

a b b c c a

1 1

A

b a b c c a

         

  

  

  

Đó số hữu tỉ a, b, c số hữu tỉ khác đơi một

*) Bµi tËp 3: Cho a, b, c ba số hữu tỉ tháa m·n ®iỊu kiƯn ab + bc + ca =1

Chøng minh r»ng:



 

 



2 2

B  a 1 b c

số hữu tØ H

íng dÉn:

Thay = ab + bc + ca ta đợc



 



2

a  1 ab ac , t¬ng tù

=> B =



 

 



2 a b b c c a

    

  => B (ab)( bc )( c a )

Đó số hữu tỉ a, b, c số hữu tỉ

Dạng 2: So sánh hai số

ơng pháp:Ph Để so sánh hai số ta thờng dùng c¸c kiÕn thøc sau +) So s¸nh víi mét sè thứ ba (T/c bắc cầu)

A < C C < B => A < B

+) Dùng phép biến đổi đơn giản thức bậc hai, biến đổi thành biểu thức đơn giản để xét hiệu A - B

A > B  A - B > 0 A < B  A - B < 0

+) Định lí so sánh bậc hai số học

Cho hai số a b không âm: a < b a  b

+) TÝnh chÊt : Cho hai sè a b không âm : a2 b2 a b

 Bµi tËp vËn dơng

*) Bµi tập 1: Không dùng bảng số hay máy tính bỏ tói, h·y so s¸nh:

2 A 11 96 vµ B =

1

 

 

H

íng dÉn:

Biến đổi biểu thức dới dấu thành dạng bình phơng ta đợc

A  11 96 2 

XÐt hiÖu A - B vµ chøng minh A - B > Vậy A > B

*) Bài tập 2: Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hÃy so sánh: a) 3 11 -7 b)

7 vµ

2 12 c)

3 vµ

27 26

*) Bài tập 3: Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hÃy chứng minh:

4  5

H

íng dÉn: 4   80  18  81  16  9 5

*) Bài tập 4: Không dùng bảng số hay m¸y tÝnh bá tói, h·y chøng minh:

14  13 2  11

H

íng dÉn:

1

14 13 ; 12 11

14 13 12 11

   

 

D¹ng 3: Chøng minh

*) Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng :

2 mn

m n m n

m n m n

   

  

¸p dơng tÝnh :

2 10  

H

ớng dẫn: Trục thức mẫu áp dụng đợc :  

*) Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng





1 1

n n n n n n

 

   

Víi nN, ¸p dơng tÝnh tỉng :

1 1

S

2 1 2 400 399 399 400

   

  

H

ớng dẫn: Trục thức mẫu áp dụng đợc :

19 20

*) Bµi tËp 3: Cho A =

1

1 2 120 121

  

  

Vµ B =

1

1 35

  

Chøng minh A < B. H

íng dÉn: TÝnh A = 10

- Để tính B, ta biến đổi dạng nh biểu thức A phơng pháp làm giảm nh sau: B =

2 2

2 2 35

   

B =

2 2

1 2 3 35 35

   

   

B > 2

1 1

( )

1 2 3 35 36

   

   

IV

Híng dÉn vỊ nhµ

- Xem lại chữa, ôn lại phơng pháp chứng minh bất đẳng thức