Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC).. Kẻ đường cao AH.a[r]
(1)ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Thời gian 120 phút Câu 1( điểm)
a) Tính giá trị biểu thức sau: A = + 32 + 33 + 34 +………3100
b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 x = |y| = 3
Câu (4 điểm)
a) Cho a; b N ( 11a + 2b) ⋮ 12 Chứng minh ( a + 34b) ⋮ 12 b) Tìm số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) =
c) Khi chia số tự nhiên a cho số: 5; 7; 11 số dư 3; 4; Tìm số a biết 100 < a < 200
Câu ( điểm)
1 Tìm tất cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 Cho |x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|=6x
a) Chứng minh x
b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức Câu ( điểm)
a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) ⋮ n –
b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
Câu (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 4cm a) Trong ba điểm O, A, B điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao?
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB
c) Điểm A có phải trung điểm đoạn thẳng OB khơng? Vì sao?
d) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = 2BA Chứng tỏ B trung điểm đoạn thẳng OD
(2)ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1 (4,0
đ)
a) (1,5 đ)
A = + 32 + 33 + 34 +………3100
=> 3A = 32 + 33 + 34 +………3100 + 3101
=> 3A – A = 3101 – 3
=> A = 3101−3
2
b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 x = |y| = 3
vì |y| = => y = ±
B = 20 x = 2; y = 3; B = 56 x = 2; y = -3
2
Câu 2 (3,5đ)
a) Cho a; b N ( 11a + 2b) ⋮ 12 Chứng minh ( a + 34b) ⋮ 12 Từ 12a + 36b ⋮ 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) ⋮ 12
Mà ( 11a + 2b) ⋮ 12 => ( a + 34b) ⋮ 12
0,5 0,5
b) Tìm số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) =
Vì (x - 3)( y + 1) = mà = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có
*
¿
x −3=1 y+1=7 <=>
¿x=4
y=6
¿{
¿
*
¿
x −3=7 y+1=1 <=>
¿x=10 y=0
¿{
¿
*
¿
x −3=−1 y+1=−7 <=>
¿x=2 y=−8
¿{
¿
*
¿
x −3=−7 y+1=−1 <=>
¿x=−4
y=−2
¿{
¿
Vì x; y số tự nhiên nên cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0)
c) Khi chia số tự nhiên a cho số: 5; 7; 11 số dư 3; 4; Tìm số a biết 100 < a < 200
Vì chia a cho 5,7,11 có số dư 3,4,6 => a = 5k + ; a=7q + ; a=11p +
=> 2a - BC (5; 7; 11) Tìm a = 193
1,0
0,5
0,5 0,5 0,5
Câu 3 (3,0
đ)
Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để 34x5y chia hết cho 36 34x5y chia hết cho
34x5y chia hết cho + + x + + y ⋮ 9 => 12 + x + y ⋮ 9 (1) 34x5y chia hết cho 5y⋮ => y = y =
(3)CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Với y = thay vào (1) => 14 + x ⋮ => x =
Với y = thay vào (1) => 18 + x ⋮ => x = x =
Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6) 0,50,5 Cho |x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|=6x
a) Chứng minh x
Vì |x|≥0;|x+1|≥0;|x+2|≥0 => |x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|≥0 => 6x => x
b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức
Vì x => |x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|=6x x + x+1+x+2 = 6x
3x - 6x = -3 x = (t/m)
0,5 0,5
0,5 0,5 Câu 4
(2,0 đ)
a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) ⋮ n –
Ta có: n2 – n – ⋮ n –
n(n-1) – ⋮ n –
=> -1 ⋮ n – => n – {−1;1} => n {0;2}
0,5 0,5 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
Gọi d ƯCLN 2n + 3n +1
=> 3(2n+1) – 2(3n+1) ⋮ d => ⋮ d => d = => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) =
0,5 0,5
5 O A B D x
Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm Vì 2cm < 4cm => OA < OB nên A nằm O B
0,5 0,5 Vì A nằm O B nên OA + AB = OB
+ AB = => AB = – = => AB = cm
0,5 0,5 Vì OA + AB = OB OA = AB = 2cm
Nên A trung điểm OB
0,5 0,5 Ta có BD = BA = 2.2 = cm => BD = BO = cm (1)
Vì O D nằm hai tia đối gốc B nên B nằm O D => OB + BD = OD (2)
Từ (1) (2) suy B trung điểm OD
(4)ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 Thời gian 120 phút
Câu 1( điểm)
a) Tính giá trị biểu thức sau: A = 153+5 152−53
183+6 182−63 B =
(74−73) 493
b) Tìm số tự nhiên n biết: 13 3n = 7.32 92 – 2.3n
Câu (3 điểm)
a) Tìm giá trị lớn biểu thức A =
x+1 3¿
2 +5
¿
4
¿
b) Tìm số x; y biết: x + y = x.y = xy (y 0¿
c) Cho số nguyên tố p lớn 3, chứng minh p2 – chia hết cho 24
Câu ( điểm)
1 Tìm số a,b,c biết: a+21=b+2
3 =
c+2
4 3a – 2b + c = 105 Tìm x,y,z biết:
|
x −12
|
+|
y+3
|
+|
x+y − z − 2|
=0 Câu ( điểm)a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) ⋮ n +
b) Cho A = (1 - 12¿(1−1 3)(1−
1 4)(1−
1
5) (1−
20) So sánh A với 21
Câu 5( điểm) Cho tam giác ABC có ∠B>∠C Gọi AD, AE theo thứ tự đường phân giác trong, phân giác góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC)
a Chứng minh rằng: ∠ ADC – ∠ ADB = ∠ B – ∠ C
b Kẻ đường cao AH Chứng minh rằng: ∠ AEB = ∠ HAD = 12 ( ∠B −∠C ) c Tính số đo góc: ADB, ADC HAD, biết ∠B −∠C = 400
Câu ( điểm): Cho m,n hai số phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: mn – m – n + ⋮ 192
(5)ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1 (3,0đ)
a) Tính giá trị biểu thức sau: A = 153+5 152−53
183+6 182−63 = 53
63 B =
(74−73)
493 = 36 1,5 b) Tìm số tự nhiên n biết: 13 3n = 7.32 92 – 2.3n
3-1.3n + 2.3n = 7.36
3n-1 = 36
n = 1,5
Câu 2
(3,0đ) a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = x+ 3¿
2 +5
¿
4
¿
Vì (x + 13 )2 + 5 5 với x R
=>
x+1 3¿
2 +5
¿
4
¿
4
5 dấu “=” xảy x = -
Giá trị lớn 45 x = - 13
0,5
0,5
b) Tìm số x; y biết: x + y = x.y = xy (y 0¿
Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => xy=x −1
Mặt khác x + y = xy => x + y = x + y => y = -1 Khi x – = x(-1) => x = 12
0,5
0,5
c) Cho số nguyên tố p lớn 3, chứng minh p2 – chia hết cho 24
Ta có: p số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho p2 – = (p - 1)( p + 1)
Vì p lẻ nên p-1 p+1 số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) ⋮
Mặt khác p-1; p; p+1 ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết (p - 1) ( p + 1) ⋮ Vì (3;8)=1 nên p2 – 1 ⋮ 24
0,5
0,5 Câu 3 1 Tìm số a,b,c biết: a+1
2 =
b+2
3 =
c+2
(6)CÂU NỘI DUNG ĐIỂM (3,0 đ) a+1 = b+2 = c+2
4 b =
3(a+1)
2 -2 c = 2(a+1) -2
b = 3a−2 c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính a = 52; b = 1552 c = 104
0,5 0,5
1,0 Tìm x,y,z biết:
|
x −12
|
+|
y+3
|
+|
x+y − z − 2|
=0 Vì|
x −12
|
≥0;|
y+3
|
≥0;|
x+y − z − 2|
≥0 Mà|
x −12
|
+|
y+3
|
+|
x+y − z −2
|
=0 nên* x - 12 = x = 12 ; y + 32 = => y = - 32 Tính z = -2 0,5 0,5 1,0 Câu 4 (2,0 đ)
a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) ⋮ n +
Ta có: 2n2 + 3n +2 ⋮ n +
2n2 + 2n + n +1 + ⋮ n + 1
=> ⋮ n + => n + {−1;1}
=> n {0;−2}
0,5 0,5
b) A = (1 - 12¿(1−1 3)(1−
1 4)(1−
1
5) (1−
20) =
1
2
3
18 19 19 20= 20 => A > 211
0,5 0,5
5
A
E
B H D C
0,5
a Vì AD tia phân giác góc A nên: BAD = CAD
Vì góc ADC ADB theo thứ tự góc ngồi tam giac ABD ACD nên:
ADC = B + BAD; ADB = C + CAD
Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C
0,5 0,5 0,5 b Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vng góc)
ACD + ADB = 1800
ADC = 1800 – ADB
(7)CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Kết hợp với câu a Ta
(1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C)
=> ADB = 900 –
2 ( B – C)
Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB
= 900 – [900 -
2 ( B – C)] =
2 ( B – C)
0,5 0,5
c Theo giả thiết ta có ADC – ADB = 400
ADC + ADB = 1800
=> ADB = 700 ; ADC = 1100
=> HAD = 200
0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 6 Cho m,n hai số phương lẻ liên tiếp.
Chứng minh rằng: mn – m – n + ⋮ 192
m,n hai số phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng m = ( 2k – 1)2 n = ( 2k + 1)2
Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1)
Ta có (k-1)k(k+1) ⋮ (k-1)k.k(k+1) ⋮ nên (k-1)k2 (k+1) ⋮ 12
16k2(k-1)(k+1) ⋮ 16.12=192