[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái líp 9
Môn: Toán Thời gian: 120
Câu 1: (2đ): Tính giá trị biểu thức: a 13+302+9+42
b 2+3
23 23
2+3
Câu 2: (2đ): Rót gän: [2x −1
2x+1 − 2x −3 2x 1]:
2x 1 2x+1
Câu 3: ( 2đ): Giải hệ phơng trình: x2+y2+z2 = xy+yz+zx (1)
x2002 +y2002+z2002 = 32003 (2) Câu 4: (2đ): Cho phơng trình: x2 + mx +3 (1)
a Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b Tìm m để phơng trình có nghiệm bng Tỡm nghim
Câu 5: (2đ): Cho Parabol (P) có phơng trình: y = x2 - 2x -1
Và đờng thẳng D có phơng trình: y = - mx+m2
a Chứng minh (D) cắt (P) điểm phân biệt A B b Xác định tham số m cho: x2
A+x2B =10 Câu 6: (2đ): Giải phơng trình: x
3
√4− x2+x 2−4
=0
Câu 7: (2đ): Tìm x để biểu thức
x+2005¿2 ¿
y=x
¿
đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn đó, x lấy giá trị dng tu ý
Câu 8: (2đ): P điểm bên hình chữ nhật ABCD cho
PA = (cm); PD = (cm); PC = 5(cm)
TÝnh PB =? B
Câu 9: (2đ): Cho ABC có độ dài cạnh a,b,c ( hình vẽ )
Víi c b a Gọi P điểm bên tâm giác c a KÐo dµi AP; BP; CP cã BC; CA; AB lần lợt A; B; C
Chøng minh: AA’ +BB’+CC’ <2 a+b A b C
Câu 10: (2đ): Dựng tam giác cân biết chu vi đờng cao xuất phát từ nh
(2)Đáp án
Môn: Toán
C©u 1: a
2+1 2√¿2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √2+1¿2
¿ ¿ ¿
5+3√2¿2 ¿ ¿
2+√¿
13+30√¿ ¿
√13+30√2+√9+4√2=√¿
b √2+√3
2−√3−√ 2−√3
2+√3=|2+√3|−|2−√3|=2√3 (1®) C©u 2:
[22x −x+11− 2x −3 2x −1]:
2x −1 2x+1 2x −1¿2−(2x+1)(2x −3)
¿ ¿:2x −1
2x+1
¿
¿
(2x+1)(2x −1) 2x+1 2x −1=(
2 2x −1)
2
¿ ¿
C©u 3:
x2+y2+z2 = xy+yz+zx (1)
x2002 +y2002+z2002 = 32003 (2)
Tõ (1) ta cã: x2 - xy+y2 -yz +z2 -zx = 0 2x2 -2xy + 2y2 - 2yz + 2z2 - 2zx = 0 (x-y)2 + ( y - z)2 + (z - x)2 = 0 x-y = y-z = z-x =0 x=y=z
Thay vào (2) ta đợc: x2002 + x2002 + x2002 = 32003 3x2002 = 32003
x2002 = 32002 x = 3
Vậy hệ cho có nghim x=y=z=3
Câu 4: a Để phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt
>0 m2-12>0 |m|<2
3
b Phơng trình có nghiệm x1 =1 ta cã:
1+m+3 = m=-4 ( tho¶ m·n)
(3)(4)Câu 5: a Phơng trình tơng giao Parabol (P) đờng thẳng D: x2 - 2x - = -mx +m2
x2 + (m-2)x - (m2 +1) = 0 = (m-2)2+ 4(m2+1)>0 víi m
VËy (D) cắt (P) điểm phân biệt A B b x2
A + x2B =10 (xA+ xB)2- 2xA.xB =10
Theo định lí viét ta có: xA+xB = 2-m
xA.xB = -(m2+1)
Khi đó: (xA + xB)2 - 2xA.xB =10 (2-m)2 +2(m2+1) =10
4- 4m + m2+2m2+2 =10
3m2-4m -4 = m = vµ m = -2/3
VËy víi m = vµ m = -2/3 x2
A + x2B =10 (2đ) Câu 6: §iỊu kiƯn: 4-x2 > |x| < 2 (0,5®)
x3
√4− x2+x
−4=0⇔x3=(4− x2).√4− x2 (0,5®)
x6 =(4 - x2)3
x2 = 4-x2 x2 = x =
√2 ; x = - √2 (0,5®)
VËy phơng trình có nghiệm x = 2 (0,5đ)
Câu 7:
x+2005¿2 ¿
y=x
¿
đạt lớn 1/y đạt giá trị lớn
Víi y (0,5®)
x+2005¿2 ¿ ¿
1 y=¿
(0,5®)
Vì 4010 khơng đổi nên ta tìm giá trị nhỏ x+2005 x
Ta cã x vµ 2005
2
x dơng tích chúng 2005
2 khơng đổi
Do x+2005
x nhá nhÊt x =
20052
x x
2= 20052 (0,5®)
x = 2005 Vì x dơng nên x = 2005
Vậy giá trị lớn y là:
2005+20052 ¿
y=2005
¿
(5)Câu 8: D C - Qua P vẽ đờng vng góc vi AD
và BC H K (0,5đ)
- Ta cã: 55- PD2 = (PA2-PD2
PA2-PD2 = (PH2+HA2)-(PH2+HP2) H
= HA2-HD2 (0,5đ) P
tơng tự: PB2 - PC2 = KP2 - KC2 A B
mặt khác ta có: HA = KB HD = KC (0.5đ)
Nªn: PA2 - PD2 = PB2 - PC2
32 - 42 = PB2 - 52 PB2 = 18 PB = 3√2 (0,5®)
Câu 9: Ta chứng minh bổ đề tam giác
AA’ < max {AB;AC}
TËy vËy: gi¶ sư AC AB B
XÐt tam gi¸c ABC cã: c
ABC ACB A’
( đối diện với cạnh lớn l gúc ln hn ) C a
Mặt khác: AA’C = ABC +A’AB > ACB P Suy ra: AA’ < AC
( bất đẳng thức tam giác) ( đpcm) (1đ) A B’ b
C
áp dụng: AA<b ( b c) BB’<a ( v× a c)
CC’<a ( v× a b) A
Do đó: AA’ + BB’ + CC’ < b + a + a = 2a+b ( đpcm) (1đ)
C©u 10:
- Giả sử dựng đợc tam giác ABC cân A đờng cao AA"’ = h chu vi là: 2p
- Suy ra: AB + BA’ = p
- Trªn A’B lÊy BE cho BE = BA E B A’ C
- Nèi E víi A
- Ta có: BAE cân B
vµ A’E = p
- Tam giác A’AE vng A’ AA’ = h; A’E = p nên dựng đợc (1đ) Cách dựng:
- Dùng tam gi¸c AAE vuông A có AA = h AE = p - Dùng trung trùc cđa AE c¾t EA’ B suy : BA = BE - Trên EA’ lÊy A’C = A’B
- Tam gi¸c ABC tam giác cần dựng (0,5đ)
Thật vậy: Tam gi¸c ABC cã AA’ = h ; A’B = A’C nên cân A Chu vi là: ( AB + BA’) = ( BE + BA ) = 2p (0,5đ)
Bài toán có nghiệm hình trung trực AE cắt EA Nghĩa là: EB < EA
AB < p
h < p
P
5
4
K
(6)