Đang tải... (xem toàn văn)
cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón)1. Giả sử độ dài đường sinh của nón khôn[r]
(1)THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 -ĐỀ 1 MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1 x y
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
1 x
m x
Câu II (2 điểm)
a) Tìm m để phương trình
4
2 sin xcos x cos 4x2sin 2x m 0
có nghiệm 0;2
b) Giải phương trình
8
4
2
1
log log log
2 x 4 x x
Câu III (2 điểm)
a) Tìm giới hạn
3 2
0
3
lim
1 cos x
x x
L
x
b) Chứng minh C1000 C1002 C1004 C1006 C10098 C1001002 50 Câu IV (1 điểm)
Cho a, b, c số thực thoả mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c
M
B PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu Va (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trịn có phương trình C1:x2y2 4y 0 và C2:x2y2 6x8y16 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 C2
b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’. Tính thể tích khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh BM vng góc với B’C. Câu VIa (1 điểm)
Cho điểm A2;5;3 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Viết phương trình mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ A đến lớn nhất.
(2)a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d x y: 0 điểm A có hồnh độ
b) Cho tứ diện OABC có OA4,OB5,OC6 AOB BOC COA 60 Tính thể tích tứ diện OABC.
Câu VIb (1 điểm)
Cho mặt phẳng P x: 2y2z1 0 đường thẳng
1
: ,
2
x y z
d
5
:
6
x y z
d
Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng
ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm
a)
Tập xác định: Hàm số
1 x y
x
có tập xác định D R \
Giới hạn: 1
1 1
lim 1; lim ; lim
1 1
x x x
x x x
x x x
0,25
Đạo hàm: 2
' 0,
1
y x
x
Hàm số nghịch biến khoảng
;1
1; Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1; tiệm cận ngang y1 Giao hai tiệm cận I1;1 tâm đối xứng
0,25
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
b)
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C)sang đồ thị
' x
y C
x
Học sinh tự vẽ hình
0,5
Số nghiệm 1 x
m x
số giao điểm đồ thị
1 x y
x
và
y m
0,25
Suy đáp số 1; 1:
m m phương trình có nghiệm
1:
m phương trình có nghiệm
1 m 1:
phương trình vơ nghiệm
0,25
(3)a)
Ta có
4
sin os sin
2
x c x x
cos4x 1 2sin 2 x
0,25
Do 1 3sin 22 x2sin 2x 3 m
Đặt tsin 2x Ta có x 0;2 2x 0; t 0;1
Suy f t 3t22t 3 m t, 0;1
0,25
Ta có bảng biến thiên 0,25
Từ phương trình cho có nghiệm
10
0;
2 m
0,25 b)
Giải phương trình
8
4
2
1
log log log
2 x 4 x x
Điều kiện: 0x1 0,25
2 x3 x1 4 x 0,25
Trường hợp 1: x1
2 x2 2x 0 x2
0,25
Trường hợp 1: 0x1
2 x26x 0 x2 3
Vậy tập nghiệm (2) T 2; 3
0,25
Câu III a)
Tìm
3 2
0
3
lim
1 cos x
x x
L
x
Ta có
3 2
0
3 1 1
lim
1 cos cos
x
x x
L
x x
0,25
Xét
2
1
2
0
2 1
lim lim
1 cos 2sin 2 1 1
2
x x
x x
L
x
x x
0,25
Xét
3 2
2
2
0 2 2 3 2
3
3 1
lim lim
1 cos
2sin 3 1
2
x x
x x
L
x x
x x
0,25
Vậy L L 1L2 2 0,25
b)
Chứng minh C1000 C1002 C1004 C1001002 50
(4)
100 2 100 100
100 100 100 100
0 100 99
100 100 100 100 100 100 100
1
i C C i C i C i
C C C C C C C i
Mặt khác
1i2 1 2i i 2i 1i100 2i 50250 Vậy C1000 C1002 C1004 C1001002 50
0,5
Câu IV Cho a, b, c thoả a b c 3. Tìm GTNN của
4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b c
M
Đặt 2 ;3 ; , 2 ;3 ;4 , w 2 ;3 ;4 w
a b c c a b b c a
u v M u v
2 2 2
w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c M u v
0,25
Theo – si có 222b2c 3 23 a b c 6 Tương tự … 0,5 Vậy M 3 29. Dấu xảy a b c 1 0,25
Câu Va Học sinh tự vẽ hình
a) C1:I10; , R13;C2:I23; , R2 3 0,25 Gọi tiếp tuyến chung C1 , C2
2
:Ax By C A B
tiếp tuyến chung C1 , C2
2
1
2
2
2
;
; 3 4 3 2
B C A B
d I R
d I R A B C A B
Từ (1) (2) suy A2B
3
2
A B
C
0,25
Trường hợp 1: A2B.
Chọn B 1 A 2 C 2 5 : 2x y 0 Trường hợp 2:
3
2
A B
C
Thay vào (1)
2
2 0; : 0; :
3
A B A B A A B y x y
0,5
b)
Gọi H trung điểm BC
3
; '
2 a
d M BB C AH
0,25
2
' 12 ' 2 ' 13 ' 123
BB C a MBB C BB C a
S BB BC V AH S 0,25
Gọi I tâm hình vng BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có B C' MI B C; ' BC' B C' MB
0,5 Câu
VIa (Học sinh tự vẽ hình)
Gọi K hình chiếu A d K cố định;
(5)Trong tam giác vuông AHK ta có AH AK
Vậy AHmax AK mặt phẳng qua K vng góc với AK.
0,25
Gọi mặt phẳng qua A vng góc với d : 2x y 2z 15
3;1;4
K
0,25
mặt phẳng qua K vuông góc với AK :x 4y z 0 0,25
Câu Vb a)
Gọi
2
2
:x y
H
a b
(H) tiếp xúc với d x y: 0 a2 b24 1
0,25
162 42
4 4; 2
x y A H
a b
0,25
Từ (1) (2) suy
2
2 8; 4 : 1
8
x y
a b H 0,5
b)
(Học sinh tự vẽ hình)
Lấy B’ OB; C’ OC cho OA OB 'OC' 4
0,25 Lấy M trung điểm B’C’ OAM OB C' '
Kẻ AH OM AH OB C' '
0,25
Ta có
2
2
3
AM OM MH AH 0,25
1 15
.sin
2
OBC
S OB OC BOC
Vậy
1
10
3
OABC OBC
V AH S
0,25
Câu
VIb Gọi M1 ;3 ; , t t t N 5 '; '; 5 ' t t t
; 2 1 0;
d M P t t t
0,25
Trường hợp 1: t 0 M1;3;0 , MN 6 ' 4;4 ' 3; ' 5t t t
' 5;0;
P P
MN n MN n t N
0,25
Trường hợp 2: t 1 M3;0;2 , N1; 4;0 0,25
Kết luận 0,25
(6)Thời gian làm bài: 180 phút
I.PhÇn chung cho tất thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (3 điểm) Cho hàm số y=x+1
x 1 (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) giao điểm đồ thị Ox
3 Tìm m để đờng thẳng d: y = mx +1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Cõu II (3 im)
1,Giải phơng trình 3x
+31− x=4 (2)
2,Cho x, y hai số thực không âm thoả mÃn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = x
2
1+y+ y2
1+x
TÝnh tÝch ph©n I = ∫
1 e
xln xdx
Câu III (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), ABC cạnh a, SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABC
Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh học chơng trình đợc làm phần dành riêng cho chơng trình (phần phần 2)
1 Dµnh cho thí sinh học theo ch ơng trình chuẩn
Câu IV.a (2 điểm) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; 1), B(1; 2; 4), C(-1; 3; 1) Viết phơng trình mặt phẳng trung trực đoạn AB
Tìm tọa độ điểm M Oy cho M cách hai im B v C
Câu V.a (1 điểm) Parabol có phơng trình y2=2x chia diện tích hình tròn x2+y2=8 theo tØ sè nµo?
2 Dµnh cho thÝ sinh học theo ch ơng trình nâng cao Câu IV.b (2 ®iĨm)
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 2; 4), B(4; 0; 4), C(4; 2; 0), D(4; 2; 4) Lập phơng trình mặt cầu qua A, B, C, D
Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Câu V.b (1 điểm) Cho hình phẳng giới hạn đờng y=xex; x=2 y=0 Tính thể tích vật thể
trịn xoay có đợc hình phẳng quay quanh trục Ox
HNG DN
Câu1 (1.5 điểm)
*) Tập xác định D = R\{1} *) Sự biến thiờn
+) Đúng giới hạn, tiệm cận
+) Đúng chiều biến thiên, bảng biến thiên *) Vẽ đồ thị
(7)Phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A là:
1
2
y x
1 (0.5 điểm) Hoành độ giao điểm d (C) (nếu có) nghiệm phơng trình sau:
2
1
1
1 (2)
x x
x
x mx mx
Đặt f(x) = mx2 - mx - 2
d c¾t (C) hai điểm phân biệt (2) cã hai nghiƯm ph©n biƯt, x
0
8 (1)
m
m m f
KL
Câu2 (1®iĨm)
3
(2)
3 x
x
Đặt t = 3x, t > Phơng trình (1) trở thành
t2−4t+3=0⇔ t=1
¿
t=3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
+) t = x = +) t =3 x = KL…
2 (1 ®iĨm)
Tõ x + y = y = 2-x Do x, y nªn x [0; 2]
Ta đợc P =
2− x¿2 ¿ ¿
x2
3− x+¿
f(x) liªn tơc trªn [0; 2] x −3¿2
¿
x+1¿2¿ ¿
f '(x)=72(x −1)
¿
f(0) = f(2) = 4; f(1) =
MaxP=Max
[0;2] f(x)=4;MinP=Min[0;2] f(x)=1 (1®iĨm)
2 2
1 1
ln ( ) ln (ln )
2 2
e
e e
x x x
I ∫ xd x ∫ d x
2 2
1
1
2 2 4
e e
e xdx e x e
∫
VSABC=
1
3SA SΔABC
Do ABC đều, cạnh a nên SABC = a
2
√3
Do ta đợc VS ABC=a
√3
12
(8)(P) ®i qua trung ®iĨm M(3
2; 2;
5 2)
(P) có vtpt AB=(1;1;3)
Phơng trình mặt phẳng (P): -2x + 2y + 6z - 15 = (1®iĨm) M Oy M(0; a; 0)
theo bµi ta cã MB = MC MB2 = MC2
+ (a - 2)2 + 16 = + (a - 3)2 +
a = -5 VËy M(0; -5; 0)
Tính đợc diện tích hình trịn 8
Tính đợc diện tích phần parabol chắn hình trịn (phần nhỏ)
2 3 . Tính đợc diện tích phần cịn lại, từ suy tỉ số cần tính
Câu4;1 (1 điểm) Gọi (S) mặt cầu qua A, B, C, D
Phơng trình (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.
(S) ®i qua A, B, C, D
¿
4B+8C+D=−20 8A+8C+D=−32
8A+4B+D=−20 8A+4B+8C+D=−36
¿{ { {
¿
Giải hệ đợc A = -2, B = - 1, C = - 2, D =
Thư l¹i kết luận phơng trình mặt cầu (S) x2 + y2 + z2 - 4x -2y - 4z = 0.
2 (1 ®iĨm)
BC=(0;2;−4),BD=(0;2;0) .
Mặt phẳng (BCD) qua B có vtpt [BC,BD]=(8;0;0) Phơng trình mặt phẳng (BCD): x - =
Khoảng cách từ A tới (BCD) lµ d =
Cõu 5:Lập đợc cơng thức thể tích cần tìm V=
2 2
x
x e dx ∫
Tính V=
4
(5 1) e
(9)Equation Chapter Section
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Mơn: Tốn Khối A, B.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2
1 x y
x
(1)
1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc -
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phương trình sau:
1 1
2 2
x x
2) Giải phương trình lượng giác:
4
4
sin os
os
tan( ).tan( )
4
x c x
c x
x x
Câu III (1 điểm) Tính giới hạn sau:
3
2
ln(2 os2 ) 1 lim
x
e e c x x
L
x
Câu IV (2 điểm)
Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh l, bán kính đường trịnđáy r Gọi I tâm mặt
cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh đường trịn đáy nón gọi mặt cầu nội tiếp hình nón)
1 Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I;
2 Giả sử độ dài đường sinh nón khơng đổi Với điều kiện bán kính đáy diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất?
Câu V (1 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm ( ;0)
2
I
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
Câu VII. (1 điểm) Giải hệ phương trình :
2 2
2
3
2010 2009
2010
3log ( 6) 2log ( 2)
y x x
y
x y x y
- HẾT
-Ghi chú: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu gì! Đề thi thử lần 1
(10)- Cán coi thi khơng giải thích thêm!
(11)HƯỚNG DẪN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I.1
Hàm số:
2
2 1 x y x x
+) Giới hạn, tiệm cận: ( 1) ( 1)
2; 2; ;
lim lim lim lim
x x x x
y y y y
- TC đứng: x = -1; TCN: y =
+)
2
3
' 0,
1
y x D
x
+) BBT:
x - - +
y' + || +
y
||
+) ĐT:
1 điểm
I.2
+) Ta có I(- 1; 2) Gọi 0
3
( ) ( ;2 )
1 ( 1)
M I
IM
M I
y y
M C M x k
x x x x
+) Hệ số góc tiếp tuyến M:
0 '( ) M
k y x
x
+) ycbtk kM IM 9
+) Giải x0 = 0; x0 = -2 Suy có điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
1 điểm
II.1 +) ĐK: x ( 2; 2) \{0}
+) Đặt y 2 x2,y0Ta có hệ: 2
2 x y xy
x y
+) Giải hệ đx ta x = y =
1 3
2 ;
1 3
2 x x y y
+) Kết hợp điều kiện ta được: x =
1
2 x
1 điểm
II.2
+) ĐK: x k 2,k Z
4 2
4
) tan( ) tan( ) tan( ) cot( )
4 4
1 1
sin os sin os
2 2
2 cos os
x x x x
x c x x c x
pt x c x
+) Giải pt cos24x = cos8x = x k4
cos24x = -1/2 (VN)
+) Kết hợp ĐK ta nghiệm phương trình x k 2,k Z
1 điểm -2 -4 -6
(12)III 3
2
0
3
2 2
2 2 2
0 2 2
2
ln(2 os2 ) ln(1 os2 ) 1
lim lim
ln(1 2sin ) 1 ln(1 2sin )
lim lim
(1 ) 1
2sin 2sin 2sin 2sin 3 x x x x
e e c x x c x x
L
x x
x x x
x x x x x x x
x x 1 điểm
IV.1 +) Gọi rC bán kính mặt cầu nội tiếp nón, bán kính đường trịn nội
tiếp tam giác SAB
Ta có: 2 ( ) 2 2( )
SAB C C
C
S pr l r r SM AB
l r r l r
r r
l r l r
+) Scầu =
2
4 r C r l r l r
1 điểm
IV.2 +) Đặt :
2
2
2
( ) ,0
5
2 ( )
) '( )
( ) 5 1
2 lr r
y r r l
l r
r l
r r rl l y r l r r l +) BBT: r l l y'(r)
y(r) ymax
+) Ta có max Scầu đạt y(r) đạt max
5 r l
1 điểm
V +) Ta có
2 2
2 2
2 2
2
( )( )
( )
( )
2
2 ( ) ( )
( ) ( )
2
P x y z x y z xy yz zx
x y z x y z P x y z x y z
x y z x y z
P x y z x y z
+) Đặt x +y + z = t, t 6(Bunhiacovxki), ta được:
3
1 ( )
2
P t t t
+) P t'( ) 0 t 2, P( 6) = 0; P( 2)2 ; P( 2) 2
+) KL: M Pax 2 2;MinP2
1 điểm VI +) ( , ) d I AB
AD = AB = 2 BD = 5.
(13)+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
+) Tọa độ A, B nghiệm hệ:
2
2
1 25 2
( )
( 2;0), (2; 2)
2
2 2
0 x y
x y
A B
x x y
y
(3;0), ( 1; 2)
C D
VII 2 2
2
3
2010
2009 (1)
2010
3log ( 6) 2log ( 2) 1(2)
y x x
y
x y x y
+) ĐK: x + 2y = > x + y + > +) Lấy loga số 2009 đưa pt:
2 2
2009 2009
log ( 2010) log ( 2010)
x x y y
+) Xét CM HS f t( ) t log2009(t2010),t 0 đồng biến,
từ suy x2 = y2
x= y, x = - y
+) Với x = y vào (2) đưa pt: 3log3(x +2) = 2log2(x + 1) = 6t
Đưa pt dạng
1
1
9
t t
, cm pt có nghiệm t = x = y =7
+) Với x = - y vào (2) pt: log3(y + 6) = y = - x = Ghi chú: