SKKN LUYEN KY NANG GIAI PT VO TI

- Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình[r]

LUYỆN KỸ NĂNG

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - TỐN 9 A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Phương trình vơ tỷ phương trình chứa ẩn dấu Trong chương trình đại số ,phương trình vơ tỷ dạng tốn khó Khi gặp phương trình có chứa tương đối phức tạp, học sinh lúng túng khơng tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Có phương trình khơng thể giải phương pháp quen thuộc Khi gặp phương trình vơ tỷ , học sinh thường quen phương pháp nâng luỹ thừa vế để làm dấu Nhưng trình giải thường mắc phải số sai lầm phép biến đổi tương đương phương trình ,vì dẫn đến thừa thiếu nghiệm Có số phương trình sau làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc nhất, bậc để giải lại khó khăn Vì học sinh lúng túng khơng tìm lời giải

- Để khắc phục tồn dạy cho học sinh giải phương trình vơ tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải cách kịp thời Với phương trình cần học sinh nhận dạng phát cách giải tìm cách giải phù hợp , nhanh Qua dạng tổng quát cách giải hướng dẫn học sinh đặt đề tốn tương tự, từ khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng , chọn ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I- Hệ thống hoá kiến thức liên quan bổ sung số kiến thức mở rộng

1 Các tính chất luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng qt hố tính chất luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ.

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , đẳng thức 3 Các bất đẳng thức Cơsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối. 4 Cách giải phương trình, bất phương trình bậc , bậc ẩn, cách giải hệ phương trình.

5 Bổ sung kiến thức để giải phương trình đơn giản:

* A = B     

  

2 0

B A B A

* 

    

B A A B

A

II Cung cấp cho học sinh phương pháp thường dùng để giải phương ttrình vơ tỷ

PHƯƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình( thường dùng vế có luỹ thừa bậc)

Ví dụ: Giải phương trình

x 1 5x 1 3x 2 (1)

+ Ở phương trình (1) hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế bình phương hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất luỹ thừa bậc 2:

a = b  a2 = b2 ( Khi a, b dấu )

Vì bình phương hai vế phương trình tương đương với phương trình ban đầu hai vế dấu

Ở phương trình (1), VP  , vế trái chưa  ta nên chuyển

vế đưa phương trình có vế 

(1)  x1 5x1 3x

Đến học sinh bình phương hai vế: x1 5x 1 3x

 2 7x2 15x2  13x2 (*)

Ta lại gặp phương trình có vế chứa , học sinh mắc sai lầm bình phương tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế dấu hay chưa  414x49x2 4(15x2  13x2)

0 24 11

  

 x x

 (11x 2)(x 2)0

 

 

  

2 11

2

x x

Và trả lời phương trình (*) có nghiệm : 11; 2

2  x 

x

Sailầm học sinh gì? Tơi cho học sinh khác phát sai lầm : + Khi giải chưa ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải khơng chiếu với điều kiện (1) : ĐK : x1 11

2 

x

không phải nghiệm (1)

+ Khi bình phương hai vế phương trình (*) cần có điều kiện

7

2 x  x

vậy x2 2 không nghiệm (1)

- Sau phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ tơi cho học sinh tìm cách giải khơng phạm sai lầm phân tích

C1: Sau tìm 11

2



x

( cách thử lại làm việc tìm TXĐ phương trình cho tương đối phức tạp )



 

   

 



   

2

1

1

x

x x

x

C2: Đặt điều kiện tồn thức (1)

Sau giải đến (*) bình phương hai vế đặt thêm điều kiện



x

x thoả

mãn :   

 

1

x x

nên phương trình (1)vơ nghiệm

C3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phương trình

Điều kiện (1) : x1 x5x x 15x 1 x1 5x

Vế trái <0 VP  nên phương trình (1) vơ nghiệm

Sau tơi số tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải

Bài tập tương tự : Giải phương trình

a) 4x1 3x4  x 2 b) x 2 x1 2x1 x3

Ví dụ 2: Giải phương trình :

7

3 x   x 

(2)

Ở phương trình (2) học sinh nhận xét có chứa bậc nên nghĩ đến việc lập phương hai vế :

Chú ý: + bậc lẻ: 2n1A

có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện

  

 

 

0

0

x x

+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b  a2n+1=b2n+1; (nN) nên không cần xét đến dấu của

hai vế

Giải:+ Lập phương hai vế

 1 1. 

7

1    23     

 x x x x x

x (**)

Đến học sinh lúng túng sau lập phương hai vế, vế trái nhìn phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến đẳng thức:

( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)

Vậy (**) viết :

x17 x33 (x1)(7 x).3 x13 7 x8 (I) (đến thay x13 7 x 2 vào phương trình) ta được:

833 (x1)(7 x).28 (x1)(7 x)0 ( II)

+ Ở phương trình (2) ngồi việc lập phương hai vế cần sử dụng đẳng thức cách linh hoạt để đưa phương trình dạng đơn giản a.b = giải

Chú ý: Do từ (I) suy (II) ta thực phép biến đổi khơng tương đương , tương đương x thoả mãn : x13 7 x 2 Vì việc thay lại nghiệm

của (II) vào phương trình cho cần thiết Nếu khơng thử lại có nghiệm ngoại lai

Bài tập tương tự : Giải phương trình : a)  x13 x 13 5x

b) 2x13 3 2x 4

c)3 2x13 2x1310x ( Đề thi vào toán tin -2000)

PHƯƠNG PHÁP 2 : Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuỵêt đối.

Phương pháp là: Khi gặp phương trình mà biểu thức viết được dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức : A2 A để làm dấu đưa phương trình đơn giản

Ví dụ: Giải phương trình :

2x 22 2x 3 2x138 2x 5 (3)

Nhận xét: + Ở phương trình (3) học sinh nhận xét vế trái có bậc hai nên bình phương hai vế Nhưng phương trình sau bình phương (lần 1) chứa nên phức tạp

+ Biểu thức viết dạng bình phương biểu thức

Giải : ĐK:

3

3

2x   x

; 2x 22 2x 3 2x138 2x 5

⇔√(2x −3)+2√2x −3+1+√(2x −3)−2√2x −3 4+16=5

⇔√(√2x −3+1)2+√(√2x −3−4)2=5

⇔|√2x −3+1|+|√2x −3−4|=5;(***)

C1: Đến để giải (***) ta phá dấu giá trị tuyệt đối, trước phá dấu A

thì cần xét dấu A

Nhận xét: 2x 310 xét dấu 2x 3

Nếu

19

3 16

2  

    

     

 x

x x x

Thì 2x 31 2x 3 45 2x 8 2x 4

Giải



x

(Không thoả mãn điều kiện)

+ Nếu

19

3

2x   x

Thì 2x 31 2x 345 0x0 vơ số nghiệm x thoả mãn 19

3

Kết luận: 19

3

 x

C2: ( Để giải (***) sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

B A B

A    dấu “=” xảy A.B0)

Giải: (***)

5

5 3

      

     

x x

x x

Ta có: 2x 31 4 2x  2x 314 2x 5 Vậy: 2x 31 4 2x 5 Khi  2x 314 2x 30

    



   

2

0

x x

Giải ra: 19

3

 x

Bài tập tương tự: Giải phương trình

a) x2 x  x7 x 1

b) x 2x 1 x 2x  2 (Nhân vế với 2 xuất hiện

hằng đẳng thức)

PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ:

Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hay mà tâm đắc , phương pháp này dùng để giải nhiều phương trình

Ở phương pháp dùng cách đặt ẩn phụ để đưa dạng phương trình vơ tỷ đơn giản

Cách đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ + Đặt ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ

A)

Cách đặt ẩn phụ :

C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình phương trình có ẩn là ẩn phụ đặt Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ tìm ẩn chính.

VD1:Giải phương trình:

2x2+6x+12+

  x

x =9 (4)

-Nhận xét:+ phương trình bình phương vế đưa phương trình bậc mà việc tìm nghiệm khó

+ Biểu thức ngồi có mối liên quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8

Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ y= x2 3x2

+ Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+20 giải với những

Giải: ĐK: x2+3x + 20  (x+1) (x+2)  0      x x

Đặt : x2 3x2 =y0 PT (4)  2y2+y+8=9

 2y2+y -1=0

Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại)

Thay vào: x2 3x2 =1/2 x2+3x+2=1/4

Giải ra:x1=

2 3 

; x2=

2 3 

Đối chiếu với ĐK: x=

2 3 

thoả mãn nghiệm PT (4) VD2: Giải phương trình:

0 12

2 2

   

 x x x

x

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)

Hướng dẫn : ĐK :6x2 12x70;x

Ta biến đổi để thấy mối quan hệ biểu thứctrong phương trình: ) ( 2

   

 x x x

x

Đặt :x2  2xa

Ta có phương trình: 6a7 a(I)

Giải(I) tìm a từ tìm x

VD2: Giải phương trình:

x x

x 1)( 1)

(     

HD: Ở ta tìm mối liên hệ biểu thức cách đặt : 1x u ;

Rút x theo u thay vào biểu thức lại phương trình để đưa phương trình ẩn u

Giải: ĐK : -1x1; C1: Đặt:

 ( 1) 2( 1) 

) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 2                    u u u u u u u x u u x             ) ( 2 u u u

+ Nếu :u 10 u1(thoả mãn)  x11 x0 (Thoả mãn ĐK)

Giải ra: u1 1(loại); 25 24 5

2   

        x u

thoả mãn điều kiện

Vậy 25

24 ;

0 

 x

x

nghiệm (5)

c2:Ở đặt : 1 x a; 1x b ;

Đưa hệ phương trình:

           ) )( ( 2 2 b a b a b a

C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn: ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ giưã ẩn ẩn phụ.

VD3: Giải phương trình:2 x  2 x

2

(6)

Nhận xét:- Nếu bình phương hai vế đưa phương trình bậc khó nhẩm nghiệm vơ tỷ.Vì ta đặt ẩn phụ chưa đưa phương trình chứa ẩn -Hãy tìm cách đưa hệ phương trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ từ đ ưa phương trình đơn giản.

Giải: ĐK:       2 x x

Đặt: y  2 x  x2 y2;Ta có hệ:        x y y x 2 2

Đây hệ phương trình đối xứng

            y x y x x y x y ) )( (

+ Nếu x=y ta có phương trình: 2 x x giải x1 (thoả mãn điều kiện)

+ Nếu1-x=y ta có phương trình: 2 x 1 x giải ra: 2

5 1 

x

( Thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (6) có nghiệm ; 2    x x VD4: Giải phương trình:

x2  x2006 2006

Cách 1: Đặt x2006 y ta có hệ phương trình

         2006 2006 2 y x y x

giải                   2006 2006

1 x x

x x y x y x

từ sử dụng phương pháp để giải tiếp

Chú ý : Cách thường sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng

   

 

   

 

  

   

 

 

      

 

 

    

2006

1

2 2006

1

2 2006

1

4 2006 2006

4

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

Đến tiếp tục giải theo phương pháp Bài tập tương tự : Giải phương trình

a) x3 123 2x 1 ; HD: Đặt ẩn phụ y 3 2x 1 ta có hệ :    

 

 

x y

y x

2

2 3

b) 2x2 2x1 4x1; HD : Đặt ẩn phụ yx2 x

c)4x2 6x7 2x2 3x9 15

B) Đặt ẩn phụ:

Ở dạng ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ từ mối quan hệ ẩn ẩn phụ đặt lúc đầu đưa phương trình đơn giản

VD1: Giải phương trình: 1

3  x  x 

(7)

Nhận xét: Ở vế trái có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó

+ Hai biểu thức có mối quan hệ: 2 xx 11 (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đưa hệ phương trình khơng chứa giải Giải: ĐK: x1 Đặt:

v x

u

x   

 ;

2

Ta có hệ phương trình:

  

 

 

1 3 v

u v u

giải u1 0;u2 1;u3 2 Từ đó: x1 1;x2 2;x3 10 ( thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (7) có nghiệm: x1 1;x2 2;x3 10

VD2: Giải phương trình:

3

3 x  x 

HD: Đặt3 x a; x1b; Ta có hệ: 

  

 

3 3 b

a b a

Giải ra:a=1; b=1 ; từ giải tìm x=3

Tổng qt: Đối với phương trình có dạng: n a f(x)mbf(x) c

 

  

 

b a v u

c v u

m n

 

  

 

b a v u

c v u

m n

Giải hệ tìm u, v sau dó tìm x VD3: Giải phương trình:

3x12 3 3x 12 3 9x2  1 0 (9)

Nhận xét: Nếu lập phương hai vế phức tạp khơng đưa dạng a.b=0 phương trình (2)

9x2  1(3x1)(3x 1) Nên đặt ẩn phụ

Giải: Đặt u3 3x1 v3 3x

(9) trở thành:    

 

  

2

3 2

v u

uv v u

Giải ra:  

  

1

v u

ta có:

0

1

1 3

  

   

 

 

x x

x

Vậy (9) có nghiệm x=0

Bài tập tương tự: Giải phương trình :

a)

1

1

3 x   x  b) xa xb 1

Ngồi cách có số đặt ẩn phụ khơng đưa hệ PT ta tìm quan hệ ẩn phụ , thay vào hệ thức đặt lúc đầu để đưa phương trình đơn giản Như VD sau:

VD4: Giải phương trình:

2(x2 2)5 x3 1 (10)

Nhận xét: Nếu bình phương hai vế phương trình đưa phương trình bậc khó giải:

Hướng dẫn: + Nhận xét biểu thức x3+1 ?

có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)

+ Tìm mối quan hệ x2+2 x3 +1

x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)

+ Từ ta đặt ẩn phụ: a x1;b x2  x1 tìm mối quan hệ a, b từ

đó tìm x Giải: ĐK :x1

) )(

1 ( ) (

2 2

   

 x x x

x

Đặt a x1;b x2  x1

Ta có: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2