Bài 13.Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm bất kì nằm trên đường chéo AC. Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC lần lượt tại F, G. Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC l[r]
(1)I TỨ GIÁC
VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có B120 ,0 C60 ,0 D900 Tính góc A góc ngồi đỉnh A Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, C 60 ,0 A1000
a) Chứng minh AC đường trung trực BD b) Tính B D,
ĐS: b) B D 1000.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác ngồi góc A góc B cắt F Chứng minh:
AEB C D
AFB A B
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có B D 180 ,0 CB CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Chứng minh:
a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A
Bài 5. Cho tứ giác ABCD biết số đo góc A B C D, , , tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 a) Tính số đo góc tứ giác ABCD
b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có B D 1800, AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD. Bài 7. Cho tứ giác ABCD có Aa,Cb Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường
thẳng AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc EIF theo a b,
Bài 8. a)
VẤN ĐỀ II Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài 1. Cho tứ giác ABCD Chứng minh:
a) AB BC CD AD b) AC BD AB BC CD AD . Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB BD AC CD Chứng minh: AB AC . Bài 3. Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD
a) Chứng minh: AB BC CD AD OA OB OC OD AB BC CD AD2
b) * Khi O điểm thuộc miền tứ giác ABCD, kết luận có khơng? Bài 4. Chứng minh tứ giác thì:
a) Tổng độ dài cạnh đối diện nhỏ tổng độ dài hai đường chéo b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác
(2)Bài 5. a)
II HÌNH THANG – HÌNH THANG VNG 1 Định nghĩa:
Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang vng hình thang có góc vng. 2 Tính chất:
Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy
bằng nhau.
Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song nhau. VẤN ĐỀ I Tính chất góc hình thang
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có A D 20 ,0 B2C Tính góc hình thang Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, BDC300 Tính góc
của hình thang
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: A B C D .
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD)
a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy
b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC
Bài 6. Cho hình thang ABCD có A B 900
AD BC AB
2
Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vuông cân
VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vng
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AM BC
, N trung điểm cạnh AB Chứng minh:
a) Tam giác AMB cân
b) Tứ giác MNAC hình thang vng
(3)III HÌNH THANG CÂN 1 Định nghĩa:
Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy nhau.
2 Tính chất: Trong hình thang cân:
Hai cạnh bên nhau. Hai đường chéo nhau. 3 Dấu hiệu nhận biết:
Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo hình thang cân.
VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất hình thang cân để tính tốn chứng minh
Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF
Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) a) Chứng minh: ACD BDC .
b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA EB . Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD a ,
A B (C D )
Đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC
a) Tính góc hình thang
b) Chứng minh AC phân giác góc DAB c) Tính diện tích hình thang
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có BDC450 Gọi O giao điểm AC BD. a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân
b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm)
ĐS: b) S18(cm2).
VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang cân
Bài 1. Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D AC, E AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ACD BDC Chứng minh ABCD hình thang cân
Bài 3. Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE
a) Chứng minh BDEC hình thang cân
b) Tính góc hình thang cân đó, biết A500.
ĐS: b) B C 65 ,0 CED BDE 1150.
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh:
a) Tam giác BDE tam giác cân
(4)Bài 5. Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh:
a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân
b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC c) DME DMF EMF
ĐS: c) DME DMF EMF 1200.
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, BAC CAD D600.
a) Chứng minh ABCD hình thang cân
b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm
ĐS: b) AD8( )cm .
IV ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 1 Đường trung bình tam giác:
Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác.
Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai
qua trung điểm cạnh thứ ba.
Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy. 2 Đường trung bình hình thang
Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy
qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy.
Bài 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM
Bài 2. Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song
Bài 3. Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh rằng:
DE DI
3
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc C 400, D800, AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC Bài 5. Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ
d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh:
a) PQRS hình thang cân b) SQ MN
1
(5)
a) Chứng minh: AD DC
b) So sánh độ dài BD ID
Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng
b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB a CD b a b , ( ) c) Chứng minh MP = PQ = QN a2b.
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F trung điểm AD BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K
a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID b) Cho AB = 6, CD = 10 Tính EI, KF, IK
Bài 10.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC. a) So sánh độ dài đoạn thẳng EK CD, KF AB
b) Chứng minh:
AB CD EF
2
c) Khi
AB CD EF
2
tứ giác ABCD hình
ĐS: c) ABCD hình thang.
Bài 11.Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết đường chéo nó vng góc với đường cao 10 cm
Bài 12.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’ C’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’
Bài 13.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d nằm tam giác ABC Gọi A’, B’ C’, G’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’
V ĐỐI XỨNG TRỤC
Bài 1. Cho góc xOy500 điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, điểm C đối xứng với A qua Oy
a) So sánh độ dài OB OC b) Tính số đo góc BOC
ĐS: b) BOC1000.
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh hai tam giác BHC BKC
b) Cho BAC700 Tính số đo góc BKC.
(6)Bài 3. Cho hình thang vng ABCD (A D 900) Gọi K điểm đối xứng với B qua AD, E là giao điểm CK AD Chứng minh CED AEB .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K điểm đối xứng với điểm H qua cạnh AB, AC Chứng minh:
a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng b) Tứ giác BIKC hình thang c) IK 2AH.
Bài 5. Cho tam giác ABC, phân giác BM CN cắt I Từ A vẽ đường vng góc với BM CN, chúng cắt BC thứ tự E F Gọi I hình chiếu I BC Chứng minh E F đối xứng qua II
Bài 6. Cho hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA MB ngắn nhất.
Bài 7. Cho góc xOy600 điểm A nằm góc Gọi B, C hai điểm đối xứng với điểm A qua Ox Oy,
a) Chứng minh tam giác BOC tam giác cân Tính góc tam giác b) Tìm điểm I Ox điểm K Oy cho tam giác AIK có chu vi nhỏ nhất.
ĐS: a) BOC120 ,0 OBC OCB 300 b) I, K giao điểm đường thẳng BC với các tia Ox Oy.
Bài 8. Cho tam giác ABC, Cx phân giác ngồi góc C Trên Cx lấy điểm M (khác C) Chứng minh rằng: MA + MB > CA + CB
Bài 9. Cho góc nhọn xOy điểm A góc Tìm điểm B tia Ox điểm C tia Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ
VI HÌNH BÌNH HÀNH 1 Định nghĩa:
Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song.
2 Tính chất: Trong hình bình hành:
Các cạnh đối nhau. Các góc đối nhau.
Hai đường chéo cắt trung điểm đường. 3 Dấu hiệu nhận biết:
Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành. Tứ giác có cạnh đối hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành. VẤN ĐỀ I Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Bài 1. Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC
a) Chứng minh BE DF ABE CDF . b) Chứng minh tứ giác EBFD hình bình hành
(7)Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F
a) Chứng minh DE BFP b) Tứ giác DEBF hình gì?
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB vad CD, M N giao điểm AI CK với BD
a) Chứng minh: AI CKP b) Chứng minh: DM MN NB .
VẤN ĐỀ II Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH vng góc với BD H, CK vng góc
với BD K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành
Bài 3. Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF
a) Chứng minh tam giác AED cân b) Chứng minh AD phân giác góc A Bài 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA
I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành
b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui
Bài 5. Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt D
a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc BDC, biết BAC600.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, AD2AB Từ C vẽ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vng góc với CE, MF cắt BC N
a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? c) Chứng minh: BAD2AEM.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F giao điểm AB CD, AD BC; M, N, P, Q trung điểm AE, EC, CF, FA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC
Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB.b) EMFN hình bình hành
Bài 9. Cho hình thang vng ABCD, có A B 900 AD = 2BC Kẻ AH vng góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI AI
Bài 10.Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F là trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui
VII ĐỐI XỨNG TÂM
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C Chứng minh:
(8)Bài 2. Cho tam giác ABC, trung tuyến BD, CE Gọi H điểm đối xứng với B qua D, K điểm đối xứng với C qua E Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD điểm E cạnh AB, I K trung điểm cạnh AD BC Gọi điểm M, N đối xứng với điểm E qua điểm I điểm K
a) Chứng minh điểm M, N thuộc đường thẳng CD b) Chứng minh MN 2CD.
Bài 4. Cho góc vng xOy, điểm A nằm góc Gọi B điểm đối xứng với A qua Ox, C điểm đối xứng với A qua Oy Chứng minh B đối xứng với C qua O
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AB CD theo thứ tự M N Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng O, điểm E đoạn OD Gọi F điểm đối xứng điểm C qua E
a) Chứng minh tứ giác ODFA hình thang
b) Xác định vị trí điểm E OD để hình thang ODFA hình bình hành
Bài 7. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua tâm G
a) Chứng minh tứ giác BPNC hình bình hành b) Chứng minh tam giác ABC, MNP
c) Chứng minh tam giác ABC, MNP có trọng tâm
Bài 8. Cho tam giác ABC, H trực tâm, I giao điểm đường trung trực K điểm đối xứng với H qua trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh K đối xứng với A qua I
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF
a) Chứng minh E đối xứng với F qua O
b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EF = FK; I K đối xứng với qua O
Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi A' điểm đối xứng với A qua C, B' điểm đối xứng với B qua A, C' điểm đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, B'M' trung tuyến tam giác A'B'C'
a) Chứng minh ABM'M hình bình hành
b) Gọi G giao điểm BM B'M' Chứng minh G trọng tâm hai tam giác ABC tam giác A'B'C'
VIII HÌNH CHỮ NHẬT 1 Định nghĩa:
Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng.
2 Tính chất:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường.
3 Dấu hiệu nhận biết:
(9) Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật. Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật. 4 Áp dụng vào tam giác:
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền.
Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác
là tam giác vng.
VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC, E điểm đối xứng với H
qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K
a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh HG = GK = KE
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì?
ĐS: EFGH hình chữ nhật.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB, K giao điểm EM với AC Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vng cân
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân
c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật
ĐS: c) DC3AB ABPN hình chữ nhật.
Bài 5. Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác, M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB
a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
b) Xác định vị trí điểm O đế tứ giác MNPQ hình chữ nhật
ĐS: b) O thuộc đường cao AH ABC.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M AB)
a) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật
b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh P di chuyển cạnh AC, Q di chuyển cạnh BC điểm I di chuyển đoạn thẳng cố định
ĐS: b) I di chuyển đường trung bình ABC.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vng góc với AB AD Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật
b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng
Bài 8. Cho tam giác ABC H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA; D, E, F trung điểm đoạn HA, HB HC
a) Chứng minh tứ giác MNFD MEFP hình chữ nhật
(10)VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải tốn
Bài 1. Tính độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh góc vng 7cm 24cm
Bài 2. ĐS: AM12,5( )cm .
Bài 3. Cho tam giác ABC cân A, CH đường cao (H AB) Gọi D điểm đối xứng với điểm B qua A
a) Chứng minh tam giác DCB tam giác vuông b) Chứng minh DCA HCB .
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH AC (H AC) Gọi M, K trung điểm AH DC; I, O trung điểm AB IC
a) Chứng minh IC KB MO IC
b) Tính số đo góc BMK
ĐS: b) BMK 900.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MD AB, ME AC O trung điểm DE
a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng
b) Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào? c) Điểm M vị trí cạnh BC AM có độ dài ngắn
ĐS: b) O di chuyển đường trung bình ABC c) M H (AH BC).
Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Vẽ tia AM (M thuộc cạnh DC) cho DAM150. Chứng minh tam giác ABM tam giác cân
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB AH đường cao Trên tia HC lấy HD = HA, đường vng góc với BC D cắt AC E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông A AC = 3AB Trên cạnh góc vng AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Tính ACB AEB
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH BD Gọi I trung điểm DH Kẻ đường thẳng
(11)IX HÌNH THOI 1 Định nghĩa:
Hình thoi tứ giác có bốn cạnh nhau.
2 Tính chất: Trong hình thoi:
Hai đường chéo vng góc với nhau.
Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi. 3 Dấu hiệu nhận biết:
Tứ giác có bốn cạnh hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi.
Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi. VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có C400, D800, AD BC Gọi E, F, M, N trung điểm AB, DC, DB, AC
a) Chứng minh tứ giác EMFN hình thoi b) Tính góc MFN
ĐS: b) MFN600.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi E, F, G, H giao điểm phân giác tam giác OAB, OBC, ODC, ODA a) Chứng minh: ba điểm E, O, G thẳng hàng, ba điểm H, O, F thẳng hàng
b) Chứng minh tam giác AEB CGD c) Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi
Bài 4. Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC E đường thẳng song song với AC, cắt AB F
a) Chứng minh tứ giác AFME hình bình hành
b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình thoi
ĐS: b) M chân đường phân giác góc B ABC.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, D700 Vẽ BH AD (H AD) Gọi M, N lần lượt trung điểm cạnh CD, AB
a) Chứng minh tứ giác ANMD hình thoi b) Tính góc HMC
ĐS: b) HMC 1050.
Bài 6. Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác, AD đường cao Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M vẽ ME AB (E AB) MF AC (F AC) Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh tứ giác DEIF hình thoi
(12)Bài 7. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Hai đường thẳng d1 d2
qua O vng góc với Đường thẳng d1 cắt cạnh AB CD M P Đường
thẳng d2 cắt cạnh BC AD N Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi
VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình thoi để giải tốn
Bài 1. Cho hình thoi ABCD có AC = 8cm, BD = 10cm Tính độ dài cạnh hình thoi
ĐS: AB 41 ( )cm .
Bài 2. Cho hình thoi ABCD có A600 Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN Chứng minh tam giác MDN tam giác
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có A600 Trên AD CD lấy điểm M, N cho AM + CN = AD Gọi P điểm đối xứng N qua BC, MP cắt BC Q Tứ giác MDCQ hình ? Bài 4. Cho P điểm chuyển động tam giác ABC cho PBA PCA Hạ PM AB;
PN AC (M AB; N AC) Gọi K, S hai đỉnh khác hình thoi KMSN Chứng minh
KS qua điểm cố định
X HÌNH VNG 1 Định nghĩa:
Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh nhau.
2 Tính chất:
Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi.
3 Dấu hiệu nhận biết:
Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng.
Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng. Hình thoi có góc vng hình vng.
Hình thoi có hai đường chéo hình vng.
Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng.
VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A Phân giác AD góc A (D BC) Vẽ DF AC, DE
AB Chứng minh tứ giác AEDF hình vng
Bài 2. Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Chứng minh tứ giác EFGH hình vng
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC, chúng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E F
a) Tứ giác AFME hình gì?
(13)Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE
a) Tứ giác ADFE hình gì? b) Tứ giác EMFN hình gì?
Bài 5. Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABCD ACEF Gọi Q, N giao điểm đường chéo ABCD ACEF; M, P trung điểm BC DF Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng
VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình vng để giải tốn
Bài 1. Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E, F cho AE = DF Gọi M, N trung điểm EF, BF
a) Chứng minh tam giác ADF BAE b) Chứng minh MN vuông góc với AF
Bài 2. Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân
b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh BI = DI
c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 3. Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABCD ACEF Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF E Chứng minh DI = IF
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai hình vuông ABEF ADGH Chứng minh:
a) AC = FH AC FH
b) Tam giác CEG tam giác vuông cân
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB, hình vng AMCD, BMEF
a) Chứng minh AE vng góc với BC
b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng
c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB
ĐS: c) DF qua K (K = AF AC).
Bài 6. Cho hình vuông ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M Tia phân giác góc ABM cắt AD I Chứng minh rằng: BI MI
Bài 7. Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E thuộc đường chéo AC Kẻ EF AD, EG CD
a) Chứng minh rằng: EB = FG EB FG
b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui
Bài 8. Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC, hình vng ABDE ACFG Vẽ hình bình hành EAGH Chứng minh rằng:
a) AK = BC AH BC
(14)BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1. Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD tứ giác ABCD thoả điều kiện tứ giác EFGH là:
a) Hình chữ nhật ĐS: AC BD.
b) Hình thoi ĐS: AC = BD.
c) Hình vng ĐS: AC = BD AC BD.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng điểm M qua điểm I
a) Tứ giác AMCK hình gì? b) Tứ giác AKMB hình gì?
c) Có trường hợp tam giác ABC để tứ giác AKMB hình thoi
ĐS: a) AMCK hình chữ nhật b) AKMB hình bình hành c) Khơng.
Bài 3. Cho tam giác ABC vng A Về phia ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACGH a) Chứng minh tứ giác BCHE hình thang cân
b) Vẽ đường cao AK tam giác ABC Chứng minh AK, DE, GH đồng qui
ĐS: b) Đồng qui F với F DE GH .
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD với AB // CD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA
a) Tứ giác MNPQ hình gì?
b) Cho biết diện tích tứ giác ABCD 30cm2 Tính diện tích tứ giác MNPQ
ĐS: a) MNPQ hình thoi b) SMNPQ cm
2 15
.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng điểm M qua điểm D
a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM hình gì?
c) Cho BC = 4cm Tính chu vi tứ giác AEBM
d) Tam giác vng thoả điều kiện AEBM hình vng
ĐS: b) AEMC hình bình hành, AEBM hình thoi c) PAEBM 8cm d) ABC vng cân.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC P, Q
a) Chứng minh AP = PQ = QC b) Tứ giác MPNQ hình gì? c) Xác định tỉ số
CA
CD để MPNQ hình chữ nhật. d) Xác định góc ACD để MPNQ hình thoi
e) Tam giác ACD thoả mãn điều kiện để MPNQ hình vng
ĐS: b) MPNQ hình bình hành c)
CA
CD 3 d) ACD900
e) ACD vuông C CA3CD.
(15)a) Tứ giác OBKC hình gì? b) Chứng minh AB = OK
c) Tìm điều kiện hình thoi ABCD để OBKC hình vng
ĐS: a) OBKC hình chữ nhật c) ABCD hình vng.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB A600 Gọi E, F trung điểm của BC AD
a) Tứ giác ECDF hình gì? b) Tứ giác ABED hình gì? c) Tính số đo góc AED
ĐS: a) ECDF hình thoi b) ABED hình thang cân c) AED900.
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi O trung điểm EF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự M N
a) Tứ giác EMFN hình gì?
b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình thoi c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện để EMFN hình vng
ĐS: a) EMFN hình bình hành b) ABCD hình thang cân c) ABCD hình thang cân có hai đường chéo vng góc.
Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A với AB = AC = a
a) Lấy điểm D cạnh AC điểm E cạnh AB cho AD = AE Các đường thẳng vng góc với EC vẽ từ A D cắt cạnh BC K L Chứng minh BK = KL
b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P cạnh AB, đỉnh N cạnh AC có chu vi 2a Điểm M di chuyển đường nào?
c) Chứng minh hình chữ nhật APMN thay đổi đường vng góc vẽ từ M xuống đường chéo PN qua điểm cố định
ĐS: b) M di chuyển cạnh BC c) HM qua điểm I cố định (với ACIB hình vng).
Bài 11 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh DC, F điểm tia đối tia BC cho BF = DE
a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân
b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD
c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng
Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, A600 Gọi E F trung điểm của BC AD
a) Chứng minh AEBF
b) Chứng minh tứ giác BFDC hình thang cân
c) Lấy điểm M đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác BMCD hình chữ nhật d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A có BAC600 Kẻ tia Ax song song với BC Trên Ax lấy điểm D cho AD = DC
a) Tính số đo góc BAD , DAC
b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân
c) Gọi E trung điểm BC Chứng minh tứ giác ADEB hình thoi
Bài 14 Cho ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi K giao điểm AC DM, L trung điểm BD CM
a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Tứ giác MDPB hình gì? c) Chứng minh: AK = KL = LC
(16)b) Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Chứng minh tứ giác EMFN hình chữ nhật
c) Hình bình hành ABCD nói có thêm điều kiện để EMFN hình vng?
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB, E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC, F giao điểm MK AC
a) Xác định dạng tứ giác AEMF, AMBH, AMCK b) Chứng minh H đối xứng với K qua A
c) Tam giác vng ABC có thêm điều kiện AEMF hình vng?
1 Định nghĩa
Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa
cạnh đa giác đó.
Đa giác đều đa giác có tất cạnh tất góc nhau. 2 Một số kết quả
Tổng góc đa giác n cạnh n
0 ( 2).180 .
Mỗi góc đa giác n cạnh n
n ( 2).180
.
Số đường chéo đa giác n cạnh
n n( 3)
.
3 Diện tích
Diện tích tam giác bằng nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:
S a h
.
Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng:
S 1ab
.
Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó: S ab . Diện tích hình vng bằng bình phương cạnh nó: S a 2. Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao:
S (a b h)
.
Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S ah . Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo:
S 1d d1 2
.
Bài 9. Cho hình thoi ABCD có A600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác
Bài 10.Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác Gọi E, F, G điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm AB, BC, AC Chứng minh lục giác AEBFCG lục giác Bài 11.Cho ngũ giác ABCDE có cạnh A B C .
a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác
Bài 12.Cho ngũ giác ABCDE Gọi K giao điểm hai đường chéo AC BE. a) Tính số đo góc ngũ giác
(17)b) Chứng minh CKED hình thoi
Bài 13.Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm đường chéo AC Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC F, G Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC H, K Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK EGDH có diện tích Bài 14.Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Vẽ BP MN,
CQ MN (P, Q MN)
a) Chứng minh tứ giác BPQC hình chữ nhật b) Chứng minh SBPQC SABC
Bài 15.Cho hình vuông ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh tứ giác ADCM ABCN có diện tích
Bài 16.Cho hình thang vuông ABCD (A D 900), AB = 3cm, AD = 4cm ABC1350 Tính diện tích hình thang
ĐS: SABCD 20cm2.
Bài 17.Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACFG, BCHI Chứng minh SBCHI SABDESACFG.
Bài 18 Diện tích hình bình hành 24cm2 Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến đường thẳng chứa cạnh hình bình hành 2cm 3cm Tính chu vi hình bình hành
ĐS: PABCD 20cm.
Bài 19 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, O, E, N trung điểm AB, BC, CD, DA Các đoạn thẳng AO, BE, CN DK cắt L, M, R, P Chứng minh SABCD 5.SMLPR
Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi E, F trung điểm BA, BC Lấy điểm M đoạn thẳng EF (M E, M F) Chứng minh SAMBSBMC SMAC
Bài 21 Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc đáy BC Gọi BD đường cao tam giác ABC; H K chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC Chứng minh: MH MK BD . Bài 22 Cho hình bình hành ABCD Gọi K L hai điểm thuộc cạnh BC cho BK = KL = LC.
Tính tỉ số diện tích của: a) Các tam giác DAC DCK b) Tam giác DAC tứ giác ADLB c) Các tứ giác ABKD ABLD
ĐS: a)
DAC DCK S S
3
b)
DAC ADLB S S
3
c)
ABKD ABLD S S
4
.
Bài 23 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt G Diện tích tam giác AGB 336cm2 Tính diện tích tam giác ABC
ĐS: SABC 1008cm2.
Bài 24 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = 3DA, cạnh BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F giao điểm AE CD
a) Chứng minh: FD = FC b) Chứng minh: SABC 2SAFB
Bài 25 Cho tam giác ABC, đường cao AH điểm M thuộc miền tam giác Gọi P, Q, R chân đường vng góc kẻ từ M đến BC, AC, AB
(18)Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đwòng thẳng BC D Biết diện tích tam giác ABC
a cm( 2)
a) Tính diện tích hình thang CMND theo a
b) Cho a128cm2 BC 32cm Tính chiều cao hình thang CMND.
ĐS: a) SCMND a cm( 2) b) h4( )cm .
Bài 27.* Cho tứ giác ABCD Kéo dài AB đoạn BM = AB, kéo dài BC đoạn CN = BC, kéo dài CD đoạn DP = CD kéo dài DA đoạn AQ = DA Chứng minh SMNPQ5.SABCD
HD: Từ SPDQ2SDAC, SMNB2SABC, SQAM 2SDAB, SPNC 2SDBC đpcm.
Bài 28 * Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ba đường cao ứng với ba cạnh có độ dài h h ha, ,b c Gọi r khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tam giác đến cạnh tam giác Chứng minh ha hb hc r
1 1
Bài 29 * Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm nằm cạnh BC, CA, AB của tam giác cho đường thẳng AM, BN, CP đồng qui điểm O Chứng minh
Chứng minh:
AP BM CN PB MC NA 1.
HD: Từ
ACP AOP
BCP BOP
S S AP
S S PB
AOC BOC
S AP
S PB (1) Tương tự AOCAOB
S BM
S MC (2), BOCAOB S CN S NA (3)
Nhân (1), (2), (3), vế theo vế, ta đpcm.
Bài 30 Cho tứ giác ABCD Gọi M, P, N, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD; O là giao điểm MN PQ Chứng minh:
a) SAOQSBOP SMPQ b) SAOD SBOC SABCD
1
HD: Vẽ AA, BB, MM vng góc với PQ.
Bài 31 Cho tứ giác ABCD Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC Đường thẳng cắt cạnh DC E Chứng minh: SADE SABCD.
HD: Chú ý: SBAC SEAC.
Bài 32 Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm Hai đường chéo AC BD cắt O. Biết AOB300 Tính diện tích tứ giác ABCD.
ĐS: SABCD 30cm2.
Bài 33 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Gọi I, J, K, L trung điểm AB, BC, CD, DA
a) Tứ giác IJKL hình gì?
b) Cho biết diện tích hình thang ABCD 20cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL
ĐS: a) IJKL hình thoi b) SIJKL 10cm2.
(19)HD: AEFN CFEM hai hình thang có cạnh đáy tương ứng chiều cao nên có diện tích nhau.
BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC
a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK
ĐS: a) SDBE 20,4cm2 b) SEHIK 8,55cm2.
Bài 2. Cho hình vng ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F Tính diện tích tứ giác OEBF
ĐS: OEBF AOB
a
S S
4
.
Bài 3. Tính diện tích hình thang vng, biết hai đáy có độ dài cm cm, góc tạo cạnh bên đáy lớn có số đo 450
ĐS: SABCD 22,5cm2.
Bài 4. Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD, cắt CD E
a) Chứng minh tam giác ACE tam giác vng b) Tính diện tích hình thang ABCD
ĐS: b) SABCD 96cm2.
Bài 5. Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD Chứng minh: SABOSCDO SBCOSDAO
HD: SABO SCDO SBCO SDAO SABCD
1
.
(20)HD: SOAB SODC AB AD ab
1 .
2
.
Bài 7. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB Trên cạnh AC, lấy điểm B cho AN = 2NC Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh:
a) SBIC SAIC. b) BI 3IN.
Bài 8. Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, BC Chứng minh
ABNM ABC
S 3S
HD: Từ SABM SABC SBMN SABC
1 ,
2
đpcm.
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F hai điểm hai cạnh AB DC cho AE = CF; I điểm cạnh AD; IB IC cắt EF M N
Chứng minh: SIMN SMEBSNFC.
HD: Từ SBEFC SIBC SDBC SABCD
1
đpcm.
Bài 10.Cho tứ giác ABCD Chứng minh ta vẽ tam giác mà diện tích nó diện tích tứ giác ABCD
HD: Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Suy SADE SABCD.
Bài 11.Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC Hãy chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích đường thẳng qua D
HD: Xét hai trường hợp:
– Nếu D trung điểm BC AD đường thẳng cần tìm.
– Nếu D không trung điểm BC Gọi I trung điểm BC, vẽ IH // AD (H AB) Từ SADH SADI DH đường thẳng cần tìm.
Bài 12 Cho tam giác ABC có BC = a, đường cao AH = h Từ điểm I đường cáo AH, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC M N Vẽ MQ, NP vng góc với BC Đặt AI = x
a) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, h, x
b) Xác định vị trí điểm I AH để diện tích tứ giác MNPQ lớn
ĐS: a) MNPQ
ax h x S
h ( )
b)
ah h
S khi x max
4
I trung điểm AH.
Bài 13 Cho tam giác ABC ba đường trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh sáu tam giác tạo thành tam giác ABC có diện tích
Bài 14 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N trung điểm AB, CD Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD E, MN I, BC F Chứng minh IE = IF
HD: Từ SAMND SBMNC,SEAM SFBM,SEDN SFCN SEMN SFMN EK FH EKI FHI EI = FI.
Bài 15 Cho tứ giác ABCD Qua trung điểm K đường chéo BD, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích
HD: Xét trường hợp:
a) E thuộc đoạn AD b) AC qua trung điểm K BD c) E nằm đoạn thẳng AD.
Bài 16 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M, N cho AM = MN = NC Đường thẳng qua M, song song với AB, cắt đường thẳng qua N song song với BC O Chứng minh OA, OB, OC chia tam giác ABC thành ba phần có diện tích
Bài 17.* Cho ngũ giác ABCDE Hãy vẽ tam giác có diện tích diện tích ngũ giác ABCDE.
(21)Bài 18 a)
I ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1 Tỉ số hai đoạn thẳng
Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo. Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.
2 Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD có tỉ lệ thức: AB A B
CD C D
hay
AB CD A B C D 3 Định lí Ta-lét tam giác
Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định ra hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
AB AC AB AC AB AC B C BC
AB AC B B C C B B C C; ;
P
4 Định lí Ta-lét đảo
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác.
AB AC B C BC B B C C
P
5 Hệ quả
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho.
AB AC B C B C BC
AB AC BC
P
Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh lại.
A
B C
B’ C’
6 Tính chất đường phân giác tam giác
Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn
AD, AE phân giác ngồi góc BAC
DB AB EB DC AC EC 7 Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức
(22)ad bc a b c d a c
a b c d b d
b d
a c a c a c b d b d b d
VẤN ĐỀ I Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 35.Cho tam giác ABC, G trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các cạnh AB, BC D E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD EC 16cm chu vi tam giác ABC 75cm
HD: Vẽ DN // BC DNCE hbh DE = NC DE = 18 cm.
Bài 36.Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD = 3MA
a) Tính tỉ số NB NC .
b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm Tính MN
HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN P ABNP, PNCQ hbh NB NC
1
. b) Vẽ PE // AD MPED hbh MN = 11 cm.
Bài 37.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C cho
AB AC AB AC
Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC C
a) So sánh độ dài đoạn thẳng AC AC b) Chứng minh BC // BC
HD: a) AC = AC b) C trùng với C BC // BC.
Bài 38.Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B, C, H
a) Chứng minh
AH B C AH BC
b) Cho AH AH
1
diện tích tam giác ABC 67,5cm2 Tính diện tích tam giác ABC
HD: b) SAB C SABC cm
2
1 7,5
9
.
Bài 39.Cho tam giác ABC Gọi D điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC
HD: Vẽ BM AC, DN AC DN
BM 0,75.
Bài 40.Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M AB; F, N AC)
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF
(23)HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) SMNFE SABC cm 90 .
Bài 41.Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh AB, BC tia DA, DC theo thứ tự điểm M, N, P, Q
a) Chứng minh:
IM IB OA OB
IM IB OD IP ID OB . b) Chứng minh:
IM IN IP IQ .
HD: Sử dụng định lí Ta-lét.
Bài 42.Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD. Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn
HD: Gọi M, N giao điểm DE BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC.
Bài 43.Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD ở M, cắt cạnh BC N Biết
DM CN m
MA NB n Chứng minh rằng:
mAB nCD MN m n .
HD: Gọi E giao điểm MN với AC Tính
m n
EN AB ME CD
m n , m n
.
Bài 44.Cho tứ giác ABCD có góc B D góc vng Từ điểm M đường chéo AC, vẽ MN BC, MP AD Chứng minh:
MN MP AB CD 1.
HD: Tính riêng tỉ số
MN MP
AB CD; , cộng lại.
Bài 45.Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC I cắt cạnh BC ở N, cắt đường thẳng AB M
a) Chứng minh tích AM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua D b) Chứng minh hệ thức: ID2 IM IN .
Bài 46.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C Chứng minh:
ABC AB C
S AB AC S AB AC
HD: Vẽ đường cao CH CH
AC CH ACC H .
Bài 47.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm D, E, F cho AD AB
4
, BE BC
, CF CA
Tính diện tích tam giác DEF, biết diện tích tam giác ABC a cm2( 2)
HD: SBED SCEF SADF SABC
3 16
SDEF a cm 2
7 ( )
16
.
Bài 48.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho AK BK
1
Trên cạnh BC lấy điểm L cho CL BL
(24)HD: Vẽ LM // CK
BLQ CLQ
BLA CLA
S S
S S
4
SABC SBQC a cm 2
7 7 ( )
4
.
Bài 49.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho: AD BE CF
AB BC CA
Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC S
HD: Gọi M, P, T giao điểm AE CD, AE BF, BF CD Qua D vẽ DD// AE Tính
DD CM
ME CD
7
6
SCMA SCAD SABC S
6 2
7 7
.
MPT ABC CMA APB BTC
S S (S S S ) 1S
.
Bài 50.Cho a)
VẤN ĐỀ II Chứng minh hai đường thẳng song song
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho
AE AH CF CG AB AD CB CD .
a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành
b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi
HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF PEFGH 2(AI IJ JC ) 2 AC.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC
a) Chứng minh IK // AB
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF
HD: a) Chứng minh
MI MK IK AB IA KB P .
Bài 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng:
a) MP song song với AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui
HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F
a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD
b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH
HD: a) Chứng minh
AE AF
AB AD b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH. Bài 5.
(25)VẤN ĐỀ III Tính chất đường phân giác tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK
AH
a) Tính độ dài AB
b) Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH
HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD
HD:
ABD ACD
S m
S n .
Bài 3. Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC
b) Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC
HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD
a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC?
HD: a) ADM ABC
n m
S S
m n 2( )
b) SADM 20%SABC.
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE
a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC
HD: a) AD2,5cm b) OG // DM OG // AC.
(26)HD:
DA EA DE BC DB EC P .
Bài 7. Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG
HD:
BG BE CD BA CD AB CF BD CE AC BD AC
1
.
Bài 8. Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7,
a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm c) Tính tỉ số
OP OC. d) Chứng minh:
MB NC PA MC NA PB 1.
e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB
1 1 1
HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c)
OP OC
1
e) Vẽ BD // AM BD < 2AB
AC AB AM
AC AB
AM AB AC
1 1
2
.
Tương tự: BN AB BC
1 1
2
, CP AC BC
1 1
2
đpcm.
Bài 9. Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N
a) Chứng minh MM // BC
b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN AI?
HD: a) Chứng minh
AM AN BM CN .
Bài 10 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D600 Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số
4
11 cắt đáy AB M Tính các cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm
HD: Chứng minh DC = AB + AD DC = AB + AM MB MA
3
DC = 66cm, AB = 42cm.
Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC ở G Chứng minh hệ thức:
AB AD AC AE AF AG.
HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN.
Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng qui
HD:
Bài 13. a)
(27)II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Khái niệm hai tam giác đồng dạng
a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: A A B B C C A B B C C A
AB BC CA
, , ;
Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng: A B C ABC.
b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh cịn lại thì tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho.
Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác song song với cạnh lại.
A
B C
M N
2 Các trường hợp đồng dạng hai tam giác
Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với nhau.
A B B C C A AB BC CA
ABCABC
Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với nhau.
A B A C A A
AB AC ,
ABCABC
(28)AA B B,
ABCABC
3 Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông
Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có một góc nhọn góc nhọn tam giác vng kia hai tam giác vng đồng dạng với nhau.
Trường hợp 2: Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng
của tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau.
Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng của tam giác vng tỉ lệ với
cạnh huyền cạnh góc vng của tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau.
4 Tính chất hai tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng với thì:
Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng. Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng. Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng.
VẤN ĐỀ I Sử dụng tam giác đồng dạng để tính tốn Bài 1. Cho tam giác ABC đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k
a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác b) Cho k
3
hiệu chu vi hai tam giác 40dm Tính chu vi tam giác
HD: a)
P k P
b) P 60( ),dm P100( )dm .
Bài 2. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k
Tính chu vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác ABC 27cm
HD: P20,25( )cm .
Bài 3. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75cm Tính độ dài cạnh ABC
HD: A B 15 ,cm B C 25 ,cm A C 35cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC đường cao BH, CK
a) Chứng minh ABH ACK b) Cho ACB400 Tính AKH
HD: b) AKH ACB 400.
Bài 5. Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP
a) Chứng minh BHP CHB b) Chứng minh:
(29)c) Chứng minh CHD BHQ Từ suy DHQ900
HD: c) Chứng minh DHQ CHD CHQ BHQ CHQ BHC 900.
Bài 6. Hai tam giác ABC DEF có A D , B E , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. a) Tính độ dài cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm b) Cho diện tích tam giác ABC 39,69cm2 Tính diện tích tam giác DEF
HD: a) ABC DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF 22,33(cm2).
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC
a) Chứng minh AKI ABC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKHI
HD: b) SABC 39cm2 c) SAKHI cm 216
13
.
Bài 8. Cho tam giác ABC, có A900B, đường cao CH Chứng minh: a) CBA ACH b) CH2 BH AH
Bài 9. Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC S
HD: GMN
S S
12
.
Bài 10 Cho hình vng ABCD, cạnh a. Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA
a) Chứng minh EMC ECB b) Chứng minh EB.MC = 2a2 c) Tính diện tích tam giác EMC theo a
HD: c) SEMC a
2
.
Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, lấy điểm M cho 2AM3MB Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC D
a) Chứng minh AMN NDC
b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm Tính diện tích cáctam giác AMN, ABC NDC
HD: b) SAMN 24cm2, SABC cm
2 200
3
, SNDC cm
2 32
3
.
VẤN ĐỀ II Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Bài 1. Cho tam giác ABC Gọi A, B, C trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ABCCAB
b) Tính chu vi ABC, biết chu vi ABC 54cm
HD: b) P 27( )cm .
(30)tam giác EFH
HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trọng tâm tam giác.
Bài 3. Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM, BN, CP đồng qui O Qua A C vẽ đường thẳng song song với BO cắt CO, OA E F
a) Chứng minh: FCM OMB PAE PBO b) Chứng minh:
MB NC PA MC NA PB 1.
HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét tam giác đồng dạng.
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = 8cm, AE = 6cm
a) Chứng minh AED ABC
b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25cm c) Tính góc ADE, biết C200.
HD: b) PADE 24( )cm c) ADE200.
Bài 5. Cho góc xOy xOy( 180 )0 Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = 8cm, OD = 10cm
a) Chứng minh: OCB OAD
b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh BAI DCI .
HD:
Bài 6. Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD
a) Tính tỉ số BM
CN b) Chứng minh
AM DM AN DN .
HD: a) Chứng minh BDM CDN BM CN
6
b) Chứng minh ABM CAN.
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE AB CF AD, BH AC
a) Chứng minh ABH ACE b) Chứng minh: AB AE AD AF AC
HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH đpcm.
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh OA.OD = OB.OC
b) Đường thẳng qua O, vng góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh
OH AB OK CD .
HD: a) Chứng minh OAB OCD.
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AH, BK, CI a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI OCB
c) Chứng minh BOH BCK d) Chứng minh BO BK CO CI BC
HD:
Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC
b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh EMB CAB
c) Tính EB EM
d) Chứng minh BH vng góc với EC e) Chứng minh HA.HC = HM.HE
HD: a) BC 9( )cm c) EM 6( ),cm EB7,5( )cm
(31)a) Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng
b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH
HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm.
Bài 12 Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC cm
20
a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ABH CAH Từ tính BAC
HD: a) AH = 4cm b) BAC900.
Bài 13 Cho tứ giác ABCD, có DBC900, AD 20cm, AB4cm, DB6cm, DC9cm. a) Tính góc BAD b) Chứng minh BAD DBC c) Chứng minh DC // AB
HD: a) BAD900 Bài 14.
a)
HD:
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D
a) Tính DB DC.
b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh EDC ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC
HD: a)
DB DC
3
c) DE60 ( )7 cm , SEDC cm
2 2400 ( )
49
.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK
a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK
HD: c)
a HC
b 2
,
a KH a
b
2
.
Bài 3. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH BI 2 Chứng minh:
a) KBI ICH b) KIH KBI
c) KI phân giác góc BKH d) IH KB HC IK HK BI .
(32)Bài 4. Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM
a) Chứng minh HD DM HM .
b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh AFE ABC
d) Gọi O trực tâm ABC Chứng minh BO BF CO CE BC 2.
HD: a) AB < AC DC > MC,
CAH A
D nằm H M đpcm. b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH
Bài 5. cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho
AD AE AB AC . Đường trung tuyến AI (I BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE
HD:
DH HE
BI IC đpcm.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông A, C300 đường phân giác BD (D AC). a) Tính tỉ số
DA
CD b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC.
HD: a) DA DC
b) BC = 25cm, AC = 21,65cm.
Bài 7. Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DME600.
a) Chứng minh
a BD CE
4
b) Chứng minh MBD EMD ECM EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE
HD: c) Vẽ MH DE, MK EC MH = MK;
a MK MC2 CK2
4
.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân A, A200, AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DBC 200.
a) Chứng minh BDC ABC
b) Vẽ AE vuông góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE c) Chứng minh a3b33ab2.
HD: b) b AE , b DE a , a AD b b
c) AD2DE2AE2 đpcm. Bài 9. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC
tại N, P trung điểm NC
a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP
b) Cho biết diện tích ABC S tính diện tích tam giác ANK
c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh
AB AC AI AJ 6.
HD: a) ANK AMP S S
b) SAMP SAMC SAMC SABC
3 ;
(33)AB AE AC AH
AI AK AJ, AK đpcm.
Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm các đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh OMN HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh HAG OMG
d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO
HD: b) AH = 2OM d) HGO HGM MGO HGM AGH MGA 1800 đpcm. Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE,
HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF
HD: ABG FEH đpcm.
Bài 12 Cho hình thang vng ABCD (AB // DC, A D 900) Đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Chứng minh BD2 AB DC .
HD: Chứng minh ABD BCD.
Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho
OB CE
BD
Chứng minh: a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng
b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác
c) DO phân giác góc BDE, EO phân giác góc CED
d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB
HD: d) Vẽ OI DE, OH AC OI = OH.
Bài 14 Cho tam giác ABC, B C, góc nhọn Các đường cao AA, BB, CC cắt H
a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC
b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A A 3A B A C .
HD: a) Chứng minh BAH BBC, CAACBB b) GH // BC
A A A H
3
.
Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ một đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM
1 1
HD: Tính tỉ số
EF EF LM KN, .
Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC và BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh:
AF BE CN AB BC CA 1.
HD: Chứng minh
AF KC CN KE
AB BC CA , BC đpcm.
(34)CA, AB A, B, C Chứng minh:
OA OB OC AA BB CC
.
HD: Vẽ AH BC, OI BC
OA OI AA AH
;
BOC ABC S OI S AH
BOC ABC
S OA
S AA
. Tương tự:
COA AOB
ABC ABC
S OB S OC
S BB S, CC
đpcm.
Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O
PB QC RA
PC QA RB 1 (định lí Ceva).
HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt đường thẳng CR D Chứng minh
PB OB RA AD QC EC
PC EC RB OB QA , , AD đpcm.
Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng
PB QC RA
PC QA RB 1 (định lí Menelaus).
HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p. Ta có:
PB n QC p RA m
PC p QA m RB, , n đpcm. Bài 20
a)
HD:
I Mở đầu hình học khơng gian 1 Đường thẳng, mặt phẳng
– Qua ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng. – Qua hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng.
– Đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng đó thuộc mặt phẳng.
2 Hai đường thẳng song song không gian
– Hai đường thẳng a, b gọi song song với chúng nằm mặt phẳng điểm chung Kí hiệu a // b.
– Hai đường thẳng phân biệt, song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau.
Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt không gian có thể:
– Cắt nhau – Song song – Chéo (không nằm mặt phẳng)
3 Đường thẳng song song với mặt phẳng
– Một đường thẳng a gọi song song với mặt phẳng (P) đường thẳng khơng nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng
Kí hiệu a // (P).
– Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung.
4 Hai mặt phẳng song song
– Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) // (P).
– Hai mặt phẳng song song với khơng có điểm chung.
(35)– Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có chung đường thẳng qua điểm chung (đường thẳng chung đgl giao tuyến hai mặt phẳng).
5 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
– Đường thẳng a gọi vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) Kí hiệu a (P).
– Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) điểm A vng góc với mọi đường thẳng nằm (P) qua điểm A.
6 Hai mặt phẳng vng góc
– Mặt phẳng (Q) gọi vng góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) (P).
II Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương Hình hộp chữ nhật có: mặt hình chữ nhật, đỉnh, 12 cạnh. Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng. Thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc. Thể tích hình lập phương cạnh a là: V a 3.
III Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có:
– Hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song.
– Các cạnh bên song song, vuông góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên đgl chiều cao hình lăng trụ đứng.
– Các mặt bên hình chữ nhật vng góc với hai mặt phẳng đáy. – Hình hộp chữ nhật, hình lập phương hình lăng trụ đứng.
– Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành đgl hình hộp đứng.
Diện tích - Thể tích
– Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao:
xq S 2ph
(p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)
– Diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy.
tp xq
S S 2S
(S: điện tích đáy)
– Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao:
V S h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) IV Hình chóp - Hình chóp cụt
Hình chóp có:
– Đáy đa giác, mặt bên tam giác có chung đỉnh. – Đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy gọi đường cao.
Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân
bằng có chung đỉnh.
– Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường trịn qua đỉnh mặt đáy.
– Đường cao vẽ từ đỉnh mặt bên hình chóp đgl trung đoạn hình chóp đó.
Hình chóp cụt phần hình chóp nằm mặt phẳng đáy hình chóp mặt
phẳng song song với đáy cắt hình chóp.
– Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân.
Diện tích - Thể tích:
– Diện tích xung quanh hình chóp tích nửa chu vi đáy với trung đoạn:
xq S p d
(p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)
– Diện tích tồn phần hình chóp tổng diện tích xung quanh diện tích đáy:
tp xq
S S S
(36)– Thể tích hình chóp phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao:
V S h
(S: diện tích đáy, h: chiều cao)
* Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đó.
VẤN ĐỀ I: Chứng minh tính chất song song - vng góc
Bài 51.Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp(ABC) Nối S với A, B, C Gọi M, N, P, Q lần lượt trung điểm AB, BC, SC, SA
a) Chứng minh MQ // mp(SBC) NP // mp(SAB) b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
Bài 52.Cho hình thang vng ABCD, B C 900 AD không song song với BC Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) B, lấy điểm S nối S với A, C, D
a) Chứng minh AB mp(SBC)
b) Chứng minh mp(SBC) mp(ABCD)
c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD)
Bài 53.Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) O, lấy điểm S nối S với A, B, C, D
a) Chứng minh mp(SAC) mp(SBD)
b) Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Chứng minh mp(MNPQ) // mp(ABCD)
c) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác biết AB = a
HD: c) MNPQ hình vng; SMNPQ a
2
.
Bài 54.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH.
a) Đường thẳng BF vng góc với mặt phẳng nào? b) Chứng minh mp(AEHD) mp(CGHD)
c) Gọi M, P theo thứ tự trung điểm AE, CG Chứng minh MP // AC
d) Gọi N, Q theo thứ tự trung điểm BF, DH Chứng tỏ M, N, P, Q nằm mặt phẳng mp(MNPQ) song song với mặt phẳng nào?
Bài 55. a)
VẤN ĐỀ II: Tính diện tích - thể tích
Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 12cm, AD = 16cm, AA = 25cm a) Chứng minh ACCA, BDDB hình chữ nhật
b) Chứng minh BD2 AB2AD2AA2.
c) Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD
Bài 2. Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm chiều cao 0,5dm vào thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miện thùng bao nhiêm dm? (giả thiết toàn gạch ngập nước gạch không thấm nước)
(37)Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a M trung điểm cạnh BC A MA 600.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AA
b) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ
ĐS: a)
a AA
2
b) xq tp
a a
S 2;S (9 3) 2;V 3a3
2
.
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a DAB600, AA = a
a) Chứng minh mp(ABD) // mp(CBD) b) Chứng minh mp(ACCA) mp(BDDB)
c) Tính diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ
ĐS: c) tp
a S (4 3) ;a V2 3
2
.
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác đều, AA = 5cm BAB 450. Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ
ĐS: Sxq cm V cm
2 125 3
75 ;
4
.
Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB = a, AD = b M N hai điểm cạnh AB, BC Mặt phẳng (MDD) cắt AB M, mặt phẳng (NDD) cắt BC N Các mặt phẳng chia hình hộp thành ba phần tích
a) Tính AM, CN theo a, b
b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng DMN.DMN BMN.BMN
ĐS: a)
a
AM ;CN 2b
3
Sử dụng giả thiết thể tích. b)
DMN D M N BMN B M N V
V . 5.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 25cm, đáy hình vng có cạnh 30cm
a) Tính độ dài đường cao, diện tích tồn phần thể tích hình chóp
b) Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng, O trung điểm SO Cắt hình chóp mặt phẳng qua O song song với mp(ABCD) ta hình chóp cụt ABCD.ABCD Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cụt
ĐS: a) SO cm Stp cm V cm
2
5 43 ; 2100 ; 1500 43
b) Sxq cm V cm
2 2625 43
900 ;
2
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R = OA = 3cm M, N, P trùng điểm cạnh AB, BC, CA
a) Chứng minh SMO SNO SPO .
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp, biết SMO600.
Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD
a) Chứng minh hình chóp S.ABCD hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.ABCD hình lập phương
ĐS: b)
S ABCD ABCD A B C D
V V .
1
(38)Bài 10 Cho hình chóp lục giác S.MNOPQR H tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy có bán kính R = HM = 12cm, chiều cáo SH = 35cm
a) Tính diện tích đáy thể tích hình chóp
b) Tính độ dài cạnh bên SM diện tích tồn phần hình chóp
ĐS: a) SMNOPQR cm V cm
2
6 108 ; 70 108
b)
tp
SM 37 ;cm S 36 1333 108 ( cm2)
Bài 11 Cho hình chóp cụt ABC.ABC có cạnh AB = 2a, AB = a, đường cao mặt bên a
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt
b) Tính cạnh bên, chiều cao thể tích hình chóp cụt
ĐS: a) xq
a S
2
b)
a AA
2
,
a OO 17
2
, VABC A B C a
3 65
.
Bài 12 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD, M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA
a) Chứng minh hình chóp S.MNPQ hình chóp
b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.MNPQ hình hộp đứng
ĐS: b)
V V1
1
.
Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 8cm, chiều cao 10cm. a) Tính diện tích tồn phần hình chóp
b) Tính thể tích hình chóp
ĐS: a) Sxq cm Stp cm
2
16 116 ( ), 16 116 64( )
b) V cm
3 640 ( )
3
.
Bài 14. a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD hình thang vng có A D 900, AB = BC = AA = 4cm, C600.
a) Chứng minh mp(ABBA) mp(ADDA)
b) Tính diện tích tồn phần, thể tích hình lăng trụ đứng
ĐS: b) Sxq cm V cm
2
34,92( ), 69,20( )
.
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Tứ giác AACC hình gì?
b) Gọi O giao điểm AC AC Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng c) Tính thể tích hình hộp, biết AD = 4cm, AB = 3cm, BD = 13cm
ĐS: a) AACC hình chữ nhật b) O trung điểm BD c) V 144(cm3).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác có cạnh 4cm Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a) Chứng minh SAH SBH SCH .
b) Tính thể tích hình chóp, biết SAH 450.
(39)Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy hình thoi cạnh 6cm, góc ABD600. Gọi M, N trung điểm cạnh AA, CC
a) Tứ giác BMDN hình gì?
b) Khi tứ giác BMDN hình vng, tính thể tích hình lăng trụ
ĐS: a) BMDN hình thoi b) V 264,72(cm3)
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD hình vng, AB = 20cm, AA = 19,4cm
a) Chứng minh tứ giác ABCD, CDAB hình chữ nhật b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp
c) Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh S.ABCD hình chóp
d) Tính độ dài cạnh bên SA, diện tích tồn phần thể tích hình chóp
ĐS: b) Stp cm V cm
2
2352( ), 7760( )
d) SA cm Stp cm V cm
2
24( ), 1272( ), 2586,7( )