Ôn lượng giác từ cơ bản đến nâng cao

Trần Só Tùng Đại số 11 Trang 1 I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = sinα αα α a/ 2 sin sin ( ) 2 x k x k Z x k  = + = ⇔ ∈  = − +  α π α π α π b/ sin . : 1 1. arcsin 2 sin ( ) arcsin 2 x a Điều kiện a x a k x a k Z x a k = − ≤ ≤  = + = ⇔ ∈  = − +  π π π c/ sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = − d/ sin cos sin sin 2 u v u v   = ⇔ = −     π e/ sin cos sin sin 2 u v u v   = − ⇔ = −     π Các trường hợp đặc biệt: sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈ π sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z= ⇔ = + ∈ π π sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z= − ⇔ = − + ∈ π π 2 2 sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( ) 2 x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ π π 2. Phương trình cosx = cos α αα α a/ cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈ α α π b/ cos . : 1 1. cos arccos 2 ( ) x a Điều kiện a x a x a k k Z = − ≤ ≤ = ⇔ = ± + ∈ π c/ cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = − π d/ cos sin cos cos 2 u v u v   = ⇔ = −     π e/ cos sin cos cos 2 u v u v   = − ⇔ = +     π Các trường hợp đặc biệt: cos 0 ( ) 2 x x k k Z= ⇔ = + ∈ π π cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈ π cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈ π π 2 2 cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ π II. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Đại số 11 Trần Só Tùng Trang 2 3. Phương trình tanx = tan α αα α a/ tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈ α α π b/ tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈ π c/ tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = − d/ tan cot tan tan 2 u v u v   = ⇔ = −     π e/ tan cot tan tan 2 u v u v   = − ⇔ = +     π Các trường hợp đặc biệt: tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈ π tan 1 ( ) 4 x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈ π π 4. Phương trình cotx = cot α αα α cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈ α α π cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈ π Các trường hợp đặc biệt: cot 0 ( ) 2 x x k k Z= ⇔ = + ∈ π π cot 1 ( ) 4 x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈ π π 5. Một số điều cần chú ý: a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ). 2 x k k Z≠ + ∈ π π * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z≠ ∈ π * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( ) 2 x k k Z≠ ∈ π * Phương trình có mẫu số: • sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈ π • cos 0 ( ) 2 x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈ π π • tan 0 ( ) 2 x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈ π • cot 0 ( ) 2 x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈ π b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô đònh. Trần Só Tùng Đại số 11 Trang 3 Bài 1. Giải các phương trình: 1) cos 2 0 6 x   + =     π 2) cos 4 1 3 x   − =     π 3) cos 1 5 x   − = −     π 4) sin 3 0 3 x   + =     π 5) sin 1 2 4 x   − =     π 6) sin 2 1 6 x   + = −     π 7) ( ) 1 sin 3 1 2 x + = 8) ( ) 0 2 cos 15 2 x − = 9) 3 sin 2 3 2 x   − = −     π 10) 1 cos 2 6 2 x   − = −     π 11) ( ) tan 2 1 3x − = 12) ( ) 0 3 cot 3 10 3 x + = 13) tan 3 1 6 x   + = −     π 14) cot 2 1 3 x   − =     π 15) cos(2x + 25 0 ) = 2 2 − Bài 2. Giải các phương trình: 1) ( ) ( ) sin 3 1 sin 2x x+ = − 2) cos cos 2 3 6 x x     − = +         π π 3) cos3 sin 2x x= 4) ( ) 0 sin 120 cos2 0x x− + = 5) cos 2 cos 0 3 3 x x     + + − =         π π 6) sin3 sin 0 4 2 x x   + − =     π 7) tan 3 tan 4 6 x x     − = +         π π 8) cot 2 cot 4 3 x x     − = +         π π 9) ( ) tan 2 1 cot 0x x+ + = 10) ( ) 2 cos 0x x+ = 11) ( ) 2 sin 2 0x x− = 12) ( ) 2 tan 2 3 tan 2x x+ + = 13) 2 cot 1x = 14) 2 1 sin 2 x = 15) 1 cos 2 x = 16) 2 2 sin cos 4 x x   − =     π II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC Nếu đặt: 2 sin sin : 0 1. h́ t x hoặc t x t điều kiện t= = ≤ ≤ Dạng Đặt Điều kiện 2 sin 0asin x b x c+ + = t = sinx 1 1t− ≤ ≤ 2 cos cos 0a x b x c+ + = t = cosx 1 1t− ≤ ≤ 2 tan tan 0a x b x c+ + = t = tanx ( ) 2 x k k Z≠ + ∈ π π 2 cot cot 0a x b x c+ + = t = cotx ( )x k k Z≠ ∈ π Đại số 11 Trần Só Tùng Trang 4 Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin 2 x – 4cosx – 1 = 0 3) 4cos 5 x.sinx – 4sin 5 x.cosx = sin 2 4x 4) ( ) 2 tan 1 3 tan 3 0x x+ − − = 5) ( ) 2 4sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + = 6) 3 4 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ = 7) tan 2 x + cot 2 x = 2 8) cot 2 2x – 4cot2x + 3 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 4sin 2 3x + ( ) 2 3 1 cos3 3x+ − = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 3) 4cos 2 (2 – 6x) + 16cos 2 (1 – 3x) = 13 4) ( ) 2 1 3 3 tan 3 3 0 cos x x − + − + = 5) 3 cos x + tan 2 x = 9 6) 9 – 13cosx + 2 4 1 tan x+ = 0 7) 2 1 sin x = cotx + 3 8) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 9) cos2x – 3cosx = 2 4 cos 2 x 10) 2cos2x + tanx = 4 5 Bài 3. Cho phương trình sin3 cos3 3 cos2 sin 1 2sin2 5 x x x x x   + + + =   +   . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ( ) 0 ; 2 π . Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ( ) ;− π π . Bài 5. Giải phương trình : 4 4 4 5 sin sin sin 4 4 4 x x x     + + + − =         π π . III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1 : • Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ ta được: (1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + • Đặt: ( ) 2 2 2 2 sin , cos 0, 2 a b a b a b   = = ∈   + + α α α π phương trình trở thành: 2 2 sin .sin cos .cos c x x a b + = + α α 2 2 cos( ) cos (2) c x a b ⇔ − = = + α β • Điều kiện để phương trình có nghiệm là: Trần Só Tùng Đại số 11 Trang 5 2 2 2 2 2 1 . c a b c a b ≤ ⇔ + ≥ + • (2) 2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈ α β π Cách 2: a/ Xét 2 2 2 x x k k= + ⇔ = + π π π π có là nghiệm hay không? b/ Xét 2 cos 0. 2 x x k ≠ + ⇔ ≠ π π Đặt: 2 2 2 2 1 tan , sin , cos , 2 1 1 x t t t thay x x t t − = = = + + ta được phương trình bậc hai theo t: 2 ( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − = Vì 2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠ π π nên (3) có nghiệm khi: 2 2 2 2 2 2 ' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥ ∆ Giải (3), với mỗi nghiệm t 0 , ta có phương trình: 0 tan . 2 x t= Ghi chú: 1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 .a b c+ ≥ 3/ Bất đẳng thức B.C.S: 2 2 2 2 2 2 .sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = + 2 2 2 2 sin cos min max tan x x a y a b và y a b x a b b ⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ = Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) cos 3 sin 2x x+ = 2) 6 sin cos 2 x x+ = 3) 3 cos3 sin3 2x x+ = 4) sin cos 2 sin5x x x+ = 5) ( ) ( ) 3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − = 6) 3 sin 2 sin 2 1 2 x x   + + =     π Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 2 2sin 3 sin2 3x x+ = 2) ( ) sin8 cos6 3 sin 6 cos8x x x x− = + 3) 3 1 8cos sin cos x x x = + 4) cosx – 3 sin 2 cos 3 x x   = −     π 5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6) 2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 Bài 4. Giải các phương trình sau: Đại số 11 Trần Só Tùng Trang 6 1) 2sin 4 x   +     π + sin 4 x   −     π = 3 2 2 2) 3 cos2 sin 2 2sin 2 2 2 6 x x x   + + − =     π Bài 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin 2 x + b sinx.cosx + c cos 2 x = d (1) Cách 1 : • Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không? Lưu ý: cosx = 0 2 sin 1 sin 1. 2 x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± π π • Khi cos 0x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho 2 cos 0x ≠ ta được: 2 2 .tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = + • Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 2 ( ) . 0a d t b t c d− + + − = Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1 cos2 sin 2 1 cos2 (1) . . . 2 2 2 x x x a b c d − + ⇔ + + = .sin 2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − − (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( ) 2 2 2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x+ − + − = 2) ( ) 2 2 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − = 3) 2 2 4sin 3 3 sin .cos 2cos 4x x x x+ − = 4) 2 2 1 sin sin 2 2 cos 2 x x x+ − = 5) ( ) ( ) 2 2 2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + − = − 6) 2 2 5sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + = 7) 2 2 3sin 8sin .cos 4 cos 0x x x x+ + = 8) ( ) ( ) 2 2 2 1 sin sin 2 2 1 cos 2x x x− + + + = 9) ( ) ( ) 2 2 3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − = 10) 4 2 2 4 3cos 4sin cos sin 0x x x x− + = 11) cos 2 x + 3sin 2 x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 12) 2cos 2 x – 3sinx.cosx + sin 2 x = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) sin 3 x + 2sin 2 x.cos 2 x – 3cos 3 x = 0 2) 2 2 1 3 sin .cos sin 2 x x x − − = Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin 2 x – sin2x + 2cos 2 x = 1 có nghiệm. Trần Só Tùng Đại số 11 Trang 7 Bài 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin 2 x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos 2 x = 0 vô nghiệm . V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng 1 : a.(sinx ± ±± ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 • Đặt: cos sin 2.cos ; 2. 4 t x x x t   = ± = ≤     m π 2 2 1 1 2sin .cos sin .cos ( 1). 2 t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± − • Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa 2.t ≤ Suy ra x. Lưu ý dấu: • cos sin 2 cos 2 sin 4 4 x x x x     + = − = +         π π • cos sin 2 cos 2 sin 4 4 x x x x     − = + = − −         π π Dạng 2: a.|sinx ± ±± ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 • Đặt: cos sin 2. cos ; : 0 2. 4 t x x x Đk t   = ± = ≤ ≤     m π 2 1 sin .cos ( 1). 2 x x t⇒ = ± − • Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối. Bài 1. Giải các phương trình: 1) ( ) 2sin2 3 3 sin cos 8 0x x x− + + = 2) ( ) 2 sin cos 3sin 2 2x x x+ + = 3) ( ) 3 sin cos 2sin 2 3x x x+ + = − 4) ( ) ( ) 1 2 1 sin cos sin 2x x x− + + = 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) ( ) ( ) 1 2 sin cos sin 2 1 2x x x+ + − = + Bài 2. Giải các phương trình: 1) ( ) sin2 4 cos sin 4x x x− − = 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 3) ( ) ( ) 1 2 1 sin cos sin2x x x− + − = 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 5) sin2x + 2 sin 1 4 x   − =     π 6) ( ) ( ) 2 sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0x x x x− − + − + = Bài 3. Giải các phương trình: 1) sin 3 x + cos 3 x = 1 + ( ) 2 2− sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sin cos 8 0x x+ + = Đại số 11 Trần Só Tùng Trang 8 VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) sin 2 x = sin 2 3x 2) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3 2 3) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = 1 4) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3 2 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) sin 6 x + cos 6 x = 1 4 2) sin 8 x + cos 8 x = 1 8 3) cos 4 x + 2sin 6 x = cos2x 4) sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x + 2 1 4sin 2x – 1 = 0 Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin 3 x + cos 3 x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos 2 x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos 2 x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin 2 3x 8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) Bài 4. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos 2 x + 1 Bài 5. Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos 2 2x = sin 2 2x + sinx Bài 6. Giải các phương trình sau: 1) sin 3 x + cos 3 x + 1 sin2 .sin 4 2 x x   +     π = cosx + sin3x 2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x . Trần Só Tùng Đại số 11 Trang 1 I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = sinα αα α a/ 2 sin sin ( ) 2 x k x k Z x k . bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô đònh. Trần Só Tùng Đại số 11 Trang 3 Bài