dap an de thi vao PBC

[r]

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2010

Môn thi:Toán Híng dÉn chÊm thi

B¶n híng dÉn chÊm gåm 03 trang

Nội dung đáp án Điểm

Bµi 1 3,5 ®

a 2,0®

x2  7 x 3

 

3 3

2 7 27

x x x x x x

           0.50®

3

9 (x 2)(7 x) 27

     0.25®

3 (x 2)(7 x) 2

    0.25®

(x 2)(7 x)

    0.25®

2 5 6 0

x x

    0.25®

1

x x

    

 ( tháa m·n ) 0.50®

b 1,50®

Đặt

z

y 0.25đ

Hệ cho trở thành

3

2 3

x z z x

   



 

 

0.25®

  3

3 x z z x

    0,25®

x z x xz z2 3

      0,25®

x z

  (v× x2 xz z  3 0,x z, ). 0,25®

Từ ta có phơng trình:

3 3 2 0

2 x

x x

x       

 

Vậy hệ cho có nghiệm: ( , ) ( 1; 2), 2,1x y     

0,25®

Bài 2: 1,0 đ

iu kin phng trỡnh có nghiệm:   0 a2  4a 0 (*) 0,25đ Gọi x1, x2 nghiệm nguyên phơng trình cho ( giả sử x1≥ x2)

Theo định lý Viet:

1

1 2

1

x x a

x x x x

x x a

  

   



  

0,25®

1

(x 1)(x 1)

   

1

1 1

x x

  

 

 

 hc

1

1

1

x x

  



 

 (do x1 - ≥ x2 -1) 0,25®

1

4

x x

   



 hc

1

0

x x

  

 

Suy a = 6 hc a = -2 (tháa m·n (*) )

Thư l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 tháa m·n yªu cầu toán 0,25đ

Bài 3: 2,0 đ

Vì BE phân giác góc ABC nên ABM MBC AM MN 0,25đ

MAE MAN

  (1) 0,50®

Vì M, N thuộc đờng trịn đờng

kÝnh AB nên AMB ANB 900 0,25đ ANK AME 900, kÕt hỵp

với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK

0,50®

AN AK

AM AE

  0,25®

AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ

Bài 4: 1,5 đ

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM AIM Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM ABC

AIM ABC

  .Suy tø gi¸c BOIM nội tiếp

0,25đ Từ chứng minh suy tam gi¸c AMI

đồng dạng với tam giác AOB

AM AI

AI AO AM AB

AO AB

   

(1)

0,25đ Gọi E, F giao điểm đờng thẳng AO

với (O) (E nằm A, O) Chứng minh tơng tự (1) ta đợc: AM.AB = AE.AF

= (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2

0,25®

 AI.AO = 3R2

2

3 3

2 2

R R R R

AI OI

AO R

     

(2)

0,25đ Tam giác AOB tam giác COK đồng dạng nên

OA.OK = OB.OC = R2

2

2

R R R

OK

OA R

   

(3)

0,25® Tõ (2), (3) suy OI = OK

Suy O lµ trung ®iĨm IK, mµ O lµ trung ®iĨm cđa BC

Vì BICK hình bình hành 0,25đ

Bài 5: 2,0 ®

a, 1,0 ®

Giả sử O nằm ngồi miền tam giác ABC Khơng tính tổng quát, giả sử A O nằm phía đờng thẳng BC

Suy đoạn AO cắt đờng thẳng BC K

Kẻ AH vuông góc với BC H 0,25® Suy AH  AK < AO <1 suy AH < 0,25® Suy

2.1

1

2

ABC

AH BC

S   

(m©u thn víi giả thiết) Suy điều phải chứng minh

0,25đ

b, 1,0®

Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)

= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 0,25đ

mà a3 + ab2 2a2b (áp dụng BĐT Côsi )

b3 + bc2 2b2c

c3 + ca2  2c2a

Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

0,25®

Suy

2 2

2 2

P a b c ab bc ca

a b c

 

   

 

2 2

2 2

2 2

9 ( )

P

2( )

a b c

a b c

a b c

  

    

 

0,25®

Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh đợc t  3.

Suy

9

3

2 2 2 2

t t t

P t

t t



         

 P Dấu xảy a = b = c = 1

VËy gi¸ trị nhỏ P

0,25đ