Đang tải... (xem toàn văn)
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC... Hàm số không có cực trị.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Mơn Tốn - Khi A, B phần chung cho tất thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2 +4
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Gọi d đờng thẳng qua điểm A(3; 4) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M v N vuụng gúc vi nhau.
Câu II (2điểm)
1 Giải hệ phơng trình:
x2+1+y(x+y)=4y (x2+1)(x+y −2)=y
¿{ ¿
(x, y R)
2 Giải phơng trình:
sin3x sin 3x
+cos3xcos 3x tan(x −π
6)tan(x+ π 3)
=1 Câu III (1 điểm) Tính tích phân I=∫
0
xln(x2+x+1)dx
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a
2√3
8 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số thực dơng thỏa mÃn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức
P=
a2+2b2+3+ b2+2c2+3+
1 c2
+2a2+3
Phần tự chọn (Thí sinh đợc làm hai phần: Phần Phần 2) Phần C âu VI.a (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y=x2−2x elip (E): x +y
2 =1 Chứng minh (P) giao (E) điểm phân biệt nằm đờng tròn Viết phơng trình đờng trịn qua điểm
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình
x2+y2+z2−2x+4y −6z −11=0 mặt phẳng () có phơng trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phơng trình mặt phẳng () song song với () cắt (S) theo giao tuyến đờng tròn cú chu vi bng
Câu VII.a(1điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thøc Niut¬n cđa
(√x+ 2√4 x)
n
, biết n số nguyên dơng tháa m·n: 2Cn0+2
2 Cn
1 +2
3 Cn
2
+⋯+2 n+1 n+1Cn
n
=6560
n+1 ( Cn
k số tổ hợp chập k của n phần tử)
Phần Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đờng thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y - 7= tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thc MA2
+MB2+MC2
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phơng trình
ex y+ex+y=2(x+1) ex+y
=x − y+1 ¿{
¿
(x, y R)
Hớng dẫn chấm môn toán
(2)I.1 Khảo sát hàm số y=x3−3x2+4 1,00 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
lim
x →− ∞y=x→ −∞lim (x
−3x2+4)=−∞ , lim
x →+∞y=x→+lim∞(x
−3x2+4)=+∞
0,25
b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = ⇔ x = 0, x = 2 Bảng biến thiên:
x - +
∞
y' + - +
y
+ ∞
- ∞
- Hàm số đồng biến (- ∞ ; 0) (2; + ∞ ), nghịch biến (0; 2) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT =
0,50
3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung (0; 4), giao với trục hoành (-1; 0),(2; 0) Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
I.2 Tìm m để hai tiếp tuyến vng góc 1,00 d có phơng trình y = m(x – 3) +
Hoành độ giao điểm d (C) nghiệm phơng trình x3−3x2+4=m(x −3)+4⇔
(x −3)(x2− m)=0⇔ x=3
¿ x2−m=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,50
Theo ta có điều kiện m > y '(√m).y '(−√m)=−1 0,25
⇒(3m−6√m)(3m+6√m)=−1⇔9m2−36m+1=0⇔m=18±3√35
9 (tháa m·n)
0,25 II.1 Giải hệ phơng trình đại số 1,00
Ta thấy y = nghiệm cđa hƯ 0,25
Hệ phơng trình tơng đơng với
¿ x2+1
y +x+y −2=2 x2
+1
y (x+y −2)=1 ¿{
¿
0,25 x
y
-1 O
4
2
(3)Đặt u=x
+1
y , v=x+y −2 Ta cã hÖ
¿ u+v=2 uv=1
⇔u=v=1 ¿{
¿
0,25
Suy
¿ x2+1
y =1 x+y −2=1
¿{ ¿
Giải hệ ta đợc nghiệm hpt cho (1; 2), (-2; 5) 0,25
II.2 Giải phơng trình lơng giác 1,00 Điều kiÖn: sin(x −π
6)sin(x+ π
3)cos(x − π
6)cos(x+ π 3)≠0 Ta cã tan(x −π
6)tan(x+ π
3)=tan(x − π 6)cot(
π
6 − x)=−1
0,25
Phơng trình cho tơng đơng với ⇔sin3x sin 3x+cos3xcos 3x=1
1 cos 2x cos 2x cos 4x cos 2x cos 2x cos 4x
2 2
0,25
⇔2(cos 2x+cos 2xcos 4x)=1 2⇔cos
3 2x=1
8⇔cos 2x=
2 0,25
⇔
x=π
6+kπ (lo¹i) ¿
x=−π 6+kπ ¿
,(kZ) Vậy phơng trình cã nghiÖm x=−π
6+kπ ,
(kZ)
0,25
III Tính tích phân 1,00
Đặt
¿
u=ln(x2+x+1) dv=xdx
⇒
¿du= 2x+1 x2
+x+1dx v=x2/2
¿{ ¿
1 1
2
2
2 0
x 2x x
I ln(x x 1) dx
2 x x
∫
0,25
¿1 2ln 3−
1 2∫0
1
(2x −1)dx+1 4∫0
1
2x+1 x2
+x+1dx− 4∫0
1 dx
x2 +x+1 ¿1
2ln 3− 2(x
2
− x)¿01+1 ln(x
2
+x+1)¿01−3 4I1=
3 4ln 3−
3 I1
(4)* TÝnh I1: I1=∫0
dx (x+1
2)
+(√3 )
2 Đặt x+1 2=
√3
2 tant ,t∈(− π 2,
π 2) Suy I1=2√3
3 π∫/6 π/3
(1+tan2t)dt 1+tan2t =
2√3 t¿π/6
π/3 =√3π
9
0,25
VËy I=3 4ln 3−
√3π
12 0,25
IV Tính thể tích khối lăng trụ 1,00
Gọi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vng góc M lên AA’, Khi (P) (BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) tam giác BCH
0,25
Do tam giác ABC cạnh a nên AM=a√3
2 ,AO= 3AM=
a√3 Theo bµi SBCH=a
2 √3
8 ⇒
1
2HM BC= a2√3
8 ⇒HM=
a√3
0,25
AH=√AM2−HM2=√3a −
3a2 16 =
3a
Do hai tam giác A’AO MAH đồng dạng nên A ' O
AO =
HM AH suy A ' O=AO HM
AH =
a√3
a√3
4 3a=
a
0,25
ThÓ tÝch khối lăng trụ: V=A ' O.SABC=1
2A ' O AM BC=
a
a√3 a=
a3√3
12 0,25
V T×m giá trị lớn 1,00 Ta có a2+b2 2ab, b2 + 2b
a2+2b2+3=
1
a2+b2+b2+1+2≤
1 ab+b+1 T¬ng tù
b2+2c2+3≤
1 bc+c+1 ,
1 c2+2a2+3≤
1
1 ca+a+1
0,50
P≤1 2(
1 ab+b+1+
1 bc+c+1+
1 ca+a+1)=
1 2(
1 ab+b+1+
ab
b+1+ab+ b 1+ab+b)=
1
2 0,25
P=1
2 a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn
2 a = b = c = 0,25 VIa.1 Viết phơng trình đờng trịn qua giao điểm của(E) (P) 1,00
A
B
C
C’ B’
A’
H
O
(5)Hoành độ giao điểm (E) (P) nghiệm phơng trình x2−2x¿2=1⇔9x4−36x3+37x2−9=0
x2 +¿
(*) 0,25
XÐt f(x)=9x4−36x3+37x2−9 , f(x) liªn tơc trªn R cã f(-1)f(0) < 0,
f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < suy (*) có nghiệm phân biệt, (E) cắt (P) điểm phân biệt
0,25
Toạ độ giao điểm (E) (P) thỏa mãn hệ
¿ y=x2−2x
x2 +y
2 =1 ¿{
¿
0,25
⇔
8x2−16x=8y x2+9y2=9
⇒9x2+9y2−16x −8y −9=0 ¿{
(**)
(**) phơng trình đờng trịn có tâm I=(8 9;
4
9) , b¸n kÝnh R = √ 161
9 Do giao điểm (E) (P) nằm đờng trịn có phơng trình (**)
0,25
VIa.2 ViÕt phơng trình mặt phẳng () 1,00
Do () // () nên () có phơng trình 2x + 2y z + D = (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R =
Đờng tròn có chu vi nên có bán kính r =
0,25 Khoảng cách từ I tíi () lµ h = √R2− r2
=√52−32=4 0,25
Do
−1¿2 ¿
¿=4⇔|−5+D|=12⇔
¿ D=−7
¿ D=17(lo¹i)
¿ ¿ 22
+22+¿
√¿ ¿
|2 1+2(−2)−3+D|
¿
0,25
Vậy () có phơng trình 2x + 2y – z - = 0,25
VII.a T×m hƯ sè cđa x2 1,00
Ta cã
1+x¿ndx ¿ ¿ I=∫
0
¿ ¿(Cn0x+1
2Cn
x2+1 3Cn
2
x3+⋯+ n+1Cn
n
xn+1)¿02 suy I ¿2Cn0+2
2 Cn
1 +2
3 Cn
2
+⋯+2 n+1 n+1Cn
n (1)
(6)Mặt khác
1+x¿n+1¿02=3 n+1
−1 n+1 I=
n+1¿
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã ¿2Cn0+2 2 Cn
1 +2
3 Cn
2
+⋯+2 n+1 n+1Cn
n ¿3
n+11 n+1 Theo
n+1 −1 n+1 =
6560 n+1 ⇔3
n+1=6561⇒n=7
0,25
Ta cã khai triÓn (√x+ 2√4x)
7 =∑
0
C7k
(√x)7−k(
2√4x) k
=∑
1 2kC7
kx14−3k4
0,25 Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 14−3k
4 =2⇔k=2 VËy hÖ số cần tìm
22C7
=21
0,25
VIb.1 Viết phơng trình đờng trịn 1,00
Do B d1 nªn B = (m; - m – 5), C d2 nªn C = (7 – 2n; n) 0,25
Do G lµ trọng tâm tam giác ABC nên
2+m+72n=3 2 3−m −5+n=3
¿{ ¿
⇔
m−2n=−3 − m+n=2
⇔
¿m=−1 n=1
¿{ Suy B = (-1; -4), C= (5; 1)
0,25
Giả sử đờng tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phơng trình
x2
+y2+2 ax+2 by+c=0 Do A, B, C (C) nªn ta cã hÖ ¿
4+9+4a+6b+c=0 1+16−2a −8b+c=0 25+1+10a+2b+c=0
⇔
¿a=−83/54 b=17/18 c=−338/27
¿{ { ¿
0,25
Vậy (C) có phơng trình x2+y283 27 x+
17 y −
338
27 =0 0,25
VIb.2 Tìm giá trị nhỏ 1,00
Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G = (7 3;
8 3;3)
Ta cã F=MA2+MB2+MC2=(⃗MG+⃗GA)2+(⃗MG+⃗GB)2+(⃗MG+⃗GC)2 GC
⃗GA+⃗GB+ ⃗¿ ¿
¿3 MG2+GA2+GB2+GC2+2⃗MG¿
0,25
F nhá nhÊt MG2 nhá M hình chiếu G lên (P) 0,25
MG=d(G ,(P))=|7/3−8/3−3−3| √1+1+1 =
19
3√3 0,25
GA2+GB2+GC2=56 +
32 +
104 =
64
(7)VËy F nhá nhÊt b»ng (19 3√3)
2 +64
3 = 553
9 M hình chiếu G lên (P)
VIIb Giải hệ phơng trình mũ 1,00
ex − y
+ex+y=2(x+1) ex+y=x − y+1
⇔
¿ex− y=x+y+1 ex+y=x − y
+1 ¿{
¿
Đặt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ
¿ ev=u+1 eu=v+1
⇔
¿ev=u+1(1) eu− ev=v −u(2)
¿{ ¿
0,25
- NÕu u > v th× (2) có vế trái dơng, vế phải âm nên (2) vô nghiệm
- Tơng tự u < v (2) vô nghiệm, nên (2) u=v 0,25 Thế vào (1) ta cã eu = u+1 (3) XÐt f(u) = eu - u- , f'(u) = eu - 1
Bảng biến thiên:
u - + ∞
f'(u) - + f(u)
Theo bảng biến thiên ta cã f(u) = ⇔u=0
0,25
Do (3) có nghiệm u =
⇒v=0⇒
x+y=0 x − y=0
⇔
¿x=0 y=0
¿{
Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm (0; 0)
0,25
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Mơn Tốn - Khối A, B
A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1 x y
x
(8)b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
x
m x
Câu II (2 điểm)
a) Tìm m để phương trình
4
2 sin xcos x cos 4x2sin 2x m 0
có nghiệm
0;
b) Giải phương trình
8
4
2
1
log log log x 4 x x
Câu III (2 điểm)
a) Tìm giới hạn
3 2
0
3
lim
1 cos
x
x x
L
x
b) Chứng minh C1000 C1002 C1004 C1006 C10098 C100100 2 50
Câu IV (1 điểm)
Cho a, b, c số thực thoả mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c
M
B PHẦN RIÊNG Câu Va (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình C1:x2y2 4y 0 C2:x2y2 6x8y16 0.
Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 C2
b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’. Tính thể tích khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh BM vng góc với B’C.
Câu VIa (1 điểm) Cho điểm A2;5;3 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Viết phương trình mặt phẳng
chứa d cho khoảng cách từ A đến lớn
Câu Vb (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình elip (E) dạng tắc biết (E) quaM(1;-3 ) và tiêu điểm F1(- 3;0)
b) Cho tứ diện OABC có OA4,OB5,OC6 AOB BOC COA 60 Tính thể tích tứ diện
OABC.
Câu VIb (1 điểm)
Cho mặt phẳng P x: 2y2z1 0 đường thẳng
1
: ,
2
x y z
d
5
:
6
x y z
d
Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng
ĐÁP ÁN
(9)a)
Tập xác định: Hàm số
1 x y
x
có tập xác định D R \
Giới hạn: 1
1 1
lim 1; lim ; lim
1 1
x x x
x x x
x x x
0,25
Đạo hàm: 2
' 0, 1
y x
x
Hàm số nghịch biến khoảng ;1
1; Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1; tiệm cận ngang y1 Giao hai tiệm cận I1;1 tâm đối xứng
0,25
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
b)
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C)sang đồ thị
' x
y C
x
Học sinh tự vẽ hình
0,5
Số nghiệm 1 x
m x
số giao điểm đồ thị
1 x y
x
y m
0,25
Suy đáp số 1; 1:
m m phương trình có nghiệm
1:
m phương trình có nghiệm
1 m 1:
phương trình vơ nghiệm
0,25
Câu II 2 điểm
a)
Ta có
4
sin os sin 2
x c x x
cos4x 1 2sin 2 x
0,25
Do 1 3sin 22 x2sin 2x 3 m
Đặt tsin 2x Ta có x 0;2 2x 0; t 0;1
Suy f t 3t22t 3 m t, 0;1
0,25
(10)Từ phương trình cho có nghiệm
10 0;
2 m
0,25 b)
Giải phương trình
8
4
2
1
log log log 2 x 4 x x
Điều kiện: 0x1 0,25
2 x3 x1 4 x 0,25
Trường hợp 1: x1 2 x2 2x 0 x2
0,25
Trường hợp 1: 0x1
2 x26x 0 x2 3 Vậy tập nghiệm (2) T 2; 3
0,25
Câu III a)
Tìm
3 2
0
3
lim
1 cos
x
x x
L
x
Ta có
3 2
0
3 1 1 lim
1 cos cos
x
x x
L
x x
0,25
Xét
2
1
2
0
2 1
lim lim
1 cos 2sin 2 1 1
x x
x x
L
x
x x
0,25
Xét
3 2
2
2
0 2 2 3 2
3
3 1
lim lim
1 cos
2sin 3 1
x x
x x
L
x x
x x
0,25
Vậy L L 1L2 2 0,25
b)
Chứng minh C1000 C1002 C1004 C1001002 50 Ta có
100 2 100 100
100 100 100 100
0 100 99
100 100 100 100 100 100 100
1
i C C i C i C i
C C C C C C C i
0,5
Mặt khác
1i2 1 2i i 2i 1i100 2i 50 250 Vậy C1000 C1002 C1004 C100100 2 50
0,5
Câu IV Cho a, b, c thoả a b c 3. Tìm GTNN của
4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c
M
Đặt 2 ;3 ; , 2 ;3 ;4 , w 2 ;3 ;4 w
a b c c a b b c a
(11) 2 2 2 w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c M u v⃗ ⃗
Theo – si có 2a2b2c 3 23 a b c 6 Tương tự … 0,5 Vậy M 3 29 Dấu xảy a b c 1 0,25
Câu Va Học sinh tự vẽ hình
a) C1:I10; , R13;C2:I23; , R2 3. 0,25
Gọi tiếp tuyến chung C1 , C2
2
:Ax By C A B
tiếp tuyến chung C1 , C2
2
1
2
2
2
;
; 3 4 3 2
B C A B
d I R
d I R A B C A B
Từ (1) (2) suy A2B
3 2
A B
C
0,25
Trường hợp 1: A2B.
Chọn B 1 A 2 C 2 5 : 2x y 0
Trường hợp 2:
3 2
A B
C
Thay vào (1)
2
2 0; : 0; :
A B A B A A B y x y
0,5
b)
Gọi H trung điểm BC
3 ; '
2 a
d M BB C AH
0,25
2
' 12 ' 2 ' 13 ' 123
BB C a MBB C BB C a
S BB BC V AH S
0,25
Gọi I tâm hình vng BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có B C' MI B C; ' BC' B C' MB
0,5 Câu VIa
(Học sinh tự vẽ hình)
Gọi K hình chiếu A d K cố định;
Gọi mặt phẳng chứa d H hình chiếu A
0,25
Trong tam giác vng AHK ta có AH AK
Vậy AHmax AK mặt phẳng qua K vng góc với AK.
0,25
Gọi mặt phẳng qua A vng góc với d : 2x y 2z15 0
3;1; 4
K
0,25
mặt phẳng qua K vuông góc với AK :x 4y z 0 0,25
Câu Vb a)
Gọi
2
2
:x y H
a b
(12)(H) tiếp xúc với d x y: 0 a2 b24 1 162 42
4 4; 2
x y A H
a b
0,25
Từ (1) (2) suy
2
2 8; 4 : 1
8
x y
a b H
0,5
b) (Học sinh tự vẽ hình)
Lấy B’ OB; C’ OC cho OA OB 'OC' 4
0,25
Lấy M trung điểm B’C’ OAM OB C' '
Kẻ AH OM AH OB C' '
0,25
Ta có
2
3
AM OM MH AH 0,25
1 15
.sin
2
OBC
S OB OC BOC
Vậy
1
10
OABC OBC
V AH S
0,25
Câu VIb
Gọi M1 ;3 ; , t t t N 5 '; '; 5 ' t t t
; 2 1 0;
d M P t t t
0,25
Trường hợp 1: t 0 M1;3;0 , MN 6 ' 4; ' 3; ' 5t t t
' 5;0;
P P
MN n MN n t N
0,25
Trường hợp 2: t 1 M3;0; , N1; 4;0 0,25