Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a, ABB’A’, ACC’A’ là các hình vuông. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB; M là một điểm trên cạnh BC. 1) Xác[r]
(1)HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh IJ//CD Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD (CD > AB) Gọi M, N trung điểm SA, SB
a, Chứng minh MN//CD
b, Tìm giao điểm P SC mp(AND) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI//AB//CD Tứ giác SABI hình gì?
Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chứng minh MNPQ hình bình hành
b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn
Bài 4: Cho tam giác ABC nằm mp(P) Gọi Bx; Cy nửa đường thẳng song song nằm phía mp(P) M N điểm di động x, Cy cho CN = 2BM
a, Chứng minh MN qua điểm cố định I M, N di động b, E điểm thuộc đoạn AM EM 1EA
3
Gọi F giao điểm IE AN, Q giao điểm BE CF Chứng minh AQ//Bx//Cy (QMN) chứa đường thẳng cố định M, N di động
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm BC, SC, SD AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD
a, Chứng minh PQ//SA
b, Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh SK//AD//BC
c, Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB Tìm giao điểm Qx mp(SAB); giao điểm Qy mp(SCD) Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho
AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN // DE
Vấn đề 2: Tìm giao tuyến mp, dựng thiết diện
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I; J trung điểm AD BC Gọi G trọng tâm tam giác SAB
a, Tìm giao tuyến (SAB) (IJG)
b, Xác định thiết diện hình chóp với mp(IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IJM)
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AD = a; BC = b Gọi I; J trọng tâm tam giác SAD SBC
a, Tìm đoạn giao tuyến mp(ADJ) vớimp(SBC); (BCI) (SAD)
b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn mp (SAB) (SCD)
(2)a, Xác định thiết diện tứ diện với mp(IJK) Chứng minh thiết diện hình thang cân b, Tính diện tchs thiết diện theo a
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều,
SAD90 Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC a, Tìm giao điểm I Dx mp(SAB) Chứng minh AI//SB
b, Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AIC) tính diện tích thiết diện
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành; I, J trung điểm SA AB M điểm nửa đường thẳng Ax chứa C Biện luận theo vị trí M Ax dạng thiết diện hình chóp cắt mp(IJM)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAB tam giác đều; SC = SD = a Gọi H K trung điểm SA; SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC N a,Chứng minh HKMN hình thang cân
b, Đặt AM = x 0 x a Tính diện tích tứ giác HKMN theo a x Tìm x để diện tích nhỏ
c, Tìm tập hợp giao điểm HM KN; HN KM
Bài 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a, lấy M cạnh BA; P cạnh CD cho AM DP a Xác định thiết diện tứ diện mặt phẳng qua MP song song với AC Tính diện tích thiết diện
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng a chứa (P)
Ghi : Nếu a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) (Q)
Bài 1. Cho tứ diện SABC có I, J trung điểm AB BC CMR: với M SB (M B) ta có IJ // (ACM)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD gọi M N trọng tâm ABD ACD CMR: M N // (BCD) MN // (ABC)
Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng Trên cạnh AD, BE lấy điểm M, N cho AM BN k
AD BE (0 < k < 1) Chứng minh MN // (CDE)
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB CD a, Chứng minh MN // mp SBC MN // mp SAD
b, Gọi P trung điểm SA Chứng minh SB SC song song với mp(MNP)
c, Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh G1G2//mp(SAC)
(3)Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh:
a, Điều kiện cần đủ để OO’//mp(BCD) BC AB AC
BD AB AD
b, Điều kiện cần đủ để OO’//mp(BCD) mp(ACD) BC = BD AC = AD Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng a, Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE) b, Trên AE BD lấy M N cho AM 1AE; BN 1BD
3
Chứng minh MN//mp(CDEF)
Bµi 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; BC lấy điểm N bất kì.Gọi () mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD
a)Tìm tiết diện tứ diện ABCD với () ?
b)Xác định vị trí N BC cho tiết diện hình bình hành ?
Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh AB () mặt phẳng qua M song song AD SD
a)Mặt phẳng () cắt SABCD theo tiết diện hình ? b)Chứng minh SA // ()
Bµi 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng () di động luôn song song BC đồng thời qua trung điểm C’ SC
a)Mặt phẳng () cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ hình ? b)Chứng minh () chuyển động luôn chứa đường thẳng cố định
c)Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh () di động M di động đường thẳng cố định
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy bình hành.Gọi M điểm di động cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM song song BD
a)Chứng minh () luôn qua đường thẳng cố định M chuyển động cạnh SC b) () cắt SB SD E ; F Trình bày cách dựng E F ?
c)Gọi I giao điểm ME CB; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn đề 2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG – THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Bài 1: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm SB CD mặt phẳng qua MN song song với SC
(4)Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b Gọi I, J trung điểm AB CD (P) mặt phẳng qua M IJ song song với AB CD
a, Tìm giao tuyến mp(P) với mp(IJD)
b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mo(P) Thiết diện hình gì?
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi C’ trung điểm SC; M điểm di động SA, (P) mặt phẳng di động qua C’M song song với BC
a, Chứng minh (P) chứa đường thẳng cố dịnh
b, Xác định hiế diện cua hinh chóp cắ mp(P) Xác định điêm M đê thiết diện hình bình hành c, Tìm tập hợp giao điểm hai cạnh đối thiết diện M di chuyển cạnh SA
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a AB = b Mặt bên SAD ta, giác đều, (P) mặt phẳng qua điểm M đoạn AB song song với SA BC, pm(P) cắt CD; SC; SB I; J; K
a, Chứng minh MIJK hình thang cân
b, Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mp(P) theo a x = AM
Bài 5: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm AB CD (P) mặt phẳng qua MN song song với SA
a, Tìm giao tuyến (P) với (SAB) (SAC) b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) c, Tìm điều kiện M; N để thiết diện hình thang
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O; M điểm di động SC (P) mặt phẳng qua AM song song với BD
a, Chứng minh (P) ln chứa đường thẳng cố định
b, Tìm giao điểm H K (P) với SB SD Chứng minh SB SD SC
SHSK SM số c, Thiết diện hình chóp với mp(P) hình thang hay khơng
Bài 7: Cho tứ diện ABCD cạnh a; M P hai điẻm di động cạnh AD BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diện theo thiết diện a, Chứng minh thiết diện thơng thường hình thang cân
b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ
Bài Cho hình chóp S.ABCD gọi M, N hai điểm SB CD ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC
a Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC) b Xác đinh thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng ()
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Xác địnhthiết diện hình chóp SABCD tạo mặt phẳng () biết
(5)Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD; G trọng tâm ABC; M, N, P, Q, R, H trung điểm SA, SC, CB, BA, QN, AG
a Chứng minh rằng: S, R, G thẳng hàng SH = 2MH = 4RG
b G1 trọng tâm SBC Chứng minh GG1 // (SAB); GG1 // (SAC)
c mặt phẳng () qua GG1 song song BC Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng ()
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD Một điểm M nằm AB, () mặt phẳng qua M song song AD SB
a Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng () Thiết diện hình gì? b Chứng minh SC song song ()
Bài 12 Cho tứ diện ABCD cạnh a I trung điểm AC , J AD cho AJ = 2JD M điểm di động BCD cho mặt phẳng (MIJ) song song AB
a Tìm tập hợp điểm M
b Tính diện tích thiết diện tứ diện tạo mặt phẳng (MIJ)
BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm mặt phẳng
Bài 1: Cho hình chớp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA CD
a, Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I trung điểm SC J điểm nằm mp(ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ // mp(SAB)
c, Giả sử tam giác SAB ABC cân A Gọi AE AF đường phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF // mp(SAD)
Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên AC BF lấy M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD; AF M’, N’
a, Chứng minh: (CBE) // (ADF)
b, Chứng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’)
c, Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp I M, N di động
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD Chứng minh đường phân giác ngồi góc
(6)Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a, Chứng minh mp(OMN) // mp(SBC)
b, Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ // mp(SBC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi I J hai điểm di động AD BC cho IA JB ID JC Chứng minh IJ song song với mặt phẳng cố định
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB tam giác vuông cân A Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a) Mặt phẳng qua M song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD N, P, Q
a, Chứng minh MNPQ hình thang vng
b, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M chạy AD c, Tính diện tích MNPQ theo a x
Bài 7: Cho đường thẳng a b chéo Tìm tập hợp điểm I đoạn MN chia MN theo tỉ số k cho trước trường hợp:
a, M, N di động a, b
b, M, N di động a, b MN song song với mặt phẳng nằm mặt phẳng cho trước cắt a b
Bài 8: Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy laứ hỡnh bỡnh haứnh Gói H,I,K lần lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa SA,SB,SC
a) Chửựng minh (HIK)// (ABCD)
b) Goùi M laứ giao ủieồm cuỷa AI vaứ KD, N laứ giao ủieồm cuỷa DH vaứ CI Chửựng minh (SMN) //(HIK)
Bài 9: Cho hỡnh hoọp ABCD.AÙB’C’D’ a) Chửựng minh (BA’D) // (B’D’C)
b) Chửựng minh AC’ qua tróng tãm G vaứ G’ cuỷa tam giaực A’BD vaứ CB’D’
Bài 10: Cho hỡnh choựp S.ABCD, ủaựy laứ hỡnh bỡnh haứnh tãm O Gói M,N lần lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa SA ,CD
a) Cm: (OMN) //(SBC)
b) Giaỷ sửỷ tam giaực SAD, ABC ủều cãn tái A Gói AE,A F laứ caực ủửụứng phaõn giaực cuỷa tam giaực ACD vaứ SAB Cm: E F //(SAD)
Bài 11: Cho hai hỡnh vuoõng ABCD, ABE F khoõng cuứng naốm moọt maởt phaỳng Trẽn caực ủửụứng cheựo AC,BF lần lửụùt laỏy caực ủieồm M,N cho AM=BN Caực dửụứng thaỳng // AB veừ tửứ M,N laàn lửụùt caột AD, A F taùi M’,N’
(7)VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG – THIẾT DIỆN CẮT BỞI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD Mặt phẳng di động song song với mp(SBD) qua I đoạn AC
a, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp
b, Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) thoả mãn (P) //(Q), ABCmp P ; MN Q
a, Tìm giao tuyến mp(MAB) mp(Q); giao tuyến mp(NAC) mp(Q) b, Tìm giao tuyến mp(MAB) mp(NAC)
Bài 3: Từ đỉnh hình bình hành ABCD vẽ nửa đường thẳng song song chiều Ax; By; Cz; Dt không nằm mp(ABCD) Một mp cắt nửa đường thẳng A’; B’; C’; D’
a, Chứng minh (Ax; By) // (Cz; Dt)
b, Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành c, Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Bài 4: Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD a, Chứng minh (G1G2G3) // mp(BCD)
b, Tìm thiết diện tứ diện cắt mp(G1G2G3) Tính diện tích thiết diệntheo diện tích tam giác BCD
c, M di động tứ diện cho G1M // (ACD) Tìm tập hợp điểm M
Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang, đáy lớn AB = 3a; AD = CD = a, tam giác SAB cân S SA = 2a Mặt phẳng di động song song với mp(SAB) cắt AD; BC; SC; SD M; N; P; Q
a, Chứng minh MNPQ hình thang cân
b, Đặt x = AM (0 < x < a) Tìm x để MNPQ ngoại tiếp đường trịn Tính bán kính đương trịn c, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M động AD
Gọi J giao điểm MP NQ Chứng minh IJ có phương khơng đổi J di động mp cố định Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O, E trung điểm SB Biết tam giác ACE AC = OD = a Mp di động song song với mp(ACE) qua I OD, mp cát AD, CD, SC, SB, SA M, N, P, Q, R
a, Nhận xét tam giác PQR tứ giác MNPR
b, Tìm tập hợp giao điểm MP NR I di động đoạn OD
c, Tính diện tích MNPQR theo a x = DI Xác định x để diện tích lớn
(8)Bài 9: Cho tứ diện ABCD Gọi E; F; J theo thứ tự trung điểm BC; BD; AD Mp qua EF song song với BJ, mp qua BJ song song với CD
a, Thiết diện mp cắt tứ diện hình gì?
b, Xác định thiết diện mp cắt tứ diện Chứng minh //
c, AC AD cắt mp H, K Gọi I giao điểm AC mp Chứng minh HE; KF AB đồng quy M
d, Giả sử tam giác ABC ABD vng B Tính chu vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD a
Bài 10: Cho hình chóp SABCD đay hình thang với cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1) Gọi S0 diện tích tam giác SAB mặt phẳng qua M cạnh AD song song với mp(SAB) Đặt DM x 0 x 1
AD
a, Xác định thiết diện hình chóp SABCD với mp Tính diện tích thiết diện theo S0, p, x
b, Tính x để diện tích thiết diện 1S0
Bài 11: Cho hình chóp SABC, I trung điểm SB J nằm đoạn SC cho JC1JS
2 O trọng tâm tam giác ABC
a, Xác định thiết diện hình chóp với mp(OIJ), gọi s diện tích thiết diện
b, mặt phẳng qua M nửa đường thẳng BC mp song song trùng với mp(OIJ) Đặt
BM
x x
BC Tìm x để mp cắt hình chóp
c, Biện luận theo x dạng thiết diện hình chóp với mp
d, Gọi H(x) diện tích thiết diện nói câu c Tính H(x) theo s x
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có E giao điểm AD BC Mp(P) song song với SE cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự J, K, H, I
a, Tứ giác IJKH hình gì?
b, Tìm điều kiện cần đủ để tứ giác IJKH hình bình hành
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AD = a; BC = b; AB = c Lấy M AB, mặt phẳng qua M song song với AD BC cắt cạnh AC, CD, BD N, P, Q
a, Tứ giác MNPQ hình gì?
b, Đặt AM = x Tính cạnh tứ giác MNPQ
c, Muốn tứ giác MNPQ hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trường hợp Tìm vị trí M AB để tứ giác có diện tích lớn
Bài 14: Cho tứ diện ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song song với BC, cắt BD CD M, N, đặt BM = x Tính 2 2
(9)BÀI 5: PHÉP CHIẾU SONG SONG – HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH HỘP
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Mp qua đường chéo A’C song song với đường chéo BC’ chia AB theo tỉ số nào?
Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Lấy MA ' B', NAB, P CC' thoả mãn: AM ' BN C' P1 MB' NA PC Mp(MPN) cắt B’C’ Q Tìm C' Q
B' C'
Bài 3: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a, Chứng minh C’B // mp(AHC’)
b, Tìm giao điểm AC’ mp(BCH)
c, Mp(P) qua trung điểm CC’ song song với AH CB’ Xác định thiết diện tỉ số mà đỉnh thiết diện chia cạnh tương ứng lăng trụ
Bài 4: Cho lăng trụ ABCA’B’C’
a, Tìm giao tuyến (AB’C’) (BA’C’)
b, Gọi M N điểm AA’ BC Tìm giao điểm B’C’ với mp(AA’N), MN với (AB’C’)
Bài 5: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng minh mặt phẳng (ABC’), (BCA’) (CAB’) có điểm chung O GG’ Tính tỉ số OG : OG’ Bài 6: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’
a, Chứng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C)
b, Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1; G2 tam giác BDA’ B’D’C Chứng minh G1; G2 chia AC’ làm phần
Bài 7: Chứng minh hình hộp, tổng bình phương đường chéo tổng bình phương tất cạnh
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’
a, Gọi I, K, G trọng tâm tam giác ABC; A’B’C’ ACC’ Chứng minh (IGK) // (BB’C’C) (A’KG) // (AIB’)
b, Gọi M, N trung điểm BB’ CC’ Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB’ MN
Bài 9: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi M, N trung điểm BC CC’, P đối xứng với C qua A a, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(A’MN)
b, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(MNP)
Bài 10: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm AB, B’C’; DD’
(10)b, Xác định thiết diện hình lập phương với mp(MNP)? Thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện
Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ đáy tam giác cạnh a, ABB’A’, ACC’A’ hình vng Gọi I, J tâm ABB’A’, ACC’A’ O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a, Chứng minh IJ // mp(ABC)
b, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(IJO) Chứng minh thiết diện hình thang cân
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC hình thoi cạnh a; SA = SB = a; SC = SD = a 3 Gọi E, F trung điểm cạnh SA, SB; M điểm cạnh BC
1) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MEF) Thiết diện hình gì? 2) Đặt BM = x (0 x a) Tính FM diện tích thiết diện theo a x
KQ: S = 16 8 3 16
3
a ax x
a
Bài2: Cho tứ diện ABCD AB vng góc với CD AB = AC = CD = a; M điểm cạnh AC với AM = x (0 < x < a); () mặt phẳng qua M song song với AB CD
1) Xác định thiết diện tứ diện tạo mặt phẳng () Thiết diện hình gì?
2) Tính diện tíchthiết diện theo a x Xác định x để diện tích thiết diện lớn S = x(a - x) < x < a x =
2
a
Bài3: Trong mặt phẳng () cho ABC cạnh a, gọi O trung điểm cạnh AC; lấy điểm S () cho SA = a SA BO; () mặt phẳng chứa BO song song với SA
1) () cắt tứ diện SABC theo thiết diện hình gì? 2) Tính diện tích thiết diện theo a S =
8 3
2 a
Bài4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành với AB = 2a, AD = a SAB tam giác vuông cân A Gọi M điểm cạnh AD với AM = x (0 < x < a) () mặt phẳng qua M song song với (SAB)
1) () cắt hình chóp theo thiết diện hình gì?
2) Tính diện tích thiết diện theo a x S = 2a2 x2
Bài5: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm cạnh CA, CB M điểm đoạn BD, mặt phẳng (IJM) cắt AD N
1) Chứng minh IJMN hình thang Xác định vị trí M để IJMN hình bình hành
(11)Bài6: Từ bốn điểm hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song chiều Ax, By, Cz, đưấng thẳng cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng () cắ bốn nửa đường thẳng A', B', C', D'
1) Chứng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt)
2) Chứng minh tứ giác A'B'C'D' hình bình hành
3) Gọi O, O' tâm hình bình hành ABCD, A'B'C'D' Chứng minh đường thẳng OO' // AA' AA' + CC' = BB' + DD'
Bài7: Cho tứ diện ABCD với AB CD, BCD vng C có = 300 M điểm di động cạnh BD, () mặt phẳng qua M song song với AB CD
1) () cắt tứ diện ABCD theo thiết diện hình gì?
2) Giả sử AB = BD = a, BM = x Tính diện tích S thiết diện thao a x
3) Vẫn lấy giả thiết câu2) Xác định x để thiết diện có đường chéo vng góc KQ: 2) S = xa x
2 3
3) x = 22 3a
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thoi cạnh a, SAD tam giác Gọi M điểm AB, () mặt phẳng qua M song song với (SAD) cắt CD, SC, SB N, P, Q
1) Chứng minh MNPQ hình thang cân
2) Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp điểm I M chạy từ A đến B 3) Đặt AM = x Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x
S = 2 4
3
x a
Bài9: Cho tứ diện SABC cạnh a Gọi I, K, L trung điểm AB, AI, SB () mặt phẳng qua KL song song với CI Tính diện tích thiết diện () với tứ diện S =
8 5
2 a
Bài10: Cho hình chóp S.ABCD có hình bình hành tâm O
1) Từ điểm M di động đoạn SA dựng đường thẳng song song với AD cắt SD N, NB cắt SO P Chứng minh MP qua điểm cố định
2) Trên cạnh CD lấy điểm Q cho:
SA SM CD
CQ
Chứng minh MQ sonh song với mặt phẳng cố định
3) Tìm vị trí M SA để MNQ có diện tích lớn nhất?
Bài11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; E, F, G trung điểm AA', BB', CC' Chứng minh rằng:
1) (EFG) // (ABCD)
(12)4) Gọi O O' giao điểm hai đường chéo ABCD A'B'C'D' Chứng minh AO' C'O chia A'C thành ba đạon
Bài12: Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2 tâm ABD BCD; I trung điểm AC
1) CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD)
2) mặt phẳng () qua G1, G2 song song với BC Tìm thiết diện () tứ diện ABCD Thiết diện hình ? Tại sao?
3) G tâm tứ diện ABCD K trung điểm G1G2 Chứng minh G, I, K thảng hàng
Bài13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang mà đáy lớn cạnh AD Một điểm M cạnh AB mặt phẳng () qua M // AD SB
1) mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? 2) CM: SC // ()
Bài14: Cho hình hộp ABCD.A"B'C'D' có Q trung điểm cạnh DD', I điểm đoạn BD cho DI = 3IB Tìm thiết diện hình hộp ABCD.A"B'C'D' tạo bới mặt phẳng () qua IQ // AC
Bài15: Cho tứ giác ABCD nằm mp (P) Hai đường thẳng AB CD cắt E; AD BC cắt F Một điểm S nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) di động cắt SA, SB, SC I, J, K 1) Tìm giao điểm K (Q) SD
2) Chứng minh điều kiện cần đủ để IJ // KL SE // (Q)
3) Tìm điều kiện SF (Q) để IL // JK Chứng minh IJKL ln hình bình hành (Q) ln song song với mặt phẳng cố định
Bài16: Cho hình vng ABCD có cạnh a tam giác vng cân ADF (AD = AF) nằm hai mặt phẳng khác Biết BF = a 2, đoạn AC, FD lấy hai điểm M, N di động cho: AM = FN = x (0 < x < a 2)
1) Chứng minh MM // (ABF) 2) Chứng minh: AN = MN = BM
c) Tính độ dài MN theo a x Xác định x để MN có độ dai nhỏ
Danh ngôn:
“A million words would not bring you back, I know because I've tried Neither would a million tears, I know because I've cried.”
- Khuyết danh -
“Khơng có tình u vĩnh cửu mà có giây phút vĩnh cửu tình u Có thể ăn nửa bữa, nửa đêm nửa đường chân lý, yêu nửa trái tim”
(13)