Đang tải... (xem toàn văn)
b) Chứng minh tam giác BCD vuông và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD. Chứng minh rằng : BCD.. a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a... b) Tính diện tích xung quanh hìn[r]
(1)BỘ ĐỀ THI HỌC KỲ I THAM KHẢO Mơn thi: TỐN, Khối 12
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1
Câu 1.( điểm) Cho hàm số
2
( ) x
y C
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C),biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳngy4x17 Câu 2.( điểm)
a) Cho hàm số f x( )e2xsinx.Tính f x"( ) giải phương trình f x"( ) 0 b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số f x( ) ln(1 ) x x2 với x ;0
Câu 3.( điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình thang vng A D có ABAD a CD , 2a Cạnh bên SD vuông góc với đáy mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 450
a) Chứng minh SAD450 tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh tam giác BCD vng tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD c) Một mặt phẳng ( ) cắt cạnh SA, SB, SC, SD K, L, P, N
Chứng minh : BCD ABD ABC ACD
SA SC SD SB
S S S S
SK SP SN SL ( kí hiệu SABC diện tích tam giác ABC)
Câu 4.( điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
5
xy y x y
x y m
(2)HƯỚNG DẪN CHÁM TOÁN
Câu Đáp án Điểm
1
a(2 điểm)
1)Hàm số có TXĐ: D R \ 2 0,25
2) Sự biến thiên hàm số: a) Giới hạn đường tiệm cận:
*
y lim ;
y lim
2 x
x
Do đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số
* xlim yxlim y 2 đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số
0,5
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
' 0,
2
y x
x
Bảng biến thiên:
x - +
y’ -
-y
-
+
2 * Hàm số nghịch biến khoảng ;2 2; ; khơng có cực trị
0,75
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung
2 ;
cắt trục hoành điểm
0 ;
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0,5
b(1 điểm) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến cần lập, hệ số góc tiếp
0,25 O
y
x
3/2 3/2
(3)tuyến 0 '( ) ( 2) y x x
Từ giả thiết ta được:
0 0
'( ).4 1
4 ( 2) x y x x x
0,25
Với x0 0, pt tiếp tuyến
1
4
y x
0,25 Với x0 4, pt tiếp tuyến
1
4
y x
0,25
2
a(1 điểm) f x'( ) e2xcosx 2.e2xsinx
0,25
2 2
"( ) xsin xcos x 3sin 4cos
f x e x e x e x x
0,25
4
"( ) 3sin 4cos arctan
3 f x x x x k
, k Z 0,5
b(1 điểm) 2 4 2 2
'( )
1 2
x x
f x x
x x
0,25
1
'( ) 2;0 2;0
2
f x x x
0,25
1
( 2) ln 4; (0) 0; ( ) ln
2
f f f
0,25 2;0 2;0
1
max ( ) ln ; ( ) ln
4 x
x f x f x 0,25
3
a(2 điểm) Chứng minh SAD 450 0,5 Tính được: ABCD
S a
0,5 Tính được: SD = a
0,5
Tính được:
3
1
3 ABCD
V SD S a
0,5 b
(1,5điểm) Tính được:
2 2 4
BD BC CD a BCD vuông B
( Hoặc gọi F trung điểm CD , chứng minh FB = FC = FD) 0,25 Nêu tam giác SBC vuông B , tam giác SCD vuông D
Gọi I trung điểm SC IS = IB = IC = ID nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD
0,25
Tính bán kính
1
2
a
R SC 0,5
Thể tích khối cầu
3
3
4 5
3
a
V a
Chú ý:Học sinh giải cách dựng tâm mặt cầu giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD với mặt phẳng trung trực SD
0,5
(4)(0,5điểm) Áp dụng tỉ số thể tích biến đổi được:
S BCD S ABD S ABC S ACD
BCD ABD ABC ACD
SA SC SD SB
V V V V
SK SP SN SL
SA SC SD SB
S S S S
SK SP SN SL
0,25
4 (1 điểm)
Lí luận biến đổi để phương trình đầu suy x1 y 2 0,25 Đặt t y t 0;1 x1 (2 t)2 0,25 Thay vào phương trình thứ hai được: 4t t 1 t2 m 0,25
Lí luận tìm được: 1m 0,25
ĐỀ 2
Bài 1: (3 điểm)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = -x3 + 3x2 - 1.
b) Dựa vào đồ thị (C), xác định giá trị m để phương trình: x3 – 3x2 + m – =
có nghiệm phân biệt Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x3 + 3x2 – 9x – đoạn [-2;2].
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình: 16x - 15.4x - 16 =
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh AB a, góc giữa cạnh bên mặt đáy 600
a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a
(5)-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1: (3 điểm)
a) (2 điểm)
* Tập xác định: R (0,25 đ)
* Sự biến thiên: . Chiều biến thiên y’ =
/ 3 1 x x
= -3x2 + 6x = -3x(x – 2).
y’ = x = 0, x = 2. Xét bảng:
x - 0 2 +
y’ + y
-1 (0,5 đ) Cực trị
Hàm số đạt cực tiểu x = ; yCT = -1
Hàm số đạt cực đại x = ; yCĐ = (0,25 đ)
. Giới hạn
lim lim
x yx x x
3
lim lim
x yx x x
Đồ thị khơng có tiệm cận (0,25 đ) . Bảng biến thiên
x - + y’ +
y + 3
-1 - (0,25 đ)
* Đồ thị: (0,5 đ)
-4 -3 -2 -1
-4 -3 -2 -1
(6)b) (1 điểm)
Ta có: x3 - 3x2 + m - = 0
m – = -x3 + 3x2 - 1. (0,25 đ)
Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đường: y = -x3 + 3x2 - : (C)
y = m – : . (0,25 đ) Phương trình có nghiệm phân biệt
cắt (C) điểm phân biệt (0,25 đ)
-1 < m – < 3 < m < 5.
Vậy với giá trị < m < phương trình cho có nghiệm phân biệt (0,25 đ) Bài 2: (1,5 điểm)
. f’(x) = / 3 9 5 x x x
= 3x2 + 6x – = 3(x2 + 2x – 3).
f’(x) = x2 + 2x – =
1 2;
3 2; , x
x
loại (0,5 đ)
. Tính:
f(1) = -10 f(-2) = 17
f(2) = -3 (0,5 đ)
. Vậy:
-2 ; 2ax ( ) 17
m f x
min ( )2 ; 2 f x 10
(0,5 đ)
Bài 3: (1,5 điểm)
Ta có: 16x15.4x16 0
4x 15.4x 16
(0,25 đ) Đặt t = 4x
, điều kiện t > phương trình có dạng: t2 – 15t – 16 = 0
t = -1, t = 16. (0,5 đ)
So sánh với điều kiện:
t = -1 không thỏa mãn điều kiện, loại
t = 16 thỏa mãn điều kiện (0,25 đ)
Với t = 16 4x 42
x = 2.
(7)(0,5 đ) a) (2 điểm)
. S.ABCD hình chóp
đáy ABCD hình vng chân đường cao hình chóp
trùng với tâm hình vng ABCD (0,25 đ) . Gọi O = AC BD.
O tâm hình vng ABCD
O chân đường cao hình chóp S.ABCD SO (ABCD)
OA hình chiếu cạnh bên SA mặt đáy (ABCD)
SA ABCD,( )SA OA, SAO 600. (0,5 đ)
. ABCD hình vng có cạnh AB = a AC = a
OA = 2 a
(0,25 đ)
. SO (ABCD)
SO OA (ABCD). (0,25 đ)
. SOA vuông O ta có: tan SAO =
SO OA
SO = OA tan SAO = 2 a
tan 600 = 2 a
= a
(0,25 đ)
Thể tích hình chóp S.ABCD là: V =
1
3.SABCD.SO = 3.a2
6 a
= 6
6 a
(0,5 đ) b) (1,5 điểm)
O
B C
A D
(8). SOA vuông O ta có: cos SAO =
OA SA
SA = os OA
c SAO = 2 os 60
a
c = 2 a
= a (0,5 đ)
. Hình nón có bán kính đáy r = OA = 2 a
đường sinh l = SA = a 2, (0,5 đ) nên diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = rl =
2 a
.a = a2. (0,5 đ)
(9)-Hết -ĐỀ 3
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ĐIỂM) Tất thí sinh phải làm phần này
Câu (3,0 điểm) Cho hàm số: y= - x4+4x2-
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2) Dựa vào đồ thị (C) tìm giá trị tham số thực m để phương trình
4 4 3 2 0
x - x + + m= (1) có hai nghiệm phân biệt
Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức
2 2 2
x y z
F
y z z x x y
Câu (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AD a AB a , 3, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABCD), góc SBA 300.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 ĐIỂM)
Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Phần Theo chương trình chuẩn
Câu 4A (3 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức
1 log
P 5ln 4ln(e e) 10
e .
2 Giải phương trình mũ: 16x 16.4x 15 0 Giải bất phương trình:
x logsin2 x
3 1
Phần Theo chương trình nâng cao Câu 4B (3,0 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức
3
1log 4
2 25
1
log log
5
T Tìm x thỏa đẳng thức: 52x 1 3.52x 1 110
3 Tìm giá trị m để đồ thị (Cm) hàm số
2
mx (3m 1)x m
y
x
+ + - +
=
+ có đường tiệm cận xiên tiếp xúc với đường trịn (C) có phương trình:(x 1)- 2+ -(y 2)2=2
(10)(11)ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu, ý Nội dung Điểm
1,a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C): y= - x4+4x2- 3
Tập xác định: D = ¡
Giới hạn vô cực:
;
lim lim
xđ- Ơ y= - Ơ xđ+Ơ y= - ¥
Đạo hàm:
3
4
y¢= - x + x
3
0 ( 2)
2
x
y x x x x
x = é ê ¢= Û - + = Û - + = Û ê = ± ê ë Bảng biến thiên
x – - 0 +
y¢ + 0 – 0 + 0 –
y – 1
–3 –
Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ -; 2),(0; 2)
, nghịch biến khoảng (- 2;0),( 2;+¥ )
Hàm số đạt cực đại: yCĐ = x= ± 2, đạt cực tiểu: yCT = –3
tại x=0
Điểm uốn:
y// = -12x2 +8; y// =
2 x
3
y// đổi dấu x qua
2 x
3
nên (C) có điểm uốn:
U1 23 ;
; U2
2 23 ;
Giao điểm với trục hoành:
cho 2 1
0
3
x x
y x x
x x é = é = ± ê ê = Û - + - = Û ê Û ê = ± = ê êë ë
Giao điểm với trục tung: cho x= Þ0 y= -
Đồ thị hàm số:
2,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
1,b) Dựa vào đồ thị (C) tìm giá trị m để phương trình
4
3
4 log
x - x + + m= (1) có hai nghiệm phân biệt .
Biến đổi: x4- 4x2+ +3 2m= Û -0 x4+4x2- 2= m (*) Số nghiệm pt (*) số giao điểm ( ) :C y= -x4+4x2-
1,0 điểm 0,25 0,25
(12)d: y = 2m
Dựa vào đồ thị tìm : 2m = 2m < –3 Giải kết luận: m =
1
2 m < 0,25 0,25 2 Cho x>0, y > 0, z > x2 + y 2 + z 2 = Tìm GTNN biểu thức
2 2 2
x y z
F
y z z x x y
+ Biến đổi
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z
F
x y z y z x z x y
(do x >0, y >0, z > 0)
Hay
2 2
2 2
(3 ) (3 ) (3 )
x y z
F
x x y y z z
(do x2 + y2 + z2 = 3)
+ Xét hàm số f(t) = t(3 – t2), với t
(0; 3)
Ta có f/(t) = – 3t2; f/(t) =
t = 1 (0; 3); t = - 1(0; 3)
Bảng biến thiên (0; 3)
t 0
f/(t) +
-f(t)
0 Suy ra, t (0; 3), < t(3 t2)
+ Vì x2 + y2 + z2 = x, y, z dương nên x, y, z
(0; 3) Do
0 < x(3 x2) 2, < y(3 y2) 2, < z(3 z2)
Suy F x2
1 2+ y2.
1 2 + z2.
1
2 = (x2 + y2 + z2).
1 2 =
3 2. Từ BBT, F =
3
2khi x = y = z = 1. Vậy minF =
3
2 x = y = z =
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
3.1a) Thể tích khối chóp S.ABCD + Hình vẽ
+Chứng tỏ SAB vng tính
SA= AB tan 300= a + Tính thể tích
3 3 S ABCD
V SA AB AD a
(ghi công thức V =
3SABCD h: 0,25)
1,0 điểm 0,25 0,25
0,5
3.1b) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lập luận: tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I SC, bán kính 2
SC R
Tính SC2 SA2 AC2 SA2 AB2 BC2 =
2 3 2 5
a a a a SC a
(13)Diện tích mặt cầu : S=
2
2
4
2 a
r a
0,25+0,25
3.2 Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có tất
các cạnh a. 1,0 điểm
Hình vẽ: 0,25 0,25 0,25 0,25 4A.1 Tính
1 log
P 5ln 4ln(e e) 10
e
Ta có P = 5lne-1 + 4ln e7/2 + (102: 10log4)
= -5 + 2 +
2 10
4 Đ.S: P =34
(Trường hợp tính sai kết tính riêng: tính kết quả: 0,25 đ) 1,0 điểm 0,5 0,25 0,25 4A.2
Giải phương trình mũ: 16x 16.4x 15 0 (*) + Đặt t = 4x; ĐK: t > 0.
+ Đưa PT: t2
16t + 15 = Giải t = 1; t =15 (thỏa đk t > 0)
+ Giải pt, tìm x = 0, x = log415
+ Kết luận pt có nghiệm: x = x = log415
* Ghi chú: - HS khơng cần đặt ẩn phụ, giải đạt điểm tối đa
1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 4A.3
Giải bất PT:
x logsin2 x
3 (*) (*) x log
sin x
>0
x
0
x
( < sin2 < )
x x x
0 0
x x x
x 1 x 1 0 0
x x x
x x x 2
x x
KL. Tập nghiệm S = (2; +)
1,0 điểm
0,25
0,25
0.5 4B.1
Tính giá trị biểu thức
3
1log 4
2 25
1
log log
5
T
1,0 điểm - Nói : Vì hình trụ ngoại tiếp hình
lăng trụ tam giác có tất cạnh a nên hình trụ có chiều cao h = a đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a
- Tính bán kính đáy
3 a R - Tính thể tích khối trụ: 2. a
V R h
A
B C
B' C'
(14)1) Biến đổi tính 1
1
3
2 25 5
1
log log log log
5 12 3
log
2 log log 4 2
1
3
9 Suy T 0,5 0,25 0,25
4B.2 Tìm x thỏa: 52x 1 3.52x 1 110
Ta có
2x 2x 2x
2x 2x
5 3.5 110 (5 3) 110
22.5 110 5 2x 1 x
1,0 điểm 0,5 0,25+0,25
4B.3 mx2 (3m 1)x m 2
y
x
+ + - +
=
+ (Cm) ĐK để đồ thị có TCX tiếp xúc với đường tròn (C): (x 1)- 2+ -(y 2)2=2.
Hàm số có TXĐ : R \{ }- Hàm số viết lại :
1 3m
y mx 2m
x
-= + + +
+
+ Điều kiện đồ thị hàm số có TCX : m¹ m 1/3
+ Với ĐK đó, x [ ] x
1 3m
lim y (mx 2m 1) lim
x
đƠ đƠ
+ + = =
+ nên đường thẳng D: y=mx 2m 1+ + hay
mx y 2m 0- + + = TCX (Cm) + Từ PT (x 1)- 2+ -(y 2)2=2 suy đường trịn (C) có tâm I(1; 2) bán kínhR=
D tiếp xúc với ( C ) Û d(I, )D = Û 3m m -= +
Û 7m2- 6m 0- =
m 1 m é = ê ê Û ê =-ê
ë ( thỏa ĐK)
KL: m = 1, m = 1/7
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
(15)
ĐỀ : Bài 1: (4điểm)
Cho hàm số : y=
2
x x
a)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số
b) Tìm m để đồ thị (C ) cắt đường thẳng d: y = -x+m điểm phân biệt A, B cho tam giác AOB vuông O ( O gốc tọa độ )
Bài : (2 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x3 -2x2 +x -2 , với x [0; 2]
b)Tính đạo hàm hàm số y= sin x ecos3x Bài 3: (4 điểm)
Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA= a 3.Góc giữa mặt bên (SBC) mặt đáy 30o
a)Tính thể tích khối chóp
b)Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay SBC quanh trục đường thẳng BC c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB SC
(16)ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I MƠN TOÁN KHỐI 12 Bài : điểm
a)khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số y=
2
x x
(2,5điểm) TXĐ : D =
3 \{ } 0.25đ
2
lim lim
2 2
x x x x x x
y =
1
2là tiệm cận ngang
3
2
2
lim lim
2 3
x x x x x x
x=
tiệm cận đứng
0,5đ
y’=
1 (2x 3)
Hàm số nghịch biến
3 x Bảng biến thiên
x - + y’ _ _
y
2 +
_ 2 0,25đ 0;5đ
Hàm số nghịch biến khoảng (-;
) khoảng(
;+) hàm số khơng có cực trị
Đồ thị : Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng qua điểm (0;
2
3) ;(-2;0)
0,25đ
0,25đ
Đồ thị 0;5đ
b) ( 1,5 điểm )
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x x
= -x + m 0,25đ
(17)2
2 2 3
x
x x mx x m
3
2 2(2 ) *
x
x m x m
Phương trình * khơng có nghiệm x =
m Để đồ thị (C ) cắt đường thẳng d điểm phân biệt A, B pt * có nghiệm phân biệt ' >0
m m ** 0,5đ
Gọi x1,x2 nghiệm phương trình * A( x1; - x1 + m); B( x2; - x2 +m)
Tam giác AOB vuông O OA OB 0 x1.x2 + x1.x2 –m(x1 +.x2 ) +m2 =0
-3m+2 +m( 2-m) + m2 = m=2 thỏa mãn điều kiện **
Vậy với m=2 đố (C ) cắt đường thẳng d: y = -x+m điểm phân biệt A, B cho tam giác AOB vuông O
0,5đ
0,25đ Bài :2 điểm
a)( 1điểm) y = x3 -2x2 +x -2 với x [0; 2]
Ta có y’ = 3x2 – 4x+1 = x= ; x= 1/3 thuộc [0; 2]
y( 0) = -2 ; y(1) = -2 ; y(2) = ; y( 1/3) = 50 27 0;2] [ x y 0;2] m [ax x y 0,25đ 0,5đ 0,25đ b)( điểm) Tính đạo hàm hàm số y= sin x ecos3x
y’= (sin ) 'x ecos3x sin (x ecos3x) ' = 3cos3x .ecos3x+sin3x (-3sin3x) ecos3x = 3ecos3x(cos3x-sin23x)
0,25đ
0,5đ 0,25đ Bài : 4điểm
a) Gọi M trung điểm BC Ta có BC AM BC SM góc giữa mp(SBC) mp(ABC) SMA =30o
Trong tam giác SAM ta có AM=SAcot30o =3a BC = 2a 3
Thể tích V =
3 1
3 2BC AM SA a
0.5đ 0.5đ 0.5đ b) Khi quay tam giác SBC quanh trục đường thẳng BC ta hình nón
đỉnh B đỉnh C đáy đường trịn bán kính SM
2 2
12 SM SA AM a
Thế tích khối trịn xoay sinh
2
1
2 12
3
V SM BM a a a
0.25đ 0.25đ 0,5đ Gọi N trung điểm AB CN AB Từ A kẻ đường thẳng song song với
CN từ C kẻ đường thẳng song song với AN, đường thẳng cắt E tứ giác AECN hình chữ nhật (SAE) (SCE) nên từ A kẻ AH SE AH (SEC)
Mặt khác AB // (SCE) d( AB,SC) =d( AB,(SCE) =d(A,(SCE) = AH
0.5đ 0.5đ
(18)2 2 2
1 1 1
3 9
AH SA AE a a a AH =
2 a
Vậy d( AB,SC)=
2
a chỉnh chấm
điểm )
A C
S
B
M N
E H