Ở mỗi góc của hình vuông lớn, ngời ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để đợc một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.[r]
(1)PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh số vô tỉ
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b
ab
b) Cho a, b, c > Chứng minh :
bc ca ab
a b c
a b c
c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab 5. Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ số a b biết : a b a b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a
b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10. Chứng minh bất đẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm giá trị x cho :
a) | 2x | = | x |b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1. 12. Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P
15. Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn biểu thức : A
x 4x
17. So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) :
a) 7 15 b) 17 45 c)
23 19
và 27
d)
18. Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhng nhỏ 19. Giải phương trình : 3x26x 7 5x210x 21 2x x 2.
20. Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy =
21. Cho
1 1
S
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998
.
Hãy so sánh S
1998
(2)22. Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ
23. Cho số x y dấu Chứng minh : a)
x y yx
b)
2
2
x y x y
0
y x y x
c)
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
.
24. Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1
b)
3 m
n
với m, n số hữu tỉ, n
25. Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 26. Cho số x y khác Chứng minh :
2
2
x y x y
4
y x y x
.
27. Cho số x, y, z dơng Chứng minh :
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x. 28. Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29. Chứng minh bất đẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30. Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 2. 31. Chứng minh : x y x y
32. Tìm giá trị lớn biểu thức : A
x 6x 17
.
33. Tìm giá trị nhỏ :
x y z A
y z x
với x, y, z > 34. Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z =
36. Xét xem số a b số vơ tỉ không : a) ab
a
b số vô tỉ.
b) a + b a
b số hữu tỉ (a + b 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0)
37. Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 38. Cho a, b, c, d > Chứng minh :
a b c d
(3)39. Chứng minh 2x x x 1
40. Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96
41. Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa :
2
2
1 1
A= x B C D E x 2x
x
x 4x x 2x 1 x
2
G 3x 1 5x 3 x x
42. a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M x24x 4 x2 6x 9 .
c) Giải phương trình : 4x220x 25 x2 8x 16 x218x 81
43. Giải phương trình : 2x2 8x x 2 4x 12 .
44. Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa :
2
2
1
A x x B C 9x D
1 3x x 5x
2
2
1 x
E G x H x 2x 3 x
x 2x x
45. Giải phương trình :
2
x 3x x
46. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x .
47. Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x
48. So sánh : a)
3 a b=
2
; b) 5 13 và 1 c) n 2 n và n+1 n (n số nguyên dương)
49. Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ :
2
A 1 6x 9x (3x 1) .
50. Tính :
a) 3 b) 11 2 c) 27 10 2
2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n n 1 n n 1
(n > 1)
51. Rút gọn biểu thức :
8 41 M
45 41 45 41
.
52. Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) 2(y 2) 2 (x y z) 0 53. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 25x2 20x 4 25x2 30x 9 .
(4)2 2 2
a) x x 2 x 0 b) x 1 x c) x x x x 0
4 2
d) x x 2x 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5
2 2
h) x 2x 1 x 6x 1 i) x 5 x x 25
k) x x 1 x x 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2
55. Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR:
2
x y
2 x y
.
56. Rút gọn biểu thức :
a) 13 30 b) m m m m
c) 2 2 2 d) 227 30 123 22
57. Chứng minh
6
2
2
58. Rút gọn biểu thức :
6 6 9 2 6
a) C b) D
2
59. So sánh :
a) 6 20 1+ b) 17 12 1 c) 28 16 2
60. Cho biểu thức : A x x2 4x 4
a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A
61. Rút gọn biểu thức sau : a) 11 10 b) 14 11 6
c)
2 10
62. Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức :
2 2
1 1 1
a b c a b c
63. Giải bất phương trình : x2 16x 60 x 6 .
64. Tìm x cho : x2 3 x 2.
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x
2x x 2x
.
67. Cho biểu thức :
2
2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
.
a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa
(5)68. Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - 2| + | y 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : n n n+1 (n số nguyên dương), số lớn ?
72. Cho biểu thức A 3 3 Tính giá trị A theo hai cách 73. Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)
74. Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 3 ; 2 3 75. Hãy so sánh hai số : a 3 b=2 1 ;
5
2
76. So sánh 4 4 2 số 0.
77. Rút gọn biểu thức :
2
Q
2
.
78. Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng
thức bậc hai
79. Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x y y x 1. 80. Tìm giá trị nhỏ lớn : A x x .
81. Tìm giá trị lớn :
2
M a b
với a, b > a + b
82 CMR số 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd có hai số dương (a, b, c, d > 0)
83. Rút gọn biểu thức : N 18
84. Cho x y z xy yz zx, x, y, z > Chứng minh x = y = z 85. Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n.
86. Chứng minh :
2
a b 2 2(a b) ab
(a, b 0)
87. Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác
88. Rút gọn : a)
2
ab b a
A
b b
b)
2
(x 2) 8x B
2 x
x
89 Chứng minh với số thực a, ta có :
2
a 2 a
Khi có
đẳng thức ?
(6)91. So sánh : a)
3
và 6,9 b) 13 12
92. Tính :
2 3
P
2 2
.
93. Giải phương trình : x 2x 5 x 2 2x 5 2 94. Chứng minh ta ln có : n
1.3.5 (2n 1) P
2.4.6 2n 2n
; n Z+
95 Chứng minh a, b >
2
a b
a b
b a
96. Rút gọn biểu thức : A =
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
x x 4(x 1)
.
97. Chứng minh đẳng thức sau :
a b b a
a) : a b
ab a b
(a, b > ;
a b)
14 15 a a a a
b) : c) 1 a
1 a a
(a
> 0)
98. Tính : a) 5 3 29 20 ; b) 3 5 13 48 c) 48 28 16 48
.
99. So sánh : a) 3 15 b) 2 15 12 16
c) 18 19 d) 25
100. Cho đẳng thức :
2
a a b a a b
a b
2
(a, b > a2 b > 0). Áp dụng kết để rút gọn :
2 3 2 2
a) ; b)
2 2 17 12 17 12
2 10 30 2
c) :
2 10 2
101. Xác định giá trị biểu thức sau :
2
2
xy x y a) A
xy x y
với
1 1
x a , y b
2 a b
(a > ; b > 1)
a bx a bx b) B
a bx a bx
với
2am
x , m
b m
(7)102. Cho biểu thức
2
2x x P(x)
3x 4x
a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) <
103. Cho biểu thức
x x x x A
4
x x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên
104. Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau:
2
a) x b) x x (x 0) c) 1 x d) x 4
2
e) 3x g) 2x 2x h) x 2x i)
2x x
105. Rút gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1 , ba cách ? 106. Rút gọn biểu thức sau : a) 5 48 10 3
b) 4 10 5 4 10 5 c) 94 42 5 94 42 5 .
107. Chứng minh đẳng thức với b ; a b
a)
2
a b a b a a b
b)
2
a a b a a b
a b
2
108. Rút gọn biểu thức : A x 2x 4 x 2x 4 109. Tìm x y cho : x y 2 x y
110. Chứng minh bất đẳng thức :
2
2 2
a b c d a c b d .
111. Cho a, b, c > Chứng minh :
2 2
a b c a b c
b c c a a b
.
112. Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh :
a) a 1 b 1 c 3,5 b) a b b c c a . 113. CM :
2 2 2 2
a c b c a d b d (a b)(c d)
với a, b, c, d >
114. Tìm giá trị nhỏ : A x x.
115. Tìm giá trị nhỏ :
(x a)(x b) A
x
116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5.
(8)upload.123doc.net. Giải phương trình : x 1 5x 1 3x 2
119. Giải phương trình : x x 1 x x 2
120. Giải phương trình : 3x221x 18 x 27x 7 2
121. Giải phương trình : 3x26x 7 5x210x 14 2x x
122. Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 2 123. Chứng minh x 2 x 2.
124. Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học :
2 2
a b b c b(a c) với a, b, c > 0.
125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d >
126. Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác
127. Chứng minh
2
(a b) a b
a b b a
2
với a, b
128 Chứng minh
a b c
2
b c a c a b với a, b, c > 0.
129. Cho x y y x 1 Chứng minh x2 + y2 = 1. 130. Tìm giá trị nhỏ A x x 1 x x 1 131. Tìm GTNN, GTLN A x x .
132. Tìm giá trị nhỏ A x2 1 x2 2x 5
133. Tìm giá trị nhỏ A x24x 12 x22x 3 .
134. Tìm GTNN, GTLN :
2
a) A 2x x b) A x 99 101 x
135. Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b
1 x y (a b số dương)
136. Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137. Tìm GTNN
xy yz zx A
z x y
với x, y, z > , x + y + z =
138. Tìm GTNN
2 2
x y z
A
x y y z z x
biết x, y, z > ,
xy yz zx 1 .
139. Tìm giá trị lớn : a)
2
A a b
với a, b > , a + b b)
4 4 4 4 4 4
(9)140. Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 4. 141 Tìm GTNN
b c
A
c d a b
với b + c a + d ; b, c > ; a, d 0.
142. Giải phương trình sau :
2
a) x 5x 3x 12 0 b) x 4x x 1 c) 4x 1 3x 1
d) x 1 x 2 e) x x 1 x 1 g) x 2x 1 x 2x 1 h) x x 2 x x 1 i) x x x 1
2 2
k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 2x 2
2
m) x 6 x x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5
o) x 1 x x x 3x 5 4 2x p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 x 2 .
2
q) 2x 9x 2x 1 2x 21x 11
143. Rút gọn biểu thức : A2 2 2 18 20 2 144. Chứng minh rằng, n Z+, ta ln có :
1 1
1 n 1
2 n
145. Trục thức mẫu :
1
a) b)
1 2 x x 1 .
146. Tính :
a) 5 3 29 20 b) 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 1
47. Cho a 3 3 5 10 2 Chứng minh a số tự nhiên 148. Cho
3 2 2
b
17 12 17 12
b có phải số tự nhiên khơng ?
149. Giải phương trình sau :
a) x x b) x x 3
5 x x x x
c) d) x x 5
5 x x
150. Tính giá trị biểu thức :
M 12 29 25 21 12 29 25 21
151. Rút gọn :
1 1
A
1 2 3 n n
.
152. Cho biểu thức :
1 1
P
2 3 4 2n 2n
a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ?
153. Tính :
1 1
A
2 1 2 3 100 99 99 100
(10)154. Chứng minh :
1 1
1 n
2 n
155. Cho a 17 1 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000.
156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3 (a 3)
157. Chứng minh :
2
x x
2
(x 0)
158. Tìm giá trị lớn S x 1 y 2 , biết x + y = 159. Tính giá trị biểu thức sau với
3 2a 2a
a : A
4 1 2a 1 2a
.
160. Chứng minh đẳng thức sau :
a) 4 15 10 4 15 2 b) 2 6 1
2
c) 5 10 d) 48 e) 17 5
2
161. Chứng minh bất đẳng thức sau :
5 5
a) 27 48 b) 10
5 5
5 1
c) 0, 1,01
3
1 3
2 3 3
d)
2 6 6
e) 2 1 2 1,9 g) 17 12 2 1
2 2
h) 7 i) 0,8
4
162. Chứng minh :
1
2 n n n n n
Từ suy ra:
1 1
2004 2005
2 1006009
163. Trục thức mẫu : 3
2
a) b)
2 2
.
164. Cho
3
x y=
3
Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
165. Chứng minh bất đẳng thức sau :
2002 2003
2002 2003 2003 2002 .
166. Tính giá trị biểu thức :
2
x 3xy y A
x y
với x 3 y 3 5.
167. Giải phương trình :
2
6x
3 x x x x
(11)168. Giải bất pt : a)
3 5x 72 b) 10x 14 c) 2 2x 4
169. Rút gọn biểu thức sau :
a
a) A 29 12 b) B a a(a 1) a
a
2 2
2 2
x x x 5x x x
c) C d) D
2x x 3x x (x 2) x
1 1
E
1 2 3 24 25
170. Tìm GTNN GTLN biểu thức A
2 x
.
171. Tìm giá trị nhỏ
2
A
1 x x
với < x < 1.
172. Tìm GTLN : a) A x 1 y 2 biết x + y = ; b) y
x B
x y
173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ?
174. Tìm GTNN, GTLN :
2
1
a) A b) B x 2x
5 x
.
175. Tìm giá trị lớn A x x .
176. Tìm giá trị lớn A = | x y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN A x x y y biết x y 1 179. Giải phương trình :
2 x
1 x x 3x (x 2)
x
.
180. Giải phương trình : x22x 9 4x 2x .
181. CMR, n Z+ , ta có :
1 1
2 3 (n 1) n .
182. Cho
1 1
A
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
Hãy so sánh A 1,999
183. Cho số x, y x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ
184. Cho
3
a ; b 2
3
CMR : a, b số hữu
tỉ
185. Rút gọn biểu thức :
2 a a a a a a
P
a
a a a
(12)(a > ; a 1)
186. Chứng minh :
a a 1
4 a a 4a
a a a
(a > ; a 1)
187. Rút gọn :
x 22 8x x
x
(0 < x < 2)
188. Rút gọn :
b ab a b a b
a :
a b ab b ab a ab
189. Giải bất phương trình :
2
2
2
5a x x a
x a
(a 0)
190. Cho
2 a a a a
A a : a a
1 a a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A
191. Cho biểu thức :
a b a b b b
B
a ab ab a ab a ab
.
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị B a 5 .
c) So sánh B với -1
192. Cho
1 a b
A :
a a b a a b a b
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A
c) Tính giá trị A a ; b 2
193. Cho biểu thức
a a 1
A a a
a a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A
6 a
2
.
c) Tìm giá trị a để A A.
194. Cho biểu thức
a a a a a
A
2 a a a
.
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A để A = -
195. Thực phép tính :
1 a a a a
A :
1 a a a a
(13)196 Thực phép tính :
2 3
B
2 2
197. Rút gọn biểu thức sau :
3
x y 1 1
a) A :
x y
xy xy x y xy x y x y
với x 2 ; y 2
b)
2 2
x x y x x y
B
2(x y)
với x > y > 0
c)
2
2a x C
1 x x
với
1 a a
x
2 a a
; < a < 1
d)
2
a b D (a b)
c
với a, b, c > ab + bc + ca = 1
e)
x x x x
E 2x
x 2x x 2x
198. Chứng minh :
2
x x 2x
x x
x x x
với x
199. Cho
1 2
a , b
2
Tính a7 + b7. 200. Cho a 1
a) Viết a2 ; a3 dạng m m 1 , m số tự nhiên.
b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết đợc dới dạng trên. 201. Cho biết x = nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm cịn lại
202. Chứng minh
1 1
2 n n
2 n
với n N ; n
203. Tìm phần nguyên số 6 6 (có 100 dấu căn) 204. Cho
2
a 2 Tính a) a b) a
205. Cho số x, y, x y số hữu tỉ Chứng minh số x , y số hữu tỉ
206. CMR, n , n N :
1 1
2 3 (n 1) n
207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a25 thỏa đk :
1 25
1 1
(14)
208. Giải phương trình
2 x x
2
2 x 2 x
.
209. Giải biện luận với tham số a
1 x x a x x
.
210. Giải hệ phương trình
x y 2y y z 2z z x 2x
211. Chứng minh : a) Số
7
8 7
có chữ số liền sau dấu phẩy b) Số
10
7 3
có mời chữ số liền sau dấu phẩy
212 Kí hiệu an số nguyên gần n (n N*), ví dụ :
1
1 1 a 1 ; 1,4 a 1 ; 1,7 a 2 ; 2 a 2
Tính : 1980
1 1
a a a a .
213. Tìm phần nguyên số (có n dấu căn) : a) an 2 2
b) an 4 4
c) an 1996 1996 1996 1996
214. Tìm phần nguyên A với n N : A 4n2 16n28n 3
215. Chứng minh viết số x =
200
3
dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy
216. Tìm chữ số tận phần nguyên
250
3 217. Tính tổng A 1 2 3 24
218. Tìm giá trị lớn A = x2(3 x) với x 0.
219. Giải phương trình : a) x 1 37 x 2 b) 3 x 2 x 3 .
220. Có tồn số hữu tỉ dương a, b không : a) a b 2 b)
a b 2.
221. Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 35 b) 323 222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm :
3
a b c
abc
(15)223. Cho a, b, c, d > Biết
a b c d
1
1 a b c d Chứng minh :
1 abcd
81
224. Chứng minh bất đẳng thức :
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y zx với x, y, z > 0 225. Cho a33 33 33 33 ; b 3 Chứng minh : a < b 226. a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có :
n
1
1
n
.
b) Chứng minh số có dạng n n (n số tự nhiên), số 33 có giá trị lớn
227. Tìm giá trị nhỏ A x2 x x2 x 1 .
228. Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 x) biết x 4. 229 Tìm giá trị lớn A x x .
230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 6) biết x 3.
231. Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, ngời ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để đợc hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn 232. Giải phương trình sau :
3
3
a) 1 x 16 x 3 b) x x 1
3 3
c) x 1 x 1 5x d) 2x x 1
3 2 3 3
3
3
x 3x x x 7 x x 5
e) g) x
2 x x
3
2 2 3
3
h) (x 1) (x 1) x 1 1 i) x 1 x 2 x 0
4 4 4
k) x x x 3 l) a x b x a b 2x (a, b
tham số)
233. Rút gọn
4 2
3 3
2
3 3
a a b b
A
a ab b
.
234. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x2 x 1 x2 x
235. Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 1 3.
236. Chứng minh 33 số vô tỉ
237. Làm phép tính : a) 13 26 b) 26 238. Tính : a320 14 2 320 14 2 .
239. Chứng minh : 37 2 37 5 2
240. Tính :
4 4
(16)241. Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số ngun có nghiệm :
3
x 3 .
242. Tính giá trị biểu thức : M = x3 + 3x 14 với
3
3
1 x
7
.
243. Giải phương trình : a) 3x 2 325 x 3.
2
3
b) x (x 3) 6 c) x 32 x 32 3
244. Tìm GTNN biểu thức :
3 3
A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 245. Cho số dơng a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d abcd4
246. Rút gọn :
3 3
3
3 3
8 x x x x
P : x
2 x x x x x
; x > , x
247. CMR : x35 17 35 17 nghiệm phương trình x3 - 6x + 10 =
248. Cho
3
1
x 15
4 15
Tính giá trị biểu thức y = x3 - 3x + 1987.
249. Chứng minh đẳng thức :
3
3
3
a
a
2 a a
.
250. Chứng minh bất đẳng thức :
3 9 5 32 5 3 5 2,1 0
.
251. Rút gọn biểu thức sau :
a)
3
4 2
3 3
3
2
3 3 3
3
1
a a b b b 4b b 24
A b)
1
b b
a ab b b 2 1 2.
b
c)
2 2
3 3
3
3
2
3 3
a a 2a b a b a b ab
C
a b
a ab a
.
252. Cho M x2 4a 9 x2 4x 8 Tính giá trị biểu thức M biết rằng:
2
x 4x 9 x 4x 2 .
253. Tìm giá trị nhỏ : P x2 2ax a x2 2bx b (a < b)
254. Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh tam giác : abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)
255. Tìm giá trị biểu thức | x y | biết x + y = xy = -1 256. Biết a b = + , b c = - 1, tìm giá trị biểu thức :
A = a2 + b2 + c2 ab bc ca.
(17)258. Cho y x x 1 x x 1 CMR, x giá trị y số
259. Phân tích thành nhân tử : M x 1 x3 x2 x 1 (x 1).
260. Trong tất hình chữ nhật có đường chéo 2, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
261. Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh ta ln có :
a b c
2
262. Cho số dơng a, b, c, a, b, c Chứng minh : Nếu
a b c
aa' bb' cc' (a b c)(a ' b' c')
a' b' c'
263. Giải phương trình : | x2 | + | x2 | = 3.
264. Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y : x y4
1 x y
C
4xy x y
x y x y
x y x y
với x > ; y > 0.
265 Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:
2 a a a a a a
D
a
a a a
với a > ; a
266. Cho biểu thức
c ac
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
.
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị a c để B > ; B < 267. Cho biểu thức : 2
2mn 2mn
A= m+ m
1+n n n
với m ; n 1
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A với m 56 24 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ A 268. Rút gọn
2
2
1 x x 1 x x
D
x x
1 x x x x x x
269. Cho
1 x x
P :
x x x x x x
với x ; x 1.
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x cho P < 270. Xét biểu thức
2
x x 2x x
y
x x x
.
a) Rút gọn y Tìm x để y = b) Giả sử x > Chứng minh : y - | y | =
(18)