Đang tải... (xem toàn văn)
2 giờ.. Khi cất cánh thì trời có gió với vận tốc gió là 30 km/h. Biết rằng khi đi trời ngược gió và khi quay trở về sân bay thì trời xuôi gió. Khi thực hiện đội đã cày 52 ha mỗi ngày, v[r]
(1)Chương I: LÝ LUẬN CHUNG
§1 Phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn 1) Biểu học sinh có khiếu
- Có khả thay đổi phương thức hành động để giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện
Vd: “Xếp hình vng que diêm?” “ Xếp hình tam giác que diêm?” “ Xếp hình tam giác que diêm?” “ Xếp 10 hình tam giác que diêm?”
- Có khả chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể từ cụ thể sang trừu tượng khái quát
Vd: Cho dãy số 5, 8, 11, 14
Tính số hạng thứ 2007 dãy số? + Số hạng thứ hai : + × + Số hạng thứ ba : + × + Số hạng thứ tư : + × + Số hạng thứ năm: + ×
Hãy so sánh số hạng với số hạng đầu khoảng cách dãy số để tìm quy luật?
- Có khả xác lập phụ thuộc kiện theo hai hướng xuôi ngược lại
Vd:
+ Sự phụ thuộc tổng giá trị số hạng xác định phụ thuộc số hạng vào biến đổi tổng
abc = 20 × (a + b + c)
80 × a = 10 × b + 19 × c 19 × c 10 c = 0
a = 1; b = 8
+ Điều kiện số chia hết cho 3, 5, 9, 4, 11 ngược lại?
- Thích tìm lời giải tốn theo nhiều cách xem xét vấn đề nhiều khía cạnh khác
Vd:
Nói chung tích số tự nhiên số lớn thừa số Đặt vấn đề tìm thí dụ phủ định kết luận
- Có quan sát tinh tế nhanh chóng phát dấu hiệu chung riêng, nhanh chóng phát chỗ nút làm cho việc giải vấn đề phát triển theo hướng hợp lý độc đáo
- Có trí tưởng tượng hình học cách phát triển Các em có khả hình dung biến đổi hình để có hình cùng diện tích, thể tích
(2)2) Biện pháp sư phạm:
- Thường xuyên củng cố kiến thức vững cho học sinh hướng dẫn em đào sâu kiến thức học thông qua gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn sâu vào kiến thức trọng tâm học: Yêu cầu học sinh tự tìm ví dụ minh họa, phản ví dụ dễ (nếu có), thí dụ cụ thể hóa tính chất chung, đặc biệt thông qua việc vận dụng thực hành, kiểm tra kiến thức tiếp thu, tập làm học sinh
- Tăng cường số tập khó trình độ chung địi hỏi vận dụng sâu khái niệm học vận dụng cách giải cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tổng hợp
- Yêu cầu học sinh giải toán nhiều cách khác Phân tích so sánh tìm cách giải hay nhất, hợp lý
Vd: Bài toán cổ: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Tính số gà? Số chó? ’’
- Tập cho học sinh thường xuyên tự lập đề toán giải
Vd: Lập đề tốn dạng tìm hai số biết tổng hiệu biết tổng tỷ số hai số
- Sử dụng số tốn có chứng minh suy diễn (nhất tốn hình học) để hình thành bồi dưỡng cho học sinh phương pháp chứng minh toán học Vd: Cho ▲ABC có điểm E thuộc AB F thuộc BC cho EA = × EC, FB = × FC; Gọi I giao điểm AF BE; Tính tỷ số IF : IA IE : IB
- Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử số nhà toán học xuất sắc đặc biệt nhà toán học trẻ tuổi số phát minh toán học quan trọng; đặc biệt biệt gương nhà toán học nước, học sinh giỏi toán địa phương thành đạt sống để giáo dục tình cảm yêu thích mơn tốn kính trọng nhà tốn học
- Tổ chức hội toán học, thi đố tốn học có điều kiện tổ chức “ câu lạc học sinh yêu toán”
- Bồi dưỡng cho em phương pháp học toán cách tự tổ chức tự học nhà gia đình
- Kết hợp việc bồi dưỡng khả học tốn với việc học tốt mơn Tiếng Việt để phát triển dần khả sử dụng ngôn ngữ
§2 SUY LUẬN TỐN HỌC 1) Suy luận gì?
Suy luận trình suy nghĩ từ hay nhiều mệnh đề cho trước rút mệnh đề Mỗi mệnh đề cho trước gọi tiền đề suy luận Mệnh đề rút gọi kết luận hay hệ
Ký hiệu: X1, X2, , Xn Y
Nếu X1, X2, , Xn Y ta gọi kết luận Y kết luận logic hay
(3)Ký hiệu suy luận logic:
1, 2, , n
X X X
Y 2) Suy diễn
Suy diễn suy luận hợp logic từ chung đến kết luận cho riêng, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy diễn việc rút mệnh đề từ mệnh đề có thực theo qui tắc logic
- Quy tắc kết luận:
,
X Y X
Y
- Quy tắc kết luận ngược:
,
X Y Y
X
- Quy tắc bắc cầu:
,
X Y Y Z
X Z
- Quy tắc đảo đề:
X Y
Y X
- Quy tắc hoán vị tiền đề:
X Y Z
Y X Z
- Quy tắc ghép tiền đề:
X Y Z
X Y Z
-
X Y Z
X Y
X Y Z
X Z
3) Suy luận quy nạp:
Suy luận quy nạp phép suy luận từ riêng tới kết luận chung, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy luận quy nạp khơng có quy tắc chung cho q trình suy luận, mà sở nhận xét kiểm tra để rút kết luận Do kết luận rút trình suy luận quy nạp sai, có tính ước đốn
Vd: = + 6 = + 3
10 = +
Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn tổng số nguyên tố a) Quy nạp khơng hồn tồn :
Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung dựa vào số trường hợp cụ thể xet đến Kết luận phép suy luận khơng hồn tồn có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
Sơ đồ:
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An B
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An số phần tử A
Kết luận: Mọi phần tử A B
(4)Kết luận: Phép cộng hai số tự nhiên có tính chất giao hoán b) Phép tương tự:
Là phép suy luận từ số thuộc tính giống hai đối tượng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tương Kết luận phép tương tự có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d Vd: + Tính tổng :
S =
1 2 +
1
2 3 +
1
+
3 4 99 100
1 1
1 2
1 1
2 3
1 1
99 100 99 100
1
1 100 S
Tương tự tính tổng: P =
1
1 3 +
1
2 4 +
1
+
3 5 99 100 101
1 1
= ( - )
1 3 2 3
1 1
= ( - )
2 4 3 4
…………
1 1
= ( - )
99 100 101 99 100 100 101 2 Từ dễ dàng tính
đươc P
c) Phép khái quát hóa:
Là phép suy luận từ đối tượng sang nhóm đối tượng có chứa đối tượng Kết luận phép khái qt hóa có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4) *
3 ?
8 8
Ta có :
3
8 8
Suy quy tắc chung cộng hai phân số mẫu số *
1 ?
(5)Ta có:
1 3
2
1 2
3
Cộng hai phân số :
1
2 6 6
Suy quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số Vd: Chia tổng cho số ( Lớp 4)
-Tính so sánh hai biểu thức :
(35 + 21) : 35 : +21 : -Ta có: (35 + 21) : = 56 : = 35 : + 21 : = + = -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : = 35 : + 21 :
- Suy quy tắc chung chia tổng cho số c) Phép đặc biệt hóa:
Là phép suy luận từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu Kết luận phép đặc biệt hóa nói chung đúng, trừ trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến kết luận đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
Trong toán học phép đặc biệt hóa xảy trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm coi đường trịn có bán kính 0; Tam giác coi tứ giác cạnh có độ dài 0;Tiếp tuyến coi giới hạn cát tuyến đường cong giao điểm cố định cịn giao điểm chuyển động đền
§ Hai phương pháp chứng minh toán học Tiểu học 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:
Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp phương pháp chứng minh từ điều cho trước điều biết đến điều cần tìm, điều cần chứng minh
Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận
Sơ đồ: A B C Y X
Trong A mệnh đề biết cho trước; B hệ lơgíc A; C hệ lơgíc B; ; X hệ lơgíc Y
Vai trò ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây khó khăn đột ngột, khơng tự nhiên mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề biết hồn tồn phụ thuộc vào lực học sinh
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp hệ logic
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp sử dụng rộng rãi trình bày chứng minh toán học, việc dạy học tốn trường phổ thơng
Ví dụ: Bài tốn
“ Hiện tuổi bố gấp lần tuổi tổng số tuổi hai bố 50 tuổi Hỏi sau năm tuổi bố gấp lần tuổi con?”
“ Cho tứ giác lồi ABCD M, N, P, Q điểm cạnh AB, BC, CD, DA Biết diện tích của MNPQ 100 cm2, tính diện tích rứ giác
(6)2) Phương pháp chứng minh phân tích lên:
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich lên phương pháp chứng minh suy diễn ngược lên từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều cho trước biết
Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận
Sơ đồ: X Y B A
Trong đó: X mệnh đề cần chứng minh; Y tiền đề lơgíc X ; ; A tiền đề lơgíc B; A mệnh đề biết cho trước;
Vai trò ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh phân tích lên tự nhiên, thuận tiện mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận
+ Phương pháp chứng minh phân tích lên thường rát dài dịng thường từ mệnh đề chọn mệnh đề kết luận ta tìm nhiều mệnh đề khác làm tiền đề logic
+ Phương pháp chứng minh phân tích lên sử dụng rộng rãi phân tích tìm đường lối chứng minh toán học, việc dạy học tốn trường phổ thơng
Ví dụ: Bài tốn
“ Hai vòi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau 12 đầy bể Biết lượng nước chảy vào bể vòi gấp 1, lần lượng nước vòi chảy vào bể Hỏi sau vòi chảy đầy bể?”
(7)Chương II: CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI § CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư
Hd:
+ Gọi số cần tìm abc, (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0)
Ta có: b = c + Chữ số hàng đơn vị phải lớn ( số dư 2) Chữ số hàng đơn vị khơng thể lớn (vì chẳng hạn b = x + = 10) Vậy suy c =
+ Ta thấy: b = x + = Theo đề ta lại có: a = c x + = x + = Thử lại: = + 2; = +
Bài 2:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số cộng với tổng chữ số 2000
Hd:
+ Giả sử số abcd,a0;0a,b,c,d 10
Theo đề ta có 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd Lập luận để có ab = 19
+ Từ tìm c = d =
Thử lại: 2000 – 1981 = + + + = 19
Vậy số cần tìm 1981 Bài 3:
Tìm số tự nhiên A có chữ số, biết B tổng chữ số A C tổng chữ số B, đồng thời cho biết A = B + C + 51
Hd:
+ Giả sử A = ab, a0;0a b, 10
Lập luận để có C số có chữ số c nên ababc51 hay a9c51
Từ a9c51 lập luận để có a = + Từ a = tìm c =
Nên số phải tìm 6b Xét 60, … , 69 ta thấy có 66 cho kết c = Thử lại: 12 + + 51 = 66
Vậy 66 số cần tìm Bài 4:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị thương 15 dư
Hd:
+ Gọi số phải tìm ab,(a 0;a,b10)
(8)Hay b 16 = a +
Nếu a lớn a + lớn 47
Khi b 16 lớn 47 nên b lớn (vì 47 : 16 = dư 15) + Vì a + nên b 0.
b = a = 14 : (loại) b = a =
Thử lại (6 – 2) 15 + = 62
Số phải tìm 62 Bài 5:
Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương dư 12
Hd:
+ Gọi số phải tìm ab, ( a, b < 10, a 0). Ta có ab = (a + b) + 12, với a + b > 12
Sau biến đổi ta có: a = b + 12
+ Vì b + 12 chia hết : a , suy a = a = 8, thay vào ta tìm a = Thử lại thấy thoả mãn
Kết luận: Số phải tìm 87 Bài 6:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương 11
Hd:
+ Gọi số cần tìm abc, (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0)
( ) 11
abc a b c (theo ra)
100 a 10 b c 11 a 11 b 11c (cấu tạo số nhân số với tổng)
89 a b 10c (cùng bớt 11 a 10 b c )
89 a cb a1,cb89 abc198 Bài 7:
Tìm số chia thương phép chia có dư mà số bị chia 5544, số dư 10, 14 cuối
Hd:
- Lập luận để có thương số có chữ số, cịn số chia số có chữ số
- Mơ q trình chia:
- Tìm tích riêng tương ứng với lần chia có số dư 10, 14,
+ Tích số chia chữ số hàng cao thương
… 5544
-… 104 -…
144 -…
(9)
55 – 10 = 45
+ Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 104 – 14 = 90 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 114 – = 135
Trong tích riêng có số 45 số lẻ nhỏ nên số chia số lẻ, mà số 45 chia hết cho số có chữ số 45 Vậy số chia 45, thương 123
Bài 8:
Khi nhân số tự nhiên với 2008, học sinh quên viết chữ số số 2008 nên tích bị giảm 221400 đơn vị Tìm thừa số chưa biết
Hd:
Thừa số biết 2008, viết sai thành 208 Thừa số bị giảm 2008 – 208 = 1800 (đvị)
Thừa số chưa biết giữ nguyên, thừa số biết bị giảm 1800 đơn vị tích bị giảm 1800 lần thừa số chưa biết
Theo đề số giảm 221400 Vậy thừa số chưa biết 221400 : 1800 = 123
Bài 9:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị, ta thương 28 dư
Hd:
Gọi số phải tìm ab, ( a, b < 10, a 0). Ta có ab = (a – b) 28 +
Khi < a – b < khơng ab khơng phải số có chữ số
Nếu a – b = ab = 29 loại a khơng trừ cho b. Nếu a – b = ab = 57 loại a khơng trừ cho b Nếu a – b = ab= 85 chọn a – b = – = Bài 10:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp 20 lần tổng chữ số Hd:
Gọi số phải tìm abc, ( a, b, c < 10, a 0). Theo ta có: abc = (a + b + c) 20
Vế trái có tận nên vế phải có tận 0, hay c = ta có: a = b suy a = 1, b =
Thử lại: 180 = (1 + + 0) 20 Bài 11:
(10)Gọi số phải tìm abc, ( a, b, c < 10, a 0).
Theo ta có: abc = a b c Điều chứng tỏ abc 5 , tức c = hoặc c =
Dễ thấy c = vô lý ( Loại) Với c = 5: Ta có ab5 25 Vậy suy b = b = 7. Với b = vô lý (Loại)
Với b = 7: Suy a = Số phải tìm 175 Bài 12:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta số số cho 765 đơn vị
Hd:
Gọi số phải tìm abc, ( a, b, c < 10, a 0). Theo ta có: cab - abc = 765
11 c = 85 + b + 10 a
Vì 85 + b + 10 a 95 11 c 95 c = 14 = b + 10 a a = 1, b =
Vậy số phải tìm 149
Bài 13:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta xóa chữ số hàng trăm ta số giảm lần so với số ban đầu
Hd:
Gọi số phải tìm abc, ( a, b, c < 10, a 0). Theo ta có: abc = bc
a 100 = bc
a 50 = bc
a bội a = 3, bc = 50 Vậy số phải tìm 350
Bài 14:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta viết số theo thứ tự ngược lại ta số lớn hơn số cho 693 đơn vị
Hd:
Gọi số phải tìm abc, ( a, b, c < 10, a 0). Theo ta có: cba - abc = 693
99 (c – a) = 693
c – a = 693 : 99 = a = 1, c = ; a = 2, c = b = 0, 1, 2, … , Bài 15:
(11)Hd:
Gọi số phải tìm abc5 , ( a, b, c < 10, a 0).
Theo ta có: abc5 - 5abc = 531
abc 10 + - ( 5000 + abc) = 531
abc = 614 Vậy số phải tìm là: 6145 Bài 16:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết xóa chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số giảm 4455 đơn vị
Hd:
Gọi số phải tìm abcd , ( a, b, c, d < 10, a 0). Theo ta có: abcd - ab = 4455
cd = 99 ( 45 - ab ) ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = 1
Nếu ( 45 - ab ) = 0: Số phải tìm 4500
Nếu ( 45 - ab ) = 1: Số phải tìm 4499
Bài 17:
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số gấp lần số ban đầu
Hd:
Gọi số phải tìm abcd , ( a, b, c, d < 10, a 0). Theo ta có: abcd = dcba
a = a = a tích abcd khơng số có chữ số
Nếu a = 1: Ta có 1bcd = dcb1 điều vô lý.
Nếu a = 2: Ta có 2bcd = dcb2 d có tận d = d =
Nếu d = 3: Ta có 2bc3 > 3cb2 vô lý
Nếu d = 8: Ta có 2bc8 = 8cb2 390 b + 30 = 60 c 39 b + = c b = 1, c =
Vậy số phải tìm là: 2168 Bài 18:
Tìm số tự nhiên biết viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số gấp lần số ban đầu
Hd:
Vì số phải tìm có chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị nên phải số có chữ số Vậy gọi số phải tìm Ab , ( b < 10, A > 0).
Theo ta có: Ab = A0b
(12)Bài 19:
Tìm số tự nhiên biết viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng trăm ta số gấp lần số ban đầu
Hd:
Vì số phải tìm có chữ số hàng chục chữ số hàng trăm nên phải số có chữ số Vậy gọi số phải tìm Abc , ( b, c < 10, A > 0).
Theo ta có: Abc = A0bc
bc = A 80 5 bc = A 80 bc = 80 (Vì A > 0) A = Số phải tìm 180
§ DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Bài 1:
Cho dãy số 2, 4, 6, 8, , 2006
a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 190 số hạng nào? b) Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:
a) Số số hạng: (2006 – 2) : + = 1003
Số hạng thứ 190 là: (190 – 1) + = 380 b) Dãy số 2, 4, 6, …, 98 có + [(98 – 10) : + 1] = 94 chữ số
Vì 94 < 100 nên chữ số thứ 100 phải nằm dãy số 100, 102, 104, …, 998 Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số thứ 100 – 94 = dãy số 100, 102, 104, …, 998 Vậy chữ số thứ 100 chữ số
Bài 2:
Cho dãy số 11, 13, 15, , 175
a) Tính số chữ số dùng để viết tất số hạng dãy số cho Chữ số thứ 136 dùng để viết dãy số cho chữ số nào?
b) Tính tổng số hạng dãy số cho Hd:
a) Dãy số 11, 13, …, 99 có [(99 – 11) : + 1] = 90 chữ số Dãy số 101, 103, …, 175 có [(175 – 101) : + 1] x = 114 chữ số Số chữ số sử dụng dãy cho là: 90 + 114 = 204 (chữ số)
+ Vì 204 > 136 > 90 nên chữ số thứ 136 phải nằm dãy số 101, 103, …,175 Chữ số thứ 136 dãy số 11, 13, 15, , 175 chữ số thứ 136 – 90 = 46 dãy số 101, 103, …, 175
+ Ta có: 46 : = 15 (dư 1)
+ Tìm số hạng thứ 16 dãy số 101, 103, …, 175 131 Vậy chữ số thứ 136 dãy cho b) Số số hạng dãy số cho 45 + 38 = 83
Vậy suy ra:11 + 13 + 15 + … + 175 = (11 + 175) 83 : = 7719 Bài 3:
Cho dãy số 4, 8, 12, 16,
a) Xét xem số 2002 2008 có thuộc dãy số cho khơng? Nếu thuộc cho biết số thứ tự dãy
(13)Hd:
a) Đặc điểm dãy số cho số hạng dãy chia hết cho Số 2002 không chia hết không thuộc dãy số cho Số 2008 chia hết thuộc dãy số cho
Số thứ tự dãy số 2008 (2008 – 4) : + = 502
b) Trong dãy 12, 16, 20, …, 96 có [(96 – 12) : + 1] × = 44 chữ số Vậy chữ số thứ 74 dãy số cho chữ số thứ 74 – – 22 × = 28 dãy số 100, 104, 108, …
Ta có 28 : = nên chữ số thứ 28 dãy số 100, 104, 108, … chữ số cuối số hạng thứ dãy số 100, 104, 108, … Chữ số cần tìm
Bài 4:
Cho dãy số 11, 14, 17, 20, …
a) Chữ số thứ 166 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 130 số hạng dãy số cho
Hd:
a) Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có số chữ số là: [(98 – 11) : + 1] × = 60
Dãy số 101, 104, 107, …, 998có số chữ số là: [(998 – 101) : + 1] × = 900 Vì 60 < 166 < 900 nên chữ số thứ 166 phải nằm dãy số 101, 104, …, 998 Chữ số thứ 166 dãy số cho chữ số thứ 166 – 60 = 106 dãy số 101, 104, …, 998
Ta có: 106 : = 35 (dư 1) nên chữ số thứ 166 dãy số cho chữ số số hạng thứ 36 dãy số 101, 104, …, 998
Số hạng thứ 36 dãy số101, 104, …, 998 206 Vậy chữ số cần tìm
b) Số hạng thứ 130 398 Vậy tổng (11 + 398) × 100 : = 20450
Bài 5:
Cho dãy số 1, 3, 5, 7, , 2009 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 230 số hạng nào? b) Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:
a) Số số hạng: (2009 – 1) : + = 1005
Số hạng thứ 230 là: (230 – 1) + = 459 b) Chữ số thứ 100 chữ số Bài 6:
Cho dãy số 10, 12, 14, , 138
a) Chữ số thứ 103 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng số hạng dãy số cho
Hd:
a) Số chữ số sử dụng dãy 10, 12, … 96, 98 45 = 90 (chữ số) Vì 103 > 90 nên chữ số thứ 103 dãy số cho phải nằm dãy số 100, 102, …, 138 Chữ số thứ 103 dãy số cho chữ số thứ 103 – 90 = 13 dãy số 100, 102, …, 138
+ Ta có: 13 : = (dư 1) nên chữ số thứ 103 dãy số cho chữ số số hạng thứ dãy số 100, 102, …, 138
(14)
b) Số số hạng dãy (138 – 10) : + = 65
Vậy 10 + 12 + 14 + … + 138 = (10 + 138) 65 : = 4810 Bài 7:
Cho dãy số 101, 102, 103, …, 1000, 1001, , 2005
a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 75 số hạng nào?
b) Tính số chữ số dùng để viết tất số hạng dãy số cho Chữ số thứ 116 dùng để viết dãy số cho chữ số nào?
Hd:
a) Số số hạng (2005 – 101) : + = 1905
Số hạng thứ 75 (75 – 1) × + 101 = 175 b) Số chữ số 899 × + 1006 × = 8721
Vì có: 116 < 899 nên chữ số thứ 116 thuộc dãy số 101, 102, …999
Ta oó 116 : = 38 (dư 2) nên chữ số thứ 116 chữ số thứ số hạng thứ 39 dãy số cho Số hạng thứ 39 (39 – 1) + 101 = 139 Vậy chữ số cần tìm chữ số
Bài 8:
Cho dãy số 11, 16, 21, 26, 31,
a) Tính số chữ số dùng để viết số hạng dãy số cho kể từ số hạng đến số hạng 2001 Chữ số thứ 124 dùng để viết dãy số cho chữ số nào?
b) Tính tổng 203 số hạng dãy số cho Hd:
a) [(96 – 11) : + 1] + [(996 – 101) : + 1] 3] + = 18 + 180 + = 580
Ta có 18 < 124 < 180 nên chữ số thứ 124 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 106, …, 996
Chữ số thứ 124 dãy số cho chữ số thứ 124 – 18 = 88 dãy số 101, 106, …, 996
Ta có 88 : = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 106, …, 996 chữ số thứ số hạng thứ 30 dãy số 101, 106, …, 996 Số hạng thứ 30 (30 – 1) + 101 = 246 Vậy chữ số cần tìm chữ số
b) Số hạng thứ 203 (203 – 1) + 11 = 1021
Tổng (11 + 1021) 203 : = 104748 Bài 9:
Cho dãy số 2, 5, 8, 11, …, 2009
a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 99 số hạng nào? b) Chữ số thứ 50 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:
a) Số số hạng: (2009 – 2) : + = 670
(15)b) Dãy số 2, 5, có chữ số Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : + 1] = 60 chữ số Có < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 dãy số cho thuộc dãy số 11, 14, 17, …, 98
Chữ số thứ 50 dãy số cho chữ số thứ 50 – = 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98
Ta có 47 : = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 chữ số thứ số hạng thứ 24 dãy số 11, 14, 17, …, 98 Số hạng thứ 24 (24 – 1) + 11 = 80 Vậy chữ số cần tìm chữ số
Bài 10:
Cho dãy số 1, 5, 9, 13, …
a) Chữ số thứ 135 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 200 số hạng dãy số cho
Hd:
a) Dãy số 1, 5, 9, 13, 17, 21, …, 97 có + [(97 – 13) : + 1] = 47 chữ số Dãy số 101, 105, 109, …, 997 có [(997 – 101) : + 1] = 675 chữ số Vì 47 < 135 < 675 nên chữ số thứ 135 phải nằm dãy số 101, 105, …, 997
Chữ số thứ 135 dãy số 101, 105, …, 997 chữ số thứ 135 – 47 = 88 dãy số 101, 105, …, 997
Ta có: 88 : = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 105, …, 997 chữ số thứ số hạng thứ 30 dãy số 101, 105, …, 997 Số hạng thứ 30 (30 – 1) + 101 = 217 Vậy chữ số cần tìm chữ số
b) Số hạng thứ 200 (200 – 1) + = 797
Tổng (1 + 797) 200 : = 79800 Bài 11:
Cho dãy số 5, 8, 11, …
a) Tính tổng 205 số hạng dãy số cho?
b) Chữ số thứ 135 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:
a) Số hạng thứ 204 dãy số là: [(204 – 1) 3] + = 620
Tổng 204 số hạng đầu dãy: (620 + 5) 102 = 62500 + 1250 = 63750 Tổng 204 số hạng đầu dãy: 63750 + 623 = 64373
b) Số có chữ số dãy là: (8 – 5) : + = Số có chữ số dãy là: (98 – 11) : + = 30 Số có chữ số dãy là: (998 – 111) : + = 330
Ta có + 30 < 135 < 330 nên chữ số thứ 135 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 104, …, 998
Chữ số thứ 135 dãy số cho chữ số thứ 135 – 30 - = 63 dãy số 101, 104, …, 998
Ta có 63 : = 21 (dư 0) nên chữ số thứ 63 dãy số 101, 104, …, 998 chữ số thứ số hạng thứ 21 dãy số 101, 104, …, 998 Số hạng thứ 21 (21 – 1) + 101 = 161 Vậy chữ số cần tìm chữ số
Bài 12:
(16)S = (10 + 11 + 12 + … + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + … + 0, 98 + 0, 99) = [(99 100) : – (9 10) : 2] + [(99 100) : – (9 10) : : 100]
= 4905 + 49, 05 = 4954, 05 Bài 13:
Tính tổng S = – + – + …… - 1000 + 1001 Hd:
S = + (3 – 2) + (5 - 4) + …… + (1001 – 1000)
= + + + ……+
= + [(1001 – 2) : + 1] : = 501 Bài 14:
Cho dãy số
3,
2
3, 7, 10
3, …
a) Xác định số hạng thứ 2009 dãy số cho?
b) Trong 2009 số hạng đầu dãy có số tự nhiên? Tính tổng tất số tự nhiên đó?
Hd:
a) Ta thấy dãy số dãy số cách với khoảng cách d = 10
3 Vậy số hạng thứ 2009 dãy số là:
10 20081
(2009 - 1) + =
3 3
b) Số hạng thứ 2007 dãy số là:
10
(2007 - 1) + = 669
3
Dãy số tự nhiên có 2009 số hạng đầu dãy là: 7, 17, 27, …, 669 Từ dễ dàng suy kết với dãy số tự nhiên cách
Bài 15:
a) Tìm x biết:
(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …… + (x + 28) = 155 b) Tính tổng:
S = 9, + 8, + …… + 2, – 1, – 2, - … – 7, – 8, Hd:
a) Ta có:
x + + x + + x + + …… + x + 28 = 155 (x + x + … + x) + (1 + + + … + 28) = 155 10 x + 145 = 155
x = b) Ta có:
(17)
§ TỐN VỀ TUỔI Bài 1:
Năm nay, tuổi cô gấp lần tuổi cháu Mười hai năm sau, tuổi cô gấp 2, lần tuổi cháu Tính tuổi hai cháu
Hd:
Hiệu số tuổi hai cô cháu là: – = (lần tuổi cháu nay)
Hiệu số tuổi hai cô cháu tuổi cô gấp 2, lần tuổi cháu 2, – = 1, (lần tuổi cháu lúc đó)
Vì hiệu số tuổi cô cháu không thay đổi theo thời gian nên: lần tuổi cháu = 1, lần tuổi cháu lúc
Hay cách khác: 1lần tuổi cháu = 0, lần tuổi cháu lúc Ta có sơ đồ:
Tuổi cháu 12 : (5 – 1) 1 = (tuổi)
Tuổi cô = 24 (tuổi)
Bài 2:
Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Trước năm tuổi cha gấp 17 lần tuổi con.Tính tuổi cha
Hd:
Hiệu số tuổi hai cha là: – = (lần tuổi nay)
Hiệu số tuổi hai cha tuổi cha gấp 17 lần tuổi 17 – = 16 (lần tuổi lúc đó)
Vì hiệu số tuổi cha không thay đổi theo thời gian nên: lần tuổi = 16 lần tuổi
Hay cách khác: 1lần tuổi = lần tuổi lúc Ta có sơ đồ:
Tuổi là: : (4 – 1) = (tuổi)
Tuổi cô : = 40 (tuổi)
Bài 3:
Năm tuổi cha cộng lại 36 Đến tuổi tuổi cha tuổi
5
9 tuổi cha lúc Tìm tuổi cha nay. Hd:
Nếu coi tuổi sau phần tuổi cha sau phần Khi hiệu số tuổi cha – = (phần)
Vì tuổi cha tuổi sau nên tuổi cha chiếm phần mà hiệu số tuổi cha không thay đổi theo thời gian (hiệu phần) nên số phần
Tuổi cháu nay: Tuổi cháu sau 12 năm:
(18)tuổi – = 1(phần) Do số phần tuổi cha + = (phần)
Ta có sơ đồ:
Vậy tuổi 36 : = (tuổi)
Tuổi cha 36 – = 30 (tuổi) Bài 4:
Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi Hai mươi lăm năm trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi Hỏi tuổi bố gấp lần tuổi tuổi?
Hd:
Tuổi bố tuổi số lần là: 2, – = 1,2 (lần tuổi nay) Tuổi bố cách 25 năm tuổi số lần 8, – = 7,2 (lần tuổi lúc đó)
Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi = 7,2 lần tuổi lúc
Tuổi gấp tuổi 25 năm trước số lần là: 7,2 : 1,2 = (lần)
Ta có sơ đồ:
Tuổi là: 25 : (6 – 1) = 30 (tuổi) Tuổi bố : 30 2,2 = 66 (tuổi)
Hiệu số tuổi bố hiên là: 66 – 30 = 36 (tuổi)
Ta có hiệu số tuổi bố tuổ bố gấp lần tuổi lần tuổi Do lần tuổi sau = 36 tuổi
Vậy tuổi là: 36 : = 18 (tuổi) Bài 5:
Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Trước năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi Tính tuổi cha
Hd:
Ta có: Hiệu số tuổi cha hiên lần tuổi
Hiệu số tuổi cha trước năm 12 lần tuổi Vậy: lần tuổi = 12 lần tuổi trước
Ta có sơ đồ:
Tuổi trước : (4 – 1) = (tuổi) Tuổi là: + = (tuổi)
Tuổi nay:
Tuổi trước đây: 25 Tuổi cha sau này:
36 tuổi Tuổi cha nay:
Tuổi sau này: Tuổi nay:
6
(19)Tuổi cha : = 32 (tuổi) Bài 6:
Tuổi bà năm gấp 4,2 lần tuổi cháu Mười năm trước, tuổi bà gấp 10,6 lần tuổi cháu Tính tuổi bà tuổi cháu
Hd:
Vì hiệu số tuổi hai bà cháu không thay đổi theo thời gian nên 3,2 lần tuổi cháu = 9,6 lần tuổi cháu 10 năm trước
Hay tuổi cháu = lần tuổi cháu 10 năm trước Vậy tuổi cháu là: (10 : 2) = 15 (tuổi)
Tuổi bà :15 4,2 = 63 (tuổi) Bài 7:
Năm nay, tuổi bác gấp lần tuổi cháu Mười lăm năm trước, tuổi bác gấp lần tuổi cháu Hỏi tuổi bác gấp lần tuổi cháu cháu tuổi?
Hd:
Tuổi bác tuổi cháu số lần là: – = (lần tuổi cháu nay) Tuổi bác cách 15 năm tuổi cháu số lần – = (lần tuổi cháu lúc đó)
Vậy suy ra: lần tuổi cháu = lần tuổi cháu lúc Hay: lần tuổi cháu = lần tuổi cháu lúc
Tuổi cháu là: 15 : (4 – 1) = 20 (tuổi)
Tuổi bác là: 20 = 60 (tuổi)
Khi tuổi bác gấp lần tuổi cháu tuổi cháu là: 40 : = 40 (tuổi) Bài 8:
Năm nay, tuổi mẹ gấp 2,5 lần tuổi Nhưng trước, tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi mẹ nay?
Hd:
Hiệu số tuổi mẹ là: 2,5 – 1, = 1,5 (lần tuổi nay) Hiệu số tuổi mẹ trước năm là: – = (lần tuổi lúc đó) Vậy suy ra: 1, lần tuổi = lần tuổi trước
Hay: lần tuổi cháu = lần tuổi cháu lúc Ta có sơ đồ:
Tuổi là: : (2 – 1) = 12 (tuổi)
Tuổi mẹ là: 12 2,5 = 30 (tuổi) Bài 9:
Năm anh 27 tuổi Biết năm mà tuổi anh tuổi em tuổi anh nửa tuổi anh Tính tuổi em nay?
Hd:
Theo ta có:
Tuổi anh trước gấp lần tuổi em trước Tuổi em gấp lần tuổi em trước
6
(20)Hiệu số tuổi anh em trước tuổi lần tuổi em trước Mà hiệu số tuổi người không đổi nên suy ra: Tuổi anh gấp (2 + 1) lần tuổi em trước Do có sơ đồ sau:
Tuổi em là: 27 : = 18 (tuổi) Bài 10:
Hiện tổng số tuổi anh em 20 tuổi Biết tuổi em gấp lần tuổi em anh tuổi em Tính tuổi người nay?
Hd:
Theo ta có:
Tuổi em gấp lần tuổi em trước Tuổi anh trước gấp lần tuổi em trước
Hiệu số tuổi anh em trước tuổi lần tuổi em trước Mà hiệu số tuổi người không đổi nên suy ra: Tuổi anh gấp (2 + 1) lần tuổi em trước Do có sơ đồ sau:
Tuổi em là: 20 : (3 + 2) = (tuổi) Tuổi anh là: 20 – = 12 (tuổi) Bài 11:
Hiện tổng số tuổi anh em 15 tuổi Biết tuổi em tuổi anh tuổi anh gấp 1,5 lần tuổi em Tính tuổi người nay?
Hd:
Theo ta có:
Tuổi anh sau gấp 1,5 lần tuổi em sau Tuổi anh tuổi em sau
Hiệu số tuổi anh em sau tuổi 0,5 lần tuổi em sau Mà hiệu số tuổi người không đổi nên suy ra: Tuổi em 0,5 lần tuổi em sau Do có sơ đồ sau:
Tuổi em là: 15 : (1 + 2) = (tuổi) Tuổi anh là: 15 – = (tuổi) Bài 12: T uổ i e m tr ướ c đ ây : T uổ i a nh tr ướ c đ ây : T uổ i e m h iệ n n ay : T uổ i a nh h iệ n n ay : 27
Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Tuổi em nay:
Tuổi anh nay: 20
(21)Hiện An nhiều Bình 14 tuổi Tính tuổi người nay, biết tuổi Bình tuổi An tuổi An 53 lần tuổi Bình
Hd:
Theo ta có:
Tuổi An sau 53 lần tuổi Bình sau Hiệu số tuổi người sau
5
- =
3 3 lần tuổi Bình sau này
Tuổi An lần tuổi Bình sau Suy ta tuổi Bình
2 1 - =
3 3 lần tuổi Bình sau này Vậy ta có sơ đồ sau:
Theo sơ đồ ta có:
Tuổi An là: 14 : (3 – 1) × = 21 (tuổi) Tuổi Bình là: 14 : (3 – 1) × = (tuổi)
Bài 13:
Hiện Hùng nhiều Minh 12 tuổi Tính tuổi người nay, biết tuổi Minh tuổi Hùng tuổi Minh 35 lần tuổi Hùng
Hd:
Theo ta có:
Tuổi Hùng sau 53 lần tuổi Minh sau Hiệu số tuổi người sau
5
- =
3 3 lần tuổi Minh sau này Tuổi Hùng lần tuổi Minh sau
Suy ta tuổi Minh
2 1 - =
3 3 lần tuổi Minh sau này Vậy ta có sơ đồ sau:
Theo sơ đồ ta có:
Tuổi Hùng là: 12 : (3 – 1) × = 18 (tuổi)
(22)Tuổi Minh là: 12 : (3 – 1) × = (tuổi) Bài 14:
Hiện tuổi bố gấp lần tuổi tổng số tuổi bố 50 tuổi Hỏi sau năm tuổi bố gấp lần tuổi con?
Hd:
Theo ta có:
Tuổi bố là: 50 : (4 + 1) × = 40 (tuổi) Tuổi là: 50 : (4 + 1) × = 10 (tuổi) Hiệu số tuổi bố 40 – 10 = 30 (tuổi)
Hiệu số tuổi bố sau lần tuổi sau
Mà hiệu số tuổi người không đổi theo thời gian nên suy ra: lần tuổi sau 30 tuổi Do có sơ đồ mối quan hệ tuổi sau sau:
Tuổi là: 20 : (3 - 1) = 10 (tuổi)
Vậy số năm sau để tuổi bố gấp lần tuổi là: 30 – 10 = 20 (năm) Bài 15:
Hiện tuổi bố gấp lần tuổi sau 20 năm tuổi bố gấp lần tuổi Tính tuổi hai bố nay?
Hd:
Theo ta có:
Hiệu số tuổi bố lần tuổi Hiệu số tuổi bố sau 20 năm lần tuổi Mà hiệu số tuổi người không đổi theo thời gian nên suy ra: lần tuổi lần tuổi sau 20 năm Do có sơ đồ mối quan hệ tuổi sau sau:
Tuổi là: 20 : (3 - 1) = 10 (tuổi) Tuổi bố là: 10 × = 40 (tuổi)
Bài 16:
Hiện tổng số tuổi bố 50 tuổi gấp biết sau 20 năm tuổi bố gấp lần tuổi Tính tuổi hai bố nay?
Hd:
Theo ta có:
Tổng số tuổi bố 50 tuổi Vậy tổng số tuổi bố sau 20 năm là:
× 20 + 50 = 90 (tuổi)
Mà sau 20 năm tuổi bố gấp lần tuổi Như ta đưa toán dạng tốn tìm số biết tổng 90 tỷ số
1
2 Do ta tính tuổi sau
20 năm sau: Tuổi sau 20 năm là:
90 tuổi : ( + 1) × = 30 (tuổi) Tuổi nay:
Tuổi sau 20 năm:
20 năm
(23)Tuổi là: 30 - 20 = 10 (tuổi) Tuổi bố là: 50 - 10 = 40 (tuổi) Bài 17:
Hiện chị em tuổi Biết tuổi em tuổi chị tuổi chị gấp 1,5 lần tuổi em Tính tuổi người nay?
Hd:
Theo ta có:
Tuổi chi sau gấp 1,5 lần tuổi em sau Tuổi chị tuổi em sau
Hiệu số tuổi chị em sau tuổi 0,5 lần tuổi em sau Mà hiệu số tuổi người không đổi, nên suy ra: Tuổi em 0,5 lần tuổi em sau Do có sơ đồ sau:
Tuổi em là: : (2 - 1) = (tuổi) Tuổi anh là: + = 14 (tuổi) Bài 18:
Năm chị 25 tuổi Biết năm mà tuổi chị tuổi em tuổi em
1
3 tuổi chị Tính tuổi em nay? Hd:
Theo ta có:
Tuổi chị trước gấp lần tuổi em trước Tuổi em gấp lần tuổi em trước
Hiệu số tuổi chị em trước tuổi lần tuổi em trước Mà hiệu số tuổi người không đổi nên suy ra: Tuổi chị gấp (3 + 2) lần tuổi em trước
Do có sơ đồ sau:
Tuổi em là: 25 : = 15 (tuổi) Bài 19:
Năm em tuổi Biết năm mà tuổi em tuổi chị tuổi em
3
5 tuổi chị Tính tuổi chị nay? Hd:
Theo ta có:
Tuổi chị sau
3 lần tuổi em sau này Tuổi chị lần tuổi em sau
(24)Hiệu số tuổi chị em sau tuổi
5
- =
3 3 lần tuổi em sau Mà hiệu số tuổi người không đổi nên suy ra: Tuổi em
2
1 - =
3 3lần tuổi em sau Do có sơ đồ sau:
Tuổi chị là: : = 12 (tuổi) Bài 20:
Hiện chị em tuổi Biết tuổi em tuổi chị tuổi chị gấp lần tuổi em Tính tuổi người nay?
Hd:
Theo ta có:
Tuổi chị tuổi em sau
Hiệu số tuổi chị em sau tuổi Do suy ra:
Suy ra: Tuổi em + 12 tuổi = Tuổi chị sau Mà ta biết rằng: Tuổi chị sau gấp lần tuổi em
Vậy suy ra: Tuổi em + 12 tuổi = × Tuổi em
× Tuổi em = 12 (tuổi)
Tuổi em là: 12 : = (tuổi)
Tuổi chị là: + = 12 (tuổi) Bài 21:
Tính tuổi hai anh em Biết 62,5% tuổi anh 75% tuổi em tuổi 50% tuổi anh 37,5% tuổi em tuổi
Hd:
Theo ta có:
50% tuổi anh 37,5% tuổi em tuổi
100% tuổi anh 75% tuổi em 14 tuổi
Mà 62,5% tuổi anh 75% tuổi em tuổi
100% - 62,5% = 37,5% tuổi anh 14- = 12 tuổi
Vậy tuổi anh là: 12 : 37,5 × 100 = 32 (tuổi) 75% tuổi em là: 32 - 14 = 18 (tuổi) Tuổi em là: 18 : 75 × 100 = 24 (tuổi)
§ TỐN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Bài 1:
Hai thành phố cách 186 km Lúc người xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ bề B, lúc người xe máy từ B với vận tốc 35 km/giờ A Hỏi lúc hai người gặp chỗ gặp cách A km?
Hd:
30 km 156 km
C B
A
Tuổi em nay: Tuổi chị nay: Tuổi em sau này: Tuổi chị sau này:
4
(25)Khi người thứ xuất phát người thứ cách B 186 – 30 = 156 (km) Quãng đường người 30 + 35 = 65 (km)
Thời gian để người gặp 5( ) 24
2 65 :
156 h h
phút 7h + 2h 24 = 9h 24 Vậy hai người gặp lúc 24 phút.
Quãng đường từ A đến địa điểm gặp 30 102( )
2
30 km
Bài 2:
Một ô tô chạy từ A đến B Nếu chạy 60 km tơ đến B lúc 14 Nếu chạy 40 km tơ đến B lúc 16 Hãy tính quãng đường AB tìm xem trung bình tơ phải chạy km để đến B lúc 15 giờ?
Hd:
Do quãng đường vận tốc tăng lên lần thời gian giảm nhiêu lần nên ta có: Thời gian với vận tốc 40 km/h gấp 1, lần thời gian với vận tốc 40 km/h Ta có sơ đồ sau:
Quãng đường AB dài 60 = 240 (km)
Để đến B lúc 15 giờ, ôtô phải chạy 240 : = 48 (km) Bài 3:
Một ô tô chạy từ A đến B Một xe máy chạy từ B đến A Hãy tính quãng đường AB, biết vận tốc ô tô vận tốc xe máy 20km/giờ Nếu hai xe khởi hành lúc chúng gặp địa điểm cách A km?
Hd:
Tỉ số thời gian ô tô xe máy
3 Do quãng đường thời gian tăng lên lần vận tốc giảm nhiêu lần nên ta có sơ đồ:
Vận tốc xe máy: Vận tốc ô tô:
Vận tốc ô tô : 20 = 60 (km/giờ)
Vận tốc xe máy 60 – 20 = 40 (km/giờ) Quãng đường AB 60 = 120 (km)
Nếu hai xe khởi hành lúc gặp sau thời gian 120 : (60 + 40) = 1,2 (giờ)
Địa điểm gặp cách A 60 1,2 = 70 (km) Bài 4:
Một ô tô chạy từ A đến B Nếu chạy 55 km tơ đến B lúc 15 Nếu chạy 45 km tơ đến B lúc 17 Hãy tính qng đường AB tìm xem trung bình ô tô phải chạy km để đến B lúc 16 giờ?
Hd:
20 km/h
2 Thời gian với vận tốc 60 km/h:
(26)Tỉ số vận tốc ô tô xe máy quãng đường AB
55 11
459 Do trên quãng đường vận tốc tăng lên lần thời gian giảm nhiêu lần nên ta có: Thời gian với vận tốc 45 km/h
11
9 lần thời gian với vận tốc 55 km/h Do ta có sơ đồ:
Thời gian với vận tốc 55 km/h: Thời gian với vận tốc 45 km/h:
Quãng đường AB dài 55 (2 : 2) = 495 (km)
Để đến B lúc 15 giờ, ô tô phải chạy 495 : 10 = 49,5 (km) Bài 5:
Một ô tô từ A qua B đến C hết Thời gian từ A đến B gấp lần từ B đến C quãng đường từ A đến B dài từ B đến C 130 km Biết muốn thời gian định, từ B đến C ô tô phải tăng vận tốc thêm km Hỏi quãng đường BC dài km?
Hd:
Theo ta có:Trên quãng đường AB = BC + 130 km ô tô với vận tốc v1
trong giờ, cịn qng đường BC tô với vận tốc v2
Do suy tơ với vận tốc v1 quãng đường quãng
đường BC bớt là: = 10 km
Vậy ô tô với vận tốc v1 quãng đường tương ứng là:
130 + 10 = 140 (km) Vận tốc ban đầu ô tô là: 140 : = 35 (km/h)
Quãng đường BC 80 km Bài 6:
Lúc 30 phút, người xe máy khởi hành từ tỉnh A với vận tốc 40km/giờ đến tỉnh B lúc 15 phút, người nghỉ lại tỉnh B 30 phút quay tỉnh A với vận tốc cũ Lúc 45 phút người khác xe đạp khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 10km/giờ Hỏi hai người gặp lúc chỗ gặp cách tỉnh B km?
Hd:
Thời gian người xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là:
15 phút - 30 phút = 45 phút = 2,75 Quãng đườmg từ A đến B là: 40 2,75 = 110 (km) Người xe máy rời tỉnh B lúc 15 phút + 30 phút = 45 phút Thời gian người xe đạp từ 45 phút đến 45 phút là: 45 phút - 45 phút = Đến 45 phút người xe đạp 10km
Lúc 45 phút hai người cách 110 – 10 = 100 (km) Thời gian hai người gặp là: 100 : (40 + 10) = (giờ) Hai người gặp lúc 45 phút + = 10 45 phút Chỗ gặp cách B là: 40 × = 80 (km) Bài 7:
v1
8 v2= v1+5km B
2
(27)Xe thứ từ A đến B hết 20 phút Xe thứ hai từ B đến A hết 48 phút Biết hai xe khởi hành sau 15 phút chúng cịn cách 25 km Tính vận tốc xe
Hd:
Đổi đơn vị thời gian: 20 phút = 200 phút = 10/3 giờ; 48 phút = 168 phút = 14/5 giờ; 15 phút = 75 phút;
+ Tính phân số phần đường sau 75 phút hai xe là: 200
75
168 75
28 23 56 25
(quãng đường AB) + Tính phân số phần đường lại
28 23
28 28 28 (quãng đường AB).
+ Vì
28 quãng đường AB biểu thị 25km nên quãng đường AB dài là: 25 : 28 = 140 (km)
+ Vận tốc xe thứ 42( / ) 10
:
140 km h
+ Vận tốc xe thứ hai 50( / )
14 :
140 km h
Bài 8:
Hai bạn Việt Nam xe đạp xuất phát lúc từ A đến B, Việt với vận tốc 12 km/giờ, Nam với vận tốc 10 km/giờ Đi 1, giờ, để đợi Nam, Việt giảm vận tốc xuống cịn km/giờ Tính qng đường AB, biết lúc gặp lúc Việt Nam đến B
Hd:
Sau 1,5 Việt cách xa Nam 12 1, - 10 1, = 18 – 15 = (km)
Lúc Việt với vận tốc km/giờ Nam với vận tốc 10 km/giờ nên thời gian chuyển động để Nam đuổi kịp Việt : (10 – 7) = (giờ)
Quãng đường AB dài 18 + = 25 (km) Bài 9:
Một ca nô xuôi khúc sông hết ngược khúc sơng hết Tính chiều dài khúc sơng, biết vận tốc dịng nước 50 m/ ph
Hd:
Ta thấy: Mỗi ca nơ xi dịng
1
3 khúc sơng ca nơ ngược
dịng
1
5 khúc sơng Mỗi dịng nước xuôi
1 1
( ) :
3 15 (khúc sơng) Thời gian dịng nước xi từ A đến B
1
1 : 15
15 (giờ) Vì 50m/ph = 3km/h nên khúc sơng dài 15 = 45(km) Bài 10:
Một đoàn tàu chạy ngang qua cột điện hết 10 giây Cùng với vận tốc đó, đồn tàu chạy ngang qua đường hầm dài 210 m hết 52 giây Tính chiều dài vận tốc tàu
(28)Trong khoảng thời gian 10 giây tàu quãng đường chiều dài tàu
Trong khoảng thời gian 52 giây tàu quãng đường chiều dài tàu cộng với chiều dài hầm(210 m)
Vậy thời gian để tàu quãng đường 210 m là:
52 – = 42 (giây) Vận tốc tàu là: 210 : 42 = 5(m/s) (= 18km/h)
Chiều dài đoàn tàu là: 10 = 40 (m) Bài 11:
Một hành khách ngồi xe lửa chay với vận tốc 36km/h nhìn thấy xe lửa tốc hành dài 75 mét ngược chiều qua mặt hết giây Tính vận tốc xe lửa tốc hành
Hd:
Đổi đơn vị: 36 km/h = 10 m/s
Trong khoảng thời gian giây người ngồi xe lửa quãng đường là:
10 = 30 (m)
Trong khoảng thời gian giây xe lửa tốc hành quãng đường chiều dài tàu trừ 30 m.Vậy vận tốc xe lửa tốc hành là:
(75 – 30) : = 15(m/s) = 54( km/h) Bài 12:
Một xe lửa chạy qua cầu dài 181 mét hết 47 giây Biết vận tốc xe lửa lướt qua người ngược chiều giây Tính vận tốc chiều dài xe lửa, biết vận tốc người m/s
Hd:
Trong khoảng thời gian 47 giây xe lửa quãng đường chiều dài xe lửa cộng chiều dài cầu (181m)
Trong khoảng thời gian giây xe lửa quãng đường chiều dài tàu bớt m, tức thêm vào m xe lửa quãng đường chiều dài xe lửa
Vậy thời gian để tàu quãng đường (181 + 9) = 190 m là: 47 – = 38 (s) Vận tốc xe lửa là: 190 : 38 = (m/s) = 18 (km/h)
Chiều dài xe lửa là: = 45 (m)
Bài 13:
Một người xe máy từ A tới B hết khoảng thời gian dự định Biết với vận tốc 30 km/h đến B sớm giờ, với vận tốc 20 km/h đến B chậm Tính quãng đường AB?
Hd:
3 s 3 s
75 m 30 m
9 s
9 s
9 m 47 s
181 m
v1=30 km ? km
20 km 30 km v2=20 km
(29)Trên quãng đường AB ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc:
1 2
t v 20
= =
t v 30
Mà dễ thấy: t2 – t1 = (h) Đến đưa tốn tìm số có tỷ số
2
3 có hiệu Suy quãng đường AB là: 120 km
Bài 14:
Một ôtô từ thành phố A tới thành phố B hết 10 Lúc đầu ôtô với vận tốc 40 km/h, tới vị trí cịn cách 100 km nửa qng đường ơtơ tăng vận tốc lên thành 60 km/h để đến B hẹn Tính vận tốc trung bình ơtơ từ A tới B? Hd:
Gọi C điểm quãng đường AB, D điểm thuộc đoạn AC cho DC = 100 km Lấy điểm E thuộc đoạn CB cho CE = 100 km
Dễ dàng suy AD = EB Trên quãng đường ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc, tức là:
1 2
t = v = 60
t v 40
Mà dễ thấy:
200 t + t =
60 Từ dễ dàng tính t1, t2 , suy quãng đường
AD quãng đường AB 520 km Bài 15:
Hai vòi nước chảy vào bể không chứa nước sau 12 đầy bể Biết lượng nước vòi chảy vào bể 1, lần lượng nước vòi chảy vào bể Hỏi vịi chảy đầy bể?
Hd:
Theo ta có: + v1 = 1, v2
+ v1 + v2 =
12
Từ dễ dàng tính 1 v
20
(bể)và v
30
(bể)
Vậy suy vịi 1chảy 20 đầy bể, vịi chảy 30 đầy bể
Bài 16:
Một vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước, lúc có vịi chảy Biết lượng nước vòi chảy
4
5 lần lượng nước vòi chảy vào bể sau 5 B
? km 100 km
A D C 100 km E
t1, v1 =40km/h
(30)giờ lượng nước bể đạt tới
8 dung tích bể Hỏi khơng có vịi chảy mà có vịi chảy vào thời gian đầy bể?
Hd:
Theo ta có: + vra =
4 vvào + vvào - vra =
1
40
Từ dễ dàng tính vvào =
1 40 =
1 8(bể)
Vậy suy vịi vào chảy đầy bể Bài 17:
Người ta dùng hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước Nếu cho vịi chảy vào bể sau đầy bể Nếu cho vòi chảy vịi chảy đầy bể Hỏi vịi chảy đầy bể?
Hd:
Theo ta có tổng vận tốc vòi là: v1 + v2 =
1
3 (bể) Lượng nước vòi chảy là:
1
=
3 3 (bể)
Lượng nước vòi chảy là:
2
1 - =
3 3 (bể) Vận tốc vòi là:
1
: =
3 9 (bể) Vận tốc vòi là:
1
- =
3 9 (bể) Bài 18:
Một đồng hồ kim để bàn chạy, ta thấy lúc kim trỏ số cịn kim phút trỏ số 12 Hỏi khoảng thời gian gần để kim kim phút trùng nhau? Cho biết thời điểm giờ?
Vậy khoảng thời gian gần để kim kim phút trùng là:
1 1
: [1 - ] =
12 12 11 (giờ)
Thời điểm gần để kim kim phút trùng là: Hd:
Gọi vận tốc kim vh, vận tốc kim phút vf, ta
có: vh =
1
12vòng/h, vf = vòng/h
(31)1 + =
11 11 (giờ)
Bài 19:
Một đồng hồ kim để bàn chạy, ta thấy lúc kim trỏ số kim phút trỏ số 12 Hỏi khoảng thời gian gần để kim kim phút vng góc với nhau? Cho biết thời điểm giờ?
Khoảng cách kim lúc kim vng góc 4vòng
Vậy khoảng thời gian gần để kim kim phút vng góc với tính từ lúc trùng là:
1
: [1 - ] =
4 12 11 (giờ)
Vậy khoảng thời gian gần để kim kim phút vng góc với tính từ lúc là:
3
+ =
11 11 11 (giờ)
Thời điểm gần để kim kim phút vng góc với là:
4
+ =
11 11 (giờ)
Bài 20:
Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn đường 10 km Đi từ A đến B ca nô hết 20 phút, cịn tơ hết giờ.Tính vận tốc ca nô ô tô, biết vận tốc ca nô vận tốc ô tô 17 km/h
Hd:
Sau ca nơ tới vị trí cịn cách B tính theo đường là: 17 × = 34 (km)
Sau ca nơ tới vị trí cịn cách B tính theo đường sơng là: B
1/12
A C D
1/4
E
10 km Đường
bộ:
A C B
A Đường
sơng: B
2
Ơ tơ Ca nơ × 17 = 34 km
1 20 Hd:
Gọi vận tốc kim vh, vận tốc kim phút vf, ta
có: vh =
1
12vòng/h, vf = vòng/h
(32)34 - 10 = 24 (km) Vận tốc ca nô là:
24 : 20 = 18 (km/h) Bài 21:
Anh Hùng xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo đường dài 48 km Lúc trở anh Hùng theo đường tắt dài 35 km Đường tắt khó nên vận tốc lúc
5 vận tốc lúc đi, nhiên thời gian lúc thời gian lúc
1
2 Tính vận
tốc lúc anh Hùng? Hd:
Quy thời gian lúc anh Hùng:
+ Thời gian lúc về, vận tốc lúc anh Hùng quãng đường 35 km + Thời gian lúc về, vận tốc (vận tốc lúc
5
6 vận tốc lúc đi) anh Hùng quãng đường km?
Vì thời gian quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc, nên ta có quãng đường anh Hùng thời gian lúc với vận tốc lúc là:
35 :
6 = 42 (km) Vận tốc anh Hùng lúc là:
(48 - 42) :
1
2 = 12 (km/h)
Bài 22:
Nhà anh H cách trung tâm thành phố 175 km, nhà anh T cách trung tâm thành phố 220 km Biết vận tốc tới trung tâm thành phố anh H
7
8 vận tốc anh T, nhiên thời gian tới trung tâm thành phố anh H thời gian gian tới trung tâm thành phố anh T
1
2 Tính vận tốc tới trung tâm thành phố anh
H bao nhiêu? Hd:
Quy thời gian lúc anh H:
+ Thời gian H, vận tốc anh H anh H quãng đường 175 km k m Đg
lúc đi:
A B
A Đg lúc
: B
4 k m k m
Đg anh T:
A B
A Đg anh
H: B
22 km
(33)+ Thời gian H, vận tốc anh T (vận tốc anh H
8 vận tốc anh T) anh T quãng đường km?
Vì thời gian quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc, nên ta có quãng đường anh T thời gian anh H với vận tốc anh T là:
175 :
8 = 200 (km) Vận tốc anh Hùng lúc là:
(220 - 200) :
1
2 = 40 (km/h)
Bài 23:
Một máy bay dự trữ nhiên liệu để bay với vận tốc 330 km/h trời khơng có gió Khi cất cánh trời có gió với vận tốc gió 30 km/h Biết trời ngược gió quay trở sân bay trời xi gió Hỏi khoảng cách mà máy bay tới cánh sân bay km để quay tới sân bay lúc cất cánh vừa hết nhiên liệu?
Hd:
Theo ta có: tđi + tve = (giờ)
di di ve
ve ve di
v 300 t v 12
= = = =
v 360 t v 10
Đến ta đưa dạng tốn tìm số biết tổng tỷ số
6 Do đó ta suy thời gian lúc là:
6 : (6 + 5) × =
36 11 (giờ)
Quãng đường mà máy bay là: 300 ×
36
11 = 10800
11 (km) Bài 24:
Một đội máy cày dự định cày diện tích ruộng theo kế hoạch với vận tốc 40 ngày Khi thực đội cày 52 ngày, đội cày xong trước thời hạn ngày cịn cày thêm Tính diện tích ruộng phải cày theo kế hoạch?
Hd:
Theo ta có:
Diện tích đội cày hết thời gian dự định vượt so với diện tích theo kế hoạch là:
Vve=330 km ? km Vđi =330 km
A B
?
t, 52
A B
(34)52 × + = 108 (ha)
Diện tích ngày đội cày so với dự định là: 52 – 40 = 12 (ha)
Thời gian mà đội dự định cày xong diện tích ruộng theo kế hoạch là: 108 : 12 = (ngày)
Diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là: 40 × = 360 (ha)
Cách giải khác:
Thời gian dự định t1– vận tốc dự định v1–diện tích ruộng theo kế hoạch
Thời gian thực t2–vận tốc thực v2–diện tích ruộng theo kế hoạch
Do suy ra:
1
2
t v 52 13
= = =
t v 40 10
Mà ta lại dễ thấy: t1 = t2 +
52
Đến đưa dạng tốn tìm số biết tỷ số hiệu chúng Bài 25:
Một xe lửa chạy qua mặt người xe đạp chiều có vận tốc 18 km/h hết 24 giây qua mặt người xe đạp ngược chiều có vận tốc 18 km/h hết giây Tính vận tốc xe lửa
Hd:
Đổi đơn vị: 18 km/h = m/s
Trong khoảng thời gian 24 giây người ngồi xe lửa quãng đường là: Chiều dài xe lửa + ( 24) = Chiều dài xe lửa + 120 (m)
Trong khoảng thời gian giây xe lửa tốc hành quãng đường là: Chiều dài xe lửa - ( 8) = Chiều dài xe lửa - 40 (m)
Thời gian xe lửa quãng đường 120 + 40 = 160 (m) là:
24 – = 16(s) Vận tốc xe lửa là:
160 : 16 = 10(m/s) = 36 (km/h) Bài 26:
Hai địa điểm A, B cách 72 km Một ô tô từ A B xe đạp từ B A xuất phát lúc sau 12 phút gặp địa điểm C.Sau tơ tiếp tục chạy đến B quay trở A với vận tốc cũ Ơ tơ đuổi kịp người xe đạp vị trí D sau 48 phút kể từ lúc gặp lần trước Tính vận tốc tơ xe đạp Hd:
8 s 8 s
24 s 24 s Ngược chiều:
Cùng chiều:
Ơ tơ
B C D
72 km A Ơ
tơ Ơ tơ
Xe đạp Xe đạp 72 phút 72
(35)Theo ta có:
Tổng vận tốc tô xe đạp là: 72000 : 72 = 1000 (m/ph) Sau khoảng thời gian 72 + 48 = 120 (phút) ta có:
Xe đạp quãng đường là: BC + CD = BD
Ơ tơ quãng đường là: AC + CB + BC + CD = AB + BD
Hiệu hai quãng đường ô tô xe đạp là: (AB + BD) – BD = AB = 72000 Hiệu hai vận tốc ô tô xe đạp là:
72000 : 120 = 600 (m/ph) Vậy vận tốc ô tô là:
(1000 + 600) : = 800 (m/ph) Vận tốc xe đạp là:
(1000 - 600) : = 200 (m/ph)
§ TỐN HÌNH HỌC Bài 1:
Cho tam giác ABC, với điểm M, N điểm cạnh AB, AC Chứng minh AMN ABC
1
S = S
4
Bài 2:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD Hai đường chéo AC, BD cắt E Chứng minh SAED = SBEC
Bài 3:
N A
B C
M
A B
C D
E
Hd:
Ta có: SABC = × SABN (Chung c/cao từ B tới AC đáy AC = 2× AN)
SABN = × SAMN (Chung c/cao từ N tới AB đáy AB = 2× AM)
Do suy SABC = × SAMN
Hd:
Ta có: SADC = SBDC (Chung đáy DC c/cao hình thang)
SADC - SEDC = SBDC - SEDC
(36)Cho hình chữ nhật ABCD, I điểm chia AB thành hai phần nhau, đoạn thẳng BD cắt CI K Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết diện tích tứ giác ADKI 20 cm2
Hd:
+ Khẳng định SDIB =
1
SCDB h1 =
1 h2
SIDK =
1 SCDK
SCDI = SIDK + SDKC = 3SDIK
+Mà SCDI = SADI SADI =
3
SIDK hay SIDK =
2 SADI
+ SAIKD = SDAI + SIDK = 20 (cm2) nên suy ra:
SADI +
2
SADI = 20 (cm2) hay SADI = 12 (cm2)
+ SABCD = SADI = 12 = 48 (cm2)
Bài 4:
Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, N cho AM = MN = NB P điểm chia cạnh DC thành phần ND cắt MP O Biết diện tích tam giác DOP lớn diện tích tam giác MON 3, cm2 Tính diện tích hình chữ nhật
ABCD Hd:
Từ SPOD = SMON + 3, cm2 ta có:
SPOD + SNOP = SMON + SNOP + 3,5 cm2
Hay SNPD = SMPN + 3,5 cm2
Mặt khác SNPD = 1, SMPN
(Vì đáy DP = 1, MN đường cao chiều rộng hình chữ nhật)
Do SNPD = 10, cm2; SMPN = cm2
Vậy SABCD = SNPD = 42 (cm2)
Bài 5:
Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108 cm2 M điểm cạnh
AB Trên đoạn thẳng DM lấy điểm I cho DI =
DM Hai đoạn thẳng AI BD cắt điểm K Tính diện tích tứ giác MIKC
Hd:
+ Ta có: SABD =
1
SABCD = 108 : = 54 (cm2)
SADM = SBDM (chung đường cao AD, đáy MA = MB)
SADM =
1
SABD = 54 : = 27 (cm2)
SAID =
1
SADM = 27 : = (cm2);
SAMI =
2
SADM = 18 (cm2)
A B
C D
K I
O h1
h2
M
A B
C
D P
N
O
M
D C
B A
h2
K I
(37)SBID =
1
SBDM = 27 : = (cm2); SBMI =
2
SBDM = 18 (cm2)
SAIB = 18 + 18 = 36 (cm2) SAID : SAIB = : 36 =4
1 h
h 4 S
DIK : SBIK =
1
(chung đáy IK
1
h
h 4)
BK DK
(chung đường cao hạ từ I) SDIK =
1
SBID =
1
= 1, (cm2).
+ Mặt khác ta có SDCK : SBCK =
1
(chung đáy CK
BK DK
) Nên SDCK =
1
SBCD =
1
SABD = 54
1
= 10, (cm2) S
BCM = SADM = 27 (cm2)
Vậy SMIKC = SABCD - SADM - SBCM - SDIK - SDCK
= 108 – 27 – 27 - 1, - 10, = 41, (cm2).
Bài 6:
Cho hình thang ABCD có đáy AB nhỏ đáy CD AD = BC Trên cạnh AD lấy điểm M, kéo dài BC phía C, lấy điểm N cho DM = CN MN cắt DC I Chứng tỏ I điểm MN
Hd:
Ta có SBDC = SADC (chung đáy CD
đường cao t1, t2 hạ từ A B nhau)
t1 = t2 (Vì có đáy AD = BC)
SDNC = SDMC
(Vì có đáy MD = NC hai đường cao t1 = t2 )
h1 = h2 (chung đáy DC)
SMIC = SNIC (chung đáy IC chiều cao h1 = h2)
IM = IN (chung đường cao hạ từ C) Bài 7:
Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh CD = 20cm, AD = 14cm Hai điểm M, N thuộc cạnh AB cho AM = 8cm, BN = 4cm Hai đường thẳng CM DN cắt K Tính tỷ số
KN
KD diện tích SAMKD ? Hd:
- Tính KN
= ? KD
Ta có SNCM = 56 cm2 SDCM = 140 cm2
NCM DCM
S 56
= =
S 140
h
=
h (h
1, h2 chiều cao từ N, D tới CM)
(38)Mà h1, h2 chiều cao MKN MKD nên:
MKN MKD
S h
= =
S h
Mặt khác MKN MKD
S KN
=
S KD ( Vì tam giác chung chiều cao hạ từ M tới DN) Vậy ta suy ra:
KN
=
KD 5
- Tính SAMKD = ?
Ta có: MKN MKD
S KN
= =
S KD 5 S
MKN + SMKD = 56
Đưa dạng toán tìm số biiét tổng 56 cịn tỷ số 2/5 Ta dễ dàng tính SMKD = 56 : ( + 5) = 40 cm2
Suy SAMKD = SADM + SMDK = 56 + 40 = 96
Bài 8:
Cho hình chữ nhật MNPQ có độ dài cạnh MN = 15cm, NP = 12cm Hai điểm E, F thuộc cạnh MN cho ME = NF = 6cm Hai đường QF PE cắt K Tính tỷ số
KF
KQ diện tích S
MEKQ ?
Hd: - Tính
KF = ? KQ
Ta có SPEF = 18 cm2 SEPQ = 90 cm2
FEP QEP
S 18
= =
S 90
h
=
h 5 (h
1, h2 chiều cao từ F, Q tới EP )
Mà h1, h2 chiều cao FKE QKE nên ta có:
FKE QKE
S h
= =
S h
Mặt khác FKE QKE
S KF
=
S KQ ( Vì tam giác chung chiều cao hạ từ Etới QN ) Vậy ta suy ra:
KF
=
KQ 5
- Tính SAMKD = ?
Tính FKE QKE
S KF
= =
S KE 5 S
QKE + SFKE = 18
Đưa dạng tốn tìm số biiét tổng 56 cịn tỷ số 1/5 Ta dễ dàng tính SQKE = 18 : ( + 5) = 15 cm2
Suy SMEKQ = SMEQ + SQKE = 36 + 15 = 51 cm2
(39)Cho▲ABC có diện tích 120 cm2 Hai điểm M, N thuộc cạnh CA CB
sao cho CM =
3 CA; CN =
3 CB Hai đường BM cắt AN K Tính SAMNB tỷ số KB
KM ?
Hd:
- Tính SAMNB = ?
SCAN = 1/3 SCAB
= 1/3 120 = 40 SCMN = 2/3 SCAN
= 2/3 40 = 80/3 SBCMN = 120 – 80/3 = 280/3
- Tính KB
KM=?
Ta có: SABN = 2SACN ( Vì chung chiều cao hạ từ A tới BC đáy BN = 2CN )
SKBN = 2 SKCN ( Vì chung chiều cao hạ từ K tới BC đáy BN = 2CN )
SKAB = SKAC
Mà dễ thấy SKAC = SKAM ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ K tới AC đáy AC
= 3.AM )
Do suy ra: SKAB = 3 SKAM = 6.SKAM
KAB KAM
S
= =
S
Mặt khác KAB KAM
S KB
=
S KM ( Vì tam giác chung chiều cao hạ từ A tới BM ) Vậy ta suy ra:
KB =
KM
Bài 10:
Cho▲ABC có diện tích 180 cm2 Hai điểm M, N thuộc cạnh CA CB
sao cho CM =
3 CA; CN =
3 CB Hai đường BM cắt AN K Tính SAMNB tỷ số KM
KB .
Hd:
- Tính SAMNB = ?
SCAN = 2/3 SCAB
= 2/3 180 = 120 SCMN = 1/3 SCAN
= 1/3 120 = 40 SBCMN = 180 – 40 = 140
- Tính KM
KB =?
Ta có: SACN = 2SABN ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ A tới BC đáy CN =
2BN )
A
B C
M
N K
A
B C
M
(40)SKCN = 2SKBN ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ K tới BC đáy CN =
2BN )
SKAC = SKAB
Mà dễ thấy SKAM = 2/3 SKAC ( Vì chúng chung chiều cao hạ từ K tới AC đáy
AM = 2/3AC )
Do suy ra: 3/2 SKAM = SKAB
KAM KAC
S
=
S
Mặt khác KAM KAB
S KM
=
S KB ( Vì tam giác chung chiều cao hạ từ A tới BM ) Vậy ta suy ra:
KM
=
KB 4
Bài 11:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC biết DC = 3AB Hai đường chéo AC cắt BD E
Chứng minh SADE = SBCE tính tỷ số
EA EC Hd:
- Chứng minh SADE = SBCE
Ta có: SBCD = SACD ( Chúng chung đáy DC
và chiều cao hình thang)
Do đó: SADE - SCDE = SBCE - SCDE
Suy ra: SADE = SBCE
- Tính EA
= ? EC Ta có:
BEA BEC S EA
=
EC S ( Chúng chung chiều cao hạ từ B tới AC )
BEA BEC
S h
=
S h (Chung đáy BE nhận h
1, h2 chiều cao hạ từ A, C tới BE )
Mà
1 ABD CBD
h S
=
h S ( Vì h
1, h2 chiều cao hạ từ A, C tới BD )
Dễ thấy SCBD = 3SABD ( Do chúng chung chiều cao chiều cao hình thang
và DC = 3AB) Từ dễ dàng suy ra:
EA
=
EC
Bài 12:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC biết DC = 3AB Hai đường chéo AC cắt BD I
Chứng minh SADI = SBCI tính tỷ số
IB ID Hd:
A B
C D
E h1
h2
A B
(41)- Chứng minh SADI = SBCI
Ta có: SBCD = SACD ( Chúng chung đáy DC
Và chiều cao hình thang) Do đó: SADI - SCDI = SBCI - SCDI
Suy ra: SADI = SBCI
- Tính IB
= ? ID Ta có:
AIB AID S IB
=
ID S ( Chúng chung chiều cao hạ từ A tới BD )
AIB AID
S h
=
S h ( Chung đáy AI nhận h
1, h2 chiều cao hạ từ B, D tới AI )
Mà
BAC
2 DAC S h
=
h S ( Vì h
1, h2 chiều cao hạ từ B, D tới AC )
Dễ thấy SDAC = 3SBAC (Do chúng có chiều cao chiều cao hình thang
và DC = 3AB) Từ dễ dàng suy ra:
IB
=
ID
Bài 13:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC biết DC = 3AB Hai đường chéo AC cắt BD I hai cạnh bên CB cắt DA O
Chứng minh SADI = SBCI tính tỷ số
OA OD Hd:
- Chứng minh SADI = SBCI
Ta có: SBCD = SACD (Chúng chung đáy
DC chiều cao hình thang) Do đó: SADI - SCDI = SBCI - SCDI
Suy ra: SADI = SBCI
- Tính OA
= ? OD Ta có:
COA COD S OA
=
OD S ( Chúng chung chiều cao hạ từ C tới OD )
COA COD
S h
=
S h (Chúng chung đáy OC nhận h
1, h2 chiều cao hạ từ A, D
tới OC ) Mà
ABC
2 DBC S h
=
h S (Vì chung đáy BC h
1, h2 chiều cao hạ từ A, D tới BC) C D
O
A B
C D
I h1
(42)Dễ thấy SDBC = 3SABC (Do chúng có chiều cao chiều cao hình thang
DC = 3AB) Từ dễ dàng suy ra:
OA
=
OD
Bài 14:
Cho▲ABC với hai điểm M, N trung điểm cạnh AB, AC Hai đường thẳng CM cắt BN E kẻ đường AE cắt cạnh BC điểm F Hãy tìm tỷ số
EM
EC và chứng minh F trung điểm cạnh BC.
Hd: - Tính
EM = ? EC
Dễ thấy: SCAM = SBAN =
ABC
S
2
Suy ra: SECN = SEBM
Mặt khác ta có: SEBM = SEAM SECN = SEAN
Do đó: SEBM = SEAM = SECN = SEAN =
ABC
S 6
SEAC = SEAB = SEBC =
ABC
1 S
3
SEAM =
EBC
S
2 Suy ra:
EM
=
EC
- Chứng minh rằng: BF = CF
Theo chứng minh ta có: SEAC = SEAB
Mà hai tam giác lại có chung cạnh AE, nên suy ra: h1 = h2 (Với h1, h2
chiều cao hạ từ B, C tới AE)
Suy ra: SEBF = SECF (Vì hai tam giác nhận h1, h2 chiều cao chung
đáy EF) Do suy ra: BF = CF Bài 15:
Cho▲ABC với hai điểm M, N hai cạnh AB, AC cho: AB = 3AM, AC = 3AM Biết diện tích SABC = 180 cm2 hai đường thẳng CM cắt BN E
Hãy tính SMNCB tìm tỷ số
EM
EC .
Hd:
- Tính SMNCB = ?
Ta có: AMN AMC
S S
3
(Chung chiều cao hạ từ M tới AC đáy AC = 3AN) AMC ABC
1
S S
3
(Chúng chung chiều cao hạ từ C tới AB đáy AB = 3AM)
Suy ra:
2
AMN ABC
1
S S = 20 cm
9
A
B C
M N
E
F h1
h2
A
C
M N
(43)Do đó: SMNCB = 180 – 20 = 160 cm2
- Tính EM
= ? EC
Ta có: BAN BCN
S S
2
(Chung chiều cao hạ từ B tới AC đáy CN = 2AN) EAN ECN
1
S S
2
(Chung chiều cao hạ từ E tới AC đáy CN = 2AN) Do đó: BAN EAN BCN ECN
1
S S (S S )
2
BAE BCE
S S
2
Mặt khác có: EBM EAB
S S
3
(Chung chiều cao hạ từ E tới AB đáy AB = 3AM)
Do suy ra: EBM BCE
3
S S
2 2 Suy ra: EBM
EBC
S
=
S
Bài 16:
Cho▲ABC với hai điểm E, F hai cạnh AB, AC cho: AB = 3AE, AC = 2AF Biết diện tích SABC = 240 cm2 hai đường thẳng CE cắt BF K
Hãy tính SEFCB tìm tỷ số KE KC .
Hd:
- Tính SEFCB = ?
Ta có: AEF AEC
S S
2
(Chung chiều cao hạ từ E tới AC đáy AC = 2AN)
AEC ABC
1
S S
3
(Chung chiều cao hạ từ C tới AB đáy AB = 3AE)
Suy ra:
2 AEF ABC
1
S S = 40 cm
6
Do đó: SEFCB = 240 – 40 = 200 cm2
- Tính KE
= ? KC
Ta có: SBAF SBCF ( Chúng chung chiều cao hạ từ B tới AC đáy CF = AF)
Ta có: SKAF SKCF ( Chúng chung chiều cao hạ từ K tới AC đáy CF = AF)
B C
A
B C
E
F K
(44)Do suy ra: SBAF - SKAF = SBCF – SKCF SBAK SBCK
Mặt khác có: KBE KAB
S S
3
(Chúng chung chiều cao hạ từ K tới AB đáy AB = 3AE) Do suy ra: KBE BCK
3
S S
2 Suy ra:
KBE KBC
S
=
S KCKE = 23
Bài 17:
Cho▲ABC có diện tích 216 m2, AB = AC BC = 36m Trên cạnh AB lấy điểm
M cho
1
MB = AB
2 , cạnh AC lấy điểm N cho
1
NC = AC
2 cạnh BC lấy điểm I cho
1
BI = BC
2 Nối M với N N với I, ta hình thang
MNIB Hãy tính :
a) Diện tích hình thang MNIB b) Độ dài đoạn thẳng MN Hd:
a) Diện tích hình thang MNIB Ta thấy: SNAM =
1
2 SNBA
SBNA =
1
2 SBCA
Vậy suy ra: SNAM =
1
4 SBCA = 54 m2
Tương tự có: SCNI = 54 m2
Do có: SMNIB = 216 – 54 – 54 = 108 m2
b) Độ dài đoạn thẳng MN: SBNC =
1
2SBCA = 108 m2 , mà BC = 36 m Suy chiều cao hạ từ N tới BC là:
108 : 36 = (m)
Diện tích hình thang MNCB là: 216 – 54 = 162 (m2)
Độ dài đáy MN là: 2162 : – 36 = 72 (m)
36 m A
B C
M N
I h
E
F A
B I C
h1
l1 l2 Bài 18:
Cho ∆ABC có: AB = AC Biết điểm E cạnh AB điểm F AC kéo dài cho BE = CF Gọi I = EF BC
Chứng minh : IE = IF Hd:
- Để c.m.r IE = IF ta c.m.r tam giác BEI BFI chúng có diện tích
- Để c.m.r tam giác BEI BFI có diện tích ta c.m.r h1 = h2
- Để c.m.r h1 = h2 ta c.m.r tam giác EBC FBC có
diện tích
- Để c.m.r tam giác EBC FBC có diện tích ta c.m.r l1 = l2
Ta thấy l1 = l2 đễ thấy tam giác ABC có AB = AC
(45)Hd:
- SAEID = SABCD – SEBC – SICD
= 400 – 100 – 80 = 220
- Dễ dàng tính tổng diện tích hai tam giác ICF ICD 100 - Xét việc tính tỉ số diện tớch hai tam giác ICF ICD:
ICF ECF
ICD ECD
S h S 50
= = = =
S h S 200
- Suy ra: SICD = 100 : (4 + 1) = 80
- SAEID = SABCD – SEBC – SICD = 400
Bài 20:
Cho ∆ABC có dt(ABC) = 100 cm2 Lấy hai điểm E
cạnh AC F cạnh BC cho BF =
1
2 FC CE =
3 AE.Gọi điểm K = EFAB Hãy tính dt (ABFE) = ? tính tỷ số
KB ?
KA
Hd:
dt(KCF) = 2dt(KBF)
+
dt(ECF) = 2dt(EBF)
dt(KCE) = 2dt(KBE)
Mà dt(KCE) =
3dt(KAE) dt(KBE) =
1
6dt(KAE)
KB
KA 6
Bài 21:
A B
C D
E
F I 20
C A
B
E
F K
Bài 19:
Cho hình vngABCD có độ dài cạnh 20cm
Biết điểm E cạnh AB điểm F cạnh BC cho EA = EB = FB = FC
Gọi I = CE DF
(46)Cho ∆ABC có hai điểm M cạnh AB N cạnh AC cho AM =
3 AB
và AN =
3 AC Lấy điểm E MN ; Gọi F = AEBC Tính tỉ số
AE ?
AF
Hd:
Ta cú dt(AMF) =
3dt(ABF) dt(ANF) =
1
3dt(ACF) dt(MNP) = 2dt(AMN)
h2 = h1
dt(MEF) = 2dt(AME)
dt(NEF) = 2dt(ANE)
AF EF = 2AE
EF + AE = 3AE
AE
EF 3
Bài 22 :
Cho ABCD hình chữ nhật Lấy điểm E cạnh AD F cạnh BC cho EA = ED = FB = FD
Hai điểm M cạnh AB N cạnh DC.Gọi điểm I = EF MN a) Tính dt(ABFE) = ?
dt(EFCD) = ? theo dt(ABCD) b) So sánh MI NI
Hd:
a) dt(ABFE) =
(AE+BF)×AB AD×AB
= = dt(ABC)
2 2
dt(DEFC) = ? Tương tự vỡ hai hình thang b)
1
dt(AEM)+dt(BFM)= AM×AE+ BM×BF
2
1
= (AM+BM)×AD = AB×AD
4
Tương tự ta có :
1
dt(DEM)+dt(CFN)= AB×AD
4
dt(MEF) = dt(NEF) h1 = h2 IM = IN
Bài 23:
Cho ABCD hình chữ nhật
C A
B
E
F N M
h1
h2
A B
C D
E F
M
N I
A B
E F
M
(47)Lấy điểm E, F hai cạnh AB, CD cho EA = ED = FB = FC Lấy I EF cho EI = FI
a) So sánh: dt(AMND) dt(CNMB)
b) Chứng minh rằng:
AM + DN EI =
2 Hd:
1
dt(AEM)+dt(DEN)= (AM+DN)×AE
2
= (AM+DN)×AD
1
= dt(AMND)
dt(AEM) + dt(DEN) = dt(EMN)
Tương tự : dt(BFM) + dt(CFN) = dt(FMN) Ta có : dt(MEI) = 2 dt(MFI)
dt(NEI) = 2 dt(NFI)
dt(MEI) + dt(NEI) = dt(MFI) + dt(NFI)
dt(EMN) = 2 dt(FMN)
2dt(EMN) = 4 dt(FMN)
Do suy ra: dt (AMND) = 2dt (CMNB)
Bài 24:
Cho ABCD hình chữ nhật BC = ; AB = 10
BM = DN ; EB = EC
Kẻ EF song song với AB, CD
a) So sánh: dt(AMND) dt(BMNC) b) Tính EF = ?
Hd: a)
- Chứng tỏ hai tứ giác BMNC DNMA hai hình thang
- Áp dụng cơng thức tính diện tích hình thang vào tứ giác BMFE EFNC - Từ suy diện tích chúng nửa diện tích hình chữ nhật
b)
Tính tổng diện tích hai hình thang BMFE EFNC hai hình thang diện tích hình thang BMNC 40
Ta có: (BM + EF) + (EF + CN) = 40 (BM + EF) + (EF + CN) = 20
Mà ta biết BM + CN = AB = 10 nên suy ra: EF = 10
EF =
C D
N
A B
C D
E F
M
N
(48)Bài 25:
Cho ABCD hình chữ nhật có: Diện tích hình chữ nhật 108 cm2
MA = MB ; DM = DN
Hãy tính:
a) dt(DMI) =? b) dt(DIC) =? c) dt(MNIC) =? Hd:
a)
Ta có
2
dt(BDM) = dt(ABD) = 27 cm 2
dt(AMN) = dt(ADN) dt(IMN) = dt(IDN)
dt(AMN) + dt(IMN) = [dt(ADN) + dt(IDN)]
dt(AMI) = dt(ADI)
Mà dt(AMI) = dt(BMI) dt(AMI) = dt(BMI) = dt(ADI)
Ta dễ thấy dt(AMI) + dt(BMI) + dt(ADI) = dt(ABD) = 54 cm2
Do suy ra: dt(BMI) = 54 : = 21,6 cm2
dt(DMI) = dt(BMD) – dt(BMI) = 27 – 21,6 = 5,4 cm2
b)
Ta có
2
dt(BDM) = dt(BCD) = 27 cm 2
h1 = 2 h2
dt(DIC) = 2 dt(DMI) = 5,4 = 10,8 cm2
c)
Ta có dt(DMI) = dt(DNI) + dt(MNI) = 5,4 cm2
dt(MNI) = dt(DNI)
dt(MNI) = 5,4 : (2 + 1) = 3,6 cm2
Do ra: dt(MNIC) = dt(BMI) + dt(MNI) + dt(BCD) – dt(CDI) dt(MNIC) = 21,6 + 3,6 + 54 – 10,8 =
Bài 26:
Cho ABCD hinh thang có:
Biết dt(ODC) = cm2 ,dt(OAB) = cm2 Hãy tính dt(ABCD) = ?
Hd: Ta có:
OB dt(AOB)
=
OD dt(AOD)
OB dt(COB)
=
OD dt(COD)
Do suy
dt(COB) dt(AOB)
=
dt(COD) dt(AOD) Mà dễ thấy dt(COB) = dt(AOD) = x giả thiết
đã cho dt(ODC) = cm2 ,dt(OAB) = cm2 Suy có:
x
=
4 x x = 2
Vậy diện tích dt(ABCD) = + + + = cm2
A B
C D
O
C D
A M B
I
N h1
(49)Bài 27:
Co tứ giác ABCD hình thang Điểm M AB cho MA = MB
Gọi giao điểm ACDB = O; MOCD = N Hãy so sánh độ dài hai đoạn NC ND
Hd:
Ta có: dt (DMB) = dt(CMA)
S4 + S3 + S2 + S6 = S1 + S2 + S3 + S5
Mà S4 +S3 = S1 +S2
( Vì ta biết : dt(OAM) = dt (OBM) )
S2 + S6 = S3 + S5 dt( DOM) = dt( COM)
h1 = h2 dt(DOM) = dt(COM) NC = ND
Bài 28:
Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 675 m2 tổng chiều dài và
chiều rộng gấp lần hiệu chúng Tính kích thước ruộng Hd:
Theo ta có sơ đồ sau:
Do ta có chiều rộng mảnh đất là: (8 – 2) : = (Phần)
Do ta có chiều dài mảnh đất là: (8 + 2) : = (Phần)
Ta chia chiều dài thành phần nhau, chiều rộng thành phần đồng thời nối cặp điểm tương ứng chiều dài chiều rộng ta 15 ô vuông với cạnh ô vuông phần
Vậy diện tích vng là: 675 : 15 = 25 (m2)
Vậy kích thước mỗ ô vuông m Kích thước chiều rộng ruộng là:
= 15 (m)
Kích thước chiều rộng ruộng là: = 25 (m)
Bài 29:
Chứng tỏ tất hình chữ nhật vng hình vng chu vi hình vng có diện tích lớn
Hd:
Theo ta có hình vẽ sau:
C D
A B
O M
N
A B
M
N P x
x Q
(50)Bài 30:
Cho tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm Hãy tính độ dài cạnh huyền BC
Hd:
Bài 31:
Cho tam giác ABC Hãy cắt ghép tam giác tạo thành hình chữ nhật Hd:
Bài 32:
Khi tăng bán kính hình trịn thêm 20% diện tích hình trịn tăng thêm phần trăm?
Hd:
Bán kính hình trịn cũ R, diện tích hình trịn cũ là: 3,14 R R
Vậy bán kính hình trịn 120% R, diện tích hình trịn là:
3,14 120% R 120%R = 3,14 R R 144%
C D
x
A
B C
H
N M
E F
- Cắt tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm toán cho
- Ghép tam giác vng lại với tạo thành hình vng ABCD có cạnh cạnh huyền chúng tạo hình vng MNPQ rỗng (theo hình vẽ bên)
- Ta có diện tích hình vng ABCD là: + = 25
- Suy cạnh hình vng cm, tức cạnh huyền cm
Q N
P M
A B
C D
- Cách cắt:
+ Lấy hai điểm M, N điểm AB, AC
+ Hạ AH MN = H
+ Hạ BE MN = E
+ Hạ CF MN = F
- Cách ghép:
+ Ghép AHM vào BEM
+ Ghép AHN vào CFN
Ta có ABC cắt ghép thành hình
(51)Do ta có diện tích hình trịn tăng lên là: 144% - 100% = 44%
Bài 36:
Hãy chia tứ giác lồi ABCD thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh AB tứ giác đó?
Bài 33:
Dùng que diêm xếp thành 10 hình tam giác?
Hd:
Xếp theo hình ơng cánh hình bên
Bài 34:
Dùng que diêm xếp thành hình tam giác?
Hd:
Xếp theo hình tam giác lồng vào hình vẽ bên
N D A
B C
M
Bài 35:
Hãy chia tam giác thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh tam giác đó?
Hd:
Cách dựng:
+ Lấy D điểm cạnh BC
+ Kẻ tia Ax // MD cắt BC N Nối MN đường thẳng cần dựng
Chứng minh: Dùng phương pháp diện tích
N
E D C F
A
B M
Hd:
Cách dựng:
+ Kẻ tia Ax // MD cắt CD kéo dài điểm E
+ Kẻ tia By // MC cắt DC kéo dài điểm F
+ Lấy N điểm cạnh EF Nối MN đường thẳng cần dựng
Chứng minh:
(52)Bài 37:
Khi tăng chiều rộng hình chữ nhật thêm 10% phải giảm chiều dài phần trăm để diện tích hình chữ nhật khơng đổi?
Hd:
Hình chữ nhật cũ: Diện tích = chiều dài × chiều rộng Hình chữ nhật mới:
+ Chiều rộng = 1,1 × chiều rộng + Chiều dài = x × chiều dài
+ Diện tích = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài Để diện tích khơng đổi ta có:
Chiều dài × chiều rộng = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài
1,1× x =
10 x =
11 Vậy suy chiều dài phải giảm
10
1 - =
11 11
Bài 38:
Hãy chia hình chữ nhật kích thước cm × cm thành phần tương đương có hình dạng đơi khác nhau?
Hd:
+ Cách 1: Dùng mắt lưới ô vuông
Chia chiều rộng thành phần phần cm Chia chiều dài thành phần phần cm
Nối điểm chia tương ứng cạnh tạo thành 24 ô vuông ô vuông cạnh cm
Cắt hình chữ nhật thành hình hình vng có hình dạng đôi mặt khác
+ Cách khác: Không dùng mắt lưới ô vuông sử dụng điểm (12 cách)
M
A B
C
D N
A B
C
D N
M P
A B
C
D N
M Q
A B
C
D N
M P
(53)Bài 39:
Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, …… , A10 điểm O
ngồi đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 11 điểm với nhau?
Hd:
Ta thấy:
Điểm A1 với điểm Ai lại sau A1 với điểm O tạo thành hình
tam giác
Điểm A2 với điểm Ai lại sau A2 với điểm O tạo thành hình
tam giác
…………
Điểm A9 với điểm A10 lại sau A9 với điểm O tạo thành hình
tam giác
Vậy số tam giác tạo thành là: + + + + + + + + = 45 Bài 40:
Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, …… , A10 hai điểm P, Q
ngồi đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 12 điểm với nhau?
O
A B
C
D N
Tạo hình
M
A B
C D
O Tạo hình
O
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
P
(54)Hd:
Ta áp dụng kết toán trên: Điểm P 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành; điểm Q 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành
Xét điểm P, Q, với 10 điểm thẳng hàng không thẳng hàng ta có 10 tam giác tam giác
Kết luận:
Nếu P, Q không thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + 10 = 100 (tam giác)
Nếu P, Q thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + = 99 (tam giác)
§ MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC Bài 1:
Một cửa hàng gạo có tổng số gạo nếp gạo tẻ 1950 kg Sau bán
số gạo nếp
3
số gạo tẻ số gạo nếp gạo tẻ lại Hỏi lúc đầu cửa hàng có kg gạo nếp; kg gạo tẻ?
Hd:
Ta có:
số gạo nếp lúc đầu =
số gạo tẻ lúc đầu Do
1
số gạo nếp lúc đầu =
số gạo tẻ lúc đầu
Biểu thị số gạo nếp lúc đầu phần, số gạo tẻ lúc đầu phần, ta có sơ đồ:
Giá trị phần 1950 : (6 + 7) = 150 (kg) Số gạo nếp lúc đầu 150 = 900 (kg)
Số gạo tẻ lúc đầu 150 = 1050 (kg)
1950 kg Gạo nếp:
Gạo tẻ:
(55)Bài 2:
Một cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh Sau bán
8 số cam
3
5 số chanh người bán hàng thấy cịn lại 150 hai loại, số cam bằng
3 số chanh Hỏi lúc đầu cửa hàng có loại? Hd:
Phân số số cam lại
5
1
8
Phân số số chanh lại
3
1
5
Ta có sơ đồ:
+
3
8 số cam lại cửa hàng 150 : (2 + 3) = 60 (quả). +
2
5 số chanh lại cửa hàng 150 – 60 = 90 (quả). Số cam lúc đầu cửa hàng có 60 : = 160 (quả) Số chanh lúc đầu cửa hàng có 90 : = 225 (quả) Bài 3:
Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam nước tinh khiết vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối cịn 3%?
Hd:
Lượng muối có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (5 × 45) : 100 = 2,25 (g)
Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 3% có chứa 2,25 gam muối là: (2,25 × 100) : = 75 (g)
Lượng nước tinh khiết cần phải đổ thêm vào là: 75 - 45 = 30 (g)
Bài 4:
Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam muối vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối tăng lên 9%?
Hd:
Lượng nước tinh khiết có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là:
(95 × 45) : 100 = 42,75 (g)
Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 9% có chứa 42,75 gam nước tinh khiết là:
(42,75 × 100) : = 47,5 (g)
150
(56)Lượng muối cần phải đổ thêm vào là: 47,5 - 45 = 2,5 (g) Bài 5:
Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 5? Hd:
Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × ×
Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × ×
Kết luận:Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (5 × × × × 9) + (5 × × × × 8)
Bài 6:
Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 2? Hd:
Số số tự nhiên gồm chữ số khác nhau: + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × ×
Mà tập số tự nhiên số số chẵn số lẻ nhau, nên suy số số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho là:
(5 × × × × × 9) : = × × × × × Bài 7:
Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 4? Hd:
(57)Số số gồm chữ số hàng chục hàng đơn vị khác mà chia hết cho 4: {04, 08, 12, … , 92, 96 } \ {44, 88} [(96 – 04) : +1] – [2] = 22 Trong 22 số có 16 số khơng chứa chữ số khơng số chứa chữ số là: 04, 08, 20, 40, 60, 80
Trường hợp 1: Hai chữ số cuối chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × [5 × × × 8]
Trường hợp 2: Hai chữ số cuối không chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: 16 × [5 × × × 7]
Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (6 × [5 × × × 8]) + (16 × [5 × × × 7]) Bài 8:
Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho cấu tạo từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
Hd:
Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × ×
Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
+ Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn
Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × ×
Kết luận:Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (4 × × × ) + (4 × × × )
Bài :
Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi lập số tự nhiên từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần?
Hd:
Theo ta thấy số tự nhiên có chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần số tự nhiên có chữ số
(58)Chữ số có mặt lần, tức chiếm vị trí cịn lại vị trí cịn lại: Chữ số có C3
6 = 20 cách chọn
Với vị trí cịn lại chữ số 1, 2, chữ số chiếm một, nên có 3! =1 × × cách chọn
Số số tự nhiên chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có
mặt lần là: × 20 × = 120 số
Bài 10:
Hỏi có số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần?
Hd:
Ta có:
+ Số số tự nhiên gồm chữ số là: × 10 × 10 × 10
+ Số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần là:
Chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là:
Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số
Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại
lần là: × × × = 35 ………
Chữ số lặp lại lần là:
Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số
Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại
lần là: × × × = 35
Vậy số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần + × 35 = 324
Suy ra: Số số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần là: [9 × 10 × 10 × 10] – [324] = 8676
Bài 1 :
Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 5?
Hd:
Trường hợp 1: Số tự nhiên tạo thành chứa chữ số
- Có vị trí chọn chữ số 0, sau cịn vị trí chọn chữ số
- Ta thấy vị trí cịn lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × cách chọn
(59)- Có cách chọn vị trí chọn chữ số 5, sau cịn vị trí cịn lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × × cách chọn
Do số số tự nhiên trường hợp là: × [5 × × × 2] Tóm lại: Số số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số là: {4 × × [5 × × 3]} + {5 × [5 × × × 2]}
Bài 12:
Một đoàn vận động viên tham gia thi đấu thể thao gồm môn bắn súng bơi lội Trong đồn số vận động viên nam có 10 người, số vận động viên bắn súng có 14 người.Tính số người toàn đoàn, biết số nữ thi bơi số nam bắn súng
Hd:
Ta có:
Số người toàn đoàn = Số nam + Số nữ
Số nữ toàn đoàn = Số nữ bơi + Số nữ bắn súng
Mà theo ta có số nữ thi bơi số nam bắn súng, nên suy ra:
Số nữ toàn đoàn = Số nam bắn súng + Số nữ bắn súng = Số người bắn súng = 14 người
Vậy số người toàn đoàn là: 10 + 14 = 24 (người) Bài 13:
Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 người thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh nhau?
Hd:
Để học sinh nam đứng cạnh ta có số cách 7! = × 2× 3× 4× 5× 6×
Khi học sinh nam đứng cạnh ta coi vị trí với học sinh nữ xếp vào vị trí Ta có 4! = × 2× 3× cách
Do số cách xếp 10 học sinh cho thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh là: 4! × 7!
Bài 14:
Hỏi có cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh nhau?
Hd:
Số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang là: (1 × × × × 5)
Hai người A, B đứng cạnh ta coi người hàng cịn người có trường hợp xảy
Mà số cách xếp người thành hàng ngang là: × × ×
Do số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B đứng cạnh là: (1 × × × 4) ×
(60)Bài 15:
Trong tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Hỏi ngày 26 tháng ngày thứ mấy?
Hd:
Vì tháng có ngày thứ năm ngày chẵn tháng tối đa chứa ngày thứ, nên suy ra: Tháng có ngày thứ năm (2 ngày thứ năm lẻ xen kẽ ngày thứ năm ngày chẵn.)
Các ngày thứ năm tháng là: a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28 Nếu a số lẻ a + a + 21 phải số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Vậy suy a phải só chẵn
Vì số ngày tháng từ tới 31, nên ta có a + 28 31 a
Từ suy a =
Do suy ra: Ngày 23 = + × thứ năm ngày 26 ngày chủ nhât Bài 16 :
Một nhóm bạn thân bao gồm nam nữ Tính số người nhóm người biết rằng:
- Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân - Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân Hd:
Theo ta có:
Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân mình, tức là: Số nam nhiều số nữ người (Số nam = Số nữ + 1) Suy ra: lần số nam lần số nữ thêm vào người
Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân mình, tức là: Số nam lần số nữ bớt người (Số nam = × Số nữ - 2)
Do suy ra: lần số nữ bớt số nữ thêm vào người
Vậy suy ra: Số nữ người Từ suy số nam người Vậy ta có số người nhóm người
Bài 17 :
Giá hoa ngày 8/3 tăng 10% so với trước ngày 8/3, giá hoa sau ngày 8/3 giảm 10% so với ngày 8/3 Hãy so sánh giá hoa trước ngày 8/3 sau ngày 8/3?
Hd:
Gọi giá hoa trước ngày 8/3 100% ta có giá hoa ngày 8/3 110% giá hoa sau ngày 8/3 là:
110 110 10 99
110% - 110% 10% = - = 99%
100 100 100 100
Vậy giá hoa sau ngày 8/3 rẻ giá hoa sau ngày 8/3 1% Bài 18 : Nguyên tắc Điriclê tổng quát
Cho tập hợp A gồm n phần tử riên biệt Chứng minh rằng: Với cách phân hoạch tập hợp A thành m tập rời nhau: A1, A2, … , Am ln ln tồn
tập chứa
n [ ] +
m phần tử
(61)Theo phân hoạch tập hợp A phân hoạch thành m tập rời A1,
A2, … , Am , nên ta có:
m
i i j
i =1
A = A & A A =
với I ≠ j
Nếu tất Ai có số phần tử
n
[ ]
m thì số phần tử A sẽ
n m [ ] < n
m
Do suy phải tồn tập Ai cho chứa n [ ] +
m
phần tử Bài 19 :
Trong lớp học có 32 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh có em có tháng sinh?
Hd:
- Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 31 (Vì tháng có tối đa 31 ngày) Ta có kết là:
n 32
[ ] + = [ ] + =
m 31 học sinh ngày sinh - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 12 (Vì có 12 tháng) Ta suy kết là:
n 32
[ ] + = [ ] + =
m 12 học sinh tháng sinh Bài 20 :
Trong trường học có 740 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh tháng sinh?
Hd:
Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 740 m = 366 (Vì năm có 365 ngày 366 ngày) Ta suy kết là:
n 740
[ ] + = [ ] + =
m 366 học sinh cùng