Cho tam giác ABC.[r]
(1)Kỳ thi IMO lần thứ 32 - 1991
1 Cho tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường phân giác góc A, B, C cắt cạnh đối diện tương ứng A', B', C'
Chứng minh rằng:
2 Cho số nguyên n > 6, a1, a2, , ak tất số nguyên dương nhỏ n nguyên tố
cùng với n Nếu a2 - a1 = a3 - a2 = = ak - ak-1 > chứng minh n phải số nguyên tố phải luỹ thừa
3 Cho tập S = {1, 2, 3, , 280} Tìm số nguyên nhỏ n cho tập S gồm n phần tử chứa số đôi nguyên tố
4 Giả sử G đồ thị liên thơng có k cạnh Chứng minh rằng: có thểđánh nhãn cạnh 1, 2, 3, , k, theo cách mà đỉnh thuộc vào hai nhiều hai cạnh, ước số
chung lớn số nguyên đánh nhãn cạnh
[Một đồ thị tập hợp điểm gọi đỉnh, tập cạnh nối cặp đỉnh khác Mỗi cặp đỉnh nằm nhiều cạnh Đồ thị gọi liên thông với hai đỉnh phân biệt x, y tồn dãy đỉnh liên tiếp đó: x = v0 , v1 , , vm = y cho với cặp (vi, vi+1), (1 i < m) nối với cạnh.]
5 Cho tam giác ABC X điểm bên tam giác Hãy chứng minh có
một góc 300.
6 Given any real number a > construct a bounded infinite sequence x0, x1, x2, such that |xi - xj| |i - j|a>= for every pair of distinct i, j
[An infinite sequence x0, x1, x2, of real numbers is bounded if there is a constant C such that |xi| < C for all i.]
6 Cho số thực a > Hãy xây dựng dãy số vô hạn bị chặn x0, x1, x2, cho |xi - xj||i - j|a với mọi i, j (i j).
[Dãy vô hạn số thực x0, x1, x2, gọi bị chặn tồn số C cho |xi| < C với i.]
Page of IMO Vietnamese