Trao đổi chất ở động vật

Khi ®iÓm M di ®éng, chøng minh ®iÓm C di chuyÓn trªn mét cung trßn cè ®Þnh... chøng minh r»ng BF lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ECF..[r]

ôn tập vào lớp 10 năm häc 2009-2010

PhÇn 1: Các loại tập biểu thức

Bài 1: Cho biÓu thøc : P=√a+2

√a+3−

a+√a −6+¿

1 2−√a

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<1 Bài 2: Cho biểu thức: P= (1− √x

√x+1):(

√x+3

√x −2+

√x+2

3−√x+

√x+2

x −5√x+6)

a) Rót gän P

b)Tìm giá trị a để P<0 Bài 3: Cho biểu thức: P= ( √x −1

3√x −1− 3√x+1+

8√x

9x −1):(1−

3√x −2 3√x+1)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=

5

Bµi 4: Cho biÓu thøc P= (1+ √a a+1):(

1

√a −1−

2√a

a√a+√a −a −1)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a P<1

c) Tìm giá trị P a=19−8√3

Bµi 5: Cho biĨu thøc: P=

1− a¿2 ¿ √a¿

¿ a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P- 12 ) Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = ( √x+1

√2x+1+

√2x+√x

√2x −1 −1):(1+

√x+1

√2x+1−

√2x+√x

√2x −1 )

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x ¿1

2.(3+2√2)

Bµi 7: Cho biĨu thøc: P= ( 2√x

x√x+√x − x −1−

√x −1):(1+

√x x+1)

a) Rút gọn P b) Tìm x để P

Bµi 8: Cho biĨu thøc: P= (2a+1 √a3 −

√a a+√a+1).(

1+√a3

1+√a −√a)

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P √1− a

Bµi 9: Cho biÓu thøc P= 1:( x+2

x√x −1+

√x+1 x+√x+1−

√x+1

x −1)

a) Rót gän P b) So sánh P với

Bài 10: Cho biÓu thøc : P= (1− a√a

1−√a +√a).(

1+a√a

1+√a −√a)

a) Rót gän P

b) Tìm a để P< 7−4√3

Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= ( 2√x

√x+3+

√x

√x −3− 3x+3

x −9 ):(

2√x −2

√x −3 −1)

a) Rút gọn P b) Tìm x để P<

2

c) Tìm giá trị nhỏ P

Bài 12: Cho biÓu thøc: P= (x −3√x

x −9 −1):(

9− x x+√x −6−

√x −3 2−√x−

√x −2

√x+3)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P<1

Bµi 13: Cho biĨu thøc : P= 15√x −11

x+2√x −3+

3√x −2 1−√x −

2√x+3

√x+3

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=

2

c) Chøng minh P

3

Bµi 14: Cho biÓu thøc: P= 2√x

√x+m+

√x

√x − m− m2

4x −4m2 víi m>0

a) Rót gän P

b) Tính x theo m để P=0

c) Xác định giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1 Bài 15: Cho biểu thức P= a

2

+√a a−√a+1−

2a+√a

√a +1

a) Rót gän P

b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P víi P

c) Tỡm a P=2

d) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P Bµi 16: Cho biĨu thøc P= ( √a+1

√ab+1+

√ab+√a

√ab−1 −1):(

√a+1

√ab+1−

√ab+√a

√ab−1 +1)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P nÕu a= 2−√3 vµ b= √3−1

1+√3

c) Tìm giá trị nhỏ P a+b=4

Bµi 17: Cho biĨu thøc : P= a√a−1

a −√a −

a√a+1

a+√a +(√a −

1

√a)(

√a+1

√a−1+

√a −1

√a+1)

a) Rót gän P

c) Với giá trị a P>6 Bµi 18: Cho biĨu thøc: P= (√a

2 −

1 2√a)

2

(√√a −a+11−

√a+1

√a −1)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<0 c) Tìm giá trị a để P=-2 Bài 19: Cho biểu thức P= (√a−√b)

2

+4√ab

√a+√b

a√b − b√a

√ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P

c) Tính giá trị P a= 2√3 vµ b= √3

Bµi 20: Cho biĨu thøc : P= ( x+2

x√x −1+

√x x+√x+1+

1 1−√x):

√x −1

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x

Bµi 21: Cho biĨu thøc : P= (2√x+x

x√x −1−

√x −1):(1−

√x+2 x+√x+1)

a) Rót gän P

b) TÝnh √P x= 5+2√3

Bµi 22: Cho biĨu thøc P= 1:( 2+√x+

3x

2 4− x−

2 4−2√x):

1 4−2√x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=20 Bài 23: Cho biểu thức : P= ( x − y

√x −√y+

√x3−√y3 y − x ):

(√x −√y)2+√xy

√x+√y

a) Rót gän P

b) Chøng minh P

Bµi 24: Cho biÓu thøc P= (

√a+√b+

3√ab

a√a+b√b).[(

1

√a −√b−

3√ab

a√a− b√b):

a− b a+√ab+b]

a) Rót gän P

b) TÝnh P a=16 vµ b=4

Bµi 25: Cho biĨu thøc: P= 1+(2a+√a −1

1− a −

2a√a −√a+a

1−a√a )

a −√a

2√a −1

a) Rót gän P b) Cho P=

1+6 tìm giá trị a

c) Chøng minh r»ng P>

3

Bµi 26: Cho biĨu thøc: P= (x −5√x

x −25 −1):( 25− x

x+2√x −15−

√x+3

√x+5+

√x −5

√x −3)

a) Rót gän P

Bµi 27: Cho biÓu thøc P= ( 3√a

a+√ab+b−

3a a√a −b√b+

1

√a −√b):

(a −1).(√a−√b)

2a+2√ab+2b

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị ngun a để P có giá trị nguyên Bài 28: Cho biểu thức P= (

√a−1−

√a):(

√a+1

√a −2−

√a+2

√a −1)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P>

6

Bµi 29: Cho biĨu thøc: P= [(

√x+

1

√y)

2

√x+√y+

1

x+

1

y]:√

x3+y√x+x√y+√y3

√x3y+√xy3

a) Rót gän P

b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức : P= √x

3

√xy−2y−

2x

x+√x −2√xy−2√y

1− x

1−√x

a) Rót gän P

b) Tìm tất số nguyên dơng x để y=625 P<0,2

Bµi tËp rút gọn Bài 31 :

1) Đơn giản biÓu thøc : P = 14 5  14 5 .

2) Cho biÓu thøc : Q =

x x x x

x x x

    



 

    

 

a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị ngun. H

íng dÉn : 1 P = 6

2 a) §KX§ : x > ; x  BiÓu thøc rót gän : Q =

x −1 .

b) | Q | > - Q ⇔ x > 1.

c) x = {2;3} Q Z

Bài 32 : Cho biÓu thøc P =

1 x

x1 x x

a) Rót gän biểu thức sau P.

b) Tính giá trị biÓu thøc P x =

1 .

H

a) §KX§ : x > ; x  BiĨu thøc rót gän : P = x+1

1− x .

b) Víi x =

1

2 th× P = - – 2 √2 .

Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A = xx −√x+11− x −1

√x+1

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Tính giá trị biểu thức A x = 14 c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để | A | = A.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x  0, x  BiĨu thøc rót gän : A = √x √x −1 .

b) Víi x = 14 th× A = - 1. c) Víi x < th× A < 0. d) Víi x > th× | A | = A.

Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A =

1

1 a a a

   

 

   

 

   

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Xác định a để biểu thức A > 12 . H

íng dÉn :

a) §KX§ : a > vµ a9 BiĨu thøc rót gän : A = √a+3 .

b) Víi < a < th× biĨu thøc A > 12

Bµi 35 : Cho biĨu thøc: A =

2

x x x 4x x 2003

x x x x

      

 

 

  

  .

1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A.

3) Với x  Z ? để A  Z?

H

íng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ±

Bµi 36 : Cho biĨu thøc: A =

 

2 x x x x x x

:

x x x x x

 

   



 

    

  .

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < 0.

c) Tìm x ngun để A có giá trị ngun. H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = √x+1 √x −1 .

b) Víi < x < th× A < 0. c) x = {4;9} th× A Z

Bµi 37 : Cho biĨu thøc: A =

x x x

: x x x x 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A.

b) Chøng minh r»ng: < A < 2. H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x+√2x+1 b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > ⇔

x+√x+1 > với x > ; x ≠ (1)

+) A < ⇔

x+√x+1 < ⇔ 2( x+√x+1 ) > ⇔ x+√x > vì

theo gt th× x > (2)

Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(đpcm) Bài 38 : Cho biểu thøc: P =

a a a 4 a a a

  

 



  (a  0; a  4) a) Rót gän P.

b) Tính giá trị P với a = 9. H

íng dÉn :

a) §KX§ : a  0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P = √a −2

b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = 4 Bµi 39 : Cho biĨu thøc: N =

a a a a

1

a a

     

 

   

     

   

1) Rót gän biĨu thøc N.

2) Tìm giá trị a để N = -2004 H

íng dÉn :

b) Ta thÊy a = - 2004 ĐKXĐ Suy N = 2005. Bài 40 : Cho biÓu thøc P=x√x+26√x −19

x+2√x −3 − 2√x

√x −1+

√x −3

√x+3

a Rót gän P

b Tính giá trị P x=743

c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ nhất đó.

H

íng dÉn :

a ) §KX§ : x  0, x 1 BiĨu thøc rót gän : P=x+16 √x+3

b) Ta thÊy x=7−4√3 §KX§ Suy P=103+3√3

22

c) Pmin=4 x=4.

Bµi 41 : Cho biĨu thøc P=( 2√x

√x+3+

√x

√x+3−

3x+3

x −9 ):(

2√x −2

√x −3 −1)

a Rút gọn P b Tìm x để P<−1

2 c Tìm giá trị nhỏ

nhất P.

H

íng dÉn :

a ) §KX§ : x  0, x 9 BiĨu thøc rót gän : P= −3

√x+3

b Víi 0≤ x<9 th× P<−1

2

c Pmin= -1 x = 0

Bµi 42: Cho A=

1 1

4

1

a a

a a

a a a

     

  

   

     

  víi x>0 ,x1

a Rót gän A

b TÝnh A víi a = 4 15 10     4 15 ( KQ : A= 4a ) Bµi 43: Cho A=

3

1 :

9

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

    víi x0 , x9, x4 a Rót gän A.

b x= ? Thì A < 1. c Tìm x Z để A Z

(KQ : A=

3

x )

Bµi 44: Cho A =

15 11 2

2 3

x x x

x x x x

  

 

    víi x0 , x1.

b Tìm GTLN A. c Tìm x để A =

1

d CMR : A

2 

(KQ: A =

2 x x   )

Bµi 45: Cho A =

2 1

1 1

x x

x x x x x

 

 

    víi x0 , x1.

a Rót gän A.

b T×m GTLN cđa A ( KQ : A =

x x x )

Bµi 46: Cho A =

1

1 1

x  x x x x víi x0 , x1. a Rót gän A.

b CMR : 0 A ( KQ : A =

x x x )

Bµi 47: Cho A =

5 25

1 :

25 15

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

a Rót gän A.

b Tìm x Z để A Z

( KQ : A =

5

x )

Bµi 48: Cho A =

2

5

a a a

a a a a

  

 

    víi a 0 , a9 , a4 a Rót gän A.

b Tìm a để A < 1

c Tìm a Z để A Z ( KQ : A =

1 a a   )

Bµi 49: Cho A=

7 2

:

4 2

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

    víi x > , x4

a Rót gän A. b So s¸nh A víi

1

A ( KQ : A =

Bµi50: Cho A =

 2

3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

     

  

    

  víi x0 , y0, xy

a. Rót gän A.

b. CMR : A 0 ( KQ : A =

xy

x xyy )

Bµi 51 : Cho A =

1 1 1

1

x x x x x x

x

x x x x x x x

 

     

      

        Víi x > , x

1.

a Rót gän A.

b Tìm x để A = ( KQ : A =

 

2 x x

x

 

)

Bµi 52 : Cho A =  

4

:

2

2

x x x

x x x

x x                     

  víi x > , x4.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A = 1 x)

Bµi 53 : Cho A=

1 1 1

:

1 x x x x x

   

  

   

   

    víi x > , x1.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A = x )

Bµi 54 : Cho A=

2 1

:

1

1

x x

x x x

x                    

  víi x0 , x1.

a Rót gän A.

b Tìm x Z để A Z (KQ: A =

x x )

Bµi 55: Cho A=

1 2

:

1

1 1

x

x

x x x x x x

    

 

   

         

  víi x0 , x1.

a Rót gän A.

b Tìm x Z để A Z

c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A =

Bµi 56 : Cho A =

2 3 2

:

9

3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

    víi x0 , x9

a Rút gọn A. b Tìm x để A <

-1

( KQ : A =

3

a

  )

Bµi 57 : Cho A =

1

:

1

1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

    víi x0 , x1.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =

4

x x )

c CMR : A 1

Bµi 58 : Cho A =

1 1

:

1

x

x x x x x



 



 

   

  víi x > , x1.

a Rót gän A (KQ: A =

1

x x



) b.So sánh A với 1

Bài 59 : Cho A =

1

:

9

3 3

x x x

x

x x x

     

  

   

       

    Víi

1 0,

9

x x

a Rút gọn A. b Tìm x để A =

6

c Tìm x để A < 1.

( KQ : A =

x x

x

  )

Bµi 60 : Cho A =

2

2 2

1 2

x x x x

x x x

     



 

    

  víi x0 , x1. a Rót gän A.

b CMR nÕu < x < th× A > 0 c TÝnh A x =3+2

d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x) )

Bµi 61 : Cho A =

2 1

:

1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

  víi x0 , x1.

a Rót gän A.

b CMR nÕu x0 , x1 th× A > , (KQ: A =

2

x x )

Bµi 62 : Cho A =

4

1 :

1

1

x x

x x

x



 

 

   



  víi x > , x1, x4.

a Rót gän

b Tìm x để A =

1

Bµi 63 : Cho A =

1 3

:

1

1

x x x x

x x

x x

       

 

   

     

 

  víi x0 , x1.

a Rót gän A.

b TÝnh A x= 0,36

c Tìm x Z để A Z

Bµi 64 : Cho A=

3 2

1 :

1

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

    víi x 0 , x9 ,

x4.

a Rót gän A.

b Tìm x Z để A Z

c Tìm x để A < (KQ: A =

2

x x

)

Phần 2: Các tập hệ ph ơng trình bậc 2:

Bài 1: Cho phơng trình : m2x (21)2=2 x+m2

a) Giải phơng trình m=2+1

b) Tỡm m phơng trình có nghiệm x=3−√2

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 2: Cho phơng trình :

(m−4)x2−2 mx+m−2=0 (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√2 Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt

c) TÝnh x1

+x2

2 theo m

Bài 3: Cho phơng trình :

x2−2(m+1)x+m −4

=0 (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái du

b) Chứng minh phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m c) Chøng minh biểu thức M= x1(1 x2)+x2(1 x1) không phụ thuộc vào m

Bài 4: Tìm m để phơng trình :

b) 4x2

+2x+m−1=0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt

c) (m2+1)x2−2(m+1)x+2m−1=0 cã hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phơng trình : x2−(a−1)x −a2+a −2=0

a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình có nghiệm tráI dấu với a

b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị a để x12+x22 đạt giỏ

trị nhỏ

Bài 6: Cho b c hai số thoả mÃn hệ thức:

b+

1

c=

1

CMR hai phơng trình sau phải cã nghiƯm x

2

+bx+c=0 x2+cx+b=0

Bµi 7:Với giá trị m hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2x

2

−(3m+2)x+12=0(1)

4x2−(9m −2

)x+36=0(2)

Bài 8: Cho phơng trình :

2x2−2 mx

+m2−2=0

a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân bit

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn ph-ơng trình

Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : x2

+4x+m+1=0

a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện

x12+x22=10

Bài 10: Cho phơng trình

x22(m1)x+2m5=0

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm víi mäi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi hai nghim mang du gỡ ?

Bài 11: Cho phơng trình x22

(m+1)x+2m+10=0 (với m tham số )

a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ; hÃy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tỡm giá trị m để 10x1x2+x12+x22 đạt giá trị nhỏ nht

Bài 12: Cho phơng trình

(m−1)x2−2 mx+m+1=0 víi m lµ tham sè

a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt m1

b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm phơng trình

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x1

x2

+x2 x1

+5

2=0

Bµi 13: A) Cho phơng trình :

x2

−mx+m−1=0 (m lµ tham sè)

a) Chøng tá r»ng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu

 Chứng minh A=m2−8m+8  Tìm m để A=8

 Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tơng ứng

c) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai lần nghiệm

B) Cho phơng trình

x2−2 mx

+2m −1=0

a) Chøng tá phơnh trình có nghiệm x1; x2 với m b) Đặt A= 2(x1

2

+x2

)−5x1x2

 CMR A= 8m2−18m+9

 T×m m cho A=27

c)Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm Bài 14: Giả sử phơng trình a.x2

+bx+c=0 có nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt

Sn=x1n+x2n (n nguyên dơng)

a) CMR a.Sn+2+bSn+1+cSn=0

b) ¸p dơng TÝnh gi¸ trÞ cđa : A= (1+√5

2 )

5

+(1−√5

2 )

5

Bµi 15: Cho

f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1

a) CMR phơng trình f(x) = 0có nghiƯm víi mäi m

b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) =

cã nghiƯm lớn Bài 16: Cho phơng trình :

x2−2(m+1)x+m2−4m+5=0

a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng

c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu

d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm nÕu cã cđa phơng trình Tính x12+x22 theo m

Bài 17: Cho phơng trình x2

4x3+8=0 có hai nghiệm x1; x2 Không giải

ph-ơng trình , hÃy tính giá trị biểu thức : M=6x1

2

+10x1x2+6x22

5x1x23

+5x13x2

Bµi 18: Cho phơng trình

xx2(m+2)x+m+1

=0

a) Giải phơng trình m=

2

b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để : x1(1−2x2)+x2(1−2x1)=m

2

Bµi 19: Cho phơng trình x2

+mx+n 3=0 (1) (n , m lµ tham sè)

Cho n=0 CMR phơng trình có nghiệm víi mäi m

 Tìm m n để hai nghiệm x1; x2 phơng trình (1) thoả mãn hệ :

{x1− x2=1

x12− x 2

=7

Bài 20: Cho phơng trình:

x2−2(k −2)x −2k −5=0 ( k lµ tham sè)

b) Gäi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị cña k cho x1

2

+x22=18

Bài 21: Cho phơng trình

(2m1)x24 mx+4=0 (1)

a) Giải phơng trình (1) m=1 b) Giải phơng trình (1) m bất k×

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bài 22:Cho phơng trình :

x2−(2m−3)x+m2−3m=0

a) CMR ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt với m

Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1<x1<x2<6 Bài tập hàm số bậc

B

µi 23 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hồnh

H

íng dÉn :

1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt :

¿

2=a+b −4=−a+b

¿{

¿

⇔ a=3

b=−1

¿{

Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x –

2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hoành độ

3

B

µi 4 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m +

1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy

H

íng dÉn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m <

2) Do đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Suy : x= ; y =

Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 34

3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – nghiệm hệ pt :

¿

y=− x+2

y=2x −1

¿{

¿

⇔ (x;y) = (1;1)

Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) nghiệm pt : y = (m – 2)x + m +

Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = −1

B

25µi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m +

1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m

H

íng dÉn :

1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị ln qua M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔

¿ x0=1

y0=2

¿{ ¿

Vậy với m đồ thị qua điểm cố định (1;2) B

à26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song

với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)

H

íng dÉn :

1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hệ pt :

¿

1=a+b −1=2a+b

¿{

¿

⇔ a=−2

b=3

¿{

Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = - 2x +

2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB

đồng thời qua điểm C(0 ; 2) ta cần :

¿

m2−3m=−2

m2−2m

+2=2

¿{

¿

⇔ m =

Vậy m = đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng

AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) B

ài 27 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1 .

H

íng dÉn :

1) m =

y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔

¿

x0=−1

2

y0=

−5

¿{

¿

Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định ( −1

2 ;

−5

2 )

Baứi 28 : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau : y =

6 x 

; y =

4x



vµ y = kx + k + cắt điểm B

ài : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1)

B

ài : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + =

Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn

A kiÕn thøc cÇn nhớ :

1 Phơng trình bậc : ax + b = Ph

ơng pháp giải :

+ Nếu a phơng trình có nghiÖm nhÊt : x = −b a + Nếu a = b phơng trình vô nghiệm

+ Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm Hệ phơng trình bậc hai ẩn :

¿

ax + by = c

a'x + b'y =c'

¿{

¿

Ph

ơng pháp giải :

Sử dụng c¸c c¸ch sau :

+) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau)

- Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Giải ẩn, suy ẩn thứ hai

B VÝ dô minh häa :

a) x

x - 1+ x

x + 2= §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { }

b) 2x

3 -

x3

+ x +1 =

Giải : ĐKXĐ : x3

+ x +1 ≠ (*)

Khi : 2x

3 - 1

x3+ x +1 = ⇔ 2x = - ⇔ x = −3

2

Víi ⇔ x = −3

2 thay vµo (* ) ta cã (

−3 )3 +

−3

2 + ≠

VËy x = −3

2 lµ nghiƯm

Ví dụ 2 : Giải biện luận phơng trình theo m : (m – 2)x + m2 – = (1)

+ NÕu m th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + Nếu m = (1) vô nghiệm

Vớ dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0.

Gi¶i :

Ta cã : víi m Z th× 2m – , vây phơng trình có nghiệm : x = (m + 2)

-4 m -

để pt có nghiệm ngun ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m =

VÝ dơ 3 : T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23 Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x

4 = – 2x +

x −

Vì y Z ⇒ x – ⋮ Giải ta đợc x = v y =

bài tập phần hệ pt B

ài : Giải hệ phơng trình: a)

2x 3y 3x 4y

  



  

 b)

x 4y 4x 3y

 

 

 

 c)

2x y y 4x   



 

 d)

x y x y        e)

2x 4x 2y

  



 

 f)

2 x x y

1, x x y              B

ài : Cho hệ phơng trình :

mx y x my   



 



1) Giải hệ phơng trình theo tham số m

B

µi : Cho hệ phơng trình:

x 2y m 2x y 3(m 2)

   



1) Giải hệ phơng tr×nh thay m = -1

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

B

ài : Cho hệ phơng tr×nh:

(a 1)x y a x (a 1)y

  

 

  

 cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a

2) T×m giá trị a thoả mÃn 6x2 17y = 5.

3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức

2x 5y x y

nhận giá trị nguyên.

B

ài : Cho hệ phơng trình:

x ay (1) ax y

 

 

  

1) Gi¶i hƯ (1) a =

2) Víi giá trị a hệ có nghiệm nhÊt B

ài : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình

mx y n nx my

  



 



cã nghiƯm lµ 1; 3 B

ài : Cho hệ phơng tr×nh

a x y ax y 2a

   

 

  

 (a lµ tham sè).

1) Gi¶i hƯ a =

2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2.

B

µi (trang 22): Cho hệ phơng trình :

x - (m + 3)y = (m - 2)x + 4y = m -

¿{

¿

(m tham số) a) Giải hệ m = -1

b) Giải biện luận pt theo m B

µi : (trang 24): Cho hệ phơng trình :

x - m y =

mx − 4y = m +

¿{

¿

(m lµ tham sè) a) Gi¶i hƯ m = -1

b) Tìm giá trị ngun m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >

B

µi 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đa u mộtà đoạn đường sau gặp Nếu chie u xuất phát tạià điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe

B

µi 11 : (trang 24): Một ơtơ từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chie u Nếu xe chạyà với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng B

µi 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau 4

5 đa y bể Nếu lúc đa u mở vòi thứ nhất, sau giờà

mở vịi thứ hai sau

5 bể Nếu vịi thứ

hai chảy bể

Đáp số : B

µi 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng

Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để

được hỗn hợp 10 lít 400C.

Hường dãn : Ta có hệ pt :

¿

x + y = 10

100x + 20y = 400

¿{

¿

⇔

¿

x = 2,5

y = 7,5

¿{

¿

Vậy ca n 2,5 lít nước sơi 75 lít nước 20à 0C.

B

µi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có no ngà độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có no ng độ 40% Tính no ng độ axít dung dịch ban đa u à

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đa u, y khối lượng dung dịch ban đa u.à Theo ta có hệ pt :

¿

(x+ 200)

y + 200 100 %=50 % (x+ 200)

y + 500 100 %=40 %

¿{

¿

⇔

¿

x =400

y = 1000

¿{

¿

Vậy no ng độ pha n trăm dung dịch axít ban đa u 40%.à à

Phơng trình bậc hai định lý viet ứng dụng

A.Kiế n thứ c c ầ n ghi nh ớ

1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) đó

a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp

a)Nếu a= ta tìm v i giá trà ị n o m ,thay giá trịđó v o (1).Phương trình (1) trở th nh phà ương trình bậc nên : - Có nghiệm

- vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a

Lập biệt số Δ = b2 – 4ac hoặc Δ / = b/2 – ac

* Δ = ( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x 1,2 = -

b

2a

(hoặc x1,2 =

-b❑

a )

* Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt:

x1 = − b −√Δ

2a ; x2 =

− b+√Δ

2a

(hoặc x1 =

− b❑−

√Δ❑

a ; x2 =

− b❑

+√Δ❑

a )

2 Định lý Viét.

Nếu x1 , x2 l nghià ệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0)

S = x1 + x2 = - b

a

p = x1x2 =

c a

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 m xà + x2 = S v xà 1x2 = p hai sốđó l nghià ệm

(nu có ) phơng trình bậc 2: x2 – S x + p =

3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gäi x

1 ,x2 nghiệm

ph-ơng trình Ta có kết sau:

x1 x2 tr¸i dÊu( x1 < < x2 ) ⇔ p <

Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔ ¿

Δ≥0

p>0

S>0

¿{ {

¿

Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔

¿

Δ≥0

p>0

S<0

¿{ {

¿

Một nghiệm nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) ⇔ ¿

Δ>0

p=0

S>0

¿{ {

¿

Một nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔ ¿

Δ>0

p=0

S<0

¿{ {

¿

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)

 Nếu a + b + c = phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2 = c

a  NÕu a – b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c

a  NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 phơng trình có nghiệm

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm : x2 – S x + p =

c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều

kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*)

x1

+ x2

=x1+x2 x1x2

= S

p

*) x1

x2+ x2

x1=

x12+x22

x1x2 =

S2−2p p

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*)

x1−a

+ x2−a

= x1+x2−2a (x1− a)(x2−a)=

S −2a p −aS+a2

(Chó ý : giá trị tham số rút từ ®iỊu kiƯn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn

Δ≥0 )

d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho

trớc Tìm nghiệm thứ 2

Cách gi¶i:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: Δ≥0 (hoặc Δ❑

≥0 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hc Δ❑

≥0 ) mà ta thay ln x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số

- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai có Δ < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghim x1 cho trc

Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm

+) Cỏch 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)

+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghiệm thứ

B Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0

Gi¶i.

Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình cho có

2 nghiƯm ph©n biÖt:

x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

+ NÕu Δ❑ = ⇔ m = ± 3

- Với m =3 phơng trình có nghiƯm lµ x1.2 =

- Víi m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2

+ NÕu Δ❑ < -3 < m < phơng trình v« nghiƯm

KÕt kn:

 Víi m = phơng trình có nghiệm x =

Với m = - phơng trình có nghiƯm x = -2

 Víi m < - m > phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

Với -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0 Híng dÉn

 Nếu m – = ⇔ m = phơng trình cho có dạng - 6x – = ⇔ x = -

2

* Nếu m – ⇔ m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = - b

❑

a =

2

2−3 = -

- NÕu Δ❑ > ⇔ m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 = m±3√m −2

m −3

- NÕu Δ❑ < ⇔ m < Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = -

2

Với m = phơng trình có nghiƯm x1 = x2 = -2

Víi m > m phơng trình có nghiệm x1,2 = m±3√m −2

m −3

Víi m < phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh

a) 2x2 + 2007x – 2009 =

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

d) x2 –(3 - 2 √7 )x - 6 √7 = 0

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =

VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = c

a=

−2009

b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 = -1 ,

x2 = - c

a=−

204

17 = - 12

c) x2 + (

√3−√5 )x - √15 = cã: ac = - √15 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

x1 + x2 = -( √3−√5 ) = - √3 + √5

x1x2 = - √15 = (- √3 ) √5

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = - √3 , x2= √5

(hc x1 = √5 , x2 = - √3 )

d ) x2 –(3 - 2

√7 )x - √7 = cã : ac = - √7 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có

¿

x1 + x2= - 2√7

x1 x2 = - 6√7= 3(-2√7) ¿{

¿

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = , x2 = -

Bài 4 : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =

Suy : x1 =

Hc x2 = m+1

3

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)

* m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = -

* m – ⇔ m (*)

⇔ x1=−1

¿

x2=2m−2 m −3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x =

a) TÝnh:

C= x

1−1

+

x2−1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc có nghiệm

x1−1

vµ

x2−1

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có

hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| = √S2−4p=√37

+ C = x

1−1

+

x2−1 =

(x1+x2)−2

(x1−1)(x2−1)= S −2

p − S+1=−

1

9

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã : S = x

1−1

+ x2−1=−

1

9 (theo c©u a)

p =

(x1−1)(x2−1)

=

p − S+1=−

1

VËy x

1−1

vµ x

2−1

lµ nghiƯm cđa hơng trình : X2 SX + p = ⇔ X2 +

9 X -

9 = ⇔ 9X2 + X - =

Bài 6 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >

Giải Phơng trình (1) phơng trình bËc hai cã:

Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -

5 k +

5 )

= 5(k2 – 2.

5 k +

9 25 +

36

25 ) = 5(k - ) +

36

5 > với giá trị

của k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2.

2 k +

1 +

7

4 ) <

⇔ -(k -

2 )2 -

4 < ln với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghim

phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiƯm víi mäi k Theo hƯ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k -

4 )2 + 87

16 ]

Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k -

4 )2 + 87

16 ] >

⇔ k – > ( v× (2k -

4 )2 + 87

16 > víi mäi k)

k > Vậy k > giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phơng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi

m

3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phng trỡnh

(1) nói phần 2.)

Giải

1 Với m = - phơng trình (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x =

1 , x2 = -

2 Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

= m2 + 2.m.

2 +

4 +

19

4 = (m + )2 +

19

4 > víi mäi m

Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2 )2 + 19

4 ]

=> |x1− x2| = m+

1 2¿

2

+19

4

¿

√¿

2√19

4 = √19 m +

2 = ⇔ m = -1

2

Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ √19 m = -

2

Bài 8 : Cho phơng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè)

1) Giải phơng trình m = -

2

2) Chứng minh phơng trình cho cú nghim vi mi m

3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiƯm

Gi¶i:

1) Thay m = -

2 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc

5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=

+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 >

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

2m−1+5

2(m+2) =

2m+4

2m+4=1 x2 = 2m−1−5

2(m+2) =

2(m−3)

2(m+2)= m−3

m+2

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ = m−3

m+2 giải ta đợc m = -

9

2 (đã giải câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= m−3

m+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m =

11

(thoả mÃn điều kiện m - 2) KiĨm tra l¹i: Thay m = 11

2 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình :

15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

x1 = , x2 =

15 =

3 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) víi m lµ tham sè

1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai

Gi¶i

1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x =

4

+ NÕu m LËp biÖt sè Δ❑

= (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + – m2 + 3m

= - m +

Δ❑

< ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiÖm

Δ❑

= ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - b

❑

a = m−2

m =

4−2

2 =

1

Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiÖm ph©n biƯt

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4 m

VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm

m = : phơng trình (1) Cã nghiÖm kÐp x =

2

m < : phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m

m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

4

2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ c

a < ⇔

m−3

⇔

¿m−3>0 m<0

¿ ¿ ¿

m −3<0

¿

m>0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

¿m>3

m<0

¿ ¿ ¿

m<3

¿

m>0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Trêng hỵp

¿

m>3

m<0

{

không thoả mÃn

Trờng hỵp

¿

m<3

m>0

¿{

¿

⇔ < m <

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

Δ❑

⇔ m (*) (ở câu a có) - Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = -

4

- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

4 thoả m·n

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc

m = -

4 Sau thay m = -9

4 vµo phơng trình (1) :

-

4 x2 – 2(-9

4 - 2)x -

4 - = ⇔ -9x2 +34x – 21 =

cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > =>

x1=3 ¿ x2=7

9

¿ ¿ ¿ ¿

VËy với m = -

4 phơng trình (1) có nghiệm x=

*)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

Cách 1: Thay m = -

4 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2

=

9 (Nh phần làm)

C¸ch 2: Thay m = -

x1 + x2 =

2(m−2)

m =

2(−9

4−2)

−9

=34

9

 x2 =

34

9 - x1 =

34

9 - =

C¸ch 3: Thay m = -

4 vào công trức tính tích hai nghiÖm

x1x2 = m−3

m = −9

4−3

−9

4

=21

9 => x2 = 21

9 : x1 = 21

9 : =

Bµi 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

Gi¶i.

1.Phơng trình (1) có nghiệm kép = ⇔ k2 – (2 – 5k) = ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > )

 k1 = −5−√33

2 ; k2 =

−5+√33

Vậy có giá trị k1 = 533

2 k2 =

5+33

2 phơng trình (1) Có

nghiệm kép 2.Có cách giải

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

Δ❑ ⇔ k2 + 5k – (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b

a=¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = 0

(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k –

+ k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n

+ k2 = -

2 => Δ

❑ = 49

4 −

35 −2=

49−70−8

4 =−

29

8 không thoả mÃn

Vậy k = giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện Cách giải là:

Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -

2 (cách tìm nh trên)

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =

+ Víi k2 = -

2 (1) => x2- 7x + 39

2 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình

Vậy k = giá trị cần tìm

Bài tập pt bËc hai

B

µi : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x

1 vµ x2 lµ hai nghiệm phơng

trình Không giải phơng trình, h·y tÝnh: 1) x12 + x22

2) x1 x1 x2 x2

3)

 

   

2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x x x x x

  

  

B

µi : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0.

TÝnh x1 x2 x2 x1 (với x

1, x2 hai nghiệm phơng trình)

B

ài : Cho phơng trình bậc hai:

x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng

tr×nh) B

ài : Cho phơng tr×nh:

x2 – 2mx + 2m – = 0.

1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

B

µi : Cho phơng trình:

x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.

1) Giải phơng trình víi m =

2) Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình x1 x2 Tìm giá trị cđa m tho¶ m·n 5x1 + x2

=

Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1)

1) Giải phơng trình (1)

2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình (1) Tính B = x13 + x23

B

ài : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 

B

µi : Cho phơng trình:

(m 1)x2 + 2mx + m – = (*)

1) Giải phơng trình m =

2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân bit

Bài Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi

mäi m

ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m+1

2m−1 =

1 2m−1

pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1<

¿

1

2m−1+1>0 2m−1<0

¿{

¿

=>

¿

2m

2m−1>0 2m−1<0

¿{

¿

=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm khoảng (-1,0) m<0 b)

Phần 3: Hệ ph ơng trình:

Bi53: Tỡm giỏ tr m để hệ phơng trình ; {(m+1)x − y=m+1

x+(m−1)y=2

Có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y nhỏ Bài 54: Giải hệ phơnh trình minh hoạ bằmg đồ thị

a) {|x|+1=y

2y −5=x b) {

x −|y|=2 x

4+

y

4=1

c) {|y+1|=x −1

y=3x −12

Bài 55: Cho hệ phơng trình : {2x+by=4

bxay=5

a)Giải hệ phơng trình a=|b|

b)Xác định a b để hệ phơng trình có nghiệm : * (1;-2)

* ( √2−1;√2 )

*§Ĩ hƯ cã vô số nghiệm

Bài 56:Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m: {mx y=2m

4x my=6+m

Bài 57: Với giá trị a hệ phơng trình : {x+ay=1

axÃ+y=2

a) Cã mét nghiƯm nhÊt b) V« nghiƯm

Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau: {x2+xy+y2=19

x xy+y=1

Bài 59*: Tìm m cho hệ phơng trình sau có nghiệm: { |x 1|+|y −2|=1

(x − y)2+m(x − y −1)− x+y=0

Bài 60 :GiảI hệ phơng trình: {2x

2

Bµi 61*: Cho a vµ b thoả mÃn hệ phơng trình : {a

3

+2b2−4b+3=0 a2

+a2b2−2b=0 .TÝnh a

2

+b2

Bài 61:Cho hệ phơng trình : {(a+1)x y=3

a.x+y=a

a) Giải hệ phơng rình a=- √2

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0

Phần 4: Hàm số đồ thị

¿ ¿

¿ Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4)

Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √2 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2+ √2

Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bài 63: Cho hàm số : y=2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y=mx−1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x2 đờng thẳng (d) y=2x+m

1.Xác định m để hai đờng :

a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hồnh độ x=-1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại Tìm toạ độ A B

2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M N

Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m tìm quỹ tích điểm I m thay đổi

Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m−1)x+(m −2)y=2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x2 hai điểm phân biệt A B

b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bài 66: Cho (P) y=− x2

a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc hai đờng thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)

b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √2 Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y=3

4x −3

a) VÏ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)

Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d)

a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình |x −1|=m

(d) y=(m−1)x+2 (d') y=3x −1

a) Song song víi b) Cắt

c) Vuông góc với

Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng :

(d1)y=2x −5

(d2)y=x+2 (d3)y=a.x −12

đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 71: CMR m thay đổi (d) 2x+(m-1)y=1 ln qua điểm cố định Bài 72: Cho (P) y=1

2x

đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P)

Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x+2|

a) Vẽ đồ thị hàn số

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình

|x −1|+|x+2|=m

Bài 74: Cho (P) y=x2 đờng thẳng (d) y=2x+m

a) VÏ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 75: Cho (P) y=−x

2

4 vµ (d) y=x+m

a) VÏ (P)

b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4

d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P)

Bµi 76: Cho hµm sè y=x2 (P) vµ hµm sè y=x+m (d)

a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P)

c) ThiÕt lËp công thức tính khoảng cách hai điểm áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai ®iĨm A vµ B b»ng 3√2

Bài 77: Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1) a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì ?

b) Tìm a để hàm số y=a.x2 (P) qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d2 ) qua A vuông góc với ( d1 )

d) Gọi A B giao điểm (P) ( d2 ) ; C giao điểm ( d1 ) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC

Bµi 78: Cho (P) y=1

4x

đờng thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lầm lợt -2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x∈[−2;4] cho tam giác MAB có diện tích lớn

Bµi 79: Cho (P) y=x

2

4 điểm M (1;-2)

c) Gọi xA;xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để x2AxB+xAx2B đạt

giá trị nhỏ tính giỏ tr ú

d) Gọi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hoành S diện tích tứ giác AA'B'B

*TÝnh S theo m

*Xác định m để S= 4(8+m2√m2+m+2)

Bµi 80: Cho hµm sè y=x2 (P)

a) VÏ (P)

b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=−1

4x

đờng thẳng (d) y=mx−2m −1

a) VÏ (P)

b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định

Bµi 82: Cho (P) y=−1

4x

điểm I(0;-2) Gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ số góc m

a) VÏ (P) CMR (d) lu«n cắt (P) hai điểm phân biệt A B ∀m∈R

b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 83: Cho (P) y=x

2

4 đờng thẳng (d) qua điểm I(

2;1 ) cã hƯ sè gãc lµ m

a) Vẽ (P) viết phơng trình (d) b) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P)

c) Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 84: Cho (P) y=x

2

4 đờng thẳng (d) y=−

x

2+2

a) VÏ (P) vµ (d)

b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (d)

Bµi 85: Cho (P) y=x2

a) VÏ (P)

b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 86: Cho (P) y=2x2

a) VÏ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 điểm B có hồnh độ x=2 Xác định giá trị m n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB

Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trỡnh (d1)x+y=m

(d2)mx+y=1

cắt điểm (P) y=2x2

Phần 5: Giải toán cách lập ph ơng trình

1 chuyn ng

giờ , từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi

Bài 89: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nơ nớc n lặng ,biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nớc km/h

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc km/h

Bài 91: Một ngời chuyển động quãng đờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời quãng đờng 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời

Bài 92: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc

4 quãng đờng AB ,

xe tăng vận tốc thêm Km/h quãng đờng lại Tính quãng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút

Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc , biết thời gian nhiều thời gian 30 phút

Bài 94:Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ngợc chiều Sau 1h40’ gặp Tính vận tốc riêng ca nô , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ngợc 9Km/h vận tốc dòng nớc Km/h Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ?

Bài 96: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ngời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB , ngời xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB

Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 Km/h Khi đến B ngời nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 Km/h Tính quãng đờng AB biết thời gian lẫn 50 phút

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau ngợc từ B A Thời gian xi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi

đ-ờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h qng đđ-ờng cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB

Bài 100: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút , sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qng đờng sông AB biết hai ca nô đến B lúc

Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau 30 phút , ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp

Bài 102: Một ca nô chạy sông , xi dịng 108 Km ngợc dịng 63 Km Một lần khác , ca nơ chạy giờ, xi dịng 81 Km ngợc dịng 84 Km Tính vận tốc dịng nớc chảy vận tốc riêng ( thực ) ca nô

Bài103: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 Km , giê 20 TÝnh vËn tèc cđa tÇu nớc yên lặng , biết vận tốc dòng níc lµ Km/h

Bài 104: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút ca nơ chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng dài 120 Km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa quãng đ ờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng

Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ơtơ

Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cịn cách B 30 Km , ngời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng ó i lỳc u

2 Năng xuất

Bài 108: Hai đội công nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày vợt mức 6000 đơi giầy hồn thành kế hoạch định 24 ngày mà vợt mức 104 000 đơi giầy Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch

Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng vợt mức đợc tuần nên hồn thành kế hoạch sớm tuần mà cịn vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoch ó nh

đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng

Bài 112: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung tổ tổ hồn thành đợc

3 mức khoán Nếu để mi t lm

riêng tổ làm xong mức khoán tổ phải làm bao l©u ?

Bài 113: Hai tổ cơng nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành công việc

Bài 114: Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơngviệc Hỏi ngời làm cơng việc xong

3 ThĨ tÝch

Bài 115: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vịi thứ Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể ?

Bài 116: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vßi thø hai giê 30 Hái chảy riêng vòi chảy đầy bể bao l©u ?

Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc

3 thÓ tÝch bÓ chøa ,

máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm đợc 15 m3 Do so với

quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa

Bài upload.123doc.net: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khố lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 20 phút đợc

5 bể Hỏi vòi chảy riêng

thì sau đầy bể ?

Bài 119: Hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? GiảI toán

cách lập pt B

ài : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ

B

10 km quãng đờng cịn lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

B

ài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nðu chảy thời gian nh lợng nớc vịi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể

B

ài : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu

B

ài : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ơtơ thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?

B

ài : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ

B

ài : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ô tô

B

ài : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều

dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu

B

ài : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trôi với vận tốc dịng nớc km/h Khi đến B ca nơ quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô

B

ài : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B tr ớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe

B

ài 10 : Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên cơng nhân cịn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có cơng nhân? Biết suất lao động công nhân nh

B

ài 11 : Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình

B

ài 11 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km

B

ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc 3km/h

B

ài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

B

B

ài 15 : Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong?

B

ài 16 : Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát núc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều

thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều nhauthì sau 10 giây lại gặp nhua Tính vận tốc vật

B

ài 17 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm

B

ài 18 : Một khối lớp tổ chức tham quan ô tơ Mỗi xe chở 22 h/s cịn thừa 01 h/s Nếu bớt 01 ơtơ xếp h/s ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ơtơ, h/s Mỗi xe chở không 32 h/s

Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất

Bài 20: Một ca nơ xi dịng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dịng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nơ lúc dịng nớc n lặng Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hơm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?

Bài 22: Hai tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc tơ thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km

Bài 23: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?

Bi 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng

Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ

Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ

Hỏi tổ trồng đợc cây? Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc tơ, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc tơ B giảm 5km/h vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B

Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã

b¸n cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280

Phần : Hình học

ôn tập hình học 9

Phần : hình học phẳng

A lý thuyết: I.Đờng tròn:

1,Định nghĩa:

Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M

vị trí tơng đối Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc

( O ; R) OM = R

M n»m ( O ; R ) OM < R

* Của đờng thẳng với đờng tròn :

xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R

a vµ ( O ; R ) kh«ng

giao d > R

* Của hai đờng tròn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r Hai đờng trịn tiếp xúc

+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :

d = R + r d = R – r Haiđờng tròn khơng

giao :

+hai đờng trịn ngồi :

+đờng trịn lớn đựng đ-ờng trịn nhỏ :

0

d > R + r d < R -r TiÕp tun cđa ® ờng tròn :

a Định nghĩa :

ng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung với đờng

b, TÝnh chÊt :

+ Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm

+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng trịn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

c, C¸ch chøng minh :

 Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn

 Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trũn

4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :

* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần

* Định lí : Đờng kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung

5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :

* Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung chúng cách tâm

* Định lí : Trong hai dây cung không đờng tròn, dây cung lớn gần tâm

II Góc ng trũn:

1, Các loại góc đ ờng tròn: - Góc tâm

- Góc nội tiếp

- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây

b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn:

a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghÜa:

Tứ giác nội tiếp đờng tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng trịn ngoại tiếp tứ giác

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc

B Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F

a CM: tø gi¸c AEHF hình chữ nhật b CM: tứ giác EFCB nội tiếp

c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung ®iĨm cđa BC

d CMR: NÕu S ABC = S AEHF tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I

1 Chứng minh tam giác BMC cân Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC

3 Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC

4 Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?

6 Chứng minh AM phân giác góc OAH

7 OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông gãc víi NC Chøng minh OE=1

8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE

9 Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiÕp

10.Tõ C vÏ tiÕp tun cđa (O) c¾t BM kéo dài K Chứng minh CM phân gi¸c cđa gãc BCK

11 So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A

12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M

13.13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM

15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON

16.Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD

1 Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI

4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.

Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E

a Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân

b Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm cđa BC

c TÝnh b¸n kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm

Bài 5: Trên nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN vi BM CMR:

a Tứ giác AMNB hình thang cân

b PH AB T ú suy P, H, O thẳng hàng c ON tiếp tuyến đờng trịn đơnngf kính PH

Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E vµ F CMR:

a Tam giác MAE MCA đồng dạng b ME MC = MF MD

c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC ti F

a Tứ giác AEHF hình gì?

b Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c Chøng minh AE AB = AF AC

d Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)

e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E

a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE

c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE

e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a EF ┴ AC

b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp

Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chứng minh IA tiếp tuyến (O)

b Chứng minh CK tia phân giác góc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh r»ng :

a AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO)

b MO tia phân giác cña gãc AMN

c MN tiếp tuyến ng trũn ng kớnh AB

d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN kh«ng dỉi

a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M

b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng trịn qua ba điểm O, O’ , M

d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M

Bài 13: Cho (O) (O’)tiếp xúcngồi A Đờng thẳng Ơ’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh :

a Gãc DME lµ gãc vu«ng

b MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC

a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp

b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE

d Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều.

Bµi 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp

b Chøng minh HA tia phân giác góc BHA

c Gọi I giao điểm BC DE Chøng minh : AB2 = AI AH.

d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N

a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b Tứ giác MNDC nội tiếp

c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động

Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ-ờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đ đ-ờng tròn D, tia AD BC cắt ti E

a Chứng minh tam giác ABE cân t¹i B

Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T

a Chøng minh r»ng OT // AB

b Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tích tam gi¸c TBD theo R

d TÝnh diƯn tÝch hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R

Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) l F

a Tứ giác AEBD hình gì?

b Chøng minh r»ng ba ®iĨm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp

d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF=1

2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đ-ờng tròn tâm O’ đđ-ờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) I

a.Tø gi¸c ADBE hình ? sao? b.Chứng minh BI // AD

c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hµng vµ MD = MI

d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)

Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN

a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn

b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M

a Chøng minh MA = MD

b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S

b Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui

c Chứng minh DM phân giác góc ADE

d Chứng minh M tâm đờng tròn nội tip tam giỏc ADE

Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A

a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc với BC C

b Hai đờng tròn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?

c Gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC Chøng minh AM lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’)

d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)

Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N

a Chứng minh tích AM AN khơng đổi

b Vẽ CD ┴ AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân ti D

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa ®iĨm A

a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng

c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bài 27: Cho (O,R) (O’,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung AB ( A∈(O), B∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I

a Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chứng minh AB=2R.r

c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB’2 + AA’2.

d Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r

Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’

a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB

b Gọi D,E theo thứ tự giao điểm thứ hai cđa CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O’, E thẳng hàng

Bi 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )

a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp

c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const

Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:

a Gãc MAH = gãc MCB b Tam giác ADE cân c Tứ giác AHBK nội tiếp

Bài 31. Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ng ời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:

a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB

c  APB vu«ng

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn

Bài 32. Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)

a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng trịn b Chứng minh góc AOC=góc BIC

c Chøng minh BI//MN

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài 33. Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB Vẽ CE vng góc với AD (EAD)

a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đờng tròn nói biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a Chøng minh tø gi¸c ADCF nội tiếp

b Gọi M trung điểm EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)

d TÝnh diƯn tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đ-ờng tròn Ngời ta vẽ đđ-ờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc

Bài 36 Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K

a CM: NKD MAK cân

b CM: t giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK

d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND

Bµi 37 Cho (O1) vµ (O2) tiÕp xóc ngoµi víi điểm A tiếp tuyến chung Ax

Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ

đờng kính BO1D, CO2E

a Chøng minh M trung điểm BC b Chứng minh O1MO2 vuông

c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng

d Gi I l trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d

d

Phần 2: Hình học không gian A.Lý thuyết:

I Một số kiến thức hình học khơng gian: 1 Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối hai đ ờng thẳng:

* a // b  a , b (P), a b điểm chung * a c¾t b  a , b  (P), a b có điểm chung

* a b chéo  a b khơng thuộc mặt phẳng b Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng a mặt phẳng (P):

* a // (P)  a (P) khơng có điểm chung * a cắt (P)  a (P) có điểm chung * a  (P)  a (P) có vơ số điểm chung c Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng (P) (Q):

* (P) // (Q)  kh«ng cã ®iĨm chung

* (P)  (Q) = a  có đờng thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng)

* (P)  (Q)

2 Mét sè c¸ch chøng minh:

a b ®iĨm chung C2: a // c vµ b // c

C3 :

(P)//(Q) (P)∩(R)=a (Q)∩(R)=b}

⇒a//b

b.Chứng minh đ ờng thẳng song song với mặt ph¼ng:

a//b

b⊂(P)}⇒a//(P)

c.Chøng minh hai mặt phẳng song song:

a , b(Q),aXb

a//(P), b//(P)}(P)//(Q)

d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông gãc: a⊥(P)

b⊂(P)}⇒a⊥b

e.Chøng minh ® êng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

ab , a⊥c

bXc, b⊂(P), c⊂(P)}⇒a⊥(P)

g.Chøng minh hai mặt phẳng vuông góc:

a(P)

a(Q)}(P)(Q)

II Một số hình không gian: Hình lăng trô:

Sxq = P h với P: chu vi đáy

V = B h h : chiều cao B: diện tích đáy

1 H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy

V = B.h = R2.h h: chiỊu cao.

2 H×nh chãp: Sxq=1

2P.d

V=1

3B.h

với d: đờng cao mặt bên

2 H×nh nãn:

Sxq=12P.d=πR.l

V=1

3B.h= 3πR

2 h

d: đờng sinh; h: chiều cao

3 H×nh chãp côt:

Sxq=

2(P+P ').d

V=1

3(B+B '+√B.B').h

3 H×nh nãn cơt:

Sxq=1

2(P+P ').d=π(R+r)d

V=1

3(B+B '+√B.B').h=

π.h

3 (R 2+r2

4 H×nh cÇu:

S=4πR2 V=4

3πR

3

B Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S nằm mp(ABCD) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G, H theo thứ tự trung điểm cđa AD, CD LÊy ®iĨm E AB, F  BC cho: AE=1

4AB;CF= 4CB

a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH

b Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng

Bi 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a

Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyÕn a vµ b CMR:

a Nếu a x d = M a, b, d đồng qui b Nếu a // d a, b, d đơi song song

Bµi 5: Cho tø diƯn S.ABC, ®iÓm D  SA cho SD=1

4SA, E∈AB cho BE=1

4BA Gäi M lµ trung ®iĨm cđa SC, I lµ giao ®iĨm cđa DM vµ AC, N giao

điểm IE BC CMR: a SB // (IDE)

b N lµ trung ®iĨm cđa BC

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d  (ABC) A Trên d lấy điểm S

a Chøng minh BC  SH

b Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI  (SBC)

c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cña

h×nh chãp S ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S

a Chøng minh SA = SB = SC

b Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH  (SBC)

c Tính Sxq V hình chóp S ABC biÕt AB=3√3 cm ; SA = cm

Bµi 8: Cho tø diƯn S ABC §iĨm E  SA, F  AB cho SE=1

3SA;BF=

3BA

b EG, FH, AC ng qui

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đ ờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm

a CMR: SB  AC b TÝnh SB, BC, SC

c CM: Tam gi¸c SAC vu«ng d TÝnh Stp , V

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:

a (SAB)  (SAD) b SC  BD

c C¸c tam giác SBC SDC vuông d Tính Sxq , V cđa h×nh chãp S ABCD

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm

a TÝnh AB?

b TÝnh Sxq, V cña hình lăng trụ ABCD ABCD

c Tính Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450

Tính Sxq V

Bài 13: Hình hộp ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq V ?

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm

a CM: Các tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhật b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2.

c Tính Stp , V ?

Bài 15: Cho hình hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300.

TÝnh Stp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm a Tính đờng chéo BD’

b TÝnh Stp vµ V cđa h×nh chãp A’ ABD

c TÝnh Stp V hình chóp A.BCD

Bi 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3

= lít )

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 TÝnh

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a Tính Sxq hình nón

b TÝnh V cđa h×nh nãn

c Gọi CD dây cung (O; OB)vuông góc víi OB CMR: CD  (AOB)

Bài 21: Cho tam giác ABC vng A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC =

cm, gãc ACB = 600.

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a Tính Sxq hình nón cụt

b Tính V hình nón sinh hình nón cụt

Bài 24: Một hình thang ABCD có góc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , góc C = 600.

Tính Stp hình tạo thành quay hình thang vuông vòng xung quanh:

a C¹nh AD b C¹nh DC

Bài120: Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ ng

kính COA COB Qua trung điểm M cña AB , dùng DE  AB.

a) Tø giác ADBE hình ? Tại ?

b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng

c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G

d) *Xét vị trí MF đờng trịn tâm O’ , vị trí AE với đờng trịn ngoại

tiÕp tø gi¸c MCFE

Bài 121: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vng góc với CD Từ điểm E nửa đờng trịn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= R

2 CMR

ΔPOQ

ΔCED= 25 16

d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng trịn tâm O hình thang vng CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD

Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng trịn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng trịn , qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey

a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng trịn b) Tứ giác CEIO hình ?

Bài 123: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK  Ax , BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ

tÝch cđa ®iĨm H

Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ ng kớnh BOE

a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ?

b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI = BH

2 H ; F đối xứng qua AC

Bµi 125: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ) (víi R>R’ ) tiÕp xóc t¹i A §êng nèi t©m

cắt đờng trịn O’ đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN

vng góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ E

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc góc) b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng O’P = R ; OP = R’

c) Xét vị trí PE với đờng trịn tâm O’

Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB Đờng trịn cắt đờng trịn O C D

a) Tø gi¸c ODBC hình ? Tại ? b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B

Bài 127: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng tròn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )

a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tun MP vµ MQ lµ 45

❑0

b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I cïng nằm đ ờng tròn

c) Tỡm quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp  MPQ M chạy d

Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB

Bµi 129: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), mét cung trßn BC n»m 

ABC tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đ ờng vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH

a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ  BC

Bµi 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B^A C > 900 ) I , K theo thứ tự trung điểm

ca AB , AC.Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F

b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA = R√2 , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN

a) CMR OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC

cña (O)

Bài132: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF

a)  AFC vµ  BEC cã quan hệ với nh ? Tại ? b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài133: Cho đờng trịn (O;R) hai đờng kính AB , CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC cắt AB M , EA cắt CD N

a) CMR  AMC đồng dạng  ANC b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sư AM=3MB TÝnh tØ sè

CN ND

¿❑

❑

d) Bài 134: Một điểm M nằm đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI

a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đ-ờng trịn (O) đđ-ờng kính AB

Bài 135: Gọi O trung điểm cạnh BC  ABC Vẽ góc xOy =600 cho

tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt M, N

a) CMR OBM đồng dạng  NCO , từ suy BC2 = BM.CN

b) CMR : MO, NO theo thứ tự tia phân giác gãc BMN, MNC

c) CMR đờng thẳng MN ln tiếp xúc với đờng trịn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC Bài136: Cho M điểm nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB=2R (

M ≠ A , B ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng trịn Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ

Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB không chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn

Bài 138: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C

) vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M

kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng trịn (O’) I

a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC

Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng trịn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn cắt MA , MB lần lợt điểm thứ hai C , D

a) Chøng minh : CD // AB

b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN ln qua điểm K cố định

c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 140: Cho đờng tròn đờng kính AB , điểm C , D đờng trịn cho C , D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD lần lợt M , N ; giao điểm MN với AC , AD lần lợt H , I ; giao điểm MD với CN K

a) CMR: ΔNKD; ΔMAK c©n

b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK

Bài 141: Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc

b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ?

Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:

a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA t¹i A

Bài 145: Cho (O;R) có dây AB = R √2 cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA

a) CMR : PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ?

c) Chứng minh độ dài SH không đổi

Bài 146: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )

a) CMR : BM // OP

c) Gäi K lµ giao điểm AN với OP ; I giao ®iĨm cđa ON víi PM ; J lµ giao ®iĨm cđa PN víi OM CMR : K , I , J thẳng hàng

d) Xỏc nh v trớ P cho K nằm đờng tròn (O)

Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P

a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi

d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E , F

a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O) , (O’)

Bài 149: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R điểm M nửa ờng tròn ( M khác A B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đ-ờng trung trực đoạn AB I Đđ-ờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đđ-ờng thẳng d C D ( D nằm góc BOM )

a) CMR c¸c tia OC , OD tia phân giác góc AOM , BOM b) CMR : CA DB vuông gãc víi AB

c) CMR : ΔAMB đồng dạng ΔCOD

d) CMR : AC.BD = R2

Bài 150: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB điểm M đờng tròn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H , I Cãc dây AM HI cắt K

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) Hạ Chứng minh IP tiếp tuyÕn cña (O;R)

c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)

d) CMR kkhi M di động thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với đờng trịn cố định

Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 CO D=^ 900 Gọi M điểm na ng trũn

sao cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E F

a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ?

b) CMR : D điểm chÝnh gi÷a cđa cung MB

c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc

a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC

Giáo viên : Trịnh Xuân Thuận Trờng THCS §ång Têng

Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Nghệ an Năm học 2009 - 2010

Môn thi : Toán

Thi gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

C©u I (3,0 ®iĨm). Cho biĨu thøc A =

x x x x x

 



  .

1) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x =

9 4.

3) Tìm tất giá trị x để A <

C©u II (2,5 ®iĨm). Cho phương trình bËc hai, víi tham sè m : 2x2 – (m + 3)x + m =

0 (1)

1) Gi¶i phương trình (1) m =

2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả

m·n

x1 + x2 =

1

5 x x

2 .

3) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu

thøc

P = x x1

Câu III (1,5 điểm). Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi

Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định CD

đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường trịn (O;R) B cắt đường thẳng AC AD E F

1) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.

2) Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp đường trßn

3) Gọi I tâm đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I nằm đường thẳng cố định

-HÕt -Hä vµ tên thí sinh: Số báo danh :.

Sở Giáo dục đào tạo

Hµ Néi Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPTNăm học: 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Ngày thi: 24 tháng năm 2009

Thời gian làm bài: 120 phút Bài I(2,5 điểm)

Cho biểu thức

1

4 2

x A

x x x

= + +

- - + , víi x≥0; x≠4

1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tính giá trị biểu thức A x=25 3) Tìm giá trị x để

1

A

=-

Bài II(2,5 điểm)

Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình:

Hai t sn sut cựng may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may đợc 1310 áo Biết ngày tổ thứ may đợc nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ may ngày đ-ợc áo?

Bµi III (1,0 ®iĨm)

Cho phơng trình (ẩn x): x2- 2(m+1)x m+ 2+ =2 1) Giải phơng trình cho với m=1

2) Tìm giá trị m để phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả

m·n hÖ thøc:

2

1 10

x +x = .

Bài IV(3,5 điểm)

Cho đờng tròn (O; R) A điểm nằm bên ngồi đờng trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm)

1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp

2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA=R2.

3) Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC

4) Đờng thẳng qua O, vng góc với OA cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM+QN ≥ MN

Bµi V(0,5 điểm)

Giải phơng trình:

( )

2 1

2

4

x - + x + + =x x + +x x+

-Hết -L

u ý : Giám thị không giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: Số báo danh

Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi TỐN ( chung cho tất thí sinh)

Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài (2.0 điểm )

1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa

a) x b)

1 x Trục thức mẫu

a)

2 b)

1 1

3 Giải hệ phương trình :

1

x x y

    

    Bài (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 y = x + 2

a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép

tính

c) Tính diện tích tam giác OAB Bài (1.0 điểm )

Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + có hai nghiệm x ; x (với m tham số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ

Bài (4.0 điểm )

Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K ( K nằm A O).Lấy điểm E cung nhỏ CD ( E không trùng C D), AE cắt BD H

a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE.

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O)

d) Cho góc BCD α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc

đường tròn (O)

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2009 – 2010

Mơn: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 19.6.2009

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.00 điểm) (Khơng dùng máy tính cầm tay)

b) Giải hệ phương trình:

2x

3x 12

y y

  



 



Bài 2: (2.50 điểm)

Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx – ( m tham số, m  0)

a) Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng toạ độ Õy

b) Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

c) Gọi A(xA; yA), B(xB;yB) hai giao điểm phân biệt (P) (d) Tìm giá trị m cho: yA + yB = 2(xA + xB) –

Bài 3: (1.50 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương độ dài đường chéo gấp lần chu vi Xác định chiều dài chiều rộng hình chữ nhật

Bài 4: (1.50 điểm)

Cho đường tròn (O;R) Từ điểm M (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB (C khác A B) Gọi D, E, F hình chiếu vng góc C AB, AM, BM

a) Chứng minh AECD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: C E CBAD  .

c) Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh: IK//AB

d) Xác nhận vị trí điểm C cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ Tính giá trị nhỏ OM = 2R

-Đề thi có 01 trang

Giám thị khơng giải thích thêm.

SBD: ………Phòng: ………

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi: TỐN ( hệ số – mơn Tốn chung)

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) *****

Bài 1: (1,5 điểm) Cho

2 1

1

1

x x x

P

x

x x x x

  

  



  

a Rút gọn P

b Chứng minh P <1/3 với x#1

Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình:

(1)

a Chứng minh phương trình (1) ln ln có nghiệm phân biệt

b Gọi nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

c Tìm hệ thức không phụ thuộc vào m

Câu 3: (2,5 điểm)

Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu để riêng vòi thứ chảy giờ, sau đóng lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 2/5 bể Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu?

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI (M khác C I) Đường thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD P cắt DC Q

a Chứng minh DM AI = MP IB b Tính tỉ số

Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ

Mơn: Tốn (Thời gian làm 120 phút)

Bài (1,5 điểm)

Cho biểu thức A = √9x −27+√x −3−1

2√4x −12 với x >

a/ Rút gọn biểu thức A

b/ Tìm x cho A có giá trị

Bài (1,5 điểm)

Cho hàm số y = ax + b

Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2, -1) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 32

Bài (1,5 điểm)

Rút gọn biểu thức: P = ( √a−1−

1

√a):(

√a+1

√a −2−

√a+2

√a −1) với a > 0, a 1, a≠4

Bài (2 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:

x2 - 2(m + 1)x + m - = (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2

Cho tam giác ABC có góc A 600, góc B, C nhọn vẽ các đường cao BD CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE

a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Tính tỉ số DEBC

d/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE

Gợi ý: câu d/: Kẻ Ax vng góc với OA C/m Ax song song với ED suy ra đpcm.

Sở GD & ĐT Bến Tre KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Đề khảo sát Mơn: Tốn Thời gian : 120 phút

Bài 1:(4 điểm)

1) Cho hệ phương trình :

¿

−2 mx+y=5

mx+3y=1

¿{

¿

a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m để x – y =

2)Tính

1 20 45 125

5 B  

3)Cho biÓu thøc :

1 1 1

A= :

1- x x x x x

   

  

   

   

   

a) Rót gän biĨu thøc A

Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =

a) Giải phương trình m=

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11

c) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 khơng phụ thuộc vào m

d) Víi gi¸ trị m phng trỡnh cú nghim x1 vµ x2 cïng dấu

Bài 3: (1 điểm)

Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ

Bài 4 :(3 điểm)

Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) y= 2x+3 có đồ thị (D)

a) Vẽ (P) (D) hệ trục toạ độ vuông góc.Xác định toạ độ giao điểm

của (P) (D)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (P) điểm A B có hồnh độ lần

lượt -2

Baøi 5: (8 ủieồm)

Cho hai đng tròn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ

cát tuyến cắt hai ng tròn (O1) (O2) thứ tự E F , ng thẳng EC , DF cắt

nhau t¹i P

1) Chøng minh r»ng : BE = BF

2) Mét c¸t tuyÕn qua A vuông góc với AB cắt (O1) (O2) t¹i C,D

Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 3) Tính diện tích phần giao hai đờng tròn AB = R

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH Câu (1 điểm)

Hăy rút gọn biểu thức: A =

a a a a

a a a a

  

  (với a > 0, a ¹ 1)

Câu (2 điểm)

Cho hàm số bậc y = 1 3x –

b) Tính giá trị y x = 1 3.

Câu (3 điểm)

Cho phương trình bậc hai: x2 – 4x + m + = 0

a) Tìm điều kiện tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Giải phương trình m =

Câu (3 điểm)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh BA lấy điểm N, cạnh CA lấy điểm P cho BM = BN CM = CP Chứng minh rằng:

a) O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn

Câu (1 điểm)

Cho tam giác có số đo ba cạnh x, y, z nguyên thỏa măn: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0

GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH

Câu 1.(1 điểm)

Rút gọn: A =

a a a a

a a a a

  

  (a > 0, a ¹ 1)

=  

 

 

 

3

a a a a a a 1

a a

a a a a

     

  

 

=

a a a a a 2

a a

    

 

(a > 0, a ¹ 1)

Câu 2.(2 điểm)

a) Hàm số y = 1 3x – đồng biến R có hệ số a = 1 3 < b) Khi x = 1 3 y = 1 1   31= – – = - 3.

Câu 3.(3 điểm)

a) Phương trình x2 – 4x + m + = 0

Ta có biệt số D’ = – (m + 1) = – m.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

D’ > Û – m > Û m < 3.

b) Khi m= phương trình đă cho trở thành: x2 – 4x + = 0

D’ = – = > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = - 3, x2 = +

Câu 4.(3 điểm) A

N

B M C

P O

1

2

1

2

1 1

a) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP

Ta có: O giao điểm ba đường phân giác DABC nên từ điều kiện giả

thiết suy ra:

DOBM = DOMN (c.g.c) OM = ON (1)

DOCM = DOCP (c.g.c)  OM = OP (2)

Từ (1), (2) suy OM = ON = OP

Vậy O tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP

b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp

Ta có DOBM = DOMN  M N 11, DOCM = DOCP  P M2

Mặt khác P P 180 M M12 0 1 (kề bù)  P M1  P N11

V́ N N12 = 1800 nên P N12= 1800

Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn

Câu (1 điểm)

Chứng minh tam giác đều

Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = (1) V́ x, y, z ỴN* nên từ (1) suy y số chẵn. Đặt y = 2k (k ỴN*), thay vào (1):

2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = Û x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0

Û x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = (2) Xem (2) phương trình bậc hai theo ẩn x

Ta có: D = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 = = - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40

Nếu k ³ 2, z ³ suy D < 0: phương trình (2) vơ nghiệm Do k = 1, suy y =

Thay k = vào biệt thức D:

D = - – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32

Nếu z ³ D < 0: phương trình (2) vơ nghiệm Do z = 1,

Nêu z = D = - – + 32 = 21: khơng phương, suy phương trình (2) khơng có nghiệm ngun

Do z =

Thay z = 2, k = vào phương trình (2):

x2 – 2x + (6 + – 10) = Û x2 – 2x = Û x(x – 2) = Û x = (x > 0) Suy x = y = z =

Phòng GD - ĐT Trực

Ninh Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm học 2009-2010Môn Toán ( Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: Trắc nghiệm (2 điểm) Hóy vit vo bi lm phương án trả lời

mà em cho đúng,

( Chỉ cần viết chữ ứng với câu trả lời đó)

Câu 1 Giá trị biểu thức (3 5)2 bằng

A 3 B 3 C 2 D 5

Câu 2 Đường thẳng y = mx + song song với đường thẳng y = 3x 

A m =  B m = C m = D m = 

Câu 3 x 7  x bằng

A 10 B 52 C 46 D 14

Câu 4. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2

A ( 2;  8) B (3; 12) C ( 1;  2) D (3; 18)

Câu 5 Đường thẳng y = x  cắt trục hồnh điểm có toạ độ

A (2; 0) B (0; 2) C (0;  2) D ( 2; 0)

Câu 6 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Ta có A

AC sin B

AB



B

AH sin B

AB



C

AB sin B

BC



D

BH sin B

AB



Câu 7 Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h Diện tích xung quanh hình trụ

A r2h B 2r2h C 2rh D rh

Câu 8 Cho hình vẽ bên, biết BC đường kính đường trịn (O), điểm A nằm đường thẳng BC, AM tiếp tuyến (O) M góc MBC = 650.

Số đo góc MAC

A 150 B 250 C 350 D 400

Bµi 2: (2 ®iĨm)

Cho biĨu thøc A=(√x −2 x −1 −

√x+2

x+2√x+1)

x2−2x+1

2

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị x để A = -

Bµi 3: ( ®iĨm)

Trên hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P )và đờng thẳng y = 2mx -

m2 + m - (d)

a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm (d) (P)? b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt?

c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 hoành độ giao

điểm Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá tr nh nht ?

Bài 4: Hình học ( ®iĨm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D

A

B O

C M

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC

c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC

Tính tỉ số OKBC tứ giác BHOC nội tiếp

d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC Bµi 3: ( ®iÓm) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng:

x2 y+

y2

x ≥ x+y

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

Bài (2,0 điểm)

- HS chọn câu cho 0,25 điểm - Đáp án

Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 8

A C B D A B C D

Bài 2: điểm A=(x 2 x −1 −

√x+2

x+2√x+1)

x2−2x

+1

2 §K x ≥ o , x ≠1

¿(√x −2) (√x+1)−(√x+2) (√x −1) (√x+1)2(√x −1)

(x −1)2

2 0,5 ®

¿−2√x.(x −1)(√x+1) (√x −1)

(x −1)(√x+1) 0,5®

¿−√x.(√x −1) 0,25®

b) NÕu A = -2 ta cã −√x.(√x −1)=−2

đặt ẩn phụ √x=y(y ≥0) ta có phương trình -y(y-1)= -

0,25®

- y2 + y + = gi¶i phơng trình có nghiệm y

1= -1 ( Loại ) y2 =

0,25đ

√x=y⇒√x=2 VËy x=

0,25®

Bài 3: điểm

Câu a: Khi m =1 PT đờng thẳng d y = 2x

Toạ độ giao điểm (d) (P) phải nghiệm hệ phương trình

¿

y=x2 y=2x −1

¿{

¿

0,25®

Giải hệ phương trình kết luận toạ độ giao điểm (d) (P) (1,1)

C©u b

(d) (P) cát điểm phân biệt

hệ phơng trình

y=x2

y=2 mx−m2+m−1

¿{

¿

cã nghiƯm 0,25®

⇒x2−2 mx+m2− m+1=0 có nghiệm phân biệt

Lập công thức =b24 ac giải tìm đợc m

1 0,25đ

Vậy m

1 (d) (P) cắt điểm phân biệt 0,25đ

Câu C

Khi ng thng (d) ct (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 hồnh độ giao

®iĨm

VËy x1; x2 nghiệm PT x22 mx+m2m+1=0 0,25đ

A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)

Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức … 0,25đ

tính đợc m = 1,5 A đạt giá trị nhỏ 0,25

Bài 4: điểm

a) Ta có E, F giao điểm AB, AC với đường trịn đường kính BC

Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC 0,25®

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

BF, CE hai đường cao ΔABC 0,25® H trực tâm Δ ABC

AH vng góc với BC 0,25®

b) Xét Δ AEC Δ AFB có: chung

Δ AEC đồng dạng với Δ AFB 0,25® 0,25® c) Khi BHOC nội tiếp ta có:

tiếp)

0,25®

0,25®

Ta có: K trung điểm BC, O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC )

0,25®

Vậy mà BC = 2KC nên

0,25®

d) Xét Δ EHB Δ FHC có:

(đối đỉnh)

Δ EHB đồng dạng với Δ FHC 0,25®

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12

Bµi (1 ®)

Với x y dương, ta có 0;(x − yx+y)2

≥0 0,25®

x − y¿2≥0⇒x3+y3− x2 y −xy2≥0

⇒(x+y)¿ 0,25®

⇒ x2 y+

y2

x ≥ x+y (1) 0,50®

Vậy (1) ln với x>0, y>0

§Ị thi tun sinh

*Trêng THPT Ngun Tr·i

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiªn)

Cho biĨu thøc A =

(√x+2−4√x −2+√x+2+4√x −2)

√x42−

4

x+1

1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tìm số nguyên x để biểu thức A s nguyờn

Bài 2.( điểm)

1) Gọi x ❑1 vµ x ❑2 lµ hai nghiƯm phơng trình.

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm giá trị m để: x ❑1 2+ x ❑

2 +3 x ❑1 x ❑2 (x

¿

1

¿ ¿❑

+ x ❑2 ) đạt giá trị lớn

2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chøng minh r»ng ph¬ng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ.

Bài ( điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800 Tính tỉ số BC

AB

2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tính góc ACD

Bµi ( ®iĨm)

Chứng minh bất đẳng thức: | √a2

+b2−√a2+c2 | | b-c|

víi a, b,c số thực

*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )

Bài 1 ( ®iĨm) cho biĨu thøc: P(x) = 2x −√x

2−1 3x2−4x+1

1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <

Bài 2 ( điểm)

1) cho phơng trình: x

2

2(2m+1)x+3m2+6m

x 2 =0 (1)

a) Giải phơng trình m =

b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 x ❑2

tho¶ mÃn x 1 +2 x 2 =16 2) Giải phơng tr×nh: √ 2x

1+x+√

1 2+

1 2x=2 Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x,y hai sè thùc tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y| √5

2

2) Cho ph©n sè : A= n2+4

n+5

Hái cã số tự nhiên thoả mÃn n 2004 cho A phân số cha tối giản

Bi 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ❑1 ) (0 ❑2 ) cắt P Q Tiếp

tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) A, tiếp xúc với (0

❑2 ) B Tiếp tuyến (0 ❑1 ) P cắt (0 ❑2 ) điểm thứ hai D khác P, đờng

thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc đờng trũn

2)Tam giác BPR cân

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB

Bài 5 (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE

Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM (năm học: 2004- 2005 thêi gian: 150 phót

)

C©u 1 Cho phơng trình x2 +px +1 = có hai nghiƯm ph©n biƯt a ❑

1 , a ❑2

phơng trình x2 +qx +1 = có hai nghiƯm ph©n biƯt b ❑

1 ,b ❑2 Chøng minh: (a

❑1 - b ❑1 )( a ❑2 - b ❑1 )( a ❑1 + b ❑1 b ❑2 +b ❑2 ) = q2 - p2

Câu 2: cho số a, b, c, x, y, z tho¶ m·n x = by +cz

y = ax +cz

z = ax +by ; víi x + y+z

Chøng minh:

1+a+

1 1+b+

C©u 3: a) Tìm x; y thoả mÃn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0

b) Cho số dơng x;y;z thoả mÃn x3+y3+z3 =1

Chøng minh: x

2

√1− x2+ y2

√1− y2+ z2

√1− z2≥2

C©u 4 Chứng minh có số nguyên x,y thoả mÃn phơng trình: x3-y3 = 1993.

Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định

(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150)

Câu 1(1đ):

tính giá trÞ biĨu thøc A=

a+1+

b+1 víi a=

2+√3 vµ b=

1 2+√3 Câu 2(1.5đ):

Giải pt: x24x+4

+x=8 Câu 3(3đ):

Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là

-1 vµ

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có diện tớch max

Câu4(3,5đ):

Cho tam giỏc ABC ni tiếp đờng trịn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đờng trịn (O) M Kẻ đờng cao Ak tam giác.Chứng minh:

a) đờng thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO

c) AH=2NO

Câu (1đ): tính tổng:

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)

x −1¿2 ¿ ¿

1

x(x −2)−

1

¿

Bµi 2(1) Cho số thực dơng a,b,c ab>c; a3+b3=c3+1 Chứng minh r»ng a+b>

c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c khơng ph thuc x,y.

Bài 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm

là số hữu tỉ với mäi sè nguyªn n

Bài 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O dây AB( AB không qua O) M điểm đờng tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng trịn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB đờng trịn tâm Q tiếp xúc với MA ln song song với đờng thẳng cố định M thay i

Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)

thời gian:150 phút Bài 1:

1/iải phơng tr×nh:

5√x+

2√x=2x+

1 2x+4

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ a= -1

2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm

Bµi 3:

1/ cho x,y,z số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhỏ A =2xy

+yz+ zx

2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H lần lợt hình chiếu cuả D đờng thẳng BC,AB,và AC Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh:

1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM 2/ BC

DI =

AB

DK +

AC DH

*Chuyªn toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút)

Bài 1 (3đ):

1 Giải pt: x+13x=2x 1

2 Trong hệ trục toạ độ Oxy tìm đờng thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5y

√x +6x =

Bµi 2(2,5®):

1 Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = (m lµ tham sè)

tìm tất giá trị m dể pt có nghiệm số nguyên

2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh ph -ơng trình sau có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0

Bài 3(3đ)

1 Gọi M trung điểm AC Cho biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, E điểm đối xứng M qua C chứng minh: DM vng góc với BE

2 LÊy mét ®iĨm O bÊt kú n»m tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB theo thứ tự điểm D,E,F chứng minh:

a) OD

AD +

OE BE+

OF

CF =1

b) (1+AD

OD)(1+ BE OE)(1+

CF OF)64

Bài 4(0.75đ)

xét đa thøc P(x)= x3+ ax2 +bx +c

Q(x)=x2 +x + 2005

Biết phơng trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm Chứng minh P(2005)>1/64

Bài 5 (0,75đ)

Cú hay không 2005 điểm phân biệt mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù

§Ị thi tun sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng (2004-2005)

thời gian :150

Bài 1: (3đ)

Trong h trc to độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm:

a) A(-1;3), b) B( √2 ; -1), c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ th hm s y= x+1

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2

gọi nghiệm hệ phơng trình (x;y)

2/ Tìm giá trị m thoả m·n 2x2 -7y =1

3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2x −3y

x+y nhËn giá trị nguyên Bài 3 (3đ)

Cho tam giác ABC ( ^A=900 ) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác

ABC cho BC=BD vµ AB C^ =CB D^ ; gäi I lµ trung điểm CD; AI cắt BC tại

E Chứng minh: C^A I=DB I^

2 ABE lµ tam giác cân AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= x

5

−4x3−3x+9 x4❑

❑+3x

2

+11 víi x x2+x+1=

1

*Trờng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006) (dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150)

Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc víi a,b,c lµ số nguyên Chứng minh a +b +c chia hÕt cho th× P chia hÕt cho

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1 Gi hƯ víi m= -10

2 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nhất./

Bµi 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z thoả mÃn hệ thøc

x+

2

y+

3

z=6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3

1 Chứng minh P x+2y+3z-3 2.Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P

Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm gi÷a A&P) cho DA.DP = DB.DC

1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gäi S vµ S’ lần lợt diện tích hai tam giác ABC & DEF, chøng minh:

s ' s ≤(

EF AD)

2

Bài 5(1đ)

Cho hình vng ABCD 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng

 Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán bảng B thời gian: 150)

Bµi 1

a) Rót gän biĨu thøc: P=

x − y¿2 ¿ ¿

√¿

√x y2

xy +

b)Giải phơng trình:

526

(¿)

¿ ¿x

¿

5+2√6 (¿)

¿ ¿x

¿ ¿ ¿

√¿

a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng

víi cạnh huyền tam gíac

5

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y= 4x+3

x2+1 Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O, có góc C=450 Đuờng trịn ng kớnh

AB cắt cạnh AC & BC lần lợt M& N a> chứng minh MN vuông gãc víi OC b> chøng minh √2 MN = AB

Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi,

nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng trũn ngoi tip tam giỏc MDF

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)

(dành cho mi i tng , thi gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biÓu thøc P= x√x −1

x −√x −

x√x+1 x+√x +

x+1

√x

1.Rót gän P

2 T×m x biÕt P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m tham số) Giải bpt với m= 1- √2

2 Tìm m để bpt nhận giỏ tr x >1 l nghim

Bài 3(2đ):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = parabol

(P):y= ax2 (a tham số dơng).

2 Gọi xA&xB hồnh độ A&B, tìm giá trị Min biểu thức T=

4

xA+xB+

1

xA+xB Bài 4(3đ):

ng trũn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C

1 Chøng minh c¸c tam giác AIB & AMC tam gíac cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC t Max

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC trung tuyÕn AM, gãc ACB = α

,gãc AMB = β Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp (thời gian:90 )

Bài 1(3đ): Tính: a) [6.(−1

3 )

−3.(−1

3 )+1]−(

−1 −1)

b) (63+3.62 + 33) :13

c)

10 − 90−

1 72−

1 56−

1 42−

1 30 −

1 20 −

1 12−

1 6

1

Bài 2(3đ): a) Cho a

b= b c=

c

a vµ a+b+c #0, a= 2005 TÝnh b,c

b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc

a+b a− b=

c+d c −d

1

ta cã tû lệ thức a

b= c d Bài 3(4đ):

Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ vớ 2;3;4 Ba chiểu cao tơng ứng với ba cạnh ú t l vi ba s no?

bài 4(3đ):

Vẽ đồ thị hàm số: 2x với x y = x với x<0

Chøng tá r»ng: A = 75(42004 + 42003 + +42 +4 +1) +25 lµ sè chia hết cho 100.

Bài 6(4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân

giỏc góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE

Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (Toán bảng A- thời gian:150)

Bài 1:

a Rót gän biĨu thøc: P = √x2y2

xy +√

(x − y)2 x − y (√

x2

x −√ y2

y )

b Giải phơng trình: 2+x

2+2+x+

2x

√2−√2−√x=√2 Bµi 2:

a ( đề nh bảng B)

b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =

Bµi 3:

Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F

Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005)

( lớp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1 Gọi x1, x2 la nghiệm phơng trình x2 + 2004x + = vµ x3, x4 lµ nghiƯm

phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trị biểu thức: ( x

1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2

-x4)

2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2

-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 lu«n cã nghiệm.

Bài 2 (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m n thoả mÃn m+1

n + n+1

m số nguyên chứng minh rằng:

ớc chung lớn m n không lớn m=n Bài 3 (3đ):

Cho hai ng trũn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến chung gần B hai

đ-ờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đờng thẳng song song với

CD, lần lợt cắt (O1), (O2) M & N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng

MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh: a Đờng thẳng AE vng góc vi ng thng CD

b Tam giác EPQ tam giác cân

Bài 4 (2đ):

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)

 TØnh VÜnh Phóc (150phót)

C©u 1: (3®) Cho hƯ pt víi tham sè a: x+4∨y∨¿∨x∨¿

¿y∨+¿x − a∨¿1

a gi¶i hƯ pt a=-2

b tìm giá trị tham số a để hệ pt có hai nghiệm

Câu 2(2đ):

a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trÞ max cđa biĨu thøc: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r

2

Câu 3(2đ):

Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3đ):

Cho tam giỏc ABC vuụng ti C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P

a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuộc đờng tròn

b giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số ®o gãc cđa tam gi¸c ABC

c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vng góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP

Tỉnh Haỉ D ơng (150 phút)

Bài 1(2.5đ):

Giải pt: |xy x y+a|+|x2y2

+x2y+xy2+xy4b|=0 víi

a= (√57+3√6+√38+6) (√57−3√6−√38+6)

b= √17−12√2+√3−2√2+√3+2√2

Bµi 2(2.5®)

Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai

pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cịng cã nghiƯm chung.

Bài 3(3đ):

Cho hai ng trũn tõm O1, O2 cắt A,B Đờng thẳng O1A cắt (O2) ti D,

đ-ờng thẳng O2A cắt (O1) C

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N Chứng minh

r»ng:

1 Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm mt ng trũn

2 BC+BD = MN Bài 4(2đ)

Tìm số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = x+y số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút)

Bài 1(6đ):

1 Chứng minh rằng: A = 23+513+48

6+2 số nguyên

2 Tìm tất số tự nhiên có ch÷ sè abc cho: abc = n2 1

cba =(n-2)2

Baì 2(6đ)

1 Gi¶i pt: x3 + 2x2 + 2

√2 x +2 √2 =0

2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi A,B giao điểm (P),(d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB max

c) tìm điểm N trục hoành cho NA+NB ngắn

Bài 3(8đ):

1 Cho ng trũn tõm O v dây cung BC không qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định

* Tỉnh Phú Thọ (150 phút)

Bài 1(2đ):

a) chứng minh p số nguyên tố lớn (p-1)(p+1) chia hết cho 24

b) tìm nghiệm nguyên dơng pt: xy 2x 3y +1=

Bài 2(2đ):

Cho số a,b,c khác đôi khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3 +

c3 = 3abc TÝnh:

(b −ca + c − a

b + a − b

c )( a b − c+

b c − a+

c a b) Bài 3(2đ)

a) tỡm a để pt: |x| +2ax = 3a -1 có nghiệm

b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mÃn điều kiện |f(x)| víi

mäi x [−1;1] T×m max cđa biĨu thức 4a2 +3b2.

Bài 4 (1,5đ)

Cho gúc xOy hai điểm A,B lần lợt nằm hai tia Ox,Oy thoả mãn OA- OB = m (m độ dài cho trớc) Chứng minh:đờng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vng góc với AB ln qua điểm cố định

Bµi 5(2.5®):

Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha,hb,hc lần lợt đờng cao ma,mb,mc

đờng trung tuyến cạnh BC,CA,AB; R&r lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp & nội tiếp tam gíac ABC Chứng minh ma

ha

+mb hb

+mc hc

≤R+r r Đề số 1:

Bài 1. cho c¸c sè a1,a2,a3…,a2003 BiÕt:

ak = 3k

2

+3k+1

(k2+k)3 víi mäi k = 1,2,3….2003

TÝnh tæng:a1 + a2 + a3+ +a2003

Bài Cho tam giác ABC cân A, góc BAC = 400, đờng cao AH Các điểm E, F

theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho gãc EBA = gãc FBC = 300 Chøng

minh r»ng AE = AF

Bµi Cho sáu số tự nhiên a 1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 tho¶ m·n:

2003 = a ❑1 <a ❑2 <a ❑3 <a ❑4 <a ❑5 <a ❑6 1) Nếu tính tổng hai số thực đợc tổng?

2) BiÕt r»ng tất tổng khác Chứng minh a ❑6 2012

Bài Hãy khôi phục lại chữ số bị xố( để lại vết tích chữ số dấu * ) để phép toán đúng.

*** ***2 **** ***

Đề số 2:

Bài 1

Giải hệ phơng trình

xy+2x+y=0

yz+2z+3y=0

xz+3x+z=0

¿{ {

¿

Bµi 2

Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)

Bµi 3 Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : S =

(2-x)(2-y)

Bài 4

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) víi gãc ACB = 800 Trong tam gi¸c ABC cã

®iĨm M cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300 TÝnh gãc BMC

Bài 5

kì qua I cắt (O) X Y cắt(O 1 ),(O ❑2 ) theo thø tù t¹i Z, T ( Z T

khác I) Chứng minh XZ = YT

Đề số 3:

Bài 1 Cho sè chÝnh ph¬ng A, B, C

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12

Bµi 2 Chøng minh r»ng :

3

√3

√2−1=√3

9−

3

√2 9+

3

√4

Bµi 3 Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c Chøng minh r»ng:

b2− c2 (a+b)(a+c)+

c2− a2 (b+c)(b+a)+

a2− b2 (c+a)(c+b)=

b − c b+c+

c − a c+a+

a − b a+b

Bài 4 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:

1

x+

1

y+

1

z >1

Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, trùc t©m H Chøng minh r»ng:

HB HC

AB AC+

HC HA BC BA +

HA HB CA CB =1

Đề số 4:

Bài 1

Biết A=654ì999 997

100 chữsố

+1965

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho

Bµi 2

Cho số thực dơng cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nhỏ

Bài 3

Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả mÃn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Giải phơng trình x4+16x+8=0

Bài 5

Mt đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam giácABC nằm đờng thẳng d

§Ị số 5 Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ

Bài 2

Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện

a2005

+b20051; x2005+y20051

Chứng minh rằng: a1975.x30+b1975.y301

Bài 3

Giải phơng trình

10+24+40+60=2005(2x 1)+2+3+5

Bài

Với số nguyên d¬ng n, kÝ hiƯu −1¿

n

.n

+n+1

n ! an=¿

TÝnh tæng

a1+a2+ +a2005 Trong n! kí hiệu tích n số nguyên dơng liên tiếp đầu

tiên

Đề số 6: Bài 1:

Chứng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng víi sè 2005.

Bµi 2:

a3

b + b3

c + c3

a aac+bba+ccb

Bài 3:

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +

2 =0

Bµi 4:

Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2= 2AD.OM

Bµi 5:

Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá trị ln nht

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 - x - = x3 + x + 1

Bài 2:

tìm Max biĨu thøc √x − x3

+√x+x3 víi x Bài 3:

Giải hệ phơng trình:

¿ √x2+xy+y2=√3

2 (x+y)

¿

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B đ-ờng phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b

Bµi 5:

Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hµng vµ

AE

AE=

AM AN

AB AC =

OM ON OB OC

Bµi 1:

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396

Bài 2:

Giải hệ phơng trình:

x2 –xy +y2 =3

z2 +yz +1 =0

Bài 3:

Tìm Max biểu thức: A= 2004x

2

+6006x+6√x3−2x2+x −2−8003 x2

+3x −4

Bµi 4:

Cho a,b,c lµ cạnh tam giác, chứng minh:

3

√a+b − c+√3b+c − a+√3c+a − b ≤√3a+√3b+√3c

Bµi 5:

cho tam giác ABC Đờng tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB,BC theo thứ tự P, Q Phân giác góc A cắt tia PQ E Chứng minh AE vuông góc với CE

Đề số 9: Bài 1:

Giả sử (a1;a2;a3;a37),(b1;b2;b3;b37),(c1;c2;c3;.c37) ba số nguyên

Chng minh tồn số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2;…37} để số a= 1/3(ak

+al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c= 1/3(ck +cl + cn); đồng thời số nguyên

Bµi 2:

Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ √x2

−1

Bµi 3:

Tìm m để phơng trình sau có bốn nghiệm ngun:

m2|x+m|+m3

+|m2x+1|=1 Bµi 4:

Cho tam giác ABC, H điểm cạnh BC AD đờng phân giác tam giác Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC) Chứng minh: BH.CH/ (BL.CL)=HD2/LD2

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;1) Một đờng thẳng qua O cắt hai cạnh AB AC lần lợt M&N Ký hiệu SAMN diện tích tam giác AMN

Chøng minh r»ng: √3

3 ≤ SAMN≤ 3√3

8

Đề số 10

Bài 1:

Cho p số nguyên tố >3

Chứng minh r»ng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 có nghiệm dơng (x

0;y0;z0)

Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c =3 Chøng minh r»ng:

a

1+b2+ b

1+c2+ c

1+a2≥

3

Bµi 3:

Giải pt: 3x2

7x+3x22=3x25x 1x23x+4 Bài 4:

Cho tam giấcBC (AB<AC) P điểm nằm tam giác cho góc ^PBA=^PCA Gọi H & K chân đờng vng góc hạ từ P xuống AB & AC; I trung điểm BC Chứng minh: ^HIB <^KIC

Bµi 5:

Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O) gọi D,E,F tiếp điểm (O) với cạnh BC,CA,AB Gọi M giao điểm đờng thẳng AO,DE; Nlà giao điểm đờng thẳng BO,EF; P giao điẻm Co DF Chứng minh tam giác NAB,MAC,PBC có diện tích

§Ị sè 11:

P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) a,b,c số thực thoả mãn điều kiện a>=b>=c>0

Bµi 2:

Tồn hay không số nguyên thoả mÃn : n3 + 2003n = 20052005+1?

Bài 3: Đặt: A=

2 3+

3 4+ + 2003 2004+

1 2005 2006

B=

1004 2006+

1005 2005+ + 2006 1004

Chøng minh r»ng A/B số nguyên

Bài 4:

Cho tam giỏc ABC có điểm M thuộc BC Gọi E&F hình chiếu vng góc M AB&AC; O trung diểm EF; Q hình chiếu vng góc A đ-ơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)

§Ị sè 12:

Bµi 1:

Cho Sn= √

3+Sn−1

13 Sn 1 với n số tự nhiên không nhá h¬n BiÕt S1 = 1, tÝnh S = S1

+ S2 + S3 +… + S2004 + S2005

Giải hệ phơng trình: x

√y+ y

√x=xy

x2008 + y2008 =8(xy)

❑

2005

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa hịn bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c (b+c)a

2003

2 +

(c+a)b2003

2 +

(a+b)c2003

2 víi a,b,c số dơng

Đề số 13:

Bài 1:

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1 xác định dấu

cđa hƯ sè a

Bµi 3:

Gi¶i pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Cho a1=1/2; an+1= (2n −1

2n=2) an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh r»ng: a1 + a2 +

a3 +…+ a2005 <

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC đờng trịn đờng kính AM BC cắt N ( N # B), gọi L giao điểm BN & CD Chứng minh: ML vuụng gúc vi AC

Đề số 14:

Bài 1:

Chøng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 nghiệm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0

x +9y -3z + 2xz =

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân A ^A= 360 Chứng minh: BA/BC số vô tỉ

Bài 5:

Cho ng trũn tõm O, đờng kính AB Trên nửa đờng trịn đờng kính AB lấy điểm C,D cho cung AC < cung AD (D#B) E điểm nửa đờng trịn (O) nhng khơng chứa C,D ( E#A,B) I,K lần lợt giao điểm CE & AD, IO & BE Chứng minh: ^ CDK = 900.

Đề 1

Câu1 : Cho biểu thức A=

1− x2

¿2 ¿

x¿

(xx −3−11+x)(

x3

+1 x+1 − x):¿

Víi x √2 ;1 .a, R gän biĨu thøc A

.b , Tính giá trị biểu thức cho x= √6+2√2

c Tìm giá trị ca x A=3

Câu2.a, Giải hệ phơng tr×nh:

x − y¿2+3(x − y)=4 ¿

b Giải bất phơng tr×nh: x

3−4x2−2x −15

x2+x+3 <0

Câu3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

Câu 4 Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn D-ng hình vD-ng ABCD thuộc nửa mặt phẳD-ng bờ AB, khôD-ng chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm CFvà ED

a chứng minh điểm E,B,F,K nằm đờng tròn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ?

đáp án

C©u 1: a Rót gän A= x

2

−2

x

b.Thay x= √6+2√2 vào A ta đợc A= 4+2√2

√6+2√2

c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x= 3±√17

2

Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

Từ ta có

x − y¿2+3(x − y)=4

¿

2x+3y=12

¿ ¿ ¿

<=>

*

¿

x − y=1 2x+3y=12

¿{

¿

(1)

*

¿

x − y=−4 2x+3y=12

¿{

¿

(2)

Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4

VËy hƯ ph¬ng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4

b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)

mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x

Vậy bất phơng trình tơng ng vi x-5>0 =>x>5

Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m

ta thÊy nghiƯm x=1 không thuộc (-1,0) với m 1/2 pt có nghiệm x= m−m+1

2m−1 =

1 2m−1

pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<

O K

F E

D

C B

A

¿

1

2m−1+1>0 2m−1<0

¿{

¿

=>

¿

2m

2m−1>0 2m−1<0

¿{

¿

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) m<0

C©u 4:

a Ta cã KEB= 900

mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn na ng trũn)

do CF kéo dài cắt ED t¹i D

=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK

hay điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK b BCF= BAF

Mµ  BAF= BAE=450=>  BCF= 450

Ta cã BKF=  BEF

Mà  BEF=  BEA=450(EA đờng chéo hình vng ABED)=> BKF=450

V×  BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B

Đề 2 Bài 1: Cho biểu thức: P = (x√x −1

x −√x −

x√x+1

x+√x ):(

2(x −2√x+1)

x −1 )

a,Rót gän P

b,Tìm x ngun để P có giỏ tr nguyờn

Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*)

a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm

b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x13− x23| =50

Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x

1, x2Chứng

minh:

a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biƯt t

1 vµ t2

b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2

Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A

a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành

b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng

c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn

Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y Tìm giá trị nhỏ của: A =

x2

+y2+

Đáp án

Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x ≠1 a, Rót gän: P = 2x(x −1)

x(x −1) :

2( √x −1❑z)

2

x −1 <=> P =

√x −1¿2 ¿ ¿ √x −1

¿

b P = √x+1

√x −1=1+

√x −1

Để P nguyên

x 1=1x=2x=4 x 1=1x=0x=0

√x −1=2⇒√x=3⇒x=9 √x −1=−2⇒√x=−1(Loai)

VËy với x= {0;4;9} P có giá trị nguyên

Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:

¿

Δ=(2m+1)2−4(m2+m−6)≥0 x1x2=m2

+m−6>0 x1+x2=2m+1<0

¿{ {

¿

⇔ Δ=25>0 (m−2)(m+3)>0

m<−1

2

⇔m<−3

¿{ {

b Giải phơng trình: m+3

3

(m−2)3−¿=50

¿

¿m1=−1+√5

2

m2=−1−√5

¿

⇔|5(3m2+3m+7)|=50⇔m2+m−1=0

⇔ {

Bµi 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0

V× x1> => c (1

x1)

+b x1

+a=0 Chøng tỏ x1

1

nghiệm dơng phơng trình: ct2 + bt + a = 0; t

1 =

1

x1 V× x2 nghiệm phơng trình:

ax2 + bx + c = => ax

v× x2> nªn c (

1

x2)

+b.(

x2)

+a=0 điều chứng tỏ x1

2

nghiệm dơng phơng trình ct2 + bt + a = ; t

2 =

1

x2

Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x

1; x2 phơng

trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t

1 ; t2 t1 =

1

x1 ; t2 =

1

x2

b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên

t1+ x1 =

1

x1

+ x1 t2 + x2 =

1

x2

+ x2

Do x1 + x2 + t1 + t2

Bµi 4

a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên

CH AB BH AC => BD AB CD AC Do đó: ABD = 900 ACD = 900

Vậy AD đờng kính đờng trịn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng trịn tâm O thỡ

tứ giác BHCD hình bình hành

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB

nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB

Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB

Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB

Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC

VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800

Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng

c) Ta thy Δ APQ tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ

đạt giá trị lớn  AP AQ lớn hay  AD lớn

 D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O

H

O

P

Q

D

C B

Đề 3

Bài 1: Cho biÓu thøc:

√x+√y

P= x

(√x+√y)(1−√y)− y

¿(√x+1)¿−

xy

(√x+1)(1−√y)

a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ;

-2)

a) Chøng minh r»ng víi giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt

b) Xỏc định m để A,B nằm hai phía trục tung

Bài 3: Giải hệ phơng trình :

¿ x+y+z=9

1

x+

1

y+

1

z=1

xy+yz+zx=27 ¿{ {

¿

Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn

(C ≠ A ;C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ-ờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N

a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R

Bµi 5: Cho x , y , z∈R tháa m·n :

x+ y+ z=

x+y+z

HÃy tính giá trị biểu thức : M =

4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 x10)

Đáp án

Bi 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ≥0; y ≥0; y ≠1; x+y ≠0 *) Rút gọn P:

 

     

(1 ) (1 )

1

x x y y xy x y

P

x y x y

                   ( ) 1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  

   

  1  1 

x y x y x xy y xy

x y x y

     



  

       

   

1 1

1

x x y x y x x

x y

     



Q N M C B A

1 

x y y y x

y             

1 1

1

x y y y y

y

   



  x  xy  y.

VËy P = √x+√xy−√y

b) P = ⇔ √x+√xy−√y =

⇔√x(1+√y)−(√y+1)=1

⇔(√x −1) (1+√y)=1

Ta cã: + y 1  x 1  0 x  x = 0; 1; 2; ; 4

Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) tho¶ m·n

Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m –

Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –

⇔ x2 + mx + m – = (*)

V× phơng trình (*) có =m24m+8=(m2)2+4>0m nên phơng trình (*) cã

hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B b) A B nằm hai phía trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – = có

hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <

Bµi 3 :

¿ x+y+z=9(1)

1

x+

1

y+

1

z=1(2)

xy+yz+xz=27(3)

¿{ { ¿

§KX§ : x ≠0, y ≠0, z≠0

   

 

   

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

81 81

81 27

2( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

x y x y

y z y z x y z

z x z x                                                                 

Thay vµo (1) => x = y = z =

Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z =

Bµi 4:

a) XÐt ΔABM vµ ΔNBM

Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90o

M điểm cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => ΔBAN cân đỉnh B

Tø gi¸c AMCB néi tiÕp

=> Tam giác MCN cân đỉnh M b) Xét ΔMCB ΔMNQ có :

MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)

 BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).

=> ΔMCB=ΔMNQ(c.g.c) => BC = NQ

Xét tam giác vuông ABQ có ACBQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)

=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =

(√5−1)R

Bµi 5:

Tõ :

x+

1

y+

1

z=

1

x+y+z =>

1

x+

1

y+

1

z−

1

x+y+z=0

=> x+y

xy +

x+y+z− z z(x+y+z)=0 ⇒(z+y)(

xy+

z(x+y+z))=0 ⇒(x+y)(zx+zy+z

2

+xy

xyz(x+y+z) )=0 ⇒(x+y)(y+z)(z+x)=0

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=

y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)

z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

VËy M =

4 + (x + y) (y + z) (z + x).A =

§Ị 4

Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thng d/ i xng vi

đ-ờng thẳng d qua đđ-ờng thẳng y = x là: A.y =

2 x + ; B.y = x - ; C.y =

2 x - ; D.y = - 2x -

Hãy chọn câu trả lời

2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình cịn lại

3 b×nh Tỉ số bán

kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B

2 ; C

√3 ; D mét kÕt qu¶ khác

Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0

2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhÊt cña A = √x + √y

Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MA

MB =

1

Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ

Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I bt k trờn oan CD

a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN

M D

C B

A

x

c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định

Híng dÉn

Bài 1: 1) Chọn C Trả lời ỳng

2) Chọn D Kết khác: Đáp số lµ:

Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)

= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)

= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2

VËy A chia hÕt cho sè chÝnh ph¬ng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt.

XÐt A2 = (

√x + √y )2 = x + y + 2

√xy = + √xy (1) Ta cã: x+y

2 √xy (Bất đẳng thức Cô si)

=> > √xy (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + 2

√xy < + = Max A2 = <=> x = y =

2 , max A = √2 <=> x = y =

Bài3 Câu 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nªn víi x = th× - = (4 + b)(4 + c)

Cã trêng hỵp: + b = vµ + b = + c = - + c = - Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10

Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a =

Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5)

C©u2 (1,5điểm)

Gọi D điểm cạnh AB cho: AD =

4 AB Ta có D điểm cố định

Mµ MA

AB =

1

2 (gt) AD

MA =

1

XÐt tam gi¸c AMB tam giác ADM có MâB (chung) MA

AB =

AD

MA =

1

Do Δ AMB ~ Δ ADM => MB

MD =

MA

AD =

=> MD = 2MD (0,25 ®iĨm)

Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (khơng đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

DÊu "=" x¶y <=> M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ nhÊt cđa MB + MC lµ DC * Cách dựng điểm M

- Dng ng trũn tõm A bán kính

2 AB

- Dùng D trªn tia Ax cho AD =

K O N M I D C B A

M giao điểm DC đờng tròn (A;

2 AB)

Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đờng kính

Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g)Δ Δ => CN = MK = MD (vì ΔMKD vng cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi

c) Ta cã IA = IB = IM = IN

Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN qua hai điểm A, B cố định

§Ị 5

Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

2 2 1 2 1 2 1 0

x  y y  z z  x

Tính giá trị biểu thức :A x 2007y2007z2007

Bµi 2). Cho biĨu thøc :M x2 5x y 2xy 4y2014

Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giỏ tr nh nht ú

Bài 3. Giải hệ phơng trình :

2 18

1 72

x y x y

x x y y

           

Bài 4 Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D

a.Chøng minh : AC BD = R2.

b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ

Bµi 5.Cho a, b số thực dơng Chứng minh :

 2 2

a b

a b    a b b a

Bµi 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC.

Hớng dẫn giải

Bài 1. Từ giả thiết ta cã :

2 2

2

2

2

x y y z z x               Cộng vế đẳng thức ta có :     

2 2 1 2 1 2 1 0

x  x  y  y  z  z 

x 12 y 12 z 12

       1 x y z           

 2007  2007  2007

2007 2007 2007 1 1 1 3

A x y z

          

VËy : A = -3

Bài 2.(1,5 điểm) Ta có :

 4 4  2 1  2 2 2007

M  x  x  y  y  xy x  y 

 22  12  2  1 2007

M  x  y  x y 

     

2

1

2 1 2007

2

M  x y  y

        

 

Do  

1

y 

vµ    

1

2

2

x y

 

   

 

  x y, 2007

M

   Mmin 2007 x2;y1 Bài 3. Đặt :

   

1

u x x

v y y

  

 

 



 Ta cã :

18 72 u v uv     

  u ; v nghiệm phơng

trình :

2

1

18 72 12;

X  X    X  X   12 u v      ; 12 u v           12 x x y y          ;     12 x x y y         

Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ hoán vị

Bài 4 a.Ta cã CA = CM; DB = DM Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC OD

Tam giác COD vuông đỉnh O, OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD

 R2 = AC BD

b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp

  ; 

MCO MAO MDO MBO

    

COD AMB g g

  

(0,25®)

Do :

Chu vi COD OM

Chu vi AMB MH



 (MH

1  AB)

Do MH1  OM nªn

1

OM

MH 

 Chu vi COD chu vi AMB

DÊu = x¶y  MH1 = OM  MO  M lµ điểm cung AB

Bài 5 (1,5 ®iĨm) Ta cã :

2 1 0; 2 a b            

     a , b >

1

0;

4

a a b b

      

1

( ) ( )

4

a a b b

      

 a , b > 0

0

a b a b

     

Mặt khác a b ab

Nhân tõng vÕ ta cã :      

1 2

a b  a b    ab a b

 

 2   2

a b

a b  a b b a

    

Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoi tip ABC

Gọi E giao điểm cđa AD vµ (O) Ta cã:ABDCED (g.g)

BD AD

AB ED BD CD

ED CD      

AD AE AD BD CD

AD AD AE BD CD

  

  

L¹i cã : ABDAEC g g 

AB AD

AB AC AE AD

AE AC

AD AB AC BD CD

   

  

Đè 6 Câu 1: Cho hàm số f(x) = √x2−4x+4

a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)

x2−4 x  ±2

C©u 2: Giải hệ phơng trình

x(y 2)=(x+2)(y 4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)

¿{ ¿

C©u 3: Cho biÓu thøcA = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+

√x

√x −1) víi x > vµ x 

a) Rót gän A

d e

c b

b) Tìm giá trị x để A =

Câu 4: Từ điểm P nằm đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC

a) Chøng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Gi¶ sư PO = d TÝnh AH theo R d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa

m·n: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án

C©u 1a) f(x) =

x −2¿2 ¿ ¿

√x2−4x+4=√¿

Suy f(-1) = 3; f(5) =

b)

f(x)=10⇔ x −2=10

¿

x −2=−10

¿

x=12

¿

x=−8

¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

c) A= f(x) x2−4=

|x −2| (x −2)(x+2)

Víi x > suy x - > suy A= x+2

Víi x < suy x - < suy A=− x+2 C©u 2

( 2) ( 2)( 4) 2

( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21

x y x y xy x xy y x x y

x y x y xy y x xy y x x y

           

   

  

   

              

   

x -2

y

C©u a) Ta cã: A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+

√x

((√x+1)(x −√x+1) (√x −1)(√x+1) −

x −1

√x −1):(

√x(√x −1)

√x −1 +

√x

√x −1) =

(x −√x+1

√x −1 −

x −1

√x −1):(

x −√x+√x

√x −1 ) =

x −√x+1− x+1

√x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2

√x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2

√x −1 ⋅

√x −1

x =

2−√x x

b) A = => 2−√x

x = => 3x + √x - = => x = 2/3 C©u 4

Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH

PB =

CH

CB ; (1)

Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị)

=>  AHC ∞  POB Do đó: AH

PB =

CH

OB (2)

Do CB = 2OB, kÕt hỵp (1) vµ (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm AH

b) Xột tam giỏc vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã

AH2=(2R −AH CB

2PB )

AH CB

2PB

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2R¿2

¿

4PB2

+¿

¿

⇔ AH=4R CB PB

4 PB2+CB2=

4R 2R PB

¿

Câu Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 th×  >

<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

O

B H C

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:

¿

x1+x2=−2m−1

2 x1.x2=m−1

2 3x1−4x2=11

⇔

¿{ {

¿

¿

x1=13-4m

7 x1=7m−7

26-8m 313-4m

7 −4

7m−7 26-8m=11

¿{ {

Giải phơng trình 313-4m

7 4

7m−7

26-8m=11

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11

Đề

Câu 1: Cho P =

2 x x x   + 1 x x x    - 1 x x  

a/ Rót gän P

b/ Chøng minh: P <

1

3 víi x  x 1.

Câu 2: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m lµ tham sè.

a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm

Câu 3: a/ Giải phơng trình :

1

x +

1

2 x = 2

b/ Cho a, b, c số thực thõa mÃn :

0

2

2 11

a b

a b c

a b c

                

Tìm giá trị lớn giá trị bé cña Q = a + b + 2006 c

Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D

c¾t ë K

a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp b/ Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao?

c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK l hỡnh bỡnh hnh

Đáp án

Câu 1:Điều kiện: x x 1 (0,25 điểm)

P = x x x   + 1 x x x    -

( 1)( 1)

x

x x



=

2 ( )

x x   + 1 x x x    - 1 x =

2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

      

  

= ( 1)( 1)

x x

x x x



   =

x x x

b/ Víi x  vµ x 1 Ta cã: P <

1

3 

x

x x <  3 x < x + x + ; ( v× x + x + > )

 x - 2 x + > 0

 ( x - 1)2 > ( Đúng x x 1)

Câu 2:a/ Phơng trình (1) có nghiệm vµ chØ ’  0.  (m - 1)2 – m2 –  0

 – 2m  0

 m  2.

b/ Víi m  th× (1) cã nghiƯm.

Gäi mét nghiƯm cđa (1) lµ a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:

3 2

.3

a a m

a a m

  

 

 

  a=

1 m  3( m

)2 = m2 – 3

 m2 + 6m – 15 = 0

 m = –32 6 ( thâa mÃn điều kiện).

Câu 3:

Điều kiện x  ; – x2 >  x  ; x < 2.

Đặt y = x2 >

Ta cã:

2 2 (1)

1 (2) x y x y         

Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hc xy =

-1

* Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình: X2 – 2X + =  X =  x = y = 1.

* NÕu xy =

-1

2 x+ y = -1 Khi x, y nghiệm phơng trình:

X2 + X -

1

2 =  X =

Vì y > nên: y =

1

2  

 x =

1

2  

Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =

1

2  

Câu 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang

Do ú, t giỏc ABCK l hình bình hành  AB // CK  BACACK

Mµ



2

ACK 

s®EC =

1 2s®BD

= DCB Nªn BCD BAC

Dựng tia Cy cho BCy BAC  Khi đó, D giao điểm AB Cy Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC

 D  AB

Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm

§Ị 8

Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = √x2+1− x −

√x2+1− x Lµ mét sè tù

nhiªn

b Cho biĨu thøc: P = √x

√xy+√x+2+

√y

√yz+√y+1+

2√z

√zx+2√z+2 BiÕt x.y.z = , tÝnh

P

Câu 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a Chøng minh ®iĨm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC

Câu3 Giải phơng trình: x 13

2 x=5

Câu 4 Cho đờng tròn (O;R) điểm A cho OA = R √2 Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đờng trịn Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB AC lần lợt D

E

Chøng minh r»ng:

a.DE tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b

3R<DE<R

đáp án Câu 1: a

A = √x2+1− x − √x

2

+1+x

(√x2+1− x).(√x2+1+x)

=√x2+1− x −(√x2+1+x)=−2x

A số tự nhiên -2x số tù nhiªn ⇔ x = k

2

(trong k Z k )

b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x, y, z >

√xyz=2

Nhân tử mẫu hạng tử thứ víi √x ; thay ë mÉu cđa h¹ng tö thø bëi

P =

√x+2+√xy

¿ √z¿ √x

√xy+√x+2+

√xy

√xy+√x+2+ 2√z

¿

(1®)

⇒ √P=1 v× P >

Câu 2: a.Đờng thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB y = 2x +

Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB

A, B, C không thẳng hàng

Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒

A,B,D thẳng hàn b.Ta có :

AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20

AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10

BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10

⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ABC vuông C

Vậy SABC = 1/2AC.BC =

2√10 √10=5 ( đơn vị diện tích )

Câu 3: Đkxđ x 1, đặt √x −1=u ;√32− x=v ta có hệ phơng trình:

¿

u − v=5

u2+v3=1

¿{

¿

Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v =

⇒ x = 10

C©u 4

a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ⇒ ABOC hình vng (0.5đ)

Kẻ bán kính OM cho

BOD = MOD ⇒ MOE = EOC (0.5®)

Chøng minh BOD = MOD

⇒ OMD = OBD = 900

T¬ng tù: OME = 900

⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đờng trịn (O) b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC

Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE >

3 R

VËy R > DE >

3 R

§Ị 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2

4x+4

a) TÝnh f(-1); f(5)

B

M A

O

C D

b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)

x2−4 x  ±2

C©u 2: Giải hệ phơng trình

x(y 2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)

¿{ ¿

C©u 3: Cho biÓu thøc

A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+

√x

√x −1) víi x > vµ x 

a) Rót gän A

2) Tìm giá trị x để A =

Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC

a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa

m·n: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án

C©u 1

a) f(x) =

x −2¿2 ¿ ¿

√x2−4x+4=√¿

Suy f(-1) = 3; f(5) =

b)

f(x)=10⇔ x −2=10

¿

x −2=−10

¿

x=12

¿

x=−8

¿ ¿ ¿

c) A= f(x) x2−4=

|x −2| (x −2)(x+2)

Víi x > suy x - > suy A= x+2

Víi x < suy x - < suy A=− x+2 C©u 2

¿

x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)

¿

⇔

xy−2x=xy+2y −4x −8

2 xy−6y+7x −21=2 xy−7y+6x −21

¿

⇔ x − y=−4

x+y=0

⇔

¿x=-2

y=2

¿ ¿{

¿

C©u 3a) Ta cã: A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+

√x

√x −1)

= ((√x+1)(x −√x+1)

(√x −1)(√x+1) − x −1

√x −1):(

√x(√x −1)

√x −1 +

√x

√x −1)

= (x −√x+1

√x −1 −

x −1

√x −1):(

x −√x+√x

√x −1 )

= x −√x+1− x+1

√x −1 :

x

√x −1

= −√x+2

√x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2

√x −1 ⋅

√x −1

x =

2−√x x

b) A = => 2−√x

x = => 3x + √x - = => x = 2/3 C©u 4

B H C

E A P

Trường THCS Đồng - Tường - Thanh Chương- Nghệ An

a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có

EH

PB =

CH

CB ; (1)

Mặt khác, PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị) =>  AHC ∞  POB

Do đó: AH

PB =

CH

OB (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm cña

AH

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã

AH2

=(2R −AH CB

2PB )

AH CB

2PB

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2R¿2

¿

4PB2+¿

¿

⇔ AH=4R CB PB

4 PB2+CB2=

4R 2R PB

¿

Câu (1đ)

Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 >

<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:

¿

x1+x2=−2m−1

2 x1.x2=m−1

2 3x1−4x2=11

⇔

¿{ {

¿

¿

x1=13-4m

7 x1=7m−7

26-8m 313-4m

7 −4

7m−7 26-8m=11

¿{ {

¿

Gi¶i phơng trình 313-4m

7 4

7m7

26-8m=11

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phõn bit t

Đề 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức:

A =

√3+√5 +

√5+√7 +

√7+√9 + +

1

√97+√99

B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35

99số

Câu II :Phân tích thành nh©n tư :

1) X2 -7X -18

2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10

C©u III :

1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)

2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2

Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q

a) Chøng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP

MQ

C©u 5:

Cho P = √x

2

−4x+3

√1− x

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức. đáp án Câu :

1) A =

√3+√5 +

1

√5+√7 +

1

√7+√9 + +

1

√97+√99

=

2 ( √5−❑√3 + √7−√5 + √9−√7 + + √99−√97 ) =

2 ( √99−√3

)

2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟

=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)

= 198 +

3 ( 99+999+9999+ +999 99)

198 +

3 ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +

B = (10101−102

27 ) +165

C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®)

2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3

= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2

= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]

= (x2+5x +3)(x2+5x +7)

3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1

- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )

= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)

-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)

=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)

Câu 3: 4đ

1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>

a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>

a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>

(ad - bc)2 (®pcm )

DÊu = x·y ad=bc

2) áp dụng đẳng thức ta có :

52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) =>

x2 + y2 25

17 => 4x2 + 4y2

100

17 dÊu = x·y x=

17 , y = 20

17 (2đ)

Câu 4 : 5đ

Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=>

Δ MPD đồng dạng với Δ ICA => DM

CI =

MP

IA => DM.IA=MP.CI hay

DM.IA=MP.IB (1)

Ta cã gãc ADC = gãc CBA,

Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.

Do Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA =>

DM

BI =

MQ

IA => DM.IA=MQ.IB (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy MP

MQ =

C©u 5

Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0

Tõ 1-x > => x <

Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nªn ta cã :

VËy víi x < th× biĨu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã :

P = √x

2−4x

+3

√1− x =

√(x −1)(x −3)

√1− x =√3− x

Đề 11

Câu 1 : a Rút gän biÓu thøc A=√1+1 a2+

1

(a+1)2 Với a > b Tính giá trị tổng B=√1+

12+ 22+√1+

1 22+

1

32+ +√1+ 992+

1 1002

C©u 2 : Cho pt x2−mx

+m−1=0

a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀m

b Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN, GTNN cđa bt P= 2x1x2+3

x12+x

22+2(x1x2+1)

C©u : Cho x ≥1, y ≥1 Chøng minh.

1 1+x2+

1 1+y2≥

2 1+xy

Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn, từM kẻ MH  AB (H  AB) Gọi E F lần lợt hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với è cắt dây AB D

1 Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn

2 Chøng minh

MA2 MB2 =

AH BD

AD BH

H

ớng dẫn Câu 1 a Bình ph¬ng vÕ ⇒A=a

2

+a+1

a(a+1) (Vì a > 0)

c áp dụng câu a

A=1+1 a−

1

a+1

¿⇒B=100−

100= 9999 100

C©u a : cm Δ≥0∀m

¿

x1+x2=m

x1x2=m−1

¿{

¿

⇒P=2m+1

m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn ⇒−1

2≤ P≤1

⇒GTLN=−1

2⇔m=−2

GTNN=1⇔m=1

Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc bđt ⇔ x(y − x)

(1+x2)(1+xy)+

y(x − y)

(1+y2)(1+xy)≥0

⇔(x − y)2(xy−1)≥0 xy≥1

C©u 4: a

- Kẻ thêm đờng phụ

- Chứng minh MD đờng kính (o) =>

b

Gäi E', F' lÇn lợt hình chiếu D MA MB §Ỉt HE = H1

HF = H2

⇒AH

BD AD BH =

HE h1 MA2

HF.h2 MB2 (1)

⇔ΔHEF ∞ ΔDF'E'

⇒HF h2=HE.h

Thay vµo (1) ta cã: MA

2 MB2 =

AH BD

AD BH

Đề 12

Câu 1: Cho biÓu thøc D = [√a+√b

1−√ab+

√a+√b

1+√ab ] : [1+

a+b+2 ab 1−ab ]

a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a =

23

c) Tìm giá trị lớn D

Câu 2: Cho phơng trình

2−√3 x

2- mx +

2−√3 m

2 + 4m - = (1)

a) Giải phơng trình (1) với m = -1

M

o E'

E A

F F'

B I

b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoã mãn x1

1

+

x2=x1+x2

Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, ^A=α(α=900

)

Chøng minh r»ng AI = bc Cos

α

2

b+c

(Cho Sin2 α=2 SinαCosα )

Câu 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho N A ≤ N B Vễ vào đờng trịn hình vuông ANMP

a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q

b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp

c) Chứng minh đờng thẳng MP ln qua điểm cố định

C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 H·y tÝnh giá trị của:

B = xy

z +

zx

y +

xyz

x

Đáp án

Cõu 1: a) - Điều kiện xác định D

¿

a ≥0

b ≥0 ab≠1

¿{ {

¿

- Rót gän D D = [2√a+2b√a

1−ab ] : [

a+b+ab

1−ab ]

D = 2√a

a+1

b) a =

2+√3

¿

√3+1¿2⇒√a=√3+1

2¿

2 2+√3=¿

VËy D =

2+2√3 2√3+1

=2√3−2

4−√3

c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta cú

2a a+1D 1

Vậy giá trị D

Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 1

2x

+x −9

2=0⇔x

c b a I C B A   ⇒ x1=110

x2=1+10

{

b) Để phơng trình cã nghiƯm th× Δ≥0⇔−8m+2≥0⇔m ≤1

4 (*)

+ Để phơng trình có nghiệm khác

¿m1≠ −4−3√2

m2≠ −4+3√2

¿

⇔1

2m

+4m−1≠0 ⇒

{

(*)

+

1

x1+

1

x2=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2−1)=0⇔

x1+x2=0 x1x2−1=0

¿{ ⇔

2m=0

m2+8m−3=0 ⇔

¿m=0

m=−4−√19

m=−4+√19

¿{

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m=−4−√19

C©u 3: + SΔABI=1

2AI cSin

α

2;

+ SΔAIC=

2AI bSin

α

2;

+ SΔABC=1

2bcSinα ;

SΔABC=SΔABI+SΔAIC ⇒bcSinα=AISinα

2(b+c)

⇒AI=bcSinα

Sinα 2(b+c)

=

2 bcCosα

b+c

C©u 4: a) Nˆ1 Nˆ2Gäi Q = NP (O)

QA QB

    Suy Q cố định

b) ^A

1= ^M1(¿^A2)

 Tø gi¸c ABMI néi tiÕp

c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định

Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF

ABF vuông A  B=^ 450⇒AF B=^ 450

L¹i cã Pˆ1 450  AFBPˆ1  Tø gi¸c APQF néi tiÕp

 A^P F=AQ F=^ 900

Ta cã: A^P F+A^P M=900

+900=1800 M1,P,F Thẳng hàng

Câu 5: Biến đổi B = xyz (1

x2+

1

y2+

1

z2) = ⋯=xyz

2 xyz=2

Đề 13

Bài 1: Cho biÓu thøc A =

4( 1) 4( 1)

1 4( 1)

x x x x

x

x x

      



 



 

 

a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A

Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB

b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M

Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = 0

cã nghiƯm nguyªn

Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D  BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh

a) EF // BC

b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2

Bài : Cho số dơng x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn x2 + y2 x3 + y4 Chứng minh:

Đáp án Bài 1:

a) Điều kiện x thỏa mÃn

2

4( 1) 4( 1) 4( 1)

x x x x x x x                    1 x x x x          

  x > vµ x  2

KL: A xác định < x < x >

b) Rót gän A A =

2

2

( 1) ( 1)

1 ( 2)

x x x

x x         A =

1 1 2

2

x x x

x x

     

 

Víi < x < A =

2 1 x

Víi x > A =

2

x

KÕt luËn

Víi < x < th× A =

2 1 x

Víi x > th× A =

2

x

Bµi 2:

a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b

A(5; 2)  AB  5a + b = B(3; -4)  AB  3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13

Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13

b) Gi¶ sư M (x, 0)  xx’ ta cã MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (04)2

MAB c©n  MA = MB  (x 5)2 4  (x 3)2 16  (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16

 x =

KÕt luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)

Bài 3:

Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng

Ta lại có: m = 0; < loại m = = = 2 nhËn

m  th× 2m(m - 2) >  2m2 - 4m - > 0

 m4 - 2m + < < m

 (m2 - 1)2 < < (m 2)2 không phơng

Vậy m = giá trị cần tìm

Bài 4:

a)

  (  )

2

EADEFD  sd ED

(0,25)

  (  )

2

FADFDC  sd FD

(0,25)

mµ EDA FAD  EFD FDC (0,25)

 EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau)

b) AD phân giác góc BAC nên DE DF

sđ



2

ACD

s®(AED DF ) =

1

2s®AE = s®ADE

do ACDADE EAD DAC

DADC (g.g) Tơng tự: sđ

( )

2

ADF sd AF  sd AFD DF

=

  

1

( )

2 sd AFD DE sd ABD  ADFABD

do AFD ~ (g.g

c) Theo trªn:

+ AED ~  DB



AE AD

AD AC hay AD2 = AE.AC (1)

+ ADF ~ ABD   

AD AF

AB AD

 AD2 = AB.AF (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF

Bài (1đ):

Ta cã (y2 - y) +   2y3  y4 + y2

 (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3)

mà x3 + y4 x2 + y3 đó

x3 + y3 x2 + y2 (1)

+ Ta cã: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2 0

 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0

 (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4)

mµ x2 + y3 x3 + y4

 x2 + y2 x + y (2)

vµ (x + 1)(x - 1)  (y - 1)(y3 -1)  0

x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 +  0

 (x + y) + (x2 + y3)  + (x3 + y4)

mµ x2 + y3 x3 + y4

 x + y  Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:

x3 + y3 x2 + y2 x + y  2

F E

A

B

Đề 14

Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) cho A= ( - ) x2- 4(x-1) x-1

a/ rót gän biĨu thøc A

b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên

Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0

Cã nghiƯm x1 vµ x2 tho· m·n mét ®iỊu kiƯn sau:

a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13

Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1

m3x+(m2-1)y =2

vô nghiệm, vô số nghiệm

Câu 4: tìm max vµ cđa biĨu thøc: x 2 +3x+1

x2+1

Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với góc 450 Một

tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q

a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP

c/ KỴ trung trùc cạnh CD cắt AE M tính số đo gãc MAB biÕt CPD=CM

h

íng dÉn

Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x x>1≠

( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2

A= ( ) (x-2)2 x-1

x- -1 + x-1 + x- x- = = = x-2 x-1 x-1 x-1 b/ Để A nguyên x- ớc dơng

* x- =1 x=0 loại * x- =2 th× x=5

vËy víi x = th× A nhận giá trị nguyên

Cõu 2: Ta có x = (m+5)∆ 2-4(-m+6) = m2+14m+1 để ph≥ ơng trìnhcó hai nghiệmphân

biƯt vµchØ m≤-7-4 vµ m -7+4 (*) ≥ a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1)

x1+x2=m+5 (2)

x1x2 =-m+6 (3)

Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)

x1+x2 = m+5(2’)

x1x2 =-m+6 (3’)

giải hệ ta đợc m=0 m= Tho (*)

Câu 3:*Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2≠

3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0

3m2-1 -2 3m≠ 2≠-1 m=±1/2 m= 1/2±

3m3-m=-m3 m=0

3m2-1= -2 m= 1/2±

V« nghiƯm

Khơng có giá trị m để hệ vơ số nghiệm

Câu 4: Hàm số xác định với x∀ (vì x2+1 0) x≠ 2+3x+1

gäi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=

x2+1

(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm

*y0=1 suy x = y0 1; ’=9-(y≠ ∆ 0-1)2≥0 (y0-1)2≤9 suy

-2 ≤ y0 ≤

VËy: ymin=-2 vµ y max=4

Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình)

Giải

a/ A1 và B1 nhìn đoạn QE díi mét gãc 450

 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc

 FQE = ABE =1v

chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v

 Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy AQE vuông cân ∆



AE

AQ = 2 (1)

t¬ng tù APF vuông cân

AF

AB = 2 (2)

tõ (1) vµ (2)  AQP ~ AEF (c.g.c)

AEF AQP

S S

= ( )2 hay S

AEF = 2SAQP

c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ APD=CPD MCD= MPD=APD=CPD=CMD

MD=CD  ∆MCD  MPD=600

mµ MPD lµ gãc ABM ta có APB=450 MAB=600-450=150

Đề 15

Bµi 1: Cho biĨu thøc M = 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1

√x −3+

√x+3

2−√x a. Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M

b. Tìm x để M =

c. Tìm x Z M Z

bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ =

Bài 3: a Cho sè x, y, z d¬ng tho· m·n

x +

1

y +

1

z =

1

Q

P M

F

E

D C

Chøng ming r»ng:

2x+y+z +

1

x+2y+z +

1

x+y+2z

b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x

2

−2x+2006

x2 (víi x )

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho x^A y = 45 ❑0

Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn

b S ΔAEF = S ΔAPQ

Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết C^P D = C^M D

Bài 5: (1đ)

Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n:

¿

1

a+

1

b+

1

c=0

¿

; H·y tÝnh P = ac

c2+ bc

a2+ ac

b2

đáp án

Bµi 1:M = 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1

√x −3 +

√x+3

2−√x

a.§K x ≥0; x ≠4;x ≠9 0,5®

Rót gän M = 2√x −9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x −2)

(√x −2) (√x −3)

Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x −2

(√x −2) (√x −3) M =

(√x+1)(√x −2)

(√x −3) (√x −2)⇔M= √x+1

√x −3

b M = 5⇔√x −1

√x −3=5

⇒√x+1=5(√x −3)

⇔√x+1=5√x −15

⇔16=4√x ⇒√x=16

4 =4⇒x=16

c M = √x+1

√x −3=

√x −3+4

√x −3 =1+

√x −3

Do M z nên x 3 ớc x 3 nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;

⇒x∈{1;4;16;25;49} x ≠4⇒ x∈{1;16;25;49} Bµi 2 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thnh

tích thừa số không nhỏ lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12

Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn

¿

x+2y=6

3x+4y=24

{

Hệ PT vô nghiệm

Hc

¿

x+2y=6

3x+4y=16

¿{

¿

⇒ x=4

y=1

¿{

Hc

¿

x+2y=8

3x+4y=12

¿{

¿

HÖ PT vô nghiệm

Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A∀A

Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

❑/x −2005+2008− x/❑/3/❑3 (1)

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hỵp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)

(3) sảy

x −2006/❑0

y −2007/❑0 ⇔

¿x=2006 y=2007

¿{

¿

Bµi 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ b Với a, b thuộc R: x, y > ta có a

2

x + b2

y≥ (a+b)2

x+y (∗)

< >(a2y + b2x)(x + y) (a+b)2xy

 a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy

 a2y2 + b2x2  2abxy

 (ay - bx)2  (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > 0

DÊu (=) x¶y ay = bx hay

a b

x y

áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

2 2 2

1 1 1 1

1 2 2 4 4

2x y z 2x y z x y x z x y x z

                                             

2 2

1 1

1 1

4 4

16

x y x z x y z

                                     T¬ng tù

1 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

1 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

Cộng vế bất đẳng thức ta có:

1 1 1 1 1 1

2 2 16 16 16

1 4 4 1 1

.4

16 16

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

                                                   V×

1 1

x yz 

  2 2006 x x B x x    

Ta cã: B=x

2−2x+2006

x2 ⇔B=

2006x2−2 2006x

+20062

2006x

⇔B=(x −2006)

2

+2005x2

x2 ⇔

(x −2006)2+2005

2006x2 +

2005 2006

V× (x - 2006)2  víi mäi x

x2 > víi mäi x kh¸c

 2

2006 2005 2005

0 2006

2006 2006 2006

x

B B khix

x



Bµi 4a EBQ EAQ 450  EBAQ



 

 néi tiÕp; Bˆ = 900 à gãc AQE = 900à gãcEQF =

900

T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900à gãc APF = 900 góc EPF = 900 0,25đ

Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C cïng n»m trªn

1 đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ

b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE

Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)

à

2

2 1 2

2

APQ

APQ AEE AEF

S

k S S

S



 



 

     

 

c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cùng chắn cung MD)

Lại có góc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cđa AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cđa DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600

tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM)

Và góc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750

à gãcMAB = 900 – 750 = 150

Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)

à x = -(y + z)

à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = 0

Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3

§Ị 16

Bµi 1Cho biĨu thøc A =

x2−3¿2+12x2

¿ ¿ ¿

√¿

+ x+2¿

2−8x2

¿

√¿

a Rút gọn biểu thức A

b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên

Bi 2: (2 im) Cho đờng thẳng:

y = x-2 (d1)

y = 2x – (d2)

y = mx + (m+2) (d3)

a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m

b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1)

a Chøng minh phơng trình có nghiệm phân biệt

b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m

c Tìm giá trị nhỏ P = x2

1 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình

(1))

Bi 4: Cho ng trũn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE

a Chøng minh r»ng DE// BC

b Chøng minh tø giác PACQ nội tiếp

c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thøc:

CE =

1

CQ +

1 CE

Bài 5: Cho số dơng a, b, c Chøng minh r»ng: 1< a a+b+

b b+c+

c c+a<2 đáp án

Bµi 1: - §iỊu kiƯn : x a Rót gän: A=√x

4

+6x2+9 x2 +√x

2

−4x+4

¿x

2

+3

|x| +|x −2|

- Víi x <0: A=−2x

2

+2x −3

x

- Víi 0<x 2: A=2x+3

x

- Víi x>2 : A=2x2−2x+3

x

b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên <=> x2 + ⋮|x|

<=> 3=> x ⋮|x| = {−1;−3;1;3} Bµi 2:

<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m

¿

x+1=0

2− y=0

¿{

¿

=.>

¿

x=−1

y=2

¿{

¿

Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua

b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ ¿

y=x −2 y=2x −4

¿{

¿

=>

¿

x=2

y=0

¿{

¿

VËy M (2; 0)

Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) lµ nghiƯm (d3)

Ta cã : = 2m + (m+2) => m= -

3

VËy m = -

3 (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bµi 3: a Δ' = m2 –3m + = (m -

2 )2 +

4 >0 ∀ m

Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt b Theo ViÐt:

¿

x1+x2=2(m−1) x1x2=m−3

¿{

¿

=>

¿ x1+x2=2m −2

2x1x2=2m −6

¿{ ¿

<=> x1+ x2 2x1x2 = không phụ thuộc vào m

a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3)

= (2m -

2 )2 + 15

4 ≥ 15

4 ∀m

VËyPmin =

15

víi m =

5

Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận a Sđ ∠ CDE =

2 S® DC =

2 S® BD = ∠BCD

b ∠ APC =

2 s® (AC - DC) = ∠ AQC

=> APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = AQC nhìn đoan AC)

c.Tứ gi¸c APQC néi tiÕp

∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ)

∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ Ta cã: DE

PQ = CE

CQ (v× DE//PQ) (1) DE

FC =

QE

QC (v× DE// BC) (2)

Céng (1) vµ (2) : DE

PQ+ DE

FC =

CE+QE

CQ =

CQ CQ=1

=>

PQ+ FC=

1

DE (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ Thay vµo (3) :

CQ+ CF=

1

CE

Bµi 5:Ta cã: a

a+b+c < a

b+a <

a+c

a+b+c (1)

b

a+b+c < b

b+c <

b+a

a+b+c (2)

c

a+b+c < c

c+a <

c+b

a+b+c (3)

Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : < a

a+b + b

b+c + c

c+a < Đề số 15:

Bài 1:

Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.

Bài 2:

Hãy xác định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho (x+√x2+1)(y+√y2+1)=1 tÝnh M = x √y2+1+y√x2+1 Bµi 4:

Chøng minh: BX = CA; CY = BA

Đề số 16:

Bài 1:

Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình phơng số

nguyên

Bài 2:

Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 HÃy tính Min cđa biĨu thøc: P =

a2+b2−c2

c +

b2+c2−a2

a +

c2+a2− b2 b Bµi 3:

Chứng minh số hai sè sau: p -1; p +1 lµ sè chÝnh phơng với p tích 2005 số nguyên tố

Bài 4:

Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) hai điểm A,B cố định nằm đờng trịn Tìm vị trí điểm m cho đờng thẳng AM cắt (O) C AM = AC + CB (C#A)

Đề số 17:

Bài 1:

Chøng minh r»ng sè d phÐp chia số nguyên tố cho 30 số nguyên tố

Bài 2:

Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình: x+ y + z =6

x+

1

y+

1

z=2−

4 xyz

Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f ( 2006

2005 ) < f( 2005

2004 )

Bài 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng

AE

AF=

AM AN

AB AC =

OM ON OB OC

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (khơng kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1, C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 +

AC3 = BC3 + AC1 = d, d độ dài đoạn thẳng cho trớc Biện luận

Đề số 18;

Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 số thực x thoả mÃn 2006n + 2005n =xn Hái x cã thĨ lµ

sè nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trị Max & Min cđa F = x –y

Bµi 3: Rót gän:

T = (

14

+1

4)(3

+1

4) (2005

+1

4) (24+1

4)(4

+1

4) .(2006

+1

4)

Bµi 4:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác

Bµi 5:

Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Tìm quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới đờng thẳng AB,BC ,CD ,DA 2a

§Ị thi tun sinh

*Trêng THPT NguyÔn Tr·i

Thời gian: 150 phút Bài (3 điểm)

Cho biÓu thøc A =

(√x+2−4√x −2+√x+2+4√x −2)

√

x2−

4

x+1

1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tìm số ngun x để biểu thức A số nguyên

Bài 2.( điểm)

1) Gọi x 1 x 2 hai nghiệm phơng trình.

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm giá trị m để: x ❑1 2+ x ❑

2 +3 x ❑1 x ❑2 (x

¿

1

¿ ¿❑

+ x ❑2 )

đạt giá trị lớn

2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh phơng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ.

Bài ( điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, gãc A = 1800 TÝnh tØ sè BC

AB

2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tính góc ACD

Bµi ( ®iÓm)

Chứng minh bất đẳng thức: | √a2

+b2−√a2+c2 | | b-c|

víi a, b,c lµ số thực

*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )

Bài 1 ( điểm) cho biÓu thøc: P(x) = 2x −√x

2−1

3x2−4x+1

1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <

Bài 2 ( điểm)

1) cho phơng tr×nh: x

2

−2(2m+1)x+3m2+6m

a) Giải phơng trình m =

3

b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 x ❑2

tho¶ m·n x ❑1 +2 x 2 =16

2) Giải phơng trình: 2x

1+x+√

1 2+

1 2x=2 Bµi 3 (2 điểm)

1) Cho x,y hai số thùc tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y| √5

2

2) Cho ph©n sè : A= n

2

+4 n+5

Hái cã số tự nhiên thoả mÃn n 2004 cho A phân số cha tối giản

Bài 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ❑1 ) (0 ❑2 ) cắt P Q Tiếp

tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) A, tiếp xúc với (0

❑2 ) B Tiếp tuyến (0 ❑1 ) P cắt (0 ❑2 ) điểm thứ hai D khác P, đờng

thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc ng trũn

2)Tam giác BPR cân

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB

Bài 5 (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE

Toán 9(150)

Bài 1(5) Cho A=(x+2

3x +

2

x+1−3) : 2x−+41x−

3x+1− x2

3x

a) Rót gän A

b) Tìm A để x= 6013 c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A ngun

Bµi 2.(3) Cho A=(x+y+z)3 -x3-y3-z3

a) Rót gän A

Bài 3.( 4) Sau loạt bắn đạn thật chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( ngời bắn viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác 8,9,10 thông báo:

a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cờng không đạt điểm

Đồng thời cho biết thơng báo có thông báo đúng, cho biết kết điểm bn ca mi ngi

Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông A, AB= c,AC=b Lần lợt dựng AB, AC bên tam giác ABC tam giác vuông cân ABD D, ACE E

a) Chứng minh điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm BC I, chứng minh tam giác DIE vuông c) Tính diện tích tứ gi¸c BDEC

d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB K Tính tỉ số sau theo b,c

Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M điểm CD( kh¸c C, D)

Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn giá trị CA+CB;DA+DB)

Toán 9( 120 phút)

Bài 1(4)

Giải phơng trình:

(1 1011 +

2 102+ +

10 110)x= 1 11+

1

2 12+ + 100 110

Bµi 2(4)

Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị lớn nhất

Bµi 3( 4)

Cho phơng trình

a+3

x+1

53a x −2 =

ax+3 x2− x −2

Víi giá trị a phơng trình có nghiệm không nhỏ 1?

Bài 4(4)

nhận đợc, dựng đợc tứ giác nội tiếp hình thang này( đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cân)

Bµi 5(4)

Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b Gọi I ❑b ,I ❑c theo thứ tự độ dài cảu đờng phân giác góc B góc C Chứng minh b>c I b

<I c

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)

x 12 ¿

1

x(x −2)−

1

¿

Bài 2(1) Cho số thực dơng a,b,c ab>c; a3+b3=c3+1 Chøng minh r»ng a+b>

c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c khơng phụ thuộc x,y.

Bµi 4(1,5) Chøng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm

là số hữu tỉ với số nguyên n

Bi 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O dây AB( AB khơng qua O) M điểm đờng tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng trịn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)

thời gian:150 phút Bài 1:

1/iải phơng trình:

5√x+

2√x=2x+

1 2x+4

2/chøng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mÃn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ a= -1

2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm

Bµi 3:

1/ cho x,y,z số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhỏ A =2xy

+yz+ zx

2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H lần lợt hình chiếu cuả D đờng thẳng BC,AB,và AC Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh:

2/ BC

DI =

AB

DK +

AC DH

*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút)

Bài 1 (3đ):

1 Giải pt: x+13x=2x −1

2 Trong hệ trục toạ độ Oxy tìm đờng thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5y

√x +6x =

Bài 2(2,5đ):

1 Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = (m lµ tham sè)

tìm tất giá trị m dể pt có nghiệm số nguyên

2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh ph -ơng trình sau có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0

Bµi 3(3đ)

Cho tam giác ABC

1 Gi M trung điểm AC Cho biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, E điểm đối xứng M qua C chứng minh: DM vng góc với BE

2 LÊy mét ®iĨm O bÊt kú n»m tam gi¸c ABC C¸c tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB theo thứ tự điểm D,E,F chứng minh:

a) OD

AD +

OE BE+

OF

CF =1

b) (1+AD

OD)(1+ BE OE)(1+

CF OF)≥64

Bài 4(0.75đ)

xét đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c

Q(x)=x2 +x + 2005

Biết phơng trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, pt P(Q(x)) =0 v« nghiƯm Chøng minh r»ng P(2005)>1/64

Bài 5 (0,75đ)

Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng (2004-2005)

thời gian :150

Bài 1: (3đ)

Trong h trc to độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm:

a) A(-1;3), b) B( √2 ; -1), c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ th hm s y= x+1

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2

gọi nghiệm hệ phơng trình (x;y)

1/ Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2x −3y

x+y nhận giá trị nguyên Bài 3 (3đ)

Cho tam giác ABC ( ^A=900 ) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác

ABC cho BC=BD vµ AB C^ =CB D^ ; gäi I trung điểm CD; AI cắt BC tại

E Chøng minh: C^A I=DB I^

2 ABE tam giác cân AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= x

5−4x3−3x

+9 x4❑

❑+3x

2

+11 víi

x x2+x+1=

1

*Trêng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006) (dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc víi a,b,c số nguyên Chứng minh a +b +c chia hÕt cho th× P chia hÕt cho

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1 Gi hƯ víi m= -10

2 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nhất./

Bài 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z thoả m·n hÖ thøc

x+

2

y+

3

z=6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3

1 Chøng minh P x+2y+3z-3 2.Tìm giá trị nhỏ P

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D n»m gi÷a A&P) cho DA.DP = DB.DC

1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gäi S S lần lợt diện tích hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh:

s ' s ≤(

EF AD)

2

Bµi 5(1®)

Cho hình vng ABCD 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng

 Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy

§Ị thi HS giái TP Hải Phòng (2004-2005) (toán bảng B thời gian: 150’)

Bµi 1

P=

x − y¿2 ¿ ¿

√¿

√x y2

xy +

b)Giải phơng trình:

526

(¿)

¿ ¿x

¿

5+2√6

(¿)

¿ ¿x

¿ ¿ ¿

√¿

Bµi 2

a) Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng

với cạnh huyền tam gíac

√5

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y= 4x+3

x2+1 Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O, có góc C=450 ung trũn ng kớnh

AB cắt cạnh AC & BC lần lợt M& N a> chứng minh MN vu«ng gãc víi OC b> chøng minh √2 MN = AB

Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi,

nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF

(dành cho đối tợng , thời gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P= xx 1

x −√x −

x√x+1 x+√x +

x+1

√x

1.Rót gän P

2 T×m x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m tham số) Giải bpt víi m= 1- √2

2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 nghiệm

Bài 3(2đ):

Trong mt phng to Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = parabol

(P):y= ax2 (a tham số dơng).

1 Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung

2 Gọi xA&xB hồnh độ A&B, tìm giá trị Min biểu thức T=

4

xA+xB+

1

xA+xB Bài 4(3đ):

ng trũn tõm O cú dõy cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C

1 Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB & AMC tam gíac cân

2 Khi im M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung trịn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông A cã AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = α

,gãc AMB = β Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β

Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (Toán bảng A- thời gian:150)

Bài 1:

a Rót gän biĨu thøc: P = √x2y2

xy +√

(x − y)2 x − y (√

x2 x

b Giải phơng trình: 2+x

2+2+x+

2x

22x=2 Bài 2:

a ( đề nh bảng B)

b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =

Bµi 3:

Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F

a chứng minh BF tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF b Gọi M giao điểm BF với (O) Chứng minh: BMOC tứ giác nội tiếp

Thi häc sinh giái tØnh H D¬ng (2004-2005)

( líp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1 Gọi x1, x2 la nghiệm phơng trình x2 + 2004x + = vµ x3, x4 lµ nghiƯm cđa

phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: ( x

1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2

-x4)

2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2

-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 lu«n cã nghiƯm.

Bài 2 (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m n thoả mÃn m+1

n + n+1

m số nguyên chứng minh rằng:

ớc chung lớn m n không lớn m=n Bài 3 (3đ):

Cho hai ng trũn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến chung gần B hai

đ-ờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đờng thẳng song song với

CD, lần lợt cắt (O1), (O2) M & N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng

MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh: a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thng CD

b Tam giác EPQ tam giác cân

Bài 4 (2đ):

x5 + y5 =11

§Ị thi häc sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)

Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham sè a: x+4∨y∨¿∨x∨¿

¿y∨+¿x − a∨¿1

a gi¶i hƯ pt a=-2

b tìm giá trị tham số a để hệ pt cú ỳng hai nghim

Câu 2(2đ):

a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trị max biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r √2

2

Câu 3(2đ):

Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3đ):

Cho tam giác ABC vng C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P

a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuc mt ng trũn

b giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc tam giác ABC

TØnh HaØ D ¬ng (150 phút)

Bài 1(2.5đ):

Giải pt: |xy x y+a|+|x2y2+x2y+xy2+xy−4b|=0 víi

a= (√57+3√6+√38+6) (√57−3√6−√38+6)

b= √17−12√2+√3−2√2+√3+2√2

Bài 2(2.5đ)

Hai phng trỡnh: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai

pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cịng cã nghiƯm chung.

Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c)

Bài 3(3®):

Cho hai đờng trịn tâm O1, O2 cắt A,B Đờng thẳng O1A cắt (O2) D,

đ-ờng thẳng O2A cắt (O1) C

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N Chứng minh

r»ng:

1 Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm đờng tròn

2 BC+BD = MN Bài 4(2đ)

Tìm sè thùc x, y tho¶ m·n x2 +y2 = x+y số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút)

Bài 1(6đ):

1 Chứng minh rằng: A = 23+513+48

6+2 số nguyên

2 Tìm tất số tự nhiên có chữ sè abc cho: cba =(n-2)2

Baì 2(6đ)

1 Giải pt: x3 + 2x2 + 2

√2 x +2 √2 =0

2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy

b) Gäi A,B lµ giao điểm (P),(d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB max

c) tìm điểm N trục hoành cho NA+NB ngắn

Bài 3(8đ):

1 Cho ng trũn tâm O dây cung BC không qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định2 Cho đờng tròn (O,R) (O’,R’) (R>R’), cắt A,B Tia OA căt (O) D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC & BE

Đề số 2:

Bài 1

Giải hệ phơng trình

xy+2x+y=0

yz+2z+3y=0

xz+3x+z=0

¿{ {

¿

Bµi 2

Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)

Bµi 3 Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : S =

(2-x)(2-y)

Bµi 4

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) víi gãc ACB = 800 Trong tam gi¸c ABC cã

điểm M cho góc MAB = 100 gãc MBA = 300 TÝnh gãc BMC

Bµi 5

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD I (O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI, CDI Một đờng thẳng qua I cắt (O) X Y cắt(O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự Z, T ( Z T

Đề số 3:

Bài 1 Cho sè chÝnh ph¬ng A, B, C

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12

Bµi 2 Chøng minh r»ng :

3

√3

√2−1=√3

9−

√2 9+

3

√4

Bµi 3 Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c Chøng minh r»ng:

b2− c2 (a+b)(a+c)+

c2− a2 (b+c)(b+a)+

a2− b2 (c+a)(c+b)=

b − c b+c+

c − a c+a+

a − b a+b

Bài 4 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:

1

x+

1

y+

1

z >1

Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, trùc t©m H Chøng minh r»ng:

HB HC

AB AC+

HC HA BC BA +

HA HB

CA CB =1 Đề số 4:

Bài 1

Biết A=654ì999 997

100 chữsố9

+1965

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho

Bµi 2

Cho số thực dơng cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nhỏ

Bài 3

Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả mÃn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4

Bµi 5

Một đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam giácABC nằm trờn ng thng d

Đề số 5 Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ

Bài 2

Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện

a2005

+b2005≤1; x2005+y2005≤1

Chøng minh r»ng: a1975.x30+b1975.y30≤1

Bài 3

Giải phơng trình

10+24+40+60=2005(2x 1)+2+3+5

Bài

Với số nguyên dơng n, kí hiệu −1¿

n

.n

+n+1

n ! an=¿

TÝnh tæng

a1+a2+ +a2005 Trong n! kí hiệu tích n s nguyờn dng liờn tip u

tiên

Đề sè 6: Bµi 1:

Chøng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyên tố với số 2005.

Bài 2:

Cho ba sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng:

a3

b + b3

c + c3

a ≥ a√ac+b√ba+c√cb

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +

2 =0

Bµi 4:

Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2= 2AD.OM

Bµi 5:

Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giỏ tr ln nht

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 - x - = x3 + x + 1

Bài 2:

tìm Max cđa biĨu thøc √x − x3

+√x+x3 víi x Bài 3:

Giải hệ phơng trình:

¿ √x2+xy+y2=√3

2 (x+y)

¿

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B đ-ờng phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b

Bµi 5:

Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hàng

AE

AE=

AM AN

AB AC =

OM ON OB OC

Đề số 8

Bài 1:

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396

Bài 2:

Giải hệ phơng trình:

z2 +yz +1 =0

Bài 3:

Tìm Max biểu thức: A= 2004x

2

+6006x+6√x3−2x2+x −2−8003 x2+3x −4 Bµi 4:

Cho a,b,c cạnh tam gi¸c, chøng minh:

3

√a+b − c+√3b+c − a+√3c+a − b ≤√3a+√3b+√3c

Bµi 5:

cho tam giác ABC Đờng tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB,BC theo thứ tự P, Q Phân giác góc A cắt tia PQ E Chứng minh AE vuông góc với CE

Đề số 9: Bài 1:

Giả sử (a1;a2;a3;a37),(b1;b2;b3;b37),(c1;c2;c3;.c37) ba sè nguyªn bÊt kú

Chứng minh tồn số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2;…37} để số a= 1/3(ak

+al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c= 1/3(ck +cl + cn); đồng thời số ngun

Bµi 2:

Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ √x2

−1

Bµi 3:

Tìm m để phơng trình sau có bốn nghiệm ngun:

m2|x+m|+m3+|m2x+1|=1 Bµi 4:

Cho tam giác ABC, H điểm cạnh BC AD đờng phân giác tam giác Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC) Chứng minh: BH.CH/ (BL.CL)=HD2/LD2

Bµi 5:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;1) Một đờng thẳng qua O cắt hai cạnh AB AC lần lợt M&N Ký hiệu SAMN diện tích tam giác AMN

Chøng minh r»ng: √3

3 ≤ SAMN≤ 3√3

8

§Ị sè 10

Bài 1:

Cho p số nguyên tố >3

Chøng minh r»ng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 có nghiệm dơng (x

0;y0;z0)

Cho ba sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n a+b+c =3 Chøng minh r»ng:

a

1+b2+ b

1+c2+ c

1+a2≥

3

Bài 3:

Giải pt: 3x27x+3

x22

=√3x2−5x −1−√x2−3x+4 Bµi 4:

Cho tam giấcBC (AB<AC) P điểm nằm tam giác cho góc ^PBA=^PCA Gọi H & K chân đờng vuông góc hạ từ P xuống AB & AC; I trung điểm BC Chứng minh: ^HIB <^KIC

Bµi 5:

Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O) gọi D,E,F tiếp điểm (O) với cạnh BC,CA,AB Gọi M giao điểm đờng thẳng AO,DE; Nlà giao điểm đờng thẳng BO,EF; P giao điẻm Co DF Chứng minh tam giác NAB,MAC,PBC có diện tích

Đề số 11:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:

P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) a,b,c số thực thoả mãn điều kin a>=b>=c>0

Bài 2:

Tồn hay không số nguyên thoả mÃn : n3 + 2003n = 20052005+1?

Bài 3: Đặt: A=

2 3+

3 4+ + 2003 2004+

1 2005 2006

B=

1004 2006+

1005 2005+ + 2006 1004

Chứng minh A/B số nguyên

Bài 4:

Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E&F hình chiếu vng góc M AB&AC; O trung diểm EF; Q hình chiếu vng góc A đ-ơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Đề số 12:

Bài 1:

Cho Sn= √

3+Sn−1

1−√3 Sn 1 với n số tự nhiên không nhỏ BiÕt S1 = 1, tÝnh S = S1

+ S2 + S3 +… + S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: x

√y+ y

√x=xy

x2008 + y2008 =8(xy)

❑

2005

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c (b+c)a

2003

2 +

(c+a)b2003

2 +

(a+b)c2003

2 với a,b,c số dơng

Đề số 13:

Bài 1:

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1 xác định dấu

của hệ số a

Bài 3:

Giải pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1= (2n −1

2n=2) an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh r»ng: a1 + a2 +

a3 +…+ a2005 <

Bµi 5:

Đề số 14:

Bài 1:

Chøng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 nghiệm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0

x +9y -3z + 2xz =

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân A ^A= 360 Chứng minh: BA/BC số vô tỉ

Bài 5:

Cho ng trũn tõm O, đờng kính AB Trên nửa đờng trịn đờng kính AB lấy điểm C,D cho cung AC < cung AD (D#B) E điểm nửa đờng trịn (O) nhng khơng chứa C,D ( E#A,B) I,K lần lợt giao điểm CE & AD, IO & BE Chứng minh: ^ CDK = 900.

Đề số 15:

Bài 1:

Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.

Bài 2:

Hóy xỏc định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho (x+√x2+1)(y+√y2+1)=1 tÝnh M = x √y2+1+y√x2+1 Bµi 4:

Cho tam giác ABC, AB < AC Các điểm M,N lần lợt thuộc cạnh AB, AC cho BM = CN Gọi giao điểm BN CM O Đờng thẳng qua O, song song vơí phân giác ^BAC cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y

§Ị sè 16:

Bài 1:

Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình phơng số

nguyên

Bài 2:

Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 HÃy tÝnh Min cđa biĨu thøc: P =

a2+b2−c2

c +

b2

+c2−a2

a +

c2

+a2− b2 b Bµi 3:

Chøng minh số hai số sau: p -1; p +1 số phơng với p tích 2005 số nguyên tố

Bài 4:

Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) hai điểm A,B cố định nằm đờng trịn Tìm vị trí điểm m cho đờng thẳng AM cắt (O) C AM = AC + CB (C#A)

Đề số 17:

Bài 1:

Chứng minh r»ng sè d phÐp chia mét sè nguyªn tè cho 30 số nguyên tố

Bài 2:

Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình: x+ y + z =6

x+

1

y+

1

z=2−

4 xyz

Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f ( 2006

2005 ) < f( 2005

2004 )

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng vµ

AE

AF=

AM AN

AB AC =

OM ON OB OC

Bµi 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (khơng kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1, C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 +

§Ị sè 18;

Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 số thực x thoả mÃn 2006n + 2005n =xn Hỏi x là

số nguyên không?

Bµi 2:

BiÕt r»ng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trị Max & Min F = x –y

Bµi 3:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác

Bµi 4:

Thanh Tờng, ngày 24 tháng 03 năm 2010 Biên soạn, su tầm chỉnh lý