Dap an de thi HSG tinh Mon Toan

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn..[r]

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang )

Mơn: TỐN - BẢNG A

Câu Ý Nội dung Điểm

1, (4,5đ)

a) (2,0đ)

316 5 316 5

a   

 a3 32 (16 5)(16 5).( 16 5    316 ) 0,5

 a3 32 3.( 4).  a 0,5

 a3 32 12 a 0,25

 a312a 32 0 0,25

 a312a 31 1 0,25

 f a( ) 1 2010 1 0,25

b) (2,5đ)

2

5(x xy y ) 7( x2 )y (1)

 7(x2 ) 5y   (x2 ) 5y  0,25 Đặt x2y5t (2) (t Z ) 0,25 (1) trở thành x2xy y 7t (3)

Từ (2)  x5t 2y thay vào (3) ta được

0,25

2

3y 15ty25t  7t0 (*) 0,25

84t 75t   

Để (*) có nghiệm    0 84t 75t2 0

28

25 t   

0,25

0,25

Vì t Z  t0hoặc t1 0,25

Thay vào (*)

Với t0 y10 x10

0,25 0,25

Với t1

2

3

3

2

y x

y x

   

 

  



0,25 0,25 2,

(4,5đ) (2,5đ)a) ĐK

x hoặc x1 0,25

Với x0thỗ mãn phương trình 0,25 Với x1 Ta có

3 2( 1) 1( 1)

x  x  x x  x  x 0,5

2 2

1( ) ( 1)

2

x  x x  x  x  x 0,5

3 2

x x x x x

     0,25

Dấu "=" Xẩy

2

1

x x

x x

   

 

  



2 1 1 x x x x x x             

 Vơ lý

0,25

Vậy phương trình cho có nghiệm x0 0,25

b) (2,0đ)

2 1

2 (1) ( )

2

4 (2)

x y z

I xy z           

 ĐK x y z; ; 0

0,25

Từ (1) 2

1 1 2

4

x y z xy xz yz

       0,25

Thế vào (2) ta được:

2 2

2 1 1 2

xy z x  y z xyxz yz

0,25

2 2

1 2

0

x y z xz yz

      0,25

2 2

1 1

( ) ( )

x xz z y yz z

       0,25

2

1 1

0

x z y z

                0,25 1 1 x z

x y z

y z                0,25

Thay vào hệ (I) ta được:

1 1

( ; ; ) ( ; ; ) ( ) 2

x y z   TM 0,25

3,

(3,0đ) Ta có

2

(x y) 0 x; y 0,25

2

x xy y xy

    0,25

Mà x; y > =>x+y>0 0,25

Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) 0,25

 x3 + y3 ≥ (x + y)xy 0,25

 x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz 0,25  x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > 0,25 Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > 0 0,25 z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > 0 0,25



1 1 1

A

xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z)

  

     

0,25



x y z A

xyz(x y z)

     0,25  1 A 1 xyz

Vậy giá trị lớn A  x = y = z = 0,25

4, (5,5đ)

N Q

H

K

I M D

E

B A

O

O' C

a) (3,0đ)

Ta có: BDE BAE  (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) 0,25

 

BAE BMN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') 0,25

 BDE BMN  0,25

hay BDI BMN  BDMI tứ giác nội tiếp 0,50

 MDI MBI  (cùng chắn cung MI) 0,25

mà MDI ABE  (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) 0,25

 ABE MBI  0,25

mặt khác BMI BAE  (chứng minh trên) 0,25

MBI ~  ABE (g.g) 0,25



MI BI

AE BE  MI.BE = BI.AE

0,50

b)

(2,5đ) Gọi Q giao điểm CO DE

OC  DE Q

 OCD vng D có DQ đường cao

 OQ.OC = OD2 = R2 (1)

0,50

Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO'  OO'  AB H

0,50

Xét KQO CHO có   

0

Q H 90 ;O  chung KQO ~ CHO (g.g)



KO OQ

OC.OQ KO.OH (2)

CO OH  

Từ (1) (2)

2

2 R

KO.OH R OK

OH

   

0,50

Vì OH cố định R khơng đổi  OK không đổi K cố định

0,50

5, (2,5đ)

O

A

H'

H

E

P N

D C

B

M

ABC vuông cân A  AD phân giác góc A AD  BC  D  (O; AB/2)

0,25 Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác)

 tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà NHP 90   H thuộc đường trịn đường kính NP  AHN AMN 45   (1)

0,50

Kẻ Bx  AB cắt đường thẳng PD E

tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE

0,25

Mặt khác BED = CDP (g.c.g)  BE = PC

mà PC = BN  BN = BE BNE vuông cân B

 

0

NEB 45 mà NHB NEB  (cùng chắn cung BN)

 

0

NHB 45 (2)

0,50

Từ (1) (2) suy AHB 90  H  (O; AB/2) gọi H' hình chiếu H AB

AHB AHB

HH '.AB

S S

2

  

lớn  HH' lớn

0,50

mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB OD  AB)