Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox.. Câu IV : (1điểm) Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a..[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN I NĂM 2010 TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG I Mơn Tốn
(Thời gian làm bài: 180 phút)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số y = -x3+3x2+1 1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm m để phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt. Câu II (2,0 điểm ).
Giải bất phương trình:
2
x x
x x 16
2
2.Giải phương trình:
2
3 sin sin tan
2
x x x
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
ln 2x
x x
ln
e dx I
e e
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a Đáy tam giác ABC cân
BAC 120 , cạnh BC=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC.Gọi M trung điểm SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)
Câu V (1,0 điểm).
Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh: 3 3
3 3
1 1 b c c a a b
a b c
a b c a b c
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh làm hai phần (phần A phần B). A Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a(2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x2y2 4x 2y 0 điểm A(4;5) Chứng minh A nằm ngồi đường trịn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2
2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 mặt cầu (S):
2 2
x y z 2x 4y 2z 0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) song song với mặt phẳng (P)
(2)Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i z 3i Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơ đun nhỏ
B Theo chương trình nâng cao : Câu VI.b(2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân A có chu vi 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2x y 2 0 B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC
Câu VII.b(1,0 điểm).
Cho hàm số (Cm):
x x m
y
x
(m tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox hai điểm phân biệt A,B cho tiếp tuyến (Cm) A, B vng góc
……….Hết……… SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 1
KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN TỐN
Câu Nội dung Điểm
I.1
(1 điểm) TXĐ: R Sự biến thiên: y' = -3x2 + 6x = -3x(x - 2) y' =
x x
Hàm số nghịch biến (-∞;0) (2;+∞) Hàm số đồng biến (0;2)
Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = xlim y = + ∞, xlim y = - ∞
Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y' +
+ ∞ y
-∞ Đồ thị: y'' = -6x +
y'' = x = điểm uốn I(1;3) tâm đối xứng đồ thị
0,25
0,25
0,25
(3)I.2 (1 điểm)
PT cho -x3 + 3x2 + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m2 + Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đt y = k Từ đồ thị (C ) ta có: PT có nghiệm phân biệt < k < 5
m (-1;3)\ 0;2 .
0,25 0,25 0,25 0,25 II.1
(1 điểm)
Đk:
x x
x Đặt t = x 4 x 4 (t > 0) BPT trở thành: t2 - t -
t 2(L)
t
Với t 2 x216 - 2x 2
( )
0 ( )
4( 16) (9 )
a
b
x x
x - 2x x - 2x
(a) x
9 2.
(b)
145
36 x <2.
Tập nghệm BPT là: T=
145 ; 36
0,25
0,25
0,25
0,25
II.2
(1 điểm) Đk: cosx x k
PT cho 3sin2x + sinxcosx -
sinx cosx = 0 sinx( 3sinx + cosx -
1
cosx) = 0
sinx
1
3 sinx cos
osx
x c
Sinx = x = k.
3sinx + cosx -
cosx = 3tanx + -
1
cos x =
tan2x - 3tanx =
t anx
t anx
x k
x k
3
Vậy PT có họ nghiệm: x = k, x = 3 k
0,25
0,25
0,25
0,25
III
(1 điểm) Đặt t = x
e 2 , Khi x = ln2 t = 0 x = ln3 t = 1 ex = t2 + e2x dx = 2tdt
(4)I =
1
2
(t 2)tdt
t t
=
2
2t
(t )dt
t t
=
1
0
(t 1)dt
+
1
2
d(t t 1)
t t
=
2
(t 2t) 0
+ 2ln(t2 + t + 1)
1
0 = 2ln3 - 1
0,25
0,25 IV
(1 điểm) Áp dụng định lí cosin ABC có AB = AC =
2a
S ABC =
2AB.AC.sin1200 =
a
3 Gọi H hình chiếu S lên
(ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Theo định lí sin ABC ta có:
BC
sin A = 2R R =
2a
3 = HA
SHA vuông H SH = SA2 HA2 =
a
VS.ABC =
1
3S SBC .SH =
2
a
9
Gọi hA, hM khoảng cách từ A, M tới mp(SBC)
M A
h SM
h SA 2 hM = 2hA
SBC vuông S S SBC = a2 Lại có: VS.ABC =
1
3S SBC .hA hA =
S.ABC SBC
3V
V = a
3
Vậy hM = d(M;(SBC)) =
a
0,25
0,25
0,25
0,25
V
(1 điểm) Ta cm với a, b > có a
3 + b3 a2b + ab2 (*)
Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0 (a + b)(a - b)2 đúng
Đẳng thức xẩy a = b Từ (*) a3 + b3 ab(a + b) b3 + c3 bc(b + c) c3 + a3 ca(c + a)
2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1) Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có:
1
a +
1
a +
1
a 3
3
3 3
1 1
a b c =
abc (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta BĐT cần cm
Đẳng thức xẩy a = b = c
0,25
0,25
0,25
0,25 VI.a.1
(1 điểm)
Đường trịn (C) có tâm I(2;1), bán kính R =
Ta có IA = > R A nằm ngồi đường trịn (C)
(5)Xét đường thẳng 1: x = qua A có d(I;1) = 1 tiếp tuyến (C)
1
tiếp xúc với (C ) T1(4;1)
T1T2 IA đường thẳng T1T2 có vtpt n=
1
2 IA =(1;2)
phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1)
x + 2y - =
0,25 0,25 0,25
VI.a.2
(1 điểm) Mp(P) có vtpt nP
= (1;1;-2) (S) có tâm I(1;-2;-1)
IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng u tiếp xúc với (S) A u
IA Vì // (P) u
nP
Chọn u0
= [IA ,nP
] = (-4;6;1)
Phương trình tham số đường thẳng :
x 4t
y 6t
z t
0,25 0,25 0,25 0,25
VII.a
(1 điểm) Đặt z = x + yi (x; y R)
|z - i| = |Z - - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
x - 2y - = Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z đường thẳng x - 2y - =
|z| nhỏ |OM | nhỏ M hình chiếu O M(
3 5
;-6
5) z =
3 5
-6 5i
Chú ý:
HS dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
0,25 0,25 0,25 0,25
VI.b.1 (1 điểm)
B = d Ox = (1;0)
Gọi A = (t;2 t - 2) d
H hình chiếu A Ox H(t;0) H trung điểm BC
Ta có: BH = |t - 1|; AB = (t1)2(2 2t 2)2 3|t - 1| ABC cân A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| 16 = 8|t - 1|
t
t
Với t = A(3;4 2), B(1;0), C(5;0) G(3;
4 )
Với t = -1 A(-1;-4 2), B(1;0), C(-3;0) G(1;
3
)
0,25
0,25 0,25
0,25
VI.b.2
(1 điểm) Gọi d đường cao tương ứng với đỉnh A
ABC
d giao tuyến (ABC) với ( ) qua A vng góc với BC.
(6)Ta có: AB = (1;3;-3), AC = (-1;1;-5) , BC = (-2;-2;-2) [AB ,AC ] = (18;8;2)
mp(ABC) có vtpt n =
1
4[AB ,, AC ] = (-3;2;1) mp() có vtpt n
' =
-1
2 BC = (1;1;1) Đường thẳng d có vtcp u =[n
, n
' ] = (1;4;-5)
Phương trình đường thẳng d:
x t
y 4t
z 5t
0,25
0,25 0,25
VII.b (1 điểm)
Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox:
2
x x m
x
=
x x m
x
(Cm) cắt Ox điểm phân biệt pt f(x) = x2 - x + m = có nghiệm phân biệt khác
0 f (1)
1 m
4 m
(*)
Khi gọi x1, x2 nghiệm f(x) =
1
1
x x
x x m
Ta có: y' =
f '(x)(x 1) (x 1) '.f (x) (x 1)
Hệ số góc tiếp tuyến (Cm) A B là: k1 = y'(x1) =
1 1
2
f '(x )(x 1) f (x ) (x 1)
=
1
f '(x ) (x 1) =
1
2x x 1
Tương tự: k1 = y'(x2) = 2
2x
x 1 ( f(x1) = f(x2) = 0)
Theo gt: k1k2 = -1 1
2x x 1.
2
2x
x 1 = -1
m =
1
5( thoả mãn (*))
0,25
0,25
0,25
(7)SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010 (lần 2) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN Mơn: Tốn – Khối A, B, V
Thời gain làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/04/2010
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: ( điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
2x y
x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Chứng minh đường thẳng d: y = - x + truc đối xứng (C) Câu II: (2 điểm)
1 Giải phương trình:
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx +
2 0
2sinx -
x
2 Giải bất phương trình: x2 3x 2.log x 2 x2 3x 2.(5 log 2) x Câu III: ( điểm)
Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thi (C) hàm số y = x3 – 2x2 + x + tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x0 = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox
Câu IV: (1điểm) Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A’C
a 15
5 Tính thể tích khối lăng trụ
Câu V:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
(2x 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1)
y-1 (y 1)(x 1) m x (2)
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần 2)
(8)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1; phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – = (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường trịn với m.Gọi đường trịn tương ứng (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
x y z
1 1
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; - 1;0)
Câu VII.b: ( điểm)
Cho x; y số thực thoả mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất biểu thức P = 5xy – 3y2
Phần 2: Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: ( điểm)
1.Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) hai đường thẳng
x y z
d :
1
x y z
d :
1
Chứng minh đường thẳng d1; d2 điểm A nằm mặt phẳng Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC
2.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có hai tiêu điểm F (1 3;0); F ( 3;0)2 qua điểm
1
A 3;
2
Lập phương trình tắc (E) với điểm M elip, tính biểu thức: P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M
Câu VII.b:( điểm) Tính giá trị biểu thức:
S C 20100 3C220103 C2 20104 ( 1) C k 20102k 3 1004C20102008 31005C20102010
-Hết -Hướng dẫn giải
Câu I:
2 Giao điểm hai tiệm cận I(- 1;2) Chuyển hệ trục toạ độ Oxy IXY:
x X y Y
Hàm số cho trở thành : Y =
3
X
hàm số đồng biến nên (C) đối xứng qua đường thẳng Y = - X
Hay y – = - x – y = - x + Câu II: Điều kiện:
3 sinx
2
x
cos
(9)Biến đổi pt về: 4cos3x - cos2x – cosx + =
osx = 1 cosx =
2
c
Điều kiện < x < x ≥
x2 3x 2.log x 2 x2 3x 2.(5 log 2) x
2
2
2log x 5log x log x
Nghiệm: < x < ≤ x ≤
Câu III: Phương trình tiếp tuyến : y = x +
Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 – 2x2 =
x x
V =
2
2 2
0
(x 4) dx (x 2x x 4) dx
Câu IV: Gọi M; M’ trung điểm AB A’B’ Hạ MH M’C AB // (A’B’C) d(AB,A’C) = MH
HC =
a 15
10 ; M’C = a 15
2 ; MM’ = a
Vậy V =
3 a
Câu V: Đặt f(x) = (2x + 1)[ln(x + 1) – lnx] TXĐ: D = [0;+) =
x (2x 1) ln
x
Gọi x1; x2 [0;+) với x1 > x2
Ta có :
1
1
1
1
2x 2x
f (x ) f (x )
x x
ln ln
x x
: f(x) hàm số tăng
Từ phương trình (1) x = y
(2) x (x 1)(x 1) m x 0
4
x x
2 m
x x
Đặt X =
4
1
x x
≤ X <
Vậy hệ có nghiêm phương trình: X2 – 2X + m = có nghiệm ≤ X < Đặt f(X) = X2 – 2X f’(X) = 2X –
hệ có nghiêm -1 < m ≤ Câu VI.a
1 (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính
2
R ' (m 1) 4m 5
OI (m 1) 24m2 , ta có OI < R’
(10)Giải m = - 1; m =
3
2 Gọi I tâm (S) I(1+t;t – 2;t) Ta có d(I,(P)) = AI t = 1; t =
7 13
(S1): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1; (S2): (x –
20
13)2 + (y +
19
13)2 + (z –
7 13)2 =
121 139
Câu VII.a
2
2
5xy 3y P
x xy y
Với y = P = 0
Với y ≠ đặt x = ty; ta có:
2
5t
P Pt (P 5)t P
t t
(1)
+ P = phương trình ( 1) có nghiệm t =
3
+ P ≠ phương trình ( 1) có nghiệm ’ = - P2 – 22P + 25
25
≤ P ≤ Từ suy maxP , minP
Câu VI.b:
1 d1 qua M0(2;3;3) có vectơ phương a (1;1; 2)
d2 qua M1(1;4;3) có vectơ phương b (1; 2;1)
Ta có a,b 0 va a, b M M 10
(d1,d2) : x + y + z – = A (d1,d2) B(2 + t;3 + t;3 - 2t);
t t
M ; ;3 t
2
d2 t = - M(2;2;4) C( 1+t;4-2t;;3+t) : AC a t = C(1;4;2)
2 (E):
2
2 2
x y
1
a b a 4b , a2 = b2 +
2
x y
1
P = (a + exM)2 + (a – exM)2 – 2(x2MyM2 ) – (a2 – e2x2M) = 1 Câu VII.b:
Ta có:
2010 2010 2 k k 2k 1004 2008 1005 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
1 i 3 i 3 2 C 3C 3 C ( 1) C 3 C C
Mà
2010 2010
2010 2010 2010 2010 -2010 -2010
1 i i (cos sin ) cos sin
3 3
= 2.22010cos670 2.22010 Vậy S = 22010