SKKN - TỶ LỆ THỨC

Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có hứng thú say mê học tập là một câu hỏi mà [r]

Céng hoµ x héi chđ nghÜa ViƯt NamÃ

Độc lập Tự Hạnh phúc

-o0o -SƠ YẾU LÝ LỊCH

Họ tên: VŨ THỊ LAN Ngày, tháng, năm sinh: 06/ 04 / 1980 Năm vào nghành: 2002

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị cơng tác: Trường THCS Cao Viên Trình độ chun mơn: Đại học tốn

Hệ đào tạo : Chính quy

Bộ mụn giảng dạy: Mơn tốn Ngoại ngữ: Anh văn Trình độ trị: Sơ cấp Khen thởng :

- Gi¸o viên giỏi cấp sở năm học 2002 2003

- Giáo viên giỏi cấp sở năm học 2003 2004

- Giáo viên giỏi cấp sở năm học 2006 2007

- Giáo viên giỏi cấp sở năm học 2007 2008

- Giáo viên giỏi cấp sở năm học 2009 – 2010

- S¸ng kiÕn kinh nghiƯm cÊp tØnh năm học 2003 -2004

- Sáng kiến kinh nghiệm loi C cấp thành phố năm học 2007 2008

- Sáng kiến kinh nghiệm loại B cấp thành phố năm học 2009 2010

1.Lý chọ n đề t i à a, Cơ sở lÝ luận:

Tri thức khoa học nhân loại ngày đòi hỏi cao Chính vậy, việc giảng dạy nhà trờng phổ thơng ngày địi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo hệ trẻ cho đất nớc có tri thức bản, phẩm chất nhân cách, có khả t duy, sáng tạo, t độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Mơn Tốn mơn học góp phần tạo u cầu Việc hình thành lực giải Toán cho học sinh trung học sở việc làm khơng thể thiếu đợc ngời thầy, rèn luyện cho em có khả t sáng tạo, nắm kiến thức bản, gây đợc hứng thú cho em u thích mơn Tốn Mơn Tốn có vị trí đặc biệt quan trọng trờng phổ thơng, có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Tốn học mơn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, l mà ột mơn học khơng thể thiếu q trình học tập, nghiên cứu v cà ả sống h ngà ng y Mà ột nh tốn hà ọc có nói: “Tốn học xem l mà ột khoa học

chứng minh ”

Thật vậy, tính chất trừu tợng, tính xác, t suy luận logic Tốn học đợc coi "mơn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo.Trong cỏc mụn học trường phổ thụng, Toỏn học coi

môn học bản, tảng để em phát huy lực thân, góp phần tạo điều kiện để em học tốt môn khoa học tự nhiên khác

Vậy dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà cịn phải nâng cao phát triển để em có hứng thú say mê học tập câu hỏi mà thầy ln đặt cho Tuy nhiên để học tốt mơn tốn người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tư toán học, làm cho em trở lên u thích tốn từ em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu thời đại

Là giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 7A, 7C với đối tượng học sinh giỏi, em có tư nhạy bén nhu cầu hiểu biết ngày cao, làm để phát huy hết khả em trách nhiệm giáo viên Qua giảng dạy chương trình tốn lớp tơi nhận thấy đề tài TØ lƯ thøc đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng thiếu

mụn đại số lớp

Việc giải toán tØ lệ thức dạng toán hay, với mong muốn cung

cấp cho em số phương pháp giải toán tỷ lệ thức, giúp em làm tập tốt nhằm tích cực hố hoạt động học tập, phát triển tư duy, năm học tơi chọn đề tài “Một số phương pháp giải toán tØ lệ thức”để thực chương trình tốn lớp 7.

2)Mục đích nghiên cứu

- Các phương pháp thường dùng để giải toán tØ lệ thức

- Rốn kĩ vận dụng kiến thức giải toỏn tỉ lệ thức, học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải tập, vận dụng hình học phần Định Lí Ta-let tam giác đồng dạng

- Củng cố v hà ướng dẫn học sinh l m b i tà ập nhằm nâng cao chất lợng dạy, nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân, thơng qua giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào q trình giảng dạy mơn Toán trờng THCS đạt hiệu cao

- Học sinh tự giác chủ động tìm tịi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức kỹ thu nhận đợc 3.Nhiệm vụ nghiờn cứu:

- Nhiệm vụ khái quát: Nêu phương pháp giải toán tØ lệ thức theo

chương trình

- Nhiêm vụ cụ thể:

- Những chuyển biến sau áp dụng - Bài học kinh nghiệm

4 Đối tượng nghiên cứu.

- Đề tài nghiên cứu qua tiết dạy tỷ lệ thức SGK toán tập 1, qua định hướng đổi phương pháp dạy toán

- Đối tượng khảo sát: HS lớp 7A, 7C trường THCS Cao Viên

5.Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo - Phương pháp kiểm tra, thực hành

- Phương pháp phát vấn ,đàm thoại nghiên cứu vấn đề

- Tổng kết kinh nghiệm thân đồng nghiệp dạy phần “tØ lệ

thức”

PHẦN THỨ HAI B.NỘI DUNG I.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. I.

Đặc điểm tình hình lớp :

và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức phát triển tư em Đa số em hay thoả mãn học tập, em cho cần học thuộc lòng kiến thức SGK đủ Chính mà em tiếp thu kiến thức cách thụ động, khơng tự mày mị, khám phá kiến thức

H u h t em ầ ế h p t p gi i b i t p d ng n y.ấ ấ ả ậ VD: L i gi i c a em Lê Th Thu - L p 7A ả ủ ị

(B i 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai s x, y bi t:à ố ế

; 10

2 5

x y

xy

 

HS giải: Ta cã: x

2=

y

5= xy 5=

90 10=9

→ x=2 9=18

y=5 9=45

Lời giải đúng: Đặt x

2=

y

5=k →

x=2k ¿

y=5k ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Mµ xy = 90  2k 5k = 90 10k2 = 90

k2 = 

k=3 ¿

k=−3 ¿ ¿ ¿ ¿

* Víi k =  x = 2.3 =

y = 5.(-3) = -15 VËy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)

(H c sinh m c sai l m ch a hi u rõ tính ch t ọ ắ ầ ể ấ cña d·y tØ sè b»ng nhau) Qua m t th i gian ã ti n h nh i u tra c b n v thu ộ đ ế đ ề ả k t qu nhế ả sau:

+ L p 7A: S em lớ ố ườ ọi h c b i, ườ ài l m b i t p chi m kho ng 50%, s h cà ậ ế ả ố ọ sinh n m ắ ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 30%.ế ứ ế ậ ụ à ậ ế ả + L p 7C: S em lớ ố ườ ọi h c b i, ườ ài l m b i t p chi m kho ng 85%, s h cà ậ ế ả ố ọ sinh n m ắ ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 10%.ế ứ ế ậ ụ à ậ ế ả I Nguyên nhân:

Nguyên nhân c a v n ủ ấ đề l em ch a có ý th c t giác h cà ứ ự ọ t p, ch a có k ho ch th i gian h p lý t h c nh , h c mang tính ch tậ ế ợ ự ọ ọ ấ l y i m, ch a n m v ng hi u sâu ki n th c tốn h c, khơng t ơn luy nấ đ ể ắ ữ ể ế ứ ọ ự ệ thường xuyên m t cách h th ng, không ch u tìm tịi ki n th c m i qua sáchộ ệ ố ị ế ứ nâng cao, sách tham kh o, hi n tả ệ ượng d u d t, không ch u h c h i b nấ ố ị ọ ỏ bè, th y cô.ầ

Đứng trước th c tr ng th y c n ph i l m th n o ự ấ ầ ả ế để kh c ph cắ ụ tình tr ng nh m nâng cao ch t lạ ằ ấ ượng h c sinh, l m cho h c sinh thíchọ ọ h c tốn h n V y thi t ngh ọ ậ ế ĩ đề ủ t i c a nghiên c u v v n ứ ề ấ đề à n y l bướ đ đc i úng

n v i tình tr ng v s c h c c a h c sinh hi n

đắ ứ ọ ủ ọ ệ

II.BI N PH P GI I QUY T V N Ệ Á Ả Ế Ấ ĐỀ NGHIÊN C U.Ứ

Để đạ đượt c hi u qu gi i cỏc b i toỏn núi chung v gi i cỏc b iệ ả ả à ả toỏn v ề tỷ lệ thức núi riờng Sau học xong tính chất tỉ lệ thức, tơi cho học sinh củng cố để nắm vững hiểu thật sâu định nghĩa, tính chất bản, tính chất mở rộng tỷ lệ thức, dãy tỷ số nhau, đại lượng tỉ lệ

chọn lời giải, minh hoạ điều dạng tốn, toán từ đơn giản đến phức tạp

II Tỉ lệ thức

1 Định nghĩa:

T lệ thức đẳng thức hai tỉ số a b=

c

d (hc a : b = c : d)

Các số a, b, c, d đợc gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay gọi ngoại tỉ, b c số hạng hay gọi trung tỉ

2 TÝnh chÊt:

TÝnh chÊt 1: NÕu a b=

c

d th× ad=bc

Tính chất 2: ( Điều kiện để số lập thành tỉ lệ thức) Nếu ad=bc a, b, c, d ta có tỉ lệ thức sau:

a b=

c

d ; a c=

b

d ; d b=

c

a ; d c=

b a Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại

II TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng

- TÝnh chÊt: Tõ a b=

c

d suy ra: a b=

c d=

a+c

b+d=

a − c b d - Tính chất mở rộng cho d·y tØ sè b»ng nhau:

a b=

c d=

e

f suy ra: a b= c d= e f=

a+b+c

b+d+f=

a −b+c

b −d+f=

(giả thiết tỉ số có nghĩa)

Chó ý: Khi cã d·y tØ sè a

2=

b

3=

c

5 ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè 2; 3;

Ta còng viÕt a : b : c = : :

Tuy nhiên gi i b i t p d ng n y không mu n d ng l i nh ngả ậ ố ữ b i t p SGK m mu n gi i thi u thêm m t s b i t p i n hình v m tà ậ ố ệ ộ ố ậ đ ể ộ s phố ương pháp gi i b i t p ó.ả ậ đ

Các dạng toán phơng pháp giải:

Dạng I: LẬP TØ LỆ THỨC:

Bài toán 1: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức hay không? a) 0,5 : 15 v 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 v 1,71 : 15,39à

Giải:

a) Ta có: 0,5 : 15 =

0,5

15 30 v à 0,15 : 50 =

0,15 50 1000

Vì

3

1000 30 nên c¸c tØ sè 0,5 : 15 v 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức

b) Ta cã: 0,3 : 2,7 =

0,3

2,7 9 v 1,71 : 15,39 = à

1, 71 15,39 9 Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39

VËy 0,3 : 2,7 v 1,71 : 15,39 lËp thµnh tØ lƯ thøc.à

Bài tốn 2: Hãy lập tất tỉ lệ thức có đợc từ số sau. a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4;

Gi¶i :

( Sử dung tinh chất 2: điều kiện để số lập thành tỉ lệ thức) a) Ta có: 0,16 0,8 = 0,32 0,4 ( = 0,128)

0,16 0, 0,32 0,8 ;

0,16 0,32 0,  0,8 ;

0,32 0,8

0,16 0, 4 ;

0, 0,8 0,16 0,32 b) T¬ng tù ta cã : = 4( = 8)

Suy ta lập đợc tỉ lệ thức sau:

1

2 8 ;

1

4 8 ;

2

1 4 ;

4

1 Bài tập áp dụng

Bi 1: Trong tỉ số sau, chọn tỉ số thích hợp để lập thành tỉ lệ thức :10 :15;16 : ( 4);14 : 21; :15;12 : ( 3); 1, : 3, 6   

Bài 2: Có thể lập đợc tỉ lệ thức từ số sau không (mỗi số chọn lần) Nếu có lập đợc tỉ lệ thức?

a) 3; 4;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243

Dạng II: Tìm giá trị biến tỉ lệ thức.

Bài toán 1:Tìm x tỉ lệ thức sau:

15 )

2

) 1,5 : 4,5 : 0,3 x

a

b x



 

Gi¶i:

( Bài tốn em sử dung kiến thức tìm thành phần cha biết tỉ lệ thức : Nếu biết số hạng tỷ lệ thức ta tìm đợc số hạng cịn lại tỷ lệ thức

a=b.c

d ;d= b.c

a ;b= a.d

c ;c= a.d

b a) Ta cã:

15 2.15 30

10

2 3

x

x

    

VËy x = 10

 4,5 x = -1,5 0,3

 4,5 x = - 0,45  x = - 0,45 : 4,5  x = - 0,1 .

VËy x = 0,1

Bài toán 2: Tìm hai số x y biết x

2=

y

3 vµ x+y=20

Giải:

Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt x

2=

y

3=k , suy ra: x=2k , y=3k

Theo gi¶ thiÕt: x+y=20⇒2k+3k=20⇒5k=20⇒k=4

Do đó: x=2 4=8

y=3 4=12

KL: x=8, y=12

C¸ch 2 : ( Sư dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau):

¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã: x

2=

y

3=

x+y 2+3=

20 =4

Do đó: x

2=4⇒x=8 ;

y

3=4y=12

KL: x=8, y=12

Cách 3: (phơng pháp thÕ)

Tõ gi¶ thiÕt x

2=

y

3⇒x= 2y

3

mµ x+y=20⇒2y

3 +y=20⇒5y=60⇒y=12

KL: x=8, y=12

Bµi toán 3: Tìm x, y, z biết: x

3=

y

4 ,

y

3=

z

5 2x 3y+z=6

Giải:

Cách 1: Từ giả thiết: x

3= y 4⇒ x 9= y

12 (1) ;

y 3= z 5⇒ y 12= z

20 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: x

9=

y

12=

z

20 (*)

Ta cã: x

9= y 12= z 20= 2x 18 = 3y 36 = z 20=

2x −3y+z 18−36+20=

6 2=3

( ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau)

Do đó: x

9=3⇒x=27

y

12=3⇒y=36

z

20=3⇒z=60

KL: x=27, y=36, z=60

Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt x

9=

y

12=

z

20=k ( sau giải nh cách

VD1)

Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z)

Tõ gi¶ thiÕt: y

3=

z

5⇒y= 3z

5 ; x 3=

y

4⇒x= 3y

4 = 3z

5 =

9z

20

mµ 2x −3y+z=6⇒2 9z 20 −3

3z

5 +z=6⇒

z

10=60⇒z=60

Suy ra: y=3 60

5 =36 , x= 60 20 =27

KL: x=27, y=36, z=60

Bµi toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng: x

2=

y

5 vµ x.y=40

Cỏch 1: (t n ph)

Đặt

0

2

x y k

  

, suy

x=2k ,

y=5k

Theo gi¶ thiÕt: x.y=40⇒2k 5k=40⇒10k2=40⇒k2=4⇒k=±2

+ Víi k=2 ta cã: x=2 2=4 y=5 2=10

+ Víi k=−2 ta cã: x=2 (−2)=−4 ; y=5 (−2)=−10

KL: x=4, y=10 hc x=−4, y=−10

C¸ch 2: ( sư dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ số nhau) Hiển nhiên x

Nhân hai vÕ cña x

2=

y

5 với x ta đợc: x

2

2 = xy

5 = 40

5 =8

⇒x2=16

⇒x=±4

+ Víi x=4 ta cã 2=

y

5⇒y=

2 =10

+ Víi x=−4 ta cã −4 =

y

5 ⇒y=

−4 =10

KL: x=4, y=10 x=4, y=10

Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách ví dụ 1 Bài toán 5: Tìm x, y, z biÕt

a) 3x = 5y = 8z vµ x + y + z = 158 b) 2x = 3y; 5y = 7z vµ 3x + 5z - 7y = 60 c) 2x = 3y = 5z vµ x + y - z = 95

Gi¶i:

Đối với tốn khác lạ so với tốn Song tơi nhắc em lu ý đến thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức hai tích đến tính chất đẳng thức Từ em có hớng giải chọn lời giải cho phù hợp

Ta cã: 3x = 5y  x5=y 3→ x 8= y 8hay x 40= y 24

5y = 8z  8y=z 5→ y 3= z 3hay y 24= z 15

 40x = y 24=

z

15=

x+y+z 40+24+15=

158 79 =2

 x = 40 = 80 y = 24 = 48 z = 15 = 30 VËy x = 80; y = 48; z = 30

Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân đẳng thức Các em biết tìm bội số chung nhỏ 3; 5; Từ em có lời giải tốn nh sau: Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120

Tõ 3x = 5y = 8z  3x.1201 =5y

120=8z 120 Hay x 40= y 24= z 15=

x+y+z 40+24+15=

158 79 =2

(Tơng tự nh cã )

VËy x = 80; y = 48; z = 30

Cách 3: Tôi đặt vấn đề: Hãy viết tích hai số thành thơng Điều hớng cho em tìm cách giải sau:

Tõ 3x = 5y = 8z 

x =y =z

= x+y+z 3+ 5+ =158 79 120 =240

 x = 13.240=80

y =

5.240=48

z =

8 240=30

Qua ba hớng giải trên, giúp em có cơng cụ để giải tốn từ em lựa chọn lời giải phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng từ giúp em phát huy thêm hớng giải khác vận dụng để giải phần b c

Để giải đợc phần b có điều khác phần a chút yêu cầu em phải có t chút để tạo lên tích trung gian nh sau:

+ Tõ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1) + Tõ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)



Tõ (1) vµ (2) ta cã: 10x = 15y = 21z



x

1 10

= y 15

= z 21

= 3x+5z −7y

10+5 21 −7

1 15

=60 15 210

=840

 x = 101 840=84

y =

15 840=56

z =

21.840=40

VËy x = 84; y = 56; z = 40

Kết thu đợc: Các em tìm hớng giải cho phần c tự cho đợc ví d v dng toỏn ny

Bài toán Tìm x, y, z biÕt r»ng a) x −1

5 =

y −2 =

z −2

2 vµx+2y − z=12

\ b) x −1

2 =

y −2 =

z −3

4 vµ 2x+3y − z=50

Để tìm đợc lời giải tốn tơi cho em nhận xét xem làm để xuất đợc tổng x + 2y - z = 12 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10 Với phơng pháp phân tích, hệ thống hố giúp cho em nhìn có hớng i c th

giải to¸n nh sau:

a) Ta cã :

1 2 2( 2)

5 2.3

x y z y y 

   

1 ( 2) 12

1

5 9

x  y  z x y z  

   

 

 x - =  x = x - =  y = z - =  z =4

Cách 2: Dùng phơng pháp đặt giá trị tỷ số ta có li gii sau:

Đặt x 1

5 =

y −2 =

z −2 =k

 x - = 5k  x = 5k + y - = 3k  y = 3k + z - = 2k  z = 2k +

Ta cã: x + 2y - z = 12  2k + + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12

 9k + = 12

 k =

VËy x = + = y = + = z = + =

Với phơng pháp cụ thể hớng em vận dụng để tự giải phần (b) v ca bi toỏn

Bài toán 6: T×m x, y, z biÕt r»ng:

y+z+1

x =

x+z+2

y =

x+y −3

z =

1

Đối với tốn khác lạ Vậy ta phải khởi đầu từ đâu? từ kiến thức nào? Điều yêu cầu em phải t có chọn lọc để xuất x + y + z Tôi gợi ý cho em từ ba tỷ số đầu để xuất dãy tỷ số có lời giải tốn nh sau:

Giải: Điều kiện : x, y, z 

Ta cã: y+z+1 x =

x+z+2

y =

x+y −3

z =

y+z+1+x+z+2+x+y −3

x+y+z =

2(x+y+z)

x+y+z =2  x+1y+z=2  x + y + z =

2=0,5

x + y = 0,5 – z y + z = 0,5 – x x + z = 0,5 – y

Thay giá trị vừa tìm x, y, z vào dÃy tỷ số trên, ta có:

+)

1 0,5

2

y z x

x x

   

  

 0,5 - x + = 2x  1,5 = 3x

 x = 0,5

+)

2 0,5 2

x z y

y y

   

 

 2,5 - y = 2y  2,5 = 3y  y = 56

+)

3 0,5

2

x y z

z z

   

 -2,5 - z = 2z  -2,5 = 3z  z = −56

VËy (x; y; z) = ( 0,5;

6 ; -5 )

Bµi tËp vËn dơng: Bµi 1: Tìm số x, y, z biết rằng:

a) x

10=

y

6=

z

21 vµ 5x+y −2z=28 b)

x

3=

y

4 ,

y

5=

z

7 vµ 2x+3y − z=124

c) 2x

3 = 3y

4 = 4z

5 vµ x+y+z=49 d)

x

2=

y

3 vµ xy=54

e) x

5=

y

3 vµ x2− y2=4 f)

x y+z+1=

y z+x+1=

z

x+y 2=x+y+z

Bài 2: Tìm số x, y, z biÕt r»ng:

a) 3x=2y ,7y=5z vµ x − y+z=32 b) x −1 =

y −2 =

z −3

4 vµ 2x+3y − z=50

c) 2x=3y=5z vµ x+y − z=95 d) x 2=

y

3=

z

5 xyz=810

Dạng Chøng minh tû lÖ thøc

Việc hệ thống hoá, khái quát hoá kiến thức tỷ lệ thức cịn có vai trị quan trọng việc chứng minh tỷ lệ thức, với hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, đến kiến thức trừu tợng, mở rộng cho em nhiều hớng để giải tốt u cầu tốn

§Ĩ chøng minh tØ lÖ thøc: A B=

C

Phơng pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số A B

C

D có giá trị Phơng pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lƯ thøc.

Mét sè kiÕn thøc cÇn chó ý:

+) a b=

na

nb(n ≠0)

+) a b=

c d⇒(

a b)

n =(c

d)

n

Bài toán 1: Cho tû lÖ thøc: a b=

c

d≠1 víi a, b, c, d 0 Chøng minh : a− b

a = c −d

c

Giải

Cách 1: Từ

a b=

c

d⇒a.d=b.c

¿

XÐt tÝch (a.−b).c=a.c − b.c

Thay b.c=a.d⇒(a − b).c=a.c −a.d=(c − d).a

VËy (a − b).c=(c − d).a⇒a− b

a = c −d

c Nh để chứng minh: a− b

a = c −d

c

ta phải có đẳng thức (a − b).c=(c − d).a

C¸ch : §Ỉt a b=

c

d=k⇒a=b.k ;c=d.k

XÐt a− b a =

b.k −b b.k =

b(k −1)

b.k = k −1

k (1)

Vµ c − d c =

d.k − d d.k =

d(k −1)

d.k = k −1

k (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒a −b a =

Trong cách ta chứng minh tỉ số: a b a =

c −d

c nhờ tỉ số thứ ba Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số cho giá trị k Từ tính giá trị số hạng theo k

C¸ch 3: Tõ tØ sè a b= c d⇒ a c= b d

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau: a

c= b d=

a− b c −d⇒

a c=

a −b c − d⇒

c − d c =

a − b

a hay a− b

a = c −d

c

Trong cách sử dụng hoán vị trung tỉ råi ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng lại hoán vị ngoại tỉ lần

C¸ch 4:

Tõ a b= c d⇒ b a= d c XÐt a− b

a =1− b a⇒1−

b a=1−

d c=

c −d d VËy a− b

a = c −d

c

C¸ch 5: Tõ a b= c d⇒ b a= d c LÊy trõ tõng vÕ cña tØ lÖ thøc:

1−b a=1−

d c⇒ a −b a = c −d c

Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ Rồi lấy số trừ vế tỉ lệ thức biến đổi đẳng thức cần chứng minh

C¸ch 6: Tõ tØ lƯ thøc a b=

c

d⇒a.d=b.c Ta cã: a− b

a = c −d

c =

(a− b).c −(c − d).a

a.c =

a.c −b.c − a.c+a.d

a.c =

− b.c+a.d

a.c Mµ a.d=b.c⇒−bc+ad

⇒a −b

a − c − d

c =0⇒ a −b

a = c −d

c

Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu hai tỉ số

Tãm l¹i tõ mét tØ lƯ thøc ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc kh¸c b»ng c¸ch chøng minh theo nhiỊu c¸ch kh¸c cã thĨ sư dơng tập

Bài toán 2: Cho tỷ lệ thức a

2

+b2

c2

+d2= ab

cd Víi a , b , c , d ≠0 vµ c ≠ ± d

Chøng minh : a b=

c

d hc a b=

d c

C¸ch 1: Ta sư dơng cách 6:

Vì

a2+b2

c2+d2= ab

cd nªn

2

2 0

a b ab

c d cd



  

⇔(a

2

+b2)cd−ab(c2+d2) (c2+d2)cd =0 ⇔a

2

cd+b2cd− c2ab− d2ab (c2+d2)cd =0 ⇔(a2cd− c2ab)−(d2ab− b2cd)=0

⇔ac(ad−bc)−db(da−bc)=0 ⇔(ad−bc)(ac−db)=0

ad−bc=0⇒ad=bc⇒a

b= c d

ac−bd=0⇒ac=bd⇒a

b= d c VËy a

2

+b2

c2+d2= ab cd ⇒

a b=

c

d hc a b=

d c

C¸ch : Tõ a

2

+b2

c2+d2= ab cd ⇒

a2+b2

c2+d2= ab cd

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã:

a+b¿2 ¿

c+d¿2 ¿ ¿ ¿

a2+b2

c2+d2=

a2+b2+2 ab

c2+d2+2cd=¿

(1)

vµ

a− b¿2 ¿

c −d¿2 ¿ ¿ ¿

a2

+b2

c2+d2=

a2

+b2−2 ab

c2+d2−2cd=¿

(2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒(a+b

c+d)

2

=(a − b

c −d)

2

XÐt trêng hỵp : a+b c+d=

a − b c −d

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: a+b

c+d=

a+b+a −b

c+d+c − d= 2a

2c= a c a+b

c+d=

a+b − a+b

c+d −c+d= 2b

2d= b d ⇒a c= b d⇒ a b= c d

XÐt trêng hỵp : a+b c+d=−

a −b c − d=

b − a c −d

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã:

2 2 2 2

a b b a a b b a b b c d c d c d c d c c a b b a a b b a a a c d c d c d c d d d

                            ⇒a d= b c⇒ a b= d c

Bµi to¸n 3: Cho tØ lƯ thøc a b=

c

d Chøng minh r»ng:

ab cd=

Cách 1: Từ giả thiết: a b=

c

d⇒ad=bc (1) Ta cã: ab(c2− d2)

=abc2−abd2=acbc−adbd (2)

cd(a2− b2)=a2cd− b2cd=acad−bc bd (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra: ab(c2− d2)

=cd(a2− b2)

⇒ ab

cd=

a2−b2

c2− d2 (đpcm)

Cách 2: Đặt a b=

c

d=k , suy a=bk, c=dk

Ta cã: ab

cd= bk b

dk d=

kb2 kd2=

b2

d2 (1)

bk¿2−b2 ¿

dk¿2− d2 ¿ ¿ ¿

a2− b2 c2− d2=¿

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab

cd=

a2−b2

c2 d2 (đpcm)

Cách 3: Từ giả thiÕt: a b= c d⇒ a c= b d⇒ ab cb= a2 c2=

b2 d2=

a2− b2 c2−d2

⇒ ab

cd=

a2−b2

c2 d2 (đpcm) Bài toán 4 Cho tỷ lÖ thøc a

b= c

d H·y chøng minh

a) a− b

a+b=

c −d

c+d b)

2a+5b 3a+4b=

2c+5d 3c −4d

Để giải tốn khơng khó, song u cầu học sinh phải hệ thống hố kiến thức thật tốt chọn lọc kiến thức để vận dụng vào dạng tốn để tìm hớng giải c th

Đặt a b=

c

d=k  a = bk ; c = dk Ta cã:

a −b a+b=

bk−b

bk+b =

b(k −1)

b(k+1)=

k −1

k+1

c − d c+d=

dk− d

dk+d =

d(k −1)

d(k+1)=

k −1

k+1 }

→a − b a+b=

c d

c+d (Đpcm)

Cách 2 : Sử dụng phơng pháp hoán vị số hạng tỷ lệ thức tính chất cđa d·y tû sè b»ng ta cã lêi gi¶i nh sau:

Tõ a

b= c d 

a c=

b

d (hoán vị trung tû)

= a −b c − d=

a+b

c+d ( theo tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau)

 a− ba

+b=

c d

c+d (hoán vị trung tỷ) Cách 3: ( Dựa vào tính chất cđa tû lƯ thøc): Ta cã: (a+b)(c − d)=ac−ad+bc−bd (1)

(a − b)(c+d)=ac+ad−bc−bd (2)

Tõ gi¶ thiÕt: a b=

c

d⇒ad=bc (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra: (a+b)(c − d)=(a− b)(c+d)

⇒ a+b

a− b= c+d

c −d (®pcm)

Bài toán 5 Cho a b=

c

d H·y chøng minh:

a) (a −b)

2

(c − d)2= ab

cd b)

(a+b)2 (c+d)2=

ab

cd c)

a+b¿2 ¿

c+d¿2 ¿ ¿ (a −b)2 (c − d)2=¿

Đối với toán hớng giải tơng tự nh tốn 1, song mức độ tính tốn dễ nhầm lẫn Tơi phải phân tích, cho học sinh ơn lại luỹ thừa, tính chất mở rộng tỉ lệ thức để em dễ nhận biết, dễ trình bày Tơi

nhÊn mạnh lại công thức:

Nếu: a b=

c d→(

a b)

2

=(c

d)

2

=ac

bd hớng cho em trình bày lời giải toán

phần b

Gi¶i: Tõ ab=c

d  ( a c)=

b

d (hoán vị trung tỷ)

 (ac)2=(b

d)

2

=ab cd=

a2

b2=

b2

d2=

2 ab cd=

a2

+2ab+b2

c2

+2 cd+d2

Hay (a+b)

2

(c+d)2= ab cd

Tơng tự phần (b) học sinh dễ dàng hiểu trình bày đợc lời giải phần a, c hớng cho em tự tìm hiểu phơng pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức

Bài toán 6: Cho a b=

b

c H·y chøng minh a2

+b2

b2+c2=

a c

Để giải đợc tốn u cầu học sinh phải có bớc suy luận cao hơn, khơng dập khn máy móc mà phải chọn lọc tính chất tỷ lệ thức để có hớng giải phù hợp

Tõ a b=

b

c  b2 = ac Thay vào vế trái ta có: a2+b2

b2+c2=

a2+ac ac+c2=

a(a+c)

c(a+c)=

a

c (§pcm)

Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu phép nhân đẳng thức ta có lời giải sau:

Vì cần có a2; b2 nên ta nhân vÕ cđa a

b= b

c víi thân ta

có: a b= b c  a b a b= b c b c= a2

b2= b2

c2= a2

+b2

b2+c2(1)

mµ a

b= b

c  b2 = ac  a2 b2=

a2

ac=

a c(2) Tõ (1) vµ (2)  a

2

+b2

b2+c2=

a

c (§pcm)

Bµi tËp vËn dơng: Bµi 1: Cho tØ lƯ thøc: a

b= c

d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa)

1) 3a+5b

3a−5b=

3c+5d

3c −5d 2) ( a+b

c+d)

2

=a

2

+b2

c2+d2

3) a− b a+b=

c −d

c+d 4) ab

cd=

(a − b)2 (c − d)2

Bµi 2: Cho a b=

b c=

c

d Chøng minh r»ng: (

a+b+c

b+c+d)

3

=a

d Bµi 3: Chøng minh r»ng nÕu : a

b= b

d th× a2

+b2

b2

+d2=

a d

Bµi 4: Cho a+b a− b=

c+d

c −d CMR: a b=

c d Bµi 5: Cho tØ lƯ thøc 2a+13b

3a −7b=

2c+13d

3c −7d CMR: a b=

Với phơng pháp trên, phơng pháp giảng dạy học sinh giỏi mơn tốn làm cho em t tốt, rèn luyện đợc ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu sáng tạo giải toán đạt hiệu cao Đó cơng cụ giải tốn học sinh Ngồi phơng pháp cịn cơng cụ đặc biệt quan trọng cho em giải dạng toán có lời văn phần đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ

Dạng Các toán đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, chia tỉ lệ.

Bài toán Số học sinh khối 6; 7; 8; trờng THCS lần lợt tỉ lệ víi

9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trờng đó?

Gi¶i:

Gäi sè häc sinh khối 6; 7; 8; lần lợt x, y, z, t ( x, y, z, t  N* )

Theo đầu ta có : 10 11

x y z t

  

vµ x – t =

¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã :

9 10 11

x y z t

  

8

9

x t

  



Suy ra: x = = 72 ; y = 10 = z = 11 = 88 ; t = = 64

VËy sè häc sinh cña khèi 6, 7, 8, lần lợt là: 72; 80; 88; 64 học sinh

Bài toán 2: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ với 2; 3; Tìm số học sinh tổ lớp 7A biết số học sinh lớp 7A 45 học sinh

Gi¶i:

Gäi sè häc sinh cđa tỉ 1, tỉ 2, tổ lần lợt x, y, z ( x, y, z N* )

Theo đầu ta cã : 2 4 x y z  

¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã :

2 4

x y z  

=

45 5

2 4 9

x y z 

   

Suy ra: x = = 10 y = = 15 z = = 20

VËy sè häc sinh tổ 1, tổ 2, tổ lần lợt lµ : 10 ; 15 ; 20 häc sinh

Bài toán 3: Chia số 136 thành phần tỉ lƯ nghÞch víi

8 ; ; ?

Gi¶i :

Gọi phần đợc chia số 136 x; y; z ( x; y; z  0)

Theo đề ta có:

7x= y=

5

7z (1) vµ x+ y + z = 136 (1)

Chia c¶ tû sè cña (1) cho BCNN ( 8; ) = 40 ta cã:

136 35 45 56 35 45 56 136

x y z x y z 

    

 

 x = 35 = 35 y = 45 = 45 z = 56 = 56

Vậy phần đợc chia số 136 là: 35 ; 45 ; 56

Bài tốn 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 72 các chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ; ;

gi¶i:

Gọi a, b, c chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:

a

1=

b

2=

c

3=

a+b+c

6 (1)

Mµ 3≤ a+b+c ≤27⇒a+b+c∈{9,18,27} (2) Tõ (1) suy a+b+c⋮6 (3)

Tõ (2) vµ (3) suy a+b+c=18 suy ra:

a=3 1=3

b=3 2=6

c=3 3=9

Vì số cần tìm chia hết ta có số 936 thoả mÃn điều kiện đầu Bài toán 5: Độ dài ba cạnh tam gi¸c tØ lƯ víi 2; 3; Ba chiỊu cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nµo

Giải: Gọi độ dài ba cạnh tam giác a, b, c

Ba chiều cao tơng ứng x, y, z Diện tích tam giác S Ta có:

a=2S

x ;b=

2S y ;c=

2S

z (1)

Vì ba cạnh tỉ lệ với 2, 3, nªn :

a

2=

b

3=

c

4 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã: 2S

2x=

2S

3y=

2S

4z⇒2x=3y=4z

⇒x

3=

y

2;

y

4=

z

3 ⇒x

6=

y

4=

z

3

VËy chiỊu cao t¬ng øng víi ba cạnh tỉ lệ với số 6; 4;

Bài toán 6:Tìm hai số khác biết tổng, hiƯu, tÝch cđa chóng tØ lƯ víi 5;1;12.

gi¶i:

Gọi hai số phải tìm a, b ( a ≠0, b ≠0 ), a > b ta cã: a+b

5 =

a − b

1 =

a.b

XÐt a+b

5 =

a − b

1 ⇒a+b=5(a − b)

⇒a+b=5a −5b⇒4a=6b⇒a=3b

Do a −b=3b − b=

.b

2

Tõ a− b

1 =

a.b

12 ⇒ab=12(a −b)

Thay a −b=.b

2 vµo ta cã: ab=6b⇒a=6

Thay a = vµo a=3

2b ta cã:

2b=6⇒3b=12⇒b=4

VËy a = 6; b =

Bài tốn 7: Tìm số đo góc tam giác biết số đo góc tam giác tỉ lệ với 2, 3,

Giải: Gọi số đo góc tam giác x, y, z

Theo đầu ta cã : 2 3 4

x y z

 

0 180

x  y z  (Tỉng gãc cđa tam giác)

áp dụng tính chât d·y tØ sè b»ng ta cã :

0

0 0 0

180

20

2 4

2.20 40 ; 3.20 60 ; 4.20 80

x y z x y z

x y z

 

    

 

      

Ngoài việc hớng dẫn học sinh tìm tịi lời giải khác cho tốn, tơi cịn hớng dẫn học sinh cách khai thác toán cách thay đổi số liệu, kiện để có tốn với phơng pháp giải tng t

Dạng 5: Tính giá trị biểu thức.

Bài toán 1: Biết

4

x y z

a b  c TÝnh A =

3 2

3 2

x y z a b c

 

Giải:

áp dụng tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã:

Ta cã:

3 2 3 2

4

3 2 3 2

x y z y z x y z

a b c b c a b c

 

     

  VËy A = 4

Bài toán 2: Cho

2 3

2 3

x y z P

x y z   

 

TÝnh giá trị biểu thức P biết số x, y, z lần lợt tỉ lệ với 5; 4; Giải:

Theo đầu ta có

2 3

5 9

2 3

4

x y z y z x y z x y z

x y z x y z

   

     

   

   

 

Suy :

2 3 4

2 3 6

x y z

P

x y z

 

 

 

Bài toán 3: Cho a+b+c+d 0 a

b+c+d=

b a+c+d=

c a+b+d=

d a+b+c

Tìm giá trị của: A=a+b

c+d+

b+c

a+d+

c+d

a+b+

d+a

Gi¶i:

1

3( ) 3

a b c d a b c d

b c d a c d a b d a b c a b c d

  

    

          

(V× a+b+c+d ≠0 )

=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b = b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = => a = b

T¬ng tù => a = b = c = d => A =

Bài toán 4: Ba số a, b, c khác khác thoả mÃn điều kiện

a b c

b c a c a b    Chứng minh giá trị biểu thức M 3

b c a c a b

a b c

  

   

Gi¶i:

Ta cã:

a b c b c a c a b    

Suy :

1 1

a b c

b c  a c  a b 

a b c a b c a b c

b c a c a b

     

  

  

Mặt khác: a, b, c số khác khác nên đẳng thức xảy

a + b + c =

Suy ra: a + b = - c ; b + c = - a ; a + c = - b

Thay vµo biĨu thøc M ta cã:M =

( 1) ( 1) ( 1) 3

a b c

a b c

  

        

(®pcm) III.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

Với phương pháp thực học sinh tự tìm kiến thức cách độc lập tích cực.Do học sinh hứng thú, hiểu sâu sắc từ vận dụng tốt

Lớp Trớc thực đề tài Sau thực đề tài Giỏi: / 46  17,4% Giỏi: 20 / 46  43,5%

Kh¸: 16 / 46 34,8% Kh¸: 21 / 46  45,7%

7A Trung b×nh: 19 / 46 41,3% Trung b×nh: / 46  10,8%

YÕu: / 46  6,5% YÕu : 0%

KÐm : 0% KÐm: 0%

Giái: / 39  2,5% Giái: 5/ 39  12,8%

Kh¸: / 39  15,4% Kh¸: 13 / 39  33,3%

7C

Trung b×nh: 12 / 39  30,8% Trung b×nh: 14/ 39  36%

YÕu: 18 / 39  46,2% YÕu : 7/ 39  17,9%

phương phỏp trờn để giải cỏc toỏn dạng toỏn cú liờn quan đến tỉ lệ thức Đặc biệt với toán đa em ln tìm tịi nhiều cách giải khác lựa chọn cách giải tối u để làm Qua dạy đối chứng v kià ểm tra tụi

PH

Ầ N THỨ BA

C K T LUẾ Ậ N V KHUYÀ N NGHẾ Ị I KẾT LUẬN:

Trong giai đoạn nay, đổi phương phỏp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng , thõn tụi mong muốn làm để nõng cao chất lượng học sinh nờn tụi cố gắng tỡm tũi ứng dụng cỏi Để làm tốt đợc tập dạng “Tỉ lệ thức”này học sinh cần phải nắm kiến thức nh : Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau…

Đối với ngời thầy “Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu dạng toán cần truyền tải đến học sinh ” Qua nghiên cứu kỹ tài liệu liên quan , có định hớng rõ ràng , thảo luận tổ chuyên môn trao đổi đồng nghiệp tìm giải pháp tối u, triển khai, rút kinh nghiệm qua cụ thể, bổ sung kiến thức qua tài liệu, tạp trí tốn học, đề thi học sinh giỏi hàng năm

Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua tiết học, tập cụ thể, hoàn thành tập đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp phần kiến thức mà lĩnh hội đợc, khó khăn vớng mắc thực phần tập đợc giao, trao đổi thông tin với bạn học qua rút phơng pháp học tập phù hợp để đạt đợc kết cao Tuy nhiên trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức vào cho phù hợp có nh đạt đợc hiệu tốt

II BÀI HOC KINH NGHIÊM

dạng Việc phân dạng nh giúp học sinh dễ tiếp thu thấy đợc toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng tốn tơi chọn số tốn điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau giải giỏo viờn nờn

chỉ đặc điểm, hướng giải đú để gặp cỏc tương tự học sinh cú thể liờn hệ từ để làm tập mang tính tơng tự dần nâng cao lên Trong q trình làm dạng tốn đặc biệt ý đến nội dung tốn có xếp theo trình tự từ dễ đến khó dạng phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng kiến thức phù hợp với khả nhận thứcvà có phát triển khả t lơgíc Bờn cạnh đú giỏo viờn phải khụng ngừng nỗ lực

nắm bắt kịp thời theo yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, tham khảo tài liệu liên quan đến giảng, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, để giảng dạy hay bồi dưỡng vấn đề tự xây dựng cho hệ thống phương pháp giảng dạy phù hợp

III KHUYẾN NGHỊ

Xu hướng đại hoá giáo dục ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy trọng, giáo viên thực dạy giáo án điện tử phải nhiều thời gian để chuẩn bị phòng dạy Vậy đề nghị cấp quan tâm đầu tư để nhà trường có phịng mơn phục vụ cho cơng tác giảng dạy tốt Bên cạnh sách tham khảo trường hạn chế chất lượng lẫn số lượng đầu sách, chưa đáp ứng đủ nhu cầu giáo viên học sinh Đề nghị phòng giáo dục, nhà trường đầu tư thêm

Việc đổi phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh chèc lát mà trình lâu dài

mới đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo mảng kiến thức trọng tâm ch-ơng trình tốn lớp

Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy phần tØ lƯ thøc, với góp ý đồng nghiệp hy vọng đề tài

gúp phần tăng thờm hiệu học tập học sinh Do khả kinh nghiệm chưa nhiều nờn khụng trỏnh khỏi thiếu xút, mong nhận quan tõm gúp ý đồng nghiệp hội đồng khoa học cỏc cấp để năm tới đề tài đạt kết tốt

Tôi xin trân thành cảm ơn !

Cao viên, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa toán - tập (NXBGD – 2003) Sách giáo viên toán - tập (NXBGD – 2003) Sách tập toán - tập (NXBGD – 2003)

4 Nâng cao phát triển toán 7- tập 1- VŨ HỮU BÌNH (NXBGD - 2004)

5 Những vấn đề chung đổi giáo dục Trung học sở mơn Tốn (NXBGD – 2007)

6 Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn Đại số - V dơng thuỵ( chủ biên)

nguyễn ngọc đạm (NXBGD – 2008)

7 KiÕn thøc nâng cao Toán tập ( nxb hµ Néi – 2008) Tốn học tuổi trẻ (NXBGD - BỘ GDĐT)

Môc lơc

Néi dung trang

PhÇn thứ

A Mở đầu

Lí chọn đề tài

Mục đích nghiên cứu

NhiƯm vơ nghiên cứu

Đối tợng nghiên cứu

Phơng pháp nghiên cứu

PhÇn thø hai

B Néi dung

I Thực trạng vấn đề nghiên cứu

II Biện pháp giải vấn đề nghiên cu

II.1 Định nghĩa, tính chất tØ lƯ thøc vµ dÉy tØ sè b»ng

II.2 Các dạng toán phơng pháp giải

III Kết nghiên cứu 35

Phần thứ ba 36

C Kết luận khuyến nghÞ 36

I KÕt luËn 36

II Bµi häc kinh nghiƯm 36

III Khun nghị 37

*Tài liệu tham khảo 39

*Nhn xét hội đồng khoa học cấp 40

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

-o0o -……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

………

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ

-o0o -……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………