Chøng minh hÖ thøc: OE.[r]
(1)Phòng GD Hà Trung Đề thi môn TOáN
Trờng THCS Hà Giang Lớp 9
Thời gian:150 phút
Đề bài
Bài 1: ( điểm).
a thực phép tÝnh: ( √2 + √3 ) √2 - √6 + √999
√111 b xÐt biÓu thøc A = - (
1+2√x -
5√x
4x −1 -
1−2√x ) : √x −1
4x+4√x+1 Víi x 0, x
4 vµ x
Rút gọn A tìm giá trị x để A = - Bài 2: (4 im)
Giải phơng trình hệ phơng trình sau a 5 x + x 1 = - x2 + 2x +1.
b 2x3 -9 y3 = (x- y) (2xy + 3).
x2 - xy + y2 = 3.
Bµi 3: (2 điểm).
Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình
x2 + 2(m -2) x - (2m + 7) = 0
Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ
Bµi 4: (2 ®iĨm)
Tìm a,b để hệ sau có nghiệm xyz + z = a
xyz2 + z = b.
x2 + y2 + z2 = 4
Bài 5: (2 điểm)
Cho sè a,b,c tho¶ m·n a ≤2 ; b ≤2 ; c ≤2 vµ a+ b + c = Chøng minh r»ng a + b3 + c3 9 .
Bài 6: (7 điểm).
Cho góc vng xOy hai điểm A, B cạnh Ox (A nằm O B) điểm M cạnh Oy Đờng tròn ( T) đờng kính AB cắt tia MA, MB lần lợt điểm thứ C,E Tia OE cắt đờng tròn (T) điểm thứ F
a Chứng minh điểm O, A, E, M nằm đờng trịn Xác định tâm đờng trịn
b Tứ giác OCFM hình ? sao?
c Chøng minh hÖ thøc: OE OF + BE BM = OB2.
(2)Phòng GD Hà Trung ĐáP áN Đề thi môn TOáN
Trờng THCS Hµ Giang Líp 9
Thêi gian:150 phút
Bài Nội dung Điểm
1a Đáp sè:
1b
A = - (
1+2√x -
5√x
4x −1 -
1−2√x ) :
√x −1 4x+4√x+1 = 1-
2√x+1¿2 ¿ ¿
2(2√x −1)−5√x+2√x+1 (1+2√x)(2√x −1) ¿ = - 2√x+1
2√x −1 = 2√x −1−2√x −1
2√x −1 =
1−2√x
Vậy rút gọn đợc A = 1−2√x
0,5 0,5 0,5
0,5
2a
Ta có √(5− x)(x −1) ⇒5− x+2 √(5-x)(x-1) + x-1 Hay ( √(5− x) + √(x −1) )2 √(5− x) +
√(x −1) víi mäi x tho¶ m·n x ≤5
Do √(5− x) + √(x −1) cßn -x2 + 2x + = - (x-1)2
2 nên nghiệm phơng trình 5 x + x 1 = - x2 + 2x
+1 lµ nghiƯm cđa hƯ √5− x + √x −1 = - x2 + 2x +1 =
Đáp số x = nghiệm phơng trình cho
0,5 0,5
0,5 0,5
2b
Hệ cho tơng đơng
2x3 -9 y3 = (x- y) (2xy + x2 - xy + y2).
x2 - xy + y2 = 3.
⇔ 2x3 -9y3 = x3 - y3
x2 - xy + y2 = 3
⇔ x3 = 8y3
x2 - xy + y2 = 3
⇔ x = 2y
x2 - xy + y2 = 3
⇔ x = 2y tơng đơng (y=1; x=2) ; (y= -1; x= -2) y2 = 1
0,5
1,5
3
Δ' = (m- 2) 2 + (2m +7)
= m2 - 2m + 11
= (m-1)2 + 10 > víi mäi m.
¸p dơng viÐt x1+ x2 = 2(2-m) vµ x1.x2 = - (2m + 7)
x1 2+ x22 = (x1+ x2) - x1 x2
= 4(2-m)2 + 2(2m + 7)
= 4m2 -12m + 30
(3)F
x y
E
A H B
I
C = (2m-3) 2 + 21 21
x1 2+ x22 đạt giá trị nhỏ m=
2
0,75 0,5
4
Nhận xét ( x,y,z) nghiệm hệ (-x,-y, -z) nghiệm hệ Vì hệ có nghiệm nên x = y = 0, thay vào phơng trình (3) ta đựơc Z1 = 2, Z2 = -
→ a1 = b1 = 2; a2 = b2 = -2
đảo lại * Nếu a = b = hệ có dạng xyz + z =
xyz2 + z = 2.
x2 + y2 + z2 = 4
Hệ có nhiều nghiệm ví dô (0,0,2); (
√5+1 ,√
5−1 ,1
*Nếu a=b= - hệ có dạng xyz + z = - (1)
xyz2 + z = -2 (2)
x2 + y2 + z2 = (3)
Tõ (1) vµ (2) suy Z2 + Z -2 = suy Z= hc Z = -2.
Víi Z = -2 hƯ trë thµnh xy =
x2 + y2 =
hÖ cã nghiÖm nhÊt x =
y=
Víi Z = hƯ trë thµnh xy =
x2 + y2 = 3
Tóm lại: Hệ cho có nghiệm tơng đơng với a= b = -
0,75
0,5
0,5 0,25
5
Gi¶ sư a = max (a,b,c) ; c = (a,b,c) v× a+ b + c = suy c ≤1≤ a≤2
* 1≤ a ≤2 →(a −1)(a −2)≤0→ a2 3a −2→ a3 3a2 -2a 3(3a −2)−2a=7a −6→ a3 7a −6 (1)
* c ≤1 → c3≤ c (2) NÕu b ≤1 → b3≤ b
(3)
Tõ (1), (2), (3) suy a3+b3+c3≤7a+b+c −6=6a −3≤9 NÕu 1≤ b ≤2 th× b3
≤7b−6 (4) Tõ Tõ (1), (2), (3) suy
a3+b3+c3≤7a+7b+c −12=21−6c −12≤9 VËy a3+b3
+c3≤9
2
6a Chó ý gãc AOM = gãc AEM = 900
1
F
(4)C
6b Tứ giác OAEM nội tiếp nên góc MA,C,F,E thuộc đờng trịn (T) nên góc E1 = góc E 1 = CBốn điểm suy
FC // OM Vậy OCFM hình thang
6c
Δ OFA đồng dạng Δ OBE (gg) → OF OB=
OA
OE ⇒
OF.OE =OA.OB (1)
Δ OBM đồng dạng Δ EBA (gg) → OB EB =
BM BA ⇒ BE.BM = BA.OB (2)
Tõ (1) Vµ (2) TA Cã OF.OE + BE.BM =OB2
2
6d
Gọi giao điểm CM với OF I, CF với OB H Hình thang OCFM hình bình hành ⇔ I trung điểm OF ⇔ A trọng tâm Δ COF ⇔ OA=2AH Từ ta có cách dựng sau: Dựng điểm H tia OA thoả mãn OA=2AH Qua H dựng đờng thẳng vuông gọc với OB cắt (T) F C Nối CA cắt OX M M điểm cần dựng
* Khi OCFM hình bình hành, muốn hình thoi CI vng góc với OF → Δ COF đều, A tâm Δ OCF
→ gãc CAT =600 → OA=AC=AT= AB
2