[r]
(1)Kỳ thi IMO lần thứ 26 - 1985
1 Đường trịn có tâm nằm cạnh AB tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Ba cạnh lại tiếp xúc với đường tròn Chứng minh rằng: AD + BC = AB
2 Cho n, k số nguyên dương nguyên tố nhau, k < n Mỗi số tập M = {1, 2, 3, , n -1} tô màu xanh trắng Với i thuộc M, i n - i có chung màu Với i thuộc M (i k), i |i - k| có chung màu
Chứng minh tất số thuộc M phải có chung màu
3 Cho đa thức P(x) = a0 + a1x + + akxk với hệ số nguyên Số lượng của hệ số lẻ biểu thị o(P) Với i = 0, 1, 2, đặt Qi(x) = (1 + x)i
Chứng minh rằng: i1, i2, , in số nguyên thoả mãn: i1 < i2 < < in thì: o(Qi1 + Qi2 + + Qin) o(Qi1)
4 Cho tập M 1985 số nguyên dương khác nhau, khơng có số có ước số
nguyên tố lớn 23 Chứng minh rằng: M chứa tập gồm số mà tích chúng luỹ thừa số nguyên
5 Đường tròn tâm O qua hai đỉnh A C tam giác ABC giao với hai đoạn AB, BC hai điểm phân biệt K N Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, KBN giao điểm phân biệt B M Chứng minh rằng: = 90o.
6 Với số thực x1, dãy x1, x2, xây dựng công thức sau: xn+1 = xn(xn + )
Chứng minh rằng: tồn giá trị x1để < xn < xn+1 < với n
Page of IMO Vietnamese
(2)Page of IMO Vietnamese