a, Chứng minh rằng OM = ON.. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK.. Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 [r]
(1)§Ị thi hsg líp THAM KHAO SỐ 1 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25 b) 1990x −17+x −21
1986 +
x+1 1004=4
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác 1x+1
y+
1
z=0
Tính giá trị biểu thức: A=yz
x2+2 yz+ xz
y2+2 xz+ xy
z2+2 xy
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HAAA''+HB'
BB' +
HC'
CC'
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC biểu thức
AB+BC+CA¿2 ¿
Ơ¿ ¿
(2)ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính x = 2007 ( điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
Bài 2(1,5 điểm):
1
x+
1
y+
1
z=0 ⇒
xy+yz+xz
xyz =0⇒xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm
)
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: A=yz
(x − y)(x − z)+ xz
(y − x)(y − z)+ xy
(z − x)(z − y) ( 0,25điểm )
Tính A = ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0≤ a , b , c , d ≤9, a ≠0 (0,25điểm)
Ta có: abcd=k2
(a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2 abcd=k2
abcd+1353=m2
(0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
với k, m N, 31<k<m<100
(0,25điểm)
⇔ ⇔
hoặc
(3)m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25điểm)
Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm)
Bài (4 điểm):
Vẽ hình (0,25điểm)
a) SHBC
SABC=
1
2 HA' BC
2 AA'.BC =HA'
AA' ;
(0,25điểm)
Tương tự: SHAB SABC
=HC' CC' ;
SHAC SABC
=HB'
BB' (0,25điểm)
HAAA''+HB' BB' +
HC'
CC' = SHBC SABC
+SHAB
SABC
+SHAC
SABC
=1 (0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BIIC=AB
AC; AN NB= AI BI ; CM MA= IC AI (0,5điểm ) BI IC AN NB CM MA= AB AC AI BI IC AI= AB AC IC BI=1 ⇒BI AN CM=BN IC AM
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
- Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
AB+BC+CA¿2 ¿
Ơ¿ ¿
(0,25điểm)
Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC
⇔
(0,5điểm ) (0,5điểm )
(4)Kết luận (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu
§Ị thi hsg líp SỐ 2 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A = (1− x3
1− x − x):
1− x2
1− x − x2
+x3 với x khác -1
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x ¿−12
3
c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho
2 2 2 2 2
a b b c c a 4 a b c ab ac bc
Chứng minh a=b=c
Bài (3 điểm)
(5)Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3+3a2−4a+5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh AB1 +
CD=
2
MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD
Đáp án Bài 1( điểm )
a, ( điểm )
Với x khác -1 :
A= 1− x13− x− x+x2: (1− x)(1+x)
(1+x)(1− x+x2)− x(1+x)
0,5đ
= (1− x)(1+x+x
− x)
1− x :
(1− x)(1+x) (1+x)(1−2x+x2)
0,5đ
= (1+x2): (1− x)
0,5đ = (1+x2)(1− x)
KL
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = −12
3 = −
5
3 A =
−5
3¿
2
1+¿−[1−(−5 3)]
¿
0,25đ
= 3)
5 )( 25
( 0,25đ
¿34
9 3=
272
27 =10
2
(6)KL
c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1− x)<0 (1) 0,25đ
Vì 1+x2>0 với x nên (1) xảy 1− x<0 ⇔x>1 KL
0,5đ 0,25đ
Bài (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để
a2+b2−2 ab+b2+c2−2 bc+c2+a2+2ac=4a2+4b2+4c2−4 ab−4 ac−4 bc
0,5đ
Biến đổi để có (a2+b2−2ac)+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đ
Biến đổi để có
a − c¿2=0
b −c¿2+¿ a− b¿2+¿
¿
(*)
0,5đ
Vì a −b¿2≥0
¿ ;
b − c¿2≥0
¿ ;
a − c¿2≥0
¿ ; với a, b, c
nên (*) xảy a −b¿2=0
¿ ; b − c ¿2=0
¿ a − c ¿2=0
¿ ;
0,5đ 0,5đ
Từ suy a = b = c 0,5đ
Bài (3 điểm)
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x+x11 (x số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số xx −7
+15
(x khác -15)
0,5đ
Theo ta có phương trình x+x11 = xx −+157 0,5đ Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ Từ tìm phân số −5
6
KL
0,5đ
Bài (2 điểm)
Biến đổi để có A= a2(a2+2)−2a(a2+2)+(a2+2)+3
0,5đ
= a −1¿2+3
(a2+2)(a2−2a+1)+3=(a2+2)¿
0,5đ
Vì a2
+2>0 ∀a a −1¿
≥0∀a
¿ nên
a −1¿2≥0∀a
(a2+2)¿ a −1¿2+3≥3∀a
(a2+2)¿
0,5đ
Dấu = xảy a −1=0 ⇔a=1 0,25đ
KL 0,25đ
Bài (3 điểm)
N
I M
D C
(7)a,(1 điểm)
Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)
Tính AD = 4√33cm ; BD = 2AD = 83√3cm
AM = 12BD=¿ 4√3
3 cm
0,5đ
Tính NI = AM = 4√3
3 cm
0,5đ
DC = BC = 83√3cm , MN = 12DC=¿ 4√3
3 cm 0,5đ
Tính AI = 8√3
3 cm
0,5đ
Bài (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có OMAB =OD BD ,
ON
AB=
OC
AC 0,5đ
Lập luận để có ODDB=OC
AC 0,5đ
⇒ OM
AB =
ON
AB ⇒ OM = ON 0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét ΔABD để có OMAB =DM
AD (1), xét ΔADC để có OM
DC =
AM
AD (2)
Từ (1) (2) ⇒ OM.( AB1 +
CD ) ¿
AM+DM
AD =
AD
AD=1
0,5đ
Chứng minh tương tự ON (
AB+
1
CD)=1 0,5đ
O N
M
D C
(8)từ có (OM + ON) (
AB+
1
CD)=2 ⇒
1 AB + CD= MN 0,5đ
b, (2 điểm)
SAOB SAOD =OB OD , SBOC SDOC =OB OD ⇒ SAOB SAOD
=¿ SBOC SDOC
⇒
SAOB.SDOC=SBOC.SAOD
0,5đ
Chứng minh SAOD=SBOC 0,5đ
⇒ SAOD¿2
SAOB.SDOC=¿
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
§Ị thi hsg líp SỐ 3 MƠN TOÁN
Thời gian: 120 phút
B i 1:
Cho x =
2 2
2
b c a bc
; y =
2
2
( )
( )
a b c b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
B i 2:
Giải phương trình:
a,
1
a b x = a+ b +
x (x ẩn số)
b,
2
(b c)(1 a)
x a
+
2
(c a)(1 b)
x b
+
2
(a b)(1 c)
x c
= 0
(9)B i 3:
Xác định số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x x
= ( 1)3
a
x +( 1)2
b x
B i 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm nguyên.
B i 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C
§Ị thi hsg líp SỐ 4 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
B
i : (2 điểm)
Cho biểu thức:
3 2
2 1 x
A 1 :
x x 2x x x
x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm giá trị x để A<1
c/ Tìm giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên
B
i : (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
(10)Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung điểm AB CD Nối D với E Vẽ tia Dx vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G giao điểm DK EM
a/ Tính số đo góc DBK
b/ Gọi F chân đường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho
§Ị thi hsg líp SỐ 5 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức
2
2
1 x
A :
3 x 3x 27 3x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
a)
1 3y2+
3
x2
−3x:
(27−x23x)
b)
6 x
x x 1 .
3
2
x
2
(11)Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h
Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương
§Ị thi hsg líp SỐ 6 MƠN TOÁN
Thời gian: 120 phút
Bài
: (2điểm)
a) Cho x2 2xy 2y 2x 6y 13 0 Tính
2
3x y N
4xy
b) Nếu a, b, c số dương đơi khác giá trị đa thức sau số dương: A a b3 c3 3abc
Bài
: (2 điểm)
Chứng minh a + b + c = thì:
a b b c c a c a b
A
c a b a b b c c a
Bài
(12)Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian tơ qng đường AB biết người đến B
Bài
: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC
Bài
: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình: x6 3x2 1 y4
§Ị thi hsg líp SỐ 7 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả mãn:
2 2
2 2
x y z a b c
=
2
x a +
2
y b +
2
z c
Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
1
a+
1
b
a b
(13)CMR: a d d b
+
d b b c
+
b c c a
+
c a a d
Bài 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2
2
x xy y x xy y
với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( 1995)2 x
x với x > 0
Bài 5:
a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2 + x + = y2
Bài 6:
Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB,
AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành
b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’
§Ị thi hsg líp SỐ 8 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a+b¿2(a −b)
c+a¿2(c − a)+c¿ b+c¿2(b − c)+b¿
a¿
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 1a+1
b+
1
c=0
Rút gọn biểu thức: N=
a2+2 bc+
b2+2ca+
c2+2 ab
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2−xy− x+y+1
b) Giải phương trình: y −5,5¿
−1=0 y −4,5¿4+¿
(14)Bài 3: (2điểm)
Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km
Tính quãng đường AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
Bài 5: (1điểm)
(15)§Ị thi hsg líp SỐ 9 MƠN TỐN
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x √x - 3x + √x -2 với x
Bài : (1,5điểm)
Cho abc = Rút gọn biểu thức:
A= a ab+a+2+
b
bc+b+1+ 2c
ac+2c+2
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a
b
Tính: P=ab 4a2− b2
Bài : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ
N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện
ABC
để cho AEMF hình vng
Bài 5: (1điểm)
(16)§Ị thi hsg líp SỐ 10 MƠN TOÁN
Thời gian: 120 phút
Bài
: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: a+b+c¿3− a3−b3− c3 ¿
b) Rút gọn: 2x3−7x2−12x+45
3x3−19x2+33x −9
Bài
: (2 điểm)
Chứng minh rằng: n2−7¿2−36n
A=n3¿ chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài
: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
Tính xem giếng
b) Giải phương trình: 2|x+a|−|x −2a|=3a (a số)
Bài
: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chứng minh: góc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC
Bài
: (1 điểm)
Chứng minh số:
224 99 9⏟
n-2 sè
1 00 09⏟