Th«ng thêng gÆp tæng nhiÒu sè h¹ng ®Ó tÝnh nhanh tæng nµy ta ghÐp thµnh nh÷ng cÆp thÝch hîp ®Ó chia tæng thµnh nh÷ng cÆp sè cã gi¸ trÞ b»ng nhau hoÆc cã quan hÖ víi nhau2. NÕu gÆp nh÷ng [r]
(1)25I Khái quát nội dung chính A : Đặt vấn đề
- Vai trò, tác động toán học với đời sống, với ngành khoa học kỹ thuật
- VÞ trÝ môn toán trờng THCS
- Khả học toán em trờng THCS
- Do yêu cầu đổi phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động " B Giải vấn đề
ý tởng nghiên cứu đề tài từ toán thực tế với cách giải độc đáo đợc đúc rút từ vận dụng linh hoạt nội dung ch-ơng trình
Phơng pháp dạy học thầy, cách tìm tòi thực nghiệm để đúc rút dạng vận dụng kiến thức vào làm phép tính nhẩm
Tám dạng tập khác nhau, dạng nêu ví dụ cụ thể, sở cách làm, làm nh
Dạng 1 : Nhẩm bình phơng số có chữ số tận
Dng 2 : Vận dụng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính
nhÈm
Dạng 3 : Nhẩm bình phơng số lớn 50 chút
Dạng 4 : Nhẩm bậc hai số phơng
Dạng 5 : NhÈm tÝch hai sè nhá h¬n 100 mét chút
Dạng 6 : Nhân nhẩm tích hai sè lín h¬n 100
Dạng 7 : Nhẩm tích hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống Tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị hai thừa số 100
D¹ng 8 : TÝnh nhanh mét sè biĨu thøc
D¹ng 9 : DÃy phân thức viết theo quy luật
Dạng 10 : Nhận xét , đề suất cách giải số dạng tốn khác
C KÕt qu¶ thùc hiƯn - Bµi häc kinh nghiƯm
- Kết qua số năm giảng dạy gần - Bài học rút qua đề tài
II Néi dung chi tiÕt
A Đặt vấn đề :
Trong thời đại công nghiệp hoá , đại hoá ngày , điểm đáng ý cách mạng khoa học kĩ thuật diễn nhanh nh vũ bão thâm nhập ngày nhiều máy tính điện tử , cơng nghệ thơng tin vào ngành khoa học khác mà chìa khố tốn học
(2)Trong nghiệp cơng nghiệp hố, đại hố nớc ta , toán học giữ vị trí bật Nó có tác dụng lớn nghành khoa học khác , kỹ thuật , sản xuất , chiến đấu … Trong trờng THCS mơn tốn có vị trí vơ quan trọng Nó có khả to lớn để thực mục tiêu giáo dục : "Nâng cao dân trí, bồi dỡng nhân lực , đào tạo nhân tài" Mơn tốn cơng cụ thiết yếu giúp em học tốt môn học khác , giúp em phát triển lực phẩm chất trí tuệ Chúng ta biết : Một yêu cầu việc dạy học sinh học toán tạo cho em có phơng pháp t , óc sáng tạo , khả lập luận , kỹ tính tốn hợp lý , trình bày khoa học , rõ ràng Tuy nhiên trờng THCS , đặc biệt vùng nơng thơn tình trạng em học yếu tốn , sợ tốn khơng phải , kiến thức tốn học hời hợt , thiếu vững Nhiều em nghĩ tốn học khơ khan , hóc búa , học tốn đau đầu Trớc tốn nhiều em khơng ? Làm ? Nếu giáo viên thuyết trình học sinh thụ động Do em sợ , yếu , không nắm đợc kiến thức
Trớc yêu cầu đổi phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động " , làm để củng cố đào sâu suy nghĩ rèn luyện t toán học Làm để giúp em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác học tập ? Câu hỏi làm băn khoăn suy nghĩ để qua tự tìm hiểu , nghiên cứu cách thức phơng pháp , tơi thấy ph-ơng pháp sử dụng phép tính nhẩm tâm đắc Tôi
đem trao đổi anh chị em đồng nghiệp , họ mang thực nghiệm thực tế giảng dạy Và thấy kết thu đợc khả quan
B Giải vấn đề
1a) Khi bồi dỡng cho em giỏi tốn , tơi cho em làm tập sau :
Tính giá trị biểu thức : A = 11
4 0,8 +
20,04 2211 2004 22,11
-2,003 :95,9 20,03: 959
Trong đại đa số em khác dùng máy tính để tính giá trị biểu thức A Tôi quan sát không thấy em Kiên làm mà ngồi suy ngẫm , sau em hỏi : " Tha cô A = " Nhiều em ngỡ ngàng khơng tin em nói đáp số mà khơng cần dùng máy tính , khơng làm nháp Em trình bày nhận xét :
Em nhËn thÊy 11
4 0,8 hai số nghịch đảo :
11
4 =
5
4 ; 0,8 =
5 =>
1
4 0,8 =
(3)Qua lời giải xác định đợc linh hoạt em Kiên dựa vào kiến thức vận dụng cách sáng tạo nội dung sau toán học :
+ Quan hệ thừa số với kết phép nhân ( chia ) + Quy tắc biểu diễn hỗn số phân số
+ Rót gän ph©n sè
+ Quy tắc nhân phân số ( xác định số nghịch đảo ) + Thứ tự thực phép tính
1b) Khi luyện tập giải tốn : Khơng phải em thấy vai trò phép tính nhẩm, khơng phải thích thú với phép tính nhẩm Nhiều em cho thời đại công nghệ thông tin điện tử cần bấm máy tính xong , khơng cần tính nhẩm làm cho đau đầu Để giúp em bỏ quan điểm yêu cầu em nghiên để giải tốn mà nhiều tính nhẩm cịn nhanh bấm máy Chẳng hạn toán sau :
1) T×m a N biÕt : a(a −1)
2 = 36
2) T×m x biÕt : 150x
+15 - 150
x =
3) TÝnh tÝch : +/ ( a2+ a + ) ( a2 - a - )
+/ ( a + )( a23
-1 +
2
a2+2a+1 )
4) Thu gän biÓu thøc : A = 2x
2
+xy+3y2−−− 3x2xy2y2
5) Tính giá trị biểu thức :
A = 2004(1 6)(1 7) (1 9 9)
B = ( 100 - 12 ) ( 100 - 22 ) …( 100 - 252) Lời giải toán thực khơng có khó nh khơng có u cầu tính nhẩm , tìm tịi lời giải nhanh , đơn giản Để giúp em thực đợc yêu cầu đề yêu cầu em thực quy trình sau :
+ nhà : Cá nhân tự nghiên cứu , đề xuất cách giải + Đến lớp : Tiết : Thảo luận cách giải nhóm
Tiết : Thảo luận cách giải hay nhóm Tiết : áp dụng cách giải hay vào tốn khác
Chẳng hạn vào ba ví dụ sau
* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dơng phơng trình có d¹ng x ( x + ) = p hay ( x - ) x = q
Cụ thể : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dơng phơng trình : ( x - ) ( x + ) = 65
Ta thấy x nguyên , dơng nên x + > x - ; 13 = 65
(4)* Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 12a2 - 15 ab + 3b2 thừa số để từ rút
ra cách phân tích đa thức có dạng : Số hạng có hệ số đối tổng hệ số hai số hạng lại tích hệ số hai số hạng tích hệ số hai số hạng cịn lại
* VÝ dơ 3 : ¸p dụng công thức nhân nhanh : chẳng hạn áp dụng a2 = ( a - b ) ( a + b ) + b2 vµo tÝnh nhÈm 1152 , 352 …
Trong tập yêu cầu em tự đặt trả lời câu hỏi : " Tại làm nh ? " , " Cịn có cách ngắn không ? "
2 Không phải học sinh tự giác làm , chịu khó suy nghĩ tìm lời giải hay Bản thân ngời dạy phải lựa chọn phơng pháp giảng dạy cho phù hợp để hớng em vào mục tiêu đề Qua nghiên cứu thực nghiệm, lựa chọn phơng pháp dạy nh sau :
+ Để em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, ngời thầy cần dạy, trọng tâm , kiến thức xác , ngơn ngữ truyền đạt sáng , có sức thuyết phục , phải xây dựng đợc khơng khí thầy trị làm việc " Thầy chủ đạo , trò chủ động "
+ Thầy trò mạn đàm trao đổi để thực theo quy trình đợc thống tập thể Cụ thể :
a) Khi đợc cung cấp tốn , trị cần tạo thói quen suy nghĩ : đâu ? (với đề toán) Phải làm ? (Thấy đợc tốn rõ ràng , sáng sủa tốt) Làm nh tiện lợi ? (quen với toỏn)
b) Khi hiểu , cần sâu nghiên cứu xây dựng chơng trình (Thầy dùng lời nhắc nhở , kiên nhẫn)
c) Thực chơng trình d) Nhìn lại cách giải
e) Tìm cách giải khác Các em cần ln đặt câu hỏi : " Còn cách hợp lý không ? Cách ngắn ? "
Với phần 1(b) : a(a −1)
2 = 36 => a( a - ) = 72
=> a2 - a - 72 =
+ Ta dùng cơng thức nghiệm để giải phơng trình bậc hai ẩn
+ T«i cho em nhận xét a a - hai số nguyên dơng Đó hai số tự nhiên liên tiếp bảng nhân ta cã 9.8 = 72
=> a = * Từ nhận xét cá em dễ dàng giải phơng trình dạng ( x - n )( x + m) = q
Với phần (b) :
TÝnh ( a2 + a + ) ( a2 - a - ) VËn dụng nhân hai đa thức em có
th tính đợc kết Nhng quan sát hạng tử hai đa thức ta tính nhanh
[ a2 + ( a + ) ] [ a2 - ( a + ) ] = a4 - a2 - 2a -
(5)T¬ng tù : ( a + ) ( −
a2-1 +
2
a2+2a+1 ) =
a-1 +
a+1 = − 5a+1
a2-1 víi a
Thông qua tập ta thấy đợc tác dụng phép tính nhẩm việc giúp em đào sâu suy nghĩ , rèn luyện t toán học Làm để em tự đề suất cách giải nhanh ? Đây vấn đề nan giải , tuỳ thuộc vào linh hoạt , nhanh nhẹn , sáng tạo trò Tuy để phần tạo linh hoạt , hứng thú với mơn tốn tơi cung cấp cho em số thủ thuật để em tính nhẩm đợc Các thủ thuật đợc rút dới số dạng sau :
D¹ng : Nhẩm bình ph ơng số có chữ số tận
VÝ dô : 152 = 225 1052 = 11025
352 = 1225 1152 = 13225
652 = 4225 1552 = 24025
Nhận xét kết :
+ Hai chữ số hàng chục hàng đơn vị 25 + Các chữ số cịn lại tích số với số tự nhiên liên tiếp đứng đằng sau
Chẳng hạn số có số liên tiếp đằng sau => 3.4 = 12 => 352 = 1225
Số 10 có số liên tiếp đằng sau 11 => 10.11 = 110 => 1052 = 11025
Dạng 2: Vận dụng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính nhẩm 1) Ví dụ
a) TÝnh 112
Ta cã ( + )2 = + + 1
Ta xoá dấu cộng VËy 112 = 121
b) TÝnh 132 Ta cã ( 1+3 )2 = + +
=> 132 = 169
c) TÝnh 312 : ( + )2 = + +1 => 312 = 961
Tại làm đợc nh ? Sở dĩ ta làm đợc nh ta áp dụng :
( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2
Nh ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm dấu cộng mà ta
xố ta biết thuộc hàng
2) VÝ dơ :
a) TÝnh 232
Ta cã ( + )2 = + 12 +
Nếu máy móc ghi 232 = 4129 sai ? T¹i sai?
Ta biết tập hợp số tự nhiên , chữ số thuộc hàng phải nguyên dơng , nhỏ Nếu lớn 10 phải chuyển lên hàng đứng trớc Với ví dụ 12 trăm chục nên trăm phải đợc cộng với trăm
(6)b) TÝnh 362 Cã ( + )2 = 9+¿+3
⏟
¿
+¿ 6⏟+3
¿
6
3+ = VËy 362 = 1296
+ = 12
c) TÝnh 462 Cã ( + )2 = 1 6⏟+4
❑
6⏟+3
❑
LÊy + = 11 giữ lại chuyển lên hàng :
LÊy 1+ + = 11 giữ lại chuyển lên hàng 1+1= VËy 462 = 2116
d) TÝnh 982 : Cã ( + )2 = 81 + 144 + 64
Lấy + = 10 giữ lại hàng chục chuyển lên hàng trăm LÊy + + =
+ =
VËy 982 = 9604 .
Dạng : Nhẩm bình ph ¬ng cđa mét sè lín h¬n 50 mét chót .
VÝ dô : 582 = 3364
Cách làm nh sau :
+ Lấy hiệu số với 25
+ Viết tiếp vào kết chữ số cuối bình phơng hiệu số 50
Víi ví dụ ta làm nh sau : 58 - 25 = 33 ( 58 - 50 )2 = 82 = 64 ViÕt tiÕp 64 vµo sau 33 => 582=3364 VÝ dô : 572 ;
57- 25 = 32
( 57 - 50 )2 = 72 = 49 => 572 = 3249
Tuy nhiên trờng hợp áp dụng cách làm náy móc nh
Ch¼ng h¹n tÝnh 622 ; 62 - 25 = 37
( 62 - 50 ) 2 = 122 = 144 => 622 = 37144 Lại sai.
Trong trờng hợp : Nếu bình phơng hiệu số 50 số có chữ số phải đem chữ số hàng trăm cộng lên với chữ số cuối hiệu
VÝ dô 3 : TÝnh 622 ;
62 - 25 = 37
( 62 - 50 ) 2 = 122 = 144 => 37+1 = 38
ViÕt tiÕp 44 vµo sau sè 38
VËy 622 = 3844 VÝ dô 4: TÝnh 642 ;
64 - 25 = 39
(64 - 50 )2 = 142 = 196
(7)D¹ng : Nhẩm bậc hai số ph ơng
Để tính nhẩm bậc hai cđa mét sè chÝnh ph¬ng , vËn dơng tÝnh ❑
√Δ việc giải toán cách lập phơng trình Tơi hớng dẫn em vận dụng chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ ban đầu Sau vận dụng ngợc lại ba dạng vào tính nhẩm chữ số cịn lại Cụ thể nh sau :
a Một số số phơng chữ số hàng đơn vị số ,1 ,4 , , ,
* Với chữ số hàng đơn vị số có chữ số tận bình phơng
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phơng
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phơng
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phơng
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phơng
b Các chữ số thuộc hàng lại ta vận dụng ngợc lại ba dạng nhẩm
VÝ dô : TÝnh ❑
√15625 = 125
Nhận xét : Chữ số hàng đơn vị , chữ số hàng chục chắn kết số có chữ số hàng đơn vị ;156 = 12 13
VËy ❑
√15625 = 125 VÝ dô : TÝnh ❑
√3844 = 62
Nhận xét : Chữ số 22 82 Ta thử chữ số hàng chục để
ghÐp víi hc Ta thÊy nÕu lÊy 52 = 25 < 38 qu¸ nhiỊu
72 = 49 > 38 không đợc Do ta thử 62 = 36 gần 38
Vậy đợc 622 682
Bằng cách áp dụng dạng ta thÊy 622 = 3844
VËy ❑
√3844 = 62
VÝ dơ 3 : TÝnh ❑
√1369
Ch÷ số tận đem bình phơng 32 = < 10 ;
42 = 16 > 13
TÝnh 332 = 1089 ;
372 = 1369
VËy ❑
√1369 = 37
VÝ dơ : TÝnh ❑
√4761 ;
Ch÷ số tận đem bình phơng 62 = 36 < 47 ;
72 = 49 > 47
TÝnh 612 = 3721 ;
692 = 4761
VËy ❑
√4761 = 69
VÝ dô : TÝnh ❑
√576
(8)32 = >
=> TÝnh 262 = 676 ;
242 = 576
VËy ❑
√576 = 24
D¹ng : NhÈm tÝch hai sè nhá h¬n 100 mét chót
Xuất phát từ đẳng thức ( 100 -a ) ( 100 - b ) = ( 100 - a - b ) 100 + ab Ta xây dựng quy tắc nhân nhẩm nh sau : Gọi độ lệch số với 100 phần bù Muốn nhân nhẩm hai số nhỏ 100 chút ta lấy số trừ phần bù số viết tiếp vào sau tích hai phần bù (hai chữ số) a) Ví dụ : Tính 98 93
Cách làm nh sau : 100 - 98 = 98 93
100 - 93 =
Ta viết hai số ; dới số 98 ; 93 Gọi phần bù 98 ; phần bù 93 với 100 Ta lấy số ( 98 ) trừ phần bù số ( 93 ) với 100 ta đợc kết 98 - = 91 Cuối viết tích hai phần bù vào bên phải kết vừa thu đợc ( 91)
Cã =14 VËy 93 98 = 9114
b) Nếu tích phần bù số có chữ số phải viết chữ số đứng trớc vào kết
VÝ dô : TÝnh 98 97
100 - 98 = 98 97 100 - 97 = 98 - = 95 ( hc 97 - = 95 ) ; =
VËy 98 97 = 9506
c) NÕu tÝch cđa phÇn bï số có ba chữ số ta cần cộng chữ số hàng trăm lên chữ số hàng thấp nhÊt ë hiƯu trªn
VÝ dơ 3 : TÝnh 75 77
100 - 75 = 25 75 77 100 - 77 = 23 25 23 75 - 23 = 52 + =
25 23 = 575
VËy 75 77 = 5775
Dạng : Nhân nhẩm tÝch cđa hai sè lín h¬n 100
Xuất phát từ đẳng thức :
( 100 + a ) ( 100 + b ) = ( 100 + a + b ) 100 + ab ta xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số lớn 100 chút nh sau: Gọi độ lệch số với 100 phần Muốn nhân hai số lớn 100 chút ta lấy số cộng với phần số viết tiếp vào sau tích hai phần ( hai chữ số )
a) VÝ dô : TÝnh 112 103
(9)12 = 36
VËy 112 103 = 11536
b) Nếu tích hai phần số có chữ số ta phải viết số đứng trớc vào kết
VÝ dô : TÝnh 102 104
102 - 100 = 102 104 104 - 100 = 102 + = 106
=
VËy 102 104 = 10608
c) Nếu tích hai phần số có chữ số ta cần cộng chữ số hàng trăm lên chữ số hàng thấp tổng
VÝ dô : TÝnh 113 115
113 - 100 = 13 113 115 ; 113 + 15 = 128 ; + = 115 - 100 = 15 13 15 13 15 = 195
VËy 113 115 = 12995
Dạng : Nhẩm tích hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống Tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị của hai thừa số 100
VÝ dô : TÝnh nhÈm 2976 2924
Xét xem hai thừa số có liên quan đến hay khơng ?
- Cả hai thừa số có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm 29 - Hai chữ số hàng chục hàng đơn vị thừa số có tổng 100 Vậy đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 tích có dạng nh nào? Hãy nờu cỏch gii ?
Phép nhân có d¹ng :
(100a + b ) (100a + c ) = 10 000 a ( a + ) + bc 10 000 a ( a + ) = 10 000 29 30
= 10 000 870 = 700 000
bc = 76 24 = ( 50 + 26 ) ( 50 -26 ) = 502 - 26 2 = 1824
=> 10 000 a ( a + ) + bc = 700 000 + 1824 = 701 824 VËy 2976 2924 = 701 824
* Nh qua phép nhân cụ thể em rút cách làm tổng quát với phép nhân hai số có bốn chữ số , hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống , hai chữ số hàng chục , hàng đơn vị hai thừa số có tổng 100 trịng hợp tơng tự Tất nhiên việc tính tiếp cần sáng tạo em Nhng tạo hứng thú cho em tìm hiểu số , mối liên quan chúng
VÝ dô 2 : TÝnh 5962 5938
10000 a(a+ 1) = 10 000 59 60
(10)VËy 5962 5938 = 35 402 356
Dạng : Tính nhanh kết biĨu thøc
CÇn chó ý mét sè nhËn xÐt :
1 Thông thờng gặp tổng nhiều số hạng để tính nhanh tổng ta ghép thành cặp thích hợp để chia tổng thành cặp số có giá trị có quan hệ vi
Nếu gặp tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp lẻ liên tiếp lu ý hiệu hai số liên tiếp lu«n b»ng
Ngồi muốn tínhxem có số lẻ ( hay chẵn ) chẳng hạn từ đến 99 có số lẻ ta làm nh sau : 99−1
2 + = 50 sè lỴ
NÕu gỈp tÝch cđa nhiỊu thõa sè, mn tÝnh nhanh ta áp dụng tính chất phép nhân
Khi gặp biểu thức có nhiều phép tính ta cần nhận xét thành phần tham gia phép tính có chung , có đặc biệt … áp dụng ba nhận xét vào tính tốn cho hợp lý
Ví dụ 1 : Tính nhanh kết biểu thøc : a) 1272 + 146 127 + 732
b) 98 28 - ( 184 + ) ( 184 - )
c) 1002 - 992 + 982 - 972 + … + 22 - 12
d) (202 + 182 + 162 +… +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 +… +32 + 12 ).
e) 7802−2202
1252
+150 125+752
Ta lµm nh sau :
a) Nhận xét 146 = 73 => Biểu thức dạng khai triển đẳng thức : a+b¿2
¿ = a
2 + 2ab + b2
1272 + 146 127 + 732 = 1272 + 127 73 + 732 = (127 + 73 )2
= 2002 = 40 000
b) 98 28 - ( 184 + ) ( 184 - ) = (9 )8 - ( 188 - )
= 188 - 188 + =
c) (1002 - 992)+ (982 - 972)+ … + (22 - 12)
=( 100 - 99 )( 100 + 99 ) + ( 98 - 97 )( 98 + 97) + + (2 - )( + ) = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + … + + = 5050
d) (202 +182 + 162 +… +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 +… +32 + 12 ).
= (202 - 192 ) + ( 182 - 172 ) + ( 162 - 152 ) + … + ( 22 -12 )
= 20 + 19 + 18 + 17 + … + + = 210 e) 7802−2202
1252+150 125+752 =
(780 - 220)(780+220) 1252
+2 125 75+752 =
125+75¿2 ¿ 560 1000
¿
= 14
VÝ dô 2 : TÝnh nhanh
(11)b) 315 + 16 + 385 + 54 c) 15768 - 13992
d) + + + … + 997 + 999
e) 99 - 97 + 95 - 93 + … + -5 + -
Ta lµm nh sau :
a) Cộng cặp số : 99 + 91 = 97 + 93 = 96 + 94 = 190 đợc cặp Vậy 99 + 98 + 97 + 96 + … + 91 = 190 + 95 = 855
b) 315 + 385 = 700 ; 16 + 54 = 70 VËy 315 + 16 + 385 + 54 = 770
c) áp dụng tính chất " hiệu hai số khơng đổi ta cng cựng mt
số vào số bị trừ vµ sè trõ "
=> 15768 - 13992 = ( 15768 + ) - (13992 + ) =
= 15776 - 14000 = 1776 d) Các số hạng tổng số lẻ
999 + = 997 + = … = 499 + 501 = 1000
Từ đến 999 có 500 số lẻ tức có tất 250 cặp số lẻ Vậy + + + … + 997 + 999 = 1000 250 = 250 000
e) Ta nhËn thÊy r»ng hiệu hai số lẻ liên tiếp b»ng NghÜa lµ : 99 - 97 = 95 - 93 = … = - = -
Từ đến 99 có 50 số lẻ chia làm 25 cặp
VËy 99 - 97 + 95 - 93 + … + -5 + - = 25 = 50
VÝ dơ 3 : TÝnh gi¸ trị biẻu thức sau phơng pháp nhanh nhÊt
a) 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) b) 28 101
c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 )
d) 12345 678910 ( 234234 233 - 233233 234 ) e) 2004 752003 +1928
g) 61 3+2 12+4 12 24+7 21 42
+2 6+4 12+7 14 21
h) 1 51 3+2 6+4 12+7 14 21
+2 10+4 12 20+7 21 35
Tìm tòi lời giải :
a) áp dơng tÝnh chÊt ph©n phèi cđa phÐp nh©n víi phÐp céng ta cã thÓ viÕt : 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 )
= 200 100 = 20 000
b) áp dụng tơng tự a có 28 101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28 = 2828
c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 ) = 49 100
d) Nhận xét số hạng dấu ngoặc :
(12)= (2003+1) 75+1928
2003 =
2003 75 ++ 75+1928 2003
= 2003 752003 +2003 = 2003 762003 = 76
g) Nhận xét số hạng tử gấp lần số hạng tơng ứng mẫu:
1 6+2 12+4 12 24+7 21 42 3+2 6+4 12+7 14 21
= 31 3+2 3+4 12 3+7 14 21
+2 6+4 12+7 14 21
= 3(1 3+2 6+4 12+7 14 21)
1 3+2 6+4 12+7 14 21 =
h) C¸c sè hạng tử , mẫu bội : 1 51 3+2 6+4 12+7 14 21
+2 10+4 12 20+7 21 35
= 3+1 8+1 64+1 73
1 5+1 8+1 64+1 73
= 3(1+8+64+7
3
)
1 5(1+8+64+73)
= 31 5 = 52
Dạng : DÃy ph©n thøc viÕt theo quy luËt
Đây dạng khó với dãy phân thức rút gọn phân thức , có chứng minh đẳng thức Với dạng yêu cầu em nhận xét để tìm mối liên quan thành phần tham gia phép tính để tìm quy luật chung chúng Qua có cách giải cho phù hợp
VÝ dô 1 : Rút gọn biểu thức sau : A =
2
−1 22
32−1 32
42−1
42 …
n2−1
n2 ( n ) B = 1 21 + 2 31 + 3 41 + … +
n(n+1)
Tơi hóng dẫn em làm nh sau : A = 22−1
22
32−1
32
42−1
42 …
n2−1
n2 = (2−1)(2+1)
22
(3−1)(3+1)
32
(4−1)(4+1)
42 …
(n −1)(n+1)
n2 =
22
32
42 …
(n −1)(n+1)
n2
= .(n −1)
2 .n
3 .(n+1) .n = 1n n+21 = n2+n1
B = 1 21 + 2 31 + 3 41 + … + n
(n+1)
= 11 - 12 + 12 - 13 + … + 1n - n1
+1 = -
n+1 =
(13)Ví dụ 2 : Chứng minh đẳng thức sau : a) 1 31 + 3 51 + … +
(2n-1)(2n+1) =
n
2n+1 Víi n
b) 1 31 2 41 + … +
(n-1)n(n+1) =
(n −1)(n+2)
4n(n+1)
NhËn xÐt 2n1-1 - 2n1
+1 =
2
(2n-1)(2n+1)
Đặt A =
1 + +
1
5 + … +
1 (2n-1)(2n+1)
=> 2A = 1 32 + 3 52 + 5 72 + … +
(2n-1)(2n+1)
= 11 - 13 + 13 - 15 + 15 - 71 + … + 2n1-1 = - 2n1
+1 = 2n
2n+1 => A =
n
2n+1 (n 1)
VÕ trái vế phải
Vy ng thức đợc chứng minh b) Nhận xét :
(n-1)n -
n(n+1) =
2
(n-1)n(n+1)
Đặt B = 1 31 + 2 41 + … +
(n-1)n(n+1)
=> 2B = 1 32 + 2 42 + 3 52 + … +
(n-1)n(n+1)
= 1 21 - 2 31 + 2 31 - 3 41 + … +
(n-1)n -
n(n+1)
= 12 - n
(n+1) =
n2+n −2 2n(n+1) =
(n −1)(n+2)
2n(n+1)
B = (n −1)(n+2)
4n(n+1)
Vế trái vế phải Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải số dạng khác ;
VÝ dơ 1 : Gi¶i phơng trình sau :
a) 2004x+1 + 2002x+3 = 2000x+5 + 1998x+7
b) 59x −1945 + 59x −1944 = 61x −1943 + 62x −1942
c) 1902101 − x + 1900103 − x + 1898105 − x + 1896107 − x + = Với phơng trình dạng ta nhân hai vế phơng trình với mẫu số chung theo thứ tự bớc giải phơng trình phức tạp Nên với phơng trình dạng nầy cộng trừ số1 vào phân thức phân thức có tử số
a) ( x+1
2004 + ) + (
x+3
2002 + ) = (
x+5
2000 + 1) + (
x+7
1998 + )
(14)( x + 2005 ) ( 20041 + 20021 - 20001 - 19981 ) = V× 20041 + 20021 - 20001 - 19981 => x+ 2005 =
VËy x = - 2005
b) ( 59x −1945 - ) + ( 60x −1944 -1) = ( 61x −1943 -1 ) + ( 62x −1942 - ) => 59x −2004 + 60x −2004 = 61x −2004 + 62x −2004
=> ( x - 2004 ) ( 591 + 601 - 611 - 621 ) = V×
59 + 60 -
1 61 -
1
62 => x - 2004 =
x = 2004
c)( 1902101 − x +1)+( 1900103 − x + ) +( 1898105 − x +1) +( 1896107 − x +1) = = > 2003101 − x + 2003103 − x + 2003105 − x + 2003107 − x = = > (2003 - x ) ( 1011 + 1031 + 1051 + 1071 ) =
V× 1011 + 1031 + 1051 + 1071
=> 2003 - x = = > x = 2003
VÝ dơ 2 : TÝnh gi¸ trị biểu thức sau : A = 2004(1 6).(1 7)(1 8) (1 9 9)
B = ( 100 - 12) ( 100 - 22) … ( 100 - 252)
Ta ®i nhận xét : Vì số mũ A cã tÝch 1.9.5.0 = nªn A = 20040 =
B = tích có thừa số 100 - 102 =
VÝ dơ 3 : a) C¸c tích sâu có tận chữ sè A = … 9.10
B = 1.3.5.7.9.11
b) Tích tất số tự nhiên từ đến 71 có tận chữ số
Nhận xét : Đặt C = kh«ng thĨ có tận chữ số
TÝch cđa C cã tËn cïng lµ ch÷ sè C 10 có tận chữ số
VËy A = … 9.10 cã tËn cïng chữ số
B = 1.3.5.7.9.11 gồm toàn số lẻ nên có tận chữ số
b) Trong tích 7.8.9… 71 có thừa số có tận nh 10 , 20 , 30 … nên tích có chữ số hàng đơn vị
(15)A = 75 ( 42003 + 42002 + …+ 42 + + ) + 25
Giải : Để tìm hai chữ số tận A ta lấy A tích bội luỹ thừa Mà 25 = 100, nên ta làm để xuất 25.10 Ta phân tích nh sau :
A = 25 ( 42003 + 42002 + …+ 42 + + ) + 25
= 25( - ) ( 42003 + 42002 + …+ 42 + + ) + 25
= 25( 42004 + 42003 + …+ 42 + - 42003 - 42002 - …- 42 - - ) + 25
= 25 (42004 - ) + 25
= 25 (42004 - + 1)
= 100 42003 chia hÕt cho 100
VËy ch÷ số tận biểu thức A hai chữ sè
VÝ dơ : Chøng tá c¸c số sau số nguyên : 1094+2
3
1094+8
Giải : Vì 1094 + = 10 0⏟
❑ + =
10
⏟
❑
( Vì tổng ch÷ sè chia hÕt cho ) VËy 1094+2
3 số nguyên
Tơng tự ta còng cã 1094 + = 1 .0⏟
❑ ⋮
( Vì tổng chữ số chia hết cho ) Nên 1094+8
9 số nguyên VÝ dơ : So s¸nh c¸c sè :
a) A = 2003 2005 Vµ B = 20042
b) A = x − yx
+y vµ B =
x2− y2 x2
+y2 Víi x > y >
c) A = ( + ) ( 32 + ) ( 34 + ) ( 38 + )( 316 + 1) Vµ B =
332 -
Giải : a) Đặt x = 2004 , => B = x2
A = ( x - 1) ( x + ) = x2 -1 VËy A < B
b) A = x − yx
+y =
x+y¿2 ¿ (x − y)(x+y)
¿
= x
2
− y2
x2+2 xy+y2 <
x2 -− y2
x2+y2 = B
V× x > y > VËy A< B
c) ( - ) A = ( - ) ( + ) ( 32 + ) ( 34 + ) ( 38 + )( 316 +
1) 2A = 332 - = B.
=> A = 332−1
2 =
B
2 ;
Vậy B = 2A hay B lớn gấp đôi A 94 chữ số 93 chữ số
(16)C Kết thực học kinh nghiệm
Để giúp em có hứng thú học môn Toán, xây dựng ý thức tự giác
trong học tập, củng cố đào sâu suy nghĩ, rèn luyện t tốn học tơi sử dụng kết hợp nhiều phơng pháp khác giảng dạy Với việc sử dụng phép tính nhẩm, phân dạng tập, tơi giúp em thấy đợc tốn tởng chừng phức tạp nhng biết quan sát, nhận xét sử dụng linh hoạt kiến thức trở nên dễ dàng Nội dung viết sử dụng nhiều năm với nhiều lớp đợc phân công giảng dạy: Qua thực nghiệm thấy chất lợng học tập em đợc nâng lên rõ rệt Không em vận dụng tính nhẩm Tốn mà cịn mơn : Lý, Hố,… Do thi học sinh giỏi khối, lớp trờng Kim Nỗ nhiều năm gần đạt đợc kết tơng đối khả quan tỷ lệ học sinh giỏi Toán đợc nâng lên, ý thức học tập đợc nâng cao, khơng khí lớp học sơi nổi, em khơng cịn thụ động nghe giảng mà chủ động học tập nghiên cứu dới dẫn dắt thầy Sau kết cụ thể mơn Tốn số năm gần :
Nội dung viết số thủ pháp áp dụng cho số dạng tập Để áp dụng nội dung viết vào học, em cần nắm vững nội dung kiến thức tốn học bản, có ý thức tự giác học tập, linh hoạt, t tốt Đơi có tốn khơng theo quy luật nên áp dụng nội dung viết Song với nội dung đề tài nghiên cứu thực nghiệm đặc biệt sử dụng phép tính nhẩm tơi thấy có tác dụng nhiều đến việc phát huy trí lực cho em, tảng giúp em trở thành nhân tài cho đất nớc
Mỗi phép tính nhẩm tạo cho em điều lạ, giúp em có hứng thứ sâu tìm hiểu mơn tốn thấy tốn học thú vị khơng khơ khan Tốn học sáng tạo, lạ hấp dẫn Mỗi dạng nhẩm khác kích thích em sâu tìm hiểu xem cịn dạng khơng, em đố nhau, su tầm, tự tìm giải độc đáo khác Nh với phép tính nhẩm giáo viên thúc đẩy ý thức tự giác học tập em, giúp em đào sâu suy nghĩ sau học, môn học
Trên số nội dung đợc tích luỹ kiểm nghiệm thơng qua giảng dạy thân anh, chị em trờng THCS Kim Nỗ Những điều nêu viết cha thể gọi tổng quát, rèn luyện t toán học cho em cấp II Và nội dung viết tránh khỏi điểm khiếm khuyết Mong đợc giáo anh, chị em đồng nghiệp
SÜ sè
G Kh¸ TB Y KÐm G Kh¸ TB Y KÐm
42 13 23 14 22 0
43 11 18 27 14 0
38 12 18 14 20 0
KÕt cuối năm
2000 - 2001 2001 - 2002 2002 - 2003
(17)Xin chân thành cảm ơn !
Kim Nỗ , ngày 2.4.2004 Ngời viết
(18)bộ giáo dục đào tạo trờng đại học s phạm hà nội 2
-đề ti
rèn luyện kỹ tính nhẩm
bài tập nghiên cứu khoa học
thực trờng THCS Tiên Dơng Huyện Đông Anh thành phố Hà Nội
năm 2004
(19)Giáo án
( áp dụng cho sinh viên TTSP)
Tên bài: Tiết Chơng Tên giáo sinh: Lớp Tên giáo viên hớng dẫn
Ngày tháng năm 2004
l/ Mc đích yêu cầu: ( Học sinh phải nắm đợc)
- Kiến thức: ( Những kiến thức học sinh phải nắm )
- Kỹ năng, kỹ xảo bản: ( Phát triển thao tác t duy, thực hành, thí nghiệm)
- T tëng: ( Båi dìng phÈm chÊt vỊ thÕ giíi quan, nh©n sinh quan )
ll/ Phơng pháp , phơng tiện:
- Phơng pháp chủ yếu:
- Phơng tiện công cụ: ( Kiến thức liên quan, đồ dùng dạy học, sách tham khảo )
lll/ TiÕn tr×nh:
ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số: Sơ đồ học sinh
(ghi rõ sĩ số lên góc trái bảng, tên dạy bảng )
2 Kim tra bi c: (Ghi câu hỏi cụ thể, thời gian thực hiện, dự kiến đối tợng cần kiểm tra, tình cần sử lý )
(20)
Tiến trình học: ( Cấu trúc phần theo nội dung, phơng pháp thể hiện, hoạt động cụ thể thầy trò, thời gian dự kiến )
Ph©n bè
(21)NhËn xét giáo viên hớng dẫn ký duyệt:
Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Trờng ĐHSP hà nội 2 Độc lập - Tự - Hạnh phúc
Ngµy tháng năm 2004
biờn bn nhn xét đánh giá việc soạn giáo án
Ngêi so¹n:
Mơn : Tốn Lớp: Tên bài: Tổ: Trờng thảo luận góp ý kiến cho giáo án trí đánh giá nh sau:
1 Về xác định kiến thức khoa họccơ ( dạy )
2.Về chuẩn bị phơng tiện để dạy( Kiến thức cũ, công cụ, đồ dùng dạy học ) Về cách tổ chức thầy để trị tích cực làm việc tiếp thu giảng thể giáo án:
(22)KÕt luËn:
Tổ trởng chuyên môn Xác nhận trởng ban đạo hiệu trởng
Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Trờng ĐHSP hà nội 2 Độc lập - Tự - Hạnh phúc
Ngày tháng năm 2004
biên rút kinh nghiệm dạy
Ngời soạn: Môn : Toán Lớp: Tên bài:
l/ Ngời dạy tự đánh giá ( Kiến thức phơng pháp, t tác phong)
ll/ Nhận xét chung tổ chuyên môn:
Những u điểm chính:
a) Về kiến thức:
- Chuẩn bị giáo án:
- Hên thống kiến thức( đầy đủ, xác, khoa học đại )
- Lô gíc truyền đạt:
b) VỊ phơng pháp:
- Vậndụngphơngpháp:
- Sử dụng phơng tiƯn:
- Phát huy tính tích cực học sinh ( Thầy tổ chức trò hoạt động)
- Bài giảng trọn vẹn: Phân bố thời gian ? Trình bày bảng?
c) VỊ t thÕ t¸c phong:
Điểm : Trởng ban đạo tổ trởng môn Hiệu trng
(23)đoàn tt:
phiếu thực tập giảng dạy
Họ tên giáo sinh: Lê Văn Lộc Khoa: Toán
Họ tên giáo viên hớng dẫn: Thực tập lớp: Trờng Tiết Tên giảng Ngày ngêiSè
dù
NhËn xÐt cđa
gi¸o viên Điểm số - Kiến thức: - Phơng pháp: - Tác phong: - Tổng số: - Kiến thức: - Phơng ph¸p: - T¸c phong: - Tỉng sè: - KiÕn thøc: - Phơng pháp: - Tác phong: - Tổng số: - Kiến thức: - Phơng pháp: - Tác phong: - Tổng số: - Kiến thức: - Phơng pháp: - Tác phong: - Tổng số: Điểm trung bình chung TT giảng dạy:
Ngày tháng năm 2004
(24)mở đầu
1 Lý chọn đề tài:
(XuÊt ph¸t tõ lý luËn, nhu cầu thực tiễn nhu cầu thân)
-Tốn học mơn học gắn liền với đời sống ngời, gắn liền với ngành khoa học kỹ thuật có vị trí vơ quan trọng môn học khác
-Do yêu cầu khả học toán em häc sinh trêng THCS hiÖn
II Mục ớch nghiờn cu:
Nhằm phát triển t khả tính nhẩm học sinh trờng THCS
III.Đối tợng pham vi nghiên cứu Học sinh trêng THCS
IV NhiƯm vơ nghiªn cøu
Thông qua vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn, để hớng dẫn cho học sinh số dạng tính nhẩm dựa sở cụ thể lại làm đợc nh
V Ph¬ng pháp nghiên cứu
(25)