Bai giai Toan DH 2010 khoi A

Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. 1.[r]

(1)

GỢI Ý ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn Tốn, khối A

-

Gợi ý đáp án Tổ chuyên gia giải đề Hệ thống đào tạo Công nghệ thông tin Quốc tế Bachkhoa-Aptech Bachkhoa-Npower cung cấp

1 Thạc sỹ Doãn Minh Cường – Hiệu trưởng trường phổ thông Quốc tế Phú Châu (Chuyên Tiếng Anh Đại học Điện Lực)

2 Thạc sỹ Trần Thị Phương Thảo – Cổng Giáo dục trực tuyến VTC

3 Nhà giáo Lại Văn Tý – Tổ trưởng tổ Tốn Trường Phổ thơng Quốc tế Phú Châu Nhà giáo Hồng Trọng Hảo – Tốn Tuổi thơ

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số 2 (1 ) (1), m tham số thực

y=x − x + −m x+m

1 Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = Khi m = hàm số 2 1

y=x − x +

Tập xác định : \

Chiều biến thiên :

' 3 4

y = x − x

'

0, ( 1)

0 4 5

, ( )

3 27

x y

y

x y

= =

⎡ ⎢ = ⇔

⎢ = = − ⎣

lim , lim

x→+∞y= +∞ x→−∞y= −∞

Bảng biến thiên:

Cực trị : ymax =1 x=0

min

27

y = −

3

x= Đồ thị :

Điểm uốn :y'' 6= x−4 triệt tiêu đổi dấu

x= , đồ thị có điểm uốn 11;

3 27

U⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

Giao với trục: x= ⇒ =0 y Đồ thị cắt trục tung điểm

( )

3

0 1; =

2

y= ⇒x − x + = ⇒ =x x ±

Đồ thị cắt trục hồnh ba điểm có hoành độ 1,

(2)

Vẽđồ thị

2 Tìm m đểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn điều kiện 2

1

x +x +x <

Phương trình xác định hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành là:

3 2 (1 )x + m = 0 (1)

x − x + −m

Biến đổi tương đương phương trình này:

3

2

(1) -

x(x 1) (x-1)=0 x(x-1) (x-1) =

x x x mx m

x m

m

⇔ − + + =

⇔ − + −

⇔ −

(x-1).(x(x-1)-m) = 02 (x-1)(x x-m) = ⇔

⇔ −

x=12

x x-m=0 (2 ⎡

⇔ ⎢ −

⎣ )

1 (3)

Yêu cầu toán sẽđược thực (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:

1,

x x ≠

2 2

1

1 +x +x <4

Điều kiện để (2) có nghiệm phân biệt khác là:

2

1

( )

1 0

m m

a m

m

⎧ ∆ = + >

⎧ ⇔ ⎪ > −

⎨ ⎨

− − ≠

⎩ ⎪ ≠⎩

Theo Viet ta có: x1+x2 =1, x x1 2= −m nên

(

)

1 2

(3)

( )

x x x x

m

m b

⇔ + − <

⇔ + < ⇔ <

Tổng hợp điều kiện (a) (b) ta giá trị cần tìm m là:

0;

4 m m

(3)

Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình

(

)

1

cos

1 tan

x c x

x x π ⎡ ⎤ + + ⎢ + ⎥ ⎣ ⎦ = + Điều kiên: cos sin

tan x x x ≠ ⇔ ≠ ± − ⎧ ⎨ ≠ − ⎩

Ta có sin (sin cos ) cos (tan 1)

4 2

x π x x x

⎛ + ⎞= + = +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ x

Phương trình cho viết lại thành

(

)

(

)

2

1 sin 2sin cos tan 1

2 cos

1 tan

x x x x

x x

+ + − +

= +

2sin2 sin 1 0

x x ⇔ − + + = sin 1 sin sin x x x = ⎡ ⎢ ⇔ ⇔ ⎢ = − ⎣

= − (do điều kiện sinx≠ ± −1)

⇔

(

)

k

k m Z

m π π π π ⎡ − + ⎢ ∈ ⎢ ⎢ + ⎢⎣

2 Giải bất phương trình

2

1 2( 1)

x x x x − ≥ − − + Ta có

2 3

2( 1) ,

2 2

x − + =x ⎛⎜x− ⎞⎟ + ≥ ∀ ∈x

⎝ ⎠ R

Do 1 2( 1) 0

x x

− − + <

Với điều kiện x≥0, bất phương trình cho tương đương với 2( 1) 1

x − + ≤ − +x x x+

Ta thấy x=0 không thỏa mãn bất phương trình nên x>0 Vì chia vế BPT cho x >0

ta được:

2(x 1) x 1

x x

+ − ≤ − + +

Đặt 2

t x t x x t

x x

x

= − ⇒ = + − ⇒ + = +2 2 , bất phương trình được viết lại thành

2(t + ≤ +1) t Tiếp tục biến đổi tương đương ta

2 2

2

1

2( 1) ( 1)

1

1 ( 1)

1

2

3

2

t t

t t t t

t

t t

x x x x

(4)

Câu III (1,0 điểm)

Ta có:

(

)

2

1 2

x x

x x x

x x

x e e

x e x e e

x

e e

+ +

= = +

+ + x

e

+ Do tích phân cần tính là:

1 2

2

0

2

1 2

x x x

x x

1

0

x e x e e dx

I dx x dx

e e

+ +

= = +

+ +

∫

(

)

1

0

1

3 2

x x

d e

x

e +

= +

+

∫

(

)

1

ln

x

e

= + +

1ln1

3

e + = +

Đáp số : 1ln1

3

e I = + + Câu IV (1,0 điểm)

1 Tính thể tích khối chóp

(

)

2

gt

( +dt

1

2 2 2

4 8

S CDMN CDMN

SH ABCD

V SH dt

dt CDMN dt ABCD dt BCM AMN

a a a

a a

⊥ =

= −

= − −

= − − =

+ + )

vậy

1 5

3

3 24

S CDMN

(5)

2 Tính khoảng cách đuờng thắng DM CS theo a

2 2

2 2 5

2

a a a

CN = CD +ND =a +⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⇒CN = ⎝ ⎠

Thay vào (1)

2 .

2

a a

a CH ⇒CH =

Thay vào (*)

2

2 2

1 1 19 12

12 19

( 3) 2

5

a HK

HK = a +⎛ a⎞ = a ⇒ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 12

19

a HK =

Câu V (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình

(

)

(

)

2

4

( , )

4

x x y y

x y

x y x

⎧ + + − − =

⎪ ∈

⎨

+ + − =

⎪⎩ \

Điều kiện

5

5 2

3

4

y y

x

⎧ ≤ ⎪

− ≥

⎧ ⇔⎪

⎨ − ≥ ⎨

⎩ ⎪ ≤

⎪⎩

Xét (1):

(

x

) (

x

y

)

y

Đặt u=2x; v= 2− y 3;

2

u v ⎛ ≤ ≥ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Suy

2

2 5 2 3 1.

2

v v

v = − y⇒ =y − ⇒ − = −y +

(

)

(1)

2

u v

u + v

⇔ + − =

3 0

u u v v

⇔ + − − =

(

)

(

)

u v u uv v

⇔ − + + + =

Vì

2 2

2 1 1 0,

2

v v

u +uv+v + =⎛⎜u+ ⎞⎟ + + > ∀u v∈

(6)

Tức 2

0

2 5 4

4

2

x

x y x

x y y

≥ ⎧ ⎪

= − ⇔ ⎨ −

= − ⇒ =

⎪⎩ Thế vào

2

5

x

y= − vào (2) ta phương trình

2

4

2

x

x +⎛⎜ − ⎞⎟+ − x

⎝ ⎠ =7

4

x x x

⇔ − + − − =0 (3) với điều kiện

x ≤ ≤ Kí hiệu f x

( )

2

f ⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Hơn với

3 0;

4

x∈⎜⎛ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ta có

( )

(

)

'

3

f x x x

x

= − −

− <0 nên f x

( )

3 0;

4

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Và (3) ( )

2

f x f ⎛ ⎞

⇔ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

x ⇔ =

Với

x= vào

2

5

x

y= − ta y=2 Vậy hệđã cho có nghiệm là:

, 2

x=1 y=

PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1. Ta thấy d d1, tạo với Oy góc

0

30 Từđó n 60 ;0 n 300

(7)

2

1 3

2 2

ABC

S∆ = AB BC= AB ⇒ AB = ⇒AB=

2

;

3 3

OA= AB= ⇒A⎛⎜ − ⎞⎟

⎝ ⎠

4

2 ;

3

OC= OA= ⇒C⎛⎜− − ⎞⎟

⎝ ⎠

Đường trịn (T) đường kính AC có: ; ,

2

AC I⎛⎜− − ⎞⎟ R=

⎝ ⎠ =1

Phương trình (T):

2

1

1 2

x y

⎛ + ⎞ ⎛+ + ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ =

2 Viết lại phương trình ∆ dạng tham số:

x=1 2

t y t

z t

+ ⎧ ⎪ = ⎨

⎪ = − − ⎩

Thế vào phương trình (P) ta

(

t

)

t

(

t

)

t

∆ cắt (P) điểm C

(

)

Xét điểm M

(

t y

t z

t

)

(

) (

)

(

)

(

)

2

2 2

2

6

2 1 2( 1)

1 +1 =0; =

MC MC

t t t

t t

= ⇔ =

⇔ + + + + − − =

⇔ + + + =

⇔ + =

⇔ = ±

⇔ −

a.Nếu t=0thì M

(

)

− − = + +

b Nếu t= −2 M

(

)

1

− + + = + + Đáp số :

(8)

Câu VII a (1,0 điểm)

Ta có: ( 2 )2 2 2 1 2

i i i

+ = + + = + i

2

(1 2 )(1 )

1 2

5

z i

i i i

z i

⇒ = + −

= + − −

= + ⇒ = −

i i

Số phức z có phần ảo − B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x+ − =y Tìm tọa độ đỉnh B C biết

điểm E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Lời giải:

Gọi ∆ đường thẳng qua trung điểm AC AB Ta có

(

)

2

d A∆ = + − =

Vì ∆ đường trung bình +ABC

(

)

(

)

d A BC d A

⇒ = ∆ = =

Gọi phương trình đường thẳng BC là: x+ + =y a

Từđó: 6 12 16

28

a a

a

=

+ + ⎡

= ⇒ + = ⇒ ⎢

= − ⎣

Nếu a= −28 phương trình BC x+ −y 28 0= , trường hợp A nằm khác phía BC , vơ lí V∆ ậy a=4, phương trình BC là: x+ + =y

Đường cao kẻ từ A ∆ABC đường thẳng qua A(6;6) và⊥BC:x+ + =y nên có phương trình x− =y

(9)

4

x y x

x y y

− = = −

⎧ ⎧

⇒

⎨ + + = ⎨ = −

⎩ ⎩

Vậy H (-2;-2)

Vì BC có phương trình x+ + =y nên tọa độB có dạng: B(a; -4-a)

Lại H trung điểm BC nên C(-4-a; a)

Suy ra:

(

)

CE a a

AB a a

= + − − = − − − −

JJJG JJJG

)

Vì CE⊥AB nên JJJG JJJGAB CE = ⇒0

(

a

)(

a

) (

a

)(

a

)

⇒ 2 12 0

6

a

a a

a

= ⎡

+ = ⇒ ⎢

= − ⎣

Vậy

(

)

(

)

4;0

B C

− ⎧⎪ ⎨

− ⎪⎩

(

)

(

)

B C

− ⎧⎪ ⎨

− ⎪⎩ Câu VI.b.2

Phương trình tham số ( )

2 2

3

x t

y t

z t

= − + ⎧

⎪

∆ ⎨ = +

⎪ = − + ⎩

Phương trình mặt phẳng (P) qua A ⊥ ∆( ) có: (2;3; 2)

P

n = =v

G G

( ) :2( 0) 3( 0) 2( 2)

2

P x y z

x y z

⇒ − + − + +

⇒ + + + =

=

3

Gọi I giao điểm ( )∆ (P) Ta có tọa độ I nghiệm hệ:

2

3 2

2

x t t

y t x

z t y

x y z z

= − + =

⎧ ⎧

⎪ = + ⎪ = −

⎪ ⇒ ⎪

⎨ = − + ⎨ =

⎪ ⎪

⎪ + + + = ⎪ = −

⎩ ⎩

Vậy I(-2; 2; -3)

Khoảng cách từ A đến ( )∆ độ dài IA= − −( 0)2+ −(2 0)2+ − +( 2)2 =3,

Viết phương trình mặt cầu:

Vì mặt cầu cắt t∆ ại điểm B, C nên I trung điểm BC

(10)

2 2 32 42 25 5

AB =AI +BI = + = ⇒AB=

5 Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là: 2 ( 2)2 2

x +y + +z =

Câu VII.b (1,0 điểm): Ta có:

3

(1 3i) 3 3.3 3 3 3

8

i i

− = − + −

= − − +

= −

3

i

3

2

(1 3) 8(1 )

4

1 1

i

z i

i i i

− − − +

= = = = −

− − − −

4 ; 4 8

8

z i iz z iz i

z iz

⇒ = − + = − − ⇒ + = − −

⇒ + =

i

-

HỆ THỐNG ĐÀO TẠO CÔNG NGHỆ THÔNG TIN QUỐC TẾ