Hai de thi Dai hoc va bai giai De 3 va 4

[r]

ĐỀ THI ĐẠI HỌC SỐ CÂU I:

Cho hàm số:yx4  (m2 10)x2 9

1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ứng với m=0

2.Chứng minh với m0,đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Chứng minh số giao điểm có hai điểm nằm khoảng (-3,3) có hai điểm nằm ngồi khoảng (-3,3)

CÂU II:

1.Giải bất phương trình : 1x  1 x x

2 Giải phương trình:

2

2

3

log

2

x x

x x

x x

   

  

 

 

 

3.Cho tam thức bậc hai: f x( )x2 ax b

Chứng minh với giá tṛi a b, số f(0) , (1) , ( 1)f f  có

số lớn CÂU III:

Chứng minh tam giác ABC ta ln có: cos cos cos

2 2 sin sin sin

A B C A B C

tg tg tg

A B C

  

  

 

CÂU IV:

Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ với cạnh a.Giả sử M N trung điểm BC DD’

1.Chứng minh MN song song với mặt phẳng (A’BD) 2.Tính khoảng cách hai đường thẳng BD MN theo a CÂU V:

1.Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất số có sáu chữ số khác nhau.Hỏi số thiết lập được,có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?

2.Tìm họ nguyên hàm hàm số :

cot ( )

1 sin gx f x

x 



ĐÁP ÁN CÂU I:

Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + (C m) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m= y = x4 – 10x2 +

 TXD: D = R

3

0 '

5 x y

x     

  '' 12 20

5 44

''

3

y x

y x y

 



    

 điểm uốn

5 44 44

; ;

3 9

   

  

   

   

   

 BBT:

 Đồ thị :

Cho

2 1

0

2 9

x x

y

x x

   



   



  



2) Chứng minh với m0, (Cm) luôn cắt Ox điểm phân biệt có hai điểm nằm (-3,3) điểm nằm (-3,3).

Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) Ox ( 10) 9 0

Đặt tx t2( 0)

Phương trình trở thành: ( 10) 9 0 t  m  t  (2) Ta có:

      

   

 

     

m m

S P

m m

, 10

, 36 ) 10 (

2

2

 < t1 < t2

 (1) có nghiệm phân biệt

2 1

x x x x

    

Đặt f(t) =t2 (m210)t9

Ta có: af(9)=81 9 m2 90 9 9m2 0,m0 1 2

2 ( 3;3)

1

2 9 2 ( 3;3)

3

2 1

t t

x x

x x

x x x x

   

    

 

   

 

  



        

Vậy (Cm) cắt Ox điểm phân biệt điểm ( 3,3)và điểm  ( 3,3)

CÂU II:

1) Giải bất phương trình: 1x 1x x

Điều kiện:

1

1

1

x

x x

  

    

 



Ta có: Bất phương trình

2

1

x

x

x x

 

  

 

2x x x x

    

(*) Xét x =0: Hiển nhiên (*) Vậy x =0 nghiệm

Xét   1 x 0: Khi (*) trở thành:2 1 x 1 x

2 (1 ) (1 )

2

1

x x x

x x

      

    

0 x

Xét 0x1 (*) trở thành: 2 1 x 1 x

2 0

x x

     .

Tóm lại nghiệm bất phương trình là: 0 x 1.

2) Giải phương trình:

2

2

3

log

2

x x

x x

x x

   

  

 

 

 

Đặt:

2 3

2

2

u x x

v x x

    



   



Hiển nhiên u, v>0, x v u x  2 x . Khi phương trình trở thành:

log

u

v u v   (*)

Nếu u > v th́ u v  Do đó: VT= log2

u v  VP = v-u <

Suy phương trình vơ nghiệm

Nếu u < v thì0 u v

 

Do đó:

VT = log2 u v  VP = v – u >

Suy phương trình vơ nghiệm Vậy: (*)  u v

Nghĩa là:

2 3 2 4 5

2

1

x x x x

x x

x x

    

   

   

Tóm lại nghiệm phương trình là: x = -1, x= -2

3) Cho f(x)=x2 + ax + b Chứng minh số | f(0) |, | f(1) |, | f(-1) | có số

lớn hay

Giả sử số f o( ) , (1) , ( 1)f f  nhỏ

2 nghĩa là:

1 1

( ) (0)

2 2

1 1

(1) (1)

2 2

1 1

( 1) ( 1)

2 2

1

(1)

2

1

1 (2)

2

1

1 (3)

2

f o f

f f

f f

b a b a b

 

   

 

 

 

    

 

 

 

     

 

 



  

  

     

 

    

 

(2) cộng (3) ta : -1 < + 2b <

3

2 b

    

Mâu thuẫn với (1)

Vậy có số f o( ) , (1) , ( 1)f f  lớn hay 2. CÂU III:

Chứng minh ABC ta ln có:

tg A

+ tg B

+ tg C

= A B C

C B

A

sin sin

sin

cos cos

cos

 

 



(1) Ta có:

2 cos cos cos 2cos cos 2sin

2 2

A B A B C

A B C    

= 2sin cos cos 4sin sin sin2 2

C A B A B  A B C

     

 

sin sin sin 2sin cos 2sin cos

2 2

A B A B C C

A B C   

=2cos cos cos 4cos cos cos2 2

C A B A B  A B C

 

 

 

Do đó:

(1)

1 sin sin sin

2 2

2 2 cos cos cos

2 2

A B C

A B C

tg tg tg

A B C



sin s s sin s s sin s s

2 2 2 2 2

A B C B A C C A C

co co co co co co

   sin sin sin

2 2

A B C

 

sin s s sin sin s sin s sin s

2 2 2 2 2

A B C B C A B C C B

co co co co co

   

      

   

sin s s sin

2 2

A B C A B C

co  co 

  

2

sin s

2

A A

co

  

(đúng) Vậy đẳng thức cho

CÂU IV:

Cách 1:

A ’ F D

C ’ B ’

A

H

O K

M C

E

I D

B

N

1) MN//(A’BD)

Gọi E, F trung điểm CD A’D’ Ta có FN ME cắt IAD

// '

( ) //( ' ) //( ' ) //

FN A D

FIM A BD MN A BD

ME BD 

 

 

2) Khoảng cách BD MN

Ta có (A’BD)//(FIM) nên d(BD,MN)=d((A’BD),(FIM)) Veơ AH A O'

Ta có BDAH

( ' )

AH A BD

 

Gọi  khoảng cách từ A đến (FIM),ta có:

2

3

AH AO

AH Ak

   



(( ' ),( )) d A BD FIM

 

1

2

a

AH AH

  

A ’ Z

D ’

D Y

B A

C

B ’ C ’

M X

N

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ Suy ra: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A’(0, 0, a), B’(a;0;a), C’(a, a, a), D’(0, a, a)

Ta có:

M, N trung điểm BC DD’ nên ( , ,0)2 a M a

(0, , )2 a

N a

1) Chứng minh MN//(A’BD): Ta có: A B' ( ,0,a a)

' (0, , ) A D a a 

Suy pháp véc tơ (A’BD) là: 2 ' , ' ( , , ) nA B A D  a a a

 

                            

Ta có véc tơ phương MN là: , ,

2 a a MN   a 

 



Ta lại có:

3

3

2

a a

n MN  a   

//( ' ) n MN MN A BD

 



 

2) Tính khoảng cách MN BD Gọi  mặt phẳng chứa MN BD

 Pháp véc tơ  là:

2 2

, ( , , )

2 2

a a a

n MN BD

      

  

Hay n (1,1,1)



Mặt khác  qua M nên có phương trình là: 1( ) 1( ) ( 0)

2 a

x a  y  z  2x 2y 2z 3a

Vậy d(MN, BD) = ( , ) a d B 

CÂU V:

1)

Số số có chữ số khác là: p6 720 số

Số số có chữ số khác có số cạnh là: (2!4!).5=240 số Suy số số có chữ số khác có số không cạnh là:

720 -240 = 480 số 2)

Ta có:

cot cos

1 sin sin (1 sin )

(sin ) sin (1 sin )

1

(sin ) sin sin

sin ln sin ln sin ln

1 sin

gx x

dx dx

x x x

d x

x x

d x

x x

x

x x C C

x 

 

 





 



  

 

     