Gọi vận tốc riêng của canô là v (km/h). Vận tốc canô khi nước yên lặng là 16km/h... Người thứ nhất làm một mìnhtrong 4 giờ thì xong công việc; Người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì [r]
(1)PHẦN A ĐẠI SỐ
CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn
* Phương trình bậc hai ẩn x, y phương trình có dạng: ax + by = c
trong a, b, c số cho trước, a ≠ b ≠
* Nếu số thực x0; y0 thỏa mãn ax0 + by0 = c cặp số (x0; y0) gọi
nghiệm phương trình ax + by = c
* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệp (x0; y0) phương trình ax + by = c
được biểu diễn điểm có tọa độ (x0; y0)
2 Tập nghiệp phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệp
Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng d : ax + by = c
* Nếu a ≠ b = phương trình có nghiệm
c x
a y R
và đường thẳng d song song trùng với trục tung
* Nếu a = b ≠ phương trình có nghiệm
x R c y
b
và đường thẳng d song song trùng với trục hoành
* Nếu a ≠ b ≠ phương trình có nghiệm
x R
a c
y x
b b
hoặc
y R
b c
x y
a a
đường thẳng d cắt hai trục tọa độ.
Đường thẳng d đồ thị hàm số
a c
y x
b b
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Xét xem cặp số cho trước có nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn hay không
Phương pháp giải: Nếu cặp số thức (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c
gọi nghiệm phương trình ax + by = c
1A Trong cặp số (12; 1), (1; 1), (2; - 3), (1; -2), cặp số nghiệm phương trình bậc hai ẩn 2x – 5y = 19
1B Cặp số (-2; 3) nghiệm phương trình phương trình sau: a) x – y = 1; b) 2x + 3y = 5; c) 2x + y = -4;
(2)2A Tìm giá trị tham số m để cặp số (2; -1) nghiệm phương trình x – 5y =3m –
2B Tìm giá trị tham số m để phương trình bậc hai ẩn
1
m x y m có nghiệm (1; -1).
3A Viết phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm (2;0) (-1;-2) 3B Cho biết (0;-2) (2;-5) hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn
Dạng Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ
Phương pháp giải: Xét phương trình bậc hai ẩn ax + by = c
1 Để viết công thức nghiệm tổng quát phương trình, trước tiên, ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) đưa kết luận công thức nghiệm tổng quát
2 Để biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c
4A Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ:
a) 2x – 3y = 5; b) 4x + 0y = 12; c) 0x – 3y =
4B Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ:
a) 2x – y = 3; b) 5x + 0y = 20; c) 0x – 8y = 16
Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải: Ta sử dụng số lưu ý sau giải dạng toán này:
1 Nếu a ≠ b = phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : x =
c
d Khi d song song trùng với Oy.
2 Nếu a = b ≠ phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : y =
c
b Khi d song song trùng với Ox.
3 Đường thẳng d : ax + by = c qua điểm M(x0; y0) ax0 + by0 =
c
5A Cho đường thẳng d có phương trình
(m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – Tìm giá trị tham số m để:
a) d song song với trục hoành; b) d song song với trục tung; c) d qua gốc tọa độ;
d) d qua điểm A(1; -1)
5B Cho đường thẳng d có phương trình:
(2m – 1)x + 3(m – 1)y = 4m – Tìm giá trị tham số m để:
(3)b) d song song với trục tung; c) d qua gốc tọa độ;
d) d qua điểm A(2; 1)
Dạng 4* Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn
Phương trình giải: Để tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn ax + by = c, ta làm sau:
Bước Tìm nghiệm nguyên (x0; y0) phương trình
Bước Đưa phương trình dạng a(x – x0) + b(y – y0) = từ dễ dàng tìm
được nghiệm nguyên phương trình cho
6A Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x – 2y = 6B Tìm tất nghiệm nguyên phương trình sau: a) 5x – 11y = 4; b) 7x + 5y = 143
7A Cho phương trình 11x + 18y = 120
a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình
b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 7B Cho phương trình 11x + 8y = 73
a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình
b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình III BÀI TẬP VỀ NHÀ
8 Trong cặp số (0;2), (-1; -8), (1; 1), (3; -2), (1; -6), cặp số nghiệm phương trình 3x – 2y = 13 ?
9 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ:
a) x – 3y = 6; b) 3y – 2x = 3; c) 7x + 0y = 14; d) 0x – 4y = 8; e) 2x – y = 5; g) 3y + x = 10 Cho đường thẳng d có phương trình:
(2m – 3)x + (3m – 1)y = m + Tìm giá trị tham số m để:
a) d // Ox; b) d // Oy;
c) d qua O(0;0); d) d qua điểm A(-3; -2)
11 Tìm phương trình đường thẳng d biết d qua hai điểm phân biệt M(2; 1) N(5; -1)
12 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: a) 2x – 3y = 7; b) 2x + 5y = 15 13 Cho phương trình: 5x + 7y = 112
a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình;
b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình
BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn
(4)ax (1)
' ' ' (2)
by c a x b y c
Trong a, b, a’, b’ cá số thực cho trước a2 + b ≠ 0; a’2 + b’2 ≠ 0, x y
ẩn số
- Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung (x0; y0) (x0; y0) gọi
là nghiệm hệ phương trình Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm
- Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm
- Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm 2 Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn - Tập nghiệp hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng d: ax +by = c d’ : a’x + b’y = c’
Trường hợp d d’ = A(x0; y0) Hệ phương trình có nghiệm (x0;
y0);
Trường hợp d // d’ Hệ phương trình vơ nghiệm;
Trường hợp d d’ Hệ phương trình có vơ số nghiệm;
- Chú ý:
Hệ phương trình có nghiệm ' ';
a b
a b
Hệ phương trình vơ nghiệm ' ' ';
a b c
a b c
Hệ phương trình có vơ số nghiệm ' ' '
a b c
a b c
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Khơng giải hệ phương trình, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn
Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc hai ẩn
' ' '
ax by c a x b y c
1 Hệ phương trình có ' ';
a b
a b
2 Hệ phương trình vơ nghiệm ' ' ';
a b c
a b c
3 Hệ phương trình có vơ số nghiệm ' ' '
a b c
a b c
1A Dựa hệ số a, b, c, a’, b’, c’ dự đoán số nghiệm hệ phương trình sau:
a)
3x
;
6x
y y
b)
2x
;
3x-2
y y
c)
2
;
3
x y x y
d)
2 11
3
x y x y
(5)1B Không giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm hệ phương trình sau:
a)
3x
;
0x
y y b)
0x - 11
;
2x -
y y c) 2 ; 3 x y x y d)
2
2 x y x y
2A Cho hệ phương trình
1
x
x y
m y m
Xác định giá trị tham số m để hệ
phương trình:
a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; c) Vơ số nghiệm
2B Cho hệ phương trình
x
m y
x my m
Xác định giá trị tham số m để hệ
phương trình:
a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; c) Vơ số nghiệm
Dạng Kiểm tra cặp số cho trước có phải nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn hay không
Phương pháp giải: Cặp số (x0;y0) nghiệm hệ phương trình
,
' ' '
ax by c a x b y c
kh nà thỏa mãn hai phương trình hệ
3A Kiểm tra xem cặp số (-4; 5) nghiệm hệ phương trình hệ phương trình sau đây:
a)
2x
;
3x 21
y y b) 12 . 3 x y x y
3B Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng khơng?
a)(1;2)
3x
; 2x y y b) 12 3 x y x y
4A Cho hệ phương trình
x
m y m
x m y
Tìm giá trị tham số m để hệ
phương trình nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm 4B Cho hệ phương trình:
2 x
m y m
x my m
Tìm giá trị tham số m để cặp
(6)Dạng Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn
' ' '
ax by c a x b y c
phương pháp giải đồ thị, ta làm sau:
Bước Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c d': a'x + b'y = c' hệ trục tọa độ
Bước Xác định nghiệm hệ phương trình dựa vào đồ thị vẽ Bước 1. 5A Cho hai phương trình đường thẳng:
d1 : 2x – y = d2 : x – 2y =
a) Vẽ hai đường thẳng d1 d2 hệ trục tọa độ
b) Từ đồ thị dl d2, tìm nghiệm hệ phương trình:
2x - y = x y
c) Cho đường thẳng d3 : mx + (2m -1 )y = Tìm giá trị tham số m để ba
đường thẳng d1, d2 d3 đồng quy
5B Cho ba đường thẳng:
dl : x + 2y = 5,d2 : 2x + y = d3 : 2mx + (m - l)y = 3m + 1.
a) Vẽ hai đường thẳng d1 d2 hệ trục tọa độ
b) Từ đổ thị d1 d2 tìm nghiệm hệ phương trình:
2 2x x y y
c) Tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng d1, d2 d3 đồng quy
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
6 Khơng giải hệ phương trình, xác định số nghiệm cua hệ phương trình sau: a) ; 2x x y y b) ;
2x
x y y c)
3x
;
4x
y y d)
0x -
; 2x+ y y e)
2 2
;
3 3
x y x y g) 0x x y y
7 Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng khơng:
a) (1, 1)
2x ; y x y
b) (-2; 1)
2x y x y
8 Cho hệ phương trình:
3 x
3x
m y m
my m
Xác định giá trị tham số m để
hệ phương trình:
a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; ô nghiệm;
c) Vô số nghiệm; d) Nhận
1 10 ;
làm nghiệm
9 Cho hai đường thẳng d1 : 2x + y = d2 : x - 4y =
(7)b) Từ đổ thị d1 d2, tìm nghiệm hệ phương trình:
2x
4
y x y
c) Cho đường thẳng d3 : (2m + l)x + my = 2m - Tìm giá trị tham số m
để ba đường thẳng d1, d2 d3 quy
BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Để giải hệ phương trình, ta biến đổi hệ cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản
- Phương pháp cách biến đổi tương đương hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gổm hai bước:
Bước Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn)
Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Giải hệ phương trình phương pháp thế
Phương pháp giải: Căn vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, ta làm sau:
Bước Từ phương trình hệ phương trình, biểu diên ẩn ẩn cịn lại, sau vào phương trình cịn lại, ta phương trình cịn ẩn
Bước Giải phương trình ẩn vừa có, từ suy nghiệm hệ phương trình cho
Chú ý: Để lời giải đơn giản, bước 1, ta thường chọn phương trình có hệ số có giá trị tuyệt đối không lớn (thường -1)
1A Giải hệ phương trình: a)
3x
;
5x 23
y y
b)
( 1)
( 1)
x y
x y
1B Giải hệ phương trình: a)
3
;
2x
x y y
b)
2
2
x y
x y
Dạng Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình hai ẩn Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau:
Bước Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình hai ẩn. Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn tìm được.
2A Giải hệ phương trình: a)
3( 5) 2( 3)
;
7( 4) 3( 1) 14
y x
x x y
b)
( 1)( 1) ( 2)( 1)
2( 2) 2x
x y x y
x y x y
(8)2B Giải hệ phương trình: a)
5( ) 3( ) 99
3 7x 17
x y x y
x y y
b)
( 1)( 1)
( 3)( 3)
x y xy
x y xy
Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau:
Bước Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng
(Tìm điều kiện ẩn phụ có)
Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho
3A Giải hệ phương trình:
a) 15 ; 35 x y x y b)
4 5
1 2x
3
1 2x
x y y
x y y
3B Giải hệ phương trình:
a ) 1 ; x y x y
b )
4
2
2x 3x
3
21
3x 2x
y y y y
Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải: Ta thường sử dụng kiến thức sau: - Hệ phương trình bậc hai ẩn ' ' '
ax by c a x b y c
có nghiệm
0 0
0
;
' ' '
ax by c x y
a x b y c
- Đường thẳng d : ax + by = c qua điểm M(x0;y0)
0
ax by c
4A Cho hệ phương trình
2x x by b ay
Tìm giá trị a, b để hệ phương
trình có nghiệm (l;-2) 4B Cho hệ phương trình
(3a ) (4a-b+1)y = 35
x 4a 29
b x b y
Tìm giá trị của a, b
để hệ phương trình có nghiệm (1; -3) 5A Cho hai đường thẳng:
d1 : mx - 2(3n + 2)y = d2 : (3m - 1)x + 2ny = 56.
Tìm giá trị tham số m n để d1, d, cắt điểm I(2; -5).
5B Cho hai đường thẳng:
d1 : 5x - 4y = d2 : x + 2y = m +1.
Tìm giá trị tham số m để dx, d2 cắt điểm trục Oy Từ
(9)III BÀI TẬP VỀ NHÀ Giải hệ phương trình:
a )
3 ;
3x
x y y
b )
1
5x
x y y
7 Giải phương trình sau: a)
2( ) 3( )
;
( ) 2( )
x y x y
x y x y
b)
( 1)( 1)
( 3)( 3)
x y xy
x y xy
8 Giải phương trình sau:
a)
1
2
2
;
2
1
2
x y
x y
b)
1
2x
1
2x
y x y
y x y
9 Cho hệ phương trình
(3a 2) 2(2 1) 30
( 2) 2(3 1) 20
x b y
a x b y
Tìm giá trị của a, b để
hệ phương trình có nghiệm (3; -1) 10 Cho hai đường thẳng
d1 : 2mx + 3y = 10 - m d2 : 2x - 2y =
Tìm giá trị tham số m để d1, d2 cắt trục Ox Từ vẽ
hai đường thẳng mộ phẳng tọa độ 11 Cho hai đường thẳng:
d1 : 2x + ay = -3 d2 :bx - 2ay = 8.
Tìm giao điểm d1 ,d2 biết d1 qua điểm A(-1;2) d1 qua điểm
B(3;4)
12 Tìm giá trị a vằb để đường thẳng y = ax + b qua điểm M(3; -5), N(-1;
3 )
13 Cho hai đường thẳng:
d1 : mx - 2(3n + 2)y = 18 d2 : (3m - 1)x + 2ny = -37
Tìm giá trị tham số m n để d1,d2 cắt I(-5; 2)
BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta sử dụng quy tắc cộng đại số bao gổm hai bước sau:
Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình
Bước Dùng phương trình ây thay thê'cho hai phương trình hệ phương trình giữ nguyên phương trình ta hệ tương tương với hệ cho
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
(10)Phương pháp giải: Căn vào quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta làm sau:
Bước Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối nhau;
Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình để thu phương trình ẩn;
Bước Giải phương trình ẩn vừa thu từ suy nghiệm hệ phương trình cho
1A Giải hệ phương trình sau: a)
4x 16
;
4x 24
y y
b)
3 15
2 18
x y
x y
1B Giải hệ phương trình: a)
2x 11
;
10x 11 31
y y
b)
7
2x 11
x
y
Dạng Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình bậc hai ân Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau:
Bước Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn. Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số như Dạng
2A Giải hệ phương trình: a)
5( ) 3( ) 99
;
3 7x 17
x y x y
x y y
b)
( )( 1) ( )( 1) 2( 1)
( )( 1) ( )( 2) 2x
x y x x y x xy
y x y y x y y
2B Giải hệ phương trình sau:
a)
4x
5 ;
15
14
x y
y x y
b)
( 3)(2 5) (2x 7)( 1)
(4x 1)(3 6) (6x 1)(2 3)
x y y
y y
Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau:
Bước Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng
Bước Giải hệ phương trình bậc hai ân phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho
(11)a) ; 1 x y x y b)
7
2
3
4
2
x y x y
x y x y
3B Giải hệ phương trình:
a) 15 ; 35 x y x y b)
3 13
2
x x y
Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải: Ta thường sử dụng kiến thức sau: - Hê phương trình bâc hai ẩn ' ' '
ax by c a x b y c
có nghiệm
(x0;y0) ' ' ' ax by c a x b y c
.
- Đường thẳng d:ax + by = c qua điểm M(x0; y0)
0
ax by c
4A Cho đường thẳng d : y = (2 + 1)x + 3n -
a) Tìm giá trị n để d qua điểm M(-l;-2) cắt Ox điểm có hồnh độ
b) Cho biết ra, n thỏa mãn 2m - n = 1, chứng minh d qua điểm cố định Tìm điểm cố định
4B Cho đường thẳng d : 2ax - (3b + 1)y - a - Tìm giá trị a và b để d qua hai điểm M(-7;6) N(4;-3).
5A Cho ba đường thẳng:d1: 5x - 17y = 8, d2:15x + 7y = 82 d3: (2m - 1)x –
2my = m + Tìm giá trị để ba đường thẳng đồng quy
5B Cho đường thẳng d:y = (2ra + 3)x – 3m + Tìm giá trị tham số m để d qua giao điểm hai đường thẳng d1 : 2x - 3y = 12 d2, : 3x + 4y =
1
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
6 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a)
2x
;
3x
y y b)
2 4
1
3
x y x y x y
7 Giải hệ phương trình sau: a)
2( ) 3( )
;
5( ) 7( )
x y x y
x y x y
b)
( 1)( 3) 27
( 2)( 1)
x y xy
x y xy
(12)a)
1 1
;
7
x y x y
b)
7
3
7
5
2
7
x y
x y
9 Cho hệ phương trình:
2
x
x by b ay
Xác định hệ số a b biết hệ
phương trình :
a) Có nghiệm (l;-2); b) Có nghiệm 1;
10 Cho đường thẳng d : mx - 2ny = -3 Tìm giá trị tham số m n đế 4m - 5n = d qua điểm /(-5; 6)
11 Tìm giá trị tham số m để nghiệm hệ phương trình
2x 1 4x 2
3
2x
2x 2
4
y y
y
y
cũng nghiệm phương trình 6mx - 5y = 2m -
BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hệ phương trình bậc nhât hai ẩn ' ' '
ax by c a c b y c
(*).
1 Để giải hệ phương trình (*), ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số
2 Từ hai phương trình hệ phương trình (*), sau dùng phương pháp phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (một ẩn) Khi số nghiệm phương trình sốnghiệm hệ phương trình cho II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Giải biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải: Để giải biện luận hệ phương trình (*), ta làm sau: Bước Từ hai phương trình (*), sau dùng phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (chi cịn ẩn)
Bước Giải biện luận phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho
1A Cho hệ phương trình
2
x
x my m
m y m
(m tham số).
a) Tìm giá trị để hệ phương trình: i) Có nghiệm Tìm nghiệm đó; ii) Vơ nghiệm;
iii) Vơ số nghiệm
b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Hãy tìm giá trị nguyên để x y nguyên
(13)1B Cho hệ phương trình
2 x
8x
m y
my m
(m tham số).
a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo
b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc ra;
ii) Tìm giá trị để: 4x + 3y = 2A Cho hệ phương trình:
x
4x
m y m
y m
(m tham sổ).
a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo
b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Chứng minh 2x + y = với giá trị m;
ii) Tìm giá trị để: 6x - 2y = 13 2B Cho hệ phương trình
2
x
x y
m y m
(m tham số).
a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo m
b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc m;
ii) Tìm điều kiện m để x > y >
Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải: Một số toán thường gặp dạng toán là:
Bài toán Tìm điều kiện nguyên tham số để hệ phương trình có nghiệm (x;y), x y số nguyên
Bài toán Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước
3A Cho hệ phương trình
2 x
5x
m y
my m
(m tham số) Tìm giá trị
nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ngun Tìm nghiệm ngun 3B Cho hệ phương trình:
2 x
2 4
m y
x my m
(m tham số) Tìm giá trị m
nguyên để hệ phương trình nghiệm (x; y) cho x y nguyên 4A Cho hệ phương trình:
x + y
4
m x my
(m tham số) Tìm điều kiện tham
số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x > y > 4B Cho hệ phương trình:
x -
2
m y
x my
(m tham số) Tìm giá trị m để
(14)5 Cho hệ phương trình:
( 1)
2
m x my m
x y m
(m tham số) Tìm giá trị
tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) biểu thức S = x2 +
y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
6 Cho hệ phương trình:
2 x
x
m y
m y
(m tham số)
a) Giải hệ phương trình = 1;
b) Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x - y -
III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho hệ phương trình
x
1
m y m
x my m
(m tham số) Tìm giá trị tham số
của để hệ phương trình: a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm;
c) Vô số nghiệm
8 Cho hệ phương trình:
( 1)
4x
x m y
y
(m tham số) Tìm giá trị m nguyên
để hệ phương trình nghiệm (x; y) cho x y nguyên Cho hệ phương trình:
4
x
x my m
m y
(m tham số) Tìm giá trị m nguyên
để hệ phương trình nghiệm (x; y) cho x y nguyên 10 Cho hệ phương trình:
2
2x
mx y my
(m tham số)
a) Giải biện luận hệ phương trình cho;
b) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x + y = -
2 2 m m
11 Cho hệ phương trình:
2
x+( 1)
mx my m
m y
(m tham số)
a) Giải biện luận hệ phương trình cho;
b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x;y), gọi M(x;y) điểm tương ứng với nghiệm (x; y) hệ phương trình
i) Chứng minh M nằm đường thẳng cố định m thay đổi ii) Tìm giá trị m để M thuộc góc phần tư thứ nhất;
iii) Xác định giá trị m để M thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính
BÀI GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
(15)Bước Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diên đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập hệ phương trình biểu thị tương quan đại lượng
Bước Giải hệ phương trình vừa tìm được. Bước Kết luận:
- Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn
- Kết luận tốn
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Bài toán vê quan hệ số
Phương pháp giải: Ta sử dụng số kiên thức liên quan sau đây:
1 Biểu diễn số có hai chữ số: ab - 10a + b a chữ số hàng chục
< a ≤ 9, a a N, b chữ số hàng đơn vị < b ≤ 9,b N
2 Biểu diễn số có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c, đó, a chữ số hàng
trăm < a ≤ 9,a N, b chữ số hàng chục ≤ b ≤ 9, b N, c chữ
số hàng đơn vị ≤ c ≤ 9, c N
1A Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Biết tổng số cho số tạo thành 99, tìm số cho
1B Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị 2, viết xen chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số tăng thêm 630 đơn vị
Dạng Bài toán làm chung, làm riêng công việc
Phương pháp giải: Một số lưu ý giải toán làm chung, làm riêng cơng việc: Bài tốn làm chung, làm riêng cơng việc cịn có tên gọi khác tốn suất.
2 Có ba đại lượng tham gia vào tốn là: - Tồn cơng việc;
- Phần công việc làm bong đơn vị thời gian (năng suất); - Thời gian hoàn thành phần tồn cơng việc
3 Nếu đội làm xong công việc x ngày ngày đội làm
1
x cơng việc.
4 Thường coi tồn cơng việc
2A Hai bạn A B làm chung cơng việc hồn thành sau ngày Hỏi A làm ngày nghỉ B hồn thành nốt cơng việc thời gian bao lâu? Biết làm xong cơng việc B làm lâu A ngày
(16)3A Hai vòi nước chảy vào bê sau 48 phút bê đầy Nếu vòi I chảy bong giờ, vịi II chảy hai vịi
chảy
3
4bể Tính thời gian mơi vịi chảy đầy bể.
3B Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu để chảy vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Tính thời gian vịi chảy mà đầy bể
Dạng Bài toán chuyên động vật
Phương pháp giải: Một số lưu ý giải toán chuyển động vật: Có ba đại lượng tham gia quãng đường (s), vận tốc (v) thời gian (t) Ta có công thức liên hệ ba đại lượng s, v và t là:
s = v.t
4A Một ôtô quãng đường AB với vận tốc 50km/giờ, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/giờ Biết quãng đường tổng cộng dài 165km thời gian ôtô quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút Tính thời gian ô tô đoạn đường
4B Một ôtô dự định từ A đến B thời gian nhât định Nếu xe chạy nhanh 10km đến nơi sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB
5A Một canô chạy sơng giờ, xi dịng 108km ngược dịng 63km Một lần khác canơ xi dịng 81 km ngược dịng 84km Tính vận tốc nước chảy vạn tốc canô lúc nước yên lặng
5B Một canơ xi dịng theo khúc sơng ngược dịng vịng giờ, 380km Một lần khác, canơ xi dịng ngược dịng vịng 30 phút 85km Hãy tính vận tốc thật (lúc nước yên lặng) canô vận tốc dịng nước (biết vận tốc thật canơ vận tốc dòng nước hai lần nhau)
6A Một khách du lịch ôtô giờ, sau tiếp tàu hỏa quãng đường dài 640/cm Hỏi vận tôc tàu hỏa ôtô, biết tàu hỏa nhanh ôtô 5km?
6B Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách 38km Họ ngược chiều gặp sau Hòi vận tốc người, biết đến gặp nhau, người thứ nhiều người thứ hai 2km? Dạng Bài toán tỉ số phần trăm
Phương pháp giải: Chú ý rằng, nêu gọi số sản phẩm x số sản phẩm vượt mức a% (100 + a)%.x
7A Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Trên thực tế, xí nghiệp vượt mức 12%, xí nghiệp vượt mức 10% hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm
7B Trong tuần đầu hai tổ sản xuất 1500 quần áo Sang tuần thứ hai, tổ A vượt mức 25%, tổ B giảm mức 18% nên tuần này, hai tổ sản xuất 1617 Hỏi tuần đầu tô sản xuất bao nhiêu?
(17)-Với hình chữ nhật:
Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x -Với tam giác:
Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy): Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh 8A Một tam giác có chiều cao
3
4 cạnh đáy Nêu chiều cao tăng thêm 3ảm
và cạnh đáy giảm 3dm diện tích tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao
và cạnh đáy tam giác
8B Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lẩn chiều dài lên ba lần chu vi khu vườn 162m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu
Dạng Bài toán thay đơi thừa số tích
9A Một ôtô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu ôtô tăng vận tốc 8km/h đến B sớm dự định Nếu ơtơ giảm vận tốc 4km/h đến B chậm dự định 40 phút Tính vận tốc thời gian dự định
9B Trong hội trường có số băng ghế, băng ghế quy định ngồi số người Nếu bớt băng ghế băng ghế ngồi thêm người thêm chỗ Nếu thêm băng ghế băng ghế ngồi bớt người giảm chỗ Tính số băng ghế hội trường
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2, tăng chiều dài
thêm 6m giảm chiều rộng 4m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính kích thước mảnh vườn
11 Một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nêu giảm chiều dài chiều rộng 2ra diện tích giảm
68m2 Tính diện tích rộng đó.
12 Hai vịi nước chảy chung vào bể khơng có nước 12 đầy bể Nếu để vịi thứ chảy giợ khóa lại mở tiếp vịi thứ hai chảy 15 75% thể tích bể Hỏi vịi chảy đầy bể?
13 Hai công nhân làm chung hồn thành cơng việc ngày Người thứ làm nửa cơng việc, sau người thứ hai làm nốt nửa cơng việc cịn lại tồn cơng việc hồn thành ngày Hỏi người làm riêng hồn thành cơng việc ngày?
14 Một canơ ngược dịng từ bến A đến bến B với vận tốc riêng 10km/giờ, sau lại xuôi từ bến B trở bên A Thời gian canơ ngược dịng từ A đến B nhiều thời gian canơ xi dịng từ B trở A 40 phút Tính khoảng cách hai bêh A B Biết vận tơc dịng nước 5km/giờ, vận tốc riêng canơ lúc xi dịng lúc ngược dòng
(18)hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB
16 Hai địa điểm A B cách 200km Cùng lúc có ơtơ từ A xe máy từ B Xe máy ôtô gặp C cách A khoảng 120km Nếu ôtô khởi hành sau xe máy gặp D cách c khoảng 24km Tính vận tốc xe máy ơtơ
17 Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm 20 ngày, phân xưởng II làm 15 ngày 1600 dụng cụ Biết số dụng cụ phân xưởng I làm ngày số dụng cụ phân xưởng II làm ngày Tính số dụng cụ phân xưởng làm
18 Trong kì thi, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường có 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% số học sinh trúng tuyển Hỏi trường có học sinh dự thi
19 Người ta trộn 4kg chất lỏng loại I với 3kg chất lỏng loại II hỗn họp có khối lượng riêng 700kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng loại I
lớn khối lượng riêng chất lỏng loại II 200kg/m3 Tính khơi lượng riêng
của chất
20 Trong buổi liên hoan văn nghệ, phịng họp chi có 320 chỗ ngồi, số người tới dự hơm có tới 420 người Do phải đặt thêm dãy ghế thu xếp để dãy ghế thêm người ngồi đủ Hỏi lúc đầu phòng có dãy ghế?
ƠN TẬP CHƯƠNG III I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài chương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A Cho hệ phương trình:
4
2
x my x y
(m tham số).
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình cho: i) Có nghiệm nhất;
ii) Vô nghiệm; iii) Vô số nghiệm 1B Cho hệ phương trình
mx
3x
y my
(m tham số).
a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm với giá trị tham số m
b) Gọi (x;y) nghiệm hệ phương trình Tìm giá trị m để: i)
2
1 ;
3
m x y
m
ii)
0
x y
2A Cho hệ phương trình:
1
x
x my m
m y m
(m tham số).
(19)b) Tìm giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x y số nguyên
c) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc m 2B Cho hệ phương trình:
3x
y m x my
(m tham số).
a) Giải hệ phương trình với m = -3
b) Giải biện luận hệ phương trình cho
c) Tìm giá trị m hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện 3x + 4y = -5.
3A Một hình chữ nhật có chu vi 110m Hai lần chiều dài ba chiều rộng 10m Tính diện tích hình chữ nhật
3B Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2m, diện tích cịn lại 4256m2 Tính
kích thước khu vườn
4A Hai người làm cơng việc 12 phút xong công việc Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai, làm 50% cơng việc Hỏi người làm mây xong cơng việc? 4B Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến đị, điểm quy định Vì đội có xe phải điều làm việc khát nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe độ lúc đẩu?
5A Một canô xuôi từ A đến B với vận tốc xi dịng 30km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước 5km/h vận tốc riêng canô xuôi ngược
5B Một canô chạy sông giờ, xuôi dòng 81A:m ngược dòng 105km Một lần khác chạy khúc sơng đó, canơ chạy giờ, xi dịng 54km ngược dịng 42km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng canơ, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng canô không đổi 6A Bạn Tuấn vào cửa hàng Bách hóa hỏi mua đơi giày quần áo thể thao, giá tiền tổng cộng 148 000 đồng Một tuần sau trở lại, giá đôi giày giảm 20%, giá quần áo thể thao giảm 40% Bạn Tuân đưa cho cô bán hàng 110 000 đồng; cô bán hàng trả lại cho bạn Tuấn 900 đồng Hỏi giá tiền đôi giày, giá tiền quần áo thể thao chưa giảm giá bao nhiêu?
6B Tháng thứ hai tô sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ Vì hai tơ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tô sản xuất chi tiết máy?
III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho hệ phương trình:
x
2x
m y
y
(m tham số)
a) Giải hệ phương trình với m =
(20)8 Cho hệ phương trình:
2x
2x
y m y
(m tham số).
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để nghiệm (x ; y) hệ phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y >
9 Cho hệ phương trình:
( 1)
( 1)
a x y a
x a y
(a tham số).
a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo a
b) Trong trường hợp hệ có nghiệm (x; y), tìm: i) Hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc a
ii) Các giá trị a để x y thoả mãn 6x2 - 19y = 5.
10 Cho hệ phương trình
2x
2
y m
x y m
(m tham số không âm).
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Tìm giá trị m cho biểu thức p - x + y đạt giá trị nhỏ 11 Cho hệ phương trình
x 10
4
m y m
x my
(m tham số).
a) Giải hệ phương trình m = 2.
b) Giải biện luận hệ phương trình cho theo tham số
c) Trong trường hợp hệ có nghiệm (x; y), tìm giá trị để: i) y - 5x = -4; ii) x < y >
12 Tìm hai số biết tổng chúng 17, tổng bình phương số 157 13 Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2 Tính độ dài cạnh
của ruộng, biết tăng chiều rộng cua ruộng lên 2m giảm chiều dài ruộng 5m diện tích thừa ruộng tăng thêm 5m2.
14 Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2 Tính chiều dài cạnh đáy
thửa ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm diện tích khơng đổi
15 Để hồn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai bị điều làm việc khác, tơ hồn thành nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tơ làm riêng sau hồn thành công việc?
16 Một người xe máy từ A đến B cách 120km:ra với vận tốc dự định trước Sau 1/3 quãng đường AB người tăng vận tốc thêm
10km/giờ quãng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút
17 Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 36km thời gian định Sau nửa quãng đường người dừng lại nghỉ 18 phút Do đó, để đến B hẹn người tăng vận tốc thêm 2km/giờ quãng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu thời gian xe lăn bánh đường
(21)nên tăng suất sản phẩm hồn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính suât dự kiến ban đầu
19 Có hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khơi lượng loại quặng đem trộn để 25 quặng chứa 66% sắt
20 Có ba thùng chứa tất 80 lít dầu Thùng thứ chứa nhiều thùng thứ hai 10 lít Nêu 26 lít từ thùng thứ sang thùng thứ ba, số dầu thùng thứ hai thùng thứ ba Hỏi số dầu ban đầu ỏ thùng thứ thùng thứ hai?
21 Trong phịng họp có số ghế dài Nếu xếp mơi ghế người có người khơng có chỗ ngồi Nếu xếp ghế người thừa ghế Hỏi phịng học có ghế có người dự họp?
ĐỂ KIỂM TRA CHƯƠNG III Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ 1 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu Tập nghiệm tổng quát phương trình 5x0y4 5là:
A
4 ;
x y R
B
4 ;
x y R
C
;
x R y
D
x R y
Câu Phương trình kết hợp với phương trình x - y = để hệ phương trình bậc ẩn có vơ số nghiệm?
A 2y = 2x-2; B.y = x + 1;
C.2y = 2-2x; D y = 2x-2
Câu Hệ phương trình:
2x
4x
y y
có nghiệm là:
A (2; -3); B (2; 3); C (0; 1); D (-1;1) Câu Phương trình sau phương trình bậc hai ẩn? A xy + x = 3; B 2x - y = 0;
C x2 + 2y = 1; D x + = 0.
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (2,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
a)
2
;
2x 15
x y y
b)
3
4
1
2
3
1
x y
x y
Bài (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 6. Nếu đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số cho 18 đơn vị
Bài (3,5 điểm) Cho phương trình x + my - m +1 với m tham số.
(22)b) Tìm m để phương trình cho phương trình 2x - y = khơng có nghiệm chung
c) Tìm m để phương trình cho với phương trình mx + y = 3m -1 có ghiệm chung cho tích x.y có giá trị nhỏ
ĐỀ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Cho hai đường thẳng d: y = 2x + d' :y = ax + 5. Ta có d // d' d' có phương trình là:
A y = 3x + B y = 5x + C y = -2x + D Cả sai Câu Phương trình 4x - 3y = -1 nhận cặp số sau nghiệm:
A (1;-1) B (-1;-1) C (1;1) D (-1; 1) Câu Với giá trị k phương trình x - ky = -1 nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm
A.k = B.k=1 C.k = -1 D.k =
Câu Với giá trị a hệ phương trình
5
y ax y
vô nghiệm.
A a = B a = l C.a = D.a =
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (3,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: a)
( 1)( 1)
( 3)( 3)
x y xy
x y xy
b)
( 1)
( 1)
x y
x y
c)
15
35
x y x y
Bài (3 điểm) Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong cơng việc Nếu đội làm ngày, đú đội thứ hai làm tiếp ngày 40% cơng việc Hỏi đội làm xong cơng việc?
Bài (2,0 điểm) Cho hệ phương trình:
( 1)
( 1)
a x y a
x a y
có nghiệm (x;
y) (a tham số)
a) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a b) Tìm giá trị a thỏa mãn 6x2 + 17y = 5.
CHƯƠNG IV HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0).
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN BÀI HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) VÀ ĐỒ THỊ
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Sự đồng biến nghịch biến hàm số
(23)b) Nếu a < hàm số y = ax2 (a ≠ 0) đồng biến x < nghịch viến x
>
2 Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) parabol qua gốc tọa độ O, nhận Oy
làm trục đối xứng (O đỉnh parabol)
- Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị - Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Tính giá trị hàm số điểm cho trước Phương pháp giải: Giá trị hàm số y = ax2 điểm x = x
0 y0 = ax
1A Cho hàm số y = f(x) = -2x2.
a) Tìm giá trị hàm số x nhận giá trị -2; -2 2. b) Tìm giá trị a, biết f(a) = -10 +
c) Tìm điều kiện b, biết f(b) ≥ 4b + 1B Cho hàm số y = f(x) = 3x2.
a) Tìm giá trị hàm số x nhận giá trị -3; 2và - 2 3.
b) Tìm a biết f(a) = 12 + c) Tìm a biết f(b) ≥ 6b + 12
2A Cho hàm số y = (2m + 1)x2 (m tham số) Tìm giá trị tham số m
để:
a) Đồ thị hàm số qua điểm A
2
; ;
3
b) Đồ thị hàm số qua điểm (x0; y0) với (x0; y0) nghiệm hệ phương trình
2x
2
y
x y
2B Cho hàm số y = (2m – 1)x2 (m tham số).
a) Tìm giá trị m để y = -2 x = -1 b) Tìm giá trị m biết (x;y) thỏa mãn: i)
1 ;
2x
x y y
ii)
2
2
x y
x y
3A Một vật rơi độ cao so với mặt đất 100m Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính mét) vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính giây) cho cơng thức S = 4t2.
a) Hỏi sau khoảng thời gian giây giây vật cách mặt đất mét?
b) Sau thời gian vật tiếp đất?
3B Một khách du lịch chơi trò Bungee từ tỉnh tháp Macao coa 234 mét so với mặt đất Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính mét) người rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính giây) cho cơng thức:
2
13
S t
(24)b) Sau khoảng thời gian du khách cách mặt đất 71,5 mét? Dạng Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số
Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Ta có:
1 Nếu a > hàm số nghịch viến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > 4A Cho hàm số y = (3m + 2)x2 với
2
m
Tìm giá trị tham số m để hàm số:
a) Đồng biến với x < b) Nghịch biến với x < c) Đạt giá trị nhỏ d) Đạt giá trị lớn
4B Cho hàm số y = (3m – 4)x2 với
4
m
Tìm giá trị tham số m để hàm số:
a) Nghịch biến với x > b) Đồng biến với x > c) Đạt giá trị lớn d) Đạt giá trị nhỏ
5A Cho hàm số y = (-m2 – 2m – 3)x2.
a) Chứng minh với tham số m, hàm số nghịch biến với x > đồng biến với x <
b) Tìm giá trị tham số m để
1
x
1
x
thì
11
y
5B Cho hàm số y = ( 2m 2) x2với
3
;
2
m m
Tìm giá trị tham số m để hàm số đồng biến với x > nghịch biến với x <
Dạng Vẽ đồ thị hàm số
Phương pháp giải: Ta thực bước sau:
Bước Lập bảng giá trị đặc biệt tương ứng x y hàm số y = ax2
(a ≠0)
Bước Biểu diễn điểm đặc biệt mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị dạng parabol hàm số qua điểm đặc biệt
6A Cho hàm số y = ax2 (a ≠0) có đồ thị parabol (P).
a) Xác định a để (P) qua điểm A( 2; 4)
b) Với giá trị a vừa tìm trên, hãy: i) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ;
ii) Tìm điểm (P) có tung độ 2; iii) Tìm điểm (P) hai trục tọa độ 6B Cho hàm số y = (m – 1)x2 (m ≠0) có đồ thị parabol (P).
a) Xác định a để (P) qua điểm A( 3;1)
b) Với giá trị m vừa tìm trên, hãy: i) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ;
(25)iii) Tìm điểm (P) có tung độ gấp đơi hồnh độ 7A Cho hàm số y = x2 có đồ thị parabol (P).
a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ;
b) Trong điểm A(1; 2), B(-1;-2) C(10; -200), điểm thuộc (P), điểm không thuộc (P)?
Dạng Tọa độ giao điểm parabol đường thẳng
Phương pháp giải :Cho parabol (P) : y = ax2 (a ≠0) đường thẳng d : y = mx +
n Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) (P) d ta làm sau: Bước Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) d:
ax2 = mx + n (*)
Bước Giải phương trình (*) ta tìm nghiệm (nếu có) Từ ta tìm tọa độ giao điểm (P) d
Chú ý: Số nghiệm (*) số giao điểm (P) d, cụ thể: - Nếu (*) vơ nghiệm d khơng cắt (P)
- Nếu (*) vơ nghiệm kép d tiếp xúc với (P)
- Nếu (*) có nghiệm phân biệt d cắt (P) điểm phân biệt 8A Cho parabol (P) : y = x2 đường thẳng d :
1
y x
a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm (P) d c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình
2 .
2
x x
8B Cho parabol (P) : y = 2x2 đường thẳng d : y x 1
a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm (P) d
c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình: 2x2 – x – < 0.
9A Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P).
a) Vẽ (P) hệ trục tọa độ
b) Tìm điểm thuộc (P) thỏa mãn:
i) Có tung độ ii) Cách hai trục tọa độ
c) Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình 2x2 – 2m + = theo
m
9B Cho parabol (P) : y =
1 2x2
a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 – 2m +
=
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10 Không vẽ đồ thị tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau: (m tham số)
a) y = x2 y =
1
2x; b) y = x2 y = 2x - 1;
c) y = x2 y = 2x -3; d) y =
-1
2x2 y = mx +
1
(26)11 Cho hàm số y =
1
4x2 Xác định giá trị tham số m để điểm sau thuộc
đồ thị hàm số:
a) A(2; m); b) B( 2; );m c)
3 ( ; )
4
C m
12 Cho hàm số y = (m2 + 2m + 3)x2 (m tham số).
a) Chứng minh hàm số nghịch biến với x < đồng biến với x >
b) Tìm giá trị m biết x = x = -1 y = 13 Cho hàm số y( 3m 4 3)x2 với
4
;
3
m m
Tìm giá trị tham số m để hàm số:
a) Nghịch biến với x > b) Đồng biến với x > 14 Cho hàm số y = (3m + 1)x2 với
1
m
Tìm giá trị cua tham số m để đồ thị hàm số:
a) Đi qua điểm A
1
;
2
b) Đi qua điểm B(x0;y0) với (x0;y0) nghiệm hệ phương trình:
3x
4x
y y
15 Mọt cá heo biểu diễn nhảy lên khỏi mặt nước khoảng 4m nhảy xuống Quãng đường nhảy xuống S (đơn vị mét) cá heo phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính giây) cho cơng thức: S = t2.
a) Hỏi sau khoảng thời gian 1,5 giây tính từ lúc cá heo nhảy xuống, cá heo cách mặt nước mét ?
b) Sau thời gian cá heo tiếp nước tính từ lúc cá heo nhảy xuống 16 Cho hàm số y = ax2 có đồ thị parabol (P).
a) Tìm hệ số a biết (P) qua điểm M(-2; 4)
b) Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ điểm N(2; 4) c) Vẽ (P) d xác định câu a) b) hệ trục tọa độ d) Tìm tọa độ giao điểm (P) d câu a) b)
17 Cho parabol (P) : y = 2x2 d : y =
3 2x
a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) d
c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình:
2
2x
2x
BÀI CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Phương trình bậc hai ân
(27)ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
trong a, b, c so thực cho trước, x ẩn số
- Giải phương trình bậc hai ẩn tìm tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
2 thức nghiệm phương trình bậc hai
Trường hợp Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm. Trường hợp Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép:
1
2a
b x x
Trường hợp Nếu A > phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
2a
b x
3 Công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) với b = 2b' Gọi biệt thức A' =
b'2 - ac.
Trường hợp Nếu A' < phương trình vơ nghiệm. Trường hợp Nếu A' = phương trình có nghiệm kép:
1
'
b x x
a
Trưòmg hợp Nếu ∆' > phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
' '
b x
a
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương trình cho lời giải ngắn gọn
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Khơng dùng cơng thức nghiệm, giải phương tri bậc hai ẩn cho trước
Phương pháp giải: Ta sử dụng cách sau: Cách Đưa phương trình cho dạng tích.
Cách Đưa phương trình cho phương trình mà vế trái bình phương vế phải số
1A Giải phương trình:
a) 5x2 -7x = 0; b)-3x2+9 = 0;
c) x2 -6x+ = 0; d) 3x2 + 12x + = 0.
1B Giải phương trình:
a) 3x26x0; b)
3
0;
5x
c) x2 – x – = 0; d) 3x2 + 6x + = 0.
2A Với giá trị tham số m phương trình 4x2 + m2x + 4m = có
nghiệm x = ?
2B Cho phương trình 4mx2 - x - 10m2 = Tìm giá trị cua tham số m để
phương trình có nghiệm x =
(28)Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai để giải
3A Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' b = 2b') tìm nghiệm phương trình:
a) 2x2 -3x-5 = 0; b) x2 - 6x + = 0;
c) 9x2 - 12x + = 0; d) -3x2 + 4x - = 0.
3B Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( A'nếu b = 2b') tìm nghiệm phương trình:
a) x2 – x -11 = b) x2 - 4x + = 0;
c) -5x2 – 4x + = 0; d) -2x2 + x - = 0
4A Giải phương trình sau:
a) x2 + 5x -1 = b) 2x2 - 2 2x + = 0;
c) 3x2 (1 3)x1 0; d) -3x2 + 4 6x + = 0.
4B Giải phương trình sau:
a) 2x2 + 2 11x -7 = 0; b) 152x2 - 5x +1 = 0;
c) x2 - (2 + 3)x + 2 3 = 0; d) 3x2 - 2 3x + = 0.
Dạng Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình dạng bậc hai: ax2 + bx + c = 0.
1 Phương trình có hai nghiệm kép
0
a
2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
a
3 Phương trình có nghiệm a0,b0.
4 Phương trình vơ nghiệm
0, 0,
0,
a b c
a
Chú ý: Nếu b = 2b' ta thay điều kiện ∆ tương ứng ∆’. 5A Cho phương trình mx2 -2(m-1)x + m-3 = (m tham số).
Tìm giá trị m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt;
c) Vơ nghiệm; b) Có nghiệm kép; e) Có nghiệm d) Có nghiệm; 5B Cho phương trình (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = (m tham số).
Tìm giá trị để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; c) Vơ nghiệm; d) Có nghiệm; e) Có nghiệm
Dạng Giải biện luận phương trình dạng bậc hai Phương pháp giải:
(29)* Xét phương trình dạng bậc hai
ax2 + bx + c - với ∆ = b2 -4ac (hoặc ∆' = b'2- ac).
- Nếu a = 0, ta đưa vể biện luận phương trình bậc nhât - Nêu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo A 6A Giải biện luận phương trình sau: (ra tham số)
a) x2 + (1 -m)x- = 0; b) (m -3)x2 - 2mx + m - = 0.
6B Giải biện luận phương trình sau: (ra tham số) a) mx2 + (2m - 1)x + + = 0;
b) (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0.
Dạng Một sơ tốn liên quan đến tính có nghiệm củ phương trình bậc hai; Nghiệm chung phương trìnl dạng bậc hai; Hai phương trình dạng bậc hai tương đương
Phương pháp giải:
1 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm
A > (hoặc ∆’ ≥ 0)
2 Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2+bx + c
= a'x2 +b'x + c' = có nghiệm chung, ta làm sau:
Bước Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x0 vào phương
trình để tìm điều kiện tham số
Bước Với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem phương trình có nghiệm chung hay khơng kết luận
3 Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2 +bx +
c = a'x2 +b'x + c' = tương đương, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp Hai phương trình vơ nghiệm.
Trường hợp Hai phương trình có nghiệm Khi đó:
- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương chúng có nghiệm chung Từ tìm điều kiện tham số
- Điều kiện đủ với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem phương trình tập nghiệm hay không kết luận
7A Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình b2x2 - (b2
+c2 -a2)x + c2 =0 ln vơ nghiệm.
7B Gho phương trình x2 +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = với a, b, c ba
cạnh tam giác Chứng minh phương trình ln vơ nghiệm
8A Cho hai phương trình x2 + ax + b = x2 + cx + d = Chứng minh
hai phương trình có nghiệm chung thì:
(b - d)2 +(a- c)(ad - bc) = 0.
8B Cho hai phương trình x2 +ax + b = x2 +bx + a =
1 1
a b
Chứng minh có hai phương trình có nghiệm
9A Cho hai phương trình x2+x-m = 0 x2 -mx +1 = Tìm giá trị
tham số m để:
(30)9B Cho hai phương trình x2-2ax + = 0 x2-x + a = 0, (a tham số)
Với giá trị a thì:
a) Hai phương trinh có nghiệm chung? b) Hai phương trình tương đương? III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10 Giải phương trình:
a) 2x2 (1 2) x 2 = 0; b) 3x2 + = 2(x +1);
c) (2x 2)2 1 = (x + 1)(x-1); d)
1
2x(x + l) = (x - 1)2.
11 Cho phương trình 2x2 -(4m + 3)x + 2m2 -1 = (m tham số) Tìm giá
trị m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; c) Vơ nghiệm; d) Có nghiệm; e) Có nghiệm
12 Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
mx2 - 4(m - 1)x + 4m + = (m tham số).
13 Cho hai phương trình x2 +mx + = x2 + 2x + m = Xác định giá
trị tham số m để hai phương trình:
a) Có nghiệm chung; b) Tương đương BÀI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = (a 0) Nếu x
1, x2 hai nghiệm
phương trình thì:
1
1
b S x x
a c P x x
a
2 Ứng dụng hệ thức Vi-ét
a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
- Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm cịn lại
2
c x
a
- Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1, nghiệm lại là
2
c x
a
b) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình:
X2- SX + P = 0.
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Khơng giải phương trình, tính giá trị biêu thức đối xứng các nghiệm
(31)Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
0
a
Từ áp dụng hệ
thức Vi-ét ta có:
1 b S x x
a
và
c P x x
a
Bước Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề theo tổng x1 +
x2 tích x1x2 sau áp dụng Bước
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng nghiệm thường gặp là:
2 2
1 ( 2) 2x1 2 ;
A x x x x x S P
3 3
1 ( 2) 3x1 2( 2) S;
B x x x x x x x S P
4 2 2 2 2
1 ( 2) 2x1 2( ) ;
C x x x x x S P P
2
1 ( 2) 4x1
D x x x x x S P
1A Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 5x + = Khơng giải phương
trình, tính giá trị biểu thức: a) A x 12x22; b)
3 2; B x x
1B Cho phưoug trình: -3x2 - 5x-2 = Với x
1,x2 nghiệm phương trình,
khơng giải phương trình, tính: a) 1 2
1
;
M x x
x x
b)
1
;
3
N
x x
c)
1
2
1
3
;
x x
P
x x
d)
1
2
2
x x
Q
x x
2A Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + 2m -5 = (ra tham số).
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2
b) Với tìm trên, tìm biểu thức liên hệ x1,x2 khơng phụ thuộc vào
ra
2B Cho phương trình x2 +(m + 2)x + 2m = Với giá trị tham số m
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ? Khi đó, tìm biểu thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào
Dạng Giải phương trình cách nhấm nghiệm Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét
3A Xét tổng a + b + c a - b + c tính nhẩm nghiệm phương trình sau:
a) 15x2 -17x + = 0;
b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0;
c) (2 - 3)x2 + 2 3x - (2 + 3) = 0;
d) 5x2 - (2 - 5)x - =
3B Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 -9x + = 0; b) 23x2 -9x-32 = 0;
c) 1975x2 + 4x - 1979 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 0.
(32)a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m
b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 4B Cho phương trình (2m - 1)x2 + (m - 3)x – 6m - = 0.
a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm x = -2 b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số
5A Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 - 13m - = (ra tham số) Tìm
các giá trị để phương trình có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm cịn lại 5B Tìm giá trị tham số để phương trình x2 +3mx - 108 = (ra tham số)
có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Dạng Tìm hai số biết tổng tích
Phương pháp giải: Để tìm hai số x, y biết tổng S = x + y tích P = x.y, ta làm sau:
Bước Giải phương trình X2 -SX+P = để tìm nghiệm X 1,X2
Bước Khi số x, y cần tìm x = X1,y = X2 x = X2, y = X1
6A Tìm hai số u v trường hợp sau:
a) u + v = 15,uv = 36; b) u2 + v2 = 13,uv = 6.
6B Tìm hai số u v trường hợp sau:
a) u + v = 4,uv = 7; b) u + v = -12,uv - 20 7A Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm + - 3. 7B Tìm phương trình bậc hai biết nhận -11 nghiệm 8A Cho phương trình x2 + 5x - 3m = (m tham số).
a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 x2.
b) Với điều kiện m tìm câu a), lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 12
2
x 2
2
x .
8B Cho phương trình 3x2 +5x - m = Với giá trị tham số m, phương
trình có hai nghiệm x1 x2 ? Khi đó, viết phương trình bậc hai có hai
nghiệm
1
x
x
x x
Dạng Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp giải: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm
x1; x2 tam thức phân tích thành nhân tử:
ax2 + bx + c - a(x – x
1 )(x – x2)
9A Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 7x + 6; b) 30x2 - 4x - 34;
c) x - x + 6; d) 2x - x+ 3. 9B Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 - 5x +1; b) 21x2 - 5x - 26;
c)4x - x+3; d) 12x- x -7
Dạng Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình ax2 +bx + c - ( a ≠ ) Khi đó: Phương
(33)2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu
0
P
3 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
0 0
P S
4 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0 0
P S
5 Phương trình có hai nghiệm trái dâ'u mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương
0
P S
Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0; Phương trình có hai
nghiệm ∆ >
10A Tìm giá trị tham số m để phương trình:
a) x2 -2(m – 1)x + +1 = có hai nghiệm phân biệt trái dấu;
b) x2 - 8x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt;
c) x2 - 2(m - 3)x + – 4m = có hai nghiệm phân biệt âm;
d) x2 - 6x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt dương;
e) x2 - 2(m- 1)x - - = có nghiệm dương.
1OB Tìm giá trị tham số để phương trình: a) 2xz - 3(m + 1)x + m2 - - = có hai nghiệm trái dấu;
b) 3mx2 + 2(2m +l)x + m = có hai nghiệm âm;
c) x2 + mx+m - = có hai nghiệm lớn m;
d) mx2 - 2(m - 2)x+ 3(ra - 2)= có hai nghiệm dâu.
Dạng Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước
Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ 0.
Bước Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét, tìm điều kiện tham số. Bước Kiểm tra điều kiện tham số xem có thỏa mãn điều kiện Bước hay không kết luận
11A Cho phương trình x2 - 5x + m + = Tìm giá trị tham số m để
phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thòa mãn:
a) |x1| + |x2| = 4; b)3x1 + 4x2=6;
c)
1
2
3;
x x
x x = -3; d) x
1(1 - 3x ) + x (1 - 3x1) = m2 - 23
11B Cho phuơng trình x2 -mx-m-1 = (m tham số) Tìm giá trị tham
số m để phương trình:
a) Có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Có hai nghiệm âm phân biệt;
(34)d) Có hai nghiệm dấu; e) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn:
3
1 1;
x x
g) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: |x1 -x,| ≥
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
12 Cho phương trình: -3x2 + x + l = Với x
1, x2 nghiệm phương trình,
khơng giải phương trình, tính: a)
2
1
1
2
;
A x x
x x
b)
2
;
3
B
x x
c)
1
1
2 5
;
x x
B
x x
d)
1
4
1
1
x x
D
x x
13 Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) 16x - 17x + l = 0; c) 2x2 - 40x + 38 = 0;
b) 2x2 - 4x - = 0; d) 1230x2 -5x - 1235 = 0.
14 Tìm hai số u, v biết rằng:
a) u + v = -8, uv = -105; b) u + v = 9, uv = -90
15 Cho phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m - 4) = Tìm giá trị tham số
để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và:
a) Thoả mãn điều kiện x2 - x1 =17;
b) Biểu thức A = (x1 - x2 )2 có giá trị nhỏ nhất;
c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ vào
16 Cho phương trình bậc hai: (m + 2)x2 - 2(m + 1)x + m - = Tìm giá trị
của tham số để phương trình: a) Có nghiệm trái dấu;
b) Có nghiệm dương phân biệt;
c) Có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm;
d) Có nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 3(x1 +x2) = 5x1,x2.
17 Cho phương trình: x2 - (2m + l)x + m2 + m - = (ra tham số).
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A = x12x22
d) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 3
1 19 x x
18 Cho phương trình: x2 – (m - 2)x + 2m - = (ra tham số).
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với
b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm để x1,x2 thỏa mãn: x1 (1 –
x2) + x2 (1 – x1) <
BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Phương trình trùng phương
(35)- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc
hai: at2 + bt + c = (a ≠ 0).
2 Phương trình chứa ẩn mẫu thức
Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta có bước giải sau: Bước Tìm điều kiện xác định ẩn phương trình.
Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu. Bước Giải phương trình vừa nhận Bước 2.
Bước So sánh nghiệm tìm Bước với điều kiện xác định kết luận
3 Phương trình đưa dạng tích
Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có bước giải sau: Bước Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải 0.
Bước Xét nhân tử để tìm nghiệm. II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Giải phương trình trùng phương
Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương: axA + bx2 + c = (a ≠ 0).
Bước Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta phương trình bậc hai:
at2 + bt + c = (a ≠ 0)
Bước Giải phương trình bậc hai ẩn t từ ta tìm nghiệm phương trình trùng phương cho
1A Giải phương trình sau:
a) x4 + 5x2 -6 = 0; b) (x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = 0.
Giải phương trình sau:
a) 2x4 + 7x2 + = 0; b) 4x4 + 8x2 - 12 = 0;
Dạng Phương trình chứa ẩn mẫu thức
Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta có bước giải sau:
Bước Tìm điều kiện xác định ẩn.
Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu.
Bước Giải phương trình bậc hai nhận Bước 2.
Bước So sánh nghiệm tìm Bước với điều kiện xác định kết luận
2A Giải phương trình sau: a)
2x 3x
;
1
x x
b)
5
;
3 5
x x
x x
c)
1 1
:
1 1 14
x x x
x x x x
2B Giải phương trình sau: a)
2x 3x
3;
1
x
x x x
(36)b)
2
3x
;
6
x
x x x
c)
2x 5
;
2 5x
x x x
Dạng Phương trình đưa dạng tích
Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa dạng tích, ta có bước giải sau:
Bước Chuyên vế phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải 0. Bước Xét nhân tử để tìm nghiệm.
3A Giải phương trình sau: a) x3- 3x2 - 3x - = 0;
b) (x - 1)3 + x3 + (x + 1)3 - (x + 2)3 = 0;
3B Giải phương trình sau: a) 2x3 -7x2 + 4x + = 0;
b) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2.
Dạng Giải phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải:
Bước Đặt điều kiện xác định (nếu có);
Bước Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện ẩn phụ (nếu có) giả phương trình theo ẩn mới;
Bước Tìm nghiệm ban đầu so sánh với điều kiện xác địnl kết luận. 4A Giải phương trình sau:
a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 8;
b) (x2 + 16x + 60)(x2 +17x + 60) = 6x2;
c) 2
2x
1 3x x2 3x 5x 2
4B Giải phương trình sau: a) (x2 - 3x)2 - 6(x2 - 3x) -7 = 0;
b) x6 +61x3 - 8000 = 0;
c)
1
10
1
x x
x x
Dạng Phương trình chứa biếu thức dấu căn
Phương pháp giải: Làm dấu cách đặt ẩn phụ lũy thừa hai vế.
Chú ý:
0
B A B
A B
5A Giải phương trình sau:
a) x x9 3 x; b) x2 x x
5B Giải phương trình sau: a) x2 - 3x + = (1 - x) 3x 2
b x1 7x 1 14x 6.
(37)Phương pháp giải: Ngoài phương pháp trên, ta dùng phương pháp đẳng thức, thêm bớt hạng tử, đánh giá hai vế để giải phương trình Giải phương trình sau phương pháp thêm bớt hạng tử dùng đẳng thức:
a) x4 = 24x + 32; b) x3 = -3x2 + 3x -1;
c ) x4 - x2 + 2x - = 0;
7 Giải phương trình sau phương pháp đánh giá: a) 41 x4 x 1;
b) 4x2 4x 5 12x212 6.
8 Giải phương trình sau: a) 4x2 – 4x – 6|2x – 1| + = 0;
b)
2
2
25x
11
( 5)
x x
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
10 Giải phương trình sau:
a) x4 - 6x2 - 16 = 0; b) (x + 1)4 +(x + l)2 - 20 = 0.
11 Giải phương trình sau: a)
2
2 4x 11x
;
1 (1 )( 2)
x
x x x
b)
2x 8( 1)
4 (2 )( 4)
x x
x x x x
12 Giải phương trình sau: a) (x + 1)(x-3)(x2 - 2x) = -2;
b) (6x + 5)2 (3x + 2)(x +1) = 35.
c) (x2 + 5x + 8)(x2 + 6x + 8) = 2x2;
d)
4x 4x
x
x
13 Giải phương trình sau:
a) x3 - x2 - 8x - = 0; b)x3 - x2 - x =
1 3
BÀI GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Các bước giải toán cách lập phương trình: Bước Lập phương trình
- Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số - Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số
- Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết Bước Giải phương trình
Bước Đơi chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số (nếu có) với đề để đưa kết luận
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Bài toán suất lao động
(38)1A Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm Trong ngày đầu họ thực kế hoạch, nhũng ngày lại họ dệt vượt mức ngày 10 tấm, nên hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng phải dệt tấm?
1B Tháng đầu hai tô sản xuất làm 720 dụng cụ Sang tháng tổ làm vượt mức 12%, tổ vượt mức 15% nên hai tổ làm 819 dụng cụ Hỏi tháng đầu tổ làm dụng cụ?
Dạng Tốn cơng việc làm chung, làm riêng Phương pháp giải: Ta ý rằng:
- Thường coi khối lượng công việc đơn vị - Năng suất + Năng suất = Tổng suất
2A Hai tổ sản xuất làm chung cơng việc hồn thành Hỏi làm riêng tổ cần thời gian hồn thành cơng việc, biết làm riêng tổ hoàn thành sớm tổ giờ?
2B Hai nguời làm chung cơng việc 24 xong Năng suất người thự suất người thứ hai Hỏi người làm cơng việc hồn thành sau bao lâu?
3A Hai cơng nhân làm chung 12 hồn thành cơng việc Họ làm chung người thứ chuyên làm việc khác, người thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 xong Hỏi người thứ hai làm hồn thành cơng việc?
3B Hai người làm chung cơng việc 15 xong Hai người làm người thứ nhât điều làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc 21 xong cơng việc Hỏi làm mơi người phải làm mói xong cơng việc?
Dạng Toán quan hệ số
4A Tìm hai số dương biết hai lần số lớn lớn ba lần số bé hiệu bình phương chúng 119
4B Tìm số biết tổng chúng 17 tổng lập phương chúng 1241
Dạng Tốn có nội dung hình học
5A Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2ra, diện tích cịn lại khu vườn 4256m2 Tính kích thước khu vườn.
5B Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện
tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng đó.
Dạng Tốn chuyển động Phương pháp giải: Chú ý rằng:
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
(39)6B Lúc giờ, ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng 30 phút rổi cho xe quay trở A với vận tốc trung bình 30km/h Tính qng đường AB biết ôtô đến A lúc 10 ngày
7A Hai xe máy khởi hành lúc sáng từ A để đến B Xe máy thứ nhât chạy với vận tốc 30km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn vận tốc xe máy thứ 6km/h Trên đường xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng đường AB, biết hai xe đến B lúc
7B Hai người xe đạp lúc, ngược chiều từ hai địa điểm A B cách 42km gặp sau Tính vận tốc người, biết người từ A nhanh người từ B 3km
8A Lúc sáng, người xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h Sau lúc 40 phút, người khác xe máy từ A đuổi theo với vận tốíc 30km/h Hỏi hai người gặp lúc mây giờ?
8B Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh, 48 phút sau, đoàn tàu khác khởi hành từ Nam Định Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ vận tốc đoàn tàu thứ 5km/h Hai đồn tàu gặp (tại ga đó) sau 48 phút kể từ đoàn tàu thứ khởi hành Tính vận tốc đồn tàu, biết Ga Nam Định nằm đường từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh cách Ga Hà Nội 87km
Dạng Toán chuyên động dịng nước Phương pháp giải: Ta có ý sau:
- Vận tốc tàu xi dịng = Vận tốc tàu nước yên lặng + Vận tốc dòng nước;
-+ Vận tốc tàu ngược dòng = Vận tốc tàu nước yên lặng - Vận tốc dịng nước
9A Một canơ tuần tra xi dịng từ A đến B hết 20 phút ngược dòng tù B A hết Tính vận tốic riêng canơ, biết vận tốc dịng nước 3km/h
9B Một canơ chạy xi dịng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tâ't Tính vận tốíc canơ nước n lặng, biết qng sơng AB dài 30km vận tơc dịng nước 4km/giờ
Dạng Các dạng khác
10A Hai lớp 8A 8B có tổng cộng 94 học sinh biết 25% số học sinh 8A 20% số học sinh 8B đạt loại giỏi Tổng số học sinh giỏi hai lớp 21 Tính số học sinh lớp?
10B Tìm số học sinh hai lớp 8A 8B, biết chuyển học sinh từ lớp 8A sang lớp 8B số học sinh hai lớp nhau, nêu chuyển học sinh từ lớp 8B sang lớp 8A số học sinh 8B
11
19 số học sinh lớp 8A?
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
11 Hai người làm chung công việc
12
5 xong Nếu
(40)thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc?
12 Năm ngối, hai đơn vị sản xuất nơng nghiệp thu hoạch 600 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngối Do đó, hai đơn vị thu hoạch 685 thóc Hỏi năm ngoái, đơn vị thu hoạch thóc?
13 Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất quy định Sau làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng suất lao động, ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định Vì mà cơng việc hồn thành sóm quy định ngày Tính xem, theo quy định, ngày tổ sản xuất phải làm sản phẩm
14 Một tam giác vuông có chu vi 30cm, độ dài hai cạnh góc vng 7cm Tính độ dài cạnh tam giác
15 Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13 16 Quãng đường canơ xi dịng 2,4 lần qng đường canơ ngược dịng Hỏi vận tốc canơ xi dịng, biết vận tốc canô nước yên tĩnh 15km/h
17 Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đường dài 120km thời gian định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến noi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nừa qng đường cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đường
18 Hai sân bay Hà Nội Đà Nang cách 600km Một máy bay cánh quạt từ Đà Nang Hà Nội Sau 10 phút, máy bay phản lực từ Hà Nội bay tới Đà Nằng với vận tốc lớn máy bay cánh quạt 300km/h Máy bay phản lực đến Đà Nang trước máy bay cánh quạt đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc máy bay
19 Người ta trộn gam chất lỏng với gam chất lịng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để chất lỏng có khối lượng riêng
0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng.
BÀI BÀI TOÁN VỂ ĐƯỜNG THANG VÀ PARABOL I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho đường thẳng d : y = mx + n parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) Khi số giao
điểm cùa ả (P) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 = mx + n.
Ta có bảng sau đây:
Số giao điểm d (P)Biệt thức trình hồnh độ giao điểm phương của d (P)
Vị trí tương đối của d (P)
0 ∆ < d không cắt (P)
1 ∆ = d tiếp xúc với (P)
2 ∆ > d cắt (P) hai điểm phân biệt
(41)1A Cho parabol (P): y =
2
2
x
đường thẳng d : y =
1 2x n
a) Với n = 1, hãy:
i) Vẽ (P) d mặt phang tọa độ; ii) Tìm tọa độ giao điểm A B (P) d; iii) Tính diện tích tam giác AOB
b) Tìm giá trị n để: i) d (P) tiếp xúc
ii) d cắt (P) hai điểm phân biệt;
iii) d cắt (P) hai điểm nằm hai phía đơi trục Oy 1B Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng d:y = -2x + m.
a) Với m = 3, hãy:
i) Vẽ (P) d mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm tọa độ giao điểm M N (P) d; iii) Tính độ dài đoạn thẳng MN
b) Tìm giá trị m để: i) d (P) tiếp xúc ii) d cắt (P) không cắt nhau;
iii) d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ âm 2A Viết phương trình đường thẳng d, biết:
a) d qua hai điểm A, B thuộc (P): y =
2
4
x
và có hồnh độ -2; 4; b) d song song với đường thẳng d': 2y + 4x = tiếp xúc với (P):y = x2;
c) d tiếp xúc với (P): y =
3
3
x
điểm C(3; 3) 2B Viết phương trình đường thẳng d, biết:
a) d qua gốc tọa độ điểm M thuộc (P): y = 2x2 có hồnh độ
1 2;
b) d vng góc với đường thẳng d': x - 3y + l = tiếp xúc với (P) : y =
2
;
x
c) d tiếp xúc với (P): y = 3x2 điểm N( 1; 3).
3A Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d qua điểm M(0; -1) có hệ số
góc k
a) Viết phương trình đường thẳng d chứng minh với giá trị k d cắt (P) hai điểm phân biệt A B
b) Gọi hoành độ A,B x1,x2 Chứng minh |xx -x2| ≥
c) Chứng minh tam giác OAB vuông
3B Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;2) đường thẳng d:y = -3x + l a) Viết phương trình đường thẳng d' qua M song song với d
b) Cho parabol (P) : y = mx2 (m ≠ 0) Tìm giá trị tham số để d (P)
cắt hai điếm phân biệt A, B nằm phía trục tung 4A Cho parabol (P) : y = (2m – 1)x2 với
1
(42)a) Xác định tham số biết đồ thị hàm số qua A(3; 3) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm
b) Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung điểm có tung độ 4, cắt (P) điểm A B Tính diện tích tam giác AOB
4B Cho parabol (P) :y = ax2 (a ≠ 0) đường thẳng d : y - 2mx-m + 2.
a) Xác định tham số a biết (P) qua A(1;-1);
b) Biện luận số giao điểm (P) d theo tham số III BÀI TẬP VỂ NHÀ
5 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P) : y = ax2 a ≠ (a tham số)
hai đường thẳng d1 : y = x +1 d2 : x + 2y + =
a) Tìm tọa độ giao điểm A dl d2
b) Tìm giá trị a để (P) qua A Vẽ (P) với a vừa tìm c) Viết phương trình đường thẳng d biết d tiếp xúc với (P) A Trong mặt phẳng tọa độ, cho parabol: (P) : y =
2
1 4x
đường thẳng d : y = mx – 2m -1
a) Vẽ (P)
b) Tìm giá trị tham số cho d tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ d luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Cho parabol (P): y = đường thăng d: mx + y =
a) Chứng minh (P) d cắt hai điểm phân biệt A B
b) Xác định m để AB nhỏ Tính diện tích A AOB với m vừa tìm Cho (P): y =
2
2
x
đường thăng d qua 7(0; 2) có hệ số góc k a) Chứng minh (P) d cắt hai điểm phân biệt A B
b) Gọi H K hình chiêu vng góc A B trục Ox Chứng minh tam giác IHK vuông I
9 Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng d: y – mx - m +1 Tìm giá trị
tham số m để d cắt (P) hai điếm phân biệt A B có hồnh độ x1 x2 thỏa
mãn:
a) |x1| + |x2| = 4; b)xl = 9x2
10 Cho parabol (P) có đồ thị qua gốc tọa độ qua điểm a) Viết phương trình (P)
b) Tìm giá trị tham số m đẻ đường thẳng d:y =
1
x + m cắt (P) hai điểm có hoành độ x1,x2 thoả mãn 3xl + 5x2 =
11 Cho parabol (P) :y - x2 đường thẳng d:y - mx - m + 3.
a) Tim tọa độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng
b) Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt
c) Gọi y1,y2 tung độ giao điểm d (P) Tìm giá trị tham số m
để y1 + y2 <
(43)Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đển Bài chương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A Cho phương trình 2mx2 - 2(2m - 1)x + 2m -3 = Tìm giá trị m để
phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép;
c) Vơ nghiệm; d) Có nghiệm; e) Có nghiệm
1B Cho phương trình x2 - (a + 2)x + = Tìm a để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt;
b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu;
c) Có hai nghiệm phân biệt dấu dương; d) Có hai nghiệm phân biệt dấu âm 2A Cho phương trình:
ax2 + bx + c = 0;
bx2 + 2cx + a- 0;
cx2 + ax + b = 0
trong a,b,c ≠ Chứng minh có ba phương trình có nghiệm
2B Chứng minh phương trình
(x - a)(x -b) + (x- b)(x - c) + (x - c)(x - a) = ln có nghiệm với a, b, c
3A Giải phương trình:
a) 32 x 35 x1; b) (x - 1)2016 + (x - 2)2016 =
3B Giải phương trình:
a) x3 +3x2 +3x - 2008 = 0; b) x4 -3x3 +3x + l = 0.
4A Cho hàm số y = -x2 có đồ thị parabol (P) đường thẳng qua N(-l;-2)
và có hệ số góc k
a) Viết phương trình đường thẳng d
b) Tìm giá trị k để (P) d cắt hai điểm phân biệt A, B nằm hai phía trục tung
c) Gọi A(x1;y1),B(x2;y2) Tìm giá trị k để biểu thức S = x1 + y1 + x2 + y2
đạt giá trị lớn
4B Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng d : y = m x +1 (m tham số)
a) Vẽ (P) d =
b) Chứng minh với giá trị ra, d qua điểm cố định cắt (P) hai điểm phân biệt A, B
c) Tìm giá trị để tam giác AOB có diện tích (đon vị diện tích) 5A Cho phưong trình x2 + (m + 2)x + 2m - (m tham số)
a) Giải biện luận phương trình
b) Biết phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
1
2
2
x x x x
(44)e) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu Khi nghiệm âm hay dương?
g) Đặt A = x2 + x2 - x
1x2 + với x1 ,x2 nghiệm phương trình
Hãy:
i) Tìm biểu thức A theo m;
ii) Tìm giá trị m để A = 8;
iii) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng
h) Chứng minh biểu thức: p = 2(x1 + x2) + x1x2 - không phụ thuộc vào m
5B Cho phương trình: x2 - (2a - 1)x – 4a - = (a tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1 ,x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A = xx12x22
c) Tìm giá trị cua a để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm dương III BÀI TẬP VỂ NHÀ
6 Cho phương trình: x2 - (2a - 6)x + -13 = (ra tham số).
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức A
= x1x2 - 2
1
x x
c) Tìm giá trị để phương trình có hai nghiệm đối Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d:y = mx - 2.
a) Chứng minh d cắt (P) hai điểm phân biệt A B với giá trị tham số
b) Gọi x1, x2 hoành độ A B Tìm giá trị tham số để m để
2
1 2 2017
x x x x
8 Cho parabol (P):y = x2 đường thẳng d:y = rax + + (ra tham số)
a) Tìm giá trị để (P) d cắt hai điểm phân biệt A B b) Gọi x1 x2 hoành độ A B Tìm giá trị để
1 2
x x
c) Tìm giá trị để (P) d cắt hai điểm phân biệt nằm phía bên trái trục tung
9 Cho parabol (P): y = 2x2 đường thẳng d : y = 4x - 2.
a) Chứng minh d tiếp xúc với (P) điểm A(1;2)
b) Viết phương trình đường thẳng d' có hệ số góc qua điểm A( 1;2) Tìm để d' cắt (P) hai điểm phân biệt mà hai giao điểm có hồnh độ lớn
c) Cho parabol (P): y =
1
2x2 đường thẳng d: y = mx + 2.
a) Chứng minh với giá trị ra, d cắt parabol (P) điểm phân biệt b) Gọi x1,x2 hoành độ giao điểm d parabol
(P) Tìm giá trị để
1
2
3
(45)11 Cho parabol (P) có đồ thị qua gốc tọa độ qua điểm
1
;
2
A
a) Viết phưong trình (P)
b) Tìm giá trị để đường thẳng d:y = x + m cắt (P) điểm có hồnh độ x1, x2 cho 3x1 + 5x2 =
ĐỂ KIỂM TRA CHƯƠNG IV Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỂ SỐ 1 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIÊM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Phương trình -3x2 + 2x + = có tập nghiệm là:
A
5
1; ;
3
B
5
1; ;
3
C
5
1; ;
3
D
5
1;
3
Câu Phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? A x2 + = 0; B 9X2 - 6X + = 0;
c 7x2 + 3x + = 0; D 2x2 – x - 11 = 0.
Câu Cho đường thẳng d : y - a x + parabol (P): y = x2 Cho biết d cắt (P)
tại điếm có hồnh độ 3, hỏi giá trị a bao nhiêu?
Câu Cho phưong trình X2 -5x = Khẳng định sau đúng?
A Phương trình có hai nghiệm phân biệt dâu B Phương trình có hai nghiệm trái dâu
C Phương trình có nghiệm dương D Phương trình có hai nghiệm PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau:
a) 2x2 + 13x + 20 = 0; b) x2 - (2 + 2 3)x + 2 3 = 0.
Bài (2,0 điểm)
a) Cho phương trình x2 -(2m + 1)x + m(m-l)-0 (m tham số) Tìm giá trị
của m để phương trình khơng có hai nghiệm phân biệt dương
b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13
Bài (4,0 điểm) Cho đường thẳng d parabol (P) với: d:y-mx + (P):y =
1
2x2. (m tham số)
a) Khi m = 1, vẽ d (P) hệ trục tọa độ
b) Chứng minh với giá trị m cho d cắt (P) hai điểm phân biệt
c) Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm đường thẳng d parabol
(P) Hãy tìm để: i) x1 - 2x2 = 9;
ii) Biểu thức A = 2(xt +x2) -
2
1
x x đạt giá trị lớn nhất.
(46)Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Phương trình 5x2 - 3x - = có tập nghiệm là:
A
8
1; ;
5
B
8
1; ;
5
C
8
1; ;
5
D
8
1;
5
Câu Trong phương trinh sau đây, phương trình có nghiệm kép? A x2 +3x- = 0; B 2x2 - 4x + = 0;
C -x2+4x - = 0; D 2X2+2 = 0.
Câu Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị parabol (P) đường thẳng d: y = x-m
Giá trị m để (P) ả tiếp xúc với là: A m = -1; B mra = 8; C m =
1
16 D m = 8.
Câu Cho phương trình 2x2 - 5x + = Khẳng định sau đúng?
A Phương trình có hai nghiệm phân biệt nghịch đảo B Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Phương trình có hai nghiệm PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau:
a) 3x2 -7x + = 0 b) x2-(1-2 2)x- 2 = 0.
Bài (2,0 điểm) Cho đường thăng d:y =
1
2x + parabol (P): y =
2
x
a) Tìm tọa độ giao điểm A B (P) d b) Tính diện tích tam giác AOB
Bài (4,0 điểm) Cho phương trình 2x2 - (m + 4)x + m = (m tham số).
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dâu
b) Với m = 5, gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình Tính giá trị
M = x12x22
c) Tìm m để phương trình có nhâ't nghiệm dương
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn < x1 < x2.
PHẦN B HÌNH HỌC
CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Góc tâm
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Ví dụ AOB góc tâm (Hình 1).
- Nếu 00 < a < 1800 cung nằm bên góc
gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn
(47)- Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn
- Kí hiệu cung AB AB.
2 Số đo cung
- Số đo cung AB kí hiệu sđ AB.
- Số đô cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Ví dụ: AOB= sđ AB(góc tâm chắn AB) (Hình 1).
- Số đo cung lớn bắng hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung hai
đầu mút với cung lớn)
- Số đo nửa đường trịn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600.
3 So sánh hai cung
Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau:
- Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn 4 Định lí
Nếu C làm điểm nằm cung AB
Sđ AB = sđ AC + sđCB
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Phương pháp giải: Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn, ta sử dụng kiến thức sau:
- Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
- Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung hai
đầu mút với cung lớn)
- Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600.
- Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc - Sử dụng quan hệ đường kính dây cung
1A Cho hai tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt M, biết
AMB 400 .
a) Tính AMO AOM .
b) Tính số đo cung AB nhỏ ABlớn.
1B Trên cung nhỏ ABcủa (O), cho hai điểm C D cho cung ABđược chia
thành ba cung (AC = CD = DB ) Bán kính OC OD cắt dây AB lần
lượt E F
a) Hãy so sánh đoạn thẳng AE FB
b) Chứng minh đường thẳng AB CD song song
2A Cho đường trịn (O; R), lấy điểm M nằm ngồi (O) cho OM = 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB với (O) (A, B tiếp điểm)
a) Tính AOM
b) Tính AOBvà số đo cung AB nhỏ.
c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) C Chứng minh C điểm cung nhỏ
(48)2B Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10 cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Tính góc tâm hai tia OA OB tạo ra.
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
3 Cho đường trịn (O) đường kính AB, vẽ góc tâm AOC = 50° với c nằm (O) Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB
a) Tính số đo cung nhỏ BE
b) Tính số đo cung CBE Từ suy ba điểm C, O, E thẳng hàng
4 Cho đường tròn (O; R) Gọi H trung điểm bán kính OB Dây CD vng góc với OB H Tính số đo cung nhỏ cung lớn CD .
5 Cho tam giác ABC cân A Vẽ đường tròn tâm o, đường kính BC Đường trịn (O) cắt AB AC M N
a) Chứng minh cung nhỏ BM CN có số đo nhau.
b) Tính MON , biết BAC = 40°.
6 Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB = R 2 Tính số đo cung nhỏ cung lớn
AB
7 Cho (O; R) dây cung MN = R 3 Kẻ OK vng góc với MN K Hãy tính:
a) Độ dài OK theo R
b) Số góc MOK MON .
c) Số đo cung nhỏ cung lớn MN
BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định lí 1
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây
b) Hai dây căng hai cung 2 Định lí 2
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn
b) Dây lớn căng cung lớn 3 Bổ sung
a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song
b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung
Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây
c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
(49)1A Chứng minh hai cung bị chắn hai dây song song nhau.
1B Cho đường trịn (O) đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90° Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB Chứng minh AC = BE.
2A Giả sử AB dây cung đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm C D cho AC B D. Chứng minh AB CD song song.
2B Giả sử ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường trịn (O) D Kẻ đường kính AE đường tròn (O) Chứng minh: a) BC song song với DE;
b) Tứ giác BCED hình thang cân
3A Cho đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O') đường kính AO Các điểm C, D thuộc đường tròn (O) cho B C D BC < BD Các dây AC
AD cắt đường tròn (O') theo thứ tự E F Hãy so sánh: a) Độ dài đoạn thẳng OE OF;
b) Số đo cung AE AF đường tròn (O').
3B Cho đường trịn tâm o đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđ BM < 90° Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB £.
Từ R vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh:
a) AB DN; b) BC tiếp tuyến đường tròn (O)
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
4 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ A Bvẽ hai dây AC BD song song với So sánh hai cung nhỏ AC BD.
5 Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB C điểm nửa đường trịn Trên cung CA CB lấy điểm M N cho
.
CM BN Chứng minh:
a) AM = CN; b) MN = CA = CB
6 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Hãy so sánh cung nhỏ AB, AC BC biết A = 50°.
7 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy hai điểm C, D Kẻ CH vng góc với AB H, CH cắt (O) điểm thứ hai E Kẻ AK vng góc với CD K, AK cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh:
a) Hai cung nhỏ CF DB nhau;
b) Hai cung nhỏ BF DE nhau;
c) DE = BF
BÀI GÓC NỘI TIẾP I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn gọi góc nội tiếp
(50)2 Định lý
Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn 3 Hệ quả
Trong đường tròn:
a) Các góc nội tiếp chắn cung
b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung
c) Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng
Phương pháp giải: Dùng Hệ phần Tóm tắt lý thuyết để chứng minh hai góc nhau, hai đoạn thẳng
1A Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm (O) Qua điểm I kẻ hai dây cung AB CD (A nằm I B, C nằm I D)
a) So sánh cặp góc ACI ABD; CAI C BD .
b) Chứng minh tam giác IAC IDB đồng dạng c) Chứng minh IA.IB = IC.ID
1B Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Lấy M điểm tuỳ ý nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB (H AB) Trên
nửa mặt phang bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O1,
đường kính AH tâm O2, đường kính BH Đoạn MA MB cắt hai nửa đường
tròn (O1) (O2) P Q Chứng minh:
a) MH = PQ;
b) Các tam giác MPQ MBA đồng dạng;
c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2)
2A Cho đường trịn (O) có dây cung AB, BC, CA Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ dây MN song song với BC gọi s giao điểm MN AC Chứng minh SM = SC SN = SA
2B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM
a) Tính ACM
b) Chứng minh BAH OC A.
c) Gọi N giao điểm AH với (O) Tứ giác BCMN hình gì? Vì sao? Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng 3A Cho đường trịn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB
a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng
b) Gọi P giao điểm AK BI Chứng minh P tâm đưòng tròn nội tiếp tam giác MAS
(51)a) Tam giác ABE tam giác gì?
b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chứng minh OD AK
4A Cho đường trịn (O), đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường trịn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi P giao điểm BM AN Chứng minh SP AB
4B Cho tam giác ABC nội tiếp đưòng tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF
a) Tứ giác BFCH hình gì?
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM =
1
2AH.
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
5 Cho đường tròn (O) hai dây song song AB, CD Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý Chứng minh AMC BM D..
6 Cho đường tròn (O) hai dây cung AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt dây BC D cắt (O) E Chứng minh AB2 = AD.AE.
7 Cho tam giác ABC có đường cao AH nội tiếp đường trịn (O), đường kính AD Chứng minh: AB.AC = AH.AD.
8 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15 cm, AH = 5cm Tính bán kính đưịng trịn (O).
9 Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính MN
BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN lần lượt tia phân giác góc góc ngồi đỉnh A tam giác ABC.
10 Cho nửa (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn phía với nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM.
a) Chứng minh CH AB
b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O)
11 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường trịn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
12 Cho đường trịn tâm O đường kính AB điểm C chạy nửa đường tròn Vẽ đường tròn (7) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đường kính AB D.
a) Nêu cách vẽ đường trịn (I) nói
b) Đường trịn (I) cắt cắt CA, CB điểm thứ hai M, N Chứng minh M, I, N thẳng hàng
c) Chứng minh đường thẳng CD qua điểm nửa đường trịn (O) khơng chứa C
(52)1 Định nghĩa
Cho đường trịn tâm (O) có Ax tia tiếp tuyến tiếp điểm A
và dây cung AB Khi đó, góc BAx góc tạo tia tiêp tuyến dây cung.
2 Định lí
Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn
3 Hệ quả
Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyên dây cung góc nội tiếp chắn cung
4 Bổ đề
Nếu góc BAx với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB có số
đo nửa số đo cung AB nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đổng dạng
Phương pháp giải: Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyên dây cung hệ góc nội tiếp
1A Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với (O) (B, c tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N) a) Chứng minh AB2 = AM AN.
b) Gọi H = AO BC Chứng minh AH.AO = AM.AN
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
1B Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A cắt BC I a) Chứng minh
2 IB AB IC AC
b) Tính IA, IC bắt AB = 20cm, AC = 28cm, BC = 24cm
2A Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC P a) Chứng minh tam giác PAC PBA đồng dạng
b) Chứng minh PA2 = PB.PC.
c) Tia phân giác góc A cắt BC (O) D M Chứng minh MB2 = MA.MD.
2B Cho hình bình hành ABCD, A900 Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
cắt AC E Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB
Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, tia tiếp tuyến đường tròn
Phương pháp giải: Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung hệ hai góc nội tiếp
(53)a) AP phân giác BAQ; c) CP BR song song với
3B Cho đường tròn (O; R) với A điểm cố định đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) lấy M điểm thuộc tia Ax Vẽ tiếp tuyế thứ hai MB với đường tròn (O) Gọi I trung điểm MA, K giao điểm BI với (O)
a) Chứng minh tam giác IKA IAB đồng dạng Từ suy tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB
b) Giả sử MK cắt (O) c Chứng minh BC song song MA
4A Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AB < AC Đường tròn (7) qua B C, tiếp xúc với AB B cắt đường thẳng AC D Chứng minh OA BD vng góc với nhau.
4B Cho hai đường tròn (O) (7) cắt C D, tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M E thuộc (O), N F thuộc (7), D nằm E F Gọi K, H theo thứ tự giao điểm NC, MC với EF Gọi G giao điểm EM, FN Chứng minh:
a) Các tam giác GMN DMN b) GD đường trung trực KH
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) At tia tiếp tuyến với (O) Đường thẳng song song với At cắt AB v4C M N Chứng minh AB.AM = AC.AN.
6 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Qua A vẽ tiếp tuyêh Ax với (O) cắt (O') E Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O') cắt (O) D Chứng minh AB2 = BD.BE.
7 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BD2 = AB.CD Chứng minh đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC
8 Cho hình vng ABCD có cạnh dài 2cm Tính bán kính đường trịn qua A B biết đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường trịn 4cm.
9 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm C nửa đường tròn Gọi D điểm đường kính AB; qua D kẻ đường vng góc với AB cắt BC F, cắt AC E Tiếp tuyến nửa đường tròn C cắt EF Chứng minh:
a) I trung điểm CE;
b) Đường thẳng OC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ECE 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Phân giác góc BAC cắt (O) M Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt tia AB AC D E Chứng minh BC DE song song
11 Cho tam giác ABC Vẽ đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC B Kẻ dây BD song song với AC Gọi I giao điểm CD với đường tròn Chứng minh = IBC = ICA
(54)a) Chứng minh BD song song CE
b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng
c) Nêu (O) (O') tứ giác BDCE hình gì? Tại sao?
13 Cho đường trịn (O') tiếp xúc với hai cạnh Ox Oy xOy A B Từ A kẻ tia song song với OB cắt (O') C Đoạn oc cắt (O') E Hai đường thẳng AE OB cắt K Chứng minh K trung điểm OB.
BÀI GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN. GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Ví dụ Trong Hình 1, góc BIC nằm bên
đường tròn (O) gọi góc có đỉnh hên đường trịn.
Ví dụ Trong Hình 2, 3, góc đỉnh I có đặc điểm chung là: đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, cạnh có điếm chung với đường trịn Mỗi góc gọi góc có đỉnh bên ngồi đường trịn
Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn
Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Chứng minh hai góc hai đoạn thẳng nhau
Phương pháp giải: Sử dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn
1A Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến MC c cát tuyên MAB (A nằm M B) A,B,C (O) Gọi D điểm cung
AB khơng chứa C, CD cắt AB I Chứng minh:
(55)1B Cho đường tròn (O) điểm p nằm (O) Kẻ cát tuyến PAB tiếp tuyến PT với A,B,T (O) Đường phân giác góc ATB cắt AB D Chứng
minh PT = PD
2A Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Các tia phân giác góc B C cắt I cắt (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh:
a) Các tam giác AMN, EAI DAI tam giác cân; b) Tứ giác AMIN hình thoi
2B Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (/) Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F Dây EF cắt AB, AC M N Chứng minh: a) DI = DB; b) AM = AN;
Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song vng góc Chứng minh đẳng thức cho trước
Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ đó, ta suy điều cần chứng minh
3A Từ điểm P (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn cát tuyến PBC với P, B,C (O)
a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm Đường kính (O) 50cm Tính PO
b) Đường phân giác góc A cắt PB I cắt (O) D Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AIB.
3B Cho (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đường kính AB lấy điểm E cho AE = R 2 Vẽ dây CF qua E Tiếp tuyên đường tròn F cắt CD M, vẽ dây Aỉ cắt CD N Chứng minh:
a) Tia CF tia phân giác góc BCD; b) MF AC song song;
c) MN, OD, OM độ dài cạnh tam giác vuông
4A Cho tam giác ABC phân giác AD Vẽ đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB, AC E F Chứng minh:
a) EF song song BC; b) AD2 = AE.AC;
c) AE.AC = AB.AF
4B Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh:
a) Tam giác BDI tam giác cân; b) DE đường trung trực IC;
c) IF BC song song, F giao điểm DE AC III BÀI TẬP VỂ NHÀ
5 Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai cát tuyến PAB PCD (A nằm P B, C nằm P D), đường thẳng AD BC cắt Q a) Cho biết P = 60° AQC = 80° Tính góc BCD
b) Chứng minh PA.PB = PC.PD
6 Từ điểm A bên (O), vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Tia phân giác góc BAC cắt BC BD M N Vẽ dây BF vng góc với
(56)a) Tam giác BMN cân; b) FD2 = FE.FB.
7 Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O) Điểm D di chuyển
MP Gọi E giao điểm MP ND, gọi F giao điểm MD NP
Chứng minh MFN MND
8 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự điểm cua cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh:
a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN;
c) EI song song BC; d)
AN AB
BN BD
9 Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MCB với A,B,C (O) Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) N Chứng
minh:
a) MA = MD;
b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M cắt đưịng trịn Chứng minh MB.MC khơng đổi.
c) NB2 = NA.ND.
10 Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), điểm I, K, H điểm cung MN, NP, PM Gọi J giao điểm IK MN, G giao điểm HK MP Chứng minh JG song song với NP
BÀI CUNG CHỨA GÓC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB góc a (0° < a < 180°) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB = a hai cung chứa góc a dựng đoạn AB.
Chú ý:
- Hai cung chứa góc a nói hai cung tròn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích.
- Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB
2 Cách vẽ cung chứa góc a
- Vẽ đường trung trực d đoạn thăng AB; - Vẽ tia Ax tạo với AB góc a;
- Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi o giao điểm Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ
AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa góc a.
3 Cách giải tốn quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H. Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T.
(57)II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Quỹ tích cung chứa góc
Phương pháp giải: Thực theo ba bước sau: Bước Tìm đoạn định hình vẽ;
Bước Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc a khơng đổi;
Bước Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm cung chứa góc a dựng đoạn cố định
1A Cho tam giác ABC có BC cố định góc A 50° Gọi D giao điểm ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D
1B Cho tam giác ABC vng A, có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm điểm A thay đổi
Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn
Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm thuộc nửa mặt phang bờ AB nhìn đoạn cố định AB góc khơng đổi
2A Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia đổi tia MA lây điểm D cho MD = MB, tia đối tia NB lấy điểm E cho NA = NE, tia đối tia MB lấy điểm c cho MC = MA Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn
2B Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60° Gọi H trực tâm ∆ABC Chứng minh điểm B, C, O, H, I
cùng thuộc đường tròn Dạng Dạng cung chứa góc
Phương pháp giải: Thực theo bốn bước sau: Bước Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB; Bước Vẽ tia Ax tạo với AB góc α;
Bước Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d
Bước Vẽ cung AmB, tâm Om bán kính OA cho cung nằm nửa mặt
phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa
góc α
3A Dựng cung chứa góc 550 đoạn thẳng AB = 3cm.
3B Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3,5cm A = 500.
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
4 Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC
5 Cho tam giác ABCD vuông A, phân giác BF Từ điểm I nằm B F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC M N Vẽ đường ngoại tiếp tam giác BIN cắt AI D Hai đường thẳng DN BF cắt E Chứng minh:
(58)b) Năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường trịn Từ suy BE vng góc với CE
6 Dựng cung chứa góc 450 đoạn thẳng AB = 5cm.
BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
- Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn - Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD
2 Định lí
- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180°
- Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường tròn
3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đổi 180°
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
- Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác
-Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α.
Chú ý: Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường tròn
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau:
Cách Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đơì 180°.
Cách Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α
Cách Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
Cách Tìm điểm cách đỉnh tứ giác.
1A Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp
1B Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp
(59)2B Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường tròn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp.
Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng
Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp.
3A Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK AE
tại K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AtìCK tứ giác nội tiếp;
b) AHì.AB = AD2;
c) Tam giác ACE tam giác cân
3B Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M OA (M khơng trùng o A) Qua M
vẽ đường thẳng d vuông góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh:
a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB;
c) NEH NME (H giao điểm AC d);
d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O)
4A Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AHAK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K
c) Kẻ DN CB, DM AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng
quy
4B Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường trịn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn
b) Chứng minh AM2 = AB.AC.
c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC
d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC nằm đường trịn cơ' định.
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
5 Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB cho cung
AClớn cung BC (C ≠ B) Đường thăng vng góc vói AB O cắt dây AC
tại D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp
(60)7 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường trịn (O’) F Kẻ đường kính AE (O') cắt đưịng trịn (O) G Chứng minh:
a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE AB đồng quy
8 Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp
9 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
10 Cho tam giác ABC vuông A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh CA phân giác BCD.
c) Chứng minh ABED hình thang
d) Tìm vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ 11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H
a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI
c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn
12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H a) Chứng minh AE song song CD
b) Tìm vị trí M để MA MB
c) Chứng minh HB phân giác CHD
13 Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm c D thuộc đường trịn, B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh:
a) BMDBAC Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp;
b) HK song song CD
Cho hình vng ABCD E di động đoạn CD (E khác c, D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh:
a) CAF CKF ;
b) Tam giác KAF vuông cân;
c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF;
d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE
15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vng góc với BC H, MI vng góc AC I.
(61)b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK vng góc vói BK.
c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB
d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc vói EF.
BÀI ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CƯNG TRỊN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường tròn)
Độ dài (C) đường tròn bán kính R tính theo cơng thức: C = 2R C = d (với d = 2R).
2 Cơng thức tính độ dài cung trịn
Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n° tính theo cơng thức:
180
Rn l
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tính độ dài đường trịn, cung trịn
Phương pháp giải: Áp dụng công thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết. 1A Lấy giá trị gần 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn
vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Bán kính R
đường trịn
Đường kính d
của đường trịn 16
Độ dài c
đường tròn 30 25,12
1B Lấy giá trị gần n 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai)
Bán kính R đường trịn 10
Đường kính d đường tròn
Độ dài c đường tròn 9,42 6,28
2A a) Tính độ dài cung 60° đường trịn có bán kính 3dm b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600mm
2B a) Tính độ dài cung 40° đường trịn có bán kính 5dm b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 400mm
3A Lấy giá trị gần n 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đon vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ):
Bán kính R đường trịn 12 22 5,2
Số đo n° cung tròn 90° 60° 31° 28° Độ dài / cung tròn 40,6 30,8 8,2
3B Lấy giá trị gần 3,14, điền vào ô trống bảng sau (đơn
(62)Bán kính R đường tròn 14 20 4,2
Số đo n° cung tròn 90° 50° 35° 20° Độ dài l cung trịn 40,6 30,8 4,2 Dạng Một sơ toán tổng hợp
Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức kiên thức có
4A Cho tam giác ABC vng A có AB = 5cm, B = 60° Đường tròn tâm 7, đường kính AB cắt BC D
a) Chứng minh AD vng góc vói BC
b) Chứng minh đường trịn tâm K đường kính AC qua D c) Tính độ dài cung nhỏ BD
4B Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD) Nối AC BD cắt M.
a) Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MBA Tìm tỉ số đồng dạng
b) Cho ABC = 30°, tính độ dài cung nhỏ AC.
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Cho = 3,14 Hãy điền vào bảng sau:
Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S
6
94,2
28,26 Cho đường (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC
OA Biết độ dài đường trịn (O) 4 cm Tính:
a) Bán kính đường trịn (O);
b) Độ dài hai cung BC đường tròn
7 Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm A= 1200 Tính độ dài đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC
8 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn
9 Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK AM K đường thẳng
BK cắt CM E
a) Chứng mnh bốn điểm A, B, H, J thuộc đường tròn b) Chứng minh tam giác MBE cân M
(63)10 Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác BAC cắt đường tròn (O)tại D Các tiếp tuyến
đường tròn (O; R) C D cắt E Tịa CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I
a) Chứng minh BC song song DE
b) Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp
c) Cho BC = R Tính theo R độ dài cung nhỏ BC đường trịn (O; R) BÀI DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cơng thức diện tích hình trịn
Diện tích S hình trịn bán kinh R tính theo công thức:
2 SR
2 Công thức diện tích hình quạt trịn
Diện tích hình quạt trịn bán kính E, cung n0 tính theo cơng thức:
360
R n S
hay
lR S
(l độ dài cung n0 hình quạt trịn).
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn loại lương có liên quan Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức kiến thức có
1A Điền vào trống bảng sau (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất): Bán kính
đường tròn (R)
Độ dài đường tròn (C)
Diện tích hình trịn (S)
Số đo của cung trịn n0
Diện tích hình quạt trịn cung n0
12cm 450
2cm 12,5cm2
40cm2 10cm2
1B Điền vào ô trống bảng sau (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ nhất) Bán kính
đường trịn (R)
Độ dài đường trịn (C)
Diện tích hình trịn (S)
Số đo của cung trịn n0
Diện tích hình quạt tròn cung n0
14cm 600
4cm 15cm2
60cm2 16cm2
2A Cho hình vng có cạng 4cm nội tiếp đường trịn (O) Hãy tính độ dài đường trịn (O) diện tích hình trịn (O)
2B Cho hình vng có cạnh 5cm nội tiếp đường trịn (O) Hãy tính độ dài đường trịn (O) diện tích hình trịn (O)
(64)3B Cho tam giác ABC nội tếp đường tròn (O; 6cm) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OA, OC cung nhỏ AC ABC600.
Dạng Bài toán tổng hợp
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt kiến thức học để tính góc tâm, bán kính đường trịn Từ tính diện tích hình trịn diện tích hình quạt trịn 4A Cho đường trịn (O; R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm)
a) Tính độ dài cung nhỏ AB
b) Tính diện tích giới hạn hai tiếp tuyến AM, MB cung nhỏ AB 4B Cho đường trịn (O) đường kính AB Lây M thuộc đoạn AB vẻ dây CD vng góc với AB M Giả sử AM = 2cm CD = 3cm Tính:
a) Độ dài đường trịn (O) diện tích đường trịn (O);
b) Độ dài cung CA D diện tích hình quạt trịn giói hạn hai bán kính OC,
OD cung nhỏ CD.
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Cho đường trịn (O; R), đường kính AB cố định Gọi M trung điểm đoạn OB Dây CD vng góc với AB M Điểm E chun động cung lớn CD (E khác A) Nôi AE cắt CD K Nối BE cắt CD H.
a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc đường trịn b) Chứng minh AE.AK khơng đổi
c) Tính theo R diện tích hình quạt trịn giói hạn OB, OC cung nhỏ BC Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD) Nối AC BD cắt M.
a) Chứng minh CD thay đổi vị trí nửa đường trịn độ lớn góc
AMB khơng đổi.
b) Cho ABC300, tính độ dài cung nhỏ AC diện tích hình viên phân giói hạn
bởi dây AC cung nhỏ AC
ÔN TẬP CHƯƠNG III I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài chương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB M điẻm cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB
a) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ACM ACK
(65)d) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d ao cho hai điểm P, C nằm nưanr mặt phẳng bờ AB
AP MB R
MA Chứng
minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK
1B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M, AM cắt (O) điểm thứ hai D Gọi E trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) điẻm thứ hai F Chứng minh:
a) Tứ giác OEBM tứ giác nội tiếp; b) MB2 = MA.MB;
c) BFC MOC ; d) BF song song AM.
2A Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO)
a) Chứng minh MA MB = ME.MF
b) Gọi H hình chiêu vng góc điểm c lên đuờng thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường trịn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS KC vng góc
d) Gọi p Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
2B Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt H Gọi E' điểm đối xứng H qua AC, F' điểm đối xứng H qua AB Chứng minh:
a) Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O);
b) Năm điểm A, F', B, C, E' thuộc đường trịn; c) AO EF vng góc nhau;
d) Khi A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
3 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A tia đối tia CB Kẻ tiếp tuyến AF nửa đường trịn (O) (vói F tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx nửa đường tròn D R
Cho biết AF =
4R
a) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp Xác định tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác
b) Tính cơsin góc DAB.
c) Kẻ OM BC (M AD) Chứng minh
BD DM
DM AM
d) Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM bên ngồi nửa đường trịn (O) theo R
(66)a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N điểm đối xứng M qua AB Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn
c) Gọi E điểm đối xứng M qua AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đường trịn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
5 Cho tam giác ABC có BAC = 45°, góc B C nhọn Đường trịn đường
kính BC cắt AB AC tai D E Gọi H giao điểm CD BE a) Chứng minh AE = BE
b) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác
c) Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE d) Cho BC = 2a Tính diện tích viên phân cung DE đường tròn (O) theo a.
6 Cho đường tròn (O) dây BC cố định không qua O Trên tia đối tia BC lấy điểm A Vẽ tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N tiếp điểm) MN cắt đưòng AO BC H K Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh: AH.AO = AB.AC = AM2.
b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp
c) Vẽ dây MP song song với BC Chứng minh N, I, P thẳng hàng
d) Khi A di động tia đôi tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy đường tròn cố định
7 Cho đường tròn (O) điểm M nằm (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O) Gọi K trung điểm NP
a) Chứng minh điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOA qua K b) Chứng minh tia KM phân giác góc AKB..
c) Gọi Q giao điểm thứ hai BK với (O) Chứng minh AQ song song NP d) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh:
MA2 = MH.MO = MN.MP.
e) Chứng minh bốn điểm N, H, O, P thuộc đường tròn g) Gọi E giao điểm AB KO Chứng minh:
AB2 = 4.HE.HF (F giao điểm AB NP).
h) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OE khơng đổi i) Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với (O) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
k) Chứng minh KE KE phân giác phân giác góc
AKB. Từ suy AE.BE = AE.BE.
l) Chứng minh cát tuyến MNP quay quanh M trọng tâm G tam giác NAP ln chạy đường trịn cố định.
(67)ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Khoanh vào câu trả lời câu sau:
Câu Biết tứ giác MNOP nội tiếp đường trịn góc PMN 1200, hỏi
khẳng định sau đúng?
A O 600; B N 600; C P 600; D P900.
Câu Công thức tính độ dài đường trịn tâm O, bán kinh R là: A R2; B 2R; C 2R2; D
R
Câu Diện tích vành khăn giới hạn hai đường tròn (O; 4cm) (O; 3cm) là:
A 25cm2; B 7cm2; C 7
cm2; D 25cm2
Câu Trong đường trịn, góc tâm chắn cung 1500 có số đo là:
A 750; B 600; C 900; D 1500.
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (2,0 điểm) Cho đường trịn (7; 2cm) Vẽ bán kính IA IB cho AIB
= 120° Hãy tính: a) Độ dài cung nhỏ AB
b) Diện tích hình quạt trịn giới hạn cung nhỏ AB hai bán kính IA, IB Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm S (O) Qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với (O) A, B tiếp điểm Gọi M trung điểm SA, BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C
a) Chứng minh tứ giác OASB nội tiếp b) Chứng minh MA2 = MB.MC.
c) Gọi N đối xứng với C qua M Chứng minh C A MBS S
d) Chứng minh NO tia phân giác ANB
Bài (2,0 điểm) So sánh phần diện tích gạch sọc phần diệc tích để trắng hình bên
ĐỀ SỒ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Khoanh vào câu trả lời câu sau:
Câu Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn góc C 750 Khẳng định
sau
(68)Câu Trên đường trịn tâm O bán kính R, lấy hai điểm A, B cho số đo cung lớn AB 2700 Độ dài dây AB là:
A R; B R 3; C 2R 3; D R 2.
Câu Diện tích vành khăn giới hạn hai đường tròn (O; 10cm) (O; 6cm) là:
A 50cm2; B 64cm2;
C 60cm2; D 16 cm2.
Câu Cho đường tròn (O; R) Từ A (O), kẻ tiếp tuyến AB, tia OA cắt (O) C Biết số đo cung BC 670, tính số đo OAB :
A 230; B 670; C 1000; D 460.
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (3,5 điểm) Một dây AB chai đường tròn (O; R) thành hai cung mà cung gấp ba lần cung Tính:
a) Số đo cung lớn độ dài cung đó; b) Các góc tam giác OAB;
c) Khoảng cách từ tâm O đến dây AB
Bài (4,5 điểm) Cho đường trịn O bán kính R hai điểm A, B nằm đường trịn (AB khơng đường kính) Các tiếp tuyến A, B đường tròn cắt M Kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (C nằm M D) a) Chứng minh tam giác MBC MDB đồng dạng
b) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
c) Khi AB = R 3, tính bán kinh đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOB theo R d) Kẻ dây AE (O) song song với MD Nối BE cắt MD I Chứng minh I trung điểm CD
CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN, HÌNH CẦU BÀI DIỆN TÍCH XUNG QUANH
VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hình trụ có bán kinh R chiều cao h Khi đó: Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh
2 Diện tích đáy: S = R2
3 Diện tích tồn phần: Stp =
2
2Rh2R
4 Thể tích: V = R h2
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Tính bán kính đấy, chiều cao, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ
Phương pháp giải: Vận dụng cơng thức để tính bán kính đáy, chiều cao, diện tích đấy, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ 1A Điền kết tương ứng hình trụ vào trống:
Bán kính đấy (cm)
Chiều cao
Chu vi đáy
Diện tích
Diện tích xung
Diện tích tồn
(69)(cm) (cm) đáy (cm2)
quanh (cm2)
phần (cm2)
(cm3)
1
5
10 8
8 400
1B Điền kết tương ứng hình trụ vào trống: Bán kính
đấy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy
(cm)
Diện tích đáy (cm2)
Diện tích xung quanh
(cm2)
Diện tích tồn phần (cm2)
Thể tích (cm3)
2
2 100
8 3
8 400
2A Một hình trụ có độ dài đường cao gấp đơi đường kính đáy Biết thể tịch hình trụ 128cm3 Tính diện tích xung quanh hình trụ.
2B Một hình trụ có bán kính đáy 3cm Biết diện tích tồn phần hình trụ gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ
Dạng Bài tập tổng hợp
Phương pháp giải: Vận dụng cách linh hoạt kiến thức hình học phẳng học kết hợp cơng thức lí thuyết hình trụ kết hợp giải tập 3A Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D
a) Chứng minh:
i) AC + BD = CD; ii) CO D 90 0;
iii) AC.BD =
2
AB
b) Gọi E giao điểm OC AM, F giao điểm MB OD Cho biết OC = 2R, tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ tạo thành cho tứ giác EMFO quay quanh EO
3B Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O; R) đường kính BC Vẽ đường cao AH tam giác ABC Đường tròn tâm K đường kính AH cắt AB, AC D E
a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AB.AD = AE.AC
b) Cho biết BC = 25cm AH = 12cm Hãy tính diện tích xung quanh thể tích hình tạo thành cho tứ giác ADHE quay quanh AD
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
4 Điện kết tương ứng hình trụ vào trống: Bán kính
đấy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy
(cm)
Diện tích đáy (cm2)
Diện tích xung quanh
(cm2)
Diện tích tồn phần (cm2)
(70)5 12
3 60
17 20
20 28
5 Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây Cd vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H
a) CHứng minh tứ giác BIHK nội tiếp
b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c) Kẻ DM CB, DN AC Chứng minh MN, AB, CD đồng quy
d) Cho BC = 25cm Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ tạp thành cho tứ giác MCND quay quanh MD
BÀI DIỆN TÍCH XUANH QUANH
VÀ THỂ TỊCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Diện tích, thể tích hình nón
Cho hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l, chiều cao h Khi đó:
a) Diện tích xung quanh: Sxq = Rl
b) Diện tích toàn phần: Stp =
2 Rl R .
c) Thể tích:
2
1
V R h
2 Diện tích, thể tích hình nón cụt
Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều chao h, đường sinh l
a) Diện tích xung quanh: Sxq = (R r l )
b) Diện tích tồn phần: Stp =
2
(R r l) R r
c) Thể tích:
2
1
( )
3
V h R Rr r
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tính diện tích, thể tích đại lượng liên quan hình nón hình nón cụt
Phương pháp giải: Sử dụng công thức diện tích, thể tích hình nón hình nón cụt
1A Cho hình nón có bán kính đáy r, đường kính đáy d, chiều cao h, đường sinh l, thể tích V, diện tích xung quanh Sxq, diện tích tồn pphần Stp Điền kết
vào ô trống bảng sau:
Bán kính r
Đường kính d 10
Chiều cao h 10
Đường sinh l 10
Thể tích V 1000
(71)Diện tích tồn phần Stp
1B Cho hình nón có bán kính đáy r, đường kính đáy d, chiều cao h, đường sinh l, thể tích V, diện tích xung quanh Sxq, diện tích tồn phần Stp Điền kết
vào ô trống bảng sau:
Bán kính r
Đường kính d 20
Chiều cao h 100
Đường sinh l 13
Thể tích V 300
Diện tích xung quanh Sxq 150
Diện tích tồn phần Stp
2A Một dụng cụ hình nón có đường dài 15cm và diện tích xung quanh
2
135cm .
a) Tính chiều cao hình nón
b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón
2B Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 10cm 5cm, chiều cao 20cm
a) Tính dung tích xơ
b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) Dạng Bài tập tổng hợp
Phương pháp giải: Vận dụng cong thức kiến thức học để tính đại lượng chưa biết từ tính diện tích, thể tích hình nón, hình nón cụt 3A Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng, OA = a, OB = b (a, b đơn vị cm) Qua A B vẽ theo thứ tự tia Ax By vng góc với AB Qua O vẽ hai tia vng góc với cắt Ax C, By D
a) Chứng minh tam giác AOC BDO đồng dạng Từ suy tích AC.BD khơng đổi
b) Với COA 600, hãy:
i) Tính diện tích hình thang ABCD;
ii) Tính tỉ số thể tích hình tam giác AOC BOD tạo thành cho hình vẽ quay xung quanh AB
3B Cho hình thang vng ABCD vuông A B, biết cạnh AB = BC = 3cm, AD = 7cm Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt tạo thành quay hình thang quanh cạnh AB
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
4 Một hình quạt trịn có bán kính 20cm góc tâm 144° Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nùa góc đỉnh hình nón
5 Một hình nón có bán kính đáy 5cm diện tích xung quanh 65cm2
Tính thể tích hình nón
6 Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14cm 9cm, chiều cao 23cm
a) Tính dung tích xơ
(72)7 Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm, người ta tiện thành hình nón có thê tích lớn Biết phần gỗ bỏ tích 640cm3
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ
b) Tính diện tích xung quanh hình nón
BÀI DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hình cầu
- Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán knhs R vịng quanh đường kính AB cố điịnh ta thu hình cầu
- Nửa đường trịn phép quay nói trê tạo thành mặt cầu
- Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu
2 Cắt hình cầu mặt phẳng
- Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn
- Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn, đó:
+ Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường trịn lớn)
3 Diện tích, thể tích Cho hình cầu bán kính R - Diện tích mặt cầu: S4R2
- Thể tích hình cầu:
3
4
V R
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu đại lượng liên quan Phương pháp giải: Áp dụng công thức S 4R2và
3
4
V R
để tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu đại lượng liên quan
1A Điền vào ô trông bảng sau: Bán kính
hình cầu
0,4 mm 6dm 0,2 m 100 km 6hm 50 dam Diện tích
(73)1B Dụng cụ thể thao loại bóng cho bảng có dạng hình cầu Hãy điền vào trơng bảng sau (làm trịn kết đến chữ sô' thập phân thứ hai):
Loại bóng bóngQuả gơn
Quả khúc
cầu
Quả ten-nít
Quả bóng
bàn
Quả bia Đường
kính 42,7mm 6,1 cm
Độ dài đường trịn
lớn
23 cm
Diện tích 1697cm2
Thể tích 36 nem3
2A Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2) số đo
thể tích (tính cm3) Tính bán kính hình cầu đó.
2B Một hình cầu có diện tích bề mặt 1007m2 Tính thể tích hình cầu đó.
Dạng Bài tập tổng hợp
Phương pháp giải: Vận dụng công thức kiến thức học để tính đại lượng chưa biết từ tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu
3A Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax By hai tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP cắt By N
a) Chứng minh MON APB hai tam giác vuông đồng dạng b) Chứng minh AM.BN = R2.
c) Tính tỉ số MON
APB S
S 2 R AM
d) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quan AB sinh
3B Cho tam giác ABC vng cân A có cạnh góc vng a Tính diện tích mặt cầu tạo thành quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vòng quanh cạnh BC
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
(74)5 Cho hình cầu hình trụ ngoại tiếp (đường kính đáy chiều cao hình trụ đường kính hình cầu) Tính tỉ số giữa:
a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ;
b) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ Cho hình câu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số phần trăm giữa:
a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương;
b) Thể tích hình cầu thể tích hình lập phương
7 a) Tìm diện tích mặt cầu thể tích hình cầu, biết bán kính hình cầu 4cm
b) Thể tích hình cầu 512cm2 Tính diện tích mặt cầu đó.
ƠN TẬP CHƯƠNG IV I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phần Tóm tắt lý thuyết có Bài 1, Bài Bài chương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
1A Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy r (cm), chiều cao 2r (cm) hình cầu có bán kính r (cm) Hãy tính:
a) Diện tích mặt cầu, biết diện tích tồn phần hình nón 21,06 cra2;
b) Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu 15,8cm3.
1B Một hình nón có chiều cao h Hai đường sinh vng góc với mặt xung quanh hình nón thành hai phần có tỉ lệ 1:2 Tính thể tích hình nón
2A Cho hình chữ nhật ABCD Lần lượt quay hình chữ nhật vịng quanh cạnh BC vịng quanh cạnh CD, ta hai hình trụ có diện tích tồn phần Chứng minh tứ giác ABCD hình vng
2B Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích chu vi theo thứ tự 2a2 6a Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB ta hình trụ
Tính diện tích tồn phần thể tích hình trụ III BÀI TẬP VỂ NHÀ
3 Cho tam giác ABC vuông A với AB = c, AC = b (c ≠ b) Khi quay tam giác quanh đường thẳng AB ta hình nón (N1), quay tam giác
quanh đường thẳng AC ta hình nón (N2)
(75)b) Thể tích hai hình nón (N1) (N2) có
bằng khơng? Tại sao?
4 Hãy tính diện tích tồn phần hình tng ứng theo kích thuớc cho hình vẽ bên
5 Cho hình vng ABCD nội tiếp đưịng trịn tâm O, bán kính R GEF tam giác nội tiếp đuờng tròn đó, EF
là dây song song với AB Cho hình quay xung quanh trục GO Chứng minh: a) Bình phương thể tích hình trụ
sinh hình vng tích thể tích hình cầu sinh hình trịn thể tích hình nón tam giác sinh ra;
b) Bình phương diện tích tồn phần hình trụ tích diện tích hình cầu diện tích tồn phần hình nón
6 Cho tam giác ABC vng A có B = 30° BC = cm
a) Quay tam giác vịng quanh cạnh AB Hãy tính diện tích xung quanh thể tích hình tạo thành
b) Tính diện tích tồn phần hình tạo thành
ĐỀ KỂM TRA CHƯƠNG IV Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu Một hình trụ có bán kính đáy 7cm, diện tích xung quanh 352cm2
Khi chiều cao hình trụ gần là: A 3,2cm; B 4,6cm; C 1,8cm; D 8cm
Câu Một hình nón có bán kính đáy 5cm, chiều cao 12cm Khi diện tích xung quanh bằng:
A 60cm2; B 300cm2; C 3cm2; D 8 cm2.
Câu Hình trụ có chiều cao h = 8cm bán kính mặt đáy 3cm diện tích xung quanh là:
A 16cm2; B 24cm2; C 32cm2; D 48 cm2.
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (3,5 điểm) Một xơ hihf nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 20cm 5cm, chiều cao 20cm
a) Tính dung tích xô
(76)Bài (4,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax By hai tiêp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP với đường tròn tâm O (tiếp điểm P khác điểm A) cắt By N
a) Chứng minh tam giác MON APB đồng dạng b) Chứng minh AM.BN = R2.
c) Tính tỉ số MON
APB S
S AM = 2 R
d) Tính thể tích hình nửa hình trịn đường kính AB quay vòng quanh AB sinh
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ chái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu Thể tích hình trụ 375cm3, chiều cao hình trụ 15cm
Diện tích xung quanh hình trụ là:
A 150cm2 B 300cm2 C 75cm2 D 32cm2
Câu Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 6cm cố định Quay nửa hình trịn quanh AB hình cầu tích bằng:
A 288cm2 B 9cm2 C 27cm2 D 36cm2
Câu Một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài hình trụ Khi diện tích xung quanh bằng:
A 6cm2; B 8cm2; C 12cm2; D 18 cm2.
Câu Diện tích tồn phần hình nón có bán knhs đường tròn đáy 2,5 cm, đường sinh 5,6 cm bằng:
A 20cm2 B 20, 25cm2 C 20,5cm2 D 20, 75cm2
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Bài (4,0 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi I trung điểm OA, dây CD vuông góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK căý CD H
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆BHK qua I
b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c) Kẻ DN CB, DM AC Chứng minh MN, AB CD đồng quy
d) Cho BC = 25cm Hãy tính diện tích xung qanh hình trụ tạo thành cho tứ giác MCND quay quanh MD
(77)ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
Thời gian làm cho đề 90 phút ĐỀ SỐ
Bài (2,0 điểm) Với x0,x9, cho biểu thức:
2 3x+3
9
3 3
x x
P
x
x x
1
x Q
x
a) Tính giá trị Q x = - b) Rút gọn P
c) Tìm x để
2
M
biết
P M
Q
d) Đặt
4x
3
A x M x
Tìm giá trị nhỏ A.
Bài (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm 900 chi tiết máy thời gian quy định Do cải tiến kĩ thuật nên tổ vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 10% so với kế hoạch Vì hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất phải làm chi tiết máy?
Bài (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2
3x
1
5x
1
y y
b) Cho phương trình x2 (m – 1)x – m2 – = với x ẩn m tham số Tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2
Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AC < BC) Trên dây CB lấy điểm H (với H khác C B) AH cắt đường tròn điểm thứ hai D Kẻ HQ vng góc với AB (với Q thuộc AB)
a) Chứng minh tứ giác BDHQ nội tiếp
(78)d) Gọi M, N hình chiếu F AC CB Chứng minh MN, AB, DF đồng quy
Bài (0,5 điểm) Cho x, y R thỏa mãn x + y + xy =
4 Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức A = x2 + y2.
ĐỀ SỐ Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức
3
x x
A x
3
:
3
x x
B
x x x
Với x0 x9.
a) Tính giá trị A x = 25 b) Rút gọn B
c) Tìm giá trị x nguyên để A.B có giá trị nguyên
Bài (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch phải chở hết 200 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm
Bài (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
( 1)( 1)
( 3)( 3)
x y xy
x y xy
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho prabol (P): y = x2 đường thẳng d: y = 2x
+ 2m2 – 2m Tìm giá trị m để d cắt (P) cắt hai điểm phân biệt nằm
hai phía trục tung Oy
Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vng góc với dây cung CD H (HB < R) Gọi M điểm cung nhỏ AC, toa AM cắt đường thăng CD N; MB cắt CD E
a) Chứng minh tứ gics AMEH MNBH nội tiếp b) Chứng minh NM.NA = NC.ND = NE.NH
c) Nối BN cắt (O) K (K ≠ B) Đường thẳng KH cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng ∆AMF cân
Chứng minh M di dộng cung nhỏ AC I ln thuộc đường trịn cố định
Bài (0,5 điểm) Cho x, y hai số thực khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
2 2
4x
( )
y x y
M
x y y x
PHẦN C ĐÁP ÁN
(79)1A * Xét cặp số (12; 1)
Thay x = 12, y = vào 2x - 5y = 19 ta có 2.12 - 5.1 = 19 (luôn đúng) Vậy (12; 1) nghiệm phương trình 2x - 5y = 19
* Xét cặp số (1 ; 1):
Thay mặt x = 1, y = vào 2x - 5y = 19 ta có: 2.1 - 5.1 = 19 (vơ lí) Vậy (1; 1) khơng nghiệm phương trình 2x - 5y = 19
* Tương tự trên, ta có cặp số (2; -3) nghiệm, (1; -2) khơng nghiệm phương trình
1B Tương tự 1A Ta có (-2; 3) nghiệm phương trình b) d).
2A Để cặp số (2; -1) nghiệm phương trình mx - 5y = 3m - ta phải có: 2m - (-1) = 3m - m =
Vậy với m = (2; -1) nghiệm phương trình cho 2B Tương tự 2A Vì (1; -1) nghiệm phương trình nên
2
1
1
1 ( 1)
m
m m m
m m
3A Gọi phương trình cần tìm có dạng: ax + by = c
Thay nghiệm (2; 0) (-1; -2) vào ax + by = c ta được:
2 2
2
4
c a a b c a b c
b c Chọn
4
3
a
c x y
b
* Chú ý: - Nếu chọn
0 0 a c b
Loại.
- Nếu c ≠ 0, ta chọn c tùy ý Tuy nhiên, nên cân nhắc chọn c hợp lý để tìm a, b số "đẹp"
3B Tương tự 3A Đáp số: -3x - 2y = 4.
4A. a) ; 3 x y x b) ' x y
c)
x y
Chú ý: Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm phương trình cách vẽ đường thẳng có phương trình
2
,
3
y x x
y2 trên
mặt phẳng tọa độ 4B Tương tự 4A
a) 3'
x y x b) ' x y
c)
x y
5A a) song song với
2
3
6
m
Ox m m
(80)b) d song song với
2
3
6
m
Oy m m
m
c) d qua
1
(0;0) ( )
3
O O d m m
d) d qua
1
(1; 1) ( 2) (3 1)
8
A m m m m
5B Tương tự 5A a)
1
; ) 1; ) ; )
2
m b m c m d m
6A Cách Vì (1; -1) nghiệm 3x - 2y = nên ta có:
1
1
3( 1) 2( 1) ( )
1
2
x t
x y
x y t t
y t
Cách Ta có
3 5
3
2
x x
x y y x
Đặt 5 ( ) x t x t t y t
Chú ý: Hai kết cách cách hình thức viết khác biểu diễn tập hợp nghiệm trê,n mặt phẳng tọa độ lại trùng Vì vậy, hai
6B Tương tự 6A. a) 11 ( ) x t t y t b) ( ) 23 x t t y t
7A Tương tự 6A
6 18 ( ) 11 x t t y t
b) Vì x, y nguyên dương nên ta có:
6
6
0
3
18 11
x t t y
8 Tương tự 1A Đáp số: (-1; -8), (3; -2) 9 Tương tự 6A
a)
x x y ; b) x y x c) x y
d)
x y
; e)
x y x g) x y x
10 Tương tự 5A a) m b) m
; c) m2; d)
9 13
m
11 Tương tự 3A 2x + 3y = 7. 12 Tương tự 6A a)
(81)13 Tương tự 7A. a)
14
( )
6
x t
t y
b) ( ; )x y (7; 11), (14;6), (21;1) BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1A a) Ta có a = 3; b = -2; c = 4; a' = -6; b'=4; c' = -8
1
' ' '
a b c
a b c
Hệ phương trình có vơ số nghiệm
b) Ta có: ' '
a b
a b Hệ phương trình có nghiệm nhất.
c) Ta có ' ' '
a b c
a b c Hệ phương trình vơ nghiệm.
d) Vì b' 0 nên ta xét:
' ' ' '
;
2
a b a b
a b a b
1B Tương tự 1A Hệ phương trình
a) Có nghiệm b) Có nghiệm nhất; c) Vô số nghiệm; d) Vô nghiệm
2A Xét tỉ số:
' ' '
; 1;
1
a m b c
m m
a b c Hệ phương trình:
a) Có nghiệm
' '
1
a b
m
a b
b) Vô nghiệm
1
' ' '
1
m
a b c
m
m m
a b c
c) Vô số nghiệm
1
' ' '
2
m
a b c
m
m m
a b c
2B * Xét m = 0: Hệ phương trình có nghiệm nhất.
* Xét m ≠ 0: Tương tự 2A a m) 1; b m) 1; c cm) 1
3A a) Thay x = -4 y =5 vào -3x + 2y = 21 ta có: -3.(-4) + 2.5 = 21 (Vô lý)
(-4; 5) không nghiệm hệ phương trình
b) Thay x = -4 y = vào phương trình hệ phương trình thấy thỏa mãn Vậy (-4; 5) nghiệm hệ phương trình cho
3B Tương tự 3A a) Có; b) Khơng
4A Thay x = y = vào hệ phương trình, ta được:
2
2
1
m m
m m
4B Tương tự 4A
1
m
5A a) Học sinh tự vẽ hình.
b) Từ đồ thị (d1) (d2), ta xác định tọa độ giao điểm (d1) (d2) M
(3; 1) (3; 1) nghiệm hệ phương trình cho
c) (d1), (d2) (d3) đồng quy
3
4 (3;1) ( )
5
M d m
(82)a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm;
c) Có nghiệm nhất; d) Có nghiệm nhất; e) Vơ số nghiệm g) Có nghiệm nhất; 7 Tương tự 3A a) Khơng b) Có
8 Tương tự 2A. a) m1; b) m1;
c) m = 1; d) m = -2 9 Tương tự 5A. a) Học sinh tự vẽ hình
b) (2; -1); c) m = -5
BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 1A Từ PT đầu y = 3x - Thay vào PT tìm x =
Thay x = vào y = 3x - tìm y = Vậy nghiệm HPT (3; 4)
b) Tương tự ý a), nghiệm HPT
2 ;
2
1B Tương tự 1A
a) (-3; 2) b) Vô số nghiệm 2A a) HPT cho
2 21
10 45
x y x y
Từ tìm nghiệm HPT (3; 5) b) HPT cho
2
4
x y x y
Từ tìm nghiệm HPT
17 ; 11 11
2B Tương tự A.
a) (4; 7) b) (2; 2) 3A a) ĐK: x ≠ y ≠ 0
Đặt
1
u x
1
v
y , ta HPT:
15
4 35
u v u v
Giải ta
2
u v
Từ nghiệm HPT ban đầu
1 ;
b) Tương tự ý a), ta nghiệm HPT
10 19 ; 3
3B Tương tự 3A. a)
7 ;
b)
7 ; 66 11
4A Thay x = y = -2 vào HPT cho ta được:
2
2
b
b a
(83)Giải ta
1
a
b =
4B Tương tự 4A Tìm a = -2 b = 5. 5A Vì d1d2 cắt điểm I (2; -5) nên
1 I d I d
Từ ta tìm m = n = -1
5B Ta có giao điểm d1 trục Oy A(0; -2)
Vì A d nên tìm m = -5
HS tự vẽ hình
6 a) (10; 7) b)
3 3;
7 a)
1 13 ; 2
b) Vô nghiệm
8 a)
19 ;
b)
18 ; 5
9 Tìm a = b = -5. 10 Tìm
5
m
HS tự vẽ hình 11 Tìm
1
,
2
a b
Từ tìm tọa độ giao điểm d1 d2
3 15 ;
I .
12 Tìm
13 a b
13 Tìm m = n = -3.
BÀI GIẢI HPT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1A a) Lấy hai PT trừ cho ta y = 4.
Thay y = vào hai PT hệ tìm x = -3 Vậy nghiệm HPT (-3; 4)
b) Tương tự câu a) tìm nghiệm HPT
7 5;
1B Tương tự 1A
a) (2; 1) b) Vô nghiệm 2A a) HPT cho
2 13 99
6 17 x y x y
Từ tìm
4 x y
b) HPT cho
2 x x y
Từ tìm
1 x y
(84)a) 12; 3 b) 79 51 ; 511 73
3A a) ĐK: x ≠ y ≠ -2 Đặt
1
,
1 a b
x y , ta
3 a b a b
Giải ra
1 a b
Từ tìm
2 x y
b) Tương tự câu a) đặt
1
,
2 a b
x y x y Từ tìm nghiệm
của HPT (x, y) = (1; 2) 3B Tương tự 3A.
a) 1 ;
b) 10; 4)
4A a) Theo đề ta có d qua M (-1; -2) cắt Ox N (2; 0) Từ thay tọa độ điểm M, N vào d tính được:
3
m
n = -1
b) Từ 2m - n = n = 2m - d : y = (2m + 1) x + 6m -
Gọi I (x0; y0) điểm cố định d
0 0
0
2
(2 6) ( 4)
4
x
x m x y m
x y
Giải ta
0 x y Kết luận
4B.Tương tự 4A Đáp số: a=
25
b
5A Gọi M = d1 d2 Tìm M(5; 1)
Để d1, d2 d3 đồng quy M(5; 1) d3
Từ tìm m =
Thử lại thấy m = 1thoar mãn điều kiện d1, d2 d3 đồng quy
5B Tương tự 5A Đáp số: m = -5.
6 a) (14; 11); b)
5 ;
7. a) (2; 1); b) (10; 0)
8. a) 53 47 ;
; b) (100; 0)
9 a)
9 ;
; b)
3 2
; 2
10. Tìm
51
,
73 73
m n
11 Tìm
11 ;7
(85)Thay vào PT 6mx - 5y = 2m - ta thu m =
BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ 1A Từ phương trình thứ ta có x = 2m - my Thay vào phương trình cịn lại, ta được: (m2 - 1)y = 2m2 + m - (*)
Số nghiệm hệ phương trình ban đầu số nghiệm (*) a) Khi hệ phương trình:
i) Có nghiệm m 1 Nghiệm là:
2 ( ; ) ; 1 m m x y m m
ii) Vô nghiệm
2
2
1
1
2
m m m m
iii) Vô số nghiệm
2
2
1
1
2
m m m m
b) Với m 1, hệ phương trình có nghiệm
2 ( ; ) ; 1 m m x y m m
i) Ta có
1
1 1 1 0; 2
2 1
2
1
m x
m m m m
m y m m
ii) Hệ thức không phụ thuộc vào m x + y = 1B a) Cách 1.Làm tương tự 1A
Cách 2:
* Xét m = Hệ phương trình có nghiệm ;2
* Xét m0: Với
2 m m m
: Hệ Phương trình có nghiệm
1
;
2
m m m
Với m = 2: Hệ phương trình vơ số nghiệm Với m = -2: Hệ phương trình vơ nghiệm
b) i) Với m 2: Hệ phương trình có nghiệm nhất
1
( ; ) ;
2
m
x y y x
m m ii)
4 3( 4)
4 7
2
m
x y m
m m
2A Tương tự 1A
a) m 2 hệ có nghiệm
2 ( ; ) ; 2 m m x y m m
m hệ vô nghiệm;
m hệ vô số nghiệm;
(86)i) Thay ; 2 m m x y m m
vào hệ thức 2x + y = Đpcm.
ii)
2
6 13 13
2
m m
x y m
m m
2B Tương tự 1A a) Với
1
m
, hệ phương trình có nghiệm
2
( ; ) ;
2
m m x y m m Với
m
, hệ phương trình vô nghiệm b) i) x + 2y =
ii)
1
1; 0; 0
2
m
x y m
m m
3A Từ phương trình thứ ta có
2
5
mx
y
Thay vào phương trình cịn lại ta phương trình (25-4m2)x = 15 - 6m.
Với
5
m
: Hệ phương trình có nghiệm
3
( ; ) ;
2 5
x y m m
Khi x y; (2m5) nhận giá trị ước m 4; 3; 2; 1
Các cặp nghiệm nguyên 1;2 ; 3; ; 3; ; 1,0
3B Tương tự 3A
4
( ; ) ; 1;0
2
x y m
m m
4A Tương tự 3A Với m 2: Hệ phương trình có nghiệm nhất
3 ; 2 m m Khi 1 2 1 x m m y m
4B Tương tự 4A.
7 10
15 m
5 Tương tự 3A Với m1: hệ có nghiệm (m + 1; m - 3)
Khi S = x2 + y2= 2(m - 1)2 +
Smin = m =
6 a) (x; y) = (-2; 1); b) Tương tự 2A
2
m
7 Tương tự 1A a)m 1 b) m = -1 c) m = 1.
(87)9 Tương tự 3A
2
2
4
( ; ) ;
1
m m
x y
m m
Đáp số: x y nguyên với m 1;0;1
10 Tương tự 1A a) Với giá trị m, hệ phương trình có nghiệm nhất
2
2 5
( ; ) ; ; )
2
m m
x y b m
m m
11 a) Tương tự 2A
Với m ≠ m ≠ 1: Hệ phương trình có nghiệm
1 ;
m
m m
Với m = 0: hệ phương trình vơ nghiệm
Với m = 1: hệ phương trnhf vô số nghiệm (2 - 2y; y) với y
b) i) gợi ý: Từ
1
( ; )x y m ;
m m
ta khử m để tìm hệ thức x, y
khơng phụ thuộc m Đáp án: M chạy đường thẳng có phương trình y = -x + ii) M(x;y) thuộc góc phần tư thứ x0 y > 0
Đáp số: m > 1; iii) Gợi ý:
1
0; 5 1;
2
M OM m
BÀI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1A Gọi số cần tìm ab a, *,b*, ;a b9
Ta có HPT:
63 99
ba ab ab ba
Giải HPT thu ab18, ba81
Từ ta có số cần tìm 18
1B Gọi số cần tìm ab a, *, b, ,a b9
Ta có HPT:
2
90 630
a b a
Từ thu số cần tìm 75.
2A Gọi thời gian A, B xong cơng việc x, y (ngày) (ĐK: x, y < 6)
Mỗi bạn A, B làm
1
x
1
y công việc.
Ta có HPT:
1 1
6
x y y x
Giải HPT thu
9 18
x y
Kết luận
(88)Ta có HPT:
1 1
18
6 40
100 x y x y
Giải HPT thu
45 30 x y Kết luận
3A Gọi thời gian vòi I, vịi II, chảy đầy bể x, y (giờ) (ĐK: x, y > 5)
Tìm HPT:
1
24
4 3
4 x y x y
Giải HPT thu
8 12 x y Kết luận
3B Gọi thời gian vịi I, vịi II chảy đầy bể x, y (giờ) (ĐK: x, y > 3)
Ta có HPT:
1 12
35 x y x y
Giải HPT thu
7 x y Kết luận
4A Gọi thời gian ô tô đoạn đường x, y (giờ) (ĐK: y > x > 0)
Ta có HPT:
50 45 165
0,5 x y y x
Giải HPT thu
1,5 x y Kết luận
4B Gọi chiều dài AB cần tìm x (x > 0,km) vận tốc theo dự định y (y > 10,km/giờ)
Theo ta có HPT:
3 10 10 x x y y x x y y
Giải HPT thu
600 40 x y
Vậy vận tốc lúc đầu 40km/giờ, thời gian dự định 15 giờ,quãng đường AB dài 600km
5A Gọi vận tốc riêng canô vận tốc dòng nước x, y (km/h) (ĐK: x > y > 0)
Ta có HPT:
108 63
7
81 84
7
x y x y x y x y
Giải HPT thu
24 x y
(89)5B Gọi vận tốc riêng canơ dịng nước x, y (km/h) (ĐK: x > y > 0)
Ta có HPT:
3( ) 4( ) 380
1
( ) ( ) 85
2
x y x y
x y x y
Giải HPT ta
55 x y Kết luận
6A Gọi vận tốc ô tô x (km/h) vận tốc tàu hỏa y (km/h) (y > x > 5). Ta có HPT:
4 640
5 4,5
x y x
y x y
Vận tốc người A 5km/h, vận tốc người B 4,5km/h 7A Gọi số dụng cụ xí nghiệp I II làm x, y (x, y *)
Ta có HPT:
360 200
112% 110% 400 160
x y x
x y y
Vậy số dụng cụ xí nghiệp I II phải làm 200 (dụng cụ) 160 (dụng cụ)
7B Gọi số quần áo tổ A B sản xuất tuần đầu x, y (x, y *)
Ta có HPT:
1500 900
125% 82% 1617 600
x y x
x y y
Vậy số quần áo tổ A B làm tuần đầu 900 (bộ) 600 (bộ)
8A Gọi chiều cao chiều dài đáy tam giác x, y (dm) (x > 0, y > 3)
Ta có HPT:
3
33
1 44
( 3)( 3) 12
2
x y x
y
x y xy
Vậy chiều cao chiều dài đáy tam giác 33dm 44dm 8B Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) (x, y> 0).
Ta có HPT:
24
4 81 15
x y x
x y y
Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn 9m 16m
9A Gọi vận tốc dự định thời gian dự định ô tô x (km/h), y (giờ) (x > 4, y > 1)
Ta có HPT:
( 8)( 1)
40
6
( 4)( )
3
x y xy
x y
x y xy
(90)9B Gọi số băng chế x (ghế) số chỗ ngồi băng ghế y (chỗ) (x > 2, y > 1, x, y ).
Số người ban đầu xy (người)
Sau bớt băng ghế cịn lại x - ghế Mỗi ghế ngồi thêm người số chỗ ngồi băng ghế y + Khi thêm người so với ban đầu, ta có phương trình (x - 2) (y + 1) = xy +
Lập luận tương tự ta có HPT:
( 2)( 1) 20
( 3)( 1)
x y xy x
x y xy y
Vậy số băng ghế 20 (ghế)
10 Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) (x > 0, y > 4) Ta có HPT:
720 30
( 6)( 4) 720 24
xy x
x y y
Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn 30m 24m
11 Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật x, y (m) (x> 2, y > 3). Ta có HPT:
( 2)( 3) 100 22
( 6)( 2) 68 14
x y xy x
x y xy y
Vậy chiều dài chiều rộng hình chữ nhật 22m 14m
12 Gọi thời gian vòi I vịi II chảy đầy bể x, y (giờ) (x, y > 12)
Ta có HPT:
1 1
20 12
5 15 75 30
100
x x y
y x y
Vậy thời gian vịi I vịi II chảy đầy bể 20 30
13 Gọi thời gian người thứ người thứ hai làm x, y (ngày) (x, y > 4)
Ta có HPT:
1 1
6
12
1
9
2
x x y
y
x y
12
x y
Vậy thời gian người thứ người thứ hai làm xong việc ngày 12 ngày ngược lại
14 Gọi thời gian ca nô ngược dịng từ A đến B xi dịng từ B A lần lượt x, y (giờ) (x > y > 0)
Ta có HPT:
8 20
3
15 25
x y x
x y y
Vậy khoảng cách AB 25.4 = 100km
(91)Ta có HPT:
1, 1, 90
45 90 90 30 x y x y y x
Vậy vận tốc xe thứ xe thứ hai 45km/h 30km/h 16 Gọi vận tốc xe ô tô xe máy x, y (km/h) (x, y>0) Khi xe cùng xuất phát gặp C tơ xemays quãng đường 120km 80km ta có phương trình
120 80
x y ;
Khi xe ô tô xuất phát sau xe máy gặp D tơ xe máy quãng đường 96km 104km ta có phương trình
96 104
1
x y ;
Ta có HPT:
120 80
60
96 104 40
1 x x y y x y
Vậy vận tốc ô tô 60km/h vận tốc xe máy 40km/h
17 Gọi số dụng cụ phân xưởng làm ngày x, y (dụng cụ) (x > y > 0) (x, y *)
Ta có HPT:
20 15 1600 50
4 40
x y x
x y y
Vậy số dụng cụ phân xưởng I II phải làm 20.50 = 1000 (dụng cụ) 15.40 = 600 (dụng cụ)
18 Gọi số học sinh hai trường x, y (học sinh) (x, y *)
Ta có HPT:
350 200 97 96 150 338 100 100 x y x y x y
Vậy số học sinh dự thi trường A B 200 học sinh 150 học sinh
19 Gọi khối lượng riêng chất lỏng loại I loại II x,y (kg/m3) (x,
y > 0)
4kg chất lỏng loại I 3kg chất lỏng loại II só khối lượng riêng
4 ;
x y (kg/m3), hỗn hợp sau trộn có khối lượng riêng
3
7
( / )
4 kg m
x y
Ta có HPT:
7
700
4 800
600 200
x
x y y
x y
Vậy khối lượng riêng chất lỏng loại I 800kg/m3, chất lỏng loại
II 600kg/m3.
20 Gọi số dãy ghế phòng lúc đầu x (dãy) (x *) Gọi số ghế trong
(92)Ban đầu có 320 người nên ta có phương trình xy = 320;
Khi tăng số dãy ghế thêm số người dãy thêm 4, ta có phương trình (x + 1) (y + 4) = 420
Ta có HPT:
320
( 1)( 4) 420 80
xy x
x y y
20 16 x y
Vậy số dãy ghế lúc đầu phòng dãy 20 dãy ÔN TẬP CHƯƠNG II
11 a) Học sinh tự giải:
17
; ;
5
a y
b) i) Hệ phương trình có nghiệm
1 2 m m
ii) Hệ phương trình vơ nghiệm
1
2
1
m
m
iii) Hệ phương trình có vô số nghiệm
1
1
m
không tồn tại
m thỏa mãn 1B a) Ta có
2 3 m m m
đúng với m Vậy hệ có nghiệm với m
b) Sử dụng phương pháp (hoặc cộng đại số) tìm
2
2 5
( ; ) ; 3 m m x y m m
Khi đó
i)
2
2 2
2 5
1
3 3
m m m m
x y m
m m m m
ii) 2
0
0
0 m x m m y m m
2A a) Đưa hệ phương trình
1
( 1)( 1) ( 1)
x my m
m m y m m
+ Nếu m = -1 hệ cho vô nghiệm; + Nếu m = hệ cho có vơ số nghiệm;
+ Nếu m1 m1 hệ cho có nghiệm
2 1 m x m m y m
b) Theo câu c, ta có
2 1
2 1 , 1 1 m m m x y m m m
(93)c) Ta có 1 1 x
m x y
y m
2B. a) Học sinh tự giải:
3 12
( ; ) ;
11 11
x y
b) Đưa hệ phương trình
3
(2 )
x my m y m + Nếu m
hệ cho vô nghiệm;
+ Nếu
2
m
hệ có nghiệm
2 6 m x m m y
c) Theo câu b ta có
2
3 18 36
3 5
2 3 1
m m m x y m m
3A Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh đất x, y (m) (ĐK x, y > 0) Ta có HPT:
55
2 10
x y x y
Giải HPT thu
35 20 x y Kết luận
3B Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh đất x, y (m) (ĐK x > y > 4) Ta có HPT:
140
( 4)( 4) 4256
x y x y
Giải HPT thu
80 60 x y Kết luận
4A Gọi thời gian người thứ thứ hai xong cơng việc lần lượt x, y (giờ) (ĐK: x, y > 7)
Mỗi người thứ thứ hai làm
1
x
1
y (cơng việc)
Ta có HPT:
1
36 50% x y x y
Giải HPT thu
12 18 x y Kết luận
4B Gọi số xe lúc đầu lúc sau x, y (xe) (ĐK: x, y *, x, y > 2)
Ta có HPT:
28 28 0,7 y x x y
Giải HPT thu
(94)5A Gọi quãng đường AB vận tốc riêng ca nô x (km), y (km/h) (ĐK: x > 0, y > 5)
Ta có HPT:
4
5
5 30 x x y y y
Giải HPT thu
80 25 x y Kết luận
5B Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước x, y (km/h) (ĐK: x > y > 0)
Ta có HPT:
81 105
8
54 42
4
x y x y x y x y
Giải HPT thu
24 x y Kết luận
6A Gọi giá tiền đôi giày quần áo trước giảm giá x, y (đồng) (ĐK: x; y > 0)
Ta có HPT:
148000
80% 60% 101100
x y x y
Giải HPT thu
61500 86500 x y Kết luận
6B Gọi số chi tiết máy tổ I tổ II làm tháng, thứ x, y (chi tiết) (ĐK: x, y > 0)
Ta có HPT:
900
115% 110% 1010
x y x y
Giải HPT thu
400 500 x y Kết luận
7. a) Học sinh tự giải
12
( ; ) ;
5
x y ;
b) Hệ có nghiệm
1
2 3
m
m
Khi giải HPT tìm
12 x m m y m Ta có 12 ,
x y m
m
thử lại thỏa mãn 8. a) Học sinh tự giải
6 13
( ; ) ;
17 17
(95)b) Giải HPT tìm 17 17 m x y
Ta có
2
,
5
x y m
9. a) Đưa hệ phương trình
( 1)
( 2) ( 2)( 1)
y a x a
a a x a a
+ Nếu a = hệ cho vô nghiệm; + Nếu a = hệ cho có vơ số nghiệm;
+ Nếu a0 a2hệ cho có nghiệm
1 a x a y a
b) i) ta có
1 1 1 a x
a a x y
y a
ii) Ta có
2
2 1
6 19 19
6 a x y a a a
10 a) Học sinh tự giải (x; y) = (2; -2);
b) Với m ≥ 0: hệ phương trình có nghiệm
min
( ; ) (x y m; 2) P m 22 m 0 P 2 taij m= 0
11. a) Học sinh tự giải
10
( ; ) 2;
2
x y
b) Đưa hệ phương trình
4
(2 )(2 ) 10
x my
m m y m
+ Nếu m = -2 hệ cho vô nghiệm; + Nếu m = hệ cho có vơ số nghiệm;
+ Nếu m 2 hệ co có nghiệm
8 m x m y m
c) Với m 2HPT có nghiệm
8 ; 2 m m m
; giải u cầu
bài tốn ta tìm
i) m = ii) m > 12 Gọi số cần tìm x, y (ĐK x; y )
Ta có 2
17 157 x y x y
Giải HPT thu
6 11 x y
(96)Kết luận Hai số cần tìm 11
13 Gọi chiều dài chiều rộng ruộng x, y (m) (ĐK x > 5; y > 0)
Ta có HPT
100
( 5)( 2) 105
xy x y
Giải HPT thu được
20 x y Kết luận
14 Gọi chiều cao chiều dài cạnh đáy ruộng x, y (m) (ĐK x > ; y > 0)
Ta có HPT
1
180
1
( 1)( 4) 180
2 xy x y
Giải HPT thu được
10 36 x y Kết luận
15 Gọi thời gian tổ I IIl làm xong cơng việc x, y (giờ) (ĐK x; y > 6)
Trong tổ làm
1 ;
x y công việc.
Ta có HPT
1 1
6 2 10
1
x y x y x
Giải HPT thu được
15 10 x y Kết luận
16 Gọi vận tốc thời gian dự định x(km/h), y (giờ) (ĐK x; y > 0)
Ta có HPT
120
40 80
10 xy y x x
Giải HPT thu được
40 x y
Kết luận Vận tốc dự định 40 (km/h), thời gian lăn bánh đường
40 80
40 40 10 = 2,6 (giờ).
17 Gọi vận tốc thời gian dự định x (km/h),y (giờ) (ĐK x ; y > 0)
Ta có HPT
36
18 18
10 xy y x x
Giải HPT thu được
10 18 x y
Kết luận Vận tốc dự định 10 (km/h), thời gian lăn bánh đường
18 18
10 10 2 =3,3 (giờ)
18 Gọi suất làm công nhân x (sản phẩm) Gọi thời gian dự định làm xong việc y (giờ) (ĐK x
; y > 0)
Ta có HPT
150
150
2 2 xy x y x
Giải HPT thu được
20 15 x y
(97)19 Gọi khối lượng loại quặng x, y (tấn) (ĐK < x, y < 25)
66% sắt có 25 quặng chiếm 16,5 Ta có HPT
25
75% 50% 16,5
x y x y
Giải HPT thu được
16 x y Kết luận
20 Gọi số dầu thùng x, y (lít) (ĐK: x > 10, y > 0) Số dầu thùng (x - 10) (lít)
Ta có HPT
( 10) 80
10 26
x x y
x y
Giải HPT thu được
42 x y Kết luận
21 Gọi số ghế số người phòng họp x (ghế) y (người) (ĐK x > 1; x, y )
Ta có HPT
5 6( 1) x y x y
Giải HPT thu được
15 84 x y Kết luận
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III ĐỀ SỐ 1
PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu A Câu A Câu B Câu B PHẦN II TỰ LUẬN
a) Sử dụng phương pháp cộng phương pháp thế, ta tìm được:
6 x y
b) Điều kiện x1; y2
Đặt 1 a x
1
b y
, ta
3 a b a b
Giải ta a = b = Từ tìm
0 x y
Bài Gọi số cần tìm là: ab a N b N a b; 0; ; , 9
Theo ta có
6 18 a b ab ba
Giải ta số cần tìm là: 42
Bài a) Với m = 1, phương trình có nghiệm tổng qt là:
2 y x x
HS tự biểu diễn tập nghiệm hệ trục tọa độ b) Ta có hệ phương trình
1
2
(98)Để phương trình khơng có nghiệm chung hệ phương trình nghiệm
1 1
2
m
m m
c) Xét hệ phương trình
1
3
x my m mx y m
Với m 1, HPT có nghiệm nhất:
3 1
( ; ) ; 1 m m x y m m Ta có:
2 2
3 1 3( 1) 8( 1)
1 ( 1) ( 1) ( 1)
m m m m m
x y
m m m m m
Từ tìm x.y có giá trị nhỏ -1 m = ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III
ĐỀ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu D Câu B Câu B Câu A PHẦN II TỰ LUẬN
Bài 1.a) Ta biến đổi hệ phương trình:
0 x y x y x y
b) Biến đổi, ta
3
( 1)
2
3 1
2 2
y x x
x y
c) Điều kiện x y, 0 Đặt
1
;
a b
x y
, ta hệ phương trình:
1
15 2
1
4 35
3 a b a b y
Bài Gọi thời gian để đội đội làm xong cơng việc x y (ngày) với (x > 0; y > 0)
Mỗi ngày đội đội làm
1 ;
x y (cơng việc)
Theo ta có:
1 1
45 18
6 30
40% x x y y x y
Vậy đội làm hết 45 ngày xong cơng việc Vậy đội làm hết 30 ngày xong công việc Bài Với a0 a2 hệ phương trình có nghiệm là:
1 ( ; )x y a ;
a a
(99)a) Từ
1 1
1 ;
a
x y x y
a a a
b) Thay
1
;
a
x y
a a
vào 6x2 - 17y = ta được:
2 5 6 0 ( 2)( 3) 0
3
a
a a a a
a
Kết hợp với điều kiện a 2 a3( )tm
CHƯƠNG IV CHƯƠNG HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) VÀ ĐỒ THỊ 1A a) Tìm f( 2) 8; f(0); f(3 2) 34 24 2
b) Ta có f a( )10 6 a( 3 2)
c) Ta có f b( ) 4 b 6 2b24b6 Từ tìm b .
1B Tương tự 1A
a) Tìm f( 3) 27; f(2 2) 24, f(1 3) 39 12 3
b)ta có a( 1) . c) Ta có b 1 5 b 1
2A a) Thay tọa độ điểm A với
2
,
3
x y
vào phương trình y(2m1)x2 Tìm
được m =
b) Do (-2; 1) nghiệm hệ phương trình
2
2
x y
x y
nên tương tự Câu a) ta
tìm
3
m
2B Tương tự 2A.
a) Tìm
1
m
b) i)
1
m
; ii) m =
3A a) Tính S(3) = 36m; S(5) = 100m Vật cách mặt đất sau thời gian
giây 100 - S(3) = 64m sau thời gian giây 0m b) Ta có 4t2 = 100 Tìm t = 5(s)
3B Tương tự 3A
a) ta có s(4) = 130(m) b) t = 5(s) 4A a) Ta có 3m + < Từ tính
2
m
b) Ta có 3m + > Từ tính
2
m
c) Ta có 3m + > Từ tính
2
m
d) Ta có 3m + < Từ tính
2
m
(100)a)
4
m
b)
4
m
c)
4
m
d)
4
m
5A a) Ta có a = -m2 - 2m - = - (m + 1)2 - < 0, m ĐPCM.
b) Ta có (-m2 - 2m - 3)
1 11
4
Tìm m 4; 2 5B Ta có
2
2
m m
Từ tìm
7
m
6A a) Từ A( 2; 4) ( ) P , tìm a = 2.
b) i) Đồ thị hàm số y = 2x2 (hình vẽ)
ii) Cho y = ta tìm x1.
Vậy điểm cần tìm (1; 2) (-1; 2) iii) Có M x y( ; ) ( )0 P y0 2x02
M cách Ox, Oy nên ta có
2
0 0
x y x x Tìm
0
1
0; ;
2
x
Vậy điểm cần tìm là
1
1
(0;0), ;
2
M M
1 ; 2
M
6B Tương tự 6A a)
4
m
b) i HS tự vẽ ii)
1 1;
3
. iii) (0;0), (6;12)
7A a) Học sinh tự làm.
b) Thay x = 1, y = vào (P), ta đẳng thức ln A thuộc (P) Tương tự ta có B (-1; -1), C (10; -200) khơng thuộc (p)
7B Tương tự 7A
a) Học sinh tự làm
b) Các điểm B, C thuộc (P), điểm A không thuộc (P) 8A a) Đồ thị (P) d hình vẽ.
b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P)
2
:
d x x
Tìm x =
1
x
Vậy giao điểm (0; 0)
1 ;
.
c) Dựa vào đồ thị, ta thấy x ≤
1
x
nghiệm bất phương trình
2
2
x x
8B Tương tự 8A
(101)b) i) Ta tìm điểm 2; , 2; 4 ii) Ta tìm điểm (0; 0),
1 1
; , ;
2 2
c) Ta có: 2x2 = 2m - Đường thẳng d : y = 2m - song song với trục
hồnh Dựa vào đồ thị, ta có: * Với
3
m
: Phương trình có nghiệm x = * Với
3
m
: Phương trình hai nghiệm 1,2
2
2
m
x
; * Với
3
m
: Phương trình vơ nghiệm 9B Tương tự 9A
a) Học sinh tự vẽ đồ thị hàm số
2
1
y x
b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm x = Với m > 2: Phương trình có hai nghiệm x12 2m
Với m < 2: Phương trình vơ nghiệm 10. a) Hai giao điểm O (0;0)
1 ;
M .
b) Tìm N(1;1) c) Khơng tồn giao điểm d) Ta có
2
( 4; 8), (4 ; 8)
2
m m
K m m H m m
11. a) Ta có m = b) Ta có
1
m
c) Ta có m 3.
12 Tương tự 5A
a) Ta có m22m 3 (m1)2 2 0 (luôn đúng)
b) Ta có m22m 3 4 Tìm
1
1
m m
13 Tương tự 4A a) Tìm
4
3 m
b) Tìm
5
m
14 Tương tự 2A.
a) Tìm m = b) Tìm
1
m
15 Tương tự 3A
a) Ta có S(,15) = 2,25(m) cá heo cách mặt trước sau 1,5 giây 1,75
mét
b) Tính t = giây 16. a) Tìm a =
(102)c) Đồ thị (p) d hình vẽ
d) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = 2x Tìm
được
0
x x
Vậy tọa độ giao điểm (P) d là: (0; 0) (2; 4) 17 Tương tự 8A
a) Học sinh tự làm
b) Tọa độ giao điểm (P) d (0; 0)
3 ;
c) Tính
3
4
x
BÀI CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1A a) Ta có 5x2 7x 0 x x(5 7) 0 Tìm
7 0;
5
x
b) Ta có 3x2 9 x2 3 Tìm x
c) Ta có x2 6x 5 (x1)(x 5) 0 Tìm x1;5
d) Ta biến đổi thành 3(x + 2)2 = 11 Tìm
6 33
3
x
1B Tương tự 1A.
a) Tìm x2 3;0 b) Vơ nghiệm c) Tìm
1 37
2
x
d) Vô nghiệm
2A Thay x = vào phương trình ta có 4.12 + m2 + 4m = Tìm m = -2.
2B Tương tự 2A. Tìm
4 11
5
m
3A a) Ta có a = 2, b = -3, c = -5 Tính = 49 > Phương trình có hai
nghiệm phân việt: 1,2
5 1;
2
b
x x
a
b) ta có a = 1, b = -6, b' = -3, c= Tính ' = Ta tìm x4;2
c) Ta có a = 9, b = -12, c = Tính = Phương trình có nghiệm kép
1
2
x x
d) Ta có a = -3, b = 4, c = -4 Tính = -32 < Phương trình vơ nghiệm
3B Tương tự 3A. a) Tìm 1,2
1
x
b) Tìm x = c) Tìm
1 1;
5
x
d) Tìm x .
(103)a) Tìm
3 5
;
2
x
b) Tìm
2
x
c) Tìm
3
,
3
x x
d) Tìm
6 6
;
3
x
4B Tương tự 3A, 4A a) Tìm 1,2
11
x
b) Tìm x
c) Tìm x2; 3 b) Tìm
3
x
5A Xét ' = (m - 1)2 - m(m - 3) = m +
a) Phương trình có nghiệm phân biệt
0
m
Tìm m0, m 1.
b) Xét
3
0 ( )
2
m x x TM
Xét m0 Phương trình có nghiệm kép
0
1 '
m
m
c) Tương tự, ta tìm m < -1 d) Tìm m =
e) Tìm m1; m0.
5B Tương tự 5A a) Tìm
1
,
4
m m
b) Tìm
1
m
d) Tìm
1
m
d) Tìm m = e) Tìm m =
1
m
6A a) Ta có m22m 1 0, m m1
* 0 m1: Phương trình chó có nghiệm kép:
1
m x x
* 0 m1: Phương trình chó có nghiệm phân biệt: x1 m x, 1
b) Với m 3 Phương trình có dạng:
1
6
2
x x
Với m 3 ' 9m18
* ' m2: Phương trình vơ nghiệm
* ' m2: Phương trình có nghiệm kép:
m x x
m
(104)* ' m m
: Phương trình có nghiệm phân biệt:
9 18 , m m x m
6B Tương tự 6A a) Với m 0 x2;
Với n 0 12m1 * ' 12 m
: Phương trình vơ nghiệm * 12 m
: Phương trình có nghiệm kép:
1 2 m x x m * 0 1 12 m m
: Phương trình hai có nghiệm phân biệt:
1 12
, m m x m b) Với
m x
; Với m 2 ' 4m1: * ' m
: Phương trình vơ nghiệm * ' m
: Phương trình có nghiệm kép:
1 m x x m * 0 1 m m
: Phương trình có hai nghiệm kép: 1,2
1
2 m m x m
7A Ta có (b c a b c a b c a b c a )( )( )( ) Từ chứng minh 0.
7B Ta có a2b2c2 2ab 2bc 2ca
Vì a b c a2 ab ca Tương tự ta có b2 ab bc và c2 ca bc Từ suy ra
0
.
8A Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Ta có: (a c x ) d b
Nếu a c
d b x
a c
Thay x0 vào phương trình ta ĐPCM.
Nếu a = c b = d ĐPCM
8B Ta có 1 a2b2 4(a b ).Từ
1 1
2 a b 2ab
a b .
Từ ta có 1 a2b2 2ab(a b )2 0 ĐPCM
9A a) Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Ta biến đổi (1 + m) x0
= m +1 Tìm m = -1 m = b) Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Hai phương trình vơ nghiệm
1 2,
4
m
Trường hợp 2: JHai phương trình có nghiệm tập nghiệm giống nhau
1
(105)Vậy
1
4
m
hai phương trình tương đương 9B Tương tự 9A
a) Tìm a b) Tìm
3 4a
10 Tương tự 1A a) Tìm
1
;
2
x
b) Tìm x .
c) Tìm
2 2;
3
x
d) Tìm
5 17
2
x
11 Tương tự 5A a)
17 24
m
b)
17 24
m
c)
17 24
m
d) m e)
17 24
m
12 a) m0, m 1 b) m1 c) m 1.
d) m0 e) m1
13 Tương tự 9A
a) Tìm m = m = -3 b) Tìm 1m2 BÀI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1A Ta có 13 0 PT cho có hai nghiệm phân biệt x x1,
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
1
1
5
x x x x
a) Ta có A x 12x22 (x1x2)2 2x x1 52 2.3 19
b) Ta có Cx13x23 (x1x2)3 3x x x1 2( 1x2) 80
c) Ta có
4 2 2
1 2
4
4 4
1 2
( ) 2( )
1 343
( ) 81
x x x x x x
D
x x x x x x
d) Ta có
2
1 2 13
Ex x x x x x
1B Tương tự 1A a) Ta có
25
M
b) Ta có
13 14
N
c) Ta có
49
P
d) Ta có
17 12
Q
2A a) Ta có ' (m 3)2 0,m
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
1
1
2
x x m
x x m
(106)2B Tương tự 2A
Phương trình có hai nghiệm x x1 với m
Biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m là: 2x1x2x x1 4
3A a) Ta có
2
15 17 1,
15
a b c x x
b) Ta có
1234
0 1,
1230
a b c x x
c) Ta có a b c 0 x11,x2 7
d) Ta có
2
0 1,
5
a b c x x
3B.Tương tự 3A a) Ta có
2 1,
7
x x
b) Ta có
32 1,
23
x x
c) Ta có
1979 1,
1975
x x
d) Ta có
198 1,
311
x x
4A a) Ta thấy a b c (m 2) ( 2 m 5)m 7 Phương trình ln có
nghiệm x = không phụ thuộc vào m
b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm x = Với m2: Phương trình có hai nghiệm x =
7 m x m
4B a) Thay x = -2 vào phương trình cho, ta có
2m1 22 m 3 2 6m 0 (luôn đúng)
ĐPCM
b) Với
1
m
: Phương trình có nghiệm x = -2 Với
1
m
: Phương trình có hai nghiệm
3 2; m x m
5A Thay x = -2 vào phương trình ta tìm m = m = 2 * Với m = 1, ta có:
2 6 16 0
2 x x x x
* Với m = 2, ta có:
2
13
2 26
2 x x x x
5B Tương tự 5A Tính m = 4; x2 = -18
6A a) Ta có u v, hai nghiệm phương trình sau
2 15 36 0 12 ( , ) 12;3 , 3;12
3
X
X X u v
X
b) Ta có
2 2 2 13 2.6 25
5
u v
u v u v uv
u v
(107)2 5 6 0 X X X X
Vậy u v, 2;3 , 3; , 2; , 3; 2 6B Tương tự 6A
a) Không tồn u v, thỏa mãn 42 - 4.7 = -12 < 0.
b) Tìm u v, 2; 10 , 10; 2
7A Ta có 2 3 2 3 4 2 2 31
Do 2 3 2 3 nghiệm phương trình sau: X2 - 4X + = 0
7B Tương tự 7A Tìm phương trình X2 + 4X -77 = 0.
8A a) Ta có 25 12 m0 Tìm
25 12
m
b) Ta có
2
1
2
2 2
1 2
2
2 50 12
9
x x m
S
x x x x m
Và
2
2 2
1 2
2
9
P
x x x x m
Với ĐK
25
12
m
ta có 12
2
x 2
2
x là hai nghiệm
của phương trình bậc hai
2 2
2
50 12
0 : 2(6 25)
9
X X ha m X m X
m m
8B Tương tự 8A Điều kiện
25 12
m
Phương trình tìm
2 10
0
3
m m
X X
m m
(Điều
kiện: 25 12 m )
9A a) Ta có x2 - 7x + = (x - 1) (x - 6)
b) Ta có 30x2 - 4x - 34 = 30
17
15
x x
c) Ta có x x 6 x 2 x 3
d) Ta có
3
2
2
x x x x
9B Tương tự 9A
a) Ta có
2
4
4
x x x x
b) Ta có
2 26
21 26 21
21
x x x x
c) Ta có
3
4
4
x x x x
d) Ta có
7
12 12
12
x x x x
(108)b) Phương trình có nghiệm phân biệt
2
8 4(2m 6) m
c) Phương trình có nghiệm phân biệt âm
2
0
2
0 2( 3)
1
0
m m m S m m P m
d) Phương trình có nghiệm phân biệt dương
0 32
1
0
2
0
m S m P m
e) Vì (m1)2 4( 3 m) (2 m1)215 0, m
Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Phương trình có dungd nghiệm dương ac 3 m0 Tìm m 3
10B Tương tự 10A
a) Tìm 1 m2 b) Tìm
0 m m
c) Tìm m 1 d) Tìm 1 m0
11A Ta có 52 4(m4) 4 m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
9
4
m
Theo hệ thức Vi-ét ta có
1
1
5
x x x x m
a) ta có
2
1 2 2 16
x x x x x x x x
2m 2m
Tìm m .
b) Ta có 3x14x2 6 3(x1x2)x2 6 x2 9
Vì x = -9 nghiệm phương trình nên ta có 92 9 m 4 Tìm m 3 13
11B Tương tự 10A 11A a) Tìm
4 m x
b) Tìm
1 m x
c) Tìm 1 m0 d) Tìm
1 m x
3) Tìm m1 g) Tìm
1 m m
12 Tương tự 1A a) Ta có
11
A
b) Ta có
16 87
B
(109)13 Tương tự 3A a) Ta có
1 1,
16
x x
b) Ta có x11,x2 3
c) Ta có x11,x2 19 d) Ta có
247 1,
246
x x
14 Tương tự 6A
a) Tìm u v, 7; 15 , 15;7 b) Tìm u v, 15; , 6;15 15 a) Tìm m4
b) Ta có Amin 33 m0
c) Ta có hệ thức x1x22x x1 17
16 Tương tự 10A.
a) Tìm 2m4 b) Tìm
9
2
m m
c) Tìm 2m 1 d) Tìm m
17 Tương tự 10A 11A.
a) ta có 25 0, m b) Tìm m 3
c) Ta có
25
2
A m
d) Tìm
1
m m
18 a) Ta có 4(m 3)2 0, m
b) Tìm m >
BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1A a) Đặt x2 t 0, ta có: t2 5t 0
Giải ta t = (TM) t6 (loại) Từ tìm x1
b) Đặt (x1)2 t
Sau tìm t ta tìm x 1 3.
1B a) x b) x1
2A a) ĐK: x1 x2
Quy đồng mẫu thức, giải được: x 19 3
b) Tìm đượck x17 x 1 31
c) Tìm x = 2B a)
5
x
hoặc x5 b) x1 c)
1
x
x5
3A a) Đưa PT dạng:x 2 x 2x3 0 Từ tìm x 2; 3
(110)3B a)x1
5 33
4
x
b)
1
;
2
x x
10
x
4A a) Đặt y x 23x1 Giải ta y3
Từ tìm
3 17
2
x
b) Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Với x = 0, thay vào thấy không nghiệm
Trường hợp Với x0, chia hai vế PT cho x2 sau đặt
60 16
x y
x
Giải ta y = y = -3
Từ tìm x = 15 x = -4
c) Trường hợp Xét x = 0, thay vào thấy không nghiệm Trường hợp Xét x0, chia tử mẫu cho x sau đặt
2
y x x
Giải ta y = -11 y =
Từ tìm
11 97
6
x
4B a)
3 37
2
x
hoặc
3
2
x
b) x = x = -5 c)
5
x
2
x
5A a) ĐK: x0; Biến đổi phương trình ta được
3 3 0
x x x x
b) PT
2
3
3 8
8
7
7
x x
x x
x x x x
5B. a) x1 b) x1hoặc x5
6 a) Thêm 4x2 hai vế PT, ta
2
2 2 2 6
x x
Giải ta x 1
b) Tìm
1
1
x
c) Tìm
1
2
x
7 a) ĐK: 0 x 41 x 1 x 4 xx VT 1 x x 1 VP
Dấu "=" xảy
1
1
x x
x x
Kết luận b) Tìm
1
x
(111)
b) PT
2
5
2 11
5
x x
x x
x x
Đặt
2
5
x t
x , tìm t11 t1
Từ tìm
1 21
2
x
10 a) x2 b) x1 x3
11 a)
2
x
b) Vô nghiệm 12 a) x 1 3 x 1 d) x 2
c)
7 17
2
x
d) x 2
13. a) x1 x 1 b)
1
x
BÀI GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1A Gọi số thảm phân xưởng phải dệt ngày theo kế hoạch x
(ĐK: x N *)
Theo ta có phương trình:
3000 3000
2
10
x
x x
Giải phương trình ta x = 100 (TMĐK) Kết luận
1B Tương tự 1A, tháng đầu tổ tổ làm 300 420 sản phẩm
2A Gọi suất tổ là: x ( x > 0, phần công việc/giờ); Năng suất tổ 2
1
2 x (phần công việc/giờ)
Thời gian tổ làm xong cơng việc là:
1
xgiờ;
Thời gian tổ làm xong công việc là;
1
2 xgiờ;
Theo có phương trình:
1
3
2
x x
Giải phương trình ta
1
x
Vậy thời gian tổ 1, tổ hồn thành cơng việc 2B Người thứ hoàn thành vơng việc 40 giờ.
Người thứ hai hồn thành vơng việc 60 3A Người thứ hai làm xong cơng việc 15 giờ.
(112)4A Gọi số lớn a; số bé
2
3
a
Ta có phương trình:
2
2
119
a
a
Giải phương trình ta a = 12 Vậy số lớn 12, số bé
4B Gọi số thứ a, số thứ hai 17 - a. Theo đề ta có phương trình:
3
3 17 1241
a a
Giải phương trình ta có = a = Vậy số lớn 9, số bé
5A Chiều rộng khu vườn 60m; Chiều dài khu vườn 80m. 5B Diện tích ruộng 308m2.
6A Gọi thời gian người từ A đến B t giờ.
Vì thời gian thời gian 20 phút nên thời gian
1
t
(giờ) Từ ta có phương trình
1
25 30
3
t t
Giải phương trình ta t = (giờ) Vậy quãng đường AB 50km 6B Quãng đường AB 60km
7A Gọi quãng đường AB x km ( x > 30) Thời gian xe máy thứ chạy 30
x
giờ, thời gian xe máy thứ hai chạy
2 36
x
(giờ)
Theo đề ta có phương trình:
2
30 36
x x
Giải phương trình ta x = 120 Vậy quãng đường AB 120km
7B Vận tốc người từ A đến B 12km/h người từ B đến A là 9km/h
8A Gọi thời điểm hai người gặp lúc x(giờ) (x > 0); Theo ta có phương trình:
26
10 30
3
x x ;
Giải phương trình ta x = 9, 5; hay lúc 30 phút hai người gặp lúc 30 phút
8B Đoàn tàu từ Hà Nội thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 40km/h; đồn tàu từ Nam Định thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 35km/h
9A Gọi vận tốc riêng canô v (km/h) Theo đề ta có phương trình:
4
3
3 v v
Giải phương trình ta v = 15 (km/h)
(113)10A Gọi số học sinh lớp 8A x ( x> 21); Số học sinh lớp 8A 94 - x Theo đề ta có phương trình:
25 20
94 21
100x100 x
Giải phương trình ta có x = 44
Vậy số học sinh lớp 8A 44 em, 8B 50 em 10B Số học sinh lớp 8A 33 em, 8B 27 em.
11 Người thứ làm mìnhtrong xong cơng việc; Người thứ hai làm xong cơng việc
12 Đơn vị thu hoạch 350 thóc; đơn vị thu hoạch 250 thóc. 13 Theo quy định ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm.
14 Độ dài cạnh tam giác vuông 5cm, 12cm 13cm. 15 Đáp số: 23 32
16 Vận tốc canoo xi dịng
180 /
11 km h
17 Thời gian xe lăn bánh đường 48 giờ.
18 Vận tốc máy bay cánh 600km/h; Vận tốc maysbay phản lực là 900km/h
19 Khối lượng riêng hai chất 0,8g/cm3; 0,6g/cm3.
BÀI BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG PARABOL 1A a) Với n1, ta
1
:
2
d y x
i) HS tự làm
ii) Xét PT hoành độ giao điểm d (P):
2 1
1
2
x x
Giải ta x1 = -1 x2 =
Từ tìm
1
1; ; (2; 2)
2
A B
iii) Tính
3
AOB
S
cách sau:
Cách Gọi H, K hình chiếu vnggóc A, B trục Ox Khi SAOB = SAHKB - SAHO- SBKO
Cách Gọi I giao điểm d Oy, M, N hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy Khi
1
2
AOB AOI BOI
S S S AM OI BN OI
Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d Khi đó:
1
AOB
S OT AB
b) PT hoành độ giao điểm d (P): x2 - x - 2n = 0.
i) d tiếp xúc với (P) 0 Từ tìm
1
n
ii) d cắt (P) hai điểm phân biệt 0
Từ tìm
1
(114)iii) d cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục Oy ac0 Từ tìm n > 0.
1B a) Với m = 3, ta d : y = -2x + 3 i) HS tự làm
ii) Xét PT hoành độ giao điểm d (P): x2 + 2x - = 0.
Giải ta xM = -3 xN =1
Từ tìm M(-3; 9), N(1; 1) iii) Độ dài
2
4
N M N M
MN x x y y
b) PT hoành độ giao điểm d (p): x2 + 2x - m = 0.
i) d tiếp xúc với (P) = Từ tìm m = -1
ii) d cắt khơng cắt < Từ tìm m < -1
iii) d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ âm
0 0
S P
Từ tìm 1 m0.
2A a) Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b. Theo đề ta có: A B, P A( 2;1), (4;4) B
Do
1
2 1
, :
4 2
a b a
A B d d y x
a b
b
b) PT đường thẳng d có dạng: y2x b với
5
b
PT hoành độ giao điểm d (P) là: x2 + 2x - b = 0.
d tiếp xúc với P ' b b 1 y2x1 c) Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b
PT hoành độ giao điểm d (p) là:
2
ax -
3
x
b
, với
2
3
a b
Để d tiếp xúc với (P) điểm C(3;3)
0
:
3 3
a
d y x
a b b
2B.Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b a) Vì
1
( ) ;
2
M P M
Do
0
, 1 1
2
b O M d
a b
Tìm
1
a b
Từ d : y = x
b) Vì d d' nên d có dạng: y = -3x + b.
PT hồnh độ giao điểm d (P) x2 + 6x - 2b = 0
(115)Từ tìm
9
:
2
d y x
c) PT hoành độ giao điểm d (P) 3x2 - ax - b = 0.
Vì d tiếp xúc với (P) điểm N (1; 3) nên
0
a b
Từ tìm d : y = kx - 3A a) Ta có d : y = kx - 1
PT hoành độ giao điểm d P x: 2kx1 0 Ta có: k2 4 0 với k ĐPCM.
b) Ta có:
2 2
1 4 2
x x k x x
c) Sử dụng định lý Pitago đảo
3B a) Tìm d y' : 3x5 b) Tìm
9
0
4 m
4A a) Thay tọa độ điểm A vào PT (P) tìm
2
m
Khi ta parabol
2
1 :
3
P y x
b) Tìm A2 3; 4 B2 3;4 AB4 Từ
1
.4
AOB
S AB
(đvdt) 4B a) Tìm y = -x2
b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) d x2 + 2mx - m + = có
= m2 + m -
Với 0 m1 m < -2 d cắt (P) hai điểm phân biệt.
- Với 0 m1 m = -2 d tiếp xúc (P). - Với 0 2m1 d khơng cắt (P).
5 a) A2; 1 b)
1
a
2
1 :
4
P y x
c) y x 1
6 a) HS tự vẽ hình b) Tìm m = -1
c) d qua A(2; -1) thuộc (P)
7 a) PT hoành độ giao điểm d (P):
2
1
2
2x mx
Vì a, c trái dấu (hoặc m2 4 0) m nên ta có ĐPCM.
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm PT hoành độ giao điểm
1 2
( ; ), ( ;2 )
A x mx B x mx
và x1x2 2 ,m x x1 2 4
2
(4 16)( 1)
AB m m
min AB
m = 0
Từ SAOB =
(116)b) Sử dụng định lý Pitago đảo
9 a) m = -2 m = 4 b) m = 10 m =
10
10 a)
2
1
y x
b)
5 16
m
11. a) 2; 2 2; 2 b) ' (m1)2 2 m
c)
1
2 m
ÔN TẬP CHƯƠNG IV 1A a)
1
0
2 m
b)
1
m
c)
1
m
d)
1
,
2
m m
e)
1
m
1B. a) a > a < -6 b) a
c) a > 2; d) a < -6 2A Chứng minh được: 1' '2 '3 ĐPCM
2B Ta có: ' a2b2c2 ab bc ac
Chứng minh ' ĐPCM.
3A a) Biến đổi phương trình thành 35 x 1 32x Sau lập phương hai
vế đặt 2x t .Khi phương trình trở thành t2 - t - = Giải ta t
= -1 t =
Từ tìm x = -3 x =
b) Cách Dễ thấy x = x = nghiệm phương trình
Đặt
2016 2016
1
A x x Ta nhận thấy x > x < A > Khi <
x < A<
Cách Đặt a = x - Phương trình trở thành a2016(a1)2016 1.
Nhận xét phương trình có nghiệm 0 a 1 đó
2016 ( 1)2016 ( 1)2 1 (1 )
a a a a a a
Vậy phương trình có nghiệm
0
1
a x
a x
Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S1;2 3B a) Biến đổi phương trình (x + 1)3 = 2009.
Từ tìm x 1 2009;
b) Biến đổi phương trình (x2 - 2x - 1) (x2 - x - 1) = 0.
1
1 2,
2
x x
(117)b) Phương trình hoành độ giao điểm d (P) là: x2 + kx + k - = 0.
Ta có a, c trái dấu k 2;
c)
15
( 2)
4
ma x
S k TM k
4B a) Khi m = d : y = x + HS tự vẽ hình. b) d qua điểm cố định M (0;1)
Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu có
2 1 0
m m
c) m2
5A a) Với m = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2;
Với m2 phương trình có nghiệm phân biệt x1 = -2 x2 = -m.
b) m = -3 nghiệm lại x = -2; c) m = 2;
d) m = -2;
e) m > hai nghiệm âm;
g) i) A = m2 - 8m + 8; ii) m = 0; iii) A
min = -8 m = 4;
5B a) (2a3)2 4 a b)
1
2
A m
c)
3
a
; d) a
6 a) (2m 7)239 0, m b) m
471 27
16
a x
A m
c) m3.
7 a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu: b)
2017
m
8.a) m2; b) m0;m4 c) m 1; m2
9.a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có nghiệm kép x = y = 2;
b) m >
10 a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu; b) m1
11 a) y = -x2 b) m = -20.
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV ĐỀ SỐ 1
PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu C Câu A Câu D Câu C PHẦN II TỰ LUẬN
Bài Giải ta được: a)
5 4;
2
x
b) x 3;3 3
(118)8
2
( 1)
m
S m
P m m
Giải ta m > 1.
Từ kết luận: PT khơng có hai nghiệm phân biệt dương m1.
b) Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị a b
a *, a 9; b , b 9
Theo đề bài, ta có: 2
5 13
a b a b
Giải ta a = 2, b = a = 3, b = Kết luận
Bài a) HS tự làm
b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x2 = 2mx - = 0.
Cách Vì ' m2 4 0m nên tacos ĐPCM.
Cách Vì ac = -4 < nên PT ln có hai nghiệm trái dấu chúng phân biệt (ĐPCM)
c) i Từ giả thiết theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1
1
4
2
x x
x x
Giải ta x1 = 1, x2 =2m nên tìm
3
m
15
m
ii) Ta có A2(x1x2) ( x1x2)22x x1
Áp dụng hệ thức Vi-ét biến đổi ta được: A = -(2m - 1)2 - 7.
Từ tìm
1
2
A m
ĐỀ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu B Câu D Câu B Câu A PHẦN II TỰ LUẬN Bài a)
2 ;
b) 1 2; 2 2
Bài 2.a) Tìm
1 1;
2
A
B (2; 2) tọa độ giao điểm d (P).
b) HS tự vẽ d (P) hệ trục tọa độ Oxy
Cách Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục Ox Khi đó: SAOB SAHKB SAHO SBKO
Từ tìm
3
AOB
S
(đvdt)
Cách Gọi I giao điểm d Oy, M, N hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy Khi đó:
1
2
AOB AOI BOI
(119)Từ ta tìm
3
AOB
S
(đvdt)
Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d T đồng thời thuộc đường thẳng qua O vng góc với d Từ tính OT AB áp dụng công thức
1
AOB
S OT AB
ta tìm
3
AOB
S
(đvdt)
Bài a) PT có hai nghiệm x1, x2, trái dấu ac < Từ tìm m <
b) Với m = 5, phương trình có dạng 2x2 - 9x + = 0.
Cách Áp dụng công thức nghiệm PT bậc hai, nghiệm x1, x2 thay
vào M tìm
61
M
Cách Biến đổi M (x x1 2)2 2x x1 áp dụng hệ thức Vi-ét ta tìm
61
M
c) Vì m216 0 m nên PT ln có hai nghiệm phân biệt.
Xét ba trường hợp: Trường hợp Ta có
1 2
1
0
0
0
x x
x x m
x x
Trường hợp Ta có x1 0 x2 ac 0 m0
Trường hợp Ta có 2
(0)
0
0
f
x x m
x x
Kết luận
d) Ta có
1 2
1
0
1 ( 1)( 1)
( 1) ( 1)
x x x x m
x x
.
CHƯƠNG III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG
1A a) Chứng minh OM tia phân giác của góc AMB Từ ta tìm AMO20 ,0 AOM 700
b) sđ AmB AOB 1400 sđ AnB2200
1B a) Chứng minh OEAOFB AE FB
b) Chứng minh OEF OCD AB CD/ /
2A a) Sử dụng tỉ số lượng giác tam giác vng AMO ta tính AOM 600
b) Tính AOB1200, sđ ABC1200.
c) Ta có AOC BOC AC BC
2B Tương tự 2A
(120)3 a) Tính sđ BC500.
b) Chứng minh sđ CBE 1800 , ,
C O E
thẳng hàng (ĐPCM)
* Cách khác: sử dụng CDE 900 ĐPCM.
4 Chứng minh BOC BOD tam giác
đều nên suy sđ CD nhỏ = 1200 sđ CD lớn
= 2400.
5 a)Chứng minh BOM CON(c.g.c), từ đó
suy BM CN
b) Tính MON 1000
6 Tính sđ AB nhỏ = AOB 900 .
Suy đ AB lớn = 2700.
7 a) Tính
R OK
b) Tính MOK 60 ,0 MON1200
c) HS tự làm
BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1A Trường hợp 1: Tâm O hai dây.
Kẻ OM AB suy OM CD N
Ta chứng minh AOM BOM (1)
Tương tự CON DON (2)
Từ (1), (2) AOC BOC AC BD
Trường hợp 2: Tâm O nằm khoảng hai dây Kẻ OM AB suy OM CD N
Tương tự AOC BOC AC BD
1B Ta chứng minh AD BE , mà CD AB nên
Từ suy
* Cách khác:Chứng minh AOC BOE ĐPCM.
2A Ta lấy K điểm cung nhỏ AB
Ta chứng minh CK KD Từ ta có OK
CD, OK AB CD//AB
2B a) HS tự chứng minh.
b) Ta chứng minh BE CD từ suy BE =
CD tứ giác BDEC hình thang cân
3A a) Ta chứng minh E trung điểm AC nên
1
OE BC
Tương tự ta có
1
OF DB
(121)Mà BC < BD ta suy OE < OF
b) Chứng minh AE2 = AO2 - OE2 AF2 =
AO2 - OF2
Từ ta có
AE2 > AF2 AE > AF
sđ AE sđ AF
3B a) HS tự chứng minh
b) Ta chứng minh tứ giác BCEN hình bình hành BC = EN
Do BCDE hình bình hành
BC = ED; DE = EN BA EN BA BC BC tiếp tuyến
4 Ta chứng minh ABCBDA từ suy ra
AC BD
5 a) HS tự chứng minh.
b) Chứng minh MN CA CB ĐPCM.
6 Gợi ý: Đưa so sánh góc tâm để kết luận. 7 a) HS tự chứng minh.
b) Từ giả thiết ta có AB đường trung trực
CE BC BE BFDE
c) Sử dụng mối liên hệ cung dây
BÀI GÓC NỘI TIẾP 1A a) HS tự chứng minh.
b) IACIDB(g.g)
c) Sử dụng kết câu b)
1B a) MPHQ hình chữ nhật MH = PQ
b) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông chứng minh đượcMP MA MQ MB MPQMBA
c) PMH MBH PQH O QB 2 PQlà tiếp tuyến
(O2)
Tương tự PQ tiếp tuyến 2A Do sđMB = sđMA = sđNC
NAS ANS
SA SN SM SC
2B a) Ta có ACM 900 (góc nội tiếp)
b) ta có ABH AMC g g( )
,
BAH OAC OCA OAC
BAH OCA
c) ANM 900 MNBC
(122)/ /
BC MN
sđBN = sđCM
CBN BCM
nên BCMN hình thang cân.
3A a) Chú ý:
, , ( )
M A B O AMB 900
ĐPCM.
b) Gợi ý: Chứng minh AK BI phân giác góc A, B tam giác MAB
3B a) Chứng minh BAE cân B
b) Chứng minh DO//BE (tính chất đường trung bình)
Mà AK BE (AKB90 )0 AK DO
4A Gợi ý: Chứng minh P trực tâm tam giác SAB. 4B a) Chứng minh BFCH hình bình hành. b) Sử dụng kết câu a), suy HF qua M c) Chú ý: OM đường trung bình AHF
ĐPCM
5 Do AB//CD sđAC = sđBD ĐPCM
6 Chứng minh được: ABDđồng dạng AEB (g-g)
ĐPCM
7.Gợi ý: Xét tam giác đồng dạng để chứng minh 8 Gợi ý: Sử dụng kết Bài 7.
AO = 12cm
9 Chứng minh BM MC AM phân giác
trong
Mặt khác:MAN 900 AN phân giác
10 a) HS tự chứng minh b) Gọi CHAB K
Chứng minh MIC cân I.
ICM IMC
Tương tự OMA OAM
Chứng minh IMO 900 ĐPCM
11 ABD ABC 1800 C, B, D thẳng hàng
12 a) Vẽ tiếp tuyến C cắt đường AB P Phân giác CPB cắt OC I Vẽ đường trịn tâm I bán kính
IC, đường trịn cần tìm b) Do ACB900 nên MCN900
MN đường kính (I) ĐPCM.
(123)
MD ND hay CD tia phân giác ACB ĐPCM.
BÀI GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1A a)
2
ABM ANB
sđBM
Chứng minh được: ABM ANB (g.g)
ĐPCM
b) Chứng minh AO BC áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác vuông ABO sử dụng kết câu b) AB2 = AH.AO
c) Chứng minh ABI CBI BI CI ( ) BI là
phân giác ABC Mà AO tia phân giác BAC I là
tâm đường tròn nội tiếp ABC.
1B Chứng minh được: BAI ACI(g.g)
2
2
AB IB AB IB
AC IA AC IA
Mặt khác: IA2 = IB.IC
ĐPCM
b) Do BAI ACI(g.g)
AI BI AB CI AI CA
24
35
IA IC
IA cm
IC IA
IC = 49cm
2A a) HS tự chứng minh. b) Tương tự 1A
c) Chứng minh được: BAM MBC
Từ chứng minh được:
2 .
MAB MBD MB MA MD
2B Gọi BDAC I
Ta có
2
BAI ACD EBD
sđED
Áp dụng bổ đề ĐPCM
3A a) Sử dụng AQ//O'P
'
QAP O AP
ĐPCM.
b) CP//BR (cùng vng góc AR) 3B a)
IA IK IAK IBA
IB IA
Mà
IM IK IA IM
IB IM
IKM IMB
b) Chứng minh được:
/ /
(124)4A Kẻ đường kính AF
Chứng minh A1B1900 AOBD
4B Ta có:
,
DMN E GMN DNM NFD GNM
GMN DMN
b) Chứng minh MN đường trung trực GD
(1)
GD EF
Gọi J giao điểm DC MN Ta có
JM JN CJ
DH DK CD
Mặt khác: JM JN (cùng JC JD DH = DK (2) Từ (1) (2) ĐPCM
5 Chứng minh AMN ACB (g.g)
ĐPCM
6 HS tự chứng minh.
7 Chứng minh được: DBCBAD DBC BAD
sđ
2
DBC
sđBmD
BC tiếp tuyến (o)
8 Kẻ đường kính BF F, A, D thẳng hàng Gọi DE tiếp tuyến kẻ từ D Khi ta có: DE2 =
DA.DF AF = 6cm Từ tính OB 10cm
9 HS tự chứng minh.
10 BAM CAM BM MC OM BC BC/ /DE
11 HS tự chứng minh 12 HS tự chứng minh 13 HS tự chứng minh
BÀI GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÌN. GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN 1A a)
2
MCD BID sdCD
b) Sử dụng kết câu a) 1B Tương tự 1A HS tự làm. 2A a)
2
AMN ANM sd ED
Suy AMN cân A Kéo dài AI cắt đường tròn
(125)DIA cân E D
b) Xét AMN cân A có AI phân giác Suy
AI MN F MF = FN Tương tự với EAI
cân E, ta có: AF = IF Vậy tứ giác AMIN hình hình hành Mà AI MN ĐPCM
2B Tương tự 2A HS tự làm.
3A a) Chứng minh PA2 = PC.PB PA2 =
PO2 = OA2 tính PO.
b) Chứng minh
1
2
DBC DAB CAB
ĐPCM
3B a) Học sinh tự chứng minh.
b) Chứng minh AFM CAF (ACF) MF/ /AC.
c) Chứng minh:MFNMNF MNF cân tại M MN MF
Mặt khác: OD = OF = R
Ta có MF tiếp tuyến nên OFM vuông ĐPCM
4A a) HS tự chứng minh. b) ADEACD (g-g)
AD2 = AE.AC
c) Tương tự: ADF ABD AD2 = AB.AF
ĐPCM 4B a)
2
BID
sđ DE DBE BID cân D.
b) Chứng minh tương tự: IEC cân E, DIC cân
tại D
EI = EC DI = DC DE trung trực CI
c) F DE nên FI = FC
/ /
FIC FCI ICB IF BC
5 a) Ta có:
2
BPD
(sđ BD - sđAC),
1
AQC
(sđ
BD + sđAC)
BPD AQC
= sđ BD = 1400 700
BCD
b) HS tự chứng minh
6 a) HS tự chứng minh BMN cân B.
b) EDF DBF g g( )
DF EF
BF DF
2
DF EF BF
7 HS tự chứng minh
(126)b) M AB
NE
phân giác BNA BN EB
AN EA
(tính chất đường phân giác) BN.AE =
NA.BE
c) Chứng tinh tương tự 4B
d) Chứng minh ABN DBN ĐPCM/
9 HS tự chứng minh
10 KG đường phân giác
MG MK
MKP
GP KP
(1) KJ đường phân giác
MJ MK
MKN
JN KN
(2) Chứng minh được: KN = KP (3)
Từ (1); (2); (3)
MG MJ
GP JN
ĐPCM
BÀI 6 CUNG CHỨA GĨC
1A Ta có A500 B C 1300
65 115
DBC DCB BDC
Quỹ tích điểm D hai cung chứa góc 1150
dựng đoạn BC 1B Tương tự 1A. Tính BIC 1350
Quỹ tích điểm I hai cung chứa góc 1350
dựng đoạn BC
2A Các tam giác ANE AMC, BMD vuông cân
450
AEB ADB ACB
Mà AB cố định nên điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn
2B Chứng minh BIC1200.
2 1200
BOC BAC
và BHC1800 600 1200 (góc
nội tiếp góc tâm)
H, I, O nhìn BC góc 1200 nên B, C, O,
I, H thuộc đường tròn
(127)Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với AB góc 550;
Bước 3: Vẽ Ay Ax cắt d O;
Bước 4: Vẽ cung AmB tâm O, bán kính OA cho
cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax
AmB cung cần vẽ.
3B HS tự thực Bài tốn có nghiệm hình 4 Chứng minh được:
900
CBF BEM MDF DEC 900
BMD
nên M thuộc đường tròn đường kính
BD Mà E BC nên quỹ tích điểm M là cung
BC đường trịn đường kính BD.
5 a) Chứng minh ABEADE
b) Chứng minh được: ACB BNM (đồng vị)
C, D, E nhìn AB góc nên A, B,
C, D, E thuộc đường tròn
BC đường kính BEC900
6 Tương tự 3A.
BÀI 7 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1A Xét tứ giác AMHN có:
AMH ANH 9009001800
ĐPCM
Xét tứ giác BNMC có:
900
BNC BMC ĐPCM.
1B HS tự chứng minh 2A Ta có:
2
AED
(sđAD + sđMB )
2
sđDM MCD DEP PCD 1800 PEDC nội tiếp
2B Ta có: MIC CHM 900
MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh
chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) 3A a) Học sinh tự chứng minh
b) ADB vuông D, có đường cao DH AD2 =
AH.AB c)
2
EAC EDC
sđ EC, EAC KHC
(Tứ giác AKCH nội tiếp)
EDC KHC DF//HK (H trung điểm DC nên K
(128) ĐPCM
3B a) Học sinh tự chứng minh b)
2
NEC CBE
sđ CE
NEC NBE (g.g) ĐPCM
c) NCH NMB (g.g) NC.NB = NH.NM = NE2 NEH NME (c.g.c) NEH EMN
d) EMNEON (Tứ giác NEMO nội tiếp)
NEH NOE EH NO
OEF cân O có ON phân giác EON NOF NEO = NFO NFO NEO 900 ĐPCM.
4A a) HIB HKB 1800 Tứ giác BIHK nội tiếp
b) Chứng minh được: AHI ABK (g.g) AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi)
c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ
ĐPCM
4B a) Chú ý: AMO AIO ANO900
b)
2
AMB MCB
sđ MB AMB ACM (g.g) ĐPCM
c) AMIN nội tiếp
AMN AIN
BE//AM AMN BEN
BEN AIN Tứ giác BEIN nội tiếp BIE BNM
Chứng minh được: BIE BCM IE//CM.
d) G trọng tâm MBC G MI
Gọi K trung điểm AO MK = IK =
2AO.
Từ G kẻ GG'//IK (G' MK)
' '
3
GG MG MG
IK AO
IK MI MK
không đổi (1)
2
' '
3
MG MK G
cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc (
1 ';
3
G AO
)
(129)7 Học sinh tự chứng minh.
8 Gợi ý: Chứng minh BEFC hình thang cân
9 Gợi ý: AFEAHE (tính chất hình chữ nhật
AHEABH (cùng phụ BHE)
10 a) Học sinh tự chứng minh. b) Học sinh tự chứng minh c) Học sinh tự chứng minh d) Chú ý:
,
BIA BMA BMC BKC
Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T)
cũng đường tròn ngoại tiếp BIK Trong (T), dây
BC không đổi mà đường kính (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ BC
Dấu "=" xảy BIC900 I A M A
11 HS tự làm.
12 a) HS tự chứng minh. b) OM R
c) MC MD = MA2 = MH.MO
MC MD = MH.MO MHC MDO (c.g.c)
MHC MDO
Tứ giác CHOD nội tiếp
Chứng minh được: MHC OHD
CHB BHD
(cùng phụ hai góc nhau)
13 HS tự chứng minh. 14 a) HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh
c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF BD trung trực AC phải qua I
d) HS tự chứng minh 15 HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) MIH MAB
2
MH IH EH EH
MB AB FB FB
MHE MBF
MFA MEK
(cùng bù với hai góc nhau)
KMEF nội tiếp MEF = 900
BÀI ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN 1A
(130)Độ dài C đường tròn 56,52 50,24 18,84 30 25,12 1B
Bán kính R đường trịn 1,5 10 2,5 Đường kính d đường trịn 20 16 Độ dài C đường tròn 9,42 62,8 15,7 6,28 50,24 2A a) l dm; b) C600mm;
2B a)
10 ;
l dm
b) C400mm;
3A
Bán kính R đường tròn 12 38,8 22 5,2 16,8 Số đo n0 cung tròn 900 600 80,30 310 280
Độ dài l cung tròn 18,8 40,6 30,8 2,8 8,2 3B
Bán kính R đường trịn 14 46,5 20 4,2 12 Số đo n0 cung tròn 900 500 88,30 350 200
Độ dài l cung tròn 22 40,6 30,8 2,6 4,2 4A a) ADB góc nội tiếp đường kính AB ADBD.
b) Do ADC 900nên D đường tròn ( ;
AC k
) c) IBD cân I có B 600
IBDđều
0
5
.60 5
2 60
180
BD
BID l cm
4B a) Khi M ngồi hay M nằm đường trịn MCD MBA có
2 góc ĐPCM
Tỷ số đồng dạng là:
1
CD AB
b)
0
30 60
3
AC R ABC AOC l
Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S
5 10 31,4 78,5
3 18,84 28,26
15 30 94,2 706,5
(131)6 a) 2R4 R2cm
b) AOB600 (OAB đều)
1200 BOC
BC
l
nhỏ =
.120
180
R
cm
và lBC lớn = 3cm
7 A1200 OAC 600 OAC
RAC30cm
2
C R cm
8 Đặt AB = a; BC = b; CD = c; AD = d.
( ) 2
2 2
AB
a
C a
Tương tự
( )
2
CD
C c
Vậy
( ) ( )
( )
2 2
AB CD
C C
a c
Có
( ) ( )
( )
2 2
BC CD
C C
b d
Tứ giác ABCD ngoại tiếp, kết hợp tính chất tiếp a
+ c = b + d ĐPCM
9 HS tự làm
10 a) AD phân giác BAC
D điểm BC ODBC
Mà DE tiếp tuyến ĐPCM
b)
2
ECD
sđCD DAC BAD ĐPCM.
c)
3
60 120
2
P
HC HOC BOC
0
.120
180
BC R
l R
BÀI DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN 1A.
Bán kính đường trịn (R)
Độ dài đường trịn (C)
Diện tích hình trịn (S)
Số đo cung trịn n0
Diện tích hình quạt tròn
cung n0
1,9cm 12cm 11,3cm2 450 1,4cm2
2cm 12,6cm 12,6cm2 351,10 12,5cm2
3,6cm 22,4cm 40,7cm2 900 10,2cm2
1B.
Bán kính đường trịn (R)
Độ dài đường tròn (C)
Diện tích hình trịn (S)
Số đo cung trịn n0
Diện tích hình quạt trịn
(132)2,2cm 14cm 15,2cm2 600 2,6cm2
4cm 25,1cm 50,3cm2 107,40 15cm2
4,4cm 27,6cm 60cm2 94,80 16cm2
2A R2 2cm C O, ( ) 4 2cm S O, ( ) 8 cm2
2B Tương tự 2A. 3A S3cm2
3B Giải tương tự 3A 4A a)
2
R l
; b)
2
2
3 ( )
3
R
S R R
4B a) AC4cm BC4 3cm
4 , 16
R cm C cm S cm
b) AOC AOC600
0 4.120
120
180
CAD
COD l cm
2
8
.4 16
2
S cm
5 a) Chú ý: KMB 900và KEB 900
ĐPCM
b) ABEAKM g g( )
AE AB
AM AK
2
AE AK AB AM R
không đổi.
c) OBCđều.
600
6
R
BOC S
6 a) Chứng minh COD AMB600
b)
0
30 60
3
AC R ABC AOC l
(133)1A a) Chứng minh HCB HKB 900
b) ACKHBK (CBKH nội tiếp)
Lại có:
2
ACM HBK
sđ AM
ACM ACK
c) Chứng minh được:
MCA = ECB (c.g.c) MC = CE
Ta có:
2
CMB CAB
sđ CB = 450
MCE vuông cân C
d) Gọi PBHK I PB
Chứng minh HKB đồng dạng với AMB (g.g)
HK MA AP AP BK
HK
KB MB R R
Mặt khác: BIK BPA (g.g)
(ĐPCM)
1B a) OBM OEM 900 Tứ giác OEBM nội tiếp
b) Chứng minh được: ABM BDM (g.g)
2 .
MB MA MD
c) OBC cân O có OM vừa trung trực vừa
phân giác
1
2
MOC BOC
sđ BC
Mà
2
BFC
sđ BC MOC BFC
d) OEM OCM 900 Tứ giác EOCM nội tiếp.
MEC MOC BFC
mà góc vị trí đồng vị FB AM/ /
2A a) HS tự chứng minh b) MH.MO = MA.MB (=MC2)
( )
MAH MOB c g c
MHA MBO
1800
MBO AHO MHA AHO AHOB nội tiếp.
c) MK2 = ME.MF = MC2 MK = MC
( )
MKS MCS ch cgv SK SC
MS đường trung trực KC MS KC trung CK
d) Gọi MSKC I
( )
MI MS ME MF MC EISFnội tiếp đường tròn tâm
P PI = PS (1)
MI.MS = MA.MB(=MC2) EISF nội tiếp đường tròn
(134)MI.MS = MA.MB (=MC2) AISB nội tiếp đường tròn
tâm Q QI = QS (2)
Mà IT = TS = TK (do IKS vuông I) (3)
Từ (1), (2) (3) P, T, Q thuộc đường trung trực
IS P, T, Q thẳng hàng
2B a) CHE' cân C CE H ' CHE '
BHF' cân B BF H ' BHF '
Mà CHE 'BHF' (đối đỉnh)
' ' CE H BF H
Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường trịn tâm (O)
b) Có BFC 'BE C CHE' 'CAB
Vậy A, F', E' chắn BC góc
điểm B, F', A, E', C thuộc đường tròn
tâm (O)
c) AF' = AE' (=AH) AO trung trực EF AO E'F' HE'F' có EF đường trung bình EF//E'F' AO FE
d) AFH AEH 900 AFHE nội tieps đường trịn
đường kính AH Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC
1 ,
OI AH BC
cố định OI không đổi Độ dài AH khơng đổi
Bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF không đổi
3 a) Chứng minh DBOF nội tiếp đường tròn tâm I trung điểm DO
b)
2
cos
3
R AF
OA OF AF DAB
AO
c) ( )
DM OB
AMO ADB g g
AM OA
mà MOD ODB ODM DM OM
DB DB AD
DM OM AM
Xét vế trái
BD DM AD DM
DM AM AM
d)
.tan tan
3 4
R R
DBAB DAB R OM AO DAB
13
OMDB R S
2 ( , )
1
(13 )
4
OMDB ngoai OMDB O R R
S S S
4 a) BH AC CM AC BH//CM
Tương tự CH//BM
(135)b) Chứng minh BNHC hình bình hành
NH//BC
AH NH AHM = 900
Mà ABN 90 Tứ giác AHBN nội tiếp
c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC N, H, E thẳng hàng
d) ABN 900 AN đường kính đường trịn ngoại
tiếp tứ giác AHBN
0
2 AnB, 120
AN AM R S AB R AmB
2
1
2
AOB ABM R
S S
2
ata (4 3)
12
tAOB AOB AmB
R
S S S
2
2 (4 3)
6
can tim AmB R
S S
5 a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) AEH vuông nên ta có:
1
KE KA AH
AKE cân K
KAE KEA
EOC cân O OCE OEC
H trực tâm AH BC
Có AEK OEC HAC ACO 900
(K tâm ngoại tiếp) OE KE
d) HS tự làm
6 a, b, c HS tự làm d) Gợi ý: G'OI mà
' '
IG
G
IO thuộc (
1 ';
3
G R
) 7 a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) HS tự chứng minh e) HS tự chứng minh g)
OH HE
OHE FHM
HF HM
OH.HM = HE.HF
MAO vuông A, AH MO
2
2
4
AB
OH HM AH AB HE HF
(136)i) Do IB IA MBI ABI BI là phân giác ABM
Mà IM phân giác AMB I tâm đường tròn nội
tiếp ABM
k) Xét đường tròn qua điểm M, B, O, K, A có MA = MA
MB MA MKB MKA
KM phân giác góc BKA, mà KE KM KE phân giác
KA AE AE AF
KB BE BE BF
AE.BF = AF.BE
1) HS tham khảo 4B, Tứ giác nội tiếp Kết luận: G thuộc đường trịn J' bán kính
2
3JO với
trung điểm OM J' thỏa mãn
'
3
AJ AJ
m) Học sinh tự giải
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III ĐỀ SỐ 1
PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu A Câu 2.B
Câu C Câu D
PHẦN II TỰ LUẬN
Bài 1.a) AIB1200 góc tâm (O; R) nên sđ
AB1200
Áp dụng công thức tính độ dài cung trịn 180
Rn l
với R = 2cm; n0 = 1200
Độ dài cung nhỏ AB là:
.2.120
180
l cm
b) Diện tích hình quạt trịn giới hạn cung nhỏ AB hai bán kính IA, IB phần tơ màu xám
Áp dụng công thức:
2
360
R n S
với R = 2cm; n0 = 1200
Tính
2
4
S cm
Bài a) SAO SBO 900900 1800
Tứ giác OASB nội tiếp b)
2
MAC CBA
sđCA
( )
MAC MBA g g
(137)c) Có MA2 = MB.MC, mà MA = MS
SM MC
MC MS
Chứng minh MSBMCS
MBS CSM hay MBS CSA
d) Chứng minh NAS MBS (Vì = CSA )
Tứ giác NAOB từ giác nội tiếp
Chứng minh ANO ONB
ĐPCM
Bài - Diện tích phần trắng là: 2 (cm2)
- Diện tích phần gạch sọc là: 4-2=2 (cm2)
Hai phần có diện tích
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III ĐỀ SỐ 2
PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu A Câu 2.D
Câu B Câu 4.A
PHẦN II TỰ LUẬN
Bài a) AnB cung lớn; AmB cung nhỏ.
Vì sđAnB + sđAnB = 3600; mà sđAnB= 3sđAnB;
nên sđAnB= 2700 độ dài cung AnB
3
R l
b) Vì OAB vng cân AOB900 OAB OBA 450
c) Vì
2
2 ( ; )
2
R
AB R OH OH AB HAB
Bài a) Vì
2
MBC MDB
sđCB nên chứng minh được
( )
MBC MDB g g
b) Vì MBO MAO 1800nên tứ giác MAOB nội tiếp.
c) Đường tròn đường kính OM đường trịn ngoại tiếp tứ giác
MO MAOB r
Gọi H giao điểm AB với OM
3 ;
2
R
OH AB AH BH
(138)d) Ta có
2
sđ DE s M BI đ BC
2
sđ AC s M BA đ BC
Vì AE song song CD sđ DE sđ AC MIB M B A
Do tứ giác MAIB nội tiếp hay điểm A, B, O, I, M nằm đường trịn kính MO
Từ ta có MIO 900 OI CD hay I trung điểm CD.
CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN, HÌNH CẦU
BÀI DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ 1A Ta thu kết bảng sau:
Bán kính
đáy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy (cm)
Diện tích đáy (cm2)
Diện tích xung quanh
(cm2)
Diện tích tồn phần (cm2)
Thể tích (cm3)
1 2 4 6 2
5 10 25 40 90 100
4 10 8 16 80 112 160
8 25 16 64 400 528 1600
1B Tương tự 1A Bán kính
đáy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy (cm)
Diện tích đáy (cm2)
Diện tích xung quanh
(cm2)
Diện tích tồn phần (cm2)
Thể tích (cm3)
2 4 4 12 12 20
2 25 4 4 100 100 108
1,5 3 2,25 24 18 28,5
40 80 1600 400 8000 3600
2A Vì h = 2R nên V = R2h = R2.2R=2 R3
Mặt khác: V = 128 R = 4cm
h = 8cm, Sxq = 2 Rh = 64 cm2
2B Tương tự 2A.
Diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh nên: 2 Rh + 2R2=2.2R2
2 Rh = 2R2 R = h
Vậy chiều cao hình trụ 3cm
3A a) i) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt có CA = CM DM = DB nên AC + BD = CM + DM = CD;
ii)
1
( ) 90
2
COD COM MOD AOM MOB AOB
iii)
2
( )
4
AB COA ODB g g AC BD OA OB
(139) 600 MOC
Từ tính EM = OM sin 600 =
3
R
2
0
60 ;
2 xq
R R
OE OM cos S ME OE
(đvdt) Và
3
2
8
R V ME OE
(đvtt) 3B Tương tự 3A.
a) Ta có AEH ADH DAE 900 Tứ giác ADHE hình chữ nhật.
Lại có AB.AD = AH2 = AE.AC nên AB.AD = AE.AC
b) HB = 9cm, HC = 16cm (Lưu ý: AB < AC nên HB < HC)
2
36 48 3456 62208
, , ,
5 xq 25 125
HD cm HE cm S cm V cm
4A Tương tự 1A Bán kính
đáy (cm)
Chiều cao (cm)
Chu vi đáy (cm)
Diện tích đáy (cm2)
Diện tích xung quanh
(cm2)
Diện tích tồn phần (cm2)
Thể tích (cm3) 12 10 25 120 170 300
10 20 100 60 260 300
10 17 20 100 340 540 1700
2 4 4 20 28 20
5 Tương tự 3A
a) Tứ giác BIHK nội tiếp (tổng hai góc đối 1800)
b) Chứng minh AH.AK = AI.AB =
1
2R.2R = R2
ĐPCM
c) MCND hình chữ nhật MN, AB, CD đồng quy I trung điểm CD
d) Tam giác OCA ABC30 ,0 MCD 600
Tính
25 25
2 25 ,
2
CD CI cm CM cm
25 625
,
2 xq
MD cm S CM MD cm
BÀI DỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT
(140)Bán kính r 10
Đường kính d 10 20 10
Chiều cao h 5 10 12
Đường sinh l 10 20 13
Thể tích V 125 3
1000 100
Diện tích xung quanh Sxq 50 200 3 65
Diện tích tồn phần Stp 75 (300 + 200 3) 90
1B Ta thu kết bảng sau:
Bán kính r 10
Đường kính d 20 10
Chiều cao h 100 5 12
Đường sinh l 1009 15 13
Thể tích V 300 500
3
100
Diện tích xung quanh Sxq 9 150 65
Diện tích tồn phần Stp (9 5 + 9) 250 90
2A a) h = 12cm d)Stp = 216 cm2, V = 324 cm3
2B
3
3500
75 17 125 ,
3
xq
S V cm
3A a) AOC ODB (cùng phụ BOD)
AOC BDO (g.g)
AC AO
BO BD
AC.BD = a.b (khơng đổi)
b) Ta có
60 ,0 30 ,0 3,
3
b COA ODB ACO DOB AC a BD
i)
3( )(3 )
6
ABCD
a b a b
S
ii)
3B Tính Sxq 50 , V 79 4 Tính sin = 0,4 = 23035'
(141)6 a) V = 9706cm3 9,7l
b) S (81 23 554) 622,36 cm2
7 a) V 960cm3; b) Sxq 136cm2
BÀI DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU 1A Ta thu kết bảng sau:
Bán kính hình cầu
0,4mm 6dm 0,2m 100km 6hm 50dam Diện tích
mặt cầu
16 25
mm2
144
dm2
4 25
m2
40000
km2
144
hm2
10000
dam2
Thể tích hình cầu
32 375
mm3
288
dm3
4
375
m3
4000000
3
km3
288
hm2
500000
3
dam3
1B Ta thu kết bảng sau:
Loại bóng Quả bónggơn Quả khúccơn cầu ten-nítQuả Quả bóngbản Quả bia Đường kính 42,7mm 7,32cm 13cm 6cm 61cm
Độ dài đường tròn lớn
134,08 mm
23cm 13 6cm 61mm
Diện tích 5728,03 mm2
168,33 cm2
169
cm2
36cm2 3721
cm2
Thể tích 40764,51 mm3
205,36 cm3
2197
6
cm3
36cm3 226981
6
mm3
2A Tính R = 3cm 2B Tính
3
500
V m
3A a), b) HS tự chứng minh. c)
25
2 16
MON APB S R AM
S
d)
3
4
V R
3B Tính S = 2a2
4B Tính h6 2cm
5 a) Tính
1
xq S
S b) Tính
2
hc ht V V
6 a) Tính
78,5%
xq S
S b) Tính 52, 4% hc
hlp V
V
7 a) Tính S64cm2
3
256
V cm
b) Tính S 211,32cm2
(142)b) Ta có
3
4
15,8 1,56
3
c
V R cm R cm
2
1
2,53
hn
V R h cm
1B Tính
3
2
V h
2A Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh BC:
2
2
tp tru
S AB AD AB S
Khi quay cạnh CD: Stp tru 2AD AB 2BC2 S2
Mặt khác: S1S2 2AD AB 2AB2 2AD AB 2BC2
AB = BC ABCD hình vng
2B Ta có Stp 2 BC AB 2BC2 2 . a a2a2 6a2 Ta có: V BC AB2 a2.2a2a3
3 a)
2
;
xqN
S AC BCb b c S
2
2 2
;
xqN
S AB BC c b c S
1
S S
b)
2
1
3
N
V AC AB b c
;
2
2
1
3
N N N
V AB AC c b V V
4 a) Stp 20, 25m2 b)
2
30, 24 tp
S m
5 a)
2 3
3
2
2
htABCD
AB AB
V BC R
(1)
3
4
hc
V R
(2)
2
3
1
3
hn
EF
V GH EF
Tính GO 3R
3
1
3 8
hn
V R R
(3) Từ (1), (2) (3) ĐPCM
b) Stpht 3R2(4),Shc 4R2 (5)
2 2
3
3
4 4
tphn
S EF R R
(6) Từ (4); (5) (6) ĐPCM
6 a) Dễ dàng tính được
2 ,
AC cm AB cm Shn AC BC 8
1
3
hn
V AC AB
(143)ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV ĐỀ SỐ 1
PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu D Câu A Câu D Câu D PHẦN II TỰ LUẬN
Bài a) Dung tích xơ là:
2
1 2
1
( )
3
V h r r r r
với r1 = 5cm, r2 = 10cm; h = 20cm
Thay số liệu tính tốn ta V 3663cm3
b) Tính đường sinh xơ dạng hình nón cụt
20,6
l cm.
Diện tích tơn để làm xơ mà khơng kể diện tích chỗ ghép S SxqS1(r r l1 2) r12 với S
1 diện
tích đáy nhỏ đáy xơ
Thay số vào tính tốn ta S1048,76cm2
Bài a) Sử dụng tứ giác nội tiếp chứng minh PMO PAO PNO PBO MON APB
đồng dạng (g.g)
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: MP = MA NP = NB
Mặt khác MP.NP = PO2 PO = R
AM.BN = R2
(ĐPCM)
c) Ta có 2
R R
AM MP
Mặt khác 2
R
AM BN R PN R
Từ tìm
5
R MN
Vì MON APB đồng dạng nên
2
25 16
MON APB
S MN
S AB
d) Khi quay nửa đường trịn đường kính AB xung quanh AB ta hình cầu với tâm O bán kính R' = OA = R
Thể tích hình cầu
3
4
V R
(đvdt)
ĐỀ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM
(144)Bài a) HS tự làm
b) Ta có AHI đồng dạng với ABK (g.g)
2
AH AK AI AB R
c) Chứng minh I trung điểm CD
Từ MCND hình chữ nhật suy MN CD cắt trung điểm đường ĐPCM
d) Chứng minh IOC 600 ACOđều nên 300
ACD .
Chứng minh CBD nên CD = CB CD =
25cm
Áp dụng tỉ số lượng giác CDM M( 90 )0 ta
tính được: MD = 12,5cm MC21,7cm.
Từ tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành cho tứ giác MCND quay quanh MD là:
2
2 542,5 xq
S rh cm
Bài a) Gọi thể tích hình trụ hình nón lần lượt V1 V2 Hình trụ hình nón có bán kính
bằng r = 7cm
Ta tích hình cần tìm là:
2
1 2
1
V V V r h r h
với h1; h2 chiều cao ứng với hình trụ
hình nón
Thay số ta V = 416,5cm3
b) Thể tích hình nón cụt là:
2
1 2
1
( )
3
nc
V h r r r r
Thay số vào tính tốn ta Vnc 276,3cm3 Thể tích hình nón là:
2
1
n
V r h
Thay số ta Vn 315,8cm3
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ĐỀ SỐ 1
Bài a) Từ x 7 3, tìm x 2 3 Thay vào Q tính ta được
3
Q
b) Rút gọn
3
9
x P
x
c) Tìm
3
P M
Q x
Giải
2
M
ta tìm
9
(145)d) Tìm
7
x A
x
Ta có
1 6
2
3
x x
A
x x
Từ đến kết luận Amin = x =
* Cách khác:
7 16
3
3
x
A x
x x
=
16
3 16
3
x
x
Kết luận
Bài Gọi số chi tiết máy tổ hai sản xuất x y (x, y
*
; x, y < 900)
Theo đề ta có hệ phương trình:
900
1,15 1,1 1010
x y
x y
Giải x = 400 y = 500
Vậy theo kế hoạch tổ hai phải sản xuất 400 500 chi tiết máy Bài a) Cách Đặt
1
1 u
y ta
3
5
x u x u
Giải ta
1
x
1
u
Từ tìm y =
Cách Cộng vế với vế hai phương trình, ta 8x = Từ tìm
1
x
và y =
b) Vì x1x2 = -m2 - < m nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân
biệt trái dấu
Cách Giả sử x1 < < x2
Từ giả thiết thu x1x2 2
Biến đổi thành x1x22 4x x1 8
Áp dụng định lý Vi-ét, tìm m =
3
m
Cách Bình phương hai vế giả thiết biến đổi dạng
2 2
1 2 2 4( 1)
x x x x x x m m
Do x x1 x x1 2)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta tìm m =
3
m
Bài a) Tứ giác BDQH nội tiếp BDH BQH 1800
b) Vì tứ giác ACHQ nội tiếp CAH CQH
(146)Từ có CQH CFD mà góc vị trí đồng vị DF//HQ.
c) Ta có HQD HBD (câu a)
2
HBD CAD sđ CD
CAD CQH (ACHQ nội tiếp)
HQD HQC QH
phân giác CQD
Mặt khác chứng minh CH phân giác góc QCD
Trong tam giác QCD có H giao ba đường phân giác nên H tâm đường tròn nội tiếp H cách cạnh CD, CQ, DQ
d) Vì CMFN hình chữ nhật nên MN CF cắt trung điểm đường
Trong tam giác FCD có MN//CD MN qua trung điểm CF nên MN qua trung điểm DF
Mặt khác AB qua trung điểm DF nên đường thẳng MN, AB, DF đồng quy
Bài Ta có:
2
2 , 2
2
x x y y
x2y2 2xy
Cộng vế với vế BĐT ta được:
2
3
2
x y x y xy
2
2
A x y
Từ tìm
1
2
A x y
ĐỀ SỐ 2 Bài a) Thay x = 25, ta tính
10
A
b) Rút gọn
2
B x
c) Ta có
4
2
2
A B
x
Ư(4) Từ tìm x = 0, x = 4.
Bài Gọi thời gian đội chpr hàng số hàng đội cần chở ngày theo kế hoạch x (ngày) y (tấn/ngày)
(147)Theo đề ta có hệ phương trình
200
( 1)( 4) 216
xy
x y
Giải ta x = 10; y = 20 (TMĐK) Kết luận
bài a) Biến đổi hệ phương trình ban đầu ta hệ
0
3 12
x y x y
Từ tìm x = 2, y =
b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (p): x2 - 2x - m2 + 2m = (1)
d cắt (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung Oy (1) có hai
nghiệm trái dấu Từ tìm
2
m m
Kết luận
2
m m
Bài a) HS tự chứng minh.
b) Chứng minh NMCNDA NME NHA .
c) Chứng minh ANB có E trực tâm AEBN mà có AKBN nên có
ĐPCM
Chứng minh tứ giác EKBH nội tiếp, từ có AKF ABM
d) Lấy P G trung điểm AC OP Chứng minh I thuộc đường tròn (G, GA)
Bài Biến đổi M, ta được
2
2 2
2 2
2
4x y x y x y
M
y x x y y x
x y
y x
Đặt ,
x y
a b
y x
ta ab = 1, suy a2 + b2 ≥ 2.
Từ ta có
2
2 2
2 2
3
4
2
2 4
a b a b
M a b
a b a b
(148)Dấu "=" xảy
x y a b
x y