Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đó C chuyển đi làm việc khác, A cùng làm với B tiếp tục hoàn thành công việc cho đến xong.. Tính xom biết rằng om là tia phân của góc yoz..[r]
(1)phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Đề thi olympic lớp 6Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thời gian làm : 120
(khơng kể thời gian giao đề )
Câu ( điểm ) Tìm x thỏa mãn điều kiện sau: 1 x+30%x=−1,3
2 41 3⋅(
1 6−
1 2)≤ x ≤
2 3(
1 3−
1 2−
3
4) (x∈z)
3 | x | + x = 0 Câu ( điểm )
1 Tìm a, b số tự nhiên biết: a5−2 b=
2
15 (a , b ≠0)
2 Hai số tự nhiên x 2x có tổng chữ số y Chứng minh rằng: x chia hết cho 9.
3 Chứng minh : 14+
16+ 36+
1 64+
1 100+
1 144 +
1 196+⋅+
1 10000<
1
Câu ( điểm )
Cùng cơng việc người làm riêng người A, B, C hồn thành cơng việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau C chuyển làm việc khác, A làm với B tiếp tục hồn thành cơng việc xong Hỏi A làm giờ?
Câu ( điểm )
Cho: xoy = 1200, xoz = 500 Tính xom biết om tia phân góc yoz. Câu ( điểm )
Tìm số tự nhiên x biết tổng chữ số x y, tổng chữ số y bằng z x + y + z = 60.
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Đề thi olympic lớp 7Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thời gian làm : 120
(khơng kể thời gian giao đề ) Đề thức
(2)Câu ( điểm )
1 Tìm x thỏa mãn điều kiện sau : a, (2x+3)2=
121
b, , | x – | = 5- x
2 Chứng minh đa thức x2 + 2x + khơng có nghiệm. Câu ( điểm )
Cho: ab=c
d (a , b , c , d ≠ o , a ≠ ± b , c ≠ ± d) Chứng minh:
a, aa +b=
c
c+d b, a a− b=
c
c −d c,
(a −b)2 (c − d)2=
ab cd
Câu ( điểm )
1 Chứng minh với a,b Q ta có : | a + b | ≤ | a | + | b |
2 So sánh 12723 51318 Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC vuông C, đường cao CD Các tia phân giác góc ACD DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự K M.
a, Chứng minh: ∆ ACM cân.
b, Chứng minh điểm cách đỉnh ∆KCM cách ba cạnh của ∆ABC.
Câu ( điểm )
Cho số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :
a b>
c d>
e
f af – be = 1
Chứng minh : d ≥ b + f
phßng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Đề thi olympic lớp 8Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thời gian làm : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Câu ( điểm )
1 Giải phương trình: a, | 2x - | = - x + 21 b, 9x2 + 6x – =
(3)2 Chứng minh bất đẳng thức x − x2+1
x − x2−1<1
Câu ( điểm )
1 Tìm số a, b để :
x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 – x – với x є Q. Giải phương trình nghiệm nguyên
x2 +2y2 + 3xy – x – y + = 0 Câu ( điểm )
Tìm giá trị nhỏ :
A= a3 + b3 + c3 biết a, b, c lớn -1 a2 + b2 + c2 = 12 Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác Đường thẳng qua P vng góc với CP, cắt CA CB theo thứ tự M và N Chứng minh rằng:
a, ∆ AMP ~ ∆ APB b, AMBN =AP
2 BP2
c, BC AP2 + CA BP2 + AB CP2 = AB BC CA
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympicNăm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Lớp 6
Cõu Ni dung Điểm
Câu
(6 điểm) x(1+
30 100)=
−13 10
1310 x=−13
10 -> x = -1
2 133 ⋅−1
3 ≤ x ≤ 3⋅
−11 12
−913≤ x ≤−11
18 -> x= -
3 / x / = -x -> x
(4)Câu
(5 điểm) a 5− b 2= 15
2b=a
5− 15=
3a −2 15
-> b( 3a - ) = 30 -> 3a – Ư(30)
Do 3a – chia dư -> 3a – = 10 -> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30)
2 Do số tổng chữ số có số dư phép chia cho Do hiệu chúng chia hết cho
Ta có 2x – y ⋮ x – y ⋮ x => ( 2x – y ) – ( x – y) ⋮ -> x ⋮
3 S = 14+
16+ 36 + 64 + 100+ 144+ 196+⋅+
1 10000
=
22+ 42+
1 62+⋅+
1 1002
= 14(1+
22+ 32+
1 42+
1 52+
1 62+
1 72+⋅+
1 502)
Do
22+ 32+⋅+
1 502<1−
1 2+ 2− 3+ 3− 4+⋅+
1 2499−
1 2500
= 1−
2500<1
-> S < 14(1+1)=1
2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu
(3 điểm) Trong người A, B, C làm
1
6(CV) ,
8(CV) ,
12(CV) , B C làm 8+
1 12=
5 24 (CV)
B C làm 245 ⋅2=
12(CV)
A B làm 1−
12= 12(CV)
A B làm được: 61+1
8= 24 (CV)
Thời gian A làm với B là: 127 :
24=2
1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu (5 điểm)
2 trường hợp :
a, Trường hợp : tia oy, oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ ox
xoz = 500 < 1200 = xoy -> oz nằm ox oy
yoz = xoy – xoz = 1200 – 500 = 700 zom = yoz2 = 350
xom = xoz + zom =500+ 350 = 850
(5)b, Trường hợp : tia oy oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ ox Từ đầu -> 0x nằm tia oy oz yoz = 1200 + 500 = 1700
zom = 1702 =¿ 850
xom = 850 – 500 = 300
1,0đ
0,5đ 1,0đ
1,0đ Câu
(1 điểm) Từ đầu ta có x số có chữ số Đặt x =
ab
x = 10a + b -> y = a + b, z có trường hợp : * Nếu y = a + b -> z = a + b ta có :
( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
b ⋮ -> b = 0; 4; -> a = 5, 4, loại a = 3, b = ( a + b > 9) * Nếu y = a + b 10 -> z = a + b –
Ta có : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – ) = 60 -> 4a + b = 23 -> a = , b =
-> ab = 44, 47, 50
0,5đ
0,5đ
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympicNăm học 2012 - 2013 Môn thi : To¸n Líp 7
Câu Nội dung Điểm
Câu
(6 điểm) a, ( 2x + 3)2 = 1219 =(± 11)
2
=> x = −15
11 x= − 18 11
b, | x – 5| = – x = - ( x – ) <-> x – ≤ <-> x ≤ x2 + 2x + = x2 + x + x +1 + 1 = (x + 1)2 + > -> đpcm
(6)(4 điểm) c, a b=
c
d -> a c=
b d=
a− b c −d
=> abcd=a c⋅
b d=
a − b c − d⋅
a − b c − d=
(a −b)2 (c − d)2
1,0đ 1,0đ Câu
(4 điểm)
1 a, Nếu a +b ≥ -> | a + b| = a + b Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q ) -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1) b, Nếu a + b < -> | a+b | = - a – b mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b |
-> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | (2) Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ab ≥ 12723 < 12823 = (27)23 = 2161
51318 > 51218 = (29)18 = 2162 -> 51318 > 12723
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ Câu
(5 điểm)
1, AMC = B^+ ^C
2 , ACM = ACD + C^1
Do C^
1 = C^2 , B^ = ACD -> ACM = AMC
-> ∆ACM cân
2 CM tương tự ta có BC = 8K
Vậy đường thẳng chứa tia phân giác góc A đường trung trực CM
Và đường thẳng chứa tia phân giác góc B trung trực CK
=> Giao điểm đường trung trực ∆KCM trùng với giao điểm đường phân giác ∆ABC -> đpcm
2,5đ
2,5đ Câu
(1 điểm) d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cd – ed ) ≥ f.1 + b.1 = f + b
(7)phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai Hớng dẫn chấm thi olympicNăm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Líp 8
Câu Nội dung Điểm
Câu
(6 điểm) a, | 2x -3 | = - x + 21 x = , x = - 18
b, 9x2 + 6x – = 9x2 – 6x + 12x – = ( 3x – 2)( 3x + 4) = -> x = 32 , x = −34
Xét hiệu :
2
2
1
2
3
x x x
x x
x x x
Do x2 - x + > -> −2 x2− x
+1<0 -> đpcm
(8)Câu (5 điểm)
1 x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b = ( x2 – x – 2) Q(x) (x)
= ( x + 1)(x – ) Qx Với x = -1 có: -a + b = -31
x = có: 2a + b = - 28 -> a = 1, b= -30
2 Pt <-> ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = ( -1) Xét trường hợp ta có :
(x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3)
1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ 1,0đ Câu (2 điểm)
( a3 +1) - 3(a2 – 1) = (a + 1)( a2 – a + 1) – 3( a - 1)( a +1) = = ( a + 1)( a – 2)2 ≥ ( a > - )
-> a3 – 3a2 ≥ - , tương tự b3 – 3b2 ≥ - 4, c3 – 3c2 ≥ - 4 -> ( a3 + b3 + c3 ) – 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ - 12
-> B – 36 ≥ -12
-> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 <-> a = b = c=
1,0đ 0,5đ 0,5đ Câu
(7 điểm)
a, AMP = 900 + C
2
APB = 900 + C
2
BNP = 900 + C
2
A1=A2
-> ∆ AMP ~ ∆ APB
b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB => ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB => AMMP =AP
PB =
PN
NB => AM MP ⋅ PN NB= AP2 PB2
=> AMNB =AP
2
BP2 ( MP = NP )
c, Do ∆AMP ~ ∆PNB => AMMP =PN
NB
=> AM.NB = MP.PN = MP2
=> AM.NP = CM2 – CP2 = ( CA–AM )(CB–BN ) – CP2 = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2
=> AM.CB + BN.CA+ CP2 = CA.CB
=> AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2.AB = AB.BC.CA (1) Từ câu (b) có : AMAP =AP
AB -> AM.AB = AP2 (2)
BNBP =BP
AB -> BN.AB = BP2 (3)
Từ (1), (2), (3) ->đpcm
(9)(10)(11)