Viết phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.. Giám thị không giải thích gì thêm..[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn : TỐN - Khới A khối A1 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu (2,0 điểm) Cho hàm số yx4 2m1x2 m2 1 , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin 2xcos 2x2cos -1x
Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
2
3 22
1
x x x y y y
x y x y
(x, y R)
Câu (1,0 điểm) Tính tích phân
2
1 ln(x 1)
I dx
x
Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng
cách hai đường thẳng SA BC theo a
Câu (1,0 điểm) : Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức 2
3x y 3y z 3z x 6
P x y z
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử 11 1;
2
M
và
đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
1
x y z
điểm I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn1Cn3 Tìm số hạng chứa x5
trong khai triển nhị thức Niu-tơn
1 14
n
nx x
, x ≠
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2
+ y2 = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1
x y z
, mặt phẳng (P) : x + y – 2z + = điểm A (1; -1; 2) Viết phương trình đường thẳng cắt d (P) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN
Câu 9.b.(1,0 điểm) Cho số phức z thỏa 5( ) z i
i z
Tính môđun số phức w = + z + z
2
-Hết - Thí sinh không dùng tài liệu Giám thị không giải thích thêm
(2)PHÂN TÍCH VÀ LỜI GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1:
a) Với m = hàm số trở thành y = x4 – 2x2
i TXĐD ii Sự biến thiên
y’ = 4x3
– 4x, y’ =
0 1 x x x
lim
xy Bảng biến thiên
x - -1 + y’ + +
y + + -1 -1
Hàm số đồng biến (-1; 0) (1; +), nghịch biến (-;-1) (0; 1)
Hàm số đạt cực đại x = yCĐ = 0, đạt cực tiểu
tại x = ±1 yCT = -1 iii Đồ thị
Đồ thị hàm số đối xứng qua Oy b) Ta có y’ = 4x3
– 4(m + 1)x y’ = 2
1 x
x m
Hàm số có cực trị m + > m > -1 Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số A (0; m2
), B (- m1; – 2m – 1); C ( m1; –2m – 1) Ta có AB2 m m1 ;4 AC2 m m1 ;4 BC2 4m1 Dễ thấy AB = AC nên tam giác vng A Do tam giác ABC vng
4 4
2 2 1( )
2 1
0
m l
AB AC BC m m m m m
m
KL : m =
Câu
2 sin cos 2 cos -1 sin cos cos cos
2
cos 2
2 ,
1 sin cos sin
2
6 2
3
x x x
x x x x
x k
x k
x
x k k
x x x
x k
Câu
3
2 2
2 2
3 22 2 2 2 3 2 2 18 44 0
1
2 2
2
x x x y y y x y x y xy x y x y
x y x y x y x y
x y
-1
2
O
-
(3)
2
2
2 23 41
2
x y xy x y x y
x y xy x y
Đặt u x y v, xy ta
2 2
2 45 82
2 23 41
3
1 2
2
4
u
u u u
u uv u
v
v u u
u v u
Giải ta nghiệm hệ 3; ; 1;
2 2
Câu
1 ln(x 1)
I dx x = 3 2 1
1 ln(x 1)
dx dx
x x
= 13
1 x
J
=
3J Với
2
ln(x 1)
J dx x Đặt ln 1 dx
u x du
x dx dv v x x suy
3 3
3
1
1 1
3
1 ln ln
ln( 1) ln ln
1 3
ln 2 ln
ln ln ln
3
dx dx dx
J x x x
x x x x x
Vậy I = ln 2ln 3 3 Câu
* Do góc SC (ABC) 600 nên
60
SCH Xét tam giác ACH có
2 2
2 2
2
2 cos
4
9
CH AC AH AC AH CAH
a a a
a
Suy
3 a CH
Do 21
.tan 60
3
a
SH CH
Vậy , 21
3 12
a a a
V S ABC
* Gọi D điểm cho ACBD hình bình hành Do tam giác ABC nên ACBD hình thoi cạnh a
Do
/ / , , ,
BC ADd SA BC d BC SAD d B SAD
Lại có , ,
2
BA HAd B SAD d H SAD
Gọi F hình chiếu H lên AD, K hình chiếu H lên SF Ta có
,
AD SHF ADHKHK SAD d H SAD HK Gọi E trung điểm AD suy
2 a
BE Do / / 2
3 3
HF AH a
HF BE HF BE
(4)Vậy ta có
2 2 2
1 1 1 24 42
12
21
3
a HK
HK HS HF a a a
Vậy , 3 42 42
2 12
a a
d SA BC HK
Câu Do x + y + z = nên ba bất đẳng thức sau: xy 0, yz 0, zx có bđt Khơng tính tổng quát ta giả sử xy Ta có z = - (x + y)
Ta có P3x y 32y x 32x y 12(x2y2xy)
2
2
3 2.3 12[( ) ]
y x x y x y
x y xy
3
3 2.3
x y x y
x y
Đặt t =
0
x y , xét f(t) = 2.( 3)3t2 3t
f’(t) = 3
2.3( 3) ln 3t 2 3( 3.( 3) ln 1)t 0 f đồng biến [0; +) f(t) f(0) =
Mà 3x y 30 = Vậy P 30 + = 3, dấu “=” xảy x = y = z = Vậy P = A Theo chương trình Chuẩn :
Câu 7a
Ta có
1
1 2 3
tan ; tan tan
1
2 1 .
2
BAM DAN BAM DAN
Suy BAM DAN450MAN45
Giả sử A (a; 2a – 3), ( , )
2
AM
d M AN ( 11)2 (2 7)2 45
2 2
a a
a = hay a = A (1; -1) hay A (4; 5)
Câu 8a Ta có đường thẳng d qua J(-1; 0; 2) có vecto phương ud = (1; 2; 1) Giả sử bán kính mặt cầu R Do tam giác IAB vng cân I nên ( , ) 2 ( , )
2
R
d I d R d I d
Mà ta có [IJ u, d] ( 2;0; 2)
nên
IJ, 2 3 2 6
( , )
3
d d u
d I d R
u
Vậy phương trình mặt cầu (S) : 2 ( 3)
3 x y z Câu 9.a ĐK n3,n
1
5Cnn Cn ( 1)( 2) 1 2 30 28
n n n n
n n n n n
n
Vậy n = thỏa mãn Khi
7
2 7
1
7
0
1
2 2
k k
k
k k k
k
k k
x x
x C x C x
Số hạng chứa x
5
tương ứng với k thỏa
mãn 3k – = Suy k = Vậy số hạng chứa x5 74 41 35
2 16
C x x B Theo chương trình Nâng cao :
B A
C D
N
(5)Câu 7b Phương trình tắc (E) có dạng :
2
2 1, ( )
x y
a b
a b Ta có a = (E )cắt (C ) điểm tạo thành hình vng nên :
M (2;-2) thuộc (E) 42 42
a b
16
3 b
Vậy (E) có dạng
2
1 16 16
3
x y
Câu 8b M d M( ; ; 2 t t t t) ( R); A trung điểm MN N(3 ; 2 t t; 2t) ( )
N P t N( 1; 4;0) ; qua A N nên phương trình có dạng :
2
x y z Câu 9b Giả sử z x yi, ta có
5( ) z i
i z
5( )
2 x yi i
i x yi
5 ( 1)
2 ( 1)
x y i
i
x yi
5x 5(y 1)i 2(x 1) (x 1)i 2yi y
5x5(y1)i(2x 2 y) ( x )y i
2
1 5( 1)
x y x
x y y
3
7
x y
x y
1 x y
Vậy z = + i;
Do 2
1 (1 ) (1 )