Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình đều chứa lũ[r]
(1)Các dạng tập lượng giác a/kiÕn thức cần nhớ phân loại toán
dạng 1 Ph ơng trình bËc nhÊt vµ bËc hai , bËc cao víi hàm số l ợng giác Đặt HSLG theo t víi sinx , cosx cã ®iỊu kiƯn t 1
Giải phơng trình .theo t
Nhận t thoả mÃn điều kiện giải Pt lợng giác Giải phơng tr×nh:
1/ 2cos2x- 4cosx=1 sinx
2/ 4sin3x+3 2sin2x=8sinx 3/ 4cosx.cos2x +1=0
4/
1-5sinx+2cosx=0 cosx
5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2). Tìm n0 (1) đồng thời n0 (2) ( nghiệm chung sinx=
1 3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0
7/ a/ tanx+
3
cotx -2 = b /
cos x+tanx=7 c* /sin6x+cos4x=cos2x
8/sin(
2
x
)-3cos(
7
x
)=1+2sinx 9/
2
sin x 2sinx2 2sin x
10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/
2
sin cos 2sin cos x x x x
13/ sinx 1 cosx0 14/ cos2x+3cosx+2=0
15/
2
4sin 6sin 3cos cos
x x x
x
16/ 2cosx- sinx =1
dạng 2: Phơng trình bậc đối với sinx cosx : asinx+bcosx=c Cách 1: asinx+bcosx=c
Đặt cosx= 2
a
a b ; sinx= 2 b
a b
2 sin( )
a b x c
C¸ch :
sin bcos
a x x c
a
Đặt
tan sin cos tan
b
a x x c
a
sin(x ) ccos
a
(2)Cách 3: Đặt tan x t ta có 2 2 sin ;cos 1 t t x x t t
(b c t ) 2 2at b c
Đăc biệt :
1
sin cos 2sin( ) 2cos( )
3
x x x x
2
sin cos sin( ) cos( )
4
x x x x
3
sin cos 2sin( ) cos( )
3
x x x x
§iỊu kiƯn Pt cã nghiƯm : a2b2 c2 giải ph ơng trình :
1/ 2sin15x+ 3cos5x+sin5x=k víi k=0 vµ k=4 víi k=0 2/ a :
1 sin cos
cos x x x b:
4sin 3cos
4sin 3cos
x x x x c: sin cos
3 sin cos
x x
x x
3/ cos 7x sin 7x 0 *t×m nghiƯm
2
( ; )
5
x
4/( cos2x- 3sin2x)- 3sinx-cosx+4=0
5/
1 cos cos cos3
(3 sin )
2cos cos
x x x
x
x x
6/
cos 2sin cos
3
2 cos sin
x x x
x x
Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp sin x cosx Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0
Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx0 Chia vế cho cos2x ta đợc: atan2x+btanx +c=d(tan2x+1) Cách2: ỏp dng cụng thc h bc
Đẳng cấp bËc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hc asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0
Xét cos3x=0 cosx0 Chia vế cho cos2x ta đợc Pt bậc tanx
Giải ph ơng trình
1/ a/ 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ sin2x+3 3sinxcosx-2cos2x=4 c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2
x-5-3=0
2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 c¸ch +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 x k
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 (cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0
(3)5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0
6/ cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx
8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x
9/sin3(x-/4)= 2sinx Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng sinx cosx
* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t
at + b
2 1
2
t
=c bt2+2at-2c-b=0
* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t at + b
2
1
t
=c bt2 -2at+2c-b=0 Giải ph ơng trình
1/ a/1+tanx=2sinx +
cosx b/ sin x+cosx=
1 tanx
-1 cotx
2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x 4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2sin2x(sin x+cosx)=2
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2(sin x+cosx)=tanx+cotx 8/1+sin3 2x+cos32x=
3
2sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0
10/ sinx cosx 4sin 2x1 11/ cosx+
1
cosx+sinx+
1 sinx=
10 12/ sinxcosx+ sinxcosx =1
dang 5 Giải phơng trình phơng pháp hạ bậc Công thức hạ bậc
cos2x=
1 cos 2
x
; sin2x=
1 cos 2
x
C«ng thøc h¹ bËc
cos3x=
3cos cos3
x x
; sin3x=
3sin sin
x x
Giải ph ơng trình
1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0
4/ cos3x+ sin7x=2sin2(
4
x
)-2cos2
2
x
5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x víix(0; ) 6/sin24x-cos26x=sin(10,510x) víi
(0; )
x
(4)12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 24 8;
k k
x
13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(4
x
)-7/2 víi x1<3 15/ cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0
16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+3
)=cos3x 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x
19/ sin 5sin
x
x=1
20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 22/ 3cos4x-2 cos23x=1
Dang : Phơng trình LG giải đẳng thức
* a3b3=(ab)(a2ab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4 * a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6b6=( a2b2)( a4a 2b2+b4)
Giải ph ơng trình 1/ sin42
x
+cos42
x
=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x
3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/
4
sin cos
(tan cot )
sin 2
x x
x x
x
v« nghiƯm
5/cos6x-sin6x= 13
8 cos22x 6/sin4x+cos4x=
cot( ) cot( )
8 x x
7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx
9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x
11/ cos8x+sin8x=
1
8 12/ (sinx+3)sin42
x
-(sinx+3) sin22
x
+1=0 Dang : ơng trình LG biến đổi tích 0Ph
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/
2 sin2x+ 2cos2x+ 6cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/
sin sin
3
x x
9/ 2cos2x-8cosx+7=
1
cosx 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+
4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/
2sin3x-1
sinx=2cos3x+
1
(5)16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-1 cosx)=0
18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x 19/1+cot2x= cos
sin x x 20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+
sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
24/ 2
sin( )
x =
1
sinxcosx 25/ 2tanx+cotx=
2
sin 2x
26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Dang : ơng trình LG phải thực công thúc nhân đôi, hạ bậcPh cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x
sin2x=2sinxcosx tan2x= 2 tan tan x x
sinx = 2
t t
; cosx=
2 1 t t
tanx= 2
t t
Giải ph ơng trình 1/ sin3xcosx=
1
4+ cos3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x
10/a* tan2x+sin2x=
2cotx b* (1+sinx)2= cosx
Dang : Ph ơng trình LG phải thực phép biến đổi tổng_tích tích_tổng Giải ph ơng trình
1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3/
sin sin
sin cos cos
x x
x x
x
t×m x0; 2
4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/
3 cos cot
4sin cos
cot cos 4
x x x x x x
7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
Dang 10 : ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A đặt hàm BPh Giải ph ơng trình
1/ sin( 10 x )= 2sin( 10 x )
3 14
2 ; ;
5 15 15
xk k k
2/ sin(
3
x
)=sin2x sin( x
) x k2
(6)4/ cosx-2sin( 2 x
)=3 x k 4
5/ cos(
2
x
)=sin(4x+3) ;
k x k
6/3cot2x+2 2sin2x=(2+3 2)cosx x k2 ; k2
7/2cot2x+
2
cos x+5tanx+5cotx+4=0 x k
8/ cos2x+
1
cos x=cosx+
1
cosx x k 9/sinx- cos2x+
1
sinx+2
sin x=5x k2 ; k2 ;76 k2
11/
1 sin sin
x x +2 tan tan x x
=3 xk ; k, tan2
Dang 11 : ơng trình LG phải thực phép biến đổi phức tạpPh Giải ph ơng trình
1/ (16 2) cos x 4 cosx x k2
2/cos
2
3 16 80
4 x x x
=1 t×m n
0 x Zx 21; 3
3/ 5cosx cos 2x+2sinx=0 x k2
4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x 3 k
5/
2 sin tan
2cos tan sin x x x x x
2
3
xk
6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x x 4 k2
7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x
k x
8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x
k x k
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k 10/
2
sinxsinx 1 sin x cosx
5 ;sin
2
x k x
11/cos2
2
sin cos
4 x x
-1=tan2
2 tan
x x
x k2
12/
2
2 cos sin 2sin 2sin
5 12 12 5
x x x x
x 512 k5 ; 53 k5 ;54 k5
Dang 12 : ơng trình LG khơng mẫu mực, đánh giá vế ,tổng lPh ợng không âm,vẽ đồ thị đạo hàm
Giải ph ơng trình 1/ cos3x+
2
2 cos 3x =2(1+sin22x) x k
2/ 2cosx+ 2sin10x=3 2+2sinxcos28x x k
(7)3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 víi x0; 4/ 8cos4xcos22x+ cos3 x+1=0
2 2
3
x k
5/
sin
cos x
x
x0
6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm 7/
1-2
x
=cosx 8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x 2 k
9/
1 cos cos cos sin
2
x x x x
x k2
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong kí thường bắt gặp phương trình lượng giác phương trình lượng giác gây khơng khó khăn nhiều em học học sinh, có lẽ lí mà em học sinh thường lo sợ giải phương trình lượng giác có nhiều cơng thức biến đổi lượng giác nên sử dụng công thức để biến đổi phương trình cho Trong chuyên đề xin trao đổi chút kinh nghiệm nho nhỏ với em học sinh học lớp 11,12 em ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới
Trước hết bạn cần nắm phương trình lượng giác thường gặp Trong phương trình xin bàn với bạn chút phương trình đẳng cấp sin cos Với lí do: dạng SGK trình bày cho phương trình đẳng cấp bậc hai mà kì thi ta thấy xuất phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao Minh chứng đề thi khối B – 2008
“Giải phương trình : (ĐH Khối B – 2008
).”
Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi đẳng cấp bậc k
Từ ta định nghĩa phương trình đẳng cấp bậc k phương trình chứa sin cos phương trình có dạng đó:
Ví dụ: phương trình đẳng cấp bậc
bốn
Tuy nhiên ta xét phương trình : nhìn ta thấy khơng phải phương trình đẳng cấp, bạn lưu ý nên ta viết lại phương
trình cho sau: , dễ thấy phương trình
là phương trình đẳng cấp bậc Do với phương trình lượng giác ta định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp sau:
(8)Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k số mũ cao nhất) ta phương trình hàm số
Ví dụ: Giải phương trình sau
1) Giải thi ĐH Khối B – 2008 nêu 2)
3)
Những phương trình xin dành cho bạn tự giải (vì có phương pháp giải)
Bây tơi xin vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà khơng ưa mà ta thường gọi phương trình lượng giác khơng mẫu mực Khơng riêng phương trình lượng giác không mẫu mực mà phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit để giải phương trình ta phải tìm cách biến đổi phương trình có cách giải phương pháp ta thường dùng biến đổi phương trình tích đưa phương trình chứa hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A –
2008 )
Với tốn có lẽ khó khăn mà gặp phải là xuất hai cung cung Các bạn lưu ý ta luốn tính giá trị giá trị lượng giác cung có dạng nên điều ta nghĩ tới sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung
Ta có:
Nên phương trình cho
Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho ngồi cách nêu ta làm theo cách khác sau:
(9)
vào tị mị cuối em trả lời khơng trừ được, dĩ nhiên câu hỏi sao? Các em trả lời khơng loại!
Chắc em hiểu tơi muốn nói điều ? Vậy nguyên tắc thứ xin đưa cho bạn là:
Đưa cung
Bây ta vận dụng nguyên tắc vào giải phương trình lượng giác có mặt đề thi năm gần
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 )
Lời giải:
Vận dụng nguyên tắc ta chuyển hai cung cung Áp dụng công thức nhân đôi nhân ba ta có:
Đặt
Ta có:
Từ bạn tìm
Chú ý : * Trong SGK không đưa công thức nhân ba nhiên em nên biết công thức lúc khó khăn mang sử dụng chứng minh khơng khó khăn
* Cách giải cách giải cách giải hay cách giải theo tơi tự nhiên bạn dẽ tìm lời giải Cách giải ngắn gọn đẹp phương trình ta biến đổi phương trình tích sau
PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex] giải phương trình ta nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 )
Lời giải:
Ta chuyển cung cung Ta có:
Nên phương trình cho
Đặt Ta có:
Từ ta tìm nghiệm
Chú ý : Vì phương trình chứa lũy thừa bậc chẵn cos, ta chuyển cung 2x nhờ công thức hạ bậc công thức nhân đôi
(10)Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008 )
Lời giải: Trong phương trình chứa hai cung 2x x, nên ta chuyển cung 2x cung x PT
Tuy nhiên khơng phải phương trình lượng giác ta đưa cung Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 5 : Giải phương trình :
Với phương trình việc đưa cung gặp nhiều khó khăn, phương trình xuất bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên cung có mối quan hệ định quan hệ hiệu hai cung , hai vế hai phương trình tích hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng Thật
Phương trình
Ví dụ 6 : Giải phương trình
Cũng tương tự hai vế phương trình tổng hàm số lượng giác, ta nhận thấy vế phương trình chứa ba cung x, 2x, 3x ba cung có quan hệ
điều gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích Phương trình
Qua hai ví dụ tơi muốn đưa ngun tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng
Biến đổi tích thành tổng ngược lại
Trong phương trình xuất tích hàm số lượng giác sin cos ta biến đổi thành tổng (mục đích tạo đại lượng giống để thực phép rút gọn) Nếu xuất tổng ta biến đổi tích (Mục đích làm xuất thừa số chung ), đặc biệt ta gép cặp cho tổng hiệu hai cung
Ví dụ 7 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2002 )
Với phương trình ta khơng thể chuyển cung, khơng thể biến đổi tổng thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa cung q rõ, cịn mà ta lại khơng sử dụng biến đổi tổng thành tích hàm số xuất hai vế phương trình chứa lũy thừa bậc hai mà cơng thức biến đổi áp dụng cho hàm số có lũy thừa bậc thơi Điều dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai bậc để thực điều ta liên tưởng đến công thức hạ bậc
(11)
Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên công thức sử dụng hàm số lượng giác có số mũ 1, phương trình có số mũ hàm số lượng giác chẵn ta hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi
Vậy nguyên tắc thứ ba mà muốn trao đổi với bạn nguyên tắc hạ bậc
Ví dụ 8 : Giải phương trình ( ĐH Khối A – 2005 )
Phương trình
Nhận xét: * Ở (1) ta sử dụng cơng thức nhân ba, thay
chuyển phương trình trùng phương hàm số lượng giác
* Ta sử dụng cơng thức nhân từ đầu, chuyển phương trình cho phương trình chứa cosx đặt
Tuy nhiên cách trình bày đẹp sử dụng công thức hạ bậc công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì cơng thức nhân ba khơng học)
Ví dụ 9 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2004 )
Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình
Đk:
Phương trình
Chú ý : Nếu phương trình xuất tan, cot sin, cos ta thay tan, cot sin cos lúc dễ dàng tìm lời giải Chú ý gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình !
Ví dụ 10 : Giải phương trình (ĐH Khối D – 2003 )
Điều kiện :
(12)
Trên số nguyên tắc chung thường dụng phép biến đổi phương trình lượng giác Mục đích phép biến đổi nhằm :
1 Đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác thường gặp (Thường đưa về phương trình đa thức hàm số lượng giác)
Ví dụ 1: Giải phương trình : (ĐH Cơng Đồn – 2000)
Giải: Điều kiện :
Phương trình Đây phương
trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế phương trình cho (do ), ta phương trình :
thỏa điều kiện
Nhận xét: Để giải phương trình từ đầu ta chia hai phương trình cho
hoặc sử dụng cơng thức chuyển phương trình ban đầu
phương trình chứa hàm tan
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2003 )
Giải: Điều kiện: Phương trình
(do )
Chú ý : Ta cần lưu ý đến cơng thức:
Ví dụ 3: Giải phương trình : (HVBCVT TPHCM – 2001 )
Giải:
Ta có
Nên phương trình
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức
(13)Ví dụ 4: Giải phương trình: (ĐH Khối D – 2005 )
Giải: Ta có:
Nên phương trình
2 Đưa phương trình phương trình dạng tích : Tức ta biến đổi phương trình dạng
Khi việc giải phương trình ban đầu quy giải hai phương trình :
Trong mục đích này, ta cần làm xuất nhân tử chung Một số lưu ý tìm nhân tử chung :
* Các biểu thức ; ;
; nên chúng có thừa số chung
* Các biểu thức có thừa số chung
* có thừa số chung Tương tự có thừa số
chung
Ví dụ 1: Giải phương trình: (ĐH Khối B – 2005 )
Giải:
Phương trình
Nhận xét: Ngồi cách biến đổi trên, ta biến đổi cách khác sau
Phương trình
Mặc dù hai cách biến đổi khác chúng dựa nguyên tắc ”đưa cung”
Ví dụ 2: Giải phương trình: (Dự bị Khối D – 2003 )
Giải: Đk:
(14)
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Giải: Đk: Phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Giải:
Phương trình
( Lưu ý : )
Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý có ba cơng thức để thay nên phương trình mà chọn cơng thức phù hợp
Đông Hà, ngày 25 tháng 02 năm 2009
Thầy giáo
Trần Hải Nam