Bài tập và một số chú ý khi giải toán lượng giác

Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình đều chứa lũ[r]

Các dạng tập lượng giác a/kiÕn thức cần nhớ phân loại toán

dạng 1 Ph ơng trình bËc nhÊt vµ bËc hai , bËc cao víi hàm số l ợng giác Đặt HSLG theo t víi sinx , cosx cã ®iỊu kiƯn t 1

Giải phơng trình .theo t

Nhận t thoả mÃn điều kiện giải Pt lợng giác Giải phơng tr×nh:

1/ 2cos2x- 4cosx=1 sinx    

2/ 4sin3x+3 2sin2x=8sinx 3/ 4cosx.cos2x +1=0

4/

1-5sinx+2cosx=0 cosx 







5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2). Tìm n0 (1) đồng thời n0 (2) ( nghiệm chung sinx=

1 3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0

7/ a/ tanx+

3

cotx -2 = b /

cos x+tanx=7 c* /sin6x+cos4x=cos2x

8/sin(

2

x 

)-3cos(

7

x 

)=1+2sinx 9/

2

sin x 2sinx2 2sin x

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/

2

sin cos 2sin cos x x x x   

13/ sinx 1 cosx0 14/ cos2x+3cosx+2=0

15/

2

4sin 6sin 3cos cos

x x x

x

  



16/ 2cosx- sinx =1

dạng 2: Phơng trình bậc đối với sinx cosx : asinx+bcosx=c Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt cosx= 2

a

a b ; sinx= 2 b

a b

2 sin( )

a b x  c

   

C¸ch :

sin bcos

a x x c

a

 

 

 

Đặt

tan sin cos tan

b

a x x c

a      

sin(x ) ccos

a

 

Cách 3: Đặt tan x t ta có 2 2 sin ;cos 1 t t x x t t   

   (b c t ) 2 2at b c 

Đăc biệt :

1

sin cos 2sin( ) 2cos( )

3

x x x  x 

2

sin cos sin( ) cos( )

4

x x x  x

3

sin cos 2sin( ) cos( )

3

x x x   x

§iỊu kiƯn Pt cã nghiƯm : a2b2 c2 giải ph ơng trình :

1/ 2sin15x+ 3cos5x+sin5x=k víi k=0 vµ k=4 víi k=0 2/ a :

1 sin cos

cos x x x   b:

4sin 3cos

4sin 3cos

x x x x      c: sin cos

3 sin cos

x x

x x

  

 

3/ cos 7x sin 7x 0 *t×m nghiƯm

2

( ; )

5

x  

4/( cos2x- 3sin2x)- 3sinx-cosx+4=0

5/

1 cos cos cos3

(3 sin )

2cos cos

x x x

x

x x

  

 

 

6/

cos 2sin cos

3

2 cos sin

x x x

x x





 

Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp sin x cosx Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx0 Chia vế cho cos2x ta đợc: atan2x+btanx +c=d(tan2x+1) Cách2: ỏp dng cụng thc h bc

Đẳng cấp bËc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hc asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0

Xét cos3x=0 cosx0 Chia vế cho cos2x ta đợc Pt bậc tanx

Giải ph ơng trình

1/ a/ 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ sin2x+3 3sinxcosx-2cos2x=4 c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2

x-5-3=0

2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 c¸ch +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 x k

 

 

+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0  (cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0

5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

6/ cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x

9/sin3(x-/4)= 2sinx Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng sinx cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t 

 at + b

2 1

2

t 

=c  bt2+2at-2c-b=0

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t   at + b

2

1

t



=c  bt2 -2at+2c-b=0 Giải ph ơng trình

1/ a/1+tanx=2sinx +

cosx b/ sin x+cosx=

1 tanx

-1 cotx

2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x 4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2sin2x(sin x+cosx)=2

6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2(sin x+cosx)=tanx+cotx 8/1+sin3 2x+cos32x=

3

2sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0

10/ sinx cosx 4sin 2x1 11/ cosx+

1

cosx+sinx+

1 sinx=

10 12/ sinxcosx+ sinxcosx =1

dang 5 Giải phơng trình phơng pháp hạ bậc Công thức hạ bậc

cos2x=

1 cos 2

x



; sin2x=

1 cos 2

x



C«ng thøc h¹ bËc

cos3x=

3cos cos3

x x

; sin3x=

3sin sin

x x

Giải ph ơng trình

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0

4/ cos3x+ sin7x=2sin2(

4

x

 

)-2cos2

2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x víix(0; ) 6/sin24x-cos26x=sin(10,510x) víi

(0; )

x 

12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 24 8;

k k

x    

  13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(4

x

 

)-7/2 víi x1<3 15/ cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+3 

)=cos3x 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

19/ sin 5sin

x

x=1

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Dang : Phơng trình LG giải đẳng thức

* a3b3=(ab)(a2ab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4 * a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6b6=( a2b2)( a4a 2b2+b4)

Giải ph ơng trình 1/ sin42

x

+cos42

x

=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/

4

sin cos

(tan cot )

sin 2

x x

x x

x



 

v« nghiƯm

5/cos6x-sin6x= 13

8 cos22x 6/sin4x+cos4x=

cot( ) cot( )

8 x x

 

 

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx

9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11/ cos8x+sin8x=

1

8 12/ (sinx+3)sin42

x

-(sinx+3) sin22

x

+1=0 Dang : ơng trình LG biến đổi tích 0Ph

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/

2 sin2x+ 2cos2x+ 6cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/

sin sin

3

x x



9/ 2cos2x-8cosx+7=

1

cosx 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+

4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/

2sin3x-1

sinx=2cos3x+

1

16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-1 cosx)=0

18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x 19/1+cot2x= cos

sin x x  20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+

sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24/ 2

sin( )

x =

1

sinxcosx 25/ 2tanx+cotx=

2

sin 2x



26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang : ơng trình LG phải thực công thúc nhân đôi, hạ bậcPh cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx tan2x= 2 tan tan x x 

sinx = 2

t t

 ; cosx=

2 1 t t 

 tanx= 2

t t



Giải ph ơng trình 1/ sin3xcosx=

1

4+ cos3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x

10/a* tan2x+sin2x=

2cotx b* (1+sinx)2= cosx

Dang : Ph ơng trình LG phải thực phép biến đổi tổng_tích tích_tổng Giải ph ơng trình

1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3/

sin sin

sin cos cos

x x

x x

x



 

 t×m x0; 2

4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/

 

3 cos cot

4sin cos

cot cos 4

x x x x x x                   

7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A đặt hàm BPh Giải ph ơng trình

1/ sin( 10 x   )= 2sin( 10 x   )

3 14

2 ; ;

5 15 15

xk k k

 

2/ sin(

3

x 

)=sin2x sin( x

) x k2    

4/ cosx-2sin( 2 x  

)=3 x k 4

5/ cos(

2

x 

)=sin(4x+3) ;

k x    k 

 

6/3cot2x+2 2sin2x=(2+3 2)cosx x k2 ; k2

 

 

 

     

 

7/2cot2x+

2

cos x+5tanx+5cotx+4=0 x k 

  

8/ cos2x+

1

cos x=cosx+

1

cosx x k  9/sinx- cos2x+

1

sinx+2

sin x=5x k2 ; k2 ;76 k2

                11/

1 sin sin

x x   +2 tan tan x x 

 =3 xk ; k, tan2

Dang 11 : ơng trình LG phải thực phép biến đổi phức tạpPh Giải ph ơng trình

1/ (16 2) cos   x 4 cosx x k2

 

 

2/cos  

2

3 16 80

4 x x x



 

  

 

  =1 t×m n

0 x Zx  21; 3 

3/ 5cosx cos 2x+2sinx=0 x k2

 

 

4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x 3 k

 

 

5/

 

2 sin tan

2cos tan sin x x x x x   

 2

3

xk

6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x x 4 k2

   

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x

k x 

8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x

k x k 

 

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k 10/

2

sinxsinx 1 sin x cosx

5 ;sin

2

x k x 

11/cos2  

2

sin cos

4 x x



 



 

 -1=tan2

2 tan

x  x

 



 

  x k2

 

 

12/

2

2 cos sin 2sin 2sin

5 12 12 5

x  x  x  x 

       

      

       

        x 512 k5 ; 53 k5 ;54 k5

  

  

 

      

 

Dang 12 : ơng trình LG khơng mẫu mực, đánh giá vế ,tổng lPh ợng không âm,vẽ đồ thị đạo hàm

Giải ph ơng trình 1/ cos3x+

2

2 cos 3x =2(1+sin22x) x k 

2/ 2cosx+ 2sin10x=3 2+2sinxcos28x x k 

3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 víi x0; 4/ 8cos4xcos22x+ cos3 x+1=0

2 2

3

x  k 

 

5/

sin

cos x

x

 

x0

6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm 7/

1-2

x

=cosx 8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x 2 k

   

9/ 

1 cos cos cos sin

2

x x x x

   

x k2 

  

MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trong kí thường bắt gặp phương trình lượng giác phương trình lượng giác gây khơng khó khăn nhiều em học học sinh, có lẽ lí mà em học sinh thường lo sợ giải phương trình lượng giác có nhiều cơng thức biến đổi lượng giác nên sử dụng công thức để biến đổi phương trình cho Trong chuyên đề xin trao đổi chút kinh nghiệm nho nhỏ với em học sinh học lớp 11,12 em ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới

Trước hết bạn cần nắm phương trình lượng giác thường gặp Trong phương trình xin bàn với bạn chút phương trình đẳng cấp sin cos Với lí do: dạng SGK trình bày cho phương trình đẳng cấp bậc hai mà kì thi ta thấy xuất phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao Minh chứng đề thi khối B – 2008

“Giải phương trình : (ĐH Khối B – 2008

).”

Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi đẳng cấp bậc k

Từ ta định nghĩa phương trình đẳng cấp bậc k phương trình chứa sin cos phương trình có dạng đó:

Ví dụ: phương trình đẳng cấp bậc

bốn

Tuy nhiên ta xét phương trình : nhìn ta thấy khơng phải phương trình đẳng cấp, bạn lưu ý nên ta viết lại phương

trình cho sau: , dễ thấy phương trình

là phương trình đẳng cấp bậc Do với phương trình lượng giác ta định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp sau:

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k số mũ cao nhất) ta phương trình hàm số

Ví dụ: Giải phương trình sau

1) Giải thi ĐH Khối B – 2008 nêu 2)

3)

Những phương trình xin dành cho bạn tự giải (vì có phương pháp giải)

Bây tơi xin vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà khơng ưa mà ta thường gọi phương trình lượng giác khơng mẫu mực Khơng riêng phương trình lượng giác không mẫu mực mà phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit để giải phương trình ta phải tìm cách biến đổi phương trình có cách giải phương pháp ta thường dùng biến đổi phương trình tích đưa phương trình chứa hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A –

2008 )

Với tốn có lẽ khó khăn mà gặp phải là xuất hai cung cung Các bạn lưu ý ta luốn tính giá trị giá trị lượng giác cung có dạng nên điều ta nghĩ tới sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung

Ta có:

Nên phương trình cho

Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho ngồi cách nêu ta làm theo cách khác sau:

vào tị mị cuối em trả lời khơng trừ được, dĩ nhiên câu hỏi sao? Các em trả lời khơng loại!

Chắc em hiểu tơi muốn nói điều ? Vậy nguyên tắc thứ xin đưa cho bạn là:

Đưa cung

Bây ta vận dụng nguyên tắc vào giải phương trình lượng giác có mặt đề thi năm gần

Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 )

Lời giải:

Vận dụng nguyên tắc ta chuyển hai cung cung Áp dụng công thức nhân đôi nhân ba ta có:

Đặt

Ta có:

Từ bạn tìm

Chú ý : * Trong SGK không đưa công thức nhân ba nhiên em nên biết công thức lúc khó khăn mang sử dụng chứng minh khơng khó khăn

* Cách giải cách giải cách giải hay cách giải theo tơi tự nhiên bạn dẽ tìm lời giải Cách giải ngắn gọn đẹp phương trình ta biến đổi phương trình tích sau

PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex] giải phương trình ta nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 )

Lời giải:

Ta chuyển cung cung Ta có:

Nên phương trình cho

Đặt Ta có:

Từ ta tìm nghiệm

Chú ý : Vì phương trình chứa lũy thừa bậc chẵn cos, ta chuyển cung 2x nhờ công thức hạ bậc công thức nhân đôi

Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008 )

Lời giải: Trong phương trình chứa hai cung 2x x, nên ta chuyển cung 2x cung x PT

Tuy nhiên khơng phải phương trình lượng giác ta đưa cung Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 5 : Giải phương trình :

Với phương trình việc đưa cung gặp nhiều khó khăn, phương trình xuất bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên cung có mối quan hệ định quan hệ hiệu hai cung , hai vế hai phương trình tích hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng Thật

Phương trình

Ví dụ 6 : Giải phương trình

Cũng tương tự hai vế phương trình tổng hàm số lượng giác, ta nhận thấy vế phương trình chứa ba cung x, 2x, 3x ba cung có quan hệ

điều gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích Phương trình

Qua hai ví dụ tơi muốn đưa ngun tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng

Biến đổi tích thành tổng ngược lại

Trong phương trình xuất tích hàm số lượng giác sin cos ta biến đổi thành tổng (mục đích tạo đại lượng giống để thực phép rút gọn) Nếu xuất tổng ta biến đổi tích (Mục đích làm xuất thừa số chung ), đặc biệt ta gép cặp cho tổng hiệu hai cung

Ví dụ 7 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2002 )

Với phương trình ta khơng thể chuyển cung, khơng thể biến đổi tổng thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa cung q rõ, cịn mà ta lại khơng sử dụng biến đổi tổng thành tích hàm số xuất hai vế phương trình chứa lũy thừa bậc hai mà cơng thức biến đổi áp dụng cho hàm số có lũy thừa bậc thơi Điều dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai bậc để thực điều ta liên tưởng đến công thức hạ bậc

Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng công thức biến đổi lượng giác Tuy nhiên công thức sử dụng hàm số lượng giác có số mũ 1, phương trình có số mũ hàm số lượng giác chẵn ta hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi

Vậy nguyên tắc thứ ba mà muốn trao đổi với bạn nguyên tắc hạ bậc

Ví dụ 8 : Giải phương trình ( ĐH Khối A – 2005 )

Phương trình

Nhận xét: * Ở (1) ta sử dụng cơng thức nhân ba, thay

chuyển phương trình trùng phương hàm số lượng giác

* Ta sử dụng cơng thức nhân từ đầu, chuyển phương trình cho phương trình chứa cosx đặt

Tuy nhiên cách trình bày đẹp sử dụng công thức hạ bậc công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì cơng thức nhân ba khơng học)

Ví dụ 9 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2004 )

Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình

Đk:

Phương trình

Chú ý : Nếu phương trình xuất tan, cot sin, cos ta thay tan, cot sin cos lúc dễ dàng tìm lời giải Chú ý gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình !

Ví dụ 10 : Giải phương trình (ĐH Khối D – 2003 )

Điều kiện :

Trên số nguyên tắc chung thường dụng phép biến đổi phương trình lượng giác Mục đích phép biến đổi nhằm :

1 Đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác thường gặp (Thường đưa về phương trình đa thức hàm số lượng giác)

Ví dụ 1: Giải phương trình : (ĐH Cơng Đồn – 2000)

Giải: Điều kiện :

Phương trình Đây phương

trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế phương trình cho (do ), ta phương trình :

thỏa điều kiện

Nhận xét: Để giải phương trình từ đầu ta chia hai phương trình cho

hoặc sử dụng cơng thức chuyển phương trình ban đầu

phương trình chứa hàm tan

Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2003 )

Giải: Điều kiện: Phương trình

(do )

Chú ý : Ta cần lưu ý đến cơng thức:

Ví dụ 3: Giải phương trình : (HVBCVT TPHCM – 2001 )

Giải:

Ta có

Nên phương trình

Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức

Ví dụ 4: Giải phương trình: (ĐH Khối D – 2005 )

Giải: Ta có:

Nên phương trình

2 Đưa phương trình phương trình dạng tích : Tức ta biến đổi phương trình dạng

Khi việc giải phương trình ban đầu quy giải hai phương trình :

Trong mục đích này, ta cần làm xuất nhân tử chung Một số lưu ý tìm nhân tử chung :

* Các biểu thức ; ;

; nên chúng có thừa số chung

* Các biểu thức có thừa số chung

* có thừa số chung Tương tự có thừa số

chung

Ví dụ 1: Giải phương trình: (ĐH Khối B – 2005 )

Giải:

Phương trình

Nhận xét: Ngồi cách biến đổi trên, ta biến đổi cách khác sau

Phương trình

Mặc dù hai cách biến đổi khác chúng dựa nguyên tắc ”đưa cung”

Ví dụ 2: Giải phương trình: (Dự bị Khối D – 2003 )

Giải: Đk:

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Giải: Đk: Phương trình

Ví dụ 4: Giải phương trình:

Giải:

Phương trình

( Lưu ý : )

Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý có ba cơng thức để thay nên phương trình mà chọn cơng thức phù hợp

Đông Hà, ngày 25 tháng 02 năm 2009

Thầy giáo

Trần Hải Nam